因式分解的主要步骤
因式分解的步骤
因式分解的步骤
因式分解是代数学中的一种基本运算，它可以将多项式
拆分成更简单的因子，帮助我们更好地理解和处理多项式的性质和运算。
因式分解的步骤主要包括以下几个方面：
1. 提取公因子：
首先，我们可以检查多项式中是否存在可以被整个多项式
中的每一项整除的公因子。
如果存在这样的公因子，我们可以将其提取出来，进而简化多项式。
2. 利用特殊公式：
在一些特定的情况下，我们可以利用一些特殊公式对多项
式进行因式分解。
例如，平方差公式 (a^2 - b^2)、完全平方公式 (a^2 + 2ab + b^2)、差平方公式 (a^2 - 2ab + b^2) 等。
3. 分解二次、三次多项式：
对于二次或三次多项式，我们可以通过试除法或者配方法
进行因式分解。
试除法主要是通过尝试将可能的因式代入多项式中，来确定是否为多项式的因子。
而配方法则是通过选择适当的项与多项式进行配对，以便将其转化为一个可因式分解的形式。
4. 使用因式定理：
当多项式为高次多项式时，我们可以使用因式定理来判断
是否存在关于给定值的线性因子。
因式定理指出，如果给定值是多项式的根，那么该多项式一定可以被对应的线性因子整除。
5. 利用多项式的性质：
在因式分解的过程中，我们可以利用多项式的性质来简化计算。
例如，多项式的次数、系数的性质等。
总结起来，因式分解的步骤主要包括提取公因子、利用特殊公式、分解二次、三次多项式、使用因式定理以及利用多项式的性质。
这些步骤可以帮助我们将多项式拆分成更简单的因子，从而更好地理解和处理多项式的性质和运算。
因式分解法解一元二次方程的步骤
因式分解法解一元二次方程的步骤因式分解法是解一元二次方程的一种常用方法。
它的基本思路是将二次方程转化成两个一次方程相乘的形式，然后通过求解这两个一次方程得到方程的解。
下面我们来详细介绍因式分解法的步骤。
步骤1：确定一元二次方程的形式首先，我们要确定一元二次方程的形式，即确认方程为a*x^2 +b*x + c = 0，其中a、b和c是实数，且a ≠ 0。
确保方程满足这个条件后，我们才能使用因式分解法进行求解。
步骤2：计算二次项系数a将已知的一元二次方程写成标准形式，我们可以直接从方程中读取二次项系数a的值。
这一步很重要，因为我们后续的计算都会用到a 的值。
步骤3：计算常数项c同理，我们从方程中读取常数项c的值。
这一步同样很关键，因为我们在解方程时，需要用到常数项的值。
步骤4：根据二次项系数a和常数项c的符号确定因式的形式根据二次项系数a的符号，一元二次方程的因式形式分为两种情况：当a > 0时，我们可以使用“差平方”的形式进行因式分解；当a < 0时，我们可以使用“和平方”的形式进行因式分解。
步骤5：根据因式的形式进行因式分解对于“差平方”的形式，我们可以将一元二次方程写成(a*x +m)*(a*x - n) = 0的形式，其中m和n是实数，且m ≠ n。
将原方程的右侧展开并整理，得到二次项、一次项和常数项的关系式，然后通过求解m和n的值，可以得到方程的解。
对于“和平方”的形式，我们可以将一元二次方程写成(a*x +m)*(a*x + n) = 0的形式，其中m和n是实数，且m ≠ -n。
也是通过展开右侧等式并整理得到二次项、一次项和常数项的关系式，然后求解m和n的值，得到方程的解。
步骤6：求解方程通过步骤5的因式分解，我们得到了一元二次方程的两个一次因式，接下来，我们可以将每个因式设置为零，分别求解得到方程的解。
步骤7：检验解的有效性最后，我们还需要检验求得的解是否满足原方程。
将解代入原方程中，如果方程两侧相等，那么我们的解就是有效的，否则需要重新检查求解过程。
因式分解法四个基本步骤
因式分解法四个基本步骤宝子，今天咱来唠唠因式分解法的四个基本步骤哈。
一、提公因式。
这就像是从一群小伙伴里先把那个带头的找出来。
比如说式子3x + 6，这里面3就是公因式呀。
你看，3乘以x是3x，3乘以2是6，那咱就可以把3提出来，写成3(x + 2)。
这一步呢，就是要眼睛尖一点，看看式子里面有没有那种每个项都有的东西，就像在一堆东西里找相同的小零件一样，找到了提出来就好啦。
二、运用公式。
这里面有几个很厉害的公式呢。
像平方差公式a² - b²=(a + b)(a - b)，完全平方公式(a±b)²=a²±2ab + b²。
比如说给你个式子x² - 9，这就是个平方差呀，9是3的平方，那它就可以分解成(x + 3)(x - 3)。
要是遇到x²+6x + 9呢，这就是完全平方公式的样子啦，它可以写成(x + 3)²。
这一步就像是给式子找个合适的模板，看看它符合哪个公式，然后就套进去。
三、分组分解。
这就有点像给一群小伙伴分组啦。
比如说式子ax + ay + bx + by，咱们可以把前面两个有a的放一组，后面两个有b的放一组，就变成(ax + ay)+(bx + by)。
然后呢，第一组提个a出来变成a(x + y)，第二组提个b出来变成b(x + y)，最后整个式子就可以写成(a + b)(x + y)啦。
这一步要有点小创意，知道怎么分组能让式子变得好分解。
四、十字相乘法。
这个可有趣啦。
就拿x²+5x + 6来说吧。
咱们要把二次项系数1和常数项6拆成两个数相乘的形式，1只能拆成1乘以1，6可以拆成2乘以3。
