最新初中数学八年级上册《探索勾股定理》精品版

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第01讲探索勾股定理-2024年新八年级数学暑假提升讲义(北师大版学习新知)

第01讲探索勾股定理模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法；2．会借助勾股定理确定数轴上表示无理数的点，理解实数与数轴上的点一一对应关系；3．能够从实际问题中抽象出直角三角形，并能运用勾股定理进行有关的计算和证明。

知识点01勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如图：直角三角形ABC 的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=.注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：222a c b =-，222b c a =-，()222c a b ab =+-.运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2.用于解决带有平方关系的证明问题；3.利用勾股定理，作出长为n 的线段知识点02勾股定理证明（1）邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.（2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.（3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.考点一：已知直角三角形的两边，求第三边长例1．（22-23八年级上·福建泉州·期末）一直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边的长是．【变式1-1】（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，原来从A 村到B 村，需要沿路A C B →→（90C ∠=︒）绕过两地间的一片湖，在A 、B 间建好桥后，就可直接从A 村到B 村．若5km,12km AC BC ==，那么建好桥后从A 村到B 村比原来减少的路程为km ．【变式1-2】（23-24八年级下·河南新乡·期中）在直角ABC 中，8AB =，6AC =，则BC 的长为【变式1-3】（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）若一个直角三角形的两边长为9和12，则这个三角形的斜边长为．考点二：以直角三角形三边为边长的图形面积例2.（23-24八年级下·湖南湘西·期中）如图所示，如果正方形A 的面积为625，正方形B 的面积为400，则正方形C 的边长为．【变式2-1】（23-24七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，正方形,,A B C 的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形,A B 的边长分别为4和8，则正方形C 的面积为．【变式2-2】（23-24八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，分别以AB 、BC 、AC 为直径作半圆，图中阴影部分图形称为“希波克拉底月牙”．当13AB =，5BC =时，则阴影部分的面积为．【变式2-3】（2024·四川成都·二模）如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A B D 、、的面积依次为5、13、30，则正方形C 的面积为．考点三：等面积法求直接斜边上的高问题例3.（23-24八年级下·湖北武汉·期中）在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A 、B 、C 三点均在正方形格点上，则点A 到直线BC 的距离是．【变式3-1】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，ABC 的顶点A B C ，，在边长为1的正方形网格的格点上，CD AB ⊥于点D ．则CD 的长为．【变式3-2】（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在66⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，求BC 边上的高长＝．【变式3-3】（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图所示，ABC 的顶点A 、B 、C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD AC ⊥于点D ，则BD 的长为．考点四：勾股定理与无理数例4.（23-24八年级下·河南濮阳·期中）如图，点A 表示的实数是（）A ．B ．C ．1D ．1-【变式4-1】（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）如图所示：数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值是（）A 1B 1-C ．1D ．1【变式4-2】（23-24七年级下·山东济宁·期中）如图，数轴上点A 表示的数是1，点B 表示的数是1-，CB AB ⊥于点B ，且1BC =，以点A 为圆心，AC 的长为半径画弧，交数轴的负半轴于点D ，则点D 表示的数是（）A 31B ．13C 51-D ．15-【变式4-3】（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）如图的数轴上，点A ，C 对应的实数分别为1，3，线段AB AC ⊥于点A ，且AB 长为1个单位长度，若以点C 为圆心，BC 长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P ，则点P 表示的实数为（）A 53B ．