高中数学 经典资料 第121课--导数中的不等式放缩

第121课

导数中不等式放缩

基础知识：（1）在不等式放缩中，常见的函数不等式有①e 1x x ≥+；②1ln x x -≥.

特别地，要注意在具体题目中灵活变形应用这些不等式.如利用上面①、②易得1ln 2x x +≥+，e ln 2x x >+，e sin 1x x ≥+等不等式.

（2）与隐零点相关的放缩问题

常用方法：利用隐零点问题中常用的代换技巧表达出()f x 的最大值（最小值）0()f x ，再由0x 的取值范围求出0()f x 的最大值（最小值），即得到0()()f x f x M ≤≤（0()()f x f x M ≥≥），进而证得题目中所证不等式.

一、典型例题

1.已知函数()23e x f x x =+，()91g x x =-.比较()f x 与()g x 的大小，并加以证明.答案：()()

f x

g x >解析：设()()()

h x f x g x =-23e 91x x x =+-+，

∵()3e 29x h x x ¢=+-为增函数，∴可设()00h x ¢=，

∵()060h ¢=-<，()13e 70h ¢=->，∴()00,1x Î.

当0x x >时，()0h x ¢>；当0x x <时，()0h x ¢<.

∴()()0min h x h x =02003e 91x x x =+-+，

又003e 290x x +-=，∴003e 29x x =-+，

∴()2000min 2991h x x x x =-++-+2001110x x =-+()()00110x x =--.

∵()00,1x Î，∴()()001100x x -->，∴()min 0h x >，()()f x g x >.

2.已知函数()2e x f x x =-.

（1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程；

（2）求证：当0x >时，()e 2e 1

ln 1x x x x +--³+.

答案：（1）()e 21y x =-+；（2）见解析

解析：（1）()e 2x f x x ¢=-，由题设得()1e 2f ¢=-，()1e 1f =-，

()f x 在1x =处的切线方程为()e 2 1.

y x =-+（2）()e 2x f x x ¢=-，()e 2x f x =-，∴()f x ¢在()0,ln2上单调递减，在()ln2,+¥上单调递增，

所以()()ln222ln20f x f ³=->，所以()f x 在[]0,1上单调递增，

所以()()[]max 1e 1,0,1f x f x ==-Î.()f x 过点()1,e 1-，且()y f x =在1x =处的切线方程为()e 21y x =-+，故可猜测：当0,1x x >¹时，()f x 的图象恒在切线()e 21y x =-+的上方.

下证：当0x >时，()()e 21f x x ³-+，

设()()()e 21,0g x f x x x =--->，则()()()e 2e 2,e 2x x g x x g x =---=-，

()g x ¢在()0,ln2上单调递减，

在()ln2,+¥上单调递增，又()()03e 0,10,0ln21g g =->=<<，∴()ln20g ¢<，所以，存在()00,ln 2x Î，使得()00g x ¢=，

所以，当()()00,1,x x Î+¥时，()0g x ¢>；当()0,1x x Î时，()0g x ¢<，故()g x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在()1,+¥上单调递增，

又()()010g g ==，∴()()2e e 210x g x x x =----³，当且仅当1x =时取等号，故()e 2e 1

,0x x x x x +--³>.

又ln 1x x ³+，即

()e 2e 1ln 1x x x x +--³+，当1x =时，等号成立.

二、课堂练习1.已知()e ln x f x x =-.

（1）求()y f x =的导函数()y f x ¢=的零点个数；

（2）求证：()2f x >.

答案：（1）1个；（2）见解析

解析：（1）()()1e ln e x x f x x f x x ¢=-Þ=-，设()1e x g x x

=-，则()21e 0x g x x ¢=+>，()()1e x g x f x x

¢==-在()0,+¥上递增，(

)11e 10,202f f

=->=-<，存在()0000111,0e 02x x f x x ¢<<=Þ-=，所以()y f x =的导函数()y f x ¢=的零点个数为1个.

（2）由（1）可知，()y f x =在()00,x 上递减，在()0,x +¥上递增，

()()00000min 011e ln 2(1)2

x f x f x x x x x ==-=+><<，所以()2f x >.2.已知函数()()

23e 4cos 1x f x x ax x x =+++，()()e 1x g x m x =-+.

（1）当1m ³时，求函数()g x 的极值；

（2）若72a ³-，证明：当()0,1x Î时，()1f x x >+.

答案：（1）见解析；（2）见解析

解析：（1）()e x g x m ¢=-，由()0g x ¢=得ln x m =.由ln x m >得()0g x ¢>，ln x m <得()0g x ¢<，所以函数()g x 只有极小值()()ln ln 1ln g m m m m m m =-+=-.

（2）不等式等价于3214cos 1e x

x x ax x x ++++>，由（1）得：e 1x x ³+，所以()22e 1x x ³+，所以211e 1

x x x +<+，()0,1x Î，()3214cos 1e x x x ax x x ++++->()

314cos 11x ax x x x +++-+34cos 1x x ax x x x =++++214cos 1x x x a x =++++令()214cos 1h x x x a x =++++，则()()2124sin 1h x x x x ¢=--+，令()24sin I x x x =-,则()()24cos 212cos I x x x ¢=-=-，当()0,1x Î时，π1cos cos1cos 32x >>=，所以12cos 0x -<，所以()0I x ¢<，所以()I x 在()0,1上为减函数，所以()()00I x I <=，则()0h x ¢<，所以()h x 在()0,1上为减函数，因此，()()314cos12h x h a >=+

+，因为π4cos14cos 23>=，而72a ³-，所以34cos102

a ++>，所以()0h x >，而()0,1x Î，所以()1f x x >+.三、课后作业1.已知函数()()21ln f x x x x =-+，求证：当02x <£时，()12f x x >

.答案：见解析解析：只需证：ln 1ln 2x x x x -

->，令()ln g x x x =-，()ln 12x h x x =+，由()110g x x =-

=¢解得：()1,x g x =在(0,1)递减，在(1,2]上递增，故()()min 11g x g ==，由()21ln x h x x -¢=可知：()h x 在(0,2]上递增，故()()()max min 1ln2212

h x h g x +==<=，故()()h x g x <，即()12f x x >

.2.设函数()e sin x f x a x b =++.若()f x 在0x =处的切线为10x y --=，求,a b 的值.并证明当(0,)x Î+¥时，()ln f x x >.

答案：见解析

解析：由()e sin x f x a x b =++得()e cos x f x a x ¢=+，且(0)1f b =+.由题意得0(0)e 1f a =¢+=，所以0a =.

又()0,1b +在切线10x y --=上，所以0110b ---=，所以2b =-.