然后像这样十字交叉相乘再相加，1乘以3加上1乘以2正好等于一次项系数5呢。
那这个式子就可以分解成(x + 2)(x + 3)。
这一步就像是在玩数字的拼图游戏，要找到合适的数字组合才行。
宝子，因式分解法的这四个基本步骤就是这样啦，多练练，你就会觉得可好玩了呢。
因式分解法的四种方法
因式分解法的四种方法因式分解是代数中常见的一种运算方法，它在解决多项式的因式分解、求解方程等问题中起着重要的作用。
在代数学习中，掌握好因式分解的方法对于提高解题效率和解题能力都是非常有帮助的。
因此，本文将介绍因式分解法的四种方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一重要的数学知识。
一、公因式提取法。
公因式提取法是因式分解中最基本的一种方法，它适用于多项式中存在公共因子的情况。
具体步骤如下：1. 将多项式中的公因式提取出来；2. 将提取出的公因式与剩下的部分分别相乘得到因式分解的结果。
例如，对于多项式2x+4xy，我们可以将公因式2提取出来，得到2(x+2y)，这就是多项式的因式分解结果。
二、配方法。
配方法是因式分解中常用的一种方法，它适用于一些特殊形式的多项式。
具体步骤如下：1. 将多项式中的各项按照特定的方式相加或相减，使得可以进行因式分解；2. 根据配方法的规则，将多项式进行因式分解。
例如，对于多项式x^2+2xy+y^2，我们可以将其写成(x+y)^2的形式，这就是多项式的因式分解结果。
三、分组法。
分组法是因式分解中常用的一种方法，它适用于四项式的因式分解。
具体步骤如下：1. 将四项式中的各项进行分组；2. 对每组进行因式分解；3. 将每组的因式分解结果进行合并，得到最终的因式分解结果。
例如，对于四项式x^2+2xy+2x+4y，我们可以将其进行分组，得到x(x+2y)+2(x+2y)，然后再进行因式分解，最终得到(x+2y)(x+2)的因式分解结果。
四、公式法。
公式法是因式分解中常用的一种方法，它适用于一些特定的多项式。
具体步骤如下：1. 根据多项式的特定形式，使用相应的公式进行因式分解；2. 根据公式的规则，将多项式进行因式分解。
例如，对于多项式x^2-4，我们可以使用平方差公式进行因式分解，得到(x+2)(x-2)的结果。
以上就是因式分解法的四种方法，它们分别适用于不同的多项式形式，能够帮助我们更好地进行因式分解运算。
因式分解的三个步骤
因式分解的三个步骤因式分解是将一个多项式分解为两个或多个能够整除原多项式的因子的乘积。
因式分解在代数中具有重要的作用，它可以帮助我们简化表达式、求解方程和探索数学问题。
下面是因式分解的三个步骤。
第一步是提取公因子。
在进行因式分解时，我们首先要观察多项式中是否存在公因子。
公因子是指能够被多项式中的每一项整除的因子。
例如，对于多项式6某+9，我们可以提取公因子3，得到3(2某+3)。
通过提取公因子，我们可以将原多项式转化为一个更简单的形式。
第二步是分解差平方、和平方和或完全平方差等特殊形式。
在代数中，我们经常遇到具有特殊形式的多项式，例如差平方(a^2-b^2)、和平方和(a^2+b^2)或完全平方差(a^2-b^2)。
对于这些特殊形式的多项式，我们可以利用相应的公式进行因式分解。
例如，对于差平方(a^2-b^2)，我们可以将其分解为(a+b)(a-b)。
通过分解特殊形式，我们可以将复杂的多项式简化为乘积的形式。
第三步是使用长除法或求根法进行因式分解。
对于无法通过提取公因子或分解特殊形式的多项式，我们可以使用长除法或求根法进行因式分解。
长除法是一种通过多次除法来寻找能够整除多项式的因子的方法。
通过多次除法，我们可以找到多项式的一个因子，然后将原多项式除以该因子，再继续寻找下一个因子。
求根法是通过将多项式中的变量替换为其根的值，从而得到因子的方法。
例如，对于二次多项式f(某)=a某^2+b某+c，我们可以通过求解方程f(某)=0来找到其根，然后将根代入原多项式中，得到因子的乘积形式。
通过上述三个步骤，我们可以将复杂的多项式进行因式分解，找到其因子的乘积形式。
因式分解在代数中具有广泛的应用，它不仅可以帮助我们简化表达式，还可以帮助我们解决各种数学问题，包括求解方程、研究数学关系和探索数学规律。
因此，掌握因式分解的三个步骤对于学习代数和解决数学问题非常重要。
因式分解知识点总结
因式分解知识点总结一、因式分解的概念。
1. 定义。
- 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
例如：x^2-4=(x + 2)(x - 2)，就是将多项式x^2-4因式分解为两个整式(x + 2)与(x - 2)的积的形式。
2. 与整式乘法的关系。
- 因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形。
整式乘法是把几个整式相乘化为一个多项式，如(a + b)(a - b)=a^2-b^2；而因式分解是把一个多项式化为几个整式相乘，如a^2-b^2=(a + b)(a - b)。
二、因式分解的方法。
1. 提公因式法。
- 公因式的确定。
- 系数：取各项系数的最大公因数。