35C 103D ．310-考点五：勾股定理与折叠问题例5.（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图是一张直角三角形纸片，两直角边68AC BC ==，，将ABC 折叠，顶点B 与点A 重合，折痕为DE ，则DE 的长为．【变式5-1】（23-24八年级下·内蒙古通辽·阶段练习）如图已知长方形ABCD 中8cm AB =，10cm BC =，在边CD 上取一点E ，将ADE V 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，则CE 的长为．【变式5-2】（23-24八年级下·甘肃平凉·期中）如图所示为一张直角三角形纸片，直角边6cm AC =，8cm BC =，将ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则DB 的长为cm ．【变式5-3】（2024九年级下·江苏徐州·专题练习）如图，在等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，AB =，点P 是边BC 上任意一点，连接AP ，将ABP 沿AP 翻折，点B 的对应点为B '，当APB ' 有一边与BC 垂直时，BP 的长为．考点六：利用勾股定理求两条线段的平方和（差）例6.（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）Rt ABC △中，斜边1AB =，则222AB BC AC ++的值是．【变式6-1】（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD ，对角线AC BD ，交于点O ，若3AD =，8BC =，则22AB CD +=．【变式6-2】（22-23八年级下·山西大同·期末）如图，ABC 和ECD 都是等腰直角三角形，52CA CB ==，3CE CD ==，ABC 的顶点A 在ECD 的斜边DE 上，则22AE AD +的值为．【变式6-3】（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四边形ABCD 的对角线AC BD ，交于点O ．若AC BD ⊥，4AB =，CD =22BC AD +=．考点七：利用勾股定理证明线段平方关系例7.（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在ABC 中，AD BC ⊥．(1)求证：2222AB AC BD CD -=-；(2)当8AB =，6BC =，213AC =时，求AD 的值．【变式7-1】（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，已知ABC 与CDE 都是等腰直角三角形，其中90ACB DCE ∠=∠=︒，D 为AB 边上一点．(1)试判断AD 与BE 的大小关系，并说明理由；(2)试说明222,,AD BD DE 三者之间的关系．【变式7-2】（23-24九年级上·安徽·开学考试）如图，在Rt ABC △中，已知90A ∠=︒，D 是斜边BC 的中点，DE BC ⊥交AB 于点E ，连接.CE (1)求证：222BE AE AC -=；(2)若6AC =，5BD =，求ACE △的周长.【变式7-3】（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在等腰Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，2AC =，点F 是直线AB 上一个动点，作等腰Rt FCP △，且90PCF ∠=︒，连接AP ．(1)找出图中全等三角形______．(2)如图求证：222FB AF PF +=；(3)若AF =PF =______．考点八：勾股定理的证明方法例8.（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）勾股定理是平面几何中一个极为重要的定理，世界上各个文明古国都对勾股定理的发现和研究作出过贡献．特别是定理的证明，据说方法有400余种．其中我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出了证明．请你用下面弦图（由四个全等的直角三角形围成的）证明勾股定理：如果直角三角形ABC 的两条直角边长分别为,a b ，斜边长为c ，那么222+=a b c ．【变式8-1】（23-24七年级下·全国·假期作业）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理．下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中90DAB ∠=︒．求证：222+=a b c ．【变式8-2】（23-24八年级下·河南平顶山·期中）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象．数与形也是有联系的，这种联系称为“数形结合”．利用“数形结合”思想可以直观地帮助我们解决一些数学验证或运算．(1)我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系．请你利用如图对勾股定理（即下列命题）进行验证，从中体会“数形结合”的思想：已知：如图，在Rt ABC △和Rt CDE △中，90B D ACE ∠=∠=∠=︒，（点B ，C ，D 在一条直线上），AB CD b ==，BC DE a ==，AC EC c ==．证明：222+=a b c ；(2)请利用“数形结合”思想，画图并推算出()2a b c ++的结果．【变式8-3】（23-24八年级下·广西南宁·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c 的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ）．(1)如图1，请用两种不同方法表示图中空白部分面积．