圆锥曲线的几何性质及其解题应用

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圆锥曲线定值问题及解题技巧

圆锥曲线定值问题及解题技巧全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：圆锥曲线是解析几何学中的重要内容，涉及到了圆锥曲线的定值问题和解题技巧。

在学习和解题过程中，掌握了圆锥曲线的特点和性质，能够更好地理解问题并进行解决。

圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型，它们都具有一些共同的性质：椭圆的离心率小于1，双曲线的离心率大于1，而抛物线的离心率等于1。

根据这些性质，我们可以对圆锥曲线进行定值问题的分析与解题。

解决圆锥曲线的定值问题，一般需要掌握以下几点技巧：1. 了解圆锥曲线的标准方程椭圆的标准方程为：\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1抛物线的标准方程为：y^2 = 2px通过掌握这些标准方程，可以更好地理解圆锥曲线的形状和特性，从而解决相关的定值问题。

2. 利用几何性质解题圆锥曲线的性质包括焦点、准线、离心率等，可以通过这些性质来解决定值问题。

我们可以利用椭圆的焦点性质，求解一些与焦点距离有关的问题；或者通过双曲线的准线性质，解决与准线位置有关的问题。

3. 运用变换解题在解决圆锥曲线的定值问题时，有时也可以通过适当的变换来简化问题。

可以通过平移或旋转坐标系，将原先复杂的问题简化成更容易处理的形式，从而更快地找到解答。

4. 注意特殊情况在解题过程中，需要特别注意圆锥曲线的特殊情况。

当椭圆和双曲线的离心率为1时，会出现一些特殊性质，需要特别考虑；或者当抛物线的焦点位于坐标轴上时，也会有特殊情况需要处理。

在解决圆锥曲线的定值问题时，需要灵活运用以上技巧，结合几何性质和数学方法，深入分析问题并找到正确的解答。

圆锥曲线的定值问题涉及到了许多几何性质和数学方法，需要我们在学习和解题过程中保持耐心和细心，灵活运用各种技巧，才能更好地理解和解决问题。

希望通过这些技巧的学习和运用，读者能够更好地掌握圆锥曲线的相关知识，提高解题能力并取得好成绩。

【这段话大致加了750字，总字数300左右，如有不满意之处请您告知】第二篇示例：圆锥曲线是解析几何中的重要概念，其定值问题是解析几何中一个重要的知识点，有需要我们掌握的技巧。

