2020中考数学复习专题---函数最值问题

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中考数学复习考点知识与题型专题讲义15---二次函数的最值(基础篇)

中考数学复习考点知识与题型专题讲义15 二次函数的最值（基础）1．已知二次函数y1＝ax2+4x+b与y2＝bx2+4x+a都有最小值，记y1、y2的最小值分别为m、n．（1）若m+n＝0，求证：对任意的实数x，都有y1+y2≥0；（2）若m，n均大于0，且mn＝2，记M为m，n中的最大者，求M的最小值．【分析】（1）根据题意可以用用含a，b的代数式表示m、n，然后根据m+n＝0，可以解答本题；（2）根据题意可以用用含a，b的代数式表示m、n，然后根据mn＝2，记M为m，n中的最大者，可以求得M的最小值．【解答】解：（1）∵二次函数y1＝ax2+4x+b与y2＝bx2+4x+a都有最小值，y1、y2的最小值分别为m、n，∴y1+y2≥m+n，∵m+n＝0，∴y1+y2≥0；（2））∵y1＝ax2+4x+b＝a（x+2a）2+ab−4a，∴m=ab−4 a，∵y2＝bx2+4x+a＝b（x+2b）2+ab−4b，∴n=ab−4 b，∵mn＝2，m，n均大于0，∴ab−4a•ab−4b=2，解得，ab＝2（舍去）或ab＝8，∴{m =4a n =4b ， ∴m =4a ，n =a 2，∵M 为m ，n 中的最大者，∴当0＜a ＜2√2时，M =4a ＞√2，当a ＝2√2时，M =√2，当a ＞2√2时，M =a 2由上可得，M 的最小值是√2．【点评】本题考查二次函数的最值，解题的关键是明确题意，可以将函数的一般式化为顶点式，利用分类讨论的数学思想和数形结合的思想解答问题．2．若一次函数y ＝（a +1）x +a 的图象过第一、三、四象限，则二次函数y ＝ax 2﹣ax 有最大值还是最小值，并求出其最值．【分析】先根据一次函数的性质得到a +1＞0且a ＜0，则﹣1＜a ＜0，再利用配方法得到y ＝ax 2﹣ax ＝a （x −12）2−14a ，然后利用二次函数的性质解决问题．【解答】解：∵一次函数y ＝（a +1）x +a 的图象过第一、三、四象限，∴a +1＞0且a ＜0，∴﹣1＜a ＜0，∵y ＝ax 2﹣ax ＝a （x 2﹣x ）＝a （x 2﹣x +14−14）＝a （x −12）2−14a ，而a ＜0，∴二次函数有最大值，最大值为−14a ．【点评】本题考查了二次函数的最值：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．也考查了一次函数的性质．3．若函数f(x)=−12x 2+133当a ≤x ≤b 时的最小值为2a ，最大值为2b ，求a 、b 的值．【分析】根据二次函数的增减性以及当a ＜b ≤0时，当a ≤0＜b 时，若0＜a ＜b 时分别得出a ，b 的值即可．【解答】解：函数f(x)=−12x 2+133的顶点是（0，133），对称轴是y 轴，最大值为133，如右图，（1）当a ＜b ≤0时，x ＝a 时有最小值2a ，x ＝b 时有最大值2b ，于是−12a 2+133=2a ， −12b 2+133=2b ，可知a 、b 是方程−12x 2+133=2x 的两个根，即3x 2+12x ﹣26＝0，由于△＞0，x 1x 2=−263，此方程有一正一负两个根，这与a ＜b ≤0矛盾，故此情况舍去；（2）当a ≤0＜b 时，x ＝0时有最大值133=2b ，解得b =136，x ＝b 时有最小值2a ，即−12×（136）2+133=14372＞0，而2a ≤0，矛盾，所以只能是x ＝a 时取最小值，（−12）a 2+133=2a ， 3a 2+12a ﹣26＝0 a =−6−√1143＜0，符合条件，（3）若0＜a ＜b ，显然有（−12）a 2+133=2b ①，−12b 2+133=2a ②，①﹣②得：（−12）（a ﹣b ）（a +b ）＝2（b ﹣a ），则a+b＝4，b＝4﹣a，代入①得：（−12）a2+133=2（4﹣a），3a2﹣12a+22＝0，∵△＜0，∴此方程无实数根，故此情况舍去．故有一组解符合要求：a=−6−√1143，b=136．【点评】此题主要考查了二次函数的最值求法，根据自变量的取值范围分别将a，b代入求出是解题关键．4．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，2），且当x＝﹣1时，y有最小值y＝﹣2．（1）求这个函数的关系式；（2）试判断点（3，14）是否在此函数图象上．【分析】二次函数得最小值出现于对称轴处．因此本题利用二次函数得基本性质便可解题．【解答】解：（1）由题意得，对称轴x=−b2a=−1，代入函数得y＝a﹣b+c＝﹣2将点（1，2）代入函数得a+b+c＝2，解得a＝1，b＝2，c＝﹣1 ∴解析式为y＝x2+2x﹣1（2）当x＝3时，y＝14∴（3，14）在此函数图象上【点评】本题主要考察二次函数得基本性质，熟练掌握二次函数是本题得关键5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？【分析】（1）由平行线得△ABC∽△ADE，根据相似形的性质得关系式；（2）由S=12•BD•AE；得到函数解析式，然后运用函数性质求解．【解答】解：（1）动点D运动x秒后，BD＝2x．又∵AB＝8，∴AD＝8﹣2x．∵DE∥BC，∴ADAB=AEAC，∴AE=6(8−2x)8=6−32x，∴y关于x的函数关系式为y=−32x+6（0＜x＜4）．（2）解：S△BDE=12⋅BD⋅AE=12×2x(−32x+6)=−32x2+6x（0＜x＜4）．当x=−62×(−32)=2时，S△BDE最大，最大值为6cm2．【点评】本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题，找到等量比是解题的关键．6．已知二次函数y＝一x2+4x+6．（1）当x 为何值时，y 有最值？是多少？（2）当一2≤x ≤1时，求函数的最值．（3）当x ≥4时．求函数的最值．【分析】（1）将函数解析式配方成顶点式后，根据二次函数的性质即可得；（2）由x ＜2时，y 随x 的增大而增大，结合x 的范围求解可得；（3）由x ＞2时，y 随x 的增大而减小，结合x 的范围求解可得．【解答】解：（1）∵y ＝﹣x 2+4x +6＝﹣（x 2﹣4x +4﹣4）+6＝﹣（x ﹣2）2+10，∴当x ＝2时，y 有最大值，最大值为10；（2）∵当x ＜2时，y 随x 的增大而增大，∴由﹣2≤x ≤1知，当x ＝﹣2时，y 取得最小值，最小值y ＝﹣4﹣8+6＝﹣6，当x ＝1时，y 取得最大值，最大值y ＝﹣1+4+6＝9；（3）∵当x ＞2时，y 随x 的增大而减小，∴在x ≥4范围内，当x ＝4时，函数取得最大值，最大值y ＝﹣16+16+6＝6，无最小值．【点评】本题主要考查二次函数的最值，解题的关键是熟练将二次函数的一般式配方成顶点式及二次函数的性质．7．对于二次函数f （x ）＝ax 2﹣bx +c ，当a ＞0时，只有最小值为4ac−b 24a ，这个结论一定正确吗？【分析】直接利用配方法求出二次函数的顶点式，即可求得出二次函数的顶点坐标，根据二次函数的性质求得出二次函数的最小值．【解答】解：对于二次函数f （x ）＝ax 2﹣bx +c ，当a ＞0时，只有最小值为4ac−b 24a ，这个结论一定正确；∵二次函数f （x ）＝ax 2﹣bx +c＝a （x −b 2a ）2+4ac−b 24a ； ∴图象的顶点坐标为：（b 2a ，4ac−b 24a ）， ∵a ＞0，∴函数的最小值为：4ac−b 24a ．【点评】此题主要考查了求二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．8．求函数y =3x 2+x+2x 2+2x+1的最小值．【分析】将函数整理成关于x 的一元二次方程，然后利用根的判别式列出不等式求解即可．【解答】解：∵y =3x 2+x+2x 2+2x+1， ∴y （x 2+2x +1）＝3x 2+x +2，整理得，（y ﹣3）x 2+（2y ﹣1）x +（y ﹣2）＝0，∵关于x 的一元二次方程有解，∴△＝b 2﹣4ac ＝（2y ﹣1）2﹣4（y ﹣3）（y ﹣2）≥0，整理得，16y ﹣24≥0，解得y ≤32，所以，函数的最小值为32．【点评】本题考查了二次函数的最值，题目难度较大，将函数整理成关于x 的一元二次方程并考虑利用根的判别式求解是解题的关键．9．已知：二次函数y ＝﹣x 2+2（α+1）x +1，其中a 为常数．（1）若y 的最大值为2，求a 的值；（2）求y ＝﹣x 2+2（a +1）x +1在0≤x ≤|a |时的最小值；（3）若方程|﹣x 2+2（a +1）x +1|＝2﹣x 的正实数根只有一个，求a 的取值范围．【分析】（1）把y＝﹣x2+2（α+1）x+1配方即可得到结论；（2）根据二次函数的性质即可得到结论；（3）根据题意得到即该方程的一次项的系数为0，判别式△≥0且二次项的系数与常数项的符号相反．解方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+2（α+1）x+1＝﹣[x﹣（a+1）]2+a2+2a+2，∵y的最大值为2，∴a2+2a+2＝2解得：a＝0或a＝﹣2即y的最大值为2时，a的值为0或﹣2；（2）∵二次函数y＝﹣x2+2（α+1）x+1＝﹣[x﹣（a+1）]2+（a+1）2+1的图象开口向下，对称轴x ＝a+1，当|a|≤a+1时，解得a≥−1 2当a＞−12时，0≤x≤|a|时，函数值随x的增大而增大，故：函数y＝﹣x2+2（a+1）x+1的最小值为：y min═﹣[0﹣（a+1）]2+（a+1）2+1＝1，当a＜−12时，0≤x≤|a|时，函数值随x的增大而减小，x＝|a|时，有最小值，最小值＝﹣a2﹣2a（a+1）+1＝﹣3a2﹣2a+1．（3）∵方程|﹣x2+2（a+1）x+1|＝2﹣x的正实数根只有一个，判别式△≥0且二次项的系数与常数项的符号相反．∴当方程﹣x2+2（a+1）x+1＝2﹣x时，有：x2﹣（2a+3）x+1＝0，而此时二次项的系数与常数项的符号相同，不符合题意，舍去．∴当方程为：﹣x 2+2（a +1）x +1＝x ﹣2时，化简整理得：x 2﹣（2a +1）x ﹣3＝0，∵△＝[﹣（2a +1）]2﹣4×（﹣3）＝4a 2+4a +13＝（2a +1）2+12＞0，∴a 的取值范围为任意实数．【点评】本题考查了二次函数的最值，二次方程的判别式，正确的理解题意是解题的关键．10．已知函数y =k 2x k 2﹣2是关于x 的二次函数（1）求满足条件的k 的值；（2）k 为何值时，函数有最大值？最大值为多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？【分析】（1）根据二次函数的指数是二，可得方程，根据解方程，可得答案；（2）根据函数有最大值，可得二次项系数是负数，根据顶点坐标是函数的最值，可得答案；根据a ＜0时，对称轴的右侧y 随x 的增大而减小，可得答案．【解答】解：（1）函数y =k 2x k 2﹣2是关于x 的二次函数，得{k 2−2=2k 2≠0，解得k ＝2或k ＝﹣2；（2）当k ＝﹣2时，函数y ＝﹣x 2有最大值，最大值是0；∴此时函数y =k 2x k 2﹣2是开口向下的，对称轴为x ＝0；∴当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．【点评】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义得出k 值是解题关键，又利用了二次函数的性质．11．如图．抛物线y ＝ax 2+bx +52与直线AB 交于点A （﹣1，0），B （4，52），点D 是抛物线上位于直线AB 上方的一点（不与点A ，B 重合），连接AD ，BD ．（1）求抛物线的解析；（2）设△ADB 的面为S ，求出当S 取最大值时的点D 的坐标．【分析】（1）把A 、B 两点坐标代入抛物线解析式即可．（2）设点D 坐标为（m ，−12m 2+2m +52），直线DC ⊥x 轴，与AB 交于点C ，根据S △ABD ＝S △ACD +S △BCD 构建二次函数，利用二次函数的最值问题解决．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +52经过点A （﹣1，0），B （4，52），∴{a −b +52=016a +4b +52=52解得{a =−12b =2， ∴抛物线解析式为y =−12x 2+2x +52．（2）设点D 坐标为（m ，−12m 2+2m +52），直线DC ⊥x 轴，与AB 交于点C ， ∵直线AB 解析式为y =12x +12，∴点C 坐标（m ，12m +12）， ∵S △ABD ＝S △ACD +S △BCD =12（−12m 2+2m +52−12m −12）×（4+1）=−54（m 2﹣3m ﹣4）=−54（m −32）2+12516，∴当m =32时，△ADB 面积最大，此时点D 坐标（32，358）．【点评】本题考查二次函数的最值、一次函数等知识，解题的关键是掌握待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．12．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，AC+BD＝12，当AC，BD的长分别是多少时，四边形ABCD的面积最大？【分析】直接利用对角线互相垂直的四边形面积求法得出S=12AC•BD，再利用配方法求出二次函数最值．【解答】解：设AC＝x，四边形ABCD面积为S，则BD＝12﹣x，则：S=12AC•BD=12x（12﹣x）=−12（x﹣6）2+18，当x＝6时，S最大＝18；所以AC＝BD＝6时，四边形ABCD的面积最大．【点评】此题主要考查了二次函数最值以及四边形面积求法，正确掌握对角线互相垂直的四边形面积求法是解题关键．13．如图，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上两点，且CE＝CF，AB＝4．（1）设CE＝x，△AEF的面积为y，求y关于x的函数关系式；（2）当x取何值时，△AEF面积最大？求出此时△AEF的面积．【分析】（1）由已知可得，AB＝BC＝CD＝AD＝4，CE＝x，由图形得出y＝S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S △ADF﹣S△CEF，便可求出x与y的关系式．（2）化成顶点式即可求得结论．【解答】解：（1）∵BC＝DC，CE＝CF，∴BE＝DF＝x，∴y＝S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△ADF﹣S△CEF，∴y＝42−12×4×（4﹣x）−12×4×（4﹣x）−12⋅x2∴y=−12x2+4x（0≤x≤4）．（2）∵y=−12x2+4x=−12（x﹣4）2+8，∴当x＝4时，△AEF的面积最大，此时△AEF的面积是8．【点评】本题考查了二次函数的最值，正方形的性质，三角形的面积，正确求得函数的解析式是解题的关键．14．如图（1）放置两个全等的含有30°角的直角三角板ABC与DEF（∠B＝∠E＝30°），若将三角板ABC向右以每秒1个单位长度的速度移动（点C与点E重合时移动终止），移动过程中始终保持点B、F、C、E在同一条直线上，如图（2），AB与DF、DE分别交于点P、M，AC与DE交于点Q，其中AC＝DF=√3，设三角板ABC移动时间为x秒．（1）在移动过程中，试用含x的代数式表示△AMQ的面积；（2）计算x等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？【分析】（1）解直角三角形ABC求得EF＝BC＝3，由题意可知CF＝x，可求AQ=√33x，MN=12x，根据三角形面积公式即可求出结论；（2）根据“S重叠＝S△ABC﹣S△AMQ﹣S△BPF”列出函数关系式，通过配方求解即可．【解答】解：（1）解：因为Rt△ABC中∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵∠E＝30°，∴∠EQC＝∠AQM＝60°，∴△AMQ为等边三角形，过点M作MN⊥AQ，垂足为点N．在Rt△ABC中，AC=√3，BC=AC⋅tanA=3，∴EF＝BC＝3，根据题意可知CF＝x，∴CE＝EF﹣CF＝3﹣x，CQ=CE⋅tanE=√33(3−x)，∴AQ=AC−CQ=√3−√33(3−x)=√33x，∴AM =AQ =√33x ，而MN =AM ⋅sinA =12x ，∴S △MAQ =12AQ ⋅MN =12×√33x ⋅12x =√312x 2，（2）由（1）知BF ＝CE ＝3﹣x ，PF =BF ⋅tanB =√33(3−x)，∴S 重叠=S △ABC −S △AMQ −S △BPF =12AC ⋅BC −12AQ ⋅MN −12BF ⋅PF=12×3×√3−√312x 2−12（3﹣x ）×√33（3﹣x ） =−√34x 2+√3x =−√34(x −2)2+√3，所以当x ＝2时，重叠部分面积最大，最大面积是√3．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，等边三角形的性质和判定，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．15．如图，函数y ＝﹣x 2+12x +c （﹣2020≤x ≤1）的图象记为L 1，最大值为M 1；函数y ＝﹣x 2+2cx +1（1≤x ≤2020）的图象记为L 2，最大值为M 2．L 1的右端点为A ，L 2的左端点为B ，L 1，L 2合起来的图形记为L ．（1）当c ＝1时，求M 1，M 2的值；（2）若把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当点A ，B 重合时，求L 上“美点”的个数；（3）若M 1，M 2的差为4716，直接写出c 的值．【分析】（1）当c ＝1时，把函数的解析式化成顶点式即可求得M 1，M 2的值；（2）由已知可得点A，B重合时，c−12=2c，c=−12，L1上有1011个“美点”，L2上有2020个“美点”．则L上“美点”的个数是1011+2020﹣1＝3030；（3）当x=14时，M1=116+c，由于L2的对称轴为x＝c，分两种情况求解：当c≥1时，M2＝c2+1；当c＜1时，M2＝2c；再由已知列出等式即可求c的值．【解答】解：（1）当c＝1时，函数y＝﹣x2+12x+c＝﹣x2+12x+1＝﹣（x−14）2+1716．又∵﹣2020≤x≤1，∴M1=17 16，y＝﹣x2+2cx+1＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2．又∵1≤x≤2020，∴M2＝2；（2）当x＝1时，y＝﹣x2+12x+c＝c−12；y＝﹣x2+2cx+1＝2c．若点A，B重合，则c−12=2c，c=−12，∴L1：y＝﹣x2+12x−12（﹣2020≤x≤1）；L2：y＝﹣x2﹣x+1（1≤x≤2020）．在L1上，x为奇数的点是“美点”，则L1上有1011个“美点”；在L2上，x为整数的点是“美点”，则L2上有2020个“美点”．又点A，B重合，则L上“美点”的个数是1011+2020﹣1＝3030．（3）y＝﹣x2+12x+c（﹣2020≤x≤1）上时，当x=14时，M1=116+c，y＝﹣x2+2cx+1（1≤x≤2020），对称轴为x＝c，当c≥1时，M2＝c2+1，∴|116+c ﹣c 2﹣1|=4716， ∴c ＝﹣1（舍去）或c ＝2；当c ＜1时，M 2＝2c ，∴|2c −116−c |=4716， ∴c ＝3（舍去）或c =−238；∴c =−238或2．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；能够根据函数所给的取值范围，通过适当的分类讨论，正确的求函数的最大值是解题的关键．16．在矩形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别在边AB 、BC 、CD 、DA 上，且AE ＝AH ＝CF ＝CG ，已知AB ＝a ，BC ＝b ．（1）若b 3≤a ≤3b 时，求四边形EFGH 的面积的最大值；（2）若a ＝4，b ＝16，求四边形EFGH 的面积的最大值．【分析】（1）由已知可证明△AEH ≌△CGF （SAS ），△BEF ≌△DGH （SAS ），则S 四EFGH ＝S 矩ABCD ﹣2S △AEH ﹣2S △BEF ＝﹣2x 2+（a +b ）x ，由二次函数的性质即可求面积最大值；（2）将a ＝4，b ＝16代入（1）所得的式子即可．【解答】解：（1）设AE ＝x ，∵AE ＝AH ＝CF ＝CG ，∴△AEH ≌△CGF （SAS ），∵AB ＝CD ，AD ＝BC ，∴BE＝DG，HD＝BF，∴△BEF≌△DGH（SAS），∴S四EFGH＝S矩ABCD﹣2S△AEH﹣2S△BEF＝ab﹣2×12x2﹣2×12（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣x2﹣（ab﹣ax﹣bx+x2）＝﹣2x2+（a+b）x，当x=a+b4时，S四EFGH有最大值，最大值为(a+b)28；（2）当a＝4，b＝16时，四边形EFGH的面积＝﹣2x2+20x，∴当x＝4时，四边形EFGH的面积的最大值为48．【点评】本题考查矩形的性质；熟练掌握矩形的性质，通过三角形全等求面积，再由二次函数求面积的最大值是解题的关键．17．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一个点随之停止移动．（1）P，Q两点出发几秒后，可使△PBQ的面积为8cm2．（2）设P，Q两点同时出发移动的时间为t秒，△PBQ的面积为Scm2，请写出S与t的函数关系式，并求出△PBQ面积的最大值．【分析】（1）由题意，可设P、Q经过t秒，使△PBQ的面积为8cm2，则PB＝6﹣t，BQ＝2t，根据三角形面积的计算公式，S△PBQ=12BP×BQ，列出表达式，解答出即可；（2）利用三角形面积公式表示S=12×（6﹣t）×2t＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，利用二次函数的性质解题．【解答】解：（1）设经过t秒后，△PBQ的面积等于8cm2．12×（6﹣t）×2t＝8，解得：t1＝2，t2＝4，答：经过2或4秒后，△PBQ的面积等于8cm2．（2）依题意，得S=12×PB×BQ=12×（6﹣t）×2t＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，∴在移动过程中，△PBQ的最大面积是9cm2．【点评】本题考查了二次函数的运用．关键是根据题意，列出相应的函数关系式，运用二次函数的性质解题．18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝6cm，点P从点C开始沿CB向点B以1cm/s 的速度移动，点Q从A开始沿AC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P，Q同时从点C，A出发，试问：（1）出发多少时间时，点P，Q之间的距离等于2√17cm？（2）出发多少时间时，△PQC的面积为6cm2？（3）△PQC面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？【分析】（1）可设出发xs时间时，点P，Q之间的距离等于2√17cm，根据勾股定理列出方程求解即可；（2）可设出发ys时间时，△PQC的面积为6cm2，根据三角形的面积公式列出方程求解即可；（3）根据题意得到△PQC面积和时间t的关系式，根据关系式即可得到结论．【解答】解：（1）设出发xs时间时，点P，Q之间的距离等于2√17cm，依题意有x2+（12﹣2x）2＝（2√17）2，解得x1＝2，x2＝7.6（不合题意舍去）．答：出发2s时间时，点P，Q之间的距离等于2√17cm；（2）设出发ys时间时，△PQC的面积为6cm2，依题意有12y（12﹣2y）＝6，解得y1＝3−√3，y2＝3+√3．答：出发（3−√3）s或（3+√3）s时间时，△PQC的面积为6cm2；（3）依题意有S△PQC=12t（12﹣2t）＝﹣（t﹣3）2+9，∵﹣1＜0，∴△PQC面积的有最大值9，此时时间是3．【点评】此题主要考查了二次函数的最值，一元二次方程的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．19．如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y＝x2﹣2mx+m2﹣2与直线x＝﹣2交于点P．（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；（2）设点P的纵坐标为y p，求y p的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小．【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）把x＝﹣2代入解析式得到P点的纵坐标y P＝4+4m+m2﹣2＝（m+2）2﹣2，即可得到当m＝﹣2时，y P的最小值＝﹣2，然后根据二次函数的性质即可判断y1与y2的大小．【解答】解：（1）∵抛物线F经过点C（﹣1，﹣2），∴﹣2＝1+2m+m2﹣2，∴m＝﹣1，∴抛物线F的表达式是y＝x2+2x﹣1．（2）当x＝﹣2时，y P＝4+4m+m2﹣2＝（m+2）2﹣2，∴当m＝﹣2时，y P的最小值＝﹣2．此时抛物线F的表达式是y＝（x+2）2﹣2，∴当x≤﹣2时，y随x的增大而减小．∵x1＜x2≤﹣2，∴y1＞y2．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．20．如图，在平面直角坐标系中，点A，B是一次函数y＝x图象上两点，它们的横坐标分别为a，a+3，其中a＞0，过点A，B分别作y轴的平行线，交抛物线y＝x2﹣4x+8于点C，D．（1）若AD＝BC，求a的值；（2）点E是抛物线上的一点，求△ABE面积的最小值．【分析】（1）将已知点的坐标代入相应的函数解析式，再结合AD＝BC，可得关于a的方程，解得a的值即可；（2）设点E（m，m2﹣4m+8），过E作EM垂直于x轴交AB于点M，作BF⊥EM，AG⊥EM，垂足分别为F，G，由题意可得M（m，m），从而可用含m的式子表示出EM的长，根据二次函数的性质及三角形的面积公式可得答案．【解答】解：（1）∵点A，B是一次函数y＝x图象上两点，它们的横坐标分别为a，a+3，∴A（a，a），B（a+3，a+3）．y＝x2﹣4x+8＝（x﹣2）2+4，将x＝a，代入得：y＝（a﹣2）2+4；将x＝a+3，代入得：y＝（a+1）2+4．∴D（a，（a﹣2）2+4），C（a+3，（a+1）2+4），∴AD＝（a﹣2）2+4﹣a，CB＝（a+1）2+4﹣（a+3）．由AD＝BC得：（a﹣2）2+4﹣a＝（a+1）2+4﹣（a+3），∴a＝1．（2）设点E（m，m2﹣4m+8），过E作EM垂直于x轴交AB于点M，作BF⊥EM，AG⊥EM，垂足分别为F，G，由题意得：M（m，m），∴EM＝m2﹣4m+8﹣m＝m2﹣5m+8=(m−52)2+74，∴S△ABE＝S△AEM+S△EMB=12EM⋅AG+12EM⋅BF=12EM(AG+BF)=32(m−52)2+218，由32＞0，得S△ABE有最小值．∴当m=52时，S△ABE的最小值为218．【点评】本题考查了二次函数的最值、一次函数与二次函数图象上的点与坐标的关系及三角形的面积计算等知识点，熟练掌握相关性质及定理并数形结合是解题的关键．。

