有限元法与ANSYS技术-3-1第3章有限元法的直接刚度法-1梁单元
有限元法与ANSYS技术-刚度矩阵
k
e
BiT BjT
D
Bi
Bj
Bm
t
kii k ji
kij k jj
kim k jm
(3-35)
BmT
kmi kmj kmm
其中 krs Br T DBs t
Et
4 1 2
bcrbrbss1122cbrrccss
br cs
1
2
cr bs
cr cs
1
2
brb s
Kij
Kim
Kin
K
K j1
K ji
K jj
K jm
K jn
考虑到[k]扩充以后，除了对应的i, j, m 双行和双列 上的九个子矩阵之外，其余元素均为零，故（3-33）式
中的单元位移列阵{}e2n×1 便可用整体的位移列阵 {}2n×1 来替代。这样，（3-33）式可改写为
k
Re
2n2n
2n1
2n1
把上式对N个单元进行求和叠加，得
N e1
e
ui
vi
u j
v j
um
T
vm
且假设单元内各点的虚位移为{f *}，并具有与真实位移 相同的位移模式。
故有
f N e
(c)
参照（3-13）式，单元内的虚应变{ *}为
B e
(d)
于是，作用在单元体上的外力在虚位移上所做的功可写
为
({ }e )T Re
(f)
而单元内的应力在虚应变上所做的功为
码的排序一致。各单元的节点力列阵经过这样的扩充之
后就可以进行相加，把全部单元的节点力列阵叠加在一
起，便可得到 (l)式所表示的弹性体的载荷列阵，即
有限元法基础及ANSYS应用(电子教案)
《有限元法基础及ANSYS应用》电子教案第一章绪论1.1有限元法概述1.1.1 有限元法的发展及基本思想随着现代工业、生产技术的发展，不断要求设计高质量、高水平的大型、复杂和精密的机械及工程结构。
为此目的，人们必须预先通过有效的计算手段，确切地预测即将诞生的机械和工程结构，在未来工作时所发生的应力、应变和位移。
但是传统的一些方法往往难以完成对工程实际问题的有效分析。
弹性力学的经典理论，由于求解偏微分方程边值问题的困难，只能解决结构形状和承受载荷较简单的问题，对于几何形状复杂、不规则边界、有裂缝或厚度突变，以及几何非线性、材料非线性等问题往往遇到很多麻烦，试图按经典的弹性力学方法获得解析解是十分困难的，甚至是不可能的。
因此，需要寻求一种简单而又精确的数值分析方法。
有限元法正是适应这种要求而产生和发展起来的一种十分有效的数值计算方法。
这个方法起源于20世纪50年代中期航空工程中飞机结构的矩阵分析。
1960年美国的克劳夫(C lo ug h)采用此方法进行飞机结构分析时，首次将这种方法起名为“有限单元法”(finite element method），简称“有限元法”。
有限单元法的基本思想，是在力学模型上将一个原来连续的物体离散成为有限个具有一定大小的单元，这些单元仅在有限个节点上相连接，并在节点上引进等效力以代替实际作用于单元上的外力。
对于每个单元,根据分块近似的思想，选择一种简单的函数来表示单元内位移的分布规律，并按弹性理论中的能量原理(或用变分原理)建立单元节点力和节点位移之间的关系。
最后，把所有单元的这种关系式集合起来，就得到一组以节点位移为未知量的代数方程组，解这些方程组就可以求出物体上有限个离散节点上的位移。
图1.1是用有限元法对直齿圆柱齿轮的轮齿进行的变形和应力分析，其中图1.1(a)为有限元模型，图1.1(b)是最大切应力等应力线图。
在图1.1(a)中采用8节点四边形等参数单元把轮齿划分成网格，这些网格称为单元；网格间互相连接的点称为节点；网格与网格的交界线称为边界。
有限元法与ANSYS技术-3-2第3章有限元法的直接刚度法-2杆单元
图2.12 刚架单元的节点位移和节点力
i 在局部坐标系下，两个节点 、 j 的节点位移
（2-49），节点力
p
' i
、p
' j
见式（2-50）。
' i
、
' j
见式
i
' i
f
i
' j
f
j j
p
' j
K K
' ii
' ji
K K
' ij
' jj
' i
' j
p' e K ' e ' e
（2-57） （2-58）
所以得出，局部坐标系下 x 'o ' y ' ，平面刚架单元的单元刚度矩的
通用公式为：
K ' e
K '
e
K K
'e ii
'e ji
K K
'e ij
'e jj
（2-60）
将局部坐标系下平面刚架单元的单元刚度矩阵的通用公式应用于
I 每一个单元，即把每一个单元的参数 E 、 、 l 、 A 代入
式（2-59），即得到该单元的局部坐标系下的单元刚度矩阵。
3.2.3单元刚度矩阵的坐标变换
因为 T e 1 T e I ，所以有
pe T e 1 K ' e T e e （2-79）
ansys有限元基础教程
ansys有限元基础教程ANSYS是一款常用的有限元分析软件，广泛应用于工程设计和科学研究领域。
本文将介绍ANSYS的有限元基础教程，帮助读者快速上手使用该软件。
首先，我们需要了解有限元分析的基本原理。