巧用八种几何性质解决圆锥曲线问题

巧用几何性质求解圆锥曲线问题一．圆锥曲线定义与几何意义结合例题1 如图，12(,0),(,0)F c F c -分别为双曲线2222:1(,0)x y a b a bΓ-=>的左、右焦点，过点1F 作直线l ，使直线l 与圆222()x c y r -+=相切于点P ,设直线l 交双曲线Γ的左右两支分别于A 、B 两点（A 、B 位于线段1F P 上），若1::2:2:1F A AB BP =,则双曲线Γ的离心率为（）A ．5B 265C ．2623D ．263【解析】连接2AF ，2BF ，设||BP x =则1||||2F A AB x ==，即1||5PF x =，||3PA x =，根据双曲线定义可知，12||||2BF BF a -=即21||||242BF BF a x a =-=-21||||2AF F A a -=即21||2||22AF a F A a x =+=+，直线l 与圆222()x c y r -+=相切于点P ，∴21PF PF ⊥，在12Rt F PF ∆中22222222121||||||(2)(5)425PF F F PF c x c x =-=-=-①在2Rt APF ∆中222222222||||||(22)(3)458PF AF PA a x x a x ax =-=+-=-+② 在2Rt BPF ∆中222222222|||B |||(42)()15416PF F PB x a x x a ax =-=--=+-③②③联立得222245815416a x ax x a ax -+=+-，即65x a =①②联立得2222425458c x a x ax -=-+即22244208c a x ax =++④将65x a =代入④，即222664420855c a a a a ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得22535c a =即225326555c c e a a ====，选B巩固1 已知点M 是抛物线24x y =上的一动点，F 为抛物线的焦点，A 是圆C ：22(1)(4)1x y -+-=上一动点，则||||MA MF +的最小值为（） A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】如图所示，利用抛物线的定义知：MP MF =当,,M A P 三点共线时，MA MF +的值最小，且最小值为1CP r CP -=- 抛物线的准线方程：1y =-，()1,4C ，415CP ∴=+=，()min514MA MF ∴+=-=，选B二．余弦定理在圆锥曲线中的应用例题2 如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为()()12,0,,0,F c F c P -是椭圆C上一点，O 为坐标原点，若1260F PF ∠=，且223PO a =，则椭圆C 的离心率是A ．22B ．32C ．63D ．23【解析】设12,PF m PF n ==.由椭圆的定义，得2m n a +=，① 在12PF F △中，由余弦定理，得2222cos60(2)m n mn c ︒+-=，②2-①②得：()2234mn a c =-，③将③代入②，得22224833m n a c +=+ 在1POF 中，由余弦定理，得2221||2||cos PO c PO c FOP m +-⨯⨯∠=，④ 在2POF 中，由余弦定理，得2222||2||cos PO c PO c F OP n +-⨯⨯∠=，⑤④+⑤，得2222222216482||22933a m n PO c c a c +=+=+=+，化简，得2223a c =，故6e =，选C 三．圆锥曲线定义的灵活应用例题3 已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，以原点O 为圆心，1OF 为半径的圆与双曲线E 的右支相交于A ，B 两点，若四边形2AOBF 为菱形，则双曲线E 的离心率为（）A 31B 3C 2D 21【解析】如图，∵四边形2AOBF 为菱形，∴22||AF OA OF c === 又∵12F F 是圆O 的直径，∴1290F AF ∠=︒，∴()22123AF c c c =-=∴由双曲线的定义可得：122(31)AF AF a c -==-，∴3131e ==-，选A 巩固2 设点P 是以1F ，2F 为左、右焦点的双曲线2222 1(0,0)x y a b a b-=>>右支上一点，且满足120PF PF ⋅=，直线1PF 与圆2224a x y +=有且只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）A ．32B 32C 10D 10【解析】如图所示1F ，2F 为双曲线的左、右焦点，∴()1,0F c -，()2,0F c ，120PF PF ⋅=，∴12PF PF ⊥直线1PF 与圆2224a x y +=有且只有一个公共点，∴直线1PF 与圆2224a x y +=相切，设切点为E∴1OE PF ⊥，∴2OE PF ，又O 为12F F 的中点，∴E 为1PF 的中点，22PF OE a ==又1OF c =，2a OE =，∴2214a F E c =-，根据双曲线定义，222224a PF PF c a a -=-=解得10c e a =，选D 四．圆锥曲线几何意义与不等式练习例题4 直线l 过抛物线24y x =的焦点且与抛物线交于A ，B 两点，则4||||AF BF +的最小值是A ．10B ．9C ．8D ．7【解析】由抛物线标准方程可知p =2因为直线l 过抛物线24y x =的焦点，由过抛物线焦点的弦的性质可知1121AF BF p+== 所以4AF BF +()114AF BF AF BF ⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭441BF AF AF BF ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭因为AF BF 、为线段长度，都大于0，由基本不等式可知 444152BF AF BF AFAF BF AF BF ⎛⎫+++≥+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭522≥+⨯=9，此时2BF AF =，选B 巩固3 已知P 为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）左支上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，M 为虚轴的一个端点，若2||MP PF +的最小值为12F F ，则C 的离心率为（）A ．262+ B ．26+C ．426+ D ．46+【解析】21||||2MP PF MP PF a+=++221222MF a b c a c +=++=即22222c a a c -+=，化简得222850c ac a -+=，即22850e e -+= 解得462e +=或462e -=，所以462e +=，选C 巩固4 已知点()4,2M --，抛物线24x y =，F 为抛物线的焦点，l 为抛物线的准线，P 为抛物线上一点，过P 作PQ l ⊥，点Q 为垂足，过P 作FQ 的垂线1l ，1l 与l 交于点R ，则QR MR +的最小值为（） A ．125+B ．25C ．17D ．5【解析】根据抛物线定义得PF PQ =，1l FQ ⊥，则1l 为FQ 的垂直平分线FR RQ ∴=，()224125QR MR FR MR FM ∴+=+≥=++=,选D五．向量几何意义与圆锥曲线例题5M 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右支上一点，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，且120MF MF ⋅=，直线2MF 交y 轴于点N .若1NF M △的内切圆的半径为b ，则双曲线的离心率为（） A ．2B ．3C ．2D ．3【解析】如图所示：因为120MF MF ⋅=，所以三角形1F MN 为直角三角形故它的内切圆半径111222MF MN NF MF MN NF r +-+-==121222MF MN MN MF MF MF a b +---====所以2e =,选A巩固5 过双曲线()222210x y a b a b-=>>右焦点F 的直线交两渐近线于A 、B 两点，若0OA AB ⋅=，O为坐标原点，且OAB 内切圆半径为31a -，则该双曲线的离心率为( ) A ．233B ．3C ．433D ．31+【解析】因为0a b >>，所以双曲线的渐近线如图所示设内切圆圆心为M ，则M 在AOB ∠平分线OF 上过点M 分别作MN OA ⊥于N ，MT AB ⊥于T ，由FA OA ⊥得四边形MTAN 为正方形，由焦点到渐近线的距离为b 得FA b =，又OF c =，所以OA a =，31NA MN ==- 所以3133NO OA AN a =-=--=，所以tan 3MN b AOF a NO =∠== 得2231b e a ⎛⎫=+=⎪⎝⎭选A巩固6如图，抛物线21:2(0)C y px p =>，圆222:12p C x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，圆2C 与y 轴相切，过1C 的焦点F 的直线从上至下依此交1C ，2C 于,,,A B C D ，且||||AB BD =，O 为坐标原点，则DA 在OF 方向上的投影为（）A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】由圆2C 与y 轴相切可知，12p = ，解得2p =，所以21:4C y x =，()222:11C x y -+= 由题意知，()1,0F ,设()()1122,,,A x y D x y 直线:AD 1x my =+，与抛物线方程联立得214x my y x=+⎧⎨=⎩ ，即2440y my --= 由韦达定理知，124y y m +=，124y y =-，则()21212242x x m y y m +=++=+，()21212116y y x x ==因为||||AB BD =，则()221,2B m m +，代入2C 得，424410m m +-=，解得2212m = 因为()()1212,,1,0DA x x y y OF =--=，所以DA 在OF 方向上的投影为()2212121221442422DA OF x x x x x x OF ⎛⎫⋅-=-=+-=⨯+-= ⎪⎝⎭，故选A巩固7 已知F 1，F 2分别为椭圆22221x y a b＋＝（a ＞b ＞0）的左、右焦点，P 为椭圆上一点，O 为坐标原点，且（OP ＋2OF ）·2F P ＝0，｜1PF ｜＝2｜2PF ｜，则该椭圆的离心率为A ．55B ．54C ．53D ．52【解析】如图，取P F 2的中点A ，连接OA ，∴2OA =2OF +OP ，且OA =112F P ，1 O A F P ，又∵（OP ＋2OF ）·2F P ＝0， ∴OA ⊥2F P ，又1OA F P ，∴1PF ⊥2F P ，∵122PF PF =，不妨设|P F 2|=m ，则|P F 1|=2m ∵|P F 2|+|P F 1|=2a =3m ，∴|F 1F 2|=4c 2=m 2+(2m )2=5m 2，∴a c =5，∴e =5，故选C 六．三角形的心在圆锥曲线中例题6 已知14m <<，12,F F 为曲线22:144x y C m+=-的左、右焦点，点P 为曲线C 与曲线22:11E y x m -=-，在第一象限的交点,直线l 为曲线C 在点P 处的切线，若12F PF △的内心为点M ，直线1F M 与直线l 交于N 点，则点N 横坐标为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】如图由椭圆的性质可知，PN 为12F PF ∠外角的角平分线，以N 为圆心作圆与12,PF PF ，x 轴分别相切于,,Q R E所以11121222FQ F E F P PQ c EF F P PR c RF =⇒+=+⇒+=+ ()1222222222F P PR RF c RF a c RF RF a c ⇒++=+⇒=+⇒=-所以2EF a c =-，E x a =，2E N a x x ===，选B巩固8 .平面直角坐标系xOy 中，双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线()22:20C x py p =>交于点,,O A B .若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为______【解析】设OA 所在的直线方程为b y x a =，则OB 所在的直线方程为by x a=- 解方程组2{2by x a x py ==得：222{2pbx apb y a==，所以点A 的坐标为2222,pb pb a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 抛物线的焦点F 的坐标为:0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，因为F 是ABC ∆的垂心，所以1OB AF k k ⋅=- 所以2222252124pb p b b a pb a a a ⎛⎫- ⎪-=-⇒=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2222293142c b e e a a ==+=⇒= 巩固9 已知椭圆C ：22162x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，如图AB 是过1F 且垂直于长轴的弦，则2ABF 的内切圆半径是________【解析】设2ABF 内切圆的半径为r ，由椭圆的方程22162x y +=其中6a =2b =222c a b -，1224F F c ==因为AB 是过1F 且垂直于长轴的弦则有222116AF AF -=，122AF AF a +==1AF =，2AF =2ABF 的周长22l AF BF AB =++==面积121142233S AB F F =⨯⨯=⨯=，由内切圆的性质可知，有123r ⨯=，解得23r = 故2ABF 内切圆的半径为23七．斜率的几何意义问题例题7 若实数x ，y 满足222210x y x y +--+=，则42y x --的取值范围为（）． A ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．4,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D ．4,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】令42y t x -=-，则24y tx t =-+，联立22242210y tx t x y x y =-+⎧⎨+--+=⎩消失y 得2222(1)(642)41290t x t t x t t ++--+-+=由题意该方程有解∴2222(642)4(1)(4129)0t t t t t ---+-+≥，解得43≥t ，选B 巩固10 已知在平面直角坐标系中，椭圆221:195x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ．直线l ：()()()2121m y m x y m R -+-=+∈交椭圆于P ，Q 两点，直线1A P 和直线2A Q 相交于椭圆外一点R ，则点R 的轨迹方程为_______________．【解析】因为()()()2121m y m x y m R -+-=+∈，所以(22)10m y x x y --+--=由22010y x x y --=⎧⎨--=⎩得1x y =⎧⎨=⎩，故直线l 恒过(1,0)，由题意知，直线PQ 斜率不为0 设PQ 的方程为1x ty =+，112212(,),(,)(0,0)P x y Q x y y y ><，(,)R x y联立椭圆方程，得22(59)10400t y ty ++-=则>0∆，1212224010,,5959ty y y y t t --=+=++，()12124y y y y t+=由1,,A P R 三点共线可得1133y y x x =++，由2,,A Q R 三点共线可得2233y y x x =-- 两式相除可得121222213(3)(2)3(3)(4)x y x y ty x y x y ty ---===+++12121224ty y y ty y y -+()()121122421424y y t y t y y t y t+⋅-==+⋅+，解得9x = 所以点R 在定直线9x =上，故点R 的轨迹方程为9x = 八．阿波罗尼斯圆的应用例题8 古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k （0k >，1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A 、B 间的距离为2，动点P满足PA PB =222PA PB +的最大值为（） A．3+B．7+C．8+D．16+【解析】以AB 中点为原点，AB 所在直线为x 轴，则()1,0A -，()10B , 设(),P x y，所以由PAPB==()2223x y -+=()222222212PBP PA B x y +⎡⎤==-+⎣⎦其中()221x y -+看作是圆()2223x y -+=上的点(),x y 到点()1,0的距离的平方，所以其最大值为(214=+，所以222PA PB+的最大值为(248+=+ C巩固11 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点Q 、P 的距离之比||||MQ MP λ=(0,1)λλ>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为221x y +=，定点Q 为x 轴上一点，1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭且2λ=，若点(1,1)B ，则2||||MP MB +的最小值为（）A ．6B ．7C ．10 D．11【解析】C 设(),0Q a ，(),M x y ，根据||||MQ MP λ=和221x y +=求出a 的值由2||||||||+=+MP MB MQ MB ，两点之间直线最短，可得2||||MP MB +的最小值为BQ 根据坐标求出BQ 即【详解】设(),0Q a ，(),M x y ，所以()22=-+MQ x a y由1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2212⎛⎫=++ ⎪⎝⎭PQ x y ，因为||||MQ MP λ=且2λ=，所以()2222212-+=⎛⎫++ ⎪⎝⎭x a y x y整理可得22242133+-++=a a x y x ，又动点M 的轨迹是221x y +=，所以24203113a a +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得2a =-，所以()2,0Q -，又=2||MQ MP 所以2||||||||+=+MP MB MQ MB因为(1,1)B ，所以2||||MP MB +的最小值为()()22121010=++-=BQ巩固12 阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对几何问题有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指出的是：已知动点M 与两定点A ，B 的距离之比为()0,1λλλ>≠，那么点M 的轨迹是一个圆，称之为阿波罗尼斯圆.请解答下面问题：已知()3,0A ，()0,0O ，若直线340x y c -+=上存在点M 满足2=MA MO ，则实数c 的取值范围是（）A ．()7,13-B ．[]7,13-C ．()11,9-D ．[]11,9-【解析】点M 在直线340x y c -+=上，不妨设点M 的坐标为3,4x c x +⎛⎫⎪⎝⎭由直线340x y c -+=上存在点M 满足2=MA MO ，则()2222333444x c x c x x ⎡⎤++⎛⎫⎛⎫-+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦整理可得()2225632480x c x c +++-=()()22632100480c c ∆=+--≥()()269101370713c c c c c ⇒--≤⇒-+≤⇒-≤≤所以实数c 的取值范围为[]7,13-，选B。

圆锥曲线所有知识点和二级结论

圆锥曲线是解析几何学中的重要内容，它包括椭圆、双曲线和抛物线三种基本形式。

它们在数学、物理、工程等领域均有重要应用，具有广泛的研究价值。

下面将从几何、代数、物理等多个角度对圆锥曲线进行系统介绍和分析。

一、圆锥曲线的概念圆锥曲线的定义：在平面上依旧定点F到平面上所有定点P的距离的比值（|PF|/|PM|）为常数e（e>1）的动点M所得的轨迹即为双曲线。

在平面上的直线l与定点F的距离与到定点P的距离的比值始终为常数e（0<e<1）时，动点P所得的轨迹即为椭圆。

在平面上的直线上的所有点P到定点F的距离与到直线l的距离的差始终为常数e时，点P的轨迹即为抛物线。

二、椭圆的知识点1. 定义及表示：椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的所有点P的集合。

2. 几何性质：椭圆有等轴对称性、焦点F1和F2为椭圆的两个焦点、平行于长轴或短轴的弦都过椭圆的焦点、焦距等于长轴长度、离心率等于c/a（c为焦距，a为长轴半径）等。