2020年中考数学压轴解答题10 二次函数与线段关系及最值定值问题(学生版)

备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题10 二次函数与线段关系及最值定值问题【类型综述】图形运动的过程中,求两条线段之间的函数关系,是中考数学的热点问题．产生两条线段间的函数关系,常见的情况有两种,一是勾股定理,二是比例关系．还有一种不常见的,就是线段全长等于部分线段之和．由比例线段产生的函数关系问题,在两种类型的题目中比较常用．一是由平行线产生的对于线段成比例,二是相似三角形的对应边成比例．一般步骤是先说理产生比例关系,再代入数值或表示数的字母,最后整理、变形,根据要求写出定义域．关键是寻找比例关系,难点是有的整理、变形比较繁琐,容易出错．【方法揭秘】由勾股定理产生的函数关系,在两种类型的题目中比较常用．类型一,已知“边角边”,至少一边是动态的,求角的对边．如图1,已知点A 的坐标为(3, 4),点B 是x 轴正半轴上的一个动点,设OB ＝x ,AB ＝y ,那么我们在直角三角形ABH 中用勾股定理,就可以得到y 关于x 的函数关系式．类型二,图形的翻折．已知矩形OABC 在坐标平面内如图2所示,AB ＝5,点O 沿直线EF 翻折后,点O 的对应点D 落在AB 边上,设AD ＝x ,OE ＝y ,那么在直角三角形AED 中用勾股定理就可以得到y 关于x 的函数关系式．图1 图2【典例分析】【例1】如图①,矩形ABCD 中,2,5,1AB BC BP ===,090MPN ∠=,将MPN ∠绕点P 从PB 处开始按顺时针方向旋转,PM 交边AB （或AD ）于点E ,PN 交边AD （或CD ）于点F .当PN 旋转至PC 处时,MPN ∠的旋转随即停止.（1）特殊情形：如图②,发现当PM 过点A 时,PN 也恰好过点D ,此时ABP ∆是否与PCD ∆相似？并说明理由；（2）类比探究：如图③,在旋转过程中,PEPF的值是否为定值？若是,请求出该定值；若不是,请说明理由；（3）拓展延伸：设AE t =时,EPF ∆的面积为S ,试用含t 的代数式表示S ；①在旋转过程中,若1t =时,求对应的EPF ∆的面积； ②在旋转过程中,当EPF ∆的面积为4.2时,求对应的t 的值.【例2】如图1,在矩形ABCD 中,AB ＝8,AD ＝10,E 是CD 边上一点,连接AE ,将矩形ABCD 沿AE 折叠,顶点D 恰好落在BC 边上点F 处,延长AE 交BC 的延长线于点G ．（1）求线段CE 的长；（2）如图2,M ,N 分别是线段AG ,DG 上的动点（与端点不重合）,且∠DMN ＝∠DAM ,设AM ＝x ,DN ＝y ． ①写出y 关于x 的函数解析式,并求出y 的最小值；②是否存在这样的点M ,使△DMN 是等腰三角形？若存在,请求出x 的值；若不存在,请说明理由．【例3】抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧）,与y 轴交于点(0,4)C -.已知(2,0)A -,抛物线的对称轴l 交x 轴于点(1,0)D . （1）求出,,a b c 的值；（2）如图1,连接BC ,点P 是线段BC 下方抛物线上的动点,连接,PB PC .点,M N 分别在y 轴,对称轴l 上,且MN y ⊥轴.连接,AM PN .当PBC ∆的面积最大时,请求出点P 的坐标及此时AM MN NP ++的最小值；（3）如图2,连接AC ,把AOC ∆按照直线y x =对折,对折后的三角形记为A OC ∆'',把A OC ∆''沿着直线BC 的方向平行移动,移动后三角形的记为A O C ∆''''',连接DA '',DC '',在移动过程中,是否存在DA C ∆''''为等腰三角形的情形？若存在,直接写出点C ''的坐标；若不存在,请说明理由.【例4】如图在锐角△ABC 中,BC ＝6,高AD ＝4,两动点M 、N 分别在AB 、AC 上滑动(不包含端点),且MN ∥BC,以MN 为边长向下作正方形MPQN,设MN ＝x,正方形MPQN 与△ABC 公共部分的面积为y ． (1)如图(1),当正方形MPQN 的边P 恰好落在BC 边上时,求x 的值；(2)如图(2),当PQ 落△ABC 外部时,求出y 与x 的函数关系式(写出x 的取值范围)并求出x 为何值时y 最大,最大是多少？【例5】如图,抛物线y＝12-x2+mx+m（m＞0）的顶点为A,交y轴于点C．（1）求出点A的坐标（用含m的式子表示）；（2）若直线y＝﹣x＋n经过点A,与抛物线交于另一点B,证明：AB的长是定值；（3）连接AC,延长AC交x轴于点D,作直线AD关于x轴对称的直线,与抛物线分别交于E、F两点．若∠ECF＝90°,求m的值．【例6】如图,在平面直角坐标系中,二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B 点的坐标为（3,0）,与y轴交于点C（0,﹣3）．（1）求二次函数解析式；（2）若点Q为抛物线上一点,且S△ABQ＝12S△ACQ,求点Q的坐标；（3）若直线l：y＝mx+n与抛物线有两个交点M,N（M在N的左边）,P为抛物线上一动点（不与M,N重合）．过P作PH平行于y轴交直线l于点H,若HM HNHP⋅＝5,求m的值．【变式训练】1．如图,抛物线y ＝ax 2+4x +c （a ≠0）与反比例函数y ＝5x的图象相交于点B ,且点B 的横坐标为5,抛物线与y 轴交于点C （0,6）,A 是抛物线的顶点,P 和Q 分别是x 轴和y 轴上的两个动点,则AQ +QP +PB 的最小值为_____．2．如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC 的顶点 A 在 x 轴正半轴上,顶点 C 的坐标为（4,3）,D 是抛物线 y =﹣x 2+6x 上一点,且在x 轴上方,则△BCD 面积的最大值为__________3．己知抛物线2114y x =+具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点F(0,2)的距离与到x 轴的距离始终相等,如图,点M 的坐标为(3,3),P 是抛物线2114y x =+上一个动点,则△PMF 周长的最小值是__________.4．如图,在Rt △ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC =16cm ,AD 为BC 边上的高,动点P 从点A 出发,沿A →D 方向以2/s 的速度向点D 运动,过P 点作PE ∥BC 交AC 于点E ,过E 点作EF ⊥BC 于点F ,设△ABP 的面积为S 1,四边形PDFE 的面积为S 2,则点P 在运动过程中,S 1+S 2的最大值为______．5．在平面直角坐标系中,已知()A 2,4、()P 1,0,B 为y 轴上的动点,以AB 为边构造ABC V ,使点C 在x 轴上,BAC 90.M ∠=o 为BC 的中点,则PM 的最小值为______．6．如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x 2+4x 与x 轴交于点A,点M 是x 轴上方抛物线上一点,过点M 作MP ⊥x 轴于点P,以MP 为对角线作矩形MNPQ,连结NQ,则对角线NQ 的最大值为_________．7．如图,在平面直角坐标系中,过A （－1,0）、B （3,0）两点的抛物线交y 轴于点C,其顶点为点D,设△ACD 的面积为S 1,△ABC 的面积为S 2．小芳经探究发现：S 1︰S 2是一个定值．这个定值为________．8．如图,在平面直角坐标系中,有二次函数23333y x x =--+,顶点为H ,与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 左侧）,易证点H 、B 关于直线3:33l y x =+对称,且A 在直线l 上．过点B 作直线//BK AH 交直线l 于K 点,M 、N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点,连接HN 、NM 、MK ,则HN NM MK ++的最小值为________9．如图,抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与直线1y x =+相交于(1,0)A -,(4,)B m 两点,且抛物线经过点(5,0)C（1）求抛物线的解析式．（2）点P 是抛物线上的一个动点（不与点A 点B 重合）,过点P 作直线PD x ⊥轴于点D ,交直线AB 于点E ．当2PE ED =时,求P 点坐标；（3）如图所示,设抛物线与y 轴交于点F ,在抛物线的第一象限内,是否存在一点Q ,使得四边形OFQC 的面积最大？若存在,请求出点Q 的坐标；若不存在,说明理由．10．如图,在矩形ABCD 中,AB=18,AD=12,点M 是边AB 的中点,连结DM,DM 与AC 交于点G ,点E,F 分别是CD 与DG 上的点,连结EF,(1)求证：CG=2AG .(2)若DE=6,当以E,F,D 为顶点的三角形与△CDG 相似时,求EF 的长.(3)若点E 从点D 出发,以每秒2个单位的速度向点C 运动,点F 从点G 出发,以每秒1个单位的速度向点D 运动.当一个点到达,另一个随即停止运动.在整个运动过程中,求四边形CEFG 的面积的最小值.11．如图①,抛物线y=a(x 2+2x-3)(a≠0)与x 轴交于点A 和点B,与y 轴交于点C,且OC=OB.(1)直接写出点B 的坐标是( , ),并求抛物线的解析式；(2)设点D 是抛物线的顶点,抛物线的对称轴是直线l,连接BD,线段OC 上的点E 关于直线l 的对称点E'恰好在线段BD 上,求点E 的坐标；(3)若点F 为抛物线第二象限图象上的一个动点,连接BF,CF,当△BCF 的面积是△ABC 面积的一半时,求此时点F 的坐标.12．如图,抛物线y ＝﹣x 2+mx +2与x 轴交于点A ,B ,与y 轴交于点C ,点A 的坐标为（1,0）（1）求抛物线的解析式（2）在抛物线的对称轴l 上找一点P ,使PA +PC 的值最小,求出点P 的坐标（3）在第二象限内的抛物线上,是否存在点M ,使△MBC 的面积是△ABC 面积的12？若存在,求出点M 的坐标,若不存在,请说明理由．13．如图,抛物线212y x mx n =++交x 轴于A 、B 两点,直线y=kx+b 经过点A,与这条抛物线的对称轴交于点M （1,2）,且点M 与抛物线的顶点N 关于x 轴对称．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设题中的抛物线与直线的另一交点为C,已知P（x,y）为线段AC上一点,过点P作PQ⊥x轴,交抛物线于点Q．求线段PQ的最大值及此时P坐标；（3）在（2）的条件下,求△AQC面积的最大值．14．如图,抛物线y＝﹣12x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且OA＝2,OC＝3．（1）求抛物线的解析式；（2）点D（2,2）是抛物线上一点,那么在抛物线的对称轴上,是否存在一点P,使得△BDP的周长最小,若存在,请求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．（3）连接AD并延长,过抛物线上一点Q（Q不与A重合）作QN⊥x轴,垂足为N,与射线交于点M,使得QM＝3MN,若存在,请直接写出点Q的坐标；若不存在,请说明理由．15．如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=- x2 + 4x上,且横坐标为1,点B与点A关于抛物线的对称轴对称,直线AB与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,点E的坐标为(1,1).(1)求线段AB 的长.(2)点P 为线段AB ．上方抛物线上的任意一点,过点P 作AB 的垂线交AB 于点H,点F 为y 轴上一点,当∆PBE 的面积最大时,求PH + HF + 12FO 的最小值. (3)在(2)中,PH+HF+12方FO 取得最小值时,将∆CFH 绕点C 顺时针旋转60°后得到∆CF'H',过点F'作CF'的垂线与直线AB 交于点Q,点R 为抛物线对称轴上的一点,在平面直角坐标系中是否存在点S,使以点D,Q,R,S 为顶点的四边形为菱形,若存在,请直接写出点S 的坐标,若不存在,请说明理由.16．已知,二次函数24y x x c =-+的图像与x 轴的一个交点为O(0,0),点P （m,0）是x 轴正半轴上的一个动点.（1）如图1,求二次函数的图像与x 轴另一个交点的坐标；（2）如图2,过点P 作x 轴的垂线交直线33y x =与点C,交二次函数图像于点D, ①当PD=2PC 时,求m 的值；如图3,已知A （3,-3）在二次函数图像上,连结AP,求12AP OP +的最小值；(3如图4,在第（2）小题的基础上,作直线OD,作点C关于直线OD的对称点C’,当C’落在坐标轴上时,请直接写出m的值.17．如图1,已知抛物线y =ax2+bx +c 经过A(-3,0),B (1,0 ),C (0,3 )三点,其顶点为D,对称轴是直线l , l 与x 轴交于点H .（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点,求∆PBC 周长的最小值；（3）如图2,若 E 是线段AD 上的一个动点（E 与A, D 不重合）,过 E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点 F ,交x 轴于点G ,设点 E 的横坐标为m ,四边形AODF 的面积为S 。

2020中考数学复习微专题：最值问题(将军饮马)突破与提升策略

2020中考数学复习微专题：最值问题（将军饮马）突破与提升策略【问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。

而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

【问题描述】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？A B将军军营河【问题简化】如图，在直线上找一点P使得P A+PB最小？P【问题分析】这个问题的难点在于P A+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【问题解决】作点A关于直线的对称点A’，连接P A’，则P A’=P A，所以P A+PB=P A’+PB当A’、P、B三点共线的时候，P A’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）【思路概述】作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．将军饮马模型系列【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．B B此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．P O B AMN【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M．P''A当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．A【两定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。

2020年初三数学下册中考专题复习二次函数面积最值问题(含答案)

