概率论课件 概率1-1
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概率论的基本知识PPT课件
次
• （N ∞）]，其分布曲线都相同。
• ●由此可见，虽然各小球在与任一钉子碰撞 后向左还是向右运动都是随机的，由很多偶 然因素决定，但最终大量小球的总体在各槽 内的分布却有一定的分布规律，这种规律由 统计相关性所决定
第2页/共19页
§2.2.2 等概率性与概率的基本性质
• （一）概率的定义
• ●在一定条件下，如果某一现象或某一事件 可能发生也可能不发生，我们就称这样的事 件为随机事件。
• ●为了对连续变量的概率分布了解得更清楚，
第12页/共19页
子弹沿靶板的分布实验
图是直角坐标示靶板上 的分布 把靶平面划分出很多宽 为x的窄条 x的宽度比黑点的大小 要大得多。
●数出在x到x+Δx范围 窄条的黑点数ΔN，
把它除以靶板上总的黑
点数N
• 则其百分比就是黑点处于x 到x+Δx范围内
这一窄条的概率。 第13页/共19页
• ●在曲线中x到x+dx微小线段下的面积则表示黑点处于x到x+dx范围内的概 率,故有黑点位置处于x1到x2范围内的概率
x2 x1
f (x)dx
●上式中已把积公区域扩展为无穷大
f (x)dx 1
第15页/共19页
●类似地可把靶板沿y方向划分为若干宽为y
的窄条, 数出每一窄条中的黑点数，
求出 f ( y )=N /N y
第5页/共19页
• ●把一个骰子连续掷两次，若骰子是刚性的，掷第二次出现的概率与第一次 掷过否，第一次出现的哪一面向上都无关，
• 我们就说连续两次掷骰子是统计独立的。 • ●若骰子是刚性的，且每一面向上的概率都是(1/6)，连续掷两次出现的花
样为11，12，……65，66共36种。 • 显然这36种花样也是等概率的，故连续掷两次均出现 “1”的概率是
• （N ∞）]，其分布曲线都相同。
• ●由此可见，虽然各小球在与任一钉子碰撞 后向左还是向右运动都是随机的，由很多偶 然因素决定，但最终大量小球的总体在各槽 内的分布却有一定的分布规律，这种规律由 统计相关性所决定
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§2.2.2 等概率性与概率的基本性质
• （一）概率的定义
• ●在一定条件下，如果某一现象或某一事件 可能发生也可能不发生，我们就称这样的事 件为随机事件。
• ●为了对连续变量的概率分布了解得更清楚，
第12页/共19页
子弹沿靶板的分布实验
图是直角坐标示靶板上 的分布 把靶平面划分出很多宽 为x的窄条 x的宽度比黑点的大小 要大得多。
●数出在x到x+Δx范围 窄条的黑点数ΔN，
把它除以靶板上总的黑
点数N
• 则其百分比就是黑点处于x 到x+Δx范围内
这一窄条的概率。 第13页/共19页
• ●在曲线中x到x+dx微小线段下的面积则表示黑点处于x到x+dx范围内的概 率,故有黑点位置处于x1到x2范围内的概率
x2 x1
f (x)dx
●上式中已把积公区域扩展为无穷大
f (x)dx 1
第15页/共19页
●类似地可把靶板沿y方向划分为若干宽为y
的窄条, 数出每一窄条中的黑点数，
求出 f ( y )=N /N y
第5页/共19页
• ●把一个骰子连续掷两次，若骰子是刚性的，掷第二次出现的概率与第一次 掷过否，第一次出现的哪一面向上都无关，
• 我们就说连续两次掷骰子是统计独立的。 • ●若骰子是刚性的，且每一面向上的概率都是(1/6)，连续掷两次出现的花
样为11，12，……65，66共36种。 • 显然这36种花样也是等概率的，故连续掷两次均出现 “1”的概率是
概率论与数理统计 习题课1-1
7 12
P( A B C ) =
事件的关系 互斥： 互斥：AB = φ 对立事件， 对立事件，样本空间的划分
P ( B A) = P ( B )
n个事件两两互斥，就称这n个事件互斥 个事件两两互斥，就称这n
独立
P ( A B ) = P ( A)
P ( AB ) = P ( A) P ( B )
n个事件独立的要求很高
3 1 1 2 4未中， 3 或者1、、未中， 伤 L因此总的概率为 C 4 6 2 3
3 4
1 3 1 1 ∴ P ( A) = 1 − P ( A ) = 1 − − C 4 6 6 2
4
3
1 n k k
条件概率
乘法公式
全概公式和贝叶斯公式
n个独立事件至少发生其一的概率
伯努利概型
在n重伯努利试验中，事件A恰好发生k次的概率 重伯努利试验中，事件A恰好发生k
k Pn (k ) = Cn p k q n − k , k = 0,1,2, L , n