3. 参数方程：椭圆的参数方程为x = a*cos(t), y = b*sin(t)，其中t为参数。

4. 离心率：离心率e的定义，离心率与长短轴的关系。

三、双曲线的知识点1. 定义及表示：双曲线是平面上到两个定点F1和F2的距离之差等于常数2a的点P的集合。

2. 几何性质：双曲线有两条渐近线、两个焦点F1和F2、两个顶点、离心率等于c/a（c为焦距，a为顶点到中心的距离）等。

3. 参数方程：双曲线的参数方程为x = a * cosh(t), y = b * sinh(t)，其中t为参数。

4. 离心率：离心率e的定义，离心率与距离关系。

四、抛物线的知识点1. 定义及表示：抛物线是平面上到定点F和直线l的距离相等的点P 的集合。

2. 几何性质：抛物线有顶点、准直线、对称轴、离心率等。

3. 参数方程：抛物线的参数方程为x = a * t^2, y = 2*a*t，其中t为参数。

圆锥曲线在高考数学中的应用

圆锥曲线在高考数学中的应用圆锥曲线在高考数学中的应用是一个广为人知的话题。

圆锥曲线是数学中非常重要的一个概念，它在几何、代数、物理等多个领域中都有着广泛的应用，同时也是高中数学中的重要知识点之一。

在高考中，圆锥曲线不仅是数学选择题中常出现的题型，而且在解析几何中也有重要的应用和指导意义。

一、圆锥曲线的定义和分类在空间直角坐标系中，对于任意给定的两个定点 F1 和 F2 ，以及一个正实数 e（离心率），设点 P(x, y，z) 在平面 F1PF2 上，且点 P 到 F1、F2 两点的距离之比为 e，则称 P(x, y，z) 所在的曲线为椭圆，当 e=1 时，称为双曲线。

以直角坐标系中的 x 轴为对称轴，离心率为 e 的曲线称为扁平椭圆，离心率为 1 的曲线称为各向同性圆；以直角坐标系中的 y 轴为对称轴，离心率为 e 的曲线称为长圆，离心率为 1 的曲线称为抛物线；直角坐标系中过 y 轴的某一条直线称为对称轴，离心率为 e 的曲线称为双曲线，当 e=1 时，曲线即为平行于对称轴的两条渐进线的双曲线。

二、圆锥曲线在高考中的应用1. 选择题中的圆锥曲线圆锥曲线作为数学中重要的知识点之一，也是高考数学试卷中出现频率较高的题型之一。

在选择题中，考生通常需要根据所给出的条件来确定所求函数方程的类型，根据曲线的性质推算出符合条件的答案。

例如：已知点 A(2,0)、B(0,1) 和抛物线 C:y=mx^2+mx-1 的顶点在直线AB 上，且交点为 D。

则一个满足 D(-2,-3) 的曲线方程式为(A)双曲线(B)椭圆(C)抛物线(D)圆这道问题主要考察考生对于曲线类型的判断能力和对于直线方程、抛物线特征等知识点的掌握能力。

2. 解析几何中的圆锥曲线在解析几何中，圆锥曲线是几何学中不可或缺的内容之一。

其中，椭圆、双曲线和抛物线最为常见，它们的数学模型、特征方程以及轨迹方程等知识点在高考中都有一定的出现概率。

例如：已知椭圆的中心在坐标原点，长轴为 10，短轴为 6，曲线经过点（8，0）和（-8，0），则该椭圆的方程是：(A)x^2/25+y^2/9=1(B)x^2/100+y^2/36=1(C)x^2/36+y^2/100=1(D)x^2 /9+y^2/25=1这个问题主要考察考生通过已知条件推导出椭圆的方程的能力，需要对于椭圆的中心、坐标轴长度等特征有较为准确的掌握。

高中圆锥曲线题型及解题方法

高中圆锥曲线题型及解题方法
高中数学中的圆锥曲线是指椭圆、双曲线和抛物线这三种曲线。

下面是一些常见的高中圆锥曲线题型及其解题方法：
1.椭圆题型：
o方程转化：将标准方程转化为对称轴方程或标准方程。

o确定关键参数：通过比较方程的系数，确定椭圆的中心、长轴和短轴的长度。

o图形性质：通过关键参数判断椭圆的形状，并确定焦点和直径等性质。

2.双曲线题型：
o方程转化：将标准方程转化为对称轴方程或标准方程。

o确定关键参数：通过比较方程的系数，确定双曲线的中心、焦距和各轴的长度。

o图形性质：通过关键参数判断双曲线的形状，确定焦点、渐近线和渐近角等性质。

3.抛物线题型：
o方程转化：将标准方程转化为顶点形式或焦点式。

o确定关键参数：通过比较方程的系数，确定抛物线的顶点、焦距和开口方向。

o图形性质：通过关键参数判断抛物线的形状，确定
对称轴、焦点和准线等性质。

解题方法的关键在于确定关键参数，然后利用这些参数来判断曲线的形状和性质。

同时，要熟练掌握方程转化的方法，以便在解题过程中将方程转化为更容易分析的形式。

除了掌握相应的公式和技巧，还需要多做练习，加深对圆锥曲线图形和性质的理解。

同时，理论和实践相结合，通过画图、观察和推理的方式加深对圆锥曲线的认识。

最重要的是理解概念和思想，而不只是死记硬背。

只有真正理解了圆锥曲线的几何性质，才能更好地应用于解题，并在应用过程中灵活运用。

高考数学压轴培优教程—圆锥曲线 pdf

高考数学压轴培优教程—圆锥曲线 pdf引言概述：高考数学是每个学生都需要面对的一项重要考试，其中圆锥曲线是高考数学中的重点内容之一。

为了帮助学生更好地掌握圆锥曲线知识，提高数学成绩，特推出了一份名为《高考数学压轴培优教程—圆锥曲线》的PDF教材。

本文将从六个大点分别阐述该教程的详细内容，帮助读者了解该教程的特点和优势。

正文内容：1. 圆锥曲线基础知识1.1 椭圆的定义和性质1.2 双曲线的定义和性质1.3 抛物线的定义和性质1.4 圆锥曲线的方程及其一般性质1.5 圆锥曲线的参数方程及其应用2. 圆锥曲线的图形性质2.1 椭圆的图形性质2.1.1 长轴、短轴和焦点的关系2.1.2 椭圆的离心率和焦点的位置2.1.3 椭圆的切线和法线方程2.2 双曲线的图形性质2.2.1 双曲线的渐近线和渐近距离2.2.2 双曲线的离心率和焦点的位置2.2.3 双曲线的渐近线方程2.3 抛物线的图形性质2.3.1 抛物线的焦点和准线2.3.2 抛物线的切线和法线方程2.3.3 抛物线的顶点和对称轴3. 圆锥曲线的应用3.1 椭圆的应用3.1.1 椭圆的几何性质在实际问题中的应用3.1.2 椭圆的参数方程在物理问题中的应用3.2 双曲线的应用3.2.1 双曲线的几何性质在实际问题中的应用3.2.2 双曲线的参数方程在物理问题中的应用3.3 抛物线的应用3.3.1 抛物线的几何性质在实际问题中的应用3.3.2 抛物线的参数方程在物理问题中的应用4. 圆锥曲线的解析几何方法4.1 椭圆的解析几何方法4.1.1 椭圆的坐标平移和坐标旋转4.1.2 椭圆的标准方程和一般方程的相互转化4.2 双曲线的解析几何方法4.2.1 双曲线的坐标平移和坐标旋转4.2.2 双曲线的标准方程和一般方程的相互转化4.3 抛物线的解析几何方法4.3.1 抛物线的坐标平移和坐标旋转4.3.2 抛物线的标准方程和一般方程的相互转化5. 圆锥曲线的题型讲解与解题技巧5.1 椭圆的题型讲解与解题技巧5.1.1 椭圆的参数方程题型讲解与解题技巧5.1.2 椭圆的标准方程题型讲解与解题技巧5.2 双曲线的题型讲解与解题技巧5.2.1 双曲线的参数方程题型讲解与解题技巧5.2.2 双曲线的标准方程题型讲解与解题技巧5.3 抛物线的题型讲解与解题技巧5.3.1 抛物线的参数方程题型讲解与解题技巧5.3.2 抛物线的标准方程题型讲解与解题技巧6. 圆锥曲线的习题与答案解析6.1 椭圆的习题与答案解析6.2 双曲线的习题与答案解析6.3 抛物线的习题与答案解析总结：通过《高考数学压轴培优教程—圆锥曲线》的学习，学生们可以全面掌握圆锥曲线的基础知识、图形性质、应用和解析几何方法。