有限元分析是一种将复杂结构模型离散为大量小块（有限单元）的方法，通过求解每个小块的力学行为，最终得到整个结构的应力、位移等参数。
在ANSYS中，用户需要首先创建一个几何模型，然后将其划分为多个有限单元，并设置每个单元的材料属性、约束条件和载荷。
创建几何模型时，ANSYS提供了多种建模工具，如直线、弧线、曲面等。
用户可以通过这些工具创建出与实际结构相似的几何模型。
在模型创建完成后，我们需要划分为有限单元。
ANSYS提供了丰富的单元类型，如点单元、线单元、面单元和体单元等。
在划分单元时，用户需要根据问题的特点选择适合的单元类型。
接下来，我们需要设置材料属性、约束条件和载荷。
材料属性包括材料的弹性模量、泊松比等，用户需要在ANSYS中定义这些参数。
约束条件主要是结构的边界条件，如固支条件、约束位移等。
用户需要将这些约束条件设置好以便进行分析。
载荷包括静载荷和动载荷，用户需要根据实际情况设置相应的载荷。
在设置完模型、单元和边界条件后，我们可以进行有限元分析。
ANSYS提供了多种分析类型，如静力分析、热传导分析和模态分析等。
用户需要选择适当的分析类型，并设置相应的参数。
然后，ANSYS将自动进行计算，并给出结构的应力、位移等结果。
最后，用户还可以对计算结果进行后处理。
ANSYS提供了丰富的后处理工具，如绘制应力云图、绘制位移变形图等。
通过这些工具，用户可以直观地了解结构的受力情况和变形情况。
综上所述，ANSYS的有限元基础教程主要包括模型创建、单元划分、材料设定、约束条件设置、载荷设置、分析类型选择、计算求解和后处理等步骤。
通过学习这些基础知识，读者可以快速上手使用ANSYS进行有限元分析，为工程设计和科学研究提供有力的支持。
ansys上机文件---有限元法基础及ANSYS应用
教程1：角支架的静态分析问题阐述下面将要显示的是一个简单的、单一载入步骤的角支架结构静态分析的例子。
该角支架左上侧的圆孔的整个圆周被约束（焊接），而其右下侧的圆孔的底部则作用有线性分布的压力载荷（见下图）。
问题的目的是演示典型ANSYS的分析过程。
所给条件角支架的尺寸见上图所示。
支架是由A36钢制成，其杨氏模量为30E6，泊松比为0.27。
近似与假设本题的分析为平面应力问题。
压力载荷只作用在X-Y平面上。
近似操作是使用固体模型来构造2-D模型并利用节点和单元将其自动划分网格。
（在ANSYS中的另一个选择是直接创建节点和单元）交互式的求解过程按照下面给出的步骤以及其所对应的具体内容，就可以完成交互式一步步的求解过程。
步骤中的黑体字（字符）是需要从菜单中选择的命令。
1.进入ANSYS在D盘建立一文件夹，文件名为xiti。
然后运行程序→ANSYS 8.0 →Configure ANSYS Products →file Management→select Working Directory: D:\xiti，input job name: zhijia→Run2．建立几何结构2.1 定义矩形在ANSYS中有几种创建几何模型的方法，较其它软件更为方便。
第一步首要的是确认能够简单地利用矩形和圆的组合来构造支架。
首先确定坐标原点的位置然后根据该原点来定义矩形和圆。
原点的位置是任意的，这里用的是左上侧孔的中心。
ANSYS不需要知道原点的位置，只是简单地从定义一个矩形开始。
在ANSYS中，这个原点被称为global origin。
1．Main Menu：Preprocessor-Modeling-Create-Areas-RectangleBy Demensions。
2．输入X1=0（注意：使用键盘上的Tab键或用鼠标左键来实现光标在编辑框中的切换），X2=6，Y1=-1，Y2=1。
3．按下Apply按钮创建第一个矩形。
有限元理论与ANSYS基础
有限元法分析基本步骤
•连续体的离散化
将连续体离散成有限个单元。离散单元形式很多，如二位 问题，有三角形单元、四边形单元；三维问题有四面体、六 面体等等。
• 选择单元位移函数
假设的单元位移函数只能近似的表示（精确的）位移场， 通常假定为多项式。如弹性平面问题三角形单元，最简单的 位移函数可以选为线性多项式。
1 2 1 2 2 2 3 2 3 1 2
这一理论较全面地考虑了各个主应力对强度的影响。试 验结果也与该理论的计算结果基本相符，适用塑性材料。
工程材料计算校核
• 工程实际中，零件工作应力的最大容许值必须低于材料的极 限应力。对一定材料制成的具体零件，工作应力的最大容许值 ，称为许用应力，并用[ ] 表示。许用应力与极限应力的关系 为
[ ] u n
ANSYS软件计算结果 m a x ，则
max
式中： 塑性材料 m a x 为Von mises等效应力，即第四强度理论校核。 脆性材料 m a x 为最大拉应力，即第一强度理论校核。
线性行为
• 力（F）和位移（u）是简单的线性关系，即满足胡 克定律
F = Ku
– 常数 K 表示结构刚度.