方法1：S =阴影______；方法2：=S 阴影______；根据以上信息，可以得到等式：______；(2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；(3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若6a =，3b =，求阴影部分的面积．一、单选题1．（2024·福建宁德·二模）在Rt ABC △中，90C ∠=︒，5AC =，12BC =，则AB 的长是（）AB ．11C ．13D ．172．（23-24八年级下·黑龙江·期中）如图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数字及字母S 表示所在正方形的面积，其中S 的值为（）A ．6B ．5C ．8D ．73．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在ABC 中，A B ∠∠=︒+90，68AC BC CD AB ==⊥，，，则AD =（）A ．125B ．185C ．245D ．3254．（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，数轴上的点A 表示的数是1-，点B 表示的数是1，CB AB ⊥于点B ，且2BC =，以点A 为圆心，AC 为半径画弧交数轴于点D ，则点D 表示的数为（）A ．2B ．22C ．122-+D ．122+5．（2024·山东烟台·二模）如图，三角形纸片ABC 中，90,2,3BAC AB AC ∠=︒==，沿AD 和EF 将纸片折叠，使点B 和点C 都落在边BC 上的点P 处，则AE 的长是（）A ．136B ．56C ．76D ．65二、填空题6．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 、b 的面积分别为2和5，则c 的面积为．7．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，四边形ABCD 中，=90ABC ADC ∠=∠︒，分别以AB BC CD DA ，，，为直径作半圆，已知各半圆面积为125S S ==，47S =，则3S =．8．（2024·四川内江·二模）在ABC 中，90C ∠=︒，a ，b ，c 分别是A ∠，B ∠，C ∠的对边，若()()12a b c a b c -+--=-，则ABC 的面积为．9．（2024八年级下·全国·专题练习）定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，CD 是AB 边上的高，则ABC 中AB 边的“中偏度值”为．10．（23-24八年级下·重庆·期中）如图，已知ABC 为等腰直角三角形，4AB AC ==，点E 为AC 上一点，且1CE =，点D 为边AB 上一点，连接DE ，将ADE V 沿DE 折叠得到A DE ' ，若EA '的延长线恰好经过点B ，则AD =．三、解答题11．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC >，把ABC 沿直线DE 折叠，使点A 与点B 重合，若BCE 的周长为28，20AB =，求ABC 的面积．12．（23-24八年级下·甘肃陇南·期中）已知：在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，5AC =，12BC =．求：(1)求ABC 的面积；(2)求线段AB 的长：(3)求高CD 的长．13．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，90,28,3BAC BC AC ∠=︒==13,15BD AD ==．(1)求AB 的长度；(2)作DH AB ⊥，并求ADB 的面积．14．（23-24八年级下·河北邢台·期中）如图，已知BE 为火车道，BC 为公路，A 为火车站（点A 在射线BE上），P 为村庄（点P 在射线BC 上），且BA BP =．公路AD 与公路BC 垂直，垂足为D ，经测量12km AD =，4km PD =．(1)原来P 村村民需沿PD DA →才能到达火车站，现修通公路AP ，求P 村村民沿公路PA 到达火车站，比原来少走多少路；(2)求BA 的长；(3)若在BC ，上修建一个仓库F ，使火车站A 到仓库F 的距离为15km ，求BF 的长．15．（23-24八年级下·河南新乡·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即()2142ab b a ⨯+-，从而得到等式()22142c ab b a =⨯+-，化简使得结论²²²a b c +=．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式可方程的方法，我们称之为“双求法”．【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若蝥，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的Rt ABC △和Rt DEA V 如图2放置，其三边长分别为a ，b ，c ，90BAC DEA ︒∠=∠=，显然BC AD ⊥．（1）请用a ，b ，c 分别表示出四边形ABDC ，梯形AEDC EBD ，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理：222+=a b c （提示：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半）；【方法迁移】（2）如图3，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，456AB AC BC ===，，，求AD 的值．第01讲探索勾股定理模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法；2．会借助勾股定理确定数轴上表示无理数的点，理解实数与数轴上的点一一对应关系；3．能够从实际问题中抽象出直角三角形，并能运用勾股定理进行有关的计算和证明。