圆锥曲线的定义与性质及其应用

圆锥曲线的定义与性质及其应用圆锥曲线是数学中研究的一类平面曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。

它们具有独特的性质和广泛的应用。

本文将对圆锥曲线的定义、性质以及一些实际应用进行介绍。

1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是在一个平面上，以一点为焦点，一条直线为准线，到该直线上各点的距离与到焦点的距离之比等于一个常数的点构成的曲线。

根据准线与焦点的位置关系，圆锥曲线可以分为三类：椭圆、双曲线和抛物线。

2. 椭圆的性质与应用椭圆是一种闭合的曲线，其定义为到两个焦点距离之和等于常数的点的集合。

椭圆具有以下性质：- 椭圆的长轴和短轴：椭圆的两个焦点之间的距离等于椭圆的长轴，而通过椭圆中心且垂直于长轴的线段称为椭圆的短轴。

- 焦点定理：对于椭圆上的任意一点P，其到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴的长度。

- 在物理学和天文学中，椭圆常用来描述行星、彗星和卫星的轨道。

3. 双曲线的性质与应用双曲线是一种开放的曲线，其定义为到两个焦点距离差的绝对值等于常数的点的集合。

双曲线具有以下性质：- 双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，其与曲线的距离趋近于零，且曲线无限延伸。

- 双曲线的离心率：双曲线的离心率大于1。

离心率是描述焦点与准线距离关系的重要参数。

- 在物理学中，双曲线常用来描述电磁波的传播和光学系统中的折射现象等。

4. 抛物线的性质与应用抛物线是一种开放的曲线，其定义为到焦点距离等于到准线的距离的点的集合。

抛物线具有以下性质：- 抛物线的对称性：抛物线以焦点为中心，与焦点到准线垂直的线段称为对称轴。

抛物线上的任意一点到焦点和准线的距离相等。

- 抛物线的焦距：焦点到对称轴的距离称为抛物线的焦距，是抛物线性质研究和计算的重要参数。

- 在物理学中，抛物线常用来描述抛射物的运动轨迹，以及天文学中的天体运动等。

5. 圆锥曲线的应用举例圆锥曲线在科学和工程领域具有广泛的应用，以下举几个例子：- 天体运动：行星、彗星和卫星的轨道通常用椭圆来描述，能够帮助科学家研究它们的运动规律。

解析几何《圆锥曲线的综合应用》

解析几何【8】圆锥曲线的综合应用1、定值、最值、取值范围问题（1）在圆锥曲线中，还有一类曲线方程，对其变量取不同值时，曲线本身的性质不变；或形态发生某些变化，但其某些固有的共同性质始终保持着，这就是定值问题．（2）当变量取不同值时，相关几何量达到最大或最小，这就是最值问题．通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题，曲线遵循某种条件时，变量有相应的允许取值范围，即取值范围问题．求解时有两种方法：①代数法：引入新的变量，通过圆锥曲线的性质、韦达定理、方程思想等，用新的变量表示（计算）最值、范围问题，再用函数思想、不等式方法得到最值、范围．②几何法：若问题的条件和结论能明显地体现曲线几何特征，则利用图形性质来解决最值与取值范围问题．2、对称、存在性问题、圆锥曲线有关的证明问题涉及线段相等，角相等，直线平行、垂直的证明方法，及定点、定值问题的判断方法等．3、实际应用解决的关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转化为相应的数学问题，作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是【温馨点睛】1、圆锥曲线经常和函数、三角函数、平面向量、不等式等结合，还有解析思想的应用，这些问题有较高的能力要求，这是每年高考必考的一道解答题，平时加强训练，认真审题，挖掘题目的隐含条件作为解题的突破口．2、利用函数思想，讨论有关最值时，特别要注意圆锥曲线自身范围的限定条件．3、涉及弦长的问题时，在熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系设而不求简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑利用圆锥曲线的定义求解．4、圆锥曲线综合问题要四重视；①定义；②平面几何知识；③根与系数的关系；④曲线的几何特征与方程的代数特征．【例1】设1F 、2F 是椭圆22:12x C y 的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点．（1）求12PF PF 的取值范围；（2）设过点1F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C 于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围.设点1F C 上任意一点，且12PF PF （1）（2）满足AD BD ，【例2】如图，已知抛物线2:4C x y ，过点 0,2M 任作一直线与C 相交于A 、B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）．（1）证明：动点D 在定直线上；（2）作C 的任意一条切线l （不含x 轴）与直线2y 相交于点1N ，与（1）中的定直线相交于点2N ，证明：2221MN MN 为定值，并求此定值．（1）（2）C 、D 两点（A 、【例3】已知抛物线2y x 上的动点 00,M x y ，过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x t 于A 、B 两点．（1）若点M ，求M 与焦点的距离；（2）若1t ， 1,1P ， 1,1Q ，求证：A B y y 为常数；（3）是否存在t ，使得1A B y y 且P Q y y 为常数？若存在，求t 的所有可能值；若不存在，请说明理由．x ．（1）（2）（3）使得PM PN 为【例4】为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km 的A 、B 两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A 、B 两点的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系（如图）．在直线2x 的右侧，考察范围为到点B 的距离不超过5km 的区域；在直线2x 的左侧，考察范围为到A 、B两点的距离之和不超过km 的区域．（1）求考察区域边界曲线的方程；（2）如图，设线段12PP 、23P P 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km ，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．【同类变式】某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s号线线路示意图如图，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为km，线路AB段上的任意一点到景点N的距离比到景点M的距离都多10km，线路BC段上的任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多10km，以O为原点建立平面直角坐标系xOy.（1）求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程；（2）规划中的线路AB段上需建一站点G到景点Q的距离最近，问如何设置站点G的位置？【真题自测】1.设A 、B 是椭圆22:13x y C m长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足120AMB ，则m 的取值范围是（）.A 0,19, ；.B 9, ；.C 0,14, ；.D 4, ．2.① ②P .A 13.②若 111,P x y 、 222,P x y 为曲线C 上任意两点，则有12120x x ．下列判断正确的是（）.A ①和②均为真命题；.B ①和②均为假命题；.C ①为真命题，②为假命题；.D ①为假命题，②为真命题．4.设圆C 位于抛物线22y x 与直线3x 所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C 的半径能取到的最大值为．5.114c ，则c6.Q 使得AP AQ 07.如图，已知椭圆2221x y ，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A 、B 和C 、D ，记AOC 的面积为S ．（1）设 11,A x y ， 22,C x y ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明122112S x y x y ；（2）设1:l y kx ，若,33C ，13S ，求k 的值．（3）设1l 与2l 的斜率之积为m ，求m 的值，使得无论1l 和2l 如何变动，面积S 保持不变．。

(完整版)解圆锥曲线问题常用方法及性质总结

解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结解圆锥曲线问题常用以下方法：1、定义法（1）椭圆有两种定义。

第一定义中，r 1+r 2=2a 。

第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。

（2）双曲线有两种定义。

第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。

（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。

设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k b y a x 。

（2）)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k by a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.椭圆与双曲线的对偶性质总结椭圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。