➢ 平面或曲面
• 二维平面单元 （ Plane183、Plane182、…... ）
➢ 模拟实体截面，必须在整体直角坐标系X-Y平面内建立模型 ➢ 载荷作用在X-Y平面内、其响应（位移）也在X-Y平面内
有限元模型—单元选择
• 三维实体单元 （ Solid185、Solid186、Solid187）
• 边界条件
边界条件是指结构边界上所受到的外加约束。在有限元分 析过程中，施加正确的边界条件是获得正确的分析结果和较 高的分析精度的关键。
ANSYS有限元分析入门与应用指南
ANSYS有限元分析入门与应用指南第一章：ANSYS有限元分析概述ANSYS是一种常用于工程领域的有限元分析软件，主要用于对各种结构进行力学分析、流体动力学分析、热传导分析等。
本章将对ANSYS的基本原理、工作流程和应用领域进行介绍。
1.1 ANSYS的基本原理ANSYS基于有限元方法，将实际结构或系统离散为有限数量的单元，通过对单元进行各种物理特性的分析，最终得到整个结构的行为。
有限元方法是一种数值分析方法，可以有效解决传统方法难以处理的复杂问题。
1.2 ANSYS的工作流程ANSYS的工作流程包括几个关键步骤：前处理、求解和后处理。
前处理阶段主要负责模型的建立和单元网格的划分，求解阶段进行物理场的计算和求解，后处理阶段对结果进行可视化和分析。
1.3 ANSYS的应用领域ANSYS可应用于各个工程领域，如固体力学、流体力学、热传导、电磁场等。
在航空航天、汽车工程、建筑结构、电子设备等领域都有广泛的应用。
第二章：ANSYS建模与前处理在使用ANSYS进行有限元分析之前，需要对模型进行建模和前处理工作。
本章将介绍ANSYS建模的基本方法和前处理的必要步骤。
2.1 模型建立ANSYS提供了多种建模方法，包括几何建模、CAD导入、脚本编程等。
用户可以根据需要选择合适的建模方法，对模型进行几何设定。
2.2 材料定义和属性设置在进行有限元分析之前，需要为材料定义材料性质和属性。
ANSYS提供了多种材料模型，用户可以根据具体需求进行选择和设置。
2.3 网格划分网格划分是有限元分析中非常重要的一步，它决定了模型的离散精度和计算效果。
ANSYS提供了多种单元类型和划分算法，用户可以根据需要进行合理的网格划分。
第三章：ANSYS求解与后处理在进行前处理完成后，就可以进行有限元分析的求解和后处理了。
本章将介绍ANSYS的求解方法和后处理功能。
3.1 求解方法ANSYS提供了多种求解方法，如直接法、迭代法等。
根据模型的复杂程度和求解要求，用户可以选择合适的方法进行求解。
ansys有限元理论解读
ROTX, ROTY, ROTZ
三维实体热单元 TEMP
CUST
1.5 有限单元法解题的分析步骤
? 化整为零------ 结构离散化 ? 单元分析
? 集零为整 ------ 整体分析
离散化
单元拼装
单元分析
CUST
1.6 有限元的特点
（1）理论基础简明，物理概念清晰。 （2）计算方法通用，应用范围广。 （3）可以处理任意复杂边界的结构。 （4）计算格式规范，易于程序化。
CUST
所以,有限元法实质上是把具有无限个自由度的连续 系统,理想化为只有有限个自由度的单元集合体 ,使问 题转化为适合于数值求解的结构型问题。
CUST
1.2有限元模型
有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。
真实系统
有限元模型
CUST
1.3 自由度（DOF ）
自由度用于描述一个物理场的响应特性
1? ? 2
1? ?