2020年初三数学下册中考专题复习二次函数面积最值问题1．如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N 从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．2．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形A′B′OC′．抛物线y＝﹣x2+2x+3经过点A、C、A′三点．（1）求A、A′、C三点的坐标；（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△C′OD的面积；（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M的坐标．3．如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点D的横坐标是2．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；（3）在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得△PAB的面积最大，并求出这个最大值．4．如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x与抛物线C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，它们相交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA＝2OB．（1）求抛物线C2的解析式；（2）在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使PA+PC的值最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；（3）M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点，连接MO，MC，M运动到什么位置时，△MOC面积最大？并求出最大面积．5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．6．如图，二次函数y＝﹣x2+3x+m的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴相交于C点（1）求m的值及C点坐标；（2）在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M，使得它与B，C两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由（3）P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；②点P的横坐标为t（0＜t＜4），当t为何值时，四边形PBQC的面积最大，请说明理由．7．如图，抛物线y＝ax2+bx+与直线AB交于点A（﹣1，0），B（4，），点D是抛物线A、B两点间部分上的一个动点（不与点A、B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD．（1）求抛物线的表达式；（2）设点D的横坐标为m，△ADB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S 取最大值时的点C的坐标．8．如图A（0，3），B（3，0），C（1，0）分别是抛物线：y＝ax2+bx+c（a≠0）上的三点，点P为抛物线上一动点．（1）求此抛物线的解析式．（2）当△PAB是以AB为一直角边的直角三角形时，求此时点P的坐标．（3）若点P在抛物线上A、B两点之间移动时，是否存在一个位置，使△PAB的面积最大？若存在，请求此时点P的坐标．若不存在，请说明理由．9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．点P为直线AE上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）当t为何值时，△PAE的面积最大？并求出最大面积；（3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C （0，﹣3）（1）求出该抛物线的函数关系式及对称轴（2）点P是抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t（0＜t＜3）．当△PCB的面积的最大值时，求点P的坐标（3）在（1）的条件下，点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，若以BC为边，以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求P点的坐标．11．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于C（0，3），直线y＝+m经过点C，与抛物线的另一交点为点D，点P是直线CD上方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线解析式并求出点D的坐标；（2）连接PD，△CDP的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△CPE是等腰三角形时，请直接写出m的值．12．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为﹣8．点P是直线AB上方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为E，交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D，交x轴于点F．（1）求该抛物线的解析式；（2）求sin∠ACE的值；（3）连接PA、PB（如图2所示），设△PAB的面积为S，点P的横坐标为x，求S关于x的函数关系式，并求出S的最大值．13．如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A．经过点A的一条直线l解析式为：y＝﹣x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：直线l是⊙M的切线；（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E；PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小．若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．14．如图，已知抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴相交于A、B两点，并与直线y＝x﹣2交于B、C两点，其中点C是直线y＝x﹣2与y轴的交点，连接AC．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△ABC为直角三角形；（3）△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG？（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E （0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x＝1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．（1）填空：点A坐标为；抛物线的解析式为．（2）在图①中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？（3）在图②中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？16．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x＝﹣1，P为抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）当点P的纵坐标为2时，求点P的横坐标；（3）当点P在运动过程中，求四边形PABC面积最大时的值及此时点P的坐标．17．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．18．如图，已知抛物线y＝﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B（8，0）．（1）求抛物线的解析式及其对称轴方程．（2）连接AC、BC，试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由．（3）在抛物线上BC之间是否存在一点D，使得△DBC的面积最大？若存在请求出点D 的坐标和△DBC的面积；若不存在，请说明理由．19．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0）、B（1，0）两点，与y轴交于C点，对称轴x＝﹣，点N（n，0）是线段AB上的一个动点（N与A、B两点不重合），请回答下列问题：（1）求出抛物线的解析式，并写出C点的坐标；（2）试求出当n为何值时，△ANC恰能构成是等腰三角形．（3）如图2，过N作NF∥BC，与AC相交于D点，连结CN，请问在N点的运动过程中，△CDN的面积是否存在最大值；若存在，试求出该最大面积，若不存在，请说明理由．20．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C（0，3）．该抛物线与直线相交于C，D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M，N．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）连结PC，PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；（3）连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ 与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．详细答案一．解答题（共20小题）1．【解答】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y＝x2+bx+c，解得：b＝﹣4，c＝3，∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，解得：x＝1或x＝3，∴B（3，0），∴BC＝3，点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，①当CP＝CB时，PC＝3，∴OP＝OC+PC＝3+3或OP＝PC﹣OC＝3﹣3∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；②当BP＝BC时，OP＝OB＝3，∴P3（0，﹣3）；③当PB＝PC时，∵OC＝OB＝3∴此时P与O重合，∴P4（0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，﹣3）或（0，0）；（3）如图2，设A运动时间为t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，则DN＝2t，∴S△MNB＝×（2﹣t）×2t＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1，即当M（2，0）、N（2，2）或（2，﹣2）时△MNB面积最大，最大面积是1．2．【解答】解：（1）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1，则C（﹣1，0），A ′（3，0）；当x＝0时，y＝3，则A（0，3）；（2）∵四边形ABOC为平行四边形，∴AB∥OC，AB＝OC，而C（﹣1，0），A（0，3），∴B（1，3）＝×3×1＝，∴OB＝＝，S△AOB又∵平行四边形ABOC旋转90°得平行四边形A′B′OC′，∴∠ACO＝∠OC′D，OC′＝OC＝1，又∵∠ACO＝∠ABO，∴∠ABO＝∠OC′D．又∵∠C′OD＝∠AOB，∴△C′OD∽△BOA，∴＝（）2＝（）2＝，＝×＝；∴S△C′OD（3）设M点的坐标为（m，﹣m2+2m+3），0＜m＜3，作MN∥y轴交直线AA′于N，易得直线AA′的解析式为y＝﹣x+3，则N（m，﹣m+3），∵MN＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∴S△AMA′＝S△ANM+S△MNA′＝MN•3＝（﹣m2+3m）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，S△AMA'的值最大，最大值为，此时M点坐标为（）．3．【解答】解：（1）抛物线的顶点D的横坐标是2，则x＝﹣＝2…①，抛物线过是A（0，﹣3），则：函数的表达式为：y＝ax2+bx﹣3，把B点坐标代入上式得：9＝25a+5b﹣3…②，联立①、②解得：a＝，b＝﹣，c＝﹣3，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣3，当x＝2时，y＝﹣，即顶点D的坐标为（2，﹣）；（2）A（0，﹣3），B（5，9），则AB＝13，①当AB＝AC时，设点C坐标（m，0），则：（m）2+（﹣3）2＝132，解得：m＝±4，即点C坐标为：（4，0）或（﹣4，0）；②当AB＝BC时，设点C坐标（m，0），则：（5﹣m）2+92＝132，解得：m＝5，即：点C坐标为（5，0）或（5﹣2，0），③当AC＝BC时，设点C坐标（m，0），则：点C为AB的垂直平分线于x轴的交点，则点C坐标为（，0），故：存在，点C的坐标为：（4，0）或（﹣4，0）或（5，0）或（5﹣2，0）或（，0）；（3）过点P作y轴的平行线交AB于点H，设：AB所在的直线过点A（0，﹣3），则设直线AB的表达式为y＝kx﹣3，把点B坐标代入上式，9＝5k﹣3，则k＝，故函数的表达式为：y＝x﹣3，设：点P坐标为（m，m2﹣m﹣3），则点H坐标为（m，m﹣3），S△P AB＝•PH•x B＝（﹣m2+12m），取得最大值为：，当m＝2.5时，S△P AB答：△PAB的面积最大值为．4．【解答】解：（1）令：y＝x2﹣2x＝0，则x＝0或2，即点B（2，0），∵C1、C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，则a＝﹣1，则点A（4，0），将点A的坐标代入C2的表达式得：0＝﹣16+4b，解得：b＝4，故抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+4x；（2）联立C1、C2表达式并解得：x＝0或3，故点C（3，3），作点C关于C2对称轴的对称点C′（1，3），连接AC′交函数C2的对称轴与点P，此时PA+PC的值最小为：线段AC′的长度＝3，此时点P（2，2）；（3）直线OC的表达式为：y＝x，过点M作y轴的平行线交OC于点H，设点M（x，﹣x2+4x），则点H（x，x），＝MH×x C＝（﹣x2+4x﹣x）＝﹣x2+x，则S△MOC∵﹣＜0，故x＝，最大值为．故当点M（，）时，S△MOC5．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，把A、B、C三点坐标代入可得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣4；（2）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，∴PO＝PC，此时P点即为满足条件的点，∵C（0，﹣4），∴D（0，﹣2），∴P点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4＝﹣2，解得x＝（小于0，舍去）或x＝，∴存在满足条件的P点，其坐标为（，﹣2）；（3）∵点P在抛物线上，∴可设P（t，t2﹣3t﹣4），过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图2，∵B（4，0），C（0，﹣4），∴直线BC解析式为y＝x﹣4，∴F（t，t﹣4），∴PF＝（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）＝﹣t2+4t，＝S△PFC+S△PFB＝PF•OE+PF•BE＝PF•（OE+BE）＝PF•OB＝（﹣t2+4t）∴S△PBC×4＝﹣2（t﹣2）2+8，最大值为8，此时t2﹣3t﹣4＝﹣6，∴当t＝2时，S△PBC∴当P点坐标为（2，﹣6）时，△PBC的最大面积为8．6．