1. B
掷两颗骰子，已知两颗骰子的点数之和为7 2. 掷两颗骰子，已知两颗骰子的点数之和为7，求其中 一颗为1的概率。 一颗为1的概率。 解：
3. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因此他随意地拨号， 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因此他随意地拨号， 求他拨号不超过3次而接通电话的概率； （1）求他拨号不超过3次而接通电话的概率； 若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？ （2）若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？
解：设A = {第 i 次拨号拨对 }, i = 1,2,3 i
1 3
表示施放4枚深水炸弹击沉潜水艇的事件 解 设A表示施放 枚深水炸弹击沉潜水艇的事件，则 表示施放 枚深水炸弹击沉潜水艇的事件，
P( A B C ) =
事件的关系 互斥： 互斥：AB = φ 对立事件， 对立事件，样本空间的划分
P ( B A) = P ( B )
n个事件两两互斥，就称这n个事件互斥 个事件两两互斥，就称这n
独立
P ( A B ) = P ( A)
P ( AB ) = P ( A) P ( B )
n个事件独立的要求很高
3 1 1 2 4未中， 3 或者1、、未中， 伤 L因此总的概率为 C 4 6 2 3
3 4
1 3 1 1 ∴ P ( A) = 1 − P ( A ) = 1 − − C 4 6 6 2
4
3
1 n k k
条件概率
乘法公式
全概公式和贝叶斯公式
n个独立事件至少发生其一的概率
伯努利概型
在n重伯努利试验中，事件A恰好发生k次的概率 重伯努利试验中，事件A恰好发生k
k Pn (k ) = Cn p k q n − k , k = 0,1,2, L , n
1. B
掷两颗骰子，已知两颗骰子的点数之和为7 2. 掷两颗骰子，已知两颗骰子的点数之和为7，求其中 一颗为1的概率。 一颗为1的概率。 解：
3. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因此他随意地拨号， 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因此他随意地拨号， 求他拨号不超过3次而接通电话的概率； （1）求他拨号不超过3次而接通电话的概率； 若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？ （2）若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？
解：设A = {第 i 次拨号拨对 }, i = 1,2,3 i
1 3
表示施放4枚深水炸弹击沉潜水艇的事件 解 设A表示施放 枚深水炸弹击沉潜水艇的事件，则 表示施放 枚深水炸弹击沉潜水艇的事件，
概率之1-1_
第 1次
H
第 2次 H 注：在每次试验 中必有一个样本 点出现且仅有一 个样本点出现.
(H,H):
(H,T)： (T,H): (T,T)：
H
T T
T
H T
Ch1-1-24
实例2 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
2 {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
实例3 从一批产品中,依次任选三件,记录出 现正品与次品的情况.
练习：
写出下列随机试验的样本空间. 1. 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和. 2. 生产产品直到得到10件正品,记录生产产品 的总件数. 答案：
1. {3, 4, 5, , 18}.
2. {10, 11, 12, }.
Ch1-1-28
说明： 1. 同一试验 , 若试验目的不同,则对应的样本空间 也不同. 例如 对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三次”.
记 N 正品, D 次品.
则 3 { NNN , NND, NDN , DNN , NDD, DDN , DND, DDD }. 以上例子都属于有限样本空间。
Ch1-1-25
实例4 记录某公共汽车站某日
上午某时刻的等车人数.
4 {0, 1, 2,}.