2024-2025学年北师版初中数学八年级(上)教案第一章勾股定理1.1探索勾股定理(第2课时)

第一章勾股定理1探索勾股定理第2课时勾股定理的证明及应用教学目标教学反思1.经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在教学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯.2.通过对勾股定理的探索，在探索实践中理解并掌握勾股定理并且会运用勾股定理.教学重难点重点：会验证勾股定理，并能应用勾股定理解决一些实际问题.难点：经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.教学过程导入新课教师提出问题：1.勾股定理的内容是什么？（指名学生回答）2.上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形进行探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？教师：事实上，现在已经有数百种勾股定理的验证方法，这节课我们就来验证一下勾股定理.设计意图：回顾上节课探索过程，强调仍需对一般的直角三角形进行验证，培养学生严谨的科学态度，介绍世界上一些验证方法，激发学生的学习兴趣.探究新知一、预习新知让学生自主预习课本第5页.提出问题：如下图，分别以直角三角形的三条边为边向外作正方形，你能利用这幅图说明勾股定理的正确性吗？验证，并让学生发表自己的见解，再小组讨论勾股定理是否正确.设计意图：通过让学生自己动手作图、验证不仅能锻炼学生的动手能力，还能加深对勾股定理的理解.二、合作探究验证勾股定理为了计算上图中大正方形的面积，小明对这个大正方形进行了适当割补后得到了下面两个图.问题1：你可以利用两种方法来表示图1中的大正方形的面积吗？学生先独立思考，再小组交流得到答案(a +b )2和2ab +c 2. 问题2：你可以得到怎样的等式？从而能得到什么？学生：(a +b )2 = 2ab +c 2，化简后得到a 2+b 2 = c 2. 从而利用图1验证了勾股定理，此方法称为毕达哥拉斯法.教师：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，利用整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理，你还能利用图2验证勾股定理吗？问题3：图2中小正方形的边长是多少？问题4：你可以利用两种方法来表示图2中的大正方形的面积吗？问题5：你可以得到怎样的等式？从而能得到什么？提出几个问题让学生根据问题独立探究，再小组交流，最后请一位同学上台讲解利用图2验证勾股定理.图2中小正方形边长是b －a ，(b －a)2和c 2－2ab 都可以表示图2中小正方形的面积，根据同一图形面积相等得到(b －a)2= c 2－2ab ，化简后得到a 2+b 2 = c 2.从而利用图2也验证了勾股定理，图2我们又称为赵爽弦图. 设计意图：教师层层设问引导学生来完成勾股定理的验证，通过两个图形让学生体会数形结合的思想并体会成功的快乐，学生先拼图从形上感知，再利用面积验证，比较容易掌握本节课的重点内容.前面已经讨论了直角三角形的三边长满足的关系，那么锐角三角形和钝角三角形是否也满足这一关系呢？观察下图，利用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a 2+b 2 2如果一个三角形不是直角三角形，那么它的三边长a ，b ，c 不满足a 2+b 2 = c 2，通过这个结论，学生将对直角三角形的三边关系有进一步认识.巩固练习证明：∵ S 梯形ABCD = S △ABE +S △BCE +S △EDA ，教学反思又∵ S 梯形ABCD =12(a +b )2，S △BCE = S △EDA = 12ab ，S △ABE = 12c 2，∴ 12(a +b )2 = 2×12ab +12c 2，∴ a 2+b 2= c 2，即勾股定理得证．典型例题【例1】作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，再作三个边长分别为a ，b ，c 的正方形，将它们如下图所示拼成两个正方形．222.a +b ，因此它们的面积相等．我们再用不同的方法来表示这两个正方形的面积，即可证明勾股定理．【证明】由图易知，这两个正方形的边长都是a +b ， ∴ 它们的面积相等．左边大正方形面积可表示为a 2+b 2+12ab ×4，右边大正方形面积可表示为c 2+12ab ×4. ∵ a 2+b 2+12ab ×4 = c 2+12ab ×4，∴ a 2+b 2 = c 2.【总结】根据拼图，通过对拼接图形的面积的不同表示方法，建立相等关系，从而验证勾股定理．典型例题【例2】如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M ，O ，Q 三城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建设成本为5 000万元/km ，该沿江高速公路的造价预计是多少？【问题探索】总造价计算公式是解决此题目的关键，总造价 = 每千米造价×千米数.【解】在Rt △OMN 中，根据勾股定理得 MN 2+ON 2 = OM 2， ∴ 302+402 = OM 2， ∴ OM = 50 km. 同理O Q = 130 km ，∴ 造价为（50+130）×5 000 = 900 000（万元）. 答：造价预计是900 000万元. 【总结】解答本题的关键是先利用勾股定理求出高速公路的长度，再求总造价．教学反思课堂练习1.若等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则它的面积为()A．30 cm2B．130 cm2C．120 cm2D．60 cm22.放学以后，小丽和小红从学校出发，分别沿东南方向和西南方向回家.若小丽和小红行走的速度都是40 m/min，小丽走了15 min回到家，小红走了20 min回到家，则小丽家和小红家间的距离为()A．600 m B．800 mC．1 000 m D．不确定3.直角三角形两直角边长分别为8 cm，15cm，则斜边上的高为______.4.某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2 m，宽为1.5 m，现在需要在相对的顶点间用一块木板加固，则这块木板的长为______.5.如图，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1 = 2 km，BB1 = 4 km，A1B1 = 8 km.现要在高速公路上A1，B1之间设一个出口P，使A，B两个村庄到P的距离之和最短，求这个最短距离之和．参考答案1.D2.C3.12017cm 4.2.5 m5.解：如图作点B关于MN的对称点B′，连接AB′交A1B1于点P，连接BP.则AP+BP = AP+PB′ = AB′，易知点P即为到点A，B距离之和最短的点．过点A作AE⊥BB′于点E，则AE = A1B1 = 8 km，B′E = AA1+BB1 = 2+4 = 6( km)．由勾股定理，得B′A2 = AE 2+B′E 2 = 82+62，∴AB′ = 10 km，即AP+BP = AB′ = 10 km.故出口P到A，B两村庄的最短距离之和是10 km.课堂小结(学生总结，老师点评)勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.验证方法：两种证法.布置作业1.（必做题）习题1.2第1，3题2.（选做题）第4题板书设计1 探索勾股定理教学反思第2课时勾股定理的证明及应用1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.两种证明方法.。