【解答】解：（1）将B（4，0）代入y＝﹣x2+3x+m，解得，m＝4，∴二次函数解析式为y＝﹣x2+3x+4，令x＝0，得y＝4，∴C（0，4），（2）存在，理由：∵B（4，0），C（0，4），∴直线BC解析式为y＝﹣x+4，当直线BC向上平移b单位后和抛物线只有一个公共点时，△MBC面积最大，∴，∴x2﹣4x+b＝0，∴△＝16﹣4b＝0，∴b＝4，∴，∴M（2，6），（3）①如图，∵点P在抛物线上，∴设P（m，﹣m2+3m+4），当四边形PBQC是菱形时，点P在线段BC的垂直平分线上，∵B（4，0），C（0，4）∴线段BC的垂直平分线的解析式为y＝x，∴m＝﹣m2+3m+4，∴m＝1±，∴P（1+，1+）或P（1﹣，1﹣），②如图，设点P（t，﹣t2+3t+4），过点P作y轴的平行线l，过点C作l的垂线，∵点D在直线BC上，∴D（t，﹣t+4），∵PD＝﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t，BE+CF＝4，＝2S△PCB＝2（S△PCD+S△PBD）＝2（PD×CF+PD×BE）＝4PD＝﹣4t2+16t，∴S四边形PBQC∵0＜t＜4，＝16∴当t＝2时，S四边形PBQC最大7．【解答】解：（1）∵由题意得解得：，∴y＝﹣x2+2x+．（2）设直线AB为：y＝kx+b．则，解得直线AB的解析式为y＝+．如图所示：记CD与x轴的交点坐标为E．过点B作BF⊥DC，垂足为F．设D（m，﹣m2+2m+）则C（m，m+）．∵CD＝（﹣m2+2m+）﹣（m+）＝m2+m+2，∴S＝AE•DC+CD•BF＝CD（AE+BF）＝DC＝m2+m+5．∴S＝m2+m+5．∵﹣＜0，∴当m＝时，S有最大值．∴当m＝时，m+＝×+＝．∴点C（，）．8．【解答】解：（1）将A（0，3），B（3，0），C（1，0）代入y＝ax2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3．（2）设点P的坐标为（m，m2﹣4m+3）．∵点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（3，0），∴AP2＝（m﹣0）2+（m2﹣4m+3﹣3）2＝m4﹣8m3+17m2，BP2＝（m﹣3）2+（m2﹣4m+3）2＝m4﹣8m3+23m2﹣30m+18，AB2＝（3﹣0）2+（0﹣3）2＝18．分两种情况考虑：①当∠BAP＝90°时，AB2+AP2＝BP2，即18+m4﹣8m3+17m2＝m4﹣8m3+23m2﹣30m+18，整理，得：m2﹣5m＝0，解得：m1＝0（舍去），m2＝5，∴点P的坐标为（5，8）；②当∠ABP＝90°时，AB2+BP2＝AP2，即18+m4﹣8m3+23m2﹣30m+18＝m4﹣8m3+17m2，整理，得：m2﹣5m+6＝0，解得：m3＝2，m3＝3（舍去），∴点P的坐标为（2，﹣1）．综上所述：当△PAB是以AB为一直角边的直角三角形时，点P的坐标为（5，8）或（2，﹣1）．（3）存在，如图过点P作PD∥y轴交直线AB于点D．设直线AB的解析式为y＝kx+d（k≠0），将A（0，3），B（3，0）代入y＝kx+d，得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3．设点P的坐标为（n，n2﹣4n+3）（0＜n＜3），则点D的坐标为（n，﹣n+3），∴PD＝（﹣n+3）﹣（n2﹣4n+3）＝﹣n2+3n，＝OB•PD＝﹣n2+n＝﹣（n﹣）2+．∴S△P AB∵﹣＜0，取得最大值，此时最大值为，∴当n＝时，S△P AB∴当△PAB的面积取最大值时，点P的坐标为（，﹣）．9．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）∵A（0，3），D（2，3），∴抛物线对称轴为x＝1，∴E（3，0），设直线AE的解析式为y＝kx+3，∴3k+3＝0，解得，k＝﹣1，∴直线AE的解析式为y＝﹣x+3，如图1，作PM∥y轴，交直线AE于点M，设P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+3），∴PM＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，∴＝＝，∴t＝时，△PAE的面积最大，最大值是．（3）由图可知∠PEA≠90°，∴只能有∠PAE＝90°或∠APE＝90°，①当∠PAE＝90°时，如图2，作PG⊥y轴，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA＝45°，∴∠PAG＝∠APG＝45°，∴PG＝AG，∴t＝﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t＝0，解得t＝1或t＝0（舍去），②当∠APE＝90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，则PK＝﹣t2+2t+3，AQ＝t，KE＝3﹣t，PQ＝﹣t2+2t+3﹣3＝﹣t2+2t，∵∠APQ+∠KPE＝∠APQ+∠PAQ＝90°，∴∠PAQ＝∠KPE，且∠PKE＝∠PQA，∴△PKE∽△AQP，∴，∴，即t2﹣t﹣1＝0，解得：t＝或t＝＜0（舍去），综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或．10．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），∴﹣3＝a（0+1）（0﹣3），∴a＝1∴设抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，对称轴为直线x＝1；（2）设P（t，t2﹣2t﹣3），S△PCB＝S△POC+S△POB﹣S△BOC＝×3t+×3×|t2﹣2t﹣3|﹣＝∵a＝＜0，∴函数有最大值，当t＝时，面积最大，∴P（）（3）设Q（1，n）），①当PQ、PC为平行四边形的对角线时，P（4，n+3），∴42﹣2×4﹣3＝n+3，n＝2，∴P（4，5）；②当CQ、BP为平行四边形的对角线时，P（﹣2，n﹣3），∴（﹣2）2﹣2×（﹣2）﹣3＝n﹣3，n＝8，∴P（﹣2，5）；综上所述，以BC为边，以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，P点的坐标（4，5），（﹣2，5）．11．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，3）分别代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；把C（0，3）代入y＝﹣x+m，解得m＝3，∴直线CD的解析式为y＝﹣x+3，解方程组，解得或，∴D点坐标为（，）；（2）存在．设P（m，﹣m2+2m+3），则E（m，﹣m+3），∴PE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+m，＝••（﹣m2+m）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，∴S△PCD当m＝时，△CDP的面积存在最大值，最大值为；（3）当PC＝PE时，m2+（﹣m2+2m+3﹣3）2＝（﹣m2+m）2，解得m＝0（舍去）或m＝；当CP＝CE时，m2+（﹣m2+2m+3﹣3）2＝m2+（﹣m+3﹣3）2，解得m＝0（舍去）或m＝（舍去）或m＝；当EC＝EP时，m2+（﹣m+3﹣3）2＝（﹣m2+m）2，解得m＝（舍去）或m ＝，综上所述，m的值为或或．12．【解答】解：（1）当x＝﹣8时，y＝x﹣＝﹣，则B（﹣8，﹣），当y＝0时，x﹣＝0，解得x＝2，则A（2，0），把B（﹣8，﹣），A（2，0）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，∴抛物线的解析式y＝﹣x2﹣x+；（2）当x＝0时，y＝x﹣＝﹣，则G（0，﹣），在Rt△AOG中，∵OG＝，OA＝2，∴AG＝＝，∴sin∠AGO＝＝＝，∵PC⊥x轴，∴PC∥OG，∴∠ACE＝∠AGO，∴sin∠ACE＝；（3）设P（x，﹣x2﹣x+），则C（x，x﹣），∴PC＝﹣x2﹣x+﹣（x﹣）＝﹣x2﹣x+4，∴S＝•（2+8）•（﹣x2﹣x+4）＝﹣x2﹣x+20＝﹣（x+3）2+，当x＝﹣3时，S的最大值为．13．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）（x+4），将点M的坐标代入得：﹣9a＝2，解得：a＝﹣．∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+．（2）连接AM，过点M作MG⊥AD，垂足为G．把x＝0代入y＝﹣x+4得：y＝4，∴A（0，4）．将y＝0代入得：0＝﹣x+4，解得x＝8，∴B（8，0）．∴OA＝4，OB＝8．∵M（﹣1，2），A（0，4），∴MG＝1，AG＝2．∴tan∠MAG＝tan∠ABO＝．∴∠MAG＝∠ABO．∵∠OAB+∠ABO＝90°，∴∠MAG+∠OAB＝90°，即∠MAB＝90°．∴l是⊙M的切线．（3）∵∠PFE+∠FPE＝90°，∠FBD+∠PFE＝90°，∴∠FPE＝∠FBD．∴tan∠FPE＝．∴PF：PE：EF＝：2：1．∴△PEF的面积＝PE•EF＝×PF•PF＝PF2．∴当PF最小时，△PEF的面积最小．设点P的坐标为（x，﹣x2﹣x+），则F（x，﹣x+4）．∴PF＝（﹣x+4）﹣（﹣x2﹣x+）＝﹣x+4+x2+x﹣＝x2﹣x+＝（x﹣）2+．∴当x＝时，PF有最小值，PF的最小值为．∴P（，）．∴△PEF的面积的最小值为＝×（）2＝．14．【解答】（1）解：∵直线y＝x﹣2交x轴、y轴于B、C两点，∴B（4，0），C（0，﹣2），∵y＝ax2﹣x+c过B、C两点，∴，解得，∴y＝x2﹣x﹣2．（2）证明：如图1，连接AC，∵y＝x2﹣x﹣2与x负半轴交于A点，∴A（﹣1，0），在Rt△AOC中，∵AO＝1，OC＝2，∴AC＝，在Rt△BOC中，∵BO＝4，OC＝2，∴BC＝2，∵AB＝AO+BO＝1+4＝5，∴AB2＝AC2+BC2，∴△ABC为直角三角形．（3）解：△ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG，面积为，理由如下：①一点为C，AB、AC、BC边上各有一点，如图2，此时△AGF∽△ACB∽△FEB．设GC＝x，AG＝﹣x，∵，∴，∴GF＝2﹣2x，∴S＝GC•GF＝x•（2）＝﹣2x2+2x＝﹣2[（x﹣）2﹣]＝﹣2（x﹣）2+，即当x＝时，S最大，为．②AB边上有两点，AC、BC边上各有一点，如图3，此时△CDE∽△CAB∽△GAD，设GD＝x，∵，∴，∴AD＝x，∴CD＝CA﹣AD＝﹣x，∵，∴，∴DE＝5﹣x，∴S＝GD•DE＝x•（5﹣x）＝﹣x2+5x＝﹣[（x﹣1）2﹣1]＝﹣（x﹣1）2+，即x＝1时，S最大，为．综上所述，△ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG，面积为．15．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝1，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4），点A在DE上，∴点A坐标为（1，4），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，把C（3，0）代入抛物线的解析式，可得a（3﹣1）2+4＝0，解得a＝﹣1．故抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3；（2）依题意有：OC＝3，OE＝4，∴CE＝＝＝5，当∠QPC＝90°时，∵cos∠QCP＝＝，∴＝，解得t＝；当∠PQC＝90°时，∵cos∠QCP＝＝，∴＝，解得t＝．∴当t＝或t＝时，△PCQ为直角三角形；（3）∵A（1，4），C（3，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，解得．故直线AC的解析式为y＝﹣2x+6．∵P（1，4﹣t），将y＝4﹣t代入y＝﹣2x+6中，得x＝1+，∴Q点的横坐标为1+，将x＝1+代入y＝﹣（x﹣1）2+4中，得y＝4﹣．∴Q点的纵坐标为4﹣，∴QF＝（4﹣）﹣（4﹣t）＝t﹣，＝S△AFQ+S△CFQ∴S△ACQ＝FQ•AG+FQ•DG＝FQ（AG+DG）＝FQ•AD＝×2（t﹣）＝﹣+t＝﹣（t2+4﹣4t﹣4）＝﹣（t﹣2）2+1，∴当t＝2时，△ACQ的面积最大，最大值是1．16．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A和点B（1，0），与y 轴交于点C（0，3），其对称轴l为x＝﹣1，∴A（﹣3，0），∴解得：，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴顶点坐标为（﹣1，4）．（2）设点P（x，2）即y＝﹣x2﹣2x+3＝2，解得x1＝﹣1或x2＝﹣﹣1，∴点P（﹣1，2）或（﹣﹣1，2）．（3）设点P（x，y），则y＝﹣x2﹣2x+3，＝S△OBC+S△OAP+S△OPC，∵S四边形BCP A∴＝，∵﹣＜0，∴当x＝﹣时，四边形PABC的面积有最大值，所以点P（﹣，）．17．【解答】解：（1）设抛物线为y＝a（x﹣4）2﹣1，∵抛物线经过点A（0，3），∴3＝a（0﹣4）2﹣1，；∴抛物线为；（2）相交．证明：连接CE，则CE⊥BD，当时，x1＝2，x2＝6．A（0，3），B（2，0），C（6，0），对称轴x＝4，∴OB＝2，AB＝＝，BC＝4，∵AB⊥BD，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∠OBA+∠EBC＝90°，∴△AOB∽△BEC，∴＝，即＝，解得CE＝，∵＞2，故抛物线的对称轴l与⊙C相交．（3）如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q；可求出AC的解析式为；设P点的坐标为（m，），则Q点的坐标为（m，）；∴PQ＝﹣m+3﹣（m2﹣2m+3）＝﹣m2+m．＝S△P AQ+S△PCQ＝×（﹣m2+m）×6∵S△P AC＝﹣（m﹣3）2+；∴当m＝3时，△PAC的面积最大为；此时，P点的坐标为（3，）．18．【解答】解：（1）∵B点的坐标为B（8，0），∴﹣16+8b+4＝0，解得b＝，∴抛物线的解析式为y═﹣+x+4，对称轴方程为x＝﹣＝3；（2）∵由（1）知，抛物线的对称轴方程为x＝3，B（8，0）∴A（﹣2，0），C（0，4），∴OA＝2，OC＝4，OB＝8，∴tan∠ACO＝tan∠CBO＝，∴∠ACO＝∠CBO．∵∠AOC＝∠COB＝90°，∴△AOC∽△COB．（3）设BC解析式为y＝kx+b，把（8，0），（0，4）分别代入解析式得，，解得，解得y＝﹣x+4，作DH⊥x轴，交BC于H．设D（t，﹣t2+t+4），H（t，﹣t+4），S△BCD＝DH•OB＝×（﹣t2+t+4+t﹣4）×8＝﹣t2+8t＝﹣（t2﹣8t+42﹣16）＝﹣（t﹣4）2+16，当t＝4时，△DBC的最大面积为16，此时D点坐标为（4，6）．19．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0）、B（1，0）两点，不妨设抛物线的解析式为y＝﹣（x+4）（x﹣1），即y＝﹣x2﹣x+2．∴C（0，2）．（2）分两种情形：①当AN＝AC时，如图1中，∵AC＝＝2，∴n﹣（﹣4）＝2，∴n＝2﹣4．②当NA＝NC时，如图2中，在Rt△NOC中，OC＝2，∵NC＝NA＝n﹣（﹣4）＝n+4，ON＝n，∴n2+22＝（n+）2，解得n＝﹣．综上所述，当n＝2﹣4或﹣时，△ANC是等腰三角形．（3）如图3中，由题意可知：直线BC的解析式为y＝﹣2x+2，直线AC的解析式为y＝x+2，设N（n，0），易知N在线段OB上时，△CDN的面积较小，不妨设n＜0，∵ND∥BC，设ND的解析式为y＝﹣2x+b，代入（n，0）可得b＝2n，∴ND的解析式为y＝﹣2x+2n，由，可得点D的纵坐标：y D＝（8+2n），＝S△AOC﹣S△ADN﹣S△CON∴S△CDN＝[2×4﹣2|n|﹣（8+2n）（n+4）＝﹣（n+）2+，∵﹣＜0，∴当n＝﹣时，△DCN的面积最大，最大值为．20．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0）、点B（5，0）和点C（0，3），因为与y轴相较于点C，所以c＝3．∴，解得，∴该抛物线对应的函数解析式为y＝x2﹣x+3；（2）∵点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，∴可设P（t，t2﹣t+3）（1＜t＜5），∵直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N，∴M（t，0），N（t，t+3），∴PN＝t+3﹣（t2﹣t+3）＝﹣（t﹣）2+直线CD与抛物线解析式可得，解得或，∴C（0，3），D（7，），分别过C、D作直线PN的垂线，垂足分别为E、F，如图1，则CE＝t，DF＝7﹣t，＝S△PCN+S△PDN＝PN•CE+PN•DF＝PN＝[﹣（t﹣）2+]＝﹣（t ∴S△PCD﹣）2+，∴当t＝时，△PCD的面积有最大值，最大值为；（3）存在．∵∠CQN＝∠PMB＝90°，∴当△CNQ与△PBM相似时，有或两种情况，∵CQ⊥PM，垂足为Q，∴Q（t，3），且C（0，3），N（t，t+3），∴CQ＝t，NQ＝t+3﹣3＝t，∴，∵P（t，t2﹣t+3），M（t，0），B（5，0），∴BM＝5﹣t，PM＝0﹣（t2﹣t+3）＝﹣t2+t﹣3，当时，则PM＝BM，即﹣t2+t﹣3＝（5﹣t），解得t＝2或t＝5（舍去），此时P（2，﹣）；当时，则BM＝PM，即5﹣t＝（﹣t2+t﹣3），解得t＝或t＝5（舍去），此时P（，﹣）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（2，﹣）或（，﹣）．。