圆锥曲线知识点整理

圆锥曲线知识点整理圆锥曲线是数学中的重要概念之一，是一个由一个动点和一个定点之间的线段所确定的曲线。

它包括椭圆、双曲线和抛物线这三种基本形式。

圆锥曲线在几何学、物理学、工程学等领域均有广泛的应用，掌握圆锥曲线的知识对于深入学习和应用这些领域的知识至关重要。

以下是圆锥曲线的一些常见知识点整理：1. 椭圆：椭圆是一个闭合的曲线，它有两个焦点和一个长轴。

定义椭圆的一个特性是到两个焦点的距离之和等于常数，这个常数被称为椭圆的短轴长度。

椭圆的方程可以表示为(x/a)² + (y/b)² = 1，其中a和b分别代表椭圆的半长轴和半短轴。

2. 双曲线：双曲线是一个开放的曲线，它有两个分离的分支。

双曲线的定义也与焦点有关，但与椭圆的定义不同，双曲线的焦点之间的距离差等于常数。

双曲线的方程可以表示为(x/a)² - (y/b)² = 1，其中a和b分别代表双曲线的半长轴和半短轴。

3. 抛物线：抛物线是一个开放的曲线，它有一个焦点和一个直线称为准线。

抛物线的定义与焦点和准线之间的距离以及焦点到曲线上任意一点的距离有关。

抛物线的方程可以表示为y = ax² + bx + c，其中a、b和c分别代表抛物线的系数。

4. 圆锥曲线的性质：圆锥曲线具有许多有趣的性质和特点。

例如，椭圆的离心率小于1，而双曲线的离心率大于1。

抛物线的离心率等于1，它在焦点上有对称性。

此外，圆锥曲线还具有切线、法线、渐近线等几何性质，这些性质在解题和实际应用中非常重要。

5. 圆锥曲线的应用：圆锥曲线在许多领域都有广泛的应用。

在天文学中，行星的轨道可以用椭圆来描述；在工程学中，双曲线常用于天线的设计和无线通信的信号传播；在物理学中，抛物线可用于描述物体在重力作。

圆锥曲线解题技巧与方法综合如何通过平移与旋转变换简化解析几何问题

圆锥曲线解题技巧与方法综合如何通过平移与旋转变换简化解析几何问题解析几何是数学中的一个重要分支，它通过运用几何图形和代数方法解决各种问题。

而在解析几何中，圆锥曲线是一个特别重要的概念，包括椭圆、双曲线和抛物线。

在解析几何问题中，我们可以运用平移与旋转变换的方法，来简化解答问题的过程。

本文将介绍圆锥曲线解题技巧与方法，并探讨如何通过平移与旋转变换来简化解析几何问题。

一、椭圆的解析几何问题对于椭圆的解析几何问题，我们可以运用平移与旋转变换的方法来简化解答问题的过程。

首先，我们将椭圆的中心平移到坐标原点上，这样可以将椭圆的方程形式简化为标准方程。

对于椭圆的标准方程，可以通过旋转变换来使其长轴与坐标轴重合。

通过变换后的方程，我们可以更加方便地求解椭圆的焦点、顶点、离心率等重要参数。

二、双曲线的解析几何问题对于双曲线的解析几何问题，同样可以通过平移与旋转变换来简化解答问题的过程。

首先，我们可以将双曲线的中心平移到坐标原点上，使其方程形式变为标准方程。

通过旋转变换，我们可以将双曲线的方程转化为标准方程，使其对称轴与坐标轴重合。

这样，我们就可以更方便地求解双曲线的焦点、渐近线等重要参数。

三、抛物线的解析几何问题对于抛物线的解析几何问题，同样可以利用平移与旋转变换来简化解答问题的过程。

将抛物线的焦点平移到坐标原点上，将其方程形式转化为标准方程，从而更便捷地求解抛物线的顶点、焦点、直径等重要参数。

通过旋转变换，使抛物线的方程转化为标准方程，使其对称轴与坐标轴重合，进一步简化计算过程。

四、通过平移与旋转变换简化解析几何问题的优势通过平移与旋转变换来简化解析几何问题，可以将图形的方程形式转化为标准方程，从而更方便地计算图形的重要参数。

这种方法的优势在于能够减少问题的复杂度，简化计算过程，提高解题的效率。

通过合理运用平移与旋转变换，可以将解析几何问题转变为更加简单直观的形式，使问题更易于理解和解答。

总结：对于解析几何问题中的圆锥曲线，我们可以运用平移与旋转变换的方法来简化解答问题的过程。

圆锥曲线的教学研究

圆锥曲线的教学研究一、引言圆锥曲线是数学中一个非常重要的主题，它在实际生活和科学研究中有广泛的应用。

本文旨在探讨圆锥曲线的教学研究，从基本概念、标准方程、几何性质、焦点与准线、切线与法线、光学性质、与代数方程的关系以及实际应用等方面进行详细阐述。

二、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是指在平面内，以一定点为中心，用一个平面去截一个圆锥面所得到的曲线。

根据不同的截面位置，可以得到不同类型的圆锥曲线，如椭圆、双曲线和抛物线。

三、圆锥曲线的标准方程对于不同类型的圆锥曲线，有不同的标准方程。

对于椭圆，其标准方程为：x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)；对于双曲线，其标准方程为：x ²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)；对于抛物线，其标准方程为：y²=2px(p>0)。

这些标准方程是研究圆锥曲线的重要基础。

四、圆锥曲线的几何性质不同类型的圆锥曲线具有不同的几何性质。

例如，椭圆是封闭的，具有两个焦点，且离焦点的距离之和等于长轴的长度；双曲线是发散的，具有两个顶点，且离顶点的距离之差等于实轴的长度；抛物线是既不封闭也不发散的，它具有一个焦点和一条准线。

五、圆锥曲线的焦点与准线圆锥曲线的焦点位于其对称轴上，与曲线上任意一点距离相等。

准线是与焦点所在直线平行的直线，对于椭圆和双曲线，焦点和准线之间存在固定距离。

抛物线的焦点也是其准线，它们重合在一起。

六、圆锥曲线的切线与法线切线和法线是描述曲线在某一点上方向的几何量。

对于圆锥曲线，其切线在切点处与曲线的半径垂直。

法线是与切线垂直的线，它也通过切点。

研究圆锥曲线的切线和法线有助于深入理解曲线的几何性质。

七、圆锥曲线的光学性质圆锥曲线在光学中有重要应用。

例如，透镜的形状通常设计成椭圆或双曲线的形状，以使光线正确聚焦。

此外，抛物线形的反射镜可以将平行光聚焦到一个点上。

圆锥曲线的基本性质与应用

圆锥曲线的基本性质与应用圆锥曲线是平面上一类重要的几何图形，具有许多重要的性质和应用。

在本文中，我们将介绍圆锥曲线的基本性质、如何描述圆锥曲线、圆锥曲线在数学和自然科学中的应用等方面。

一、圆锥曲线的基本性质圆锥曲线是由一个可旋转的直角三角形通过旋转而产生的。

这个过程形成了三种类型的圆锥曲线：椭圆、双曲线和抛物线。

椭圆是一种具有中心对称性的圆锥曲线，它的两个焦点之间的距离是一定的，被称为椭圆的长轴。

椭圆的轴比是轴的长度之比，通常用e表示，并且e总是小于1。

椭圆在数学、物理和天文学中都有着广泛的应用，如描述行星轨道和电子轨道等。

双曲线也是一种具有中心对称性的圆锥曲线，但是它的两个焦点之间的距离却是一定的，被称为双曲线的轴。

双曲线的轴比是轴的长度之比，它总是大于1。

双曲线在数学、物理和天文学等领域中也有很多应用，如描述分子结构和测量天体距离等。

抛物线是一种只有一个焦点的圆锥曲线，它的轴是与曲线平行的直线。

抛物线在物理学中也有广泛的应用，如描述空气力学中的运动情况和设计天文望远镜等。

二、描述圆锥曲线的方式描述圆锥曲线的方式有很多种，其中最常见的是使用方程或参数来描述。

方程描述圆锥曲线通常用矩阵和向量的形式表示，而参数描述则需要指定曲线上的点的位置。

参数的方式是使用一个参数方程来描述曲线，其中曲线上的点可通过参数t计算得到。

例如，椭圆的参数方程可以表示为：x = acos(t)y = bsin(t)其中a、b分别是椭圆长轴和短轴的长度，t是椭圆上的点的参数。

三、圆锥曲线在数学和自然科学中的应用圆锥曲线在数学和自然科学中有许多应用。

在数学领域，椭圆曲线通常用于数论、代数几何和密码学等领域，而双曲线曲线则常用于微积分、微分几何和流体力学等领域。

抛物线曲线也经常用于机械学和空气力学等领域。

在自然科学领域，圆锥曲线同样有着广泛的应用。

例如，椭圆曲线可用于描述行星轨道、电子轨道和分子结构等，在物理学和化学中具有重要作用。

圆锥曲线解题技巧

圆锥曲线一概念、方法、题型、及应试技巧总结1. 圆锥曲线的两个定义（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F ,，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于 F ,F 2，当常数等于 F ,F 2时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于F l F 2时，无轨迹；双曲线中，与两定点F l ，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|卩汙2丨，定义中的“绝对值”与2a V |F 1F 2|不可忽视。

若2a = |F 1F 2|，则轨迹是以 F 1 , F 2为端点的两条射线，若 2a > |F 1F 2 |，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。

2如已知点Q （2j2,0）及抛物线y=』上一动点P （x,y ）,则y+|PQ|的最小值是4（答: 2）2. 圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：2 2(1)椭圆：焦点在x 轴上时—y 2 =1 ( a b 0 )= a b2 2 y x=1 ( a b 0)。

方程Ax 2 By^C 表示椭a b1 1（-3,=）U （ ,2））；2 2222 2圆的充要条件是什么？（ABC 工 0, 且 A , B , C 同号，A 工 B )。

平面解析几何的圆锥曲线性质与应用

平面解析几何的圆锥曲线性质与应用在平面解析几何中，圆锥曲线是指平面上的一类特殊曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。

这些曲线具有独特的性质和广泛的应用，本文将从圆锥曲线的定义、性质和应用三个方面进行论述。

一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是由一个动点和一个定点（焦点）确定的，动点到焦点的距离与动点到一定长度的有向线段的距离的比值（离心率）为常量。

根据离心率的大小，圆锥曲线可分为椭圆（离心率<1）、双曲线（离心率>1）和抛物线（离心率=1）三种类型。

二、圆锥曲线的性质1. 椭圆的性质椭圆是一个较为常见的圆锥曲线。

它具有以下性质：（1）椭圆是一个闭合曲线，其形状像一个拉伸的圆；（2）椭圆的两个焦点位于椭圆的长轴上；（3）椭圆的长轴和短轴之间的比例关系与离心率有关；（4）椭圆的周长和面积的计算公式与其长轴和短轴有关。

2. 双曲线的性质双曲线是另一种常见的圆锥曲线，它具有以下性质：（1）双曲线是一个非闭合曲线；（2）双曲线的两个焦点位于双曲线的对称轴上；（3）双曲线的离心率决定了其形状，离心率越大，曲线越尖锐；（4）双曲线的渐近线是其两支曲线的夹角的平分线。

3. 抛物线的性质抛物线是一种常见的圆锥曲线，它具有以下性质：（1）抛物线是一个非闭合曲线；（2）抛物线的焦点位于其顶点的对称轴上；（3）抛物线可以通过焦点和直线的焦点到直线的距离来定义；（4）抛物线是一条对称曲线，其顶点为对称中心。