例如，对于多项式6x^2+9x，系数6和9的最大公因数是3。
- 字母：取各项相同的字母。
在6x^2+9x中，相同的字母是x。
- 字母的指数：取相同字母的最低次幂。
对于6x^2+9x，x的最低次幂是1。
所以公因式是3x。
- 提公因式的步骤。
- 找出公因式。
- 用多项式除以公因式，得到另一个因式。
例如，6x^2+9x = 3x(2x+3)。
2. 公式法。
- 平方差公式。
- 公式：a^2-b^2=(a + b)(a - b)。
- 应用条件：多项式必须是两项式，并且这两项都能写成平方的形式，符号相反。
例如，9x^2-16y^2=(3x + 4y)(3x - 4y)，这里9x^2=(3x)^2，16y^2=(4y)^2。
- 完全平方公式。
- 公式：a^2+2ab + b^2=(a + b)^2，a^2-2ab + b^2=(a - b)^2。
- 应用条件：多项式是三项式，其中有两项能写成平方的形式，且这两项的符号相同，另一项是这两个数乘积的2倍。
例如，x^2+6x + 9=(x + 3)^2，这里x^2=x^2，9 = 3^2，6x=2× x×3。
3. 十字相乘法（拓展内容，人教版教材部分有涉及）- 对于二次三项式ax^2+bx + c(a≠0)，如果能找到两个数m和n，使得m + n=b 且mn = ac，那么ax^2+bx + c=(x + m)(x + n)。
多项式的因式分解的方法
多项式的因式分解的方法
多项式的因式分解是将一个多项式表示为若干个因式的乘积的过程。
下面介绍几种常用的因式分解方法。
1.提取公因式法：
当多项式中的每一项都有一个公因式时，可以利用提取公因式的方法进行因式分解。
具体步骤如下：
找出多项式中每一项的最大公因子；
将每一项除以公因子，得到新的多项式；
将公因子和新的多项式相乘，得到因式分解的结果。
2.公式法：
常见的公式有平方差公式、完全平方公式、立方差公式等。
通过应用这些公式，可以将多项式转化为容易分解的形式。
3.分组分解法：
当多项式中存在某些项之间具有相同的因式时，可以利用分组分解的方法。
具体步骤如下：
将多项式中的项进行分组，使得每组的项存在公因式；
对每组的项进行提取公因式；
将提取出的公因式和每组的项相乘，得到因式分解的结果。
4.二次三角形式分解法：
对形如$a^2b^2$的二次差进行因式分解时，可以利用二次三角形式分解法。
具体步骤如下：
将二次差形式转化为$(a+b)(ab)$的形式，其中$a$和
$b$是变量；
将$(a+b)$和$(ab)$作为因子，得到因式分解的结果。
以上是常用的几种多项式因式分解的方法，实际运用时可以根据多项式的具体形式选择合适的方法进行因式分解。
第3课 因式分解
2x＋1＝(x＋1)2，故本项错误；③等式的右边不是乘积形
式，不是因式分解，故本项错误；④2x＋4＝2(x＋2)，故
本项正确．
【纠错】 ④ ★名师指津 因式分解是将一个多项式变形为几个因式
的乘积的形式．在变形的过程中，应注意避免将部 分多项式转化成几个因式乘积的形式，导致式子最 后的形式是和的形式，从而没有正确地进行因式分 解．
【答案】 D
【类题演练 1】 下列式子变形是因式分解的是 ( ) A．x2－2x－3＝x(x－2)－3 B．x2－2x－3＝(x－1)2－4 C．(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3 D．x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)
【解析】 A．没把一个多项式转化成几个整式积的形式， 故本选项错误． B．没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项 错误． C．是整式的乘法，故本选项错误． D．把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项正 确．
2．用完全平方公式分解因式时，其关键是掌握公式的特 征．
【典例 3】 (2018·贺 州 ) 下 列 各 式 分 解 因 式 正 确 的 是
() A．x2＋6xy＋9y2＝(x＋3y)2 B．2x2－4xy＋9y2＝(2x－3y)2 C．2x2－8y2＝2(x＋4y)(x－4y) D．x(x－y)－y(y＋x)＝(x－y)(x＋y) 【解析】 A．x2＋6xy＋9y2＝(x＋3y)2，故本选项正确． B．2x2－4xy＋9y2 无法分解因式，故本选项错误． C．2x2－8y2＝2(x＋2y)(x－2y)，故本选项错误． D．x(x－y)－y(y＋x)无法分解因式，故本选项错误．
2．提取公因式法常用的变形有 a－b＝－(b－a)，当 n 为 奇数时，(a－b)n＝－(b－a)n；当 n 为偶数时，(a－b)n ＝(b－a)n．
因式分解的方法
因式分解的方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。
而在竞赛上，又有拆项和添项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法，剩余定理法等。
