应用随机过程答案1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2. （1） 求参数为的()b p ,分布的特征函数，其概率密度为
Γ()()是正整数p b x x e x p b x p bx p p ,0 000,1>⎪⎩
⎪⎨⎧≤>Γ=−−
（2）求其期望和方差。
（3）证明对具有相同参数的b Γ分布，关于参数具有可加性。 p 函数有下面的性质：
解 （1） 首先，我们知道Γ()()! 1−=Γp p
根据特征函数的定义，有
()[]()()
()
()()()()()()()()()
()()()()()()()()p
p p x jt b p p x
jt b p p x jt b p p x
jt b p p x
jt b p p bx
p p jtx
jtx
jtX
X jt b b jt b p p b dx
e x jt b p p b dx e x jt b p p b dx e x jt b p p b e x jt b p b dx e x p b dx e x p b e
dx x p e e E t f ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝⎛−=−−Γ=−−Γ=
=−−Γ=−−Γ+−−Γ=Γ=Γ===∫
∫∫∫
∫∫
∞
−−−∞−−−∞−−−∞−−−∞
−−−−−∞
∞
∞
−!1!11110
01
020
20
10
110
L
所以
()p
X jt b b t f ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝⎛−=
（2）根据期望的定义，有
[]()()()
()()()()b
p
dx x p b p dx e x p b b p dx e x b
p p b e x b
p b dx e x p b dx e x p b x dx x xp X E m bx p p bx p p bx
p p bx p p bx p p X ==Γ=Γ+−Γ=Γ=Γ===∫∫∫∫∫
∫∞∞−∞−−∞−−∞−∞−∞
−−∞∞
−01010
00
11
类似的，有
[]()()()
()()()()()()()()()()2
2012000
1010
12
2
2
111111b p p dx x p b p p dx e x p b b p p dx e x b p p b dx e x b
p p b e x b
p b dx e x p b dx e x p b x dx x p x X
E bx
p p bx
p p bx
p p bx
p p bx p p bx p p +=
+=Γ+=
=+Γ=
+Γ+−Γ=
Γ=Γ==∫∫∫∫∫∫
∫
∞∞
−∞
−−∞−∞−∞
−+∞−+∞
−−∞
∞
−L
的方差为
X 所以，[]()22
2
2
2
1b p
b p b p p m
X
E D X
X =⎟⎠
⎞⎜⎝⎛−
+=−=
（3）
()()()
jt jnt jt e n e e t f −−=115. 试证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。
()t f 解. 根据定理 1.3.2（第10页）, 我们只需证明是连续非负定，且。 ()10=f 注意到
()(
)(
)
()
∑∑=
−===−−=−−=n k jkt n k jkt
jt jt n
jt
jt jt
jnt jt e n e
n
e e e n e e
n e e t f 111111
所以连续且. 下面我们证明()t f ()10=f ()t f 是非负定的（性质1.3.3，第8页）。对任意给定的自然数M ，实数以及复数
，由于
M t t t ,,,21L M a a a ,,,21L ()()()
(
)
()
(
)
∑∑∑∑
==−−−==−−=−=M
i M
k k i t t j t t jn t t j M
i M
k k i k i a a e n e e a a t t f A k i k i k i 11
1111 ()()()
(
)
()
(
)
()()
(
)
()
(
)
A
a a e n e e a a e n e e a a t t f A M
k M i i k t t j t t jn t t j M
i M
k k
i t t j t t jn t t j M i M
k k i k i i k i k ii k k i k i k i =−−=−−=−=∑∑∑∑∑∑
==−−−−==−−−−−−==11
11
111111
n
e jlt
A ,,2,1n l L =所以是实数。其次，容易证明对任意函数是非负定
的。 因此，函数是非负定的。()t f ()t f 是特征函数。
()t f 下面我们求对应的随机变量的概率密度函数。 根据定理1.3.1（第10页），
()()()()∑∑∑∫∫
===∞∞
−−∞
∞
−−−=−===
n
k n k n k jkt
jtx jtx
k x n k x n dt
e e n dt e
t f x p 1
1112212121
δπδπππ