不确定条件的选择理论

简单的历史回顾
二十世纪六十年代：不确定条件下的选择理论被 视为经济分析中成功之典范： 它以公理化体系为基础，在风险分析、风险厌 恶及其在经济问题中的应用取得了重大突破。 为其后经济学中出现的“信息革命”准备了坚 实的基础。 到了80年代：该理论被认为是一个变动不居的领 域（非成熟的理论） 标准的理论在多方面遭到来自经济学内、外的 挑战。
N=95（80%）（20%） • C=（A，0.25) • 结论？
C D N=95 （65%）（35%）
D=(B,0.25)
A
选项7 B 选项7 C
6,000 （45%)
3,000 （90%） 6,000 （1%） 3,000 （2%）
0 (55%)
0 （10%） 0 （ 99%） 0 （98%）


独立性公理(strong independence)： 若 x y 则 L ( x , z ; ） L ( y , z ; ）
可量化公理(Measurability)： 若 x y z 或 x y z 则存在唯一的 使得： y L ( x , z ; ） 排序公理（Ranking)： 若 x y z 和 x u z 且满足 y L ( x , z ; ） 和 u L ( x , z ; 2）则
• Preference functional: V(L)=V(p1,x1;…;pS,xS)
• 选择公理： 完备性公理（completeness)： x , y 则要么 x y 要么

x y
传递性公理（Transitivity)： 若 x y且 y z 则 x z

L （ x 1 , p 1 ; x 2 , p 2 ; ...; x s , p s )

——偏好于
——无差异
p1
x1
x2
L （ x 1 , p 1 ; x 2 , p 2 )
p2
A lottery(彩票）
• Set of possible outcomes: X={x1,…,xS};
1
y u 1 2
y u 1 2
或
Copeland 五公理 完备性、传递性、强独立性、可度量性、排 序性 Ingersoll 六公理 完备性、自反性、传递性、连续性、独立性、 占优性(dominance) Gollier 理性投资者加两个公理 连续性、 独立性
图示
• A Simple lottery: L=(x1,p1;…;xS,pS)
x1
p1
p2
L
x2

ps pS
xs

xS
A Simple lottery and Machina Triangle
• The set of all lotteries on outcomes X is denoted
{ ( p 1 , ..., p S ) R p 1 ... p S 1}
a a a b b b
S
U (L )
a

s 1
ps u ( xs )
S
a
S
L L
a b

s 1
ps u ( xs )
a

s 1
ps u ( xs )
b
• 例1：抛一枚均匀的色子，出现 i 点则赢利i元， 该博弈的效用为： 6
U (L )
a
1
6
u (s)
s 1
• 例2：某股票期末价值 W服从正态分布W 效用为：
Machina三角
1
increasing p reference
p3
ind ifference cu rves
0
p1
1
二、不确定条件下的选择公理与期 望效用理论
• 公理化体系 • 期望效用理论
1、公理化体系
• 记号： A——行为集；x , y A ——可选择行为 L——彩票( lottery)
期望效用函数:
S
＋
＝ E [u ( L ) ] p i u ( x i )
i 1
＝ E [ u ( L )] u ( x ) f ( x ) d x
－
The Expected utility Theorem
• 命题1：若在确定结果的选择集上的理性偏好 满足连续性公理，则存在函数：
试验结果: 多数
理论分析：
A1 A 2 A1 A 2
多数
A 4 A3
u (1 0 0 ) 0 . 1u ( 5 0 0 ) 0 . 8 9 u (1 0 0 ) 0 . 0 1u ( 0 ) 1 1u (1 0 0 ) 1 0 u ( 5 0 0 ) u ( 0 )
Lottery N N
a
0 50 0 50 0
1-10 50 250 50 250
11-99 50 50 0 0
b
M M
a
b
Paradox: Na preferred to Nb, and Mb preferred to Ma
A、阿莱斯悖论（Allais，1952，Econometrica） 1A 100万法郎 选项1 （100% A2 500万法郎 100万法郎 0 选项1 （10%） （89%） （1%） A3 500万法郎 0 选项2 （10%） （ 90%） A4 100万法郎 0 选项2 （11%） （89%）
C D B A N=72 （82%）（18%） N=72 （83%）（17%）
A
选项3 B 选项3 C
4,000 （80%）
0 （20%）
3,000 （100%） 4,000 （20%） 3,000 （25%） 0 （ 80%） 0 （75%）
选项4
D 选项4
• 结果：
B A
选项8
D 选项8
• 结果：
B A N=66（86%）（14%）
N=66 （73%）（27%）
C D
C、偏好逆转和框架效应
• 偏好逆转（preference phenomenon) Lichtenstein&Slovic(1971) 问题： P-bet 28/36 chances of winning $10 $-bet 3/36 chances of winning $100 两者选一，你选谁？——购买时标价谁高 两者卖一，你卖谁？——出售时谁标价高
10/11
89% 11%
100 G 0 100
89%
11%
G
1/11
500 0
B、更多的反例： Kahneman &Tversky (1979,Econometrica)
A
选项1
B 选项1 C 选项2
2,500 （Biblioteka 3%）D选项22,500 （33%） 2,400 （34%）
2,400 0 （66%） （1%） 2,400 （100%） 0 （ 67%） 0 （66%）
A 4 A3
0 . 1 1u (1 0 0 ) 0 . 8 9 u ( 0 ) 0 . 1u ( 5 0 0 ) 0 . 9 u ( 0 ) 1 1u (1 0 0 ) 1 0 u ( 5 0 0 ) u ( 0 )
挑战什么？
对 lottery进行分解： A1与A2 89% 100 11% 100 A3与A4 89% 0 11% G
问题：进一步对照不同文献中的公理体系， 并说明为何各自包含的公理不相同。
2、期望效用函数
• V-M定理： 如果偏好关系 ( A , ) 满足上述五个公理，则在A上存 在期望效用函数 u (.)，满足：
x y u (x) u( y) u ( x , y ; p ) p u ( x ) (1 p ) u ( y )
U : R
使得：
U (L ) U (L ) L L
a b a b
The Expected utility Theorem
• 定理1（期望效用）： 若定义在简单彩票空间上的理性偏好满足连续 性公理和独立性公理，则该偏好可以表示为关 于概率为线性的偏好函数。即：
L ( p 1 , ..., p S ) , L ( p 1 , ..., p S )
S
• When S=3, we can represent a lottery by a point which is so-called Machina triangle
{ ( p 1 , p 3 ) R 1 p 1 p 3 1}
2
讲解
• 为了分析问题的方便，往往简化问题，如 将支付固定而让概率变化，不同的概率分 布代表不同的彩票。 • 进一步的简化方式是考虑三状态情形，如 果三状态情形结果不成立，则多状态下结 果也不成立。这就是构造Machina三角的出 发点。
Von Neumann-Morgenstern（1944）和 Savage(1954) 提出期望效用理论，该理论 共享了标准的消费者理论中的很多假设， 但又有很多的不相同： 消费理论——序数效用理论——可以对 效用函数进行任意的单调变换 EU理论——基数效用理论——只能进 行平移变换，不改变函数形状。
U (L )
a
其
2


w 2
exp[
(w ) 2
2
]d w
三、期望效用理论的挑战
• 在期望效用理论提出的同时，人们就已通 过实验来检验该理论的合理性。 • 大量的实验经济学结果对一些看似正确无 疑的公理提出了质疑。 • 阿莱斯悖论首先对独立化公理提出挑战。
A、 Allais’ paradox