1.1探索勾股定理第1课时课件北师大版数学八年级上册

因为x2+122=132，所以x2=132-122=25.所以x=5.
综合建模
知识方面
勾股定理
1.文字描述
直角三角形
两直角边的
平方和等于
斜边的平方.
方法方面
2.符号描述
如果直角三角形两
直角边长分别为a，
b，斜边长为c，
那么a2+b2=c2.
3.几何语言
因为在△ABC中，
B
∠_____=90°，
所以_____
那么a2+b2=c2 ．
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
议一议
勾股定理
C
勾a
c
B
b
股
弦
A
B
几何语言：因为在△ABC 中，∠____＝90°，
所以____
AB 2＋____
AC 2.
BC 2＝____
学以致用
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=9m，AC=12m.求AB的长.
解：因为在△ABC中，
不满足a2+b2=c2.
当堂检测
2.求出下列直角三角形中未知边的长度.
x
x
6
12
20
8
解：左侧图形：
右侧图形：
因为x2=62+82=100，
因为x2=202-122=256，
所以x=为17厘米，一条直角边长为15 厘米的直角三角形的面积.
解：设直角三角形的另一条直角边长为x厘米，
第一章勾股定理
1.1 探索勾股定理
第1课时勾股定理
学习目标
1
了解勾股定理的各种探究方法.
2
会初步运用勾股定理进行简单的计算．

浙教版初中数学八年级上册探索勾股定理一精品课件PPT

答：两孔中心A、B之间的距离为 130mm。
构造直角三角形可以解决实际问题。
浙教版初中数学八年级上册 2.7 探索勾股定理 (一) 课件
浙教版初中数学八年级上册 2.7 探索勾股定理 (一) 课件
在平静的湖面上，有一支芦苇，高出水面 1尺，芦苇被风一吹，花朵刚好与水面平齐。已知芦苇移动的水平距离是5尺，问这里的水深是多少呢？
A′ 3m
∴AC= AB2BC2
= 32 12 = 8 ≈2.8(米)
(2)若梯子的顶端下滑50厘米,
1m
底端将向外水平移动多少米? C
B B′
浙教版初中数学八年级上册 2.7 探索勾股定理 (一) 课件
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小刚想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的
4米
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3米
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有一架3米长的梯子靠在学校围墙上,刚好与墙
头对齐,此时梯脚B与墙脚C的距离是1米。
(1)求墙的高度? （精确到0.1米） A
解：∵∠ACB=90°AB=3，BC=1
∴ AB2=AC2+BC2
浙教版初中数学八年级上册 2.7 探索勾股定理 (一) 课件
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勾股世界
两千两多千多年年前前，，古古希希腊有腊个有哥拉个毕达哥拉斯
学斯学派派，，他他们们首首先发先现发了勾现股了定勾理，股因定此理，因此在在国国外外人人们们通通常常称勾称股勾定理股为定毕理达哥为拉毕斯达哥拉斯定定理理。。为为了了纪纪念念毕达毕哥达拉斯哥学拉派斯，1学95派5 ，1955年年希希腊腊曾曾经经发发行行了一了枚一纪念枚票纪。念邮票。

八年级数学上册第1章勾股定理1探索勾股定理第2课时勾股定理的验证及简单应用预学新版北师大版

如图①，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边
长分别是 a ， b ， c ，将它们拼成如图②的大正方形.
1
2
3
4
(1)观察：图②中，大正方形的面积可以用( a ＋ b )2表示，也
可以用含 a ， b ， c 的代数式表示为 2 ab ＋ c2 ，那么可
以得到等式： ( a ＋ b )2＝2 ab ＋ c2 .整理后，得到 a ，
解： (2)如图.(答案不唯一)
1
2
3
4
知识点1
验证勾股定理
如图是边长为1的正方形网格，下面是勾股定理的探索与
验证过程，请补充完整：
因为 S1＝
4
＝
S3.
)2＋(
BC
所以 S1＋ S2
即(
笔记：
AC
， S2＝
9
， S3＝ 13
)2＝(
AB
)2.
，
⁠
变式1【教材P7读一读变式】意大利著名画家达·芬奇用如图
的面积.
解：根据勾股定理得，斜边长为10 cm，
所以圆的半径为5 cm.所以 S圆＝π×52＝25π(cm2).
1
2
1. 勾股定理的验证方法很多，有测量法、数格子法、割补法
面积
(拼图法)、面积法(通过
的不同表示方法得到验
⁠
证，也叫等面积法或等积法)等.
1
2
3
4
直角
2. 勾股定理的适用范围仅限于
所示的方法证明了勾股定理.图①中的空白部分是由两个正
方形和两个全等的直角三角形组成的.若设图①中空白部分
的面积为 S1，图③中空白部分的面积为 S2，则下列表示 S1，
S2的等式成立的是( B )