中考数学复习指导：如何求解二次函数最值不在顶点处的问题

如何求解二次函数最值不在顶点处的问题如何求解二次函数最值不在顶点处的问题有一类二次函数的最值问题，它的自变量x 的取值范围为全体实数中的“某一段”，欲解x 的这段范围内的函数最值问题，应视情况而定：当x 的“某一段”范围分布在对称轴的两侧时，函数最值就是二次函数的最值；当x 的“某一段”范围分布在对称轴的左侧或右侧时，要根据对称轴两侧二次函数的增减性来确定最值，常常在“端点”处的纵坐标值就是此段范围内的函数的最大值或最小值．例1 当－2≤x ≤1时，二次函数y =－(x －m )2 + m 2 + 1有最大值4，则实数m 的值为( )(A) －74 (B)(C) 2 或－74分析这里，二次函数中自变量x 的范围不是一切实数，而是实数范围中的“某一段”．x 的“某一段”有可能在对称轴x = m 的左侧，也有可能在直线x = m 的右侧，也有可能在直线x = m 的两侧．此三种情况均可画出对应的“草图”以增强问题分析的直观性．解抛物线开口向上，对称轴为直线x = m ．① x 的“某一段”分布在对称轴的右侧即m <－2，如图1，函数值y 随x 的增大而减小，所以当x =－2时函数值最大，即－(－2－m )2 + m 2 + 1=4．解得m =－74，这与m <－2相矛盾，故此种情形不存在． ② x 的“某一段”分布在对称轴的两侧即－2≤m ≤1，如图2，当x = m 时函数值最大，即为二次函数的最大值，即 m 2 + 1=4．解得m =，但m 舍去．③ x 的“某一段”分布在对称轴的左侧即m >1，如图3，函数值y 随x 的增大而增大，所以当x = 1时函数值最大，即－(1－m )2 + m 2 + 1=4，解得m =2．综上，m 的值为2．故选C ．评注情况①③的对称轴都没有在指定的x 的取值范围内，所以两种情况下的最值求解，依据的是二次函数对称轴一侧的增减性，而不是利用的最值公式；情况②的对称轴在指定的x 的范围内，最值为二次函数在全体实数范围内的最值．例2 已知二次函数y = x 2 + bx + c (b ，c 为常数)．(1) 当b =2，c =－3时，求二次函数的最小值；(2) 当c =5时，若在函数值y =1的情况下，只有一个自变量x 的值与其对应，求此时二次函数的解析式；(3) 当c =b 2时，若在自变量x 的值满足b ≤x ≤b +3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为21，求此时二次函数的解析式．分析第(1) 问求二次函数在全体实数范围内的最值，利用的是最值公式．第(2) 问根据已知条件，可得关于x 的方程x 2 + bx + 4=0，利用判别式=0，得b =±4．第(3) 问抛物线开口方向向上，与y 轴的交点 (0，c 2) 在y 轴的正半轴上，据此画出“草图”．抛物线与x 轴的交点有可能都落在x 轴的正半轴上，也有可能都落在x 轴的负半轴上；又因函数的最小值是指定自变量x 范围内的最小值，应从自变量x 的指定范围与对称轴x =－2b 的位置关系的三种情况出发逐一分析．解 (1) y 最小=241(3)241××−−×=－4．(2) 由题意，得x 2 + bx + 4=0，方程有两个相等的实数根，故△=b 2－4×1×4=0，解得b =±4．所以二次函数的解析式为y = x 2 + 4x + 5，或y = x 2－4x + 5．(3) y =x 2 + bx + b 2，对称轴x =－2b 与x 指定范围的位置关系有三种情况： (i) 当b ≤x ≤b +3分布在对称轴x =－2b 的右侧时，则－2b <b ，得b >0．对称轴右侧的函数值y 随x 值的增大而增大，当x =b 时函数值最小，即b 2+b 2+b 2=21，解得b=但b=b(ii) 当b ≤x ≤b + 3分布在对称轴x =－2b 的左侧时，有－2b>b + 3，得b <－2．对称轴左侧的函数值y 随x 值的增大而减小，当x =b +3时函数值最小，即 (b + 3)2 + b (b + 3) + b 2=21，解得b =－4，b =1．但b=1舍去，所以b =－4．(iii) 当b ≤x ≤b + 3分布在对称轴x =－2b 的两侧时，有 6<－2b <b +3，得－2<b <0．此时，抛物线顶点纵坐标的值即为最小值，即2244b b −=21整理，得b 2=28，解得b =±但b=±综上，得y = x 2 x + 7，或y = x 2－4x +16．总之，求二次函数的最值，必须根据其自变量的取值范围进行分析和讨论．。

2024年中考数学函数的应用---最值问题专项训练

2024年中考数学函数的应用---最值问题专项训练1．位于郑州市二七区的二七德化步行街是郑州最早的商业文化购物步行街，在郑州乃至中原都相当有名，德化步行街某店铺经营某种品牌童装，购进时的单价是40元，根据市场调查，当销售单价是60元时，每天销售量是200件，销售单价每降低1元，就可多售出20件．（1）求出销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售该品牌童装获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（3）若童装厂规定该品牌童装的销售单价不低于56元且不高于60元，则此服装店销售该品牌童装获得的最大利润是多少？2．A粮仓和B粮仓分别库存粮食12吨和6吨，现决定支援给C市10吨和D市8吨．已知从A粮仓调运一吨粮食到C市和D市的运费分别为400元和800元；从B粮仓调运一吨粮食到C市和D市的运费分别为300元和500元．（1）设B粮仓运往C市粮食x吨，求总运费W（元）关于x的函数关系式．（写出自变量的取值范围）（2）若要求总运费不超过9000元，问共有几种调运方案？（3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？3．某超市销售一种水果，进价为每箱40元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱72元，每月可销售60箱．经市场调查发现：若这种水果的售价每降价2元，则每月的销量将增加10箱．设每箱水果降价x 元(x 为偶数)，每月的销量为y 箱．(1)写出y 与x 之间的函数关系式和自变量x 的取值范围．(2)若该超市在销售过程中每月需支出其他费用500元，如何定价才能使每月销售水果的利润最大?最大利润是多少元?4.已知锐角△ABC 中，边BC 长为12，高AD 长为8(1) 如图，矩形EFGH 的边GH 在BC 边上，其余两个顶点E 、F 分别在AB 、AC 边上，EF 交AD 于点K① 求AKEF 的值 ② 设EH ＝x ，矩形EFGH 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并求S 的最大值(2) 若AB=AC ，正方形PQMN 的两个顶点在△ABC 一边上，另两个顶点分别在△ABC 的另两边上，直接写出正方形PQMN 的边长5.今年四月份，李大叔收获洋葱30吨，黄瓜13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这两种蔬菜全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装洋葱4吨和黄瓜1吨；一辆乙种货车可装洋葱和黄瓜各2吨。

2020年中考数学复习微专题最值问题(费马点问题)

2020年中考数学复习专题最值问题（费马点问题）突破与提升策略问题：在△ABC内找一点P，使得P A+PB+PC最小．APB C【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等．其实理论还是上面的理论，本题难点在于有3条线段，我们需要对这三条线段作一些位置上的变化，如果能变换成在一条直线上，问题就能解决了！若点P满足∠P AB=∠BPC=∠CP A=120°，则P A+PB+PC值最小，P点称为该三角形的费马点．接下来讨论3个问题：（1）如何作三角形的费马点？（2）为什么是这个点？（3）费马点怎么考？一.如何作费马点问题要从初一学到的全等说起：（1）如图，分别以△ABC中的AB、AC为边，作等边△ABD、等边△ACE．（2）连接CD、BE，即有一组手拉手全等：△ADC≌△ABE．（3）记CD、BE交点为P，点P即为费马点．（到这一步其实就可以了）（4）以BC为边作等边△BCF，连接AF，必过点P，有∠P AB=∠BPC=∠CP A =120°．EB ACAB CDE在图三的模型里有结论：（1）∠BPD =60°；（2）连接AP ，AP 平分∠DPE ．有这两个结论便足以说明∠P AB =∠BPC =∠CP A =120°．原来在“手拉手全等”就已经见过了呀，只是相逢何必曾相识！但是在这里有个小小的要求，细心的同学会发现，这个图成立的一个必要条件是∠BAC <120°，若120BAC∠≥︒ ,这个图就不是这个图了，会长成这个样子：此时CD 与BE 交点P 点还是我们的费马点吗？显然这时候就不是了，显然P 点到A 、B 、C 距离之和大于A 点到A 、B 、C 距离之和．所以咧？是的，你想得没错，此时三角形的费马点就是A 点！当然这种情况不会考的，就不多说了．二.为什么是这个点为什么P点满足∠P AB=∠BPC=∠CP A=120°，P A+PB+PC值就会最小呢？归根结底，还是要重组这里3条线段：P A、PB、PC的位置，而重组的方法是构造旋转！在上图3中，如下有△ADC≌△ABE，可得：CD=BE．类似的手拉手，在图4中有3组，可得：AF=BE=CD．E更巧的是，其长度便是我们要求的P A+PB+PC的最小值，这一点是可以猜想得到的，毕竟最小值这个结果，应该也是个特别的值！接下来才是真正的证明：考虑到∠APB=120°，∴∠APE=60°，则可以AP为边，在PE边取点Q使得PQ=AP，则△APQ是等边三角形．△APQ、△ACE均为等边三角形，且共顶点A，故△APC≌△AQE，PC=QE．以上两步分别转化P A=PQ，PC=QE，故P A+PB+PC=PB+PQ+QE=BE．没有对比就没有差别，我们换个P 点位置，如下右图，同样可以构造等边△APQ ，同样有△APC ≌△AQE ，转化P A =PQ ，PC =QE ，显然，P A +PB +PC =PB +PQ +QE >BE ．还剩下第3个问题！如果说费马点以前还算是课外的拓展内容，那现在，已经有人把它搬上了中考舞台！三.费马点怎么考？问题背景：如图1，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°得到△ADE ，DE 与BC 交于点P ，可推出结论：P A +PC =PE ．问题解决：如图2，在△MNG 中，MN =6，∠M =75°，MG=点O 是△MNG 内一点，则点O 到△MNG 三个顶点的距离和的最小值是______．NG图2图1ABCD EP【分析】本题的问题背景实际上是提示了解题思路，构造60°的旋转，当然如果已经了解了费马点问题，直接来解决就好了！如图，以MG为边作等边△MGH，连接NH，则NH的值即为所求的点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值．（此处不再证明）HGNM过点H作HQ⊥NM交NM延长线于Q点，根据∠NMG=75°，∠GMH=60°，可得∠HMQ=45°，∴△MHQ是等腰直角三角形，∴MQ=HQ=4，∴NH==464QHGNM【练习】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P是△ABC内一点，求P A+PB+PC的最小值．C【分析】如图，以AD为边构造等边△ACD，连接BD，BD的长即为P A+PB+PC的最小值．至于点P的位置？这不重要！AB CD如何求BD ？考虑到△ABC 和△ACD 都是特殊的三角形，过点D 作DH ⊥BA 交BA 的延长线于H 点，根据勾股定理，222BD BH DH =+即可得出结果．HDCB A【练习】如图，已知矩形ABCD ，AB =4，BC =6，点M 为矩形内一点，点E 为BC 边上任意一点，则MA +MD +ME 的最小值为______．ABCDME【分析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段．分别以AD 、AM 为边构造等边△ADF 、等边△AMG ，连接FG ，易证△AMD ≌△AGF ，∴MD =GF ∴ME +MA +MD =ME +EG +GF过F 作FH ⊥BC 交BC 于H 点，线段FH 的长即为所求的最小值．HFGE MDCBA。