无限样本空间. 实例5 考察某地区 12月份的平
Ch1-1-10
然而德.梅勒争执到：再掷一次骰子，对他来说 最糟糕的事是他将失去他的优势，游戏是平局， 每人都得到相等的30个金币；但如果掷出的是 “5”，他就赢了，并可拿走全部的60个金币。 在下一次掷骰子之前，他实际上已经拥有了30 个金币，他还有50%的机会赢得另外30个金币， 所以，他应分得45个金币。
Ch1-1-13
创立：1713年，雅各布-伯努利的《猜测术》出 版，是概率论成为数学中的一个独立分支的标志。 他建立了第一个极限定理，即伯努利大数定律。
概率论第1讲-PPT精选
9•9+9•9+9•9=243
16 2020/8/1
二, 组合 设有n个不同的元素, 从它们中间任取r 个(0 < r n)构成一组. 这里, 不考虑这r 个元素的次序, 只研究有多少种不同的 取法, 这就是组合问题. 称每一个取得的 组为一个组合. 对于所有不同的组合的 种数, 通常把它记作
n r
一, 排列 从n个不同的元素中, 任意取出r个不同 的元素(0 < r n)按照一定的顺序排成一 列, 这样的一列元素叫做从n个不同元素 中取r个不同元素组成的一种排列. 对于 所有不同排列的种数1
先设0<r<n, 每一种排列由在r个有次序 位置上各放上一个元素所组成. 第一个 位置上的元素有n种不同的取法; 在它取 定之后, 第二个位置上的元素只有n-1种 不同的取法; 前两个元素取定之后, 第三 个位置上的元素只有n-2种不同的取法; 依次类推, 第r个位置上的元素只有nr+1种不同的取法, 因此按乘法原理, 所 求排列种数为
A={e1,e2,...}
21 2020/8/1
集合的元素可以是任意种类的对象: 点, 数, 函数, 事件, 人等等. 例如, (1) 全体自然数组成的集合A, 表示为:
A={1,2,...}; (2)在给定直线上全体点组成的集合; (3)平面上区域D中所有点组成的集合; (4)数轴上所有区间组成的一个集合; (5)定义域为区间(a,b)的所有连续函数; (6)某地区所有学龄前儿童组成的一个集 合.
第一章 预备知识 第一节 排列与组合
3 2020/8/1
乘法原理: 如果一个过程可以分成两个 阶段进行, 第一个阶段有m种不同的做法, 第二个阶段有n种不同的做法, 且第一个 阶段的任一种做法都可以与第二个阶段 的任一种做法配成整个过程的一种做法, 那末整个过程应该有mn种的做法.
16 2020/8/1
二, 组合 设有n个不同的元素, 从它们中间任取r 个(0 < r n)构成一组. 这里, 不考虑这r 个元素的次序, 只研究有多少种不同的 取法, 这就是组合问题. 称每一个取得的 组为一个组合. 对于所有不同的组合的 种数, 通常把它记作
n r
一, 排列 从n个不同的元素中, 任意取出r个不同 的元素(0 < r n)按照一定的顺序排成一 列, 这样的一列元素叫做从n个不同元素 中取r个不同元素组成的一种排列. 对于 所有不同排列的种数1
先设0<r<n, 每一种排列由在r个有次序 位置上各放上一个元素所组成. 第一个 位置上的元素有n种不同的取法; 在它取 定之后, 第二个位置上的元素只有n-1种 不同的取法; 前两个元素取定之后, 第三 个位置上的元素只有n-2种不同的取法; 依次类推, 第r个位置上的元素只有nr+1种不同的取法, 因此按乘法原理, 所 求排列种数为
A={e1,e2,...}
21 2020/8/1
集合的元素可以是任意种类的对象: 点, 数, 函数, 事件, 人等等. 例如, (1) 全体自然数组成的集合A, 表示为:
A={1,2,...}; (2)在给定直线上全体点组成的集合; (3)平面上区域D中所有点组成的集合; (4)数轴上所有区间组成的一个集合; (5)定义域为区间(a,b)的所有连续函数; (6)某地区所有学龄前儿童组成的一个集 合.
第一章 预备知识 第一节 排列与组合
3 2020/8/1
乘法原理: 如果一个过程可以分成两个 阶段进行, 第一个阶段有m种不同的做法, 第二个阶段有n种不同的做法, 且第一个 阶段的任一种做法都可以与第二个阶段 的任一种做法配成整个过程的一种做法, 那末整个过程应该有mn种的做法.
概率1-1 概率论与数理统计
§1.2 样本空间、随机事件
一、样本空间
1.样本空间: 随机试验E的所有可能结果组成的集合. 记为S．
2.样本点: 样本空间S的元素，即E的每个可能结果．
例 写出§1.1节中所列的试验Ei 的样本空间: 试验E1: 抛一枚硬币,观察正面H、反面T出现的情况.