CUST
第二章 平面问题的有限元法
CUST
2.1 结构的离散化
离散化: 把连续的结构看成由有限个单元组成的集合体。 目的：建立有限元计算模型 实例：将一个受力的连续体离散化 以三角形单元为例
1
47
①
②5
2
③
④ 6
3
p2
p1
p3
19 20
21
CUST
2.2 单元分析
单元分析的主要任务是推导单元节点位移与单元节点 力之间的转换关系，实质上就是求出单元刚度矩阵。
CUST
2.2 弹性力学的基本变量
1、外力：作用于物体的外力。
（1）体积力（简称体力）：分布在物体体积内的力。 如：重力、惯性力等
有限单元法及ANSYS简介
正六面单元体的取法
ij (i, j x, y, z )
B. 力的指向
i (i x , y , z )
ii
z
C
zx yx x P zy xz
z zy
xy xy
zx z
x
xz
yz
y
y
yz
yx
B
o
A
y
x
建立弹性力学基本方程（矩阵形式）
8）专项分析: 断裂分析, 复合材料分析，疲劳 分析
2. 高度非线性瞬态动力分析（ANSYS/LS-DYNA） 全自动接触分析，四十多种接触类型 任意拉格郎日－欧拉（ALE）分析 多物质欧拉、单物质欧拉 适应网格、网格重划分、重启动 100多种非线性材料模式 多物理场耦合分析：结构、热、流体、声学 爆炸模拟，起爆效果及应力波的传播分析 侵彻穿甲仿真，鸟撞及叶片包容性分析，跌落分析 失效分析，裂纹扩展分析 刚体运动、刚体－柔体运动分析 实时声场分析 BEM边界元方法，边界元、有限元耦合分析 光顺质点流体动力（SPH）算法
界上的面力或约束。 待求量：应力、形变和位移。 解法： 在弹性体内部：根据微分体上力的平衡条件，建立平 衡微分方程；根据微分线段上应变－位移的几何条件， 建立几何方程；根据应力－应变间的物理条件，建立物 理方程
在弹性体边界上：根据面力条件，建立应力边界条件
；根据约束条件，建立位移边界条件。
基本假设
一、主要功能简介
1. 结构分析 1） 静力分析 - 用于静态载荷. 可以考虑结构的线 性及非线性行为。 线性结构静力分析 非线性结构静力分析 几何非线性：大变形、大应变、应力强化、旋 转软化 材料非线性：塑性、粘弹性、粘塑性、超弹性、 多线性弹性、蠕变、肿胀等 接触非线性：面面/点面/点点接触、柔体/柔体刚 体接触、热接触 单元非线性：死/活单元、钢筋混凝土单元、非线 性阻尼/弹簧元、预紧力单元等
有限元理论及ANSYS应用
17.2.2 模态分析步骤
17 ANSYS结构动力学分析
17.2 模态分析
17 ANSYS结构动力学分析
17.3.1 谐响应分析 概述
A
17.3.2 谐响应分析 的步骤
B
17.3.3 谐响应分析 操作
C
17.3 谐响应分析
17 ANSYS结构动力学分析
17.4.1 瞬态动力学分析方法
有限元理论及ANSYS应用
演讲人
2 0 2 0 - 11 - 2 1
01
应用实例目录
应用实例目录
02
1 有限单元法基本概念
1 有限单元法基 本概念
1.1 引言 1.2 有限单元法基本概念
1.2.1 结构离散化 1.2.2 单元刚度矩阵 1.2.3 结构总体刚度方程
03
2 平面问题的有限单元法
3.1 最小势能 原理
3.2 基于最小 势能原理的有限 单元法
3.3 对有限单 元法收敛和精度 的分析
3.3.1 相容性要求 3.3.2 完备性要求 3.3.3 收敛和精度
05
4 三维问题的有限单元法
4 三维问题的有限单元法
4.1 三维应力状态
4.2 三维问题的四面体 单元
4.2.1 位移函数 4.2.2 单元刚度矩阵 4.2.3 载荷移置与等效
14.3 时间历程后 处理器
C
14.4 动画技术
D
14 结果后处理
14.1 概述
14.1.1 结果 文件
14.1.2 基本 解和导出解
14 结果后处理
01
14.2.1 读 取结果数据
到数据库
02
14.2.2 结果坐标
有限元法基本原理与应用ANSYS上机指导
Project2坝体的有限元建模与应力应变分析计算分析模型如图2-1 所示, 习题文件名: dam。
图2－1 坝体的计算分析模型2.1 进入ANSYS程序→ANSYSED →Interactive →change the working directory into yours →input Initial jobname: dam→Run2.2设置计算类型ANSYS Main Menu: Preferences →select Structural →OK2.3选择单元类型ANSYS Main Menu: Preprocessor →Element Type→Add/Edit/Delete →Add →select Solid Quad 4node 42 →OK (back to Element Types window)→Options… →select