北师大版初中数学八年级上册探索勾股定理-精品课件

[1]错例辨析：
△ABC的两边为3和4，求第三边
解：由于三角形的两边为3、4
所以它的第三边的c应满足
.c2=a2+b2=32+42=25 A
D
即c=5.
5米
12米
B
C
[2]小明放学回家要经过一块长方形的麦地。
如图：小明本来应走大路从A经B到C
可是他却直接从A到C，为什么？
作y业=0
（1）习题1.1 1，2题 (必做题)
著名的希腊数学家欧几里得在巨著《几
何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一
个很好的证明。
中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：商高说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边’股‘等于4的时候，那么它的斜边’ 弦‘就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。” 如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例。所以现在
勾
弦
股
练一练
练习1：如图，
（1）若正方形A有9个单位，正方形B有16个单位，那么
正方形C有
个单位；
（2）若正方形C有29个单位，正方形B有16个单位，那么
正方形A有
个单位。
B
AC
2.已知在Rt△ABC中，∠C=90° [1]若a=3，b=4，则c=________； [2]若c=25，b=15，则a=______； [3]若a=6，c=10，则b=_______； [4]若a=40，b=9，则c=_______。

1.1.1探索勾股定理北师大版数学八年级上册

（2）如图，直角三角形三边的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系吗？你是如何计算的？与同伴进行交流.
（每个小正方形的面积为单位 1）
C A
B
C A
B
左图
A 的面积 9
B 的面积 9
C 的面积 18
面积关系
边的关系
9 + 9 = 18 a2+b2=c2
（每个小正方形的面积为单位 1）
边和斜边，那么a2+b2=c2.
a
c
b
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，这便是勾股定理的由来.
课堂练习
1. 求下图中字母所代表的正方形的面积.
A = 225 + 400 = 625 81
A
225 400
B 225
（1） B = 225 - 81 = 144 （2）
C Aa c
b B
C A
B
右图
A 的面积 4
B 的面积 4
C 的面积 8
面积关系
边的关系
4+4=8 a2+b2=c2
（每个小正方形的面积为单位 1）
C A
B
Aa c C bB
对于右图中的直角三角形，是否还满足这样的关系？你又是如何计算的呢？
（每个小正方形的面积为单位 1）CΒιβλιοθήκη ABC AB
左图
A 的面积 16
B 的面积 9
C 的面积 25
面积关系
边的关系
16 + 9 = 25 a2+b2=c2
（每个小正方形的面积为单位 1）
Aa

探索勾股定理验证勾股定理北师大版八年级数学上册精品课件PPT

A的面积+B的面积=C的面积 C A
B
CD B
A
1.1探索勾股定理第2课时验证勾股定理-北师大版八年级数学上册课件
⒈ 勾股定理是几何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系.
⒉勾股定理：直角三角形两直角边a、b 平方和，等于斜边c平方
a2+b2 =c2
⒊勾股定理的主要作用是在直角三角形中,已知任意两边求第三边的长
1.1探索勾股定理第2课时验证勾股定理-北师大版八年级数学上册课件
1.1探索勾股定理第2课时验证勾股定理-北师大版八年级数学上册课件
变式：如图，在一条公路上有A、B两站相距25km，C、 D为两个小镇，已知DA⊥AB,CB ⊥AB, DA=15km,CB= 10km，现在要在公路边上建设一个加油站E，使得它到两镇的距离相等，请问E站应建在距A站多远处?
1.1探索勾股定理第2课时验证勾股定理-北师大版八年级数学上册课件
1.1探索勾股定理第2课时验证勾股定理-北师大版八年级数学上册课件
4.如图，已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将 △ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.
1.1探索勾股定理第2课时验证勾股定理-北师大版八年级数学上册课件
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1.1探索勾股定理第2课时验证勾股定理-北师大版八年级数学上册课件
解：作点B关于MN的对称点B′，连接AB′，交A1B1于 P点，连BP. 则AP＋BP＝AP＋PB′＝AB′，易知P点即为到点A，B距离之和最短的点．过点A作AE⊥BB′于点E，则AE＝A1B1＝8km，B′E＝AA1＋BB1＝2＋4＝6(km)．由勾股定理，得B′A2＝AE2＋B′E2＝82＋62， ∴AB′＝10(km)．即AP＋BP＝AB′＝10km，故出口P到A，B两村庄的最短距离和是10km.

北师大版初中数学八年级上册精品课件《探索勾股定理》.

