第九章 图的遍历算法

第三部分 最先割技术
第九章 图的遍历
第九章 图的遍历
9．1 引言 9．2 深度优先搜索 9．3 深度优先搜索的应用 9．4 广度优先搜索 9．5 广度优先搜索的应用
9.1 引 言
在一些诸如找出最短路径和最小生成树的图 的算法中，用由它们相应的算法顺序访问顶点 和边。然而，在一些其他算法中，访问顶点的 顺序是不重要的，重要的是，不管输入的图如 何，用一种系统的顺序来访问顶点。在本章中， 我们讨论图遍历的两种方法：深度优先搜索和 广度优先搜索。
1、 根是一个关节点当且仅当在深度优先搜索树中， 它有两个或更多的儿子；
原因：图中不存在连接不同子树顶点的边，删掉根 结点后，生成树就变成了森林。
2、 根以外的其他结点V，如果其某棵子树的根和 子树中的其他结点均没有指向该结点v的祖先的回 边。 或者：根以外的顶点v是一个关节点当且仅当v有 一个儿子w，使得β(w)≥α(v)。
见例9.3。
a
i
d
c
b
g
h
e
f
j
1,1 a
2,1 b
3,3 c
f
6,1
g
7,1
d 4,3
8,8 h
e 5,3
i 9,8
j 10,8
（1）初始化各个顶点；
（2）从a-e开始搜索，一直到e均是正常搜索， 各个数值依次递增增长；
（3）搜索到e时，找到一个回边(e,c)，则e 的β(e)=min{a[c]=3；a[e]=5,β[c]=3}=3；
过程 dfs(v) 1. 标记v已访问；artpoint false; //关节点标记 predfn predfn+1//标记序号
2. α(v) predfn; β(v) predfn //初始化访问序号
3. For 每条边(v,w)∈E 4. If (v,w)为树边 then 5. dfs(w) //深入开始访问后续结点 6. If v=s then //树根结点
我们将假设在这种有向无回路图中有一个入度 是0的唯一的顶点s，如果不是的话，我们可以简 单地添一个新的顶点s，然后让s到所有入度为0的 点加上边。
a
c
e
s
b
d
g f
接下来，我们从顶点s起，简单地对图G执行 深度优先搜索。
当遍历完成时，计数器postdfn定义了一个在 有向无回路图中顶点的反扑排序，于是，为了得 到这个拓扑序，可以在算法DFS中在计数器 postdfn刚好被增加后，加上一个输出步，把输出 结果翻转过来就是我们需要的拓扑序。
3,3 c
f
6,8
g
7,7
d 4,2
8,6 h
e 5,1
i 9,5
j 10,4
2、有向图的情况
有向图中的深度优先搜索导致结果：
一个或多个(有向)生成树，树的多少取决于 初始点。
（1）选择某起始点v，深度优先搜索一棵树， 它由从v出发所有可到达的顶点组成。
（2）没有遍历完所有的顶点，选择另一个顶 点w继续（未访问过顶点），构建一颗从w可到达 的所有未访问顶点组成的树，这个过程继续下去 直到所有的顶点都被访问过。
19. A[count] v
20. End if
（1）首先，算法执行必要的初始化，特别 地，count是关节点的个数，rootdegree是深度优 先搜索树根的度，这在后来决定根是否是关节点 时是需要的。
（2）接着深度优先搜索从根开始着手，对于 每一个访问的顶点v， α(v)和 β(v)用predfn来初始 化。
（4）回退至d点时，该点的β[d]=3;(原来是4);
(5)回退到c点，β[c]=3，由于β[d]>=a[c]，所以 该结点是关节点。
(6)回退到b结点，β[c]>=a[b]，所以b也是一个 关节点。
此（j,h）是一个回边，所以将
β[j]=a[h]=8；
（2）回到i点，该点的β[i]也被改为8； （3）同理，对于h点来讲，其β[h]也被置为8；
此时，由于β[i]>a[h],所以h是关节点； （4）回退到g点,同样存在β[h]>a[g]，所以该点 也是关节点；检测到该点存在回路，所以将其 β[g]值置为其祖先结点的值=1； （5）β[f] β[b]也被置为1,搜索回到a结点，因为 a结点只有一个分支孩子，所以a不是关节点
（注意：测试方法是要依次搜索该点的邻接 点，看是否从某个点访问过它，所以是(n)）
（4）测试顶点w是否标记为未访问，这一步 的执行次数等于顶点v的邻接点数。
这一步执行的总次数，在有向图的情况下等 于它的边数，在无向图的情况下是边数的两倍。
于是，不论是有向图还是无向图，这一步的 耗费是(m)，
（5）算法的总运行时间是：(m+n)。如果图 是连通的或有m≥n,则运行时间简单地为(m)。但 是必须强调的是，图假设是用邻接表表示的。
为关节结点
12.