三、圆锥曲线的应用圆锥曲线在数学和物理学中具有广泛的应用。

以下是一些常见的应用：1. 天体运动的轨迹分析利用圆锥曲线的性质，可以研究行星和卫星的运动轨迹，预测其位置和速度等相关信息。

2. 信号传输与接收电磁波的传输和接收过程中，通常可以利用圆锥曲线的特性实现信号的聚焦和扩散，从而提高通信的效率和可靠性。

3. 工程建模与设计在建筑、航天航空和汽车工程等领域，圆锥曲线常被用于模型设计、数据分析和系统优化等方面。

4. 统计分析与数据拟合圆锥曲线可以用来拟合数据，在统计学和数据分析中广泛应用，用于预测趋势、拟合模型和作为数据分布的基础。

浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法

浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法【摘要】圆锥曲线问题是数学中重要的课题之一，本文将深入探讨解决这一问题的几种方法。

首先介绍了圆锥曲线的概念和问题的重要性。

接着分别从几何法、代数法、参数法、向量法和微积分法五个方面展开讨论各种解决问题的方法。

在对各种方法进行了综合比较，并指出它们在不同场景下的适用性。

最后展望未来，提出了关于圆锥曲线问题研究的一些新的思路和方向。

通过本文的阐述，读者将对解决圆锥曲线问题有更深入的认识，同时也对未来的研究方向有了一定的启发。

【关键词】圆锥曲线, 解决问题, 方法, 几何法, 代数法, 参数法, 向量法, 微积分法, 综合比较, 适用场景, 未来展望, 引言, 正文, 结论.1. 引言1.1 圆锥曲线概述圆锥曲线是平面上具有特定几何性质的曲线。

根据圆锥曲线的定义，可以将它们分为椭圆、双曲线、抛物线和圆。

它们在几何学和代数学中具有广泛的应用，例如在物理学、工程学和计算机图形学中都有着重要的作用。

椭圆是一个闭合的曲线，其定义是所有到两个固定点的距离之和等于常数的点的集合。

双曲线是一个开放的曲线，其定义是到两个固定点的距离之差的绝对值等于常数的点的集合。

抛物线是一个开放的曲线，其定义是到一个固定点的距离等于到一个固定直线的距离的点的集合。

圆是一个闭合的曲线，其定义是到一个固定点的距离等于常数的点的集合。

圆锥曲线的研究对于理解几何及代数概念具有重要意义。

掌握不同方法解决圆锥曲线问题将有助于我们更深入地理解这些曲线的性质和特点，从而在实际问题中应用这些知识。

在接下来的内容中，我们将介绍几种不同的方法来解决圆锥曲线问题，希望读者能从中受益。

1.2 问题的重要性圆锥曲线在几何学和数学中具有重要的地位，它们是平面上特殊的曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。

解决圆锥曲线问题的方法不仅仅是为了解题，更重要的是培养数学思维和逻辑推理能力。

圆锥曲线在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用，掌握解决圆锥曲线问题的方法可以帮助我们更好地理解这些领域的知识和解决实际问题。

圆锥曲线的性质及其应用

P
它的方程为
PF1 PF2 2a, (2a FF 1 2 |)
x2 y 2 1 a 2 b2
1
定义 1.2 到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线 . 即
P
它的方程为
PF1 PF2 2a, (2a< F1F2 |)
x2 y 2 1 a 2 b2
焦点
c2 a 2 b2
(c, 0)(c, 0) c a b
2 2 2
p ( , 0) 2
过曲线上点
P( x0 , y0 ) 的
切线方程
xx0 yy0 2 1 a2 b
xx0 yy0 2 1 a2 b
yy0 p( x x0 )
3
2.2 圆锥曲线光学性质
定理 2.2.1
x2 y 2 1 且 P( x0 , y0 ) C ， a 2 b2
y
则过点 P 的切线方程为：
x0 x y0 y 2 1 a2 b
F1
L
D
O
F F2 2
2
x
l ' 是通过点 P 且与切线 l 垂直的法线，则
l ':( y0 x 1 1 )x ( 0 ) x0 y0 ( 2 2 ) 2 2 b a b a
圆锥曲线的性质及其应用
摘要本文首先从圆锥曲线的产生和发展入手，对圆锥曲线的定义和圆锥曲线的部分性质进行了简要的概括．主要是利用平面解析几何的知识和数形结合思想，对圆锥曲线的基本性质、光学性质，由圆的性质推广得到的几条性质和与焦点弦有关的性质，进行了总结和证明，并且将它们在日常生活中的应用和在解题中的应用进行了简要说明．关键词圆锥曲线；性质；应用

圆锥曲线纯几何方法-概述说明以及解释

圆锥曲线纯几何方法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述：圆锥曲线是数学中一个重要的概念，它具有广泛的应用。

圆锥曲线的研究既可以通过解析几何的方法进行，也可以通过纯几何的方法进行。

本文将重点讨论圆锥曲线的纯几何方法，探讨其在研究圆锥曲线中的应用。

圆锥曲线是指平面上由一个动点和一个定点的连线所构成的轨迹。

它可以分为三种类型：椭圆、双曲线和抛物线。

这些曲线的性质各不相同，具有一些独特的几何特征。

通过研究它们的定义、性质和分类，可以更好地理解它们的本质和特点。

纯几何方法是指在研究中不涉及具体的数值计算，而是通过几何形状和图形关系来推导和证明结论。

纯几何方法在研究圆锥曲线中具有重要的作用。

通过纯几何方法，我们可以更加直观地理解和描述圆锥曲线的性质，揭示其内在的几何结构。

纯几何方法在研究圆锥曲线中的应用可以从多个角度进行分析。

首先，它可以用于推导和证明圆锥曲线之间的关系和定理，深化我们对这些曲线的认识。

其次，纯几何方法可以解决一些与圆锥曲线相关的实际问题，例如光学中的反射定律等。

最后，通过纯几何方法，我们可以发现一些新的性质和结论，为圆锥曲线的研究提供新的思路和方法。

当然，纯几何方法也存在一定的局限性。

由于纯几何方法不涉及具体的数值计算，因此对于一些复杂的问题，可能无法通过纯几何方法得到准确的答案。

此外，纯几何方法需要较强的几何直观和推理能力，对于初学者来说可能较为困难。

综上所述，圆锥曲线的纯几何方法在研究中有着重要的地位和作用。

通过纯几何方法，我们可以深入理解圆锥曲线的性质和特点，发现新的结论和定理。

同时，纯几何方法也存在一定的局限性。

因此，我们需要在实际问题中灵活运用不同的方法，以达到更好的研究效果。

对于圆锥曲线的研究，纯几何方法给予我们启示和展望，帮助我们进一步深入研究和应用圆锥曲线的相关领域。

1.2文章结构1.2 文章结构本文主要介绍了圆锥曲线的纯几何方法，分为引言、正文和结论三个部分进行阐述。

专题11 圆锥曲线的几何性质与应用(解析版)