K3: Plane Strain →OK→Close (the Element Type window) 2.4定义材料参数ANSYS Main Menu: Preprocessor →Material Props →Material Models→Structural →Linear→Elasti c→Isotropic →input EX:2.1E11,PRXY:0.3→OK 2.5生成几何模型✓生成特征点ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling →Create →Keypoints →In Active CS →依次输入四个点的坐标input:1(0,0),2(2,0),3(2,10),4(2-1.2,10)→OK ✓生成坝体截面ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling →Create →Areas →Arbitrary →Through KPS →依次连接四个特征点，1(0,0),2(2,0),3(2,10),4(2-1.2,10) →OK2.6 网格划分ANSYS Main Menu: Preprocessor →Meshing →Mesh Tool→(Size Controls) lines: Set →依次拾取两条横边:OK→input NDIV: 40→Apply→依次拾取两条纵边:OK →input NDIV: 200→OK →(back to the mesh tool window)Mesh: Areas, Shape: Quad, Mapped→Mesh →Pick All(in Picking Menu) →Close( the Mesh Tool window)2.7 模型施加约束✓分别给下底边和竖直的纵边施加x和y方向的约束ANSYS Main Menu: Solution→Define Loads →Apply→Structural →Displacement→On lines→pick the lines →OK→select Lab2:UX, UY →OK✓给斜边施加水压分布载荷ANSYS 命令菜单栏: Parameters→Functions →Define/Edit→1) 在下方的下拉列表框内选择Y ,作为设置的变量；2) 在Result窗口中出现{Y},写入所施加的载荷函数：1000*9.8*(10-{Y})；3) File>Save(文件扩展名：func) →返回：Parameters→Functions →Read from file：将需要的.func文件打开，任给一个参数名，它表示随之将施加的载荷→OK →ANSYS Main Menu: Solution→Define Loads →Apply→Structural →Pressure →On Lines →拾取斜边；OK →在下拉列表框中，选择：Existing table →OK →选择需要的载荷参数名→OK2.8 分析计算ANSYS Main Menu: Solution →Solve →Current LS→OK(to close the solve Current Load Step window) →OK2.9 结果显示ANSYS Main Menu: General Postproc→Read Results→Last SetANSYS Main Menu: General Postproc →Plot Results→Deformed Shape…→select Def + Undeformed→OK (back to Plot Results window)→Contour Plot→Nodal Solu…→select: DOF solution, UX,UY, Def + Undeformed , Stress ,SX,SY,SXY, Def + Undeformed→OK2.10 退出系统ANSYS Utility Menu: File→Exit…→Save Everything→OKProject3平板中心开小孔应力集中系数分析计算分析模型如图3-1 所示, 习题文件名: plate。
有限元理论与ANSYS应用学习
有限元理论与ANSYS应用学习1、有限单元法的基本思想是将物体（即连续的求解域）离散成有限个且按一定方式相互联结在一起的单元的组合，来模拟和逼近原来的物体，从而将一个连续的无限自由度问题简化为离散的有限自由度问题求解的一种数值分析方法。
物体被离散后，通过对其中各个单元进行单元分析，最终得到对整个物体的分析。
网格划分中每一个小的块体成为单元。
确定单元形状、单元之间相互联结的点称为节点。
单元上节点处的结构内力为节点力，外力（有集中力和分布力）为节点载荷。
