机械优化设计三个案例

机械优化设计案例1

1. 题目

对一对单级圆柱齿轮减速器，以体积最小为目标进行优化设计。

2.已知条件

已知数输入功p=58kw，输入转速n=1000r/min，齿数比u=5，1??]=400Mpa。，许用弯曲应力[ 齿轮的许用应力[=550Mpa]FH3.建立优化模型

3.1问题分析及设计变量的确定

由已知条件得求在满足零件刚度和强度条件下，使减速器体积最小的各项设计参数。由于齿轮和轴的尺寸（即壳体内的零件）是决定减速器体积的依据，故可按它们的体积之和最小的原则建立目标函数。

单机圆柱齿轮减速器的齿轮和轴的体积可近似的表示为：

222222??)?0.25(b?c)(D?0.25?b(d?ddv?0.25(bd)?d?)22ggzz121222222????d?)?7c?0.258l(dd?dd22z101zzz2222

2222??)10mb(mzub?d?0?.25b[m?z0b?db?m.z8u1z2z1112222]3228dd?.6d)?d?l.205bd10?0.05b(mzu? m?12z1zz222z1z式中符号意义由结构图给出，其计算公式为

d?mz,d?mz2211D?umz?10m1g2d?1.6d,d?0.25(umz?10m?1.6d)2z22g10z c?0.2b

由上式知，齿数比给定之后，体积取决于b、z、m、l、d 和d z21 z1六个参数，则设计变量可取为

TT]ddl[bzx[xxxxx]m?x?21z2314z5163.2目标函数为

222222f(x)?0.785398(4.75xxx?85xxx?85xx?0.92xx?xx?5631323111122222220.8xxxx?1.6xxx?xx?xx?28x ?32x)?min61236541364563.3约束条件的建立

z?z?17，得1 ）为避免发生根切，应有min1

0x??17?g(x)21b???????maxmin d的最大值，为齿宽系数齿宽应满足和2 )dmaxmin??，，得和最小值，一般取=1.4=0.9maxmin0(xx)?xg()?0.9?x322101.4??(x)?x(xx)g 3123 3）动力传递的齿轮模数应大于2mm，得02?x?g(x)?34）为了限制大齿轮的直径不至过大，小齿轮的直径不能大于4d，得axm10??300g(x)?xx325d?d?d）齿轮轴直径的范围：5得maxminzzz0gx?)?100?(x560?x??150g(x)570?130?xg(x)?680?)?x?200g(x

69d??0.5?b?2ll按结构关系，应满足条件：）轴的支撑距离62minz? =20），得（可取

min0??400?x?.5x?x(gx)41106）齿轮的接触应力和弯曲应力应不大于许用值，得

7g(x)?1468250(xxx)?550?0123117098?400??0g(x)4222??12)0.85410x?..xxx(0169?06666?10?x221237 098?)(gx?400?04222?13)10177028240(xxx.?.?x10?.0?394x221322

??][，得不大于许用值8）齿轮轴的最大挠度

axm440??0.003x117x)?.04x(xxx)g(4324145??][不大于许用值，得9）齿轮轴的弯曲应力

ww6x1012.85?12240510??5.x)?()?2.4?g(153xxx3526x102.85?112240??5.5)?()?6?10g(x163xxx362 4.优化方法的选择个约束条件的优化设计问题，16由于该问题有6个设计变量，Matlab采用传统的优化设计方法比较繁琐，比较复杂，所以选用函数来求解此非线性优化问题，避免了fmincon优化工具箱中的较为繁重的计算过程。

数学模型的求解5. 该优化设计的数学优化模型表示为：5.1.1将已知及数据代入上式，

2222?85xxxx?85xx?0f(x)?.785398(4.75xxmin33211132222x?x.6xxxxxx?0.8xxx?1.092xx?5533461121661222 )xx?28?32?xx6645Subject to:

g(x)?17?x?021g(x)?0.9?x(xx)?03212g(x)?x(xx)?1.4?03321g(x)?2?x?034g(x)?xx?300?0352g(x)?100? x?056g(x)?x?150?057g(x)?130?x?068

3

0?xg?200(x)?690??40?x?0.5x?xg(x)410610550?x)?1468250(xx)?g(x1311270980?g(x)?400?4?222?12)?

0.6666?10x.x?0854?10(xxx0.1692213270980xg()??400?42?2213).?0394?10177(xxx0.2824?0.?10x x22312440?003xx04x(xx)?0.)g(x?117.

43451426x1021.85?12240?10??5.5(g(x)?)?2.4153xxx3256x10852.?1122405.?)?()6?10??5(gx163xxx362

优化工具箱对数学模型进行程序求解5.1.2运用Matlabmyfun.m,Matlab首先在优化工具箱中编写目标函数的M文件

返回x：处的函数值ffunction f = myfun(x)

f=0.785398*(4.75*x(1)*x(2)^2*x(3)^2+85*x(1)*x(2)*x(3)^2-85*x(1)*x(3)^2+0.92* x(1)*x(6)^2-x(1)*x(5)^2+0.8*x(1)*x(2)*x(3)*x(6)-1.6*x(1)*x(3)*x(6)+x(4)*x(5)^2+ x(4)*x(6)^2+28*x(5)^2+32*x(6)^2)

由于约束条件中有非线性约束，故需要编写一个描述非线性：文件约束条件的Mmycon.mfunction[c,ceq]=myobj(x)

c=[17-x(2);0.9-x(1)/(x(2)*x(3));x(1)/(x(2)*x(3))-1.4;2-x(3);x(2)*x(3)-300;100-x(5);x( 5)-150;130-x(6);x(6)-200;x(1)+0.5*x(6)-x(4)-40;1486250/(x(2)*x(3)*sqrt(x(1)))-550; 7098/(x(1)*x(2)*x(3)^2*(0.169+0.006666*x(2)-0.0000854*x(2)^2))-400;7098/(x(1)* x(2)*x(3)^2*(0.2824+0.00177*x(2)-0.0000394*x(2)^2))-400;117.04*x(4)^4/(x(2)*x( 3)*x(5)^4)-0.003*x(4);(1/(x(5)^3))*sqrt((2850000*x(4)/(x(2)*x(3)))^2+2.4*10^12)-5 .5;(1/(x(6)^3))*sqrt((2850000*x(4)/(x(2)*x(3)))^2+6*10^13)-5.5];

ceq=[];

里输入：最后在command window给定初始值x0=[230;21;8;420;120;160];%

4

[x,fval,exitflag,output]=fmincon(@myfun,x0,[],[],[],[],[],[],@myobj,output)

%调用优化过程

5.1.3最优解以及结果分析

运行结果如下图所示：

由图可知，优化后的最终结果为

x=[123.3565 99.8517 1.7561 147.3157 150.4904

129.5096]

7 f(x)=2.36e*10由于齿轮模数应为标准值，齿数必须为整数，其它参数也要5 进行圆整,所以最优解不能直接采用，按设计规范，经标准化和圆整后：

x=[124 100 2 148 150 130]