S1={H, T},（H表示出现正面， T表示出现反面）
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ． 4. 德.摩根律(对偶原理) ： A∪B=A∩B, A∩B=A∪B
n
n
n
n
类似有： Ai Ai ,
Ai Ai
i 1
i 1
i 1
i 1
5. 对必然事件的运算法则：A∪S=S, A∩S=A
6.对不可能事件的运算法则：A∪Φ=A,A∩Φ=Φ．
实验序号
n=5
m fn (A)
1 2 0.4
2 3 0.6 3 1 0.2
4 5 1.0
n=50 m fn (A) 22 0.44
25 0.50 21 0.42 25 0.50
n=500
m
fn ( A)
251 0.502
249 0.498 256 0.512 253 0.506
从上面的例子可以看出，试验次数n越大，出现正 面的频率越接近0.5，即频率稳定于1/2 ．经验表明：只要 试验是在相同的条件下进行的，则随机事件出现的频率 稳定于一个固定的常数，常数是事件本身所固有的，是 不随人们的意志而改变的一种客观属性，它是对事件出 现的可能性大小进行度量的客观基础．为了理论研究的 需要，从频率的稳定性和频率的性质得到启发，给出如 下度量事件发生可能性大小的概率的定义.
呼叫次数. E6: 在一批灯泡中任意抽取一只, 测试其寿命.
概率论与数据统计1-1 随机试验
事件 A={掷出奇数点}
事件B = {掷出点数为1,3,5｝
显然 A=B
B A
A B
S
3、两事件A与B的和
“事件A、B中至少有一个发生”是一事件
把这一事件称为A与B的和，
记作 A B, 或A B
A或 B
S
A B A+B
即 A U B A、B中至少有一个发生
问如何用 Bi 表示A和 A ？ A= B1B2
A B1B2 B1B2 B1B2 B1 B2
( B1B2 B1B2 ) ( B1B2 B1B2 )
例2 设A、B、C为三个事件，用A、B、 C的运算关系表示下列各事件.
1. A发生, B与C不发生
AB C
或
A B C
些随机事件。 1、包含关系
若果事件A的发生必然导致事件B发生，
则称事件A包含于B，或称B包含A
记作A B, 或B A
对任一事件A有：
B
A A B
S
φ A S
2、两事件A与B相等
若A B且B A 同时成立， 则称A 与B相等 记作A B,
试验E：掷一颗骰子，观察出现的点数
事件A、B对立(互逆）
AB 且A+B S
事件A、B互不相容（互斥）
c
两事件A、B互逆或互为对立事件: 除要求A、B互斥即AB= 外，还要求 A+B=S
6. “A、B都发生”与“A、B不都发生”是 对立事件. 正确 7. “A、B都发生”与“A、B都不发生”是 对立事件. 错误
因为A、B都发生是 A、B都不发生是
AB的对立事件是
AB
AB
概率论1讲-PPT精选
28 2019/12/12
为了讨论方便, 把不含任何元素的集合 称为空集, 记作. 把空集作为任一集 合A的子集, 即对任一集合A, A.
如果AB且BA, 则称集合A,B相等, 记 作A=B
书上印错
29 2019/12/12
二, 并集 由至少属于集合A或集合B二者之一的所 有元素所组成的集合称为集合A与集合B 的并集, 记作AB.
25 2019/12/12
集合之间的关系与集合的运算
26 2019/12/12
一, 子集 如果属于集合A的任一元素都属于集合B, 则称集合A是集合B的子集, 记作AB(或 BA), 读作A含于B(或B包含A).
B
A
27 2019/12/12
例如, 由所有偶数组成的集合是由所有 整数组成的集合的子集; 区间(1,2)是区 间(1,4)的子集. 特别地, 一个集合A是它 自己的一个子集. 显然, 当AB且BC时, AC.
y 1
O
1
x
34 2019/12/12
如果AB=, 即A,B无公共元素, 就称集 合A与集合B互不相交. 例如, 由所有正数组成的集合与由所有 负数组成的集合互不相交; 区间(1,2)与 区间(2,3)互不相交.
35 2019/12/12
集合的并与交满足如下的分配率: (AB)C=(AC)(BC).
C
A
B
36 2019/12/12
证 下列诸关系式是相互等价的: e(AB)C, eAB且eC, eAC或eBC, e(AC)(BC).
从而上述分配律成立.
37 2019/12/12
集合的并及交可以从两个推广到有限多 个或可数多个集合上去, 诸集合A1,A2,... 的并集A1A2...就是由至少属于A1,A2,... 中一个的所有元素组成的集合; 诸集合 A1,A2,...的交集A1A2...就是由同时属 于A1,A2,...的所有元素组成的集合. 分配 律对于有限个或可数多个集合的并集也 成立,即 (A1A2...)C=(A1C)(A2C)...