2、矩阵分析法适用于杆件结构，一杆为一单元，每个单元通过两个节点和其它两个单元联结；单元刚度矩阵能体现出任何一个自由度方向的节点力与所有节点位移的关系：F e=K e×δe ；F e为单元节点各自由度方向节点力组成的向量，δe为单元节点各自由度方向位移组成的向量；通过各个单元刚度矩阵和一定方法可以求出整体刚度矩阵，引入边界条件后整体刚度矩阵确定，由各节点的力向量即可求出各节点的位移向量。
针对这类问题ANSYS软件后台就是根据这个理论进行处理的，通过较简单的软件操作使人工繁琐的计算由电脑按程序快速计算得出结果。
通过前处理模块把一个实际问题在ANSYS软件中描述清楚转化成一个用ANSYS可代人计算处理的问题，然后根据实际要求在求解模块中代人计算处理对问题进行求解。
ANSYS提供的分析类型：a、结构静力分析；b、结构动力学分析；c、结构非线性分析；d、动力学分析；e、热分析；f、电磁场分析；g、流体动力学分析；h、声场分析；i、压电分析3、DOF为自由度（DEGREES OF FREEDOM），LS为载荷步（LOAD STEP），CS为坐标系（Coordinate System）4、日志文件有对话日志文件和内部数据命令日志两种，系统均将执行情况记录在日志中。
每次的对话（GUI操作）都以命令流形式追加到已有的对话日志文件Jobname.log中，在交互运行方式下，执行日志文件：Utility Menu-->LIST-->Files-->Log File；保存数据时，将数据命令日志与其他数据信息保存在数据文件（Jobname.db）中，如下操作可将数据日志命令写到一个ASCII文件中：Utility Menu-->File-->Write DB log file；在交互模式下读入编辑的日志文件方法：Utility Menu-->File-->Read Input Form。
有限元法基础及Ansys应用复习PPT课件
2
1.1 有限元方法与ANSYS概述
1.1.1有限元方法
有限元方法（Finite Element Method ,FEM）是当前工程 技术领域最常用、最有效的数值计算方法，已成为现代工程技 术不可缺少的重要组成部分。
2021/4/21
有限单元法与ANSYS软件简介
12
第12页/共99页
1.3 弹性力学基本知识
弹性力学与材料力学的不同 1、研究的对象： 材料力学主要研究弹性杆件(如梁、柱、轴等） 弹性力学主要研究弹性体。（杆、板、壳、块体）
第13页/共99页
2、研究的方法：
已知
外力、边界条件、几何、材料
求
应力、应变、位移
1. 平面应力问题
几何特征：厚度为t的很薄的均匀木板 外力特征：
面力只作用于板的边缘上，方向平 行于板面且不沿厚度变化
体力平行于板面且不沿厚度变化
第31页/共99页
平面应力问题
只有 x、 y、 xy 三个应变分量需要考虑，所以几何方程
x
u x
，
y
v y
，
z
w z
xy
u y
v ，
x
yz
v z
w y
xy
yx
yy y
应力 分量
当微小的平行六面体趋于无穷 小时，六面体上的应力就代表
P点处的应力。
第23页/共99页
弹性力学的基本方程
位移 应变 应力
几何方程 物理方程
弹性力学 三大方程
平衡方程
复杂偏微分方程组的求解，解析求解困难，主要是数值求解。
梁单元有限元分析
梁单元-有限元分析一、有限元法介绍有限元法的基本思想是将结构离散化，用有限个容易分析的单元来表示复杂的对象，单元之间通过有限个节点相互连接，然后根据变形协调条件综合求解。
由于单元的数目是有限的，节点的数目也是有限的，所以称为有限元法(FEM，Finite Element Method)。
是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种弹性力学问题的数值求解方法。
有限元法是最重要的工程分析技术之一。
它广泛应用于弹塑性力学、断裂力学、流体力学、热传导等领域。
有限元法是60年代以来发展起来的新的数值计算方法，是计算机时代的产物。
虽然有限元的概念早在40年代就有人提出，但由于当时计算机尚未出现，它并未受到人们的重视。
随着计算机技术的发展，有限元法在各个工程领域中不断得到深入应用，现已遍及宇航工业、核工业、机电、化工、建筑、海洋等工业，是机械产品动、静、热特性分析的重要手段。
早在70年代初期就有人给出结论：有限元法在产品结构设计中的应用，使机电产品设计产生革命性的变化，理论设计代替了经验类比设计。
目前，有限元法仍在不断发展，理论上不断完善，各种有限元分析程序包的功能越来越强大，使用越来越方便。
二．梁单元的分类所谓梁杆结构是指其长度比横截面尺寸大很多的梁和杆件、以及由它们组成的系统，这一类结构的应力、应变和位移都是一个坐标的函数，所以属于一维单元问题。
1．平面桁架特点：杆件位于一个平面内，杆件间用铰节点连接，作用力也在该平面内。
单元特性：只承受拉力或压力。