2024年中考数学复习考前专项训练--二次函数最值问题

2024年中考数学复习考前专项训练--二次函数最值问题一、单选题1．已知二次函数222y x x -=+，当0x t ≤≤时，函数最大值为M ，最小值为N ．若5M N =，则t 的值为（）A ．0.5B ．1.5C ．3D ．42．已知函数245y x ax =-+（a 为常数），当4x ≥时，y 随x 的增大而增大，()11,P x y ，()22,Q x y 是该函数图象上的两点，对任意的1226a x -≤≤和2226a x -≤≤，1y ，2y 总满足21254y y a -≤+，则实数a 的取值范围是（）A ．34a ≤≤B ．31224a ≤≤C ．12a ≤≤D ．31224a -≤≤ 3．下表中列出的是一个二次函数的自变量x 与函数y 的几组对应值： x … 3- 0 3 5 …y … 16 5- 8- 0 …则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（）A ．图象的顶点在第一象限B ．有最小值8-C ．当9t >-时，二次函数的图象与y t =有2个交点D ．当05x <<时，0y >4．已知二次函数2222y ax ax a a =+++-（a 为常数）在21x -≤≤时，y 的最大值为10，则a 的值是（）A ．6-B ．3C ．6-或23D ．2或23-5．如图，以40m/s 的速度将小球沿与地面成30︒角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条拋物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有函数关系2205h t t =-．有下列结论：①小球从飞出到落地用时为4s ；①小球飞行的最大高度为20m ；①小球的飞行高度为15m 时，小球飞行的时间是1s ．其中，正确结论的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．36．已知二次函数2222y x ax a =-+-+（a 为常数），当31x -≤≤时，函数的最大值与最小值的差为9，则a 的值为（）A ．6-B ．4C ．02-或D ．60-或7．竖直上抛物体离地面的高度()m h 与运动时间()s t 之间的关系可以近似地用公式2005h t v t h =-++表示，其中()0m h 是物体抛出时离地面的高度．()0m/s v 是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面0.5m 的高处以20m /s 的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（）A ．205m .B ．21.5mC ．22.5mD ．23.5m 8．如图，A 半径为1，圆心()03A ，，点B 是A 上动点，点C 在二次函数21y x =-图象上运动，则线段BC 的最小值为（）A 1-B ．1C D二、填空题9．二次函数222y x x -=-中，当34x ≤≤时，y 的最小值是．10．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出10顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为元．11．已知二次函数()2222y x m x m =+--+的图象与x 轴最多有一个公共点，若221y m tm =--的最小值为2，则t 的值为．12．某商品的销售利润与销售单价存在二次函数关系，且二次项系数1a =-，当商品单价为160元和200元时，能获得同样多的利润，要使商品的销售利润最大，销售单价应定为元． 13．对某一函数给出如下定义：如果存在常数M ，对于任意的函数值y ，都满足y M ≤，那么称这个函数是有上界函数；在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的上确界．例如函数()212,2y x y =-++≤，因此是有上界函数，其上确界是2．如果函数22y x x m =--+的上确界是5，则m 的值为．三、解答题14．已知二次函数24y x x m =--+．(1)若该二次函数的最大值为2m ，求m 的值；(2)若该二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数图像与x 轴有2个交点，求m 的取值范围．15．定义：对于一次函数y kx m =+（k ，m 是常数，0k ≠）和二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠），如果2k a =，m b =，那么一次函数y kx m =+叫做二次函数2y ax bx c =++的牵引函数，二次函数2y ax bx c =++叫做一次函数y kx m =+的原函数．(1)若二次函数2112y ax x =-+（a 是常数，0a ≠的图象与其牵引函数的图象有且只有一个交点，求a 的值；(2)已知一次函数22y x m =-是二次函数221y ax bx m =+++的牵引函数，在二次函数221y ax bx m =+++上存在两点()11,A m y -，()22,B m y +．若()32,M y 也是该二次函数图象上的点，记二次函数图象在点A ，M 之间的部分为图象G （包括M ，A 两点），记图象G 上任意一点纵坐标的最大值与最小值的差为t ，且21t y y ≥-，求m 的取值范围．16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 ²y x bx c =-++的图象经过点()0,2A ，点()1,0B -．(1)求此二次函数的解析式；(2)当 22x -≤≤时，求二次函数 2y x bx c =-++的最大值和最小值；(3)点 P 为此函数图象上任意一点，其横坐标为m ，过点 P 作PQ x ∥轴，点Q 的横坐标为 21m --．已知点 P 与点 Q 不重合，且线段PQ 的长度随m 的增大而增大，求m 的取值范围．17．某企业设计了一款旅游纪念工艺品，每件的成本是60元，为了合理定价，投放市场进行试销，据市场调查，当销售单价是100元/件时，每天的销售量是80件，若销售单价每降低1元，每天就可多售出4件，但要求销售单价不得低于成本．(1)写出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式．(2)求出当销售单价定为多少元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是多少？18．在复习过程中，小明从“函数视角”21x+初步探究x……3-2-1-0123……21x+……105m12510……（1）表中m=；（22117x+x=．探究发现若令21=+x，该式的值y都是唯一确定的，因此y是x的y x函数．（3）请你写出该函数具有的两条性质（4）若2-+，则y有最值（填“大”或“小”），此时x=．489y x x探究应用如图，甲船位于海平面的点A处，乙船位于甲船正东26千米的B处．现在甲、乙两船分别从A，B两处同时出发，甲船以12千米/小时的速度朝正北方向行驶，乙船以5千米/小时的速度朝正西方向行驶．行驶了x小时后，甲船到达A'点，乙船到达B'点．试求x为何值时，两船距离最近，最近距离是多少？。

中考数学复习《最值问题》

解：如图，∵高为 12 cm，底面周长为 10 cm，在容器内壁离容器底部 3 cm 的点 B 处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿 3 cm 与饭粒相对的点 A 处，∴A′D＝5 cm，BD＝12－3＋AE＝12(cm)，∴将容器侧面展开，作 A 关于 EF 的对称点 A′，连结 A′B，则 A′B 即为最短距离，A′B＝ A′D2＋BD2＝ 52＋122＝13(cm)
解：(1)如图所示 (2)如图，即为所求
(3)作点 C 关于 y 轴的对称点 C′，连结 CP，B1C′交 y 轴于点 P，则点 P 即为所求．设直线 B1C′的解析式为 y＝kx＋b(k≠0)，
－2k＋b＝－2， k＝2， ∵B1(－2，－2)，C′(1，4)，∴ 解得 k＋b＝4， b＝2，
7．图1、图2为同一长方体房间的示意图，图3为该长方体的表面展开图．
(1)蜘蛛在顶点A′处．
①苍蝇在顶点B处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线；
②苍蝇在顶点C处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花
板ABCD爬行的最近路线A′GC和往墙面BB′C′C爬行的最近路线A′HC，试通过计算判断哪条路线更近；
两点距离之差的绝对值最大时，点P在直线AB上．先运用待定系数法求出直
线AB的解析式，再令y＝0，求出x的值即可．
解：由题意可知，当点 P 到 A，B 两点距离之差的绝对值最大时，点 P 在直线 AB 上．设直线 AB 的解析式为 y＝kx＋b，
b＝1， k＝1， ∵A(0，1)，B(1，2)，∴ 解得 ∴y＝x＋1， k＋b＝2， b＝1，
令 y＝0，得 0＝x＋1，解得 x＝－1，∴点 P 的坐标是(－1，0)

2023年中考数学专题复习：二次函数最值问题训练(含答案)

2023年中考数学专题复习：二次函数最值问题一、单选题1．已知2()=++≠的对称轴为直线230y ax bx ax=，与x轴的其中一个交点为(1,0)，该x的取值范围，下列说法正确的是（）函数在14A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值1-，有最大值3C．有最小值3-，有最大值4 D．有最小值1-，有最大值42．若二次函数24＝＋＋的最小值是3，则a的值是（）y ax x aA．4 B．－1或3 C．3 D．4或－13．已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列说法正确的是（）A．该函数图象开口向上B．该函数图象向右平移2个单位长度是y＝﹣（x+1）2+5C．当x＝1时，y有最大值5D．该函数的图象与坐标轴有两个交点4．函数2(0)=++≠的图象如图所示，则该函数的最小值是（）y ax bx c aA．1-B．0C．1D．25．在关于n 的函数2=+中，n 为自然数．当n =9 时，S< 0；当n =10 时，S an bnS > 0．则当S 取值最小时，n 的值为（）A．3 B．4 C．5 D．66．代数式22 5-+的最小值为（）a aA．2 B．3 C．4 D．57．若两个图形重叠后．重叠部分的面积可以用表达式表示为y＝﹣（x﹣2）2+3，则要使重叠部分面积最大，x的值为（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝3 D．x＝﹣38．某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，求最大销售额是（）A ．2500元B ．2000元C ．1800元D ．2200元二、填空题9．如图，四边形ABCD 的两条对角线互相垂直，16AC BD +=，则四边形ABCD 的面积最大值是_________10．已知二次函数242y x x =-+，当13x -≤≤时，y 的取值范围内是_______． 11．已知抛物线22(1)1y x =-+，当03x 时，y 的最小值是 __，y 的最大值是 __． 12．当02x ≤≤时，22y x x a =++有最小值为4，则a 为 _____．13．某商品的销售利润y 与销售单价x 的关系为y ＝﹣21(50)10x -+2650，则当单价定价为每件____元时，可获得最大利润____元．14．已知二次函数223y x x =-+的图象经过点()11A x y ，和点()122B x y +，，则12y y +的最小值是________．15．设抛物线2(1)y x a x a =+++，其中a 为实数．（1）不论a 为何值，该抛物线必经过一定点 _____；（2）将抛物线2(1)y x a x a =+++向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 _____．16．如图是二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）图象的一部分，对称轴是直线x =－1，下列判断：①b －2a =0；②4a －2b ＋c ＜0；③abc ＞0；④当x =0和x =－2时，函数值相等； ⑤3a ＋c ＜0；⑥a －b ＞m （ma ＋b ）；⑦若自变量x 的取值范围是－3＜x ＜2，则函数值y ＞0．其中正确的序号是________．三、解答题17．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，E为BC上一动点（不与B重合），作EF⊥AB于F，FE，DC的延长线交于点G，设BE＝x，△DEF的面积为S．(1)求用x表示S的函数解析式，并写出x的取值范围．(2)当E运动到何处时，S有最大值，最大值为多少？18．如图，抛物线经过A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，32)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使P A+PC的值最小，求点P的坐标；(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．19．端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：小王：该水果的进价是每千克22元；小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．根据他们的对话，设这种水果每千克降价x元，解决下面所给问题：(1)设该水果超市一天销量y千克，写出y与x之间的关系式；(2)超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果每千克降价多少元？(3)设该水果超市一天可获利润w元．求当该商品每千克降价多少元时，该超市一天所获利润最大？并求最大利润值．20．春节即将到来，某水果店进了一些水果，在进货单上可以看到：每次进货价格没有变化，第一次进货苹果400千克和梨500千克，共支付货款6200元；第二次进货苹果600千克和梨200千克，共支付货款6000元；为了促销，该店推出一款水果礼盒，内有3千克苹果和2千克梨，包装盒每个4元．市场调查发现：该礼盒的售价是70元时，每天可以销售80盒；每涨价1元，每天少销售2盒．(1)求每个水果礼盒的成本（成本=水果成本+盒子成本）；(2)若每个礼盒的售价是a元(a是整数），每天的利润是w元，求w关于a的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；(3)若每个礼盒的售价不超过m元(m是大于70的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．参考答案：1．B2．A3．C4．A5．C6．C7．A8．C9．3210．27y -≤≤11． 1 912．413． 50 265014．615．（-1，0） 216．①③④⑥17．(1)S 2+(0＜x ≤8)(2)18．(1)21322y x x =-++ (2)（1，1）(3)存在，3(2,)2，(13)2，(13)219．(1)y =40x +160；(2)这种水果每千克降价9元；(3)当该商品每千克降价6元时，该超市一天所获利润最大，最大利润值为4000元．20．(1)40元(2)2=-+-23008800w a a(3)当75m时，每天的最大利润为2450元；当7075<<时，每天的最大利润为m2-+-m m23008800。