一、基本方法⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。
提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
注意：把2a2+1/2变成2(a2+1/4)不叫提公因式⑵公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。
平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b) 2；注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；完全立方公式：a 3±3a2b＋3ab2±b 3=(a±b) 3。
例如：a2 +4ab+4b2 =(a+2b) 2。
二、竞赛用到的方法⑶分组分解法分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。
能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。
比如：ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。
因式分解法解方程步骤
因式分解法解方程步骤一、引言方程是数学中重要的概念，它描述了数值之间的关系。
解方程是求解未知数的值，因式分解法是解方程的一种常用方法。
本文将介绍使用因式分解法解方程的具体步骤。
二、因式分解法解方程的基本思想因式分解法是将一个复杂的方程转化为一个或多个简单的因式相乘的形式，从而得到方程的解。
这种方法常用于一次方程、二次方程和高次方程的求解。
三、一次方程的因式分解法解法步骤1. 将一次方程移到等式的一边，使等式为0。
2. 将方程进行因式分解，将其转化为两个或多个因式相乘的形式。
3. 令每个因式等于0，得到多个子方程。
4. 解每个子方程，得到对应的解。
5. 将所有解合并，得到原方程的全部解。
四、二次方程的因式分解法解法步骤1. 将二次方程移到等式的一边，使等式为0。
2. 将方程进行因式分解，将其转化为两个一次因式相乘的形式。
3. 令每个一次因式等于0，得到两个子方程。
4. 解每个子方程，得到对应的解。
5. 将所有解合并，得到原方程的全部解。
五、高次方程的因式分解法解法步骤1. 将高次方程移到等式的一边，使等式为0。
2. 将方程进行因式分解，将其转化为多个一次或二次因式相乘的形式。
3. 令每个一次或二次因式等于0，得到多个子方程。
4. 解每个子方程，得到对应的解。
5. 将所有解合并，得到原方程的全部解。
六、注意事项1. 在进行因式分解时，要注意是否存在公因式，可以通过提取公因式简化方程。
2. 在解子方程时，要考虑每个因式的根是否为实数或复数，进而得到方程的实数解或复数解。
3. 在合并解时，要注意去除重复解，得到方程的不同解。
七、例题解析以下是几个例题的解析，以帮助读者更好地理解因式分解法解方程的步骤和思路。
例题1：解方程2x + 4 = 01. 将方程移到等式的一边，得到2x = -4。
2. 由于2和-4没有公因式，无法进行因式分解。
3. 将方程除以2，得到x = -2。
4. 所以方程的解为x = -2。
因式分解的常用方法(最全版)
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等因式分解的一般步骤是：（1 ）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2 ）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；。
注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。
一、提公因式法. ：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：( 1 ) (a+b)(a - b) = a 2 - b 2 ----------- a 2 - b 2 =(a+b)(a - b) ；(2) (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab+b 2 --------- a 2 ± 2ab+b 2 =(a ± b) 2 ；(3) (a+b)(a 2 - ab+b 2 ) = a 3 +b 3 --------- a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 - ab+b 2 ) ；(4) (a - b)(a 2 +ab+b 2 ) = a 3 - b 3 -------- a 3 - b 3 =(a - b)(a 2 +ab+b2 ) ．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2 ；(6)a 3 +b 3 +c 3 - 3abc=(a+b+c)(a 2 +b 2 +c 2 - ab - bc - ca) ；例. 已知是的三边，且，则的形状是（）A. 直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1 、分解因式：分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