正方形内部的格点数b=13
所以，正方形 C的面积为（单位面积）:
1 12 13 1 18 2
S 1 a b 1 2
C A
B C
图1-1
A
B 图1-2
图中每个小方格
代表一个单位面积
分割成若干个直角边为整数的三角形
S正方形c
4 1 33 18 2
（单位面积）
C A
幻灯片 7
议一议
（1）你能用三角形
C
的边长表示正方形 A
的面积吗？
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系？
B
图1-3
C A
B
图1-4
（3）分别以5厘米、12厘米为直角边
作出一个直角三角形，并测量斜边的
长度。规律对此三角形成立吗？
勾股定理gou-gu theorem
如果直角三角形两直角边分别为a、
B 图1-2
关系吗？
（图中每个小方格代表一个单位面积） SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于
斜边上的正方形的面积
做一做
你是怎样得到 A
C
表中的结果的？
与同伴交流交
B
C
流。（1）观察图1-3、图1-4，填写下表
图1-3
A
B
图1-4
A的面积
B的面积
C的面积
（单位面积）（单位面积）（单位面积）
B C
图1-1
A
B 图1-2
图中每个小方格代表一个单位面积
把C看成边长为 6的正方形面积的一半
S正方形c
1 62 2
18
（单位面积）
C A

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2020年初中数学八年级上册《探索勾股定
理》精品版
北师大版初中数学八年级上册《探索勾股定理》精品教案
【学情分析】
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用。

本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性。

此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值。

【教学目标】
（一）知识与技能
掌握直角三角形三边之间的数量关系，学会用符号表示。

学生在经历用数格子与割、补等办法探索勾股定理的过程中，体会数形结合的思想，体验从特殊到一般的逻辑推理过程。

（二）过程与方法
通过分层训练，使学生学会熟练运用勾股定理进行简单的计算，在解决实际问题中掌握勾股定理的应用技能。

（三）情感态度与价值观
通过数学史上对勾股定理的介绍，激发学生学数学、爱数学、做数学的情感。

使学生从经历定理探索的过程中，感受数学之美和探究之趣。

【教学重点】用面积法探索勾股定理，理解并掌握勾股定理。

【教学难点】计算以斜边为边长的大正方形C面积及割补思想的理解与应用。

【教学方法】
教法：选择引导探索法，采用“问题情境→建立模型→解释、应用与拓展”的模式进行教学。

学法：自主探索—合作交流的研讨式学习，乐于创新—参与竞争的积极性学习。

【课前准备】
为了更好地体现本节课课堂评价的主题，课前将全班学生划分为6个小组，每个小组的同学推举一位组长和副组长，在黑板上展示出以组长名字划分的6个小组的竞技台，由班长和数学课代表一起完成本节课的记分任务。

另外，老师加以说明，本节课同学们积极参与课堂评价，我们将评选出1～2个优胜小组获得老师准备的奖品，评选出5～6位表现突出的同学获得老师赠与的礼物。

【教学过程】
（一）故事引入，引发思考
图1
图2
图3
相传两千多年前，古希腊著名的哲学家、数学家毕达哥拉斯去朋友家做客。

在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地发起呆来。

原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方。

主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他，谁知，毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了。

原来，他发现了地砖上的三个正方形存在某种数学关系。

你知道他发现的三个正方形之间存在着怎样的
关系吗？
（课堂评价1：教师给出一个历史小故事，设置悬
念，引发学生思考，点燃学生的求知欲，以景激情，以情激思，为本节课的课堂教学和评价做好充分铺垫。

）
（二）自主探索，合作交流探究活动一：数一数
在如图的正方形网格中，请你数一数图中正方形A 、B 、C 各占多少个小格子？完成表格，探究
规律。

（课堂评价2：语言激励评价——师生评价。

通过小组内的合作交流，搭建本节课小组竞争的平台。

小组之间的比赛开始了!鼓励学生合作、竞争，积极参与到课堂评价的活动中。

鼓励学生重点讲出正方形C 面积的求解方法，挖掘小组学习过程中涌现的
“导学小老师”。

）
探究活动二：议一议在如图的正方形网格中，你还
能数出图中正方形A 、B 、C 各占多少个小格子吗？完成表格，探究规律。

正方形A 的面积（单位面积）
正方形B 的面积（单位面积）
正方形C 的面积（单位面积）
图1 图2 图3
A 、
B 、
C 面积关系
直角三角形三边数量关系
得出结论：等腰直角三角形的三边满足a 2＋b 2＝c 2的数量关系
黑白相间的地砖
正方形A 的面积（单位面积）
正方形B 的面积（单位面积）
正方形C 的面积（单位面积）
图1 图2
A 、
B 、
C 面积关系
直角三角形三边数量关系
得出结论：直角边长为整数的直角三角形的三边也满足
a 2＋
b 2＝
c 2的数量关系
（课堂评价3：小组内评价、分层评价、奖励评价－师生评价、生生评价。