单元划分：常采用自然单元划分。
即以两个铰接点之间的杆件作为一个单元。
为使桁架杆件只产生轴力，桁架的计算常作以下假定：①桁架中每根杆件的两端由理想铰联结；②每根杆件的轴线必须是直线；③所有杆件的轴线都只交于所联理想铰的几何中心。
④荷载均只作用于理想铰的几何中心。
在此条件下所算得的各种应力称为主应力。
实际上各种桁架结构不可能完全满足上述各假定，因而杆件将产生弯曲，由这种弯曲而在杆件中所引起的轴向应力称为次应力。
有限元分析与ANSYS实践第3章
2019/2/19
a)
b)
c)
图3-1 杆件结构实例 2019/2/19
在有限元分析中，当杆件的长度尺寸远大于截面尺寸时， 可认为杆件单元只发生轴线方向的拉伸与压缩变形，不产生 弯曲、扭转等变形。如图3-2所示，作用于杆件两端方向相 反的两个外力，其作用线与杆件轴线重合，使杆件发生拉伸 （虚框）。
单元首结点 编号 1 2 1
单元尾结点 编号 2 3 3
单元长度 /cm 70.71 70.71 100
（2）单元分析 在各单元上，沿杆的轴向建立笛卡尔（直角）坐标系，称为 单元（或局部）坐标系。 1） 对水平杆单元3，假设其受力与位移情况如图3-5所示。在 单元坐标系x轴向右的外力fix和fjx的共同作用下，结点i位移了 uix，结点j位移了ujx。
图3-24a) 活动绞支座
（2）施加载荷
（3）计算求解
图3-28 求解窗口
4. 后处理 （1）定义单元表
（2）输出单元表
图3-31 输出单元表
3.2自重作用下均匀截面直杆的有限元法分析
由于结构体自身存在质量，所以在实际工程中，除考虑外 力作用的同时，应首先了解结构体自身重量所产生力学问 题。本节介绍自重作用下均匀截面直杆的有限元法分析一 般原理和ANSYS分析方法。
例 3-1 设平面三角结构 的桁架 123 如图 3-4 所示。 已知：各杆的弹性模量 E=2.0×105MPa，各杆截面 均为 A=0.5cm 2 ，杆 13 长为 100cm，载荷P=2KN，试求 平面桁架的内力和位移。
图3-4 平面桁架123
解：1.传统分析方法 设杆12、杆23和杆13的内力分别为N1、N2和N3。 在总体坐标系x-y（或U-V）中，由力的平衡方程可 以得到结点的内力值。
第1章 有限元法的直接刚度法-1梁单元
j
i
qi a11 m i a 21 = q j a31 m j a 41
a12 a 22 a32 a 42
a13 a 23 a33 a 43
a14 1 a11 a 24 0 a 21 = a34 0 a31 a 44 0 a 41
{δ }e
= fi
[
θi
fj
θ j ]T
（2-2） ）
2.1直梁的有限元分析 直梁的有限元分析
根据材料力学的知识，梁在外力作用下，横截面上的内力有 个 根据材料力学的知识，梁在外力作用下，横截面上的内力有2个： 剪力 Q 、弯矩 M 。所以，梁单元上每个节点的节点力有2个，用 q 、 所以，梁单元上每个节点的节点力有 个 m 来表示，规定： 向上为正， 逆时针为正。写成列阵形式见式（ 来表示，规定： q 向上为正， m 逆时针为正。写成列阵形式见式（23），表示 i 节点的节点力。 ），表示 节点的节点力。 ），
写成矩阵形式： 写成矩阵形式： qi
（2-9）
a11 m i a 21 = q j a31 m j a 41
a12 a 22 a32 a 42
a13 a 23 a33 a 43
a14 f i a 24 θ i a34 f j a 44 θ j
q
{p}
e
= qi
[
mi
qj
mj
]
T
（2-4） ）
2.1直梁的有限元分析 直梁的有限元分析
梁单元上每个节点的节点载荷有2个 梁单元上每个节点的节点载荷有 个：横向力 Z 和力偶 M 一般规定， 向上为正， 逆时针为正。 一般规定， 向上为正， 逆时针为正。写成列阵形式见式 M Z ），表示 节点的节点载荷。 （2-5），表示 节点的节点载荷。 ）， ，
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弯曲变形
工程实例
F1
F2
纵向对称面
对称弯曲——外力作 用于梁的纵向对称面内， 因而变形后梁的轴线(挠曲 线)是在该纵对称面内的平 面曲线。
非对称弯曲——梁不具有纵对称面(例如Z形截面梁)，因 而挠曲线无与它对称的纵向平面；或梁虽有纵对称面但外力并 不作用在纵对称面内，从而挠曲线不与梁的纵对称面一致。
写成矩阵形式： qi a11 a12 a13 a14 fi
mi
q
j
m j
a21 aa3411
a22 a32 a42
a23 a33 a43
a24 a34 a44
f
i j j
（2-9） （2-10）
AB=BC=CD=l，
IAC=2I，ICD=I。
(b) 直梁的有限元模型
图2.1 直梁
3.1.1划分单元