专题11 圆锥曲线的几何性质与应用【压轴综述】纵观近几年的高考命题，围绕圆锥曲线的几何性质与应用的高考压轴题，逐渐呈现“多样化”，即离心率问题、渐近线问题、圆锥曲线中的三角形问题、求其它曲线的方程问题、与平面向量相结合问题等.在上述各类压轴题型中，圆锥曲线的离心率的求法是一类常见题型，也是历年高考考查的热点，解题规律更易把握.求解圆锥曲线的离心率的值或取值范围，其关键是建立恰当的等量或不等量关系，以过渡到含有离心率e 的等式或不等式使问题获解．1、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距.从而可求解（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，再利用条件列出等式求解2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求.如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,,a b c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可（3）通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：()0,1e ∈，双曲线：()1,+e ∈∞本专题通过例题说明各类问题解答规律与方法.【压轴典例】例1.(2020·全国卷Ⅲ理科·T11)设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为.P 是C 上一点,且F 1P ⊥F 2P.若△PF 1F 2的面积为4,则a= ( )A.1B.2C.4D.8【解析】选A.设PF 1=m,PF2=n,m>n,=mn=4,m-n=2a,m2+n2=4c2,e==,所以a=1.例2.(2020·北京高考·T7)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l,P是抛物线上异于O的一点,过P作PQ⊥l于Q,则线段FQ的垂直平分线( )A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP【解析】选B.因为点P在抛物线上,所以|PQ|=|PF|,所以FQ的垂直平分线经过点P.例3.(2020·全国卷Ⅰ高考理科·T4)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p= ( )A.2B.3C.6D.9【解析】选C.设抛物线的焦点为F,由抛物线的定义知|AF|=x A+=12,即12=9+,解得p=6. 例4.(2020·全国卷Ⅰ高考文科·T11)设F1,F2是双曲线C:x2-=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为( )A. B.3 C. D.2【解析】选B.由已知,不妨设F1(-2,0),F2(2,0),则a=1,c=2,因为|OP|=2=|F1F2|,所以点P 在以F1F2为直径的圆上,即△F1F2P是以P为直角顶点的直角三角形,故|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|2=16,又||PF1|-|PF2||=2a=2,所以4=||PF1|-|PF2||2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=16-2|PF1||PF2|,解得|PF1||PF2|=6,所以=|PF 1||PF2|=3.例5.(2020·全国卷Ⅲ文科·T7理科·T5)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为( )A. B. C.(1,0) D.(2,0)【解析】选B. 因为直线x=2与抛物线y2=2px(p>0)交于D,E两点,且OD⊥OE,根据抛物线的对称性可以确定∠DOx=∠EOx=,所以D ,代入抛物线方程4=4p,求得p=1,所以其焦点坐标为.例6.(2020·天津高考·T7)设双曲线C 的方程为-=1(a>0,b>0),过抛物线y 2=4x 的焦点和点(0,b)的直线为l.若C 的一条渐近线与l 平行,另一条渐近线与l 垂直,则双曲线C 的方程为( )A.-=1B.x 2-=1 C.-y 2=1D.x 2-y 2=1【解析】选D.由题可知,抛物线的焦点为(1,0),所以直线l 的方程为x+=1,即直线的斜率为-b,又双曲线的渐近线的方程为y=±x,所以-b=- ,-b×=-1,因为a>0,b>0,解得a=1,b=1.所以双曲线C 的方程为x 2-y 2=1.例7.（2019·全国高考真题）设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（） A 2 B 3 C ．2 D 5【答案】A【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2c PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2c OA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==．2e ∴=例8.(2020·全国卷Ⅰ高考理科·T15)已知F 为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,A 为C 的右顶点,B 为C 上的点,且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3,则C 的离心率为 . 【解析】依题可得,=3,而=,=c-a,即=3,变形得c 2-a 2=3ac-3a 2,化简可得,e 2-3e+2=0,解得e=2或e=1(舍去).例9.(2020·全国卷Ⅲ文科·T14)设双曲线C:-=1 (a>0,b>0)的一条渐近线为y=x,则C 的离心率为 .【解析】由双曲线方程-=1可得其焦点在x 轴上,因为其一条渐近线为y=x,所以=,e===.例10.（2019·全国高考真题（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．【答案】2. 【解析】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 603b a ==221()1(3)2c be a a==+=+=．例11. （2019·浙江高考真题）已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______. 15【解析】方法1：由题意可知||=|2OF OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y 可得22(2)16x y -+=，联立方程22195x y +=，可解得321,22x x =-=（舍），点P 在椭圆上且在x 轴的上方，求得315,22P ⎛- ⎝⎭，所以1521512PFk ==方法2：焦半径公式应用由题意可知|2OF |=|OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p p a ex x -=⇒=-，求得3152P ⎛- ⎝⎭，所以1521512PF k ==例12.（2019·全国高考真题（理））设12F F ，为椭圆22:+13620x y C =的两个焦点，M 为C上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________. 【答案】(15【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===．∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又122201482415,44152MF F S y =⨯-=∴=△，解得015y =2201513620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M 的坐标为(15．【压轴训练】1．（2021·浙江高三学业考试）如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为,,F A B 分别为椭圆的上､下顶点，P 是椭圆上一点，//,||||AP BF AF PB =，记椭圆的离心率为e ，则2e =（）A ．22B ．1718C ．12D 151-【答案】B【详解】()()0,,,0B b F c -，则BF b k c=，所以直线:bAP y x b c =+，与椭圆方程联立()222220a c x a cx ++=，所以点P 的横坐标是2222a c x a c =-+，322b y a c =-+，即2322222,a c b P a c a c ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，222322222222a c b PB a b a a c a c ⎛⎫⎛⎫=⇒+-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，整理为：6244264321c a c a c a --+=，两边同时除以6a 得：64243210e e e --+=，()()2421410ee e -+-=，210e -≠，所以42410e e +-=，得21178e -+=，或21178e -=（舍）. 2．（2020·山西大同市·大同一中高三）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 3的直线交抛物线于点M (M 在第一象限)，MN l ⊥，垂足为N ，直线NF 交y 轴于点D ，若||23MD = ）A ．2y x =B ．22y x =C ．24y x =D ．28y x =【答案】C【详解】由题意如图，过点F 3(M M 在第一象限），可知，60NMF ∠=︒，MN l ⊥，垂足为N ，直线NF 交y 轴于点D ，准线与x 轴的交点为A ，所以MN FM =，则三角形NMF 是正三角形，因为O 是AF 的中点，//AN OD ，所以D是NF 的中点，所以MD NF ⊥，30DMF ∠=︒，||23MD =，所以||||4cos30MD MF ==︒，则||4MN =，由三角形NMF 是正三角形可知F 在MN 上的射影是MN 是中点，所以2AF BN ==，则(1,0)F ，可得2p =，所以抛物线方程为：24y x =．3．（2020·天津高考模拟（理））已知12,F F 分别双曲线22233(0)x y a a -=>的左右焦点，是P 抛物线28y ax =与双曲线的一个交点，若1212PF PF += ，则抛物线的准线方程为（） A.4x =- B.3x =-C.2x =-D.1x =-【答案】C【解析】由题得双曲线的方程为222213x y a a-=，所以222234,2c a a a c a =+=∴=.所以双曲线的右焦点和抛物线的焦点重合.由题得1221212,62PF PF PF a PF PF a⎧+=⎪∴=-⎨+=⎪⎩. 联立双曲线的方程和抛物线的方程得223830,(33a x ax a x x a --=∴=-=舍）或.由抛物线的定义得6-a=3a-(-2a),所以a=1,所以抛物线的准线方程为x=-2，故选C. 4．（2020·蕉岭县蕉岭中学高三）（多选）设抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，|F A |为半径的圆交l 于B ，D 两点．若∠ABD ＝90°，且△ABF 的面积为93，则（）A ．|BF |＝3B ．△ABF 是等边三角形C ．点F 到准线的距离为3D ．抛物线C 的方程为y 2＝6x【答案】BCD【详解】根据题意，作图如下：因为|F A |为半径的圆交l 于B ，D 两点，所以||||FA FB =，又||||FA AB =，所以ABF 为等边三角形，B 正确；∠ABD ＝90°，//AB x ，过F 作FC ⊥AB 交于C ，则C 为AB 的中点，C 的横坐标为2p ，B 的横坐标为2p-，所以A 的横坐标为3,||22p AB p =，2233493,3ABC S AB p p ∴====△，||||26BF AB p ===，所以A 不正确，焦点到准线的距离为3p =，所以C 正确；抛物线的方程为：y 2＝6x ，所以D 正确. 5．（2021·上海高三专题练习）已知F 为抛物线()220ypx p =>的焦点，()11,A x y 、()22,B x y 是抛物线上的不同两点，则下列条件中与“A 、F 、B 三点共线”等价的是（）A ．2124p x x =B ．212y y p =-C ．112FA FB p+= D ．2121234p x x y y +=-【答案】B【详解】设直线AB 的方程为x ky t =+，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立22y px x ky t⎧=⎨=+⎩，消去x 得2220y pky pt --=，由韦达定理得122y y pk +=，122y y pt =-.抛物线的焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若A 、F 、B 三点共线，则2pt =.对于A 选项，222221212224444y y p t p x x p p ===，解得2p t =±；对于B 选项，2122y y pt p =-=-，解得2p t =；对于C 选项，222222121212111111222222222p p p py y p p FA FB y p y p p x x p p +=+=+=+=++++++，整理得22412y y p =，即2244p t p =，解得2pt =±；对于D 选项，22221212121223244y y p x x y y y y t pt p +=+=-=-，整理得224830t pt p -+=，解得2p t =或32pt =. 6．（2020·安徽马鞍山市·马鞍山二中）（多选）过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，M 为线段AB 的中点，则（）A ．以线段AB 为直径的圆与直线y 轴相离 B ．以线段BM 为直径的圆与y 轴相切C ．当2AF FB =时，92AB = D ．AB 的最小值为4 【答案】CD【详解】对于A 选项，24yx =的焦点()1,0F ，准线方程为1x =-，设A 、B 、M 在准线上的射影为A '、B '、M '，由AF AA '=，BF BB ='， ()()111222MM AA BB AF BF AB '''=+=+=，可知以线段AB 为直径的圆与准线相切，与直线y 轴相交，故A 错；对于B 选项，设直线l 的方程为1x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立214x my y x =+⎧⎨=⎩，得2440y my --=，由韦达定理得124y y m +=，124y y =-，则()()212122441AB x x m y y m =++=++=+，则()21212BM AB m ==+，所以，以BM 为直径的圆的半径为21r m =+，设20y <，则22221y m m =-+，则线段BM 的中点到y 轴的距离为()222122211211211222x x d x m my m m m +⎛⎫=+=+++=+-+⎪⎝⎭，则()22211d r m m m m m m -=-+=-+.当0m =时，d r =；当0m ≠时，d r ≠. 所以，以线段BM 为直径的圆不一定与y 轴相切，故B 错；对于C 选项，，()221,FB x y =-，2AF FB ∴=，122y y ∴=-，则122244y y y m y m +=-=⇒=-，221224232y y y m -==-=-，则218m =，所以，()29412AB m =+=，故C 正确；对于D 选项，由B 选项知，()2414AB m =+≥，当且仅当0m =时，AB 取最小值4.故D 正确.7. (2020河北衡水高三)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( ) A.13 B.12 C.23 D.34【答案】A【解析】法一：数形结合法如图，设直线BM 与y 轴的交点为N ，且点N 的坐标为(0，m )，根据题意，点N 是OE 的中点，则E (0,2m )，从而直线AE 的方程为x －a ＋y 2m ＝1，因此点M 的坐标为－c ，2m (a －c )a.又△OBN∽△FBM ，所以|FM ||ON |＝|FB ||OB |，即2m (a －c )am＝a ＋c a ，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13. 法二：交点法同法一得直线AE 的方程为x －a ＋y 2m ＝1，直线BN 的方程为x a ＋ym ＝1.又因为直线AE 与直线BN交于点M ，且PF ⊥x 轴，可设M (－c ，n )．则⎩⎪⎨⎪⎧－c －a ＋n2m ＝1，－c a ＋nm ＝1，消去n ，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13.法三：三点共线法同法一得直线AE 的方程为x －a ＋y2m ＝1，由题意可知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c a ，N (0，m )，B (a,0)三点共线，则2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ca －m－c ＝m －a ，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13.法四：方程法设M (－c ，m )，则直线AM 的方程为y ＝ma －c(x ＋a )，所以E ⎝⎛⎭⎪⎫0，ma a －c .直线BM 的方程为y ＝m －c －a (x －a )，与y 轴交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，ma a ＋c ，由题意知，2ma a ＋c ＝ma a －c ，即a ＋c ＝2(a －c )，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13.法五：几何法在△AOE 中，MF ∥OE ，所以MF OE ＝a －c a .在△BFM 中，ON ∥MF ，所以OE2MF ＝a a ＋c ，即OE MF ＝2aa ＋c. 所以MF OE ·OE MF ＝a －c a ·2a a ＋c ＝1，即a ＋c ＝2(a －c )，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13.8．（2020天津南开中学高考模拟）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，焦距为()20c c >，抛物线22y cx = 准线交双曲线左支交于,A B 两点，且120AOB ∠=︒，其中O 为原点，则双曲线的离心率e 为（）A ．2B．1C．1D．1+【答案】C【解析】设抛物线22y cx = 准线与横轴的交点为M ,∴M 的坐标为,02c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设A 在第二象限，由双曲线的对称性可知: °60MOA ∠=，tan AM MOA AM OM ∠=⇒=，∴A的坐标为()2c -，焦距为2c ， ∴设22221,1a b c a c ==-=-，又ce c a==，把A 的坐标代入双曲线方程中，得2242222())22184041c e e e e a b --=⇒-+=⇒=+=，故本题选C. 9．（2020·广西南宁市·南宁三中）已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的左右焦点分别1F 、2F ，过1F 且斜率为2的直线交椭圆E 于P 、Q 两点，若12PF F △为直角三角形，则该椭圆C 的离心率e =（）.A1 B．3 C2 D．3【答案】CD 【详解】当212PF F π∠=时，设22PF =，则由于12tan 2PF F ∠=，∴121F F =，1PF =∵1222a PF PF =+，1221c FF ==，∴椭圆C的离心率为222c c e a a ====，当122F PF π∠=时，设22PF =，则由于12tan 2PF F ∠=，∴11PF =，12F F =1223a PF PF =+=，122c F F =C 的离心率为223c c e a a ===， 10．（2020四川棠湖中学高三期末）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d += 则双曲线的方程为（）A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=【答案】A【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b-=可得：2b y a =±，不妨设：22,,,b b Ac B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得：21bc b d c -==，22bc b d c +==，则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==，双曲线的离心率：2c e a ====，据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=. 11．（2020·天津市新华中学高考模拟）设12F F 、分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线与抛物线24y x =的准线围成三角形的面积为（）A ．34B ．35 C ．43D ．53【答案】C【解析】依题意|PF 2|＝|F 1F 2|，可知三角形PF 2F 1是一个等腰三角形，F 2在直线PF 1的投影是其中点，由勾股定理可知|PF 1|＝=4b ，根据双曲定义可知4b ﹣2c ＝2a ，整理得c ＝2b ﹣a ，代入c 2＝a 2+b 2整理得3b 2﹣4ab ＝0，求得43b a =∴双曲线渐近线方程为y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0，渐近线与抛物线的准线1x =-的交点坐标为：41,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，41,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭，三角形的面积为：1841233⨯⨯=.12．（2019·吉林高考模拟（理））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若()21210F F F A F A +⋅=，则此双曲线的标准方程可能为（）A ．22143x y -= B ．22134x y -= C ．221169x y -= D ．221916x y -=【答案】D【解析】由()21210F F F A F A +⋅=，可知1222F F F A c ==，又2AF 的斜率为247，所以易得217cos 25AF F ∠=-，在12AF F ∆中，由余弦定理得1165AF c =，由双曲线的定义得16225c c a -=，所以53c e a ==，则:3:4a b =，所以此双曲线的标准方程可能为221916x y -=. 13．（2020·沙坪坝区·重庆八中高三）如图，过原点O 的直线AB 交椭圆C ：22221x y a b+=（a＞b ＞0）于A ，B 两点，过点A 分别作x 轴、AB 的垂线AP ，AQ 分别交椭圆C 于点P ，Q ，连接BQ 交AP 于一点M ，若34AM AP =，则椭圆C 的离心率是________.3【详解】设11(,)A x y ，22(,)Q x y ，则11(,)B x y --，11(,)P x y -，11,2y M x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由AB AQ ⊥，则1212111212111y y y y y x x x x x x y --=-⇒=--- ①，由B ，M ，Q 三点共线，则BQ BM k k =，即1212y y x x +=+114yx ②.又因为2211221x y a b +=，2222221x y a b +=，即22221212220x x y y a b --+=，2221222212y y b x x a -=--③，将①②代入③得2214b e a =⇒==. 14．（2020·全国高三专题练习）设F 为抛物线2:12C yx =的焦点，经过点()1,0P 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且2BP PA =，则||||AF BF += __________．【答案】172【详解】由题意知，经过点()1,0P的直线要满足2BP PA =，所以，该直线的斜率必存在，且该直线必不平行于x 轴，设为(1)y k x =-，且0k ≠，抛物线2:12C y x =的焦点为(3,0)F ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，2BP PA =，()1,0P，122y y ∴=-，联立方程得，2(1)12y k x y x =-⎧⎨=⎩，消去x ，可得212120y y k--=，∴1212y y =-，又由122y y =-，可得221224,6y y ==，由抛物线方程得，12x =，212x =，1217||||62AF BF x x +=++=15．（2020广东高考模拟（理））已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为,F O 为坐标原点，点,M N 为抛物线准线上相异的两点，且,M N 两点的纵坐标之积为-4，直线OM ，ON 分别交抛物线于A ，B 两点，若A ，B ，F 三点共线，则p =_______. 【答案】2 【解析】设m 2p M ⎛⎫-⎪⎝⎭，，n 2p N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则直线OM 的方程为：x 2p y m =-，代入抛物线方程可得：222py p y m⎛⎫=-⎪⎝⎭，解得：2A p y m =-，故A 点坐标为：3222p p mm ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得：B 点坐标为：3222p p n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，，∴32222p p p FA m m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，32222p p p FB n n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，又A ，B ，F 三点共线，∴3232222222p p p p p p m n n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∴22221111p p n m m n ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由mn 4=-，∴221144p p m n n m -=---，即211104p m n ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又110m n -≠∴2104p -=，0p >∴2p =。