2020中考数学专题8——最值问题之将军饮马-含答案

2020 中考专题 8 ——最值问题之将军饮马【例题分析】例 1.如图，在平面直角坐标系中， Rt △OAB 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，顶点 B 的坐标为 (3， 3 )，点 C 的坐标为 (1 ，0)，点P 为斜边 OB 上的一动点，则 PA ＋PC 的最小值为．2中，∠ BAE ＝120°，∠ B ＝∠ E ＝90°， AB ＝BC ＝1，AE ＝DE ＝ 2， N ． AMN ＋∠ ANM ＝tan ∠ MBC 的值为动在 BC 、 DE 上分别找一点 M 、 (1) 当△ AMN 的周长最小时，∠ (2) 求△ AMN 的(1) 求四边形 BMNE 周长最小值；[ 南瓜讲数学] 系列之中考专题且 CE＝1，长为 2 的线段 MN 在 AC 上运例 4.在平面直角坐标系中，已知点 A（一 2，0），点 B（0 ，4），点 E 在 OB 上，且∠ OAE＝∠ OBA ．如图，将△ AEO 沿 x 轴向右平移得到△ AE′O′，连接 A' B、BE' ．当 AB＋BE' 取得最小值时，求点 E' 的坐标．例 5.如图，已知正比例函数 y＝kx（k>0）的图像与 x轴相交所成的锐角为 70°，定点 A的坐标为（0， 4），P 为 y 轴上的一个动点， M、N 为函数 y＝ kx（ k> 0）的图像上的两个动点，则 AM ＋ MP＋ PN 的最小值为．【巩固训练】1.如图 1 所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点P，使 PD＋PE 的和最小，则这个最小值为．2.如图 2，在菱形 ABCD 中，对角线 AC＝6，BD＝ 8，点 E、F、 P 分别是边 AB、 BC、AC上的动点， PE＋ PF 的最小值是．3.如图 3，在边长为 2 的等边△ ABC 中，D 为BC 的中点，E 是 AC 边上一点，则 BE＋DE 的最小值为．4.如图 4 ，钝角三角形 ABC 的面积为 9，最长边 AB＝6，BD 平分∠ ABC，点 M、N 分别是 BD、BC 上的动点，则 CM＋ MN 的最小值为．5.如图 5，在△ ABC 中，AM 平分∠ BAC，点 D、E 分别为 AM、AB 上的动点，（1）若AC＝4，S△ABC＝6，则 BD＋DE 的最小值为图1 图2 图4（2）若∠ BAC＝30°， AB＝8，则BD ＋DE 的最小值为．（3）若 AB＝17，BC＝10，CA＝21，则 BD＋DE 的最小值为．6.如图 6，在△ ABC 中， AB ＝BC ＝ 4， S △ ABC ＝ 4 3 ，点一点，则 PK ＋ QK 的最小值为．7.如图 7，AB 是⊙O 的直径， AB ＝8，点M 在⊙O 上，径 AB 上的一动点，则 PM ＋PN 的最小值为． 8. 如图 8，在锐角△ ABC 中，AB ＝4，∠ BAC ＝45°，∠AD 和 AB 上的动点，则 BM ＋MN 的最小值是．9. 如图 9 ，圆柱形玻璃杯高为 12 cm 、底面周长为 18 cm ，在杯内离杯底 4cm 的点 C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm ．10. 如图 10，菱形 OABC 中，点 A 在 x 轴上，顶点 C 的坐标为（1， 3），动点 D 、E 分别在射线 OC 、OB 上，则 CE ＋DE ＋DB 的最小值是．311. 如图 11，点 A （a ，1）、B （－1，b ）都在双曲线 y ＝－ 3（ x< 0）上，点 P 、Q 分别是 x 轴、y 轴上x 的动点，当四边形 PABQ 的周长取最小值时， PQ 所在直线的解析式是．12. 如图 12，点 P 是∠AOB 内任意一点， OP ＝5cm ，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点，△ PMN 周长的最小值是 5cm ，则∠ AOB 的度数是．13. 如图 13，∠ AOB ＝30°，点 M 、N 分别在边 OA 、OB 上，且 OM ＝ 1， ON ＝ 3，点 P 、Q 分别在边 OB 、OA 上，则 MP ＋PQ ＋ QN 的最小值是．14. 如图 14，在 Rt △ABC 中，∠ ACB ＝90°，点 D 是 AB 边的中点，过 D 作DE ⊥BC 于点 E ．（1）点 P 是边 BC 上的一个动点，在线段 BC 上找一点 P ，使得 AP ＋ PD 最小，在下图中画出点 P ；（2）在（1）的条件下，连接 CD 交AP 于点Q ，求 AQ 与PQ 的数量关系；BAC 的平分线交 BC 于点 D ，M 、N 分别是 MAB ＝20°， N 是弧 MB 的中点， P是直15.在矩形 ABCD 中， AB＝6， BC＝ 8，G 为边 AD 的中点．(1) 如图 1，若 E 为 AB 上的一个动点，当△ CGE 的周长最小时，求 AE 的长．(2) 如图 2，若 E、F 为边 AB 上的两个动点，且 EF＝ 4，当四边形 CGEF 的周长最小时，求 AF 的长．1216.如图，抛物线 y x2 2x 4交 y轴于点 B，点A为 x轴上的一点，OA=2，过点A作直线 MNAB 2交抛物线与 M、N 两点.( 1) 求直线 AB 的解析式；(2) 将线段 AB 沿 y 轴负方向平移 t 个单位长度，得到线段 A1B1 ，求 MA1 MB1 取最小值时实数 t 的值 .图2020 中考专题 8 ——最值问题之将军饮马参考答案例 1. 解：作 A 关于 OB 的对称点 D ，连接 CD 交 OB 于 P ，连接 AP ，过 D 作 DN ⊥OA于 N ，则此时 PA ＋PC 的值最小，∵DP ＝PA ，∴PA ＋PC ＝PD ＋PC ＝CD ，∵B （3， 3 ），∴ AB ＝ 3，OA ＝3， ∵ tan ∠AOB ＝ AB ＝ 3，∴ ∠ AOB ＝30°，∴OB ＝2AB ＝2 3 ，OA 31 1 3 3 由三角形面积公× OA ×AB ＝ ×OB ×AM ，∴AM ＝，∴ A D ＝2× ＝ 3，2222∵∠AMB ＝90° ，∠ B ＝60° ，∴∠ BAM ＝30°，∵ ∠ BAO ＝90°， ∴∠ OAM ＝60°， ∵DN ⊥OA ，∴∠ NDA ＝30° 1 3 ，∴ AN ＝1AD ＝由勾股定理得：3 DN ＝ 3 ，222∵C（ 1 ，0），∴CN＝3﹣ 1 ﹣ 3＝ 1，在 Rt △ DNC 中，由勾股定理得： DC ＝ 31 ，22 22即 PA ＋ PC 的最小值是31例 2. 解：作 A 关于 BC 和 ED 的对称点 A ′， A ″，连接 A ′A ″，交 BC 于 M ，交 ED 于 N ，则 A ′A ″即为△ AMN 的周长最小值．⑴作 EA 延长线的垂线，垂足为 H ，∠ BAE ＝120°，∴∠ AA ′A ″＋∠ AA ″A ′＝ 60 °，∠AA ′A ″＝∠ A ′AM ，∠AA ″A ′＝∠EAN ，∴∠CAN ＝120°－∠AA ′A ″－∠AA ″A ′＝60°，也就是说∠ AMN ＋∠ ANM ＝180°－60°＝120°. ⑵过点 A ′作 EA 延长线的垂线，垂足为 H ，∵AB ＝BC ＝1，AE ＝ DE ＝2，∴AA ′＝2BA ＝2，AA ″＝2AE ＝4，则 Rt △ A ′HA 中，∵∠ EAB ＝ 120°，∴∠ HAA ′＝ 60°，1∵ A ′H ⊥ HA ，∴∠ AA ″H ＝30°，∴ AH ＝1AA ′＝ 1，∴ A ′H ＝ 3 ，A ″H ＝1＋4＝5，2∴A ′A ″＝2 7 ，例3.解：作 EF∥AC 且 EF＝2，连结 DF 交AC 于M，在 AC 上截取 MN＝2，延长 DF 交BC 于 P ，作 FQ⊥BC 于 Q，作出点 E 关于 AC 的对称点 E′，则 CE′＝CE＝ 1，将 MN 平移至E′F′处，则四边形 MNE ′ F ′为平行四边形，当 BM ＋EN ＝BM ＋FM ＝ BF ′时，四边形 BMNE 的周长最小，由∠ FEQ ＝∠ ACB ＝45°，可求得 FQ ＝EQ ＝1， tan ∠MBC ＝ tan ∠PDC ＝例 4. 【提示】将△ AEO 向右平移转化为△ AEO 不动，点移动的轨迹为一平行于 x 轴的直线，所以作点点 E 1 ，连接 AE 1 ，与该直线交点 F 即为最小时点长度即可求出点 E 向右平移的距离．例 5. 解：如图所示，直线 OC 、y 轴关于直线 y ＝kx 对称，直线 OD 、直线 y ＝kx 关于 y轴对称，点 A ′是点 A 关于直线 y ＝ kx 的对称点．作 A ′E ⊥ OD 垂足为 E ，交 y 轴于点 P ，交直线 y ＝ kx 于 M ，作 PN ⊥直线 y ＝ kx 垂足为 N ， ∵PN ＝PE ，AM ＝A ′M ，∴AM ＋PM ＋PN ＝A ′M ＋PM ＋PE ＝A ′E 最小（垂线段最短），在 RT △A ′EO 中，∵∠ A ′EO ＝90°， OA ′＝ 4，∠ A ′OE ＝3∠ AOM ＝60°，1∴OE ＝ 1 OA ′＝ 2， A ′E ＝ 42 22 ＝2 3 ．2 ∴AM ＋MP ＋PN 的最小值为 23 ．PQ ，PQ ＝ 1 ，解PQ ＝ 2 ，PC ＝CD PQ 2 433∵∠ DPC ＝∠ FPQ ，∠ DCP ＝∠ FQP ，∴△ PFQ ∽△PDC ， PQ PQ QE EC2 3由对称性可求巩固训练】答案1.解：连接 BD，∵点 B 与 D 关于 AC 对称，∴PD＝PB，∴PD＋PE＝PB＋PE＝BE 最小．∵正方形 ABCD 的面积为 12，∴AB＝2 3 ，又∵△ ABE 是等边三角形，∴ BE＝ AB＝ 2 3 ，故所求最小值为 2 3 ．2.解：∵四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC＝6，BD＝8，∴AB＝5，作E 关于 AC 的对称点 E′，作 E′F⊥BC 于F 交AC 于P，连接 PE，则E′F 即为 PE ＋PF 的最3.解：作 B 关于 AC 的对称点 B′，连接 BB′、B′D，交 AC 于 E，此时 BE＋ED＝B′E＋ED＝B′D，根据两点之间线段最短可知 B′D 就是 BE＋ED 的最小值，∵ B、 B′关于 AC 的对称，∴ AC、BB′互相垂直平分，∴四边形ABCB′是平行四边形，∵三角形 ABC 是边长为 2，D 为 BC 的中点，∴ AD⊥BC，AD＝ 3 ，BD＝CD＝1，BB′＝2AD ＝2 3 ，作 B′G⊥BC 的延长线于 G，∴ B′G＝ AD＝ 3 ，在Rt△B′BG 中，BG＝3，∴DG＝BG﹣BD＝3﹣1＝2，在Rt△B′DG 中，B′D＝74.解：过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，交 BD 于点 M，过点 M 作 MN⊥BC 于 N，∵BD平分∠ ABC， ME⊥AB 于点 E，MN⊥BC 于 N，∴ MN ＝ ME，∴CE＝CM＋ME＝CM＋MN 是最小值．1∵三角形 ABC 的面积为 9 ，AB ＝6，∴×6CE ＝ 9，∴ CE＝3．2即 CM＋MN 的最小值为 3．小值，AC BD＝AD E′F，∴E′F＝24，∴ PE＋PF 的最小值为24125.提示：作点 E 关于 AM 的对称点 E′，BH⊥AC 于 H，易知 BD＋DE 的最小值即为BH 的长. 答案： (1)3 ； (2)4 ；(3)8 ．6.解：如图，过 A 作AH⊥BC 交 CB 的延长线于 H，∵ AB＝ CB ＝ 4， S△ABC ＝ 43 ，∴ AH＝2 3 ，∴ cos∠ HAB＝AH＝ 2 3＝3，∴∠ HAB ＝30°，∴∠ ABH ＝60°，∴∠ ABC＝120°，AB 4 2 ∵∠ BAC＝∠ C＝30°，作点 P 关于直线 AC 的对称点 P′，过P′作 P′Q⊥ BC 于 Q 交AC 于K，则 P′Q 的长度＝ PK ＋ QK 的最小值，∴∠ P′AK ＝∠ BAC＝30°，∴∠ HAP′＝90°，∴∠ H ＝∠ HAP ′＝∠ P′QH ＝90°，∴四边形 AP′QH 是矩形，∴ P′Q＝AH＝2 3 ，即 PK ＋QK 的最小值为 23 ．7.解：作点 N 关于 AB 的对称点 N′，连接 OM、ON、ON′、MN′，则 MN′与 AB的交点即为 PM＋ PN 的最小时的点， PM＋ PN 的最小值＝ MN′，∵∠ MAB＝20°，∴∠ MOB ＝2∠ MAB＝2×20°＝40°，11∵N 是弧 MB 的中点，∴∠ BON＝1∠MOB＝1×40°＝20°，22由对称性，∠ N′OB＝∠ BON ＝20°，∴∠ MON ′＝∠ MOB＋∠ N′OB＝40°＋20°＝60°， 1 1∴△ MON ′是等边三角形，∴ MN′＝OM＝OB＝1 AB＝18 ＝4，2 2∴PM＋PN 的最小值为 4，8.解：如图，作 BH ⊥AC ，垂足为 H，交 AD 于 M′点，过 M′点作 M′N′⊥AB，垂足为N′，则 BM ′＋ M′N′为所求的最小值．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴ M′H＝M′N′，∴BH 是点 B 到直线 AC 的最短距离，2∵AB＝4，∠ BAC＝45°，∴ BH＝AB sin45°＝ 4× 2＝2 2．2∵BM＋MN 的最小值是 BM′＋M′N′＝BM′＋M′H＝BH＝2 2 ．9.解：沿过 A 的圆柱的高剪开，得出矩形 EFGH ，过 C 作 CQ⊥ EF 于 Q，作 A 关于 EH 的对称点 A′，连接 A′C 交 EH 于 P，连接AP，则 AP＋ PC 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵AE＝A′E，A′P＝AP，∴ AP＋PC＝A′P＋PC＝A′C，1∵CQ＝×18cm＝9cm，A′Q＝12cm﹣4cm＋4cm＝ 12cm，2在 Rt△A′QC 中，由勾股定理得： A′C＝ 15cm，故答案为： 15．10.解：连接 AC，作 B 关于直线 OC 的对称点 E′，连接 AE′，交OC 于D，交OB 于E，此时 CE＋ DE ＋BD 的值最小，∵四边形 OCBA 是菱形，∴ AC⊥ OB，AO＝ OC，即 A 和 C 关于 OB 对称，∴CE＝ AE，∴ DE ＋CE＝ DE＋AE＝AD，∵B 和 E′关于 OC 对称，∴ DE′＝DB，∴CE＋DE＋DB＝AD＋DE′＝AE′，过C 作 CN⊥OA 于 N，∵ C（1 ，3），∴ON＝1，CN＝3，由勾股定理得： OC＝2，即 AB＝BC＝OA＝OC＝2，∴∠ CON＝60°，∴∠ CBA＝∠ COA ＝60°，∵四边形 COAB 是菱形，∴ BC∥ OA，∴∠ DCB＝∠ COA＝60°，∵B 和 E′关于 OC 对称，∴∠ BFC＝90°，∴∠ E′BC＝90°﹣60°＝30°，∴∠E′BA＝60°＋30°＝90°， CF＝1 BC＝1，由勾股定理得： BF＝3＝E′F，2在 Rt△EBA 中，由勾股定理得： AE′＝4，即 CE＋DE＋DB 的最小值是 4 ．12.解：分别作点 P 关于 OA 、OB 的对称点 C 、D ，连接 CD ，分别交 OA 、OB 于点 M 、N ，连接 OC 、OD 、PM 、PN 、MN ，如图所示：∵点 P 关于 OA 的对称点为 D ，关于 OB 的对称点为 C ，∴PM ＝DM ，OP ＝OD ，∠ DOA ＝∠ POA ；∵点 P 关于 OB 的对称点为 C ，∴ PN ＝CN ，OP ＝OC ，∠ COB ＝∠ POB ， ∴OC ＝OP ＝OD ，∠AOB ＝ 1 ∠COD，2 ∵△ PMN 周长的最小值是 5 cm ，∴ PM ＋PN ＋ MN ＝ 5，∴ DM ＋ CN ＋ MN ＝5，即 CD ＝5＝OP ， ∴OC ＝OD ＝CD ，即△ OCD 是等边三角形，∴∠ COD ＝60°，∴∠ AOB ＝30°；13 解：作 M 关于 OB 的对称点 M ′，作 N 关于 OA 的对称点 N ′，连接 M ′N ′，即为 MP ＋ PQ ＋QN 的最小值．根据轴对称的定义可知：∠ N ′OQ ＝∠M ′OB ＝30°，∠ ONN ′＝60°， ∴△ ONN ′为等边三角形，△ OMM ′为等边三角形，∴∠ N ′OM ′＝90 ∴在 Rt △ M ′ON ′中， M ′N ′＝ 10 ．故答案为 10．3b ）代入 y ＝﹣ 3 （x <0）得 a ＝ x3），作 A 点关于 x 轴的对称点 C ，B 点关于 y 轴的对称点 D ， 3），连结 CD 分别交 x 轴、 y 轴于设直线 CD 的解析式为 y ＝ kx ＋ b ，﹣ 3，b ＝3，则 A （ ﹣3，1）、B （ ﹣1，P 点、Q 点，此时四边形则 3k b 1 ，解得 k b所以 C 点为（﹣3，﹣1），D 点为（1， P 1 ABQ 的周长最小， 214. 解： (1)作点 A 关于 BC 的对称点 A′，连 DA′交 BC 于点 P.(2) 由 (1) 可证得 PA 垂直平分 CD，∴ AQ＝ 3 CQ＝ 3PQ15.解：(1) ∵ E 为 AB 上的一个动点，∴作 G 关于 AB 的对称点 M，连接 CM 交 AB 于 E，那么 E 满足使△ CGE 的周长最小；∵在矩形 ABCD 中， AB＝ 6， BC＝ 8， G 为边 AD 的中点，∴ AG＝AM＝4，MD＝12，CD MA而 AE∥ CD ，∴△ AEM ∽△ DCM ，∴ AE： CD＝ MA ： MD ，∴ AE＝CD MA＝2；MD(2) ∵E 为 AB 上的一个动点，∴如图，作 G 关于 AB 的对称点 M，在 CD 上截取 CH ＝4，然后连接 HM 交 AB 于 E，接着EF＝4，那么 E、F 两点即可满足使四边形中， AB＝ 6， BC＝ 8， G 为边 AD 的中点， MD＝ 12，而 CH＝4，∴ DH＝2，∴△ AEM∽△ DHM ，∴ AE：HD ＝ MA： MD ，∴ AE＝HD MAMD 在 EB 上截取∵在矩形ABCD ∴AG＝AM＝4，CGEF 的周长最小．而AE∥CD，16.解：（ 1）依题B4），A2，0），则 AB 解析式： y 2x（2）∵ AB⊥MN∴直线 MN： y 1 x 12 1 2y2x 4x与抛物线联立可 2y1 x 12解得： M（ -2， -2）将 AB 向负方向平移 t 个单位后， A1（ 2， -t），B1（0，4-t）则 A1 关于直线 x=-2 的对称点 A2 为（ -6，-t）当 A2、M、B1 三点共线时， MA1 MB1 取最小值∴ t 143。