Endif
13. Else if (v,w)是回边 then //v!=s
β(v) min{β(v), α(w)}
14.
Else do nothing { w是v的父亲}
15. End if
16. End for
17. If artpoint then
18. count count+1
4、在访问过程中，按照上述的深度优先的方 式向前推进，一旦发现某一个顶点X的所有邻 接点都被标志为已访问，访问指针回退至上一 层，继续访问该层没有被访问的其他的子节点。
5、如此往复，直至回退到根节点为止。
算法9.1 DFS
Input: 有向或无向图G=(V,E)。 Output: 在相应的深度优先搜索树中对顶点的前序
算法9.3 STRONGCONNECTCOMP
INPUT:有向图G=(V,E)
OUTPUT:G中的强连通分支
1. 在图G上执行深度优先搜索，对每一个顶点赋
算法9.2 ARTICPOINTS
INPUT:连通无向图G=(V,E)。 OUTPUT:包含G的所有可能关节点的数组 A[1…n]。
1.设s为起始顶点 2.for 每个顶点v∈V 3. 标记v未访问 4.end for //初始化全部结点为没有访问
5.predfn 0;count 0;rootdegree 0 6.dfs(s) //从初始结点开始访问
（3）在搜索从某顶点w退回到v时，要做两件 事，首先，如果发现β(w)比β(v)小，β(v)被设置为 β(w)，其次，如果β(w)≥α(v)，那么这就指出v是 一个关节点，因为从w到v的祖先顶点必须经过v。
这说明在图9.4种，可以看到，从以w为根的子 树到u的任何路径必定包括v，因此v是一个关节点。 以w为根的子树包含一个或多个连通分支。在这 个图中，根u是关节点，因为它的度大于1。
9.3.3 寻找图的关节点
关节点:
在多于两个顶点的无向图G中，存在一个顶点 v，如果有不同于v的两个顶点u和w，在u和w间的 任何路径都必定经过顶点v。
这样，如果G是连通的，移去v和与它关联的边， 将产生G的非连通子图（森林）。一个图如果是 连通的并且没有关节点则称为是双连通的。
由深度优先生成树的特性可以得到如下结论：
（3）重复上述过程，直至所有顶点被访问完 毕。
G的边分成4种类型：
1、树边：深度优先搜索树中的边。如果在搜索边 (v,w)时，w是第一次被访问，则(v,w)是树边。
2、回边：在迄今为止构建的深度优先搜索树中， w是v的祖先，并且当搜索(v,w)时顶点w已被标上 已访问，这样形成的边(v,w)是回边。
9.2.1 深度优先搜索的时间复杂性
(1)顶点v被访问标记为访问的过程，每一个顶 点的调用耗费是(1)。一共需要n个顶点，所以该 过程的总耗费是(n)。 （2）算法的步骤1和步骤3分别耗费(1) 和(n) 时间。//初始化序列号、访问标志 （3）步骤6测试一个顶点是否已标记要耗费(n)。
和后序。
1. predfn 0;postdfn 0 2. For 每个顶点v∈V 3. 标记v未访问 //初始化访问标志
4. End for 5. For 每个顶点v∈V 6. If v未访问 then dfs(v) //调用访问
7. End for
过程 dfs(v) //递归访问
1. 标记v已访问
3、前向边：在迄今为止构建的深度优先搜索树中， w是v的后裔，并且当搜索(v,w)时顶点w被标上已 访问，这种形式的边(v,w)是前向边。
3、横跨边：所有其它的边。
见例9.2。
c
b
a
d
e
f
1,4 a
2,3 b e 3,1
5,6 c
2,2 f
f
d
e
4,2
6,5
3,1
1,4 a
5,6 c
b 4,3
d 6,5
9.3 深度优先搜索的应用
深度优先搜索在图和几何算法中用得很普遍。 在本节中，我们列举它的一些重要应用。
9.3.1 图的无回路性 设G=(V,E)是一个有n个顶点和m条边的有向或
无向图。为了测试G是否至少有一个回路，我们 对G用深度优先搜索，如果在搜索过程中探测到 一条回边，那么G是有回路的，否则G是无回路的。
2、森林（顶点不相连，不能够一次都到达）。
1、无向图的情况分析
设G=(V,E)是无向图，作为遍历的结果，G的边 分成一下两种类型。
树边：深度优先搜索树中的边，如果在搜索边 (v,w)时，w是首次被访问，则边(v,w)是树边。 回边：所有其它的边。
例9.1。
a
i
d
c
b
g
h
e
f
j
1,10 a
2,9 b
a
i
d
c
b