因式分解常用方法(方法最全最详细)
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；。
注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。
一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1) (a+b)(a-b) = a2-b2 -----------a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ---------a2±2ab+b2=(a±b)2；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3---------a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 --------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
分解因式的概念及方法
分解因式的概念及方法一、因式分解的概念：多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止。
二、分解因式的常用方法有：1.提公因式法;2..公式法;3.十字相乘法;4.分组分解法;5.求根公式法。
三、因式分解的步骤及注意事项：1.一般步骤：“一提”：先考虑是否有公因式，如果有公因式，应先提公因式；“二套”：再考虑能否运用公式法分解因式，一般的根据多项式的项数选择公式，二项式考虑用平方差公式，三项式考虑用完全平方公式或十字相乘法，更多项的多项式，应分组分解.2.分解因式需要注意事项：分解因式必须彻底，应进行到每个因式都不能在分解为止；分解因式要注意，是在有理数范围内，还是在实数范围内。
四、分解因式的应用：1.使一些较复杂的计算简便；2.求一些无法直接求解的代数式的值；3.判断多项式的整除性质；4.与几何中三角形的三边关系结合解决一些综合性问题。
常见考法实际生活中，人们为了解决问题常常遇到某些复杂的计算问题，如果根据题目的特点，运用分解因式将式子变形，会简化运算量，提高准确率，所以灵活应用各种方法分解因式是历届中考的重点。
题型一般是小型综合题，难度一般，解题规律明显。
误区提醒（2009年舟山）给出三个整式a2，b2和2ab．(1)当a=3，b=4时，求a2+b2+2ab的值；(2)在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解．请写出你所选的式子及因式分解的过程．【解析】(1) 当a=3，b=4时， a2+b2+2ab==49．(2) 答案不唯一，例如，若选a2，b2，则a2-b2=(a+b)(a-b)．若选a2，2ab，则a2±2ab=a(a±2b)．。
完整版因式分解的常用方法方法最全最详细
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式， 主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等 因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有 无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式； 如前两个步骤都不能实施， 可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法 继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数 法、试除法、拆项（添项）等方法；。
注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。
、提公因式法.:ma+mb+mc=m （a+b+c ） 、运用公式法•2 2 2在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因 式分解中常用的公式，例如：2 2(1) (a+b)(a-b) = a -b -2 2 2(2) (a ±b) = a ±2ab+b ------------- a 22 33(3) (a+b)(a -ab+b ) =a +b -------------- 2233(4) (a-b)(a +ab+b ) = a -b -------------- 下面再补充两个常用的公式：22 2(5) a +b +c +2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 33 322 (6) a +b3 3+c -3abc=(a+b+c)(a 例.已知a ，2 2-b =(a+b)(a-b)；2 2 2±2ab+b =(a ±b)；3322+b =(a+b)(a -ab+b )；3 3 2-b =(a-b)(a +ab+b 2 )•2；— 2+b +c -ab-bc-ca)b, c 是ABC 的三边，且a 2 b 2 c 2 ab bc ca ，ABC 的形状是（）A.直角三角形B 等腰三角形C 等边三角形D 等腰直角三角形2 2 2解：a b c ab bc ca2 2 22a 2b 2c 2ab 2bc 2ca(a b) (b c) (c a) 0三、分组分解法•（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：am an bm bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