语言激励评价－师生评价。

鼓励学生重点讲出正方形C 面积的求解方法，鼓励学生的多种思路和多种解法，得以自然地强调重点、突破难点，渗透割补思想，重点培养“导学小老师”。

）
探究活动三：看一看
利用几何画板在网格纸上画出直角边长分别为整数个单位长度和非整数个单位长度的直角三角形，测量出斜边的长度，前面所得到的直角三角形三边之间的数量关系仍然成立吗？
1.6
2.4
B
C
A
（课堂评价4：语言激励评价－师生评价。

通过整个探索勾股定理的渐进过程，渗透由特殊到一般的数学思想，让学生深刻感知勾股定理。

此时，教师适当地利用竞技台展示一下各小组
图2
图1
的得分情况，鼓励学生积极地为了小组的荣誉而努力，同时也为“实践应用”创设高涨的学习热情。

）
（三）归纳结论，实践应用
归纳总结上面得到的直角三角形三边之间的数量关系的有关结论，并用数学符号表示。

（课堂评价5：语
言激励评
价－师生
评价。

通过归纳，培养学生的数学语言和符号语言的表达能力，感受勾股定理的作用。

）
我国是最早发现勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载：公元前1100年人们已经知道“勾广三，股修四，径隅五”。

把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦。

将此定理命名为勾股定理。

实践应用一：应用定理
1、在△ABC 中，∠C=90°。

若a=6，b=8，则c= 。

2、在△ABC 中，∠C=90°。

若c=13，b=12，则a= 。

3、若直角三角形中，有两边长是3和4，则第三边长的平方为（） A 25 B 14 C 7 D 7或25
（课堂评价7：小组内评价、分层评价、奖励评价－师生评价、生生评价。

语言激励评价－师生评价。

开展小组竞技。

）
实践应用二：探索情境
1、某发生火灾，消防车立即赶到距大楼6米的地方搭建云梯，升起云梯到达火灾窗口。

已知云梯长10米，问发生火灾的窗口距离地面多高？
2、如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面9米处折断倒下，树顶落在离树根12米处.大树在折断之前
高多少？
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

如果
用a ，b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么12
9
12
3、有一个长方形盒子，长、宽、高分别为4厘米、3厘米、12
木棒能否放入？为什么？
（课堂评价8：分层评价、奖励评价－师生评价、生生评价。

全班同学
都被这个富有挑战性的问题深深吸引，个个摩拳擦掌、跃跃欲试，全身心投入探索活动，为本组的集体荣誉而一起努力。

）
实践应用三：拓展提高
1、小明的妈妈买来一部29英寸（74厘米）的电视机，小明量了电视机的荧屏后，发现荧屏只有58厘米长46厘米宽，他认为售货员搞错了。

对不对？（582=3364 462=2116 74.032≈5480）
2、两个边长分别为4个单位和3个单位的正方形连在一起的“L”形纸片，请你剪两刀，再将所得图形拼成一个正方形。

（课堂评价9：分层评价、奖励评价－师生评价、生生评价。

分小组动手操作，全班交流，充分发挥小组内“导学小老师”的作用。

）
（四）回顾反思，提炼精华
1、你这节课的主要收获是什么？
2、该定理揭示了哪一类三角形中的什么元素之间的关系？
3、在探索和验证定理的过程中，我们运用了哪些方法？
4、你最有兴趣的是什么？你有没有感到困难的地方？
（课堂评价10：奖励评价－师生评价、生生评价。

利用电脑对学生在课堂上的精彩表现及时鼓励、肯定！“你真行！！掌声和鲜花献给你!!”同时评选出1～2个优胜小组获得老师准备的奖品，评选出5～6位表现突出的同学获得老师赠与的礼物，实现教师在课堂教学中不同形式的奖励评价。

）
（五）布置作业，课堂延伸
☺P7 习题1.1 1、2、3、4
☺仔细研读P6 勾股定理，为下一节的验证打好基础。

☺若将“拓展提高”训练中的两个连在一起的呈“L”形的正方形边长改为a和b，你还能剪两刀后将所得图形拼成一个正方形吗？你将怎样剪？
【教学评价】
本节教学过程中，始终通过师生互动，鼓励学生积极思考、努力探索、合作交流；教师多角度地关注学生的思考，留给学生思考和探究的时间和空间；关注学生能否发现问题、提出问题，能否敢于发表自己的见解、吸取正确的见解；关注学生学习过程中表现出来的学习
习惯、个性品质、情感态度等。

本节课教师通过课堂评价的多种形式，努力调动学生学习的积极性，激发学生的竞争意识；和学生共同建立记分台，通过这样的的展示旨在培养团队精神和合作意识；对学生回答是否正确、全面与否教师都给予及时的肯定和语言激励评价，时刻注意激发学生学习的内驱力，确保每一个学生都学得更多、更快、更好！。