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复变函数论
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6.1 解析开拓的概念及方法
❖ 6.1.1 基本概念
定义6.1 设f(z)定义在域（某一曲线）D上，G是一个包 含D的区域，若存在G内的解析函数F(z)，使得当
时，F(z)=f(z)，则称函数f可以解析开拓到G内，并
称F是f从D到G的（直接）解析开拓.
由定义可得解析开拓的唯一性。
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6.2.1 完全解析函数和黎曼面
单值性定理的一个常见情况是如下定理：
定理6.4 设U(0):zaR(0)，D为单连通域。U(0)D
若f(0,z)在U(0)解析，且在D内可沿任意简单曲线解
析开拓，则存在一个D内的解析函数F(z),使得当z U (0)
时，F(z)=f(0,z)
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显然 f 1 和 f 2 在L上具有相同的边界极限值。
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6.1.2 透弧开拓
证明：分析问题，我们将利用柯西定理，只要能证明对于 任意闭曲线都成立即可。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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透弧开拓
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6.1.3幂级数开拓
定义6.3 设区域 (f1,D1),(f2,D2)为解析函数元素，D1D2 在 D1 D的2 一个非空开域K上，有 f1(z) f2(z)
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6.1.2 透弧开拓
定义6.2 设区域 D1 , D 2以逐段光滑曲线L（不包括端点） 为邻接边界，f 1 ，f 2 分别在 D1 , D 2 内解析，若存在 D1D2L 中的解析函数F，使得
F(z) ff12((zz)),,zzDD12
则称 f 1 与 f 2 互为（直接）透弧L的解析开拓。
度的一般解析函数，黎曼面就是它的最大定义域，黎曼面的边
界称为自然边界。
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6.2.2 单值性定理
单值性定理是关于一般解析函数成为单值解析函数的判别 定理。现介绍幂级数沿弧解析开拓的概念。
设L：z=z(t),0t 1是简单曲线，对于任意给定 t0 [0,1]，
若F在z0 z(t0)解析，把F在 z 0的幂级数展式、收敛半径及收
定义6.6 设{( f , D)}定义的一般解析函数包含了任 一元素的一切解析开拓，则称 {( f , D)}为完全解 析函数。把{( f , D)}中具有相同函数值的区域粘结
起来，这样形成的一个区域或推广了的区域称 为{( f , D)}的黎曼面。
简单说：完全解析函数是不能再解析开拓或者说开拓到最大限
f(t0,z)f(t1,z)
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6.2.1 完全解析函数和黎曼面
这时我们称 f (1, z ) f (0, z) 分 别为始元和终元。在本 定义下必在解析函数链 （圆链，不止一组）覆 盖L，由解析函数的唯一 性， f (1, z ) 由f (0, z)唯一决定， 并与覆盖L的圆链无关。
那么同一始元沿不同曲线得到同一终元的条件是什么？
则称 ( f1 , D1 ) 与 ( f 2 , D 2 )互为（直接）解析开拓。
定义是合理的，因为令
F(z)
f1(z), zD1 K f1(z) f2(z), zK
f2(z), zD2 K
它是在 (D 1K ) K (D 2K )上的解析函数
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6.1.3幂级数开拓
关于幂级数开拓，我们有以下结论： 1、若f沿半径方向开拓时,遇到奇点就不能开拓。 2、沿半径方向至少有一个方向不能够开拓。 3、也存在沿每个方向都不能解析开拓的函数。
敛圆分别记为f (t0 , z )， R ( t 0 )，U ( t 0 ) ，显然 R(t0) ，0 还可设 R(t0) （否则没有继续开拓的必要）。
定义6.7 所谓 f (1, z 是) f (0, z )沿L的解析开拓是指满足如下两个条件： (1)对与[0,1]上每个t，有R(t)>0; (2)对任意的 t0,t1 [0,1]，当 z1z(t1)U(t0)时，U(t0)U(t1)内有
思考题：用解析开拓的观点解释多值函数在其黎曼 面上的单值解析？
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6.2完全解析函数及其单值性定理
6.2.1 完全解析函数和黎曼面
问题：1、什么时候开拓的不能开拓了（即定义域达到最大限度）？ 2、什么时候开拓为单值（多值）解析函数？
为此，先引入几个定义
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6.2.1 完全解析函数和黎曼面
定义6.5 设 {( f , D)} 为解析函数元素的集合（有限或 无限个），其中任意两个元素(f,D),(f,D)都存在 解析函数链使他们互为间接解析开拓，称 {( f , D)} 定 义了一个一般解析函数。