现代数字信号处理(王炳和)章 (2)

,XN (x1,1, x2, 2,
,
xN
,
N)
N
FX1
,X2
,...,XN (x1,1, x2, 2, x1x2 xN
, xN , N)
(2.2.6)
第2章 离散随机信号及信号模型 2.2.2 随机序列的数字特征
1. 数学期望(统计平均值) 随机序列的数学期望定义为
mx (n) E[x(n)] x(n) pxn (x, n) d x
第2章 离散随机信号及信号模型 图 2.1 抛硬币得到的随机样本序列
第2章 离散随机信号及信号模型
(2) 随机序列可以用它的统计平均特性来表征。一个随机 序列中的每一个随机变量都可以用确定的概率分布特性来统计 地描述，即可通过统计平均特性来表征。
(3) 平稳随机信号的能量化表示。一随机信号各频率的能 量称为功率谱密度(简称功率谱)。一个平稳的随机信号的功率 谱是确定的，因此，功率谱可以统计表征一个随机过程的谱特 性。我们将会知道，一个信号的功率谱是这个信号的自相关函 数的傅立叶变换。功率谱和自相关函数是一个傅立叶变换对， 它们相互唯一地确定，而且都是信号的一种(二维)统计平均表 征，分别从不同域的侧面表征着一个随机过程的最本质的性质。 因此，对于一个观测到的随机信号，重要的是确定它的功率谱 密度函数和自相关函数。
(1) 随机序列中任何一点上的取值都是不能先验确定的随 机变量。一个随机信号(或序列)是一个随机过程，在它的每个 时间点上的取值都是随机的，可用一个随机变量表示。或者说， 一个随机过程是由一个随机试验所产生的随机变量依时序组合 而得到的序列。今后我们用{x(n)}表示一个随机序列，而用 x(n)表示时间为n的点上的一个随机变量。显然，任何一个具 体实验所得到的序列(例如图 2.1所示的序列x1(n))都只能是 随机序列的一个样本序列(或一个实现)。
2 x
(n)
E[
Xn
mx
(n)
2
]
(2.2.9)
可以证明，上式也可以写为:
2 x
(n)
E[
X
n
2]
mx2
(n)
(2.2.10)
一般均方值和方差都是n的函数，但对于平稳随机序列，它们
与n无关，是常数。如果随机变量Xn代表电压或电流，则其均 方值表示在n时刻消耗在1 Ω电阻上的集合平均功率，方差则
表示消耗在1 Ω电阻上的交变功率的集合平均。有时将σx称 为标准方差。
第2章 离散随机信号及信号模型
定义1 设已给概率空间(Ω，Γ，P)，Z为整数集，若对 每一整数n(n∈Z)，均有定义在(Ω，Γ，P)上的一个随机变量 x(ω，n)(ω∈Ω)与之对应，则称依赖于参数n的一列随机变 量x(ω，n)为一离散时间随机过程或随机序列，记为{x(ω， n)，ω∈Ω，n∈Z}，简记为{x(n)，n∈Z}或{xn}。随机序列 有以下特点:
(2.2.7)
式中，E表示求统计平均值。由式(2.2.7)可见，数学期望是n 的函数，如果随机序列是平稳的，则数学期望是常数，与n无 关。
第2章 离散随机信号及信号模型
2. 均方值与方差
随机序列均方值定义为
E[ X n 2 ]
x(n) 2 pxn
( x, n) d
x
(2.2.8)
随机序列的方差定义为
(2.2.1)
第2章 离散随机信号及信号模型
2. 概率密度函数 如果Xn取连续值，其概率密度函数用下式描述:
p
Xn
(xn , n)
FX n (xn , n) xn
(2.2.2)
式(2.2.1)和式(2.2.2)分别称为随机序列的一维概率分布函
数和一维概率密度函数，它们只描述随机序列在某一时刻n的
统计特性。而对于随机序列，不同n的随机变量之间并不是孤
第2章 离散随机信号及信号模型 3. 随机序列的相关函数和协方差函数 我们知道，在随机序列不同时刻的状态之间存在着关联性， 或者说不同时刻的状态之间互相有影响，包括随机序列本身或 者不同随机序列之间。这一特性常用自相关函数和互相关函数 进行描述。 自相关函数定义为
第2章 离散随机信号及信号模型
2.2 时域离散随机信号的统计描述
2.2.1 时域离散随机信号(随机序列)的概率描述
随机序列和连续随机信号一样，可以用概率密度函数和概
率分布函数进行描述。
1. 概率分布函数
对于随机变量Xn，其概率分布函数用下式描述:
式中，P表示概率F。X n (xn , n) P( X n xn )
第2章 离散随机信号及信号模型 实际中的随机信号常有四种形式: (1) 连续随机信号: 时间变量和幅度均取连续值的随机信 号。 (2) 时域离散随机信号(简称随机序列): 时间变量取离散 值，而幅度取连续值的随机信号。 (3) 幅度离散随机信号: 幅度取离散值，而时间变量取连 续值的随机信号。例如随机脉冲信号，其取值只有两个电平， 不是高电平就是低电平，但高低电平的选取却是随机的。 (4) 离散随机序列(也称为随机数字信号): 幅度和时间变 量均取离散值的信号。
2 FXn ,Xm (xn , n, xnxm
xm , m)
以此类推，N维概率分布函数为
(2.2.4)
F ,X1 X2 ,...,XN (x1,1, x2 , 2, , xN ) P( X1 x1, X 2 x2 ,
对于连续随机变量，其N维概率密度函数为
, X N xN )
(2.2.5)
pX1 ,X2 ,
立的，为了更加完整地描述随机序列，需要了解二维及多维
统计特性。
二维概率分布函数:
FXn , Xm (xn , n, xm , m) p( X n xn , X m xm ) (2.2.3)
第2章 离散随机信号及信号模型 对于连续随机变量，其二维概率密度函数为
PX n
,Xm
(xn , n,
xm , m)
第2章 离散随机程的概念及性质 2.2 时域离散随机信号的统计描述 2.3 随机序列数字特征的估计 2.4 线性系统对随机信号的响应 2.5 时间序列信号模型
第2章 离散随机信号及信号模型 2.1 离散随机过程的概念及性质 信号按其性质分，有确定性信号和随机信号。所谓确定性 信号，就是信号的幅度随时间的变化有一定的规律性，可以用 一个明确的数学关系进行描述，是可以再现的。而随机信号随 时间的变化没有明确的变化规律，在任何时间的信号大小都不 能预测，因此不可能用一明确的数学关系进行描述，但这类信 号的分布存在着一定的统计信号规律，它可以用概率密度函数、 概率分布函数、数字特征等进行描述。