为了讨论方便, 把不含任何元素的集合 称为空集, 记作. 把空集作为任一集 合A的子集, 即对任一集合A, A.
如果AB且BA, 则称集合A,B相等, 记 作A=B
书上印错
29 2019/12/12
二, 并集 由至少属于集合A或集合B二者之一的所 有元素所组成的集合称为集合A与集合B 的并集, 记作AB.
25 2019/12/12
集合之间的关系与集合的运算
26 2019/12/12
一, 子集 如果属于集合A的任一元素都属于集合B, 则称集合A是集合B的子集, 记作AB(或 BA), 读作A含于B(或B包含A).
B
A
27 2019/12/12
例如, 由所有偶数组成的集合是由所有 整数组成的集合的子集; 区间(1,2)是区 间(1,4)的子集. 特别地, 一个集合A是它 自己的一个子集. 显然, 当AB且BC时, AC.
y 1
O
1
x
34 2019/12/12
如果AB=, 即A,B无公共元素, 就称集 合A与集合B互不相交. 例如, 由所有正数组成的集合与由所有 负数组成的集合互不相交; 区间(1,2)与 区间(2,3)互不相交.
35 2019/12/12
集合的并与交满足如下的分配率: (AB)C=(AC)(BC).
C
A
B
36 2019/12/12
证 下列诸关系式是相互等价的: e(AB)C, eAB且eC, eAC或eBC, e(AC)(BC).
从而上述分配律成立.
37 2019/12/12
集合的并及交可以从两个推广到有限多 个或可数多个集合上去, 诸集合A1,A2,... 的并集A1A2...就是由至少属于A1,A2,... 中一个的所有元素组成的集合; 诸集合 A1,A2,...的交集A1A2...就是由同时属 于A1,A2,...的所有元素组成的集合. 分配 律对于有限个或可数多个集合的并集也 成立,即 (A1A2...)C=(A1C)(A2C)...
概率论与数理统计1-1(已讲)
• 平时成绩占30%,期末成绩占70%.(43) 平时上课迟到早退三次算缺勤一次(扣平时分 5分) 平时作业情况:书上每两小节结束后留一次作 业;杜绝抄袭现象(抄袭与被抄袭者皆罚).反 映真实情况.而且根据作业情况,适当的调整 课程的进度. 期末考试形式:闭卷
• 本书的大体结构如下: • 第一章:基本知识,但是很重要,为后续章节作 铺垫(涉及到一些排列组合的知识). • 第二、三章是重点，涉及到以前高数、微 积分中的一重积分二重积分公式。倒时候 会给大家复习一下。 • 第四章概念比较多和第一章的地位差不多。 为了讲解第五章埋下伏笔。
n( A) lim P {| − p |< ε } = 1 n →∞ n
伯努利大数定律表明，当独立重复试验次数 伯努利大数定律表明，当独立重复试验次数n 充分大时，事件A发生的频率 发生的频率n(A) / n与事件 的概 与事件A的概 充分大时，事件 发生的频率 与事件 非常接近. 率p非常接近 非常接近 伯努利大数定律提供了通过试验来确定事件 概率的方法. 概率的方法
Page 8
年至1940年间，概率论的研究一方 年间， 在1900年至 年至 年间 面是极限理论的发展、随机过程理论的建立， 面是极限理论的发展、随机过程理论的建立， 另一方面是系统的研究概率的基本概念， 另一方面是系统的研究概率的基本概念，特 别是俄国数学家柯尔默哥洛夫于1933年发表 别是俄国数学家柯尔默哥洛夫于 年发表 概率的公理化结构” 的“概率的公理化结构”为概率理论奠定了 严格的逻辑基础。 严格的逻辑基础。
• 于是他请教法国数学家帕斯卡，帕斯卡邀请 于是他请教法国数学家帕斯卡， 另一位法国数学家费马共同研究， 另一位法国数学家费马共同研究，后来荷兰 科学家惠更斯得知后，也开始了研究， 科学家惠更斯得知后，也开始了研究，并于 1657年写出了《论掷骰子游戏中的计算》， 年写出了《 年写出了 论掷骰子游戏中的计算》， 这是研究概率问题的最早的论著。 这是研究概率问题的最早的论著。
概率论第一章ppt课件
A 1 “: 至少有一人命中目标 A 2 “: 恰有一人命中目标” A 3 “: 恰有两人命中目标” A 4 “: 最多有一人命中目标 A 5 “: 三人均命中目标” A 6 “: 三人均未命中目标”
”:
ABC
: ABCABCABC
: AC BABC ABC
”: BCACAB
:
ABC
:
ABC
21
小结
i1
i1
13
3. 积（交）事件 : 事件A与事件B同时发生，记
作 AB 或AB。
推广：n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作
n
n
A1A2…An或 A i 或 A i
i1
i1
14
4. 差事件： A－B称为A与B的差事件, 表示事件 A发生而事件B不发生
15
5. 互不相容事件（也称互斥的事件）： 即事件 A与事件B不能同时发生。AB＝ 。
3
第一章 概率论的基本概念
