和、差、积、商的导数

直接利用导数的运算法则求导

求下列函数的导数:

联系基本函数求导公式，不具备求导法则条件的可适当进行恒等变 形，步步为营，使解决问题水到渠成.

解：1 . yy(x 4

-3X 2

-5X +6)，

= (x 4) '—3(x 2)' —5x' + (6)，=4x 3

—6x —5.

广

x ©n X 、 (xsin x)' cosx — xsin x (cosx)‘

,cosx 厂 cos 2

^

2

2cos x

/ =[(x +1)(x + 2)]'(x+3) +(x+1)(x + 2)(x+3)'

= [(x + 1)'(x +2)+(x + 1)(x +2)](x + 3) +(x + 1)(x + 2) =(x +2+x + 1)(x +3)+(x + 1)(x +2) =

(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2) = 3x 2

+12x+11.

2

cos x

3.解法

解法二：y

X 3

+6x 2

+11x +6 ,

1. y =X 4

-3x

1 2

-5x+6 ；

.y = X ta n x

3. y =(x+1)(x+2)(x+3);

X —1 y =

x +1

分析：仔细观察和分析各函数的结构规律,

紧扣求导运算法则,

2. y ，= (x tan x)'=

_ (sin X +cosx) cosx +xsin 2

x _ sin x -cosx + xcos 2

x "(xsin 2

x)

2

COS x

2

cos x

y' = 3x2+12x+11.

解法二：心一三

4.解法一：厂=

(X -1、 (x-1)'(x+1) -(x-1)(x + 1)'

l x +1 丿

2

(X+1) _(x+1)—(X-1)

2 (X +1)2

-(X +1)2

卜引=（亠一⑵EVE

I x +1 丿

X +1

2

(x+1)

2・

(x+1)

说明：理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运 算的前提条件，运算过程出现失误，原因是不能正确理解求导法则, 特别是商的求导法同.求导过程中符号判断不清，也是导致错误的因 素.从本题可以看出，深刻理解和掌握导数运算法则，再结合给定函 数本身的特点，才能准确有效地进行求导运算，才能充分调动思维的 积极性，在解决新问题时举一反三，触类旁通，得心应手.

化简函数解析式在求解

求下列函数的导数.

1. 、审+4^ 皿；

2. y=sin 4

2+cos 4

Z ;

4

4

3.

1+v x 丄 1 -T X

/

• X “ c

2 X\

y= ----- + ------ ; 4. y =—sin-(1-2cos —)•

1 -T x 1 +V x 分析：对于比较复杂的函数，如果直接套用求导法则，会使问题 求解过程繁琐冗长，且易出错.可先对函数解析式进行合理的恒等变

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换，转化为易求导的结构形式再求导数.

解: 1. y =jF+d 「77=x 2+X 3 +X 4 , 二 y ' =2x +3x 2

+4x1

sin 2-+cos 2- -2sin 2^ cos 2

- 14 4丿 4 4

=1-2sln 2

—-J^COS^ J+^COSX

2

2 2 4 4

,「3 1 、 1 .

y =1 — + — COSX i = ——sinx.

V 4 4

丿

4

/

X X 1 4. y = -sin -cos- = — -sin x ,

2 2 2

Ld nx ］亠X. I 2 丿 2

说明：对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则.求 导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导 的制约作用.在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必 要的运算失误.

根据点和切线确定抛物线的系数

例 已知抛物线y=ax 2

中bx+c 通过点P(1,1)，且在点Q(2-1)处与直 线y =x -3

相切，求实数a 、b 、c 的值.

O

(1+J X)2

丄(1 — J X)2

2(1+x) 4

3. y = ---------- + ---------- = -------- 1 -X 1-X -2.

1-X 1-X

4

••• y

y)

,(4)(1-X)-4(1—X)'

(1 -X)2

(1-X)2

分析：解决问题，关键在于理解题意，转化、沟通条件与结论,

将二者统一起来.题中涉及三个未知参数，题设中有三个独立的条件, 因此，通过解方程组来确定参数 a b 、c 的值是可行的途径.

解：•••曲线 y=ax 2

+bx+c 过 P(1,1)点,

a +

b +C =1 ①

常 y ' = 2ax +b ，二寫 y [x 4 =4a +b 二 4a +b =1 ②

又曲线过 Q(2,-1)点，••• 4a+2b+c = -1 ③. 联立解①、②、③得a = 3, b = 一11, C =9.

说明：利用导数求切线斜率是行之有效的方法，它适用于任何可 导函数，解题时要充分运用这一条件，才能使问题迎刃而解.解答本 题常见的失误是不注意运用点Q （2,—1）在曲线上这一关键的隐含条件.

利用导数求和

利用导数求和.

S n =1+2X +3X 2 ++nx n

4,(xH0, n 迂 N *)

Sn M/ZC ：+3C 3

+……+nC ：,(n 迂 N*)

分析：问题分别可通过错位相减的方法及构造二项式定理的方法 来解决.转换思维角度，由求导公式（X 丫 = nx^，可联想到它们是另

外一个和式的导数，因此可转化求和，利用导数运算可使问题解法更 加简洁明快.

1. 2.