• 两个节点之间的杆件构成一个单元，杆件结构的节点可按 以下原则选取：
1、杆件的交点一定要选为节点。 2、阶梯形杆截面变化处一定要取为节点。 3、支承点和自由端要取为节点。 4、集中载荷作用处要取为节点。 5、欲求位移的点要取为节点。 6、单元长度不要相差太多。
（2-5）
Q e Zi Mi Z j M j T
（2-6）
3.1直梁的有限元分析
节点力和节点载荷的区别：节点力是单元和节点之间的作用力， 如果取整个结构为研究对象，节点力是内力；而节点载荷是结构在节 点上所受到的外载荷或等效移置到节点上的外载荷。
f1
1
a22 a32 a42
a23 a33 a43
a24 a34 a44
000
aa3211 a41
（2-12）
由式（2-12）可知，单元刚度矩阵 K e 中第一列元素的物理意义：
为了使梁单元产生如图2.3(a)所示的位移，作用在单元节点上的节点 力。
qi a11 fi a12i a13 f j a14 j mi a21 fi a22i a23 f j a24 j q j a31 fi a32i a33 f j a34 j m j a41 fi a42i a43 f j a44 j
第三章 有限元法的直接刚度法
知识点：直梁和平面刚架的直接刚度法 重点： 梁单元杆和刚架单元的自由度
单元的坐标变换 难点：直接刚度法的计算过程与物理意义
Ⅰ. 关于梁和弯曲的概念
受力特点： 杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的 横向外力或外力偶作用。 变形特点： 直杆的轴线在变形后变为曲线。 梁——以弯曲为主要变形的杆件称为梁。
• 按照杆件结构划分单元的原则，对图2.1(a)所示结构划分 的单元如图2.1(b)所示
(a) 单元的节点位移
图2.1
(b) 单元的节点力
3.1直梁的有限元分析
任取一单元进行分析。根据材料力学的知识，梁单元上每个节点
的节点位移分量有2个：挠度 f 和转角 ，一般规定，向上为正，逆
时针为正。写成列阵形式见式（2-1），表示节点的节点位移。
3.1直梁的有限元分析
j i 在 点固定，令 点有如图2.3(a)所示的位移，即
有 fi 1，i 0 ，f j 0， j 0。代入公式（2-10）中，得
qi a11 a12 a13 a14 1 a11
mi
q
Hale Waihona Puke jm j
a21 aa3411
3.1直梁的有限元分析
a11 的物理意义：单元第１个节点位移分量等于1，其它节点位移
分量等于0时，对应的第1个节点力分量。
f
f
2 2 3
f1
1
3
f4
4
f2 2
f3 3
f 4 4 T
（2-7）
3.1直梁的有限元分析
根据材料力学的知识可知，在弹性范围和小变形的前提下，节点力 和节点位移之间是线性关系。所以，单元的节点力和节点位移的关系 可以表示为：
3.1直梁的有限元分析
简写为: pe K e e
（2-11）
其中 pe为单元节点力列阵， e为单元节点位移列阵，K e称为
单元刚度矩阵。单元刚度矩阵是描述单元节点力和节点位移之间关系
的矩阵。
单元刚度矩阵 K e 中各元素的物理意义：
(a) 单元的节点位移 图2.3 单元刚度矩阵第1列元素的意义
对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时，梁的挠曲线 与外力所在平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲。
本章讨论对称弯曲时梁的内力和应力。
(2) 梁的基本形式 悬臂梁
简支梁
外伸梁
3.1直梁的有限元分析 (a) 直梁模型
以直梁为例来说 明有限元法的直接刚 度法。
如图2.1(a)所示
直梁，已知E、I、 Z、M，
根据材料力学的知识，梁在外力作用下，横截面上的内力有2个：
剪力 Q 、弯矩 M。所以，梁单元上每个节点的节点力有2个，用 q、m
来表示，规定： q 向上为正， m 逆时针为正。写成列阵形式见式（2-
i 3），表示 节点的节点力。
pi
mqii
（2-3）
q q m 列图阵2表.2示(b，)所式示（梁2-单4）元称共为有单4个元节的点节力点分力量列：阵。i、 i、 、j m，j 可用一个
i
f
i i
f
i
i T
（2-1）
图2.2(a)所示梁单元有、两个节点，共有4个节点位移分
量：f i、 i、f
移列阵。
、j
j，可用一个列阵表示，式（2-2）称为单元的节点位
e fi i f j j T （2-2）
3.1直梁的有限元分析
p e qi
mi
qj
m T （2-4） j
3.1直梁的有限元分析
梁单元上每个节点的节点载荷有2个：横向力 Z 和力偶 ，
i 一般M规定， 向上为Z正， 逆时针M为正。写成列阵形式见式
（2-5），表示 节点的节点载荷。
同理：
Qi
MZ ii
Z
i
M i T