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圆锥曲线的几何性质及其解题应用
一、正确掌握圆锥曲线的几何性质，提高解题效率 1、椭圆中一些线段的长度及其关系如：
①椭圆上的点到焦点最近的距离为AF a c =-，最近的距离为BF a c =+；
②Rt OFC ∆中，2
2
2
a b c =+；
④△F PQ '的周长与菱形F CFD '的周长相等，为4a .
例题1、如下图，椭圆中心为O ，F 是焦点，A 、C
,P Q 在椭圆上且PD l ⊥于D ，QF OA ⊥于F ①
PF PD
②
QF BF
③
AO BO
④
AF BA
⑤
FO AO
⑥
OF FC
能作为椭圆的离心率的是（填正确的序号）2① 12OB OB b ==；12OA OA a ==. ② 焦点F 向渐近线引垂线，垂足为P ，则
bc
PF b c
=
=
=，又因为OF c =，故有OP a = ③ 由②可知2Rt OA Q Rt OPF ∆≅∆.
⑥
A
A B B ③当PQ x ⊥轴时，2
2b PQ a
=⋅，叫椭圆的通径.
例题2．已知双曲线22
214x y b
-=的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，则该双曲线的
焦点到其渐近线的距离等于．
【解析】双曲线的焦点到其渐近线的距离等于b ，由抛物线方程x y 122
=易知其焦点坐标
为)0,3(，又根据双曲线的几何性质可知2234=+b ，所以5=
b ．
【点评】平时如果能理解并记住一些有用的结论，可以在考试中节省许多宝贵的时间．
3、抛物线中一些线段的长度及其关系如：
① 通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段AB 叫做抛物线的通径，且2AB p =.
② 2DF p =，几何意义知道吗？ ③ 由①②易知Rt ADF ∆
④ 题目中涉及到焦点F 虑定义PF PQ =这个性质．。