概率论与数理统计复习资料

解答
ˆ 矩
X
1 2
ˆ 最大
min
1 i n
Xi
E(ˆ 最大)
1 2n
ˆ矩 是无偏估计量,ˆ最大不是无偏估计量.
★设总体X的概率密度为 P( x; ) ( 1)x ,0 x 1
其中 > -1是未知参数. X1, X2,…,Xn 是来自X的样本. 求 的矩 估计及最大似然估计。（09级）
解答
♀随机变量X 满足：E(X)=，D(X)=2,则由切比雪夫
不等式有 P{| X | 4}
1
16
♀设 n 是 n 次独立重复试验中事件A出现的次数，
p 为A在一次试验中出现的概率，则
lim
n
P
a
n np
npq
b
b
1
t2
e 2 dt
a 2
。
或(b) (a)
第六章 “五个统计量，三大分布，三个结论，四大定理”
2）离散型随机变量的条件分布律；
3）已知连续型随机变量的概率密度，求任何事件的概率；
4）确定随机变量的概率密度和分布函数中的任意常数；
5）均匀分布的概率密度；正态分布的性质；
6）已知概率密度求分布函数；已知分布函数求概率密度；
7）边缘概率密度；条件分布概率密度
8）随机变量的独立性；
9）随机变量函数的分布。
2
（Ｃ） S 2 服从自由度为 n的分布 2
2
（Ｄ） vS 2 服从自由度为v的分布 2
2
7.设随机变量 X ~ N 0,1和Y ~ N 0,2,并相互独
立, 则（ ）
(Ａ) 1 X 2 2 Y 2 服从 2分布
33
(Ｂ)1 X 2 1 Y 2 服从 2分布
2
2
(Ｃ) 1 X Y 2 服从 2分布
（Ｃ）X
/
S服从t(n-1)（Ｄ）(n
n
1)
X12服从
F(1, n
1)
Xi2
i2
6.
X1,
X 2 ,
,
X
是来自正态总体的简单
n
随机样本，v n 1 ， X 和 S 2分别是样本均
值和样本方差，则（ ）
n
(Ａ)
X2 i
服从自由度为v的分布
2
i 1
（Ｂ） nS 2 服从自由度为 n的分布 2
3
(Ｄ) 1 X Y 2 服从 2分布
2
8 .设总体X服从正态分布 N 0, 2 ，X 1 , X 2 , , X 10
是来自X的简单随机样本，
统计量
Y
4
X2 1
X2 i
X2 i1
X2 10
（ 1 i 10 ）
服从F分布，则 i 等于（ ）
（A）4 （B）2 (C) 3 (D) 5
第七章 求矩估计和最大似然估计，讨论无偏性和有效性
度为 2 .
3.设X1 X2 ,…, X17是来自总体X~N(,4)的样本，S2
是样本方差，P{S2>a}=0.01,则a=
8。
注：20.01(17)=33.4, 20.005(17)=35.7, 20.01(16)=32.0
20.005(16)=34.2
4.设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则
概率论 部分
主要类型题 1） 离散型随机变量的分布律、分布律的性质； 2） 连续型随机变量的概率密度、概率密度的性质； 3） 随机变量的分布函数、分布函数的性质； 4）常见分布的性质，如二项分布的性质；正态分布的性质； 5）随机变量函数的分布。
主要类型题
概率论 部分
1) 离散型随机变量的联合分布律、边缘分布律；
6) 简单随机样本，常见统计量（样本均值、样本方差）；
主要类型题 1)会求 E( X ), D( X ), E(S 2 ) 2）矩估计、最大似然估计； 3)无偏估计、有效估计 ； 4)求置信区间； 5)假设检验。
统计 部分
概率论与数理统 计复习课
（统计部分）
第五章 “大数定律和中心极限定理” “切比雪夫不等式”
9.设 X1, X 2 , , X n 是来自总体 X ~ N(, 2) 的样
n1
本，且C ( Xi1 Xi )2是 2 的无偏估计，则C=
1
2(n
i 1
1).
10. 设X1,X2,…,Xn是来自总体X的样本, E(X)= , D(X)= 2 ,X 为样本均值, 和2 均未知,则以下
结论错误的是( )
主要类型题
概率论 部分
1）利用事件间的关系与运算、概率及条件概率的基 本性质；和、差公式，逆事件公式进行计算；
2）互斥、独立、子事件的概念；条件概率与独立性 的联系；独立的性质定理； 3）古典概型的概率计算；
4）乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式;
5) 独立重复试验，特别是伯努利试验的基本特点， 以及重复伯努利试验中有关事件概率的计算。
(A)X+Y服从正态分布 (B)X2+ Y2服从 2 分布 (C) X2和Y2服从 2分布 (D) X 2 服从F分布
Y2
5.设 X 1 , X 2 , , X n 是来自标准正态总体的简单随机
样本，X和S 2分别是样本均值和样本方差，则（ ）
（Ａ）X ~ N(0,1) （Ｂ）nX ~ N (0,1)
ˆ 矩
2X 1
1 X
ˆ 最大 (1 n n )
ln Xi
i 1
x 1 0 x 1
★设总体X的概率密度为 f ( x; )
0
其他
其中> 0是未知参数. X1, X2,…,Xn 是来自X的样本.
求 的矩 估计及最大似然估计。
主要类型题
概率论 部分
1）数学期望、方差、协方差及相关系数；
2）常见分布的数学期望、方差；
3）正态分布的性质；
4) 独立与相关的关系。
主要类型题
统计 部分
1) 切比雪夫不等式；
2) 依概率收敛的概念和性质；大数定律；
3) 中心极限定理；
4) 2 分布；t 分布；F分布的定义练习；
5) 正态总体的样本均值与样本方差的分布；
(A) ˆ1 X是的无偏估计 (B)ˆ2 X1是的无偏估计
(C)
ˆ1比ˆ 2更 有 效
(D)
1 n
n
( Xi )2 是2的最大似然估
i 1
计量
13
设总体X的概率密度为
f
(
x)
2e2( 0,
x
)
,
x x
其中 > 0是未知参数. X1, X2,…,Xn 是来自X的样本.
求 的矩 估计量及最大似然估计量, 并判断它们是否 是 的无偏估计量.
1 .设 X1 , X 2 , , X n 是来自总体 N (, 2 ) 的样
本，则
n
(Xi
X
)2
/
2
2(n
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2.设总体X
i 1
N
(0,2
2
)
,X1, X2, X3, X4
为来自
X的一个样本,设 Y a( X1 2 X 2 )2 b(3 X 3 4 X 4 )2,
则当a =1/20，b=1/100 时Y 服从 2分布，其自由