因式分解步骤三步
因式分解步骤三步要因式分解一个多项式，可以按照以下三个步骤进行：步骤一：找出公因式（如果存在）步骤二：使用分解方法（如公式法、配方法或因式定理等）步骤三：继续分解直到无法再分解为止现在让我们更详细地解释一下这三个步骤。
步骤一：找出公因式首先，我们需要检查多项式中是否存在公因式。
公因式是指可以被多项式中的每一项整除的单项式。
例如，在多项式2x^3+4x^2+6x中，公因式为2x，因为它可以整除每一项。
找到公因式后，我们可以将其从多项式中提取出来，并将剩余的部分写成括号中的差，例如：2x^3+4x^2+6x=2x(x^2+2x+3)。
步骤二：使用分解方法如果多项式中不存在公因式，我们需要使用特定的分解方法来分解它。
以下是一些常见的分解方法：公式法：当我们遇到二次多项式时，可以使用一些已知的二次公式进行分解。
例如，在多项式x^2 + 5x + 6中，我们可以使用二次公式x = (-b ±√(b^2 - 4ac))/(2a)来将其分解为(x + 2)(x + 3)。
配方法：如果多项式不是二次多项式，我们可以使用配方法来进行分解。
配方法是一种通过将多项式后面的项拆分为两个因子的乘积，然后进行分组以重新组合项的方法。
例如，在多项式2x^3+3x^2-2x-3中，我们可以通过分解(a+b)(c+d)为了配方法，将其分解为(x^2-1)(2x+3)。
因式定理：如果我们知道多项式的一个因子，我们可以使用因式定理进行分解。
因式定理告诉我们，如果一个多项式可以整除另一个多项式，那么它们的余数为零。
所以，我们可以使用因式定理来检查一些值是不是多项式的因子，如果是，我们可以将多项式除以这个值，然后再继续分解。
例如，如果我们知道(x+1)是多项式x^3+8的一个因子，我们可以使用因式定理得到(x+1)(x^2-x+1)。
步骤三：继续分解直到无法再分解为止在进行上述分解方法之后，我们最终会得到一个无法再分解的多项式，这个多项式没有进一步的公因式，也无法再使用公式法、配方法或因式定理进行分解。
因式分解知识要点
因式分解知识要点因式分解在代数式的恒等变形、根式运算、分式通分与约分、一元二次方程以及三角函数的变形求解等方面均有着十分重要的应用，下面对因式分解中的有关知识要点进行归纳说明，供大家学习和参考。
1、因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解（也可叫做把这个多项式分解因式）。
本定义可从以下几方面进行理解：⑴、因式分解是一种恒等变形，如22()()-=+-,无论字母a和b取何值，代数式22a b a b a ba b-与()()+-的值总是相等的；a b a b⑵、因式分解的结果必须是整式的积的形式，分解后的因式可以是单项式，也可以是多项式，但必须都是整式；⑶、由于因式分解是整式乘法运算的逆运算，故因式分解是否正确，通常可以用整式乘法进行检验，看乘得的结果是否等于原多项式；⑷、多项式的因式分解，必须进行到每个因式都不能再分解为止，但要注意是在何种数集内进行因式分解（如无特殊说明，教材一般只要求在有理数范围内进行分解）。
2、因式分解的方法⑴、提公因式法：如果一个多项式的各项都含有公因式，则可利用分配律将此多项式的公因式提出来，从而将原多项式分解成两个因式的积的形式，像这种因式分解的方法，叫做提公因式法。
如:()++=++。
ma mb mc m a b c⑵、运用公式法：利用等式的性质将乘法公式逆用从而实现多项式的因式分解，像这种因式分解的方法就称为公式法。
公式法主要有以下两种：①平方差公式：22()()-=+-；a b a b a b②完全平方公式：222±+=±。
2()a ab b a b⑶、分组分解法（教材中未给出但作业中有所涉及）:将一个多项式中所含的各项分成若干组，然后再利用提公因式法或公式法等方法对多项式进行因式分解，像这种因式分解的方法就称为分组分解法。
运用分组分解法的目的和作用主要有两个——①分组后能直接提公因式；②分组后能直接运用公式（平方差公式或完全平方公式）。
因式分解的三个步骤
因式分解的三个步骤因式分解是将一个表达式分解成乘积形式的过程，它是数学中非常基础和重要的一部分。
因式分解可以应用于各个数学分支中，例如代数、几何、数论等。
对于一个多项式表达式的因式分解而言，通常有以下三个步骤：步骤一：提取公因式当一个多项式中的每一项都有一个共同的因子时，我们可以通过提取公因式来开始进行因式分解。
提取公因式的目的是将每一项都写成一个公因式乘以剩余部分的形式。