§1.1 随机事件及其运算 §1.2 概率的定义及其性质 §1.3 古典概型与几何概型 §1.4 条件概率 §1.5 独立性
4
§1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象
自然界的现象按照发生的可能性（或者必然 性）分为两类：
一类是确定性现象，特点是条件完全决定结果 一类是随机现象，特点是条件不能完全决定结 果 在一定条件下，可能出现这样的结果，也可 能出现那样的结果，我们预先无法断言，这类现象 成为随机现象。
概率论与数理统计
1
概率论与数理统计是研究什么的？
随机现象：不确定性与统计规律性 概率论——从数量上研究随机现象的统计规律性的
科学。
数理统计——从应用角度研究处理随机性数据，建 立有效的统计方法，进行统计推理。
概率之1-1 概率论发展简史及随机事件(专衔本)
n k k 1
许多内容大不相同的实际问题. 例如 只包含两个样本点的样本空间：
S {H , T }
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的
模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的模 型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的 模型等.
பைடு நூலகம்
Ch1-1-30
所以在具体问题的研究
中 , 描述随机现象的第一步
就是建立样本空间.
Ch1-1-7
三、应用：
在最近几十年中，概率论的应用几乎遍及所有的 科学领域，物理、生物、化学、经济、工农业、军事 和科学技术等方方面面。 例如：(1)预测和滤波应用于空间技术和自动控制； (2)时间序列分析应用于石油勘探和经济管理；
(3)马尔可夫过程，点过程应用于地震预报和气象预报； (4)在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干扰性、 分辨率等等.
样本空间为 : S 1,2 ,3 ,4 ,5 ,6 .
B发生当且仅当
B中的样本点1,
3,5中的某一个
事件 B={掷出奇数点} 1, 3,5
出现.
Ch1-1-35
(3) 随机试验、样本空间与随机事件的关系
随机试验 样本空间 子集 随机事件
基本事件(单点集,不可再分) 随 机 复合事件 事 必然事件 件 不可能事件
Ch1-1-10
“函数在间断点处不存在导数” 等. 确定性现象的特征 条件完全决定结果
2. 随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象
称为随机现象. 实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况. 结果有可能出现正面也可能出现反面.
Ch1-1-11
实例2
抛掷一枚骰子,观 结果有可能为: 1, 2, 3, 4, 5 或 6.
许多内容大不相同的实际问题. 例如 只包含两个样本点的样本空间：
S {H , T }
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的
模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的模 型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的 模型等.
பைடு நூலகம்
Ch1-1-30
所以在具体问题的研究
中 , 描述随机现象的第一步
就是建立样本空间.
Ch1-1-7
三、应用：
在最近几十年中，概率论的应用几乎遍及所有的 科学领域，物理、生物、化学、经济、工农业、军事 和科学技术等方方面面。 例如：(1)预测和滤波应用于空间技术和自动控制； (2)时间序列分析应用于石油勘探和经济管理；
(3)马尔可夫过程，点过程应用于地震预报和气象预报； (4)在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干扰性、 分辨率等等.
样本空间为 : S 1,2 ,3 ,4 ,5 ,6 .
B发生当且仅当
B中的样本点1,
3,5中的某一个
事件 B={掷出奇数点} 1, 3,5
出现.
Ch1-1-35
(3) 随机试验、样本空间与随机事件的关系
随机试验 样本空间 子集 随机事件
基本事件(单点集,不可再分) 随 机 复合事件 事 必然事件 件 不可能事件
Ch1-1-10
“函数在间断点处不存在导数” 等. 确定性现象的特征 条件完全决定结果
2. 随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象
称为随机现象. 实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况. 结果有可能出现正面也可能出现反面.