例如，对于表达式6x²+12x，我们可以发现每一项都有一个公因式6，因此可以进行公因式的提取，得到6(x²+2x)。
步骤二：分解成二次因式如果一个多项式是二次多项式，即最高次数为2次的多项式，那么我们可以尝试将其进行二次因式的分解。
二次因式分解指的是将一个二次多项式写成两个一次式相乘的形式。
例如，对于表达式x²-3x+2，我们要找到两个一次式，使得它们的乘积等于这个二次多项式。
我们可以通过观察系数和常数项之间的关系来进行猜测。
在这个例子中，我们需要找到两个数a和b，使得a*b=2，并且a+b=-3、通过试验，我们可以得到-1和-2满足条件，因此可以将表达式分解成(x-1)(x-2)。
步骤三：利用公式或特殊因式分解如果一个多项式的最高次数大于2次，或者它不满足分解成二次因式的条件，那么我们可以尝试使用一些特殊的公式或者特殊因式分解来进行因式分解。
例如，对于表达式x³ - 8，我们可以利用立方差公式，即a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)，将其分解成(x - 2)(x² + 2x + 4)。
还有一些特殊的因式分解形式，如平方差公式、差平方公式等，它们可以用来分解特定的多项式表达式。
总结起来，因式分解的三个步骤包括：提取公因式、分解成二次因式、利用公式或特殊因式分解。
通过这些步骤，我们可以将一个多项式表达式以乘积形式表示，从而更好地理解和解决数学问题。
因式分解的主要步骤
因式分解的主要步骤因式分解是将一个多项式表达式分解为两个或多个较简单的因式乘积的过程。
因式分解主要有以下几个步骤：1.提取公因式：对于一个多项式表达式，首先尝试提取公因式。
即找到多项式中所有项的最大公约数，并将其提取出来。
例如，在多项式2x+4中，可以提取出2作为公因式，得到2(x+2)。
2. 使用公式：有些多项式可用一些常见的公式进行因式分解。
例如，两个平方差公式是a²-b²=(a+b)(a-b)和a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)。
如果多项式中适用于这些公式的模式出现，可以直接将其分解为因式。
3.分组法：对于含有四个或更多项的多项式，可以使用分组法进行因式分解。
分组法是将多项式分成两组，并根据相同因式或特征因式进行分组。
然后，可以使用公式或其他方法将每个分组进一步分解为因式。
4. 因式分解公式：有一些特定的因式分解公式可以用来分解多项式。
例如，二次多项式的因式分解公式是x²+bx+c=(x-p)(x-q)，其中p和q是两个满足p+q=b，pq=c的数。
对于高次多项式，可以使用高次多项式的因式分解公式来进行因式分解。
5.寻找共轭因子：有些多项式可以因式分解为两个共轭因子的乘积。
共轭因子在形式上非常相似，只有符号部分有所不同。
可以根据这种形式中共轭的特性来进行因式分解。
例如，一个多项式可能可分解为(x-a)(x+a)的形式。
6.使用综合方法：有时候，因式分解需要结合使用多个方法和技巧来实现。
可以根据多项式的特征和形式来选择合适的方法，并根据需要进行组合使用。
需要注意的是，因式分解并没有固定的顺序和步骤，方法的选择和应用取决于多项式的特征和形式。
在实际操作中，可能需要根据具体的多项式表达式来选择合适的步骤和方法。
因此，在进行因式分解的过程中，灵活运用各种因式分解技巧和方法，并经过多次尝试和验证，才能得到正确的因式分解结果。
因式分解常见方法
第二讲因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法。
因式分解的一般步骤：先看有没有公因式，若有立即提出；然后看看是几项，若是二项式则用平方差公式、立方和公式或立方差公式；若是三项式用完全平方公式或十字相乘法；若是四项及以上的式子用分组分解法，要注意分解到不能分解为止，还要注意题目要求什么范围内分解。
一、提取公因式提取公因式的定义：就是从各项中提取公共因式，直到不能提取为止。
提取公因式的步骤：第一步，各项系数取最大的公约数；第二步，字母取各项都有的字母；第三步，字母的指数取各项指数中最小的。
典例激活【例1】分解因式1a2b−5+a5−b; 2a2x−2a2+a2a−x3.解∶1a2b−5+a5−b=a b−5a−1.2a2x−2a2+a2a−x3=a2x−2a2−a x−2a3=a x−2a2a−x−2a=a x−2a2a−x+2a=a x−2a2(3a−x)延伸训练分解因式1.2x4y2−4x3y2+10xy4.2.8a−b2−12b−a.3.5x n+1−15x n+60x n−1.二、公式法我们在初中已经学习过了一些乘法公式：（1）平方差公式：a+b a−b=a2−b2;（2）完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式：a+b a2−ab+b2=a3+b3;（2）立方差公式：a−b a2+ab+b2=a3−b3;把这两式反过来，就得a3+b3=a+b a2−ab+b2；a3−b3=a−b a2+ab+b2.其特点是：等号左边是两数的立方和（或差），等号右边是二数和（或差）与一个三项式的积，三项式中有两项为这两数的平方，另一项为这两数的积，其符号与左边中间的符号相反。
运用这两个公式，可以把形式是立方和（或差）的多项式分解因式。
典例激活【例1】把下列多项式分解因式1a3+8; 227−8y3.解：1a3+8=a3+23=a+2a2−2a+22=a+2(a2−2a+4)227−8y3=33−2y3=3−2y32+6y+2y2=3−2y(9+6y+4y2)【例2】分解因式：13a3b−81b4;2a7−ab6.分析：（1）中应先提取公因式再进一步分解；（2）中提取公因式后，括号内出现a6−b6,可看成是(a3)2−(b3)2或(a2)3−(b2)3.解：13a3b−81b4=3b a3−27b3=3b a−3b a2+3ab+9b2(2)a7−ab6=a a6−b6=a a3+b3a3−b3=a a+b a2−ab+b2a−b a2+ab+b2=a a+b a−b a2+ab+b2a2−ab+b2.延伸训练分解因式1.−a4+16.2.3x+2y2−x−y2.3.m2+3m2−8m2+3m+16.4.x2+y2−z22−4x2y2.5.3a b−1−24a4b−1.三、分组分解法分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。
(完整版)因式分解的常用方法(方法最全最详细)
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；。
注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。
一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1) (a+b)(a-b) = a 2-b 2 -----------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ---------a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3---------a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 --------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a bc ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
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因式分解的主要步骤：一提二套三化简 主要类型：一：单纯的多项式或把某个因式看做整体的多项式
（1）、光提取公因式：
例1、①x x -2、②2423y x y x +-
③)3(4)3(6p n p m -+-
（2）、光套-----再化简：
例2：①9)(24)(162++-+b a b a ②22)1(--b a
（3）光套：例3：①251522++x x ②
412+-a a （4）、先套-----再化简----再提取公因式
例4：①25)12(2
-+a ② 49)12(2--x （5）、先套---再套（平方差公式或完全平方公式） 例5：①22222)
43()1(x x x --+ ② 1224+-x x (6)先提取公因式-----再套（或又套） 例6：①32234129xy
y x y x +- ②x xy 42- ③a ab -4 （4）24281m
n m - 二、先利用整式乘法把其展开为多项式，在对其进行因式分解
例6：①ab b a 4)
(2+- ② )34(342
b a b a -- 备注：因式分解作为最终答案，其各个整式的积中的每一个整式有几个要求：
1、分解到不能再分解为止，
2、最好按降幂排列，
3、首项不能为负，
4、首项最好为（正）整数，
5、不能有中括号。
练习题：
1、把下列各式分解因式
（1）32
4(1)2(1)q p p -+-
（2）3()()m x y n y x ---
（3）(51)(31)m ax ay m ax ay +----
（4）22311(2)(2)24a x a a a x --- 2、 把下列各式分解因式
（1）22516x -= （2）2
2194a b -=
（3）22
9()()m n m n +--= （4）328x x -=
例3 把下列各式分解因式
（1）2
()6()9m n m n +-++= （2）22363ax axy ay ++=
（3）2244x y xy --+= （4）2234293m n mn n ++= 例4 计算 (1)1233695101571421
13539155152572135⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ (2)222111111234⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…22111199100⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 例5： 求证：111631125
255--能被19整除。