Ch1-1-11
实例2
抛掷一枚骰子,观 结果有可能为: 1, 2, 3, 4, 5 或 6.
概率论1-1、2
C=“点数之和不小于2”=S D=“点数之和大于12” =
三. 事件之间的关系及运算
随机事件的关系和运算雷同集合的关系和运算
事件
事件之间的关系与事件的运算
集合
集合之间的关系与集合的运算
给定一个随机试验，设S为其样本空间，事件Ａ， Ｂ，Ak ( k =1 , 2 , 3 , ... ) 都是S的子集．
BA
例：
✓ 记A={明天天晴}，B={明天无雨} B A
✓ 记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车} B A
✓ 一枚硬币抛两次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面17}
BA
相等事件（Equal）
B A且 A B A=B
S B A
事件A与事件B含有相同的样本点 例如：在投掷一颗骰子的试验中，事件“出现偶数点”
AB=Φ
S A
如A={1,2,3},B={1,3,5}, C={4,5}
A与C是互不相容的。
B
A与B是相容的。
5. 事件的对立
AB , AUB S
—— A 与B 互相对立
每次试验 A、 B中有且
只有一个发生
B A S
A
称B 为A的对立事件(or逆事件)，
记为 B A
注意：“A 与B 互相对立”与“A 与B 互不相容” 是不同的概念。若A 与B 互相对立则A 与B 一定互
随机试验：抛掷两颗骰子
Rolling two die 随机试验
抛掷两颗骰子，观察出现的点数 试验的样本点和基本事件
样本空间 S＝｛（1，1），（1，2）,（1，3），（1，4）， （1，5），（1，6），...，（6，1），（6， 2），...，（6，6）｝．
随机事件
三. 事件之间的关系及运算
随机事件的关系和运算雷同集合的关系和运算
事件
事件之间的关系与事件的运算
集合
集合之间的关系与集合的运算
给定一个随机试验，设S为其样本空间，事件Ａ， Ｂ，Ak ( k =1 , 2 , 3 , ... ) 都是S的子集．
BA
例：
✓ 记A={明天天晴}，B={明天无雨} B A
✓ 记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车} B A
✓ 一枚硬币抛两次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面17}
BA
相等事件（Equal）
B A且 A B A=B
S B A
事件A与事件B含有相同的样本点 例如：在投掷一颗骰子的试验中，事件“出现偶数点”
AB=Φ
S A
如A={1,2,3},B={1,3,5}, C={4,5}
A与C是互不相容的。
B
A与B是相容的。
5. 事件的对立
AB , AUB S
—— A 与B 互相对立
每次试验 A、 B中有且
只有一个发生
B A S
A
称B 为A的对立事件(or逆事件)，
记为 B A
注意：“A 与B 互相对立”与“A 与B 互不相容” 是不同的概念。若A 与B 互相对立则A 与B 一定互
随机试验：抛掷两颗骰子
Rolling two die 随机试验
抛掷两颗骰子，观察出现的点数 试验的样本点和基本事件
样本空间 S＝｛（1，1），（1，2）,（1，3），（1，4）， （1，5），（1，6），...，（6，1），（6， 2），...，（6，6）｝．
随机事件
概率1-1随机事件
在每次试验中必有 一个样本点出现且仅 有一个样本点出现 .
概率论
若试验是将一枚硬币抛掷两次,观察正面出现 的次数： 则样本空间 S 0,1, 2 由以上两个例子可见,样本空间的元素是由试验的 目的所确定的. 如果试验是测试某灯泡的寿命： 则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界， 所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果， 故 样本空间
事件叫做事件 A 与事件 B 的和或并，记作
A B或 A + B .
A A+B B A+B
A+A= A
概率论
A+B
• 如在掷骰子试验中， 观察掷出的点数 . • A表示点数大于3； • B表示出现偶数点. • 则A+B表示出现2 点、4点、5点或6 点。
A
B
概率论
推广
、 An 中至少有一个发 类似地 , 称事件 A1、 A2、
、 An 的和事件 . 记之为 生的事件为事件 A1、 A2、
A1 A2 An , 或 A1 +A2 + +An n
简记为 Ai . 或
i 1
n
A
i 1
i
中至少有一个发生的事件为 称事件 A1、 A2、
事件 A1、 A2、 的和事件 . 记之为 A1 A2 ,
E3：掷两粒色子，观察出现的点数之和。
概率论
E 4 : 记录电话交换台一分钟 内接到的呼唤次数 . E 5 : 在一批灯泡中任意抽取一支,测试它的寿命.
E6：测试灯泡的寿命是否超过3000小时。
上述试验具有下列共同的特点:
概率论
(1) 试验可以在相同的条件下重复进行——可重复 性; (2) 每次试验的可能结果不止一个, 并且能事先明确 试验的所有可能的结果——可观察性; (3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出 现——随机性. 定义：对随机现象进行的观察与试验统称为随机 试验.简称试验，通常用E表示随机试验.
浙江大学概率论课件1-1
在自然界，在生产、生活中，随机现象十分 普遍，也就是说随机现象是大量存在的。比如： 每期体育彩票的中奖号码、同一条生产线上生 产的灯泡的寿命等，都是随机现象。因此，我 们说：随机现象就是：在同样条件下，多次进 行同一试验或调查同一现象，所得结果不完全 一样，而且无法准确地预测下一次所得结果的 现象。随机现象这种结果的不确定性，是由于 一些次要的、偶然的因素影响所造成的。
如同一个工人在同一台机床上加工同一种零件 若干个，它们的尺寸总会有一点差异。又如， 一天进入某超市的顾客数。抛一枚硬币，有可 能正面朝上，也有可能反面朝上。某种型号电 视机的寿命等。
为什么在相同的情况下，会出现这种不确定 的结果呢？这是因为，我们说的“相同条件” 是指一些主要条件来说的，除了这些主要条件 外，还会有许多次要条件和偶然因素又是人们 无法事先一一能够掌握的。正因为这样，我们 在这一类现象中，就无法用必然性的因果关系， 对个别现象的结果事先做出确定的答案。事物 间的这种关系是属于偶然性的，这种现象叫做 偶然现象，或者叫做随机现象。
有一类随机事件，它具有两个特点：第一， 只有有限个可能的结果；第二，各个结果发生 的可能性相同。具有这两个特点的随机现象叫 做“古典概型”。
在客观世界中，存在大量的随机现象，随机 现象产生的结果构成了随机事件。如果用变量 来描述随机现象的各个结果，就叫做随机变量。
随机变量取值有有限和无限的区分，根据 变量的取值情况分成离散型随机变量和连续型 随机变量。 一切可能的取值能够按一定次序一一列举， 这样的随机变量叫做离散型随机变量； 如果可能的取值充满了一个区间，无法按次 序一一列举，这种随机变量就叫做连续型随机 变量。
概率论——是根据大量同类随机现象的统计 规律，对随机现象出现某一结果的可能性做出 一种客观的科学判断，对这种出现的可能性大 小做出数量上的描述；比较这些可能性的大小、 研究它们之间的联系，从而形成一整套数学理 论和方法。
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概率论
上述试验具有下列共同的特点:
(1) 试验可以在相同的条件下重复进行; (2) 每次试验的可能结果不止一个, 并且能事 先明确试验的所有可能的结果; (3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会 出现. 在概率论中将具有上述特点的试验称为随机试 验,简称试验。用E表示随机试验.
概率论
小结 几个试验实例 随机试验的定义
现在，就让我们一起，步入这充满随机 性的世界，开始第一步的探索和研究.
概率论
从观察试验开始
研究随机现象,首先要对研究对象进行 观察试验. 这里的试验是一个含义广泛的术 语.它包括各种各样的科学试验,甚至对某一 事物的某一特征的观察也认为是一种试验.
几个具体试验
概率论
E1 : 抛一枚硬币, 观察正面 H 和反面T 出现的情况.
: 将一枚硬币抛掷三次,观察正面 H 和反面 T 出现 的情况.
E3 : 抛一颗骰子 , 观察出现的点数 .
概率论
E4 :记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数 .
E5 : 在一批灯泡中任意抽取一支,测试它的寿命.
E6 : 记录某地一昼夜的最高温度和最低温度 . E7 : 将一枚硬币抛掷三次,观察正面 H 出现的次数.
概率论
第一章 概率论的基本概念
第一节 随机试验 第二节 样本空间、随机事件 第三节 频率与概率 第四节 等可能概型(古典概型) 第五节 条件概率 第六节 独立性
概率论
第一节 随机试验
几个具体试验 随机试验 小结
概率论
上一讲中，我们了解到，随机现象有其偶 然性的一面，也有其必然性的一面，这种必然 性表现在大量重复试验或观察中呈现出的固有 规律性，称为随机现象的统计规律性.而概率 论正是研究随机现象统计规律性的一门学科.