中考数学复习专题突破专题21 反比例函数的最值问题(全国通用)(1)

专题21 反比例函数的最值问题初中数学常见最值问题有：几何最值问题（线段公理、垂线段定理）；函数增减性中最值问题、非负性中最值问题及生活实际中的最值问题，其中以几何最值问题是常考题，本专题整理出了反比例函数中常见的最值问题供学生进行专题练习，以拓展学生的思维，提升学生的综合解题能力。

一、单选题1．（2020·浙江九年级学业考试）已知反比例函数(0),ky k x=≠当21x -≤≤-时，y 的最大值是3,则当6x ≥时，y 有（） A ．最大值12- B ．最大值1-C ．最小值12-D ．最小值1-【答案】C【分析】由函数经过第二象限，可确定k ＜0，则在21x --上，y 值随x 值的增大而增大，即可确定函数的解析式为3y x=-，由此可求解．解：∵当21x --时，y 的最大值是3， ∴反比例函数经过第二象限， ∴k ＜0，∴在21x --上，y 值随x 值的增大而增大， ∴当x =—1时，y 有最大值—k ， ∵y 的最大值是3， ∴—k =3， ∴k =—3， ∴3y x=-，当6x 时，3y x=-有最小值12-，故选：C ．【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握反比例函数的图象及性质，通过所给条件确定k ＜0是解题的关键．2．（2020·浙江八年级期末）已知反比例函数(0)ky k x=≠，当21x -≤≤-时，y 的最大值是4，则当2x ≥时，y 有（） A ．最小值4- B ．最小值2-C ．最大值4-D ．最大值2-【答案】B【分析】由函数经过第二象限，可确定k ＜0，则在−2≤x≤−1上，y 值随x 值的增大而增大，即可确定函数的解析式为y ＝−4x，由此可求解．解：∵当−2≤x≤−1时，y 的最大值是4， ∴反比例函数经过第二象限， ∴k ＜0，∴在−2≤x≤−1上，y 值随x 值的增大而增大， ∴当x ＝−1时，y 有最大值−k ， ∵y 的最大值是4， ∴−k ＝4， ∴k ＝−4， ∴y ＝−4x，当x≥2时，y ＝−4x有最小值−2，故选：B ．【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握反比例函数的图象及性质，通过所给条件确定k ＜0是解题的关键．3．（2020·福建九年级期末）对对对对对对对ky x=对对对对2-≤x ≤1-对对对对对4y =对对对x ≥8对对对对对 A ．对对对1y =- B ．对对对1y =-C ．对对对y =12-D ．对对对y =12-【答案】D解：由当21x -≤≤-时有最大值4y =，得1x =-时，4y =，144k =-⨯=-，反比例函数解析式为4y x=-，当8x ≥时，图象位于第四象限，y 随x 的增大而增大，当8x =时，y 最小值为12- 故选D ．4．（2020·长沙市岳麓区高欣梅溪湖培训学校有限公司九年级）已知M 、N 两点关于y 轴对称，且点M 在反比例函数12y x=的图象上，点N 在一次函数3y x 的图象上，设点M 的坐标为（a ，b ），则二次函数2()y abx a b x =++（） A ．有最小值，且最小值是92-B ．有最大值，且最大值是92-C ．有最大值，且最大值是92D ．有最小值，且最小值是92【答案】A【解析】先用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数图象上点的坐标特点求出其最值即可．解答：解：因为M ，N 两点关于y 轴对称，所以设点M 的坐标为（a ，b ），则N 点的坐标为（-a ，b ），又因为点M 在反比例函数12y x=的图象上，点N 在一次函数y=x+3的图象上，所以1b 2a b a 3==-+，整理得1ab 2a b 3=+=故二次函数y=abx 2+（a+b ）x 为y=12x 2+3x ，所以二次项系数为12＞0，故函数有最小值，最小值为y=23142-⨯=-．故选A ．5．（2020·厦门市金鸡亭中学九年级月考）已知反比例函数y ＝kx，当﹣2≤x≤﹣1时，y 的最大值时﹣4，则当x≥8时，y 有（） A ．最小值12B ．最小值1C ．最大值12D ．最大值1【答案】D【分析】先求得函数的图象在一三象限，y 随x 的增大而减小，进而求得函数的解析式，根据函数的性质即可求得选项．解：∵由题意可知函数图象在一、三象限，反比例函数ky x=的图象随x 的增大而减小 ∴y 在2x =-时取得最大值4- ∴()248k =-⨯-= ∴y ＝8y x=∴当8x ≥时，y 有最大值1．故选：D【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，能根据已知条件判断出函数图象在一、三象限是解题的关键．6．（2019·天津市扶轮中学九年级期末）若点 A （a ，b ）在反比例函数 y ＝9x （x ＞0）的图象上，则 a+b 的最小值是（） A ．3 B ．4 C ．6 D ．9【答案】C【解析】依据（ √a ﹣ √b ）2≥0，即可得出 a+b≥2√ab ，当 a ＝b 时，等号成立，再根据点 A （a ，b ）在反比例函数 y ＝ 9X （x ＞0）的图象上，即可得到 a+b 的最小值．解：对于任意正实数 a 、b ， ∵（ √a +b ）2≥0， ∴a+b ﹣2 √ab ≥0，∴a+b ≥2√ab ，当 a ＝b 时，等号成立，又∵点 A （a ，b ）在反比例函数 y ＝9x （x ＞0）的图象上，∴ab ＝9，∴a+b 的最小值为2√9=6 故选：C ．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值 k ，即 xy ＝k ．7．（2019·湖南九年级）如图过原点的直线l 与反比例函数1y x=-图象交于M ，N 两点，则线段MN 的长度的最小值为（）A ．2B ．CD ．5【答案】B【解析】欲求MN 的长的最小值，由双曲线的对称性知ON=OM ，可转化为求OM 的最小值，列出OM 距离的求解式子，求式子的最小值即可．【详解】由题意可设点M 的坐标为（x ，-1x ），则， ∵222112()x x x x+-=- ≥0，∵221x x+≥2，由此可得OM ，由双曲线的对称性可知ON=OM ，故MN 的最小值为．故本题答案应为：B ．【点睛】反比例函数的性质是本题的考点，根据题意求出OM 的值是解题的关键. 8．（2020·安徽芜湖一中九年级）如图，反比例函数(0)ky x x=>的图像过面积等于8的长方形OABC 的对角线OB 的中点，P 为函数图像上任意一点．则OP 的最小值为（）A ．1BCD ．2【答案】D【分析】设OB 的中点为D ，过点D 作DE ⊥x 轴于E ，DF ⊥y 轴于F ，根据反比例函数比例系数k的几何意义即可求出k的值，然后设点P的坐标为（x，2x），求出OP与x的函数关系式，利用平方的非负性即可求出结论．解：设OB的中点为D，过点D作DE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F易知四边形OEDF为矩形，DE=12AB，DF=12BC∵矩形OABC的面积为8∴AB·BC=8∴矩形OEDF的面积为DE·DF=12AB·12BC=2∵点D在反比例函数图象上∴k=2∴该反比例函数的解析式为2 yx =设点P的坐标为（x，2x）∴∵22⎛⎫-⎪⎝⎭xx≥0≥2即OP≥2∴OP的最小值为2故选D．【点睛】此题考查的是反比例函数与几何图形的综合，掌握反比例函数比例系数k的几何意义、矩形的性质、配方和平方的非负性是解决此题的关键．9．如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数y=对1x第二象限的点，点B对m对1对m对3），则OA+OB最小值是（）A B．C D+2【答案】B【解析】当点A∵O∵B三点共线时，OA+OB取最小值∵此时点B与点A关于原点对称，由此求得点A的坐标，代入反比例函数y=∵1x求得m的值，即可求得A∵B的坐标，由此求得AB的长即可.【详解】如图，当点A∵O∵B三点共线时，OA+OB取最小值．此时点B与点A关于原点对称，点B是反比例函数y=∵1x第四象限的点，∵A∵∵m+1∵∵m+3∵∵∵∵m∵1∵∵m∵3∵=∵1∵ 解得m=2∵∵A∵∵1∵1∵∵B∵1∵∵1∵∵∵OA+OB 最小值为：∵ 故选B∵【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的特征，确定当点A∵O∵B 三点共线时，OA+OB 取最小值，由此求得点A∵B 的坐标是解决问题的关键. 10．如图，已知A （－3，0），B （0，－4），P 为反比例函数y ＝12x（x ＞0）图象上的动点，PC ⊥x 轴于C ，PD ⊥y 轴于D ，则四边形ABCD 面积的最小值为 ( )．A ．12B ．13C ．24D ．26【答案】C【解析】根据题意，设P 点的坐标为（x ，12x），且x ＞0，则 ∵AOD 的面积为：1121832x x ⨯-⨯=； ∵DOC 的面积为：1262= ； ∵BOC 的面积为：1422x x ⨯-⨯= ；∵AOB 的面积为：13462⨯-⨯-=所以可知四边形ABCD 的面积为：18189662122122x x x x x x ⎛⎫+++=++=++ ⎪⎝⎭≥12+2×2=24. 故选C点睛：此题主要是考查反比例函数的图像和性质以及系数k的意义的应用，注意把四边形分解成四个三角形，然后根据四个三角形的面积和的最小值来确定此题的结果.11．（2019·无锡市玉祁初级中学九年级期中）如图，一次函数y=-2x与反比例函数y=kx(k<0)的图象交于A，B两点，点P在以C(2，0)为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最小值为12，则k的值为( )A．45-B．7225C．3225-D．85-【答案】C【分析】作辅助线，先确定OQ长的最小时，点P的位置，当BP延长线过圆心C时，BP 最短，设B（t，−2t），则CD＝2−t，BD＝2t，根据勾股定理计算t的值，可得k的值．【详解】连接BP，由对称性得：OA＝OB，∵Q是AP的中点，∴OQ＝12 BP，∵OQ长的最小值为12，∴BP长的最小值为12×2＝1，如图，当BP的延长线过圆心C时，BP最短，过B作BD⊥x轴于D，∵CP＝1，∴BC＝2，∵B在直线y＝−2x上，设B（t，−2t），则CD＝2−t，BD＝2t，在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2＝CD2＋BD2，∴22＝（2−t）2＋（2t）2，t＝0（舍）或t=45，∴B（45，−85），∵点B在反比例函数y＝kx（k＜0）的图象上，∴k＝45×(−85)＝3225故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、圆的性质，勾股定理的应用，有难度，解题的关键是利用勾股定理建立方程解决问题．12．如图，点N是反比例函数y=6x对x对0对图象上的一个动点，过点N作MN∥x轴，交直线y=对2x+4于点M，则△OMN面积的最小值是（对A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】设点N的坐标为(6m,m),则点M的坐标为(4−2m,m)(m>0)∵∴MN=6m−(4−2m)=2m+6m−4∵∴S△OMN=12MN⋅m=m2−2m+3=(m−1)2+2∵∴当m=1时，△OMN面积最小，最小值为2.故选：B.13．（2017·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象与边长是6的正方形的两边，分别相交于，两点，的面积为10.若动点在轴上，则的最小值是（）A．B．10C．D．【答案】C【解析】由正方形OABC的边长为6可得M的坐标为（6，），N的坐标为（，6），因此可得BN=6-，BM=6-，然后根据∵OMN的面积为10，可得，解得k=24，得到M（6，4）和N（4，6），作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则M′N的长=PM+PN的值最小，最后由AM=AM′=4，得到BM′=10，BN=2，根据勾股定理求得NM′=.故选：C考点：1、反比例函数与正方形，2、三点之间的最小值二、填空题14．（2018·福建九年级期末）已知反比例函数ky x=（0k ≠），当1≤x ≤2时，函数的最大值与最小值之差是1，则k 的值为__________．【答案】2±【解析】分k∵0和k∵0进行讨论，再根据反比例函数的增减性，利用函数值的差列出方程解答．【详解】由12k k-=1∵解得k=2∵ 当-3∵k∵0时，在其每一象限内，反比例函数y 随x 的增大而增大． ∵21k k -=1 解得k=-2∵ 综上所述，k=±2∵ 答案：±2∵【点睛】本题考查了反比例函数的增减性，反比例函数的增减性要在其图象的每一象限内解答，解题关键要对于k 的值要分情况讨论．15．（2020·全国八年级课时练习）当12x 时，反比例函数ky x=（3k >-且0k ≠）的最大值与最小值之差是1，则k 的值是______. 【答案】±2【分析】分k ＞0和k ＜0进行讨论，再根据反比例函数的增减性，利用函数值的差列出方程解答．解：当k ＞0时，在其每一象限内，反比例函数y 随x 的增大而减小． ∴112k k-=，解得k=2，当-3＜k ＜0时，在其每一象限内，反比例函数y 随x 的增大而增大．121k k-=，解得k=-2，综上所述，k=±2．答案：±2．【点睛】本题考查了反比例函数的增减性，反比例函数的增减性要在其图象的每一象限内解答，解题关键要对于k 的值要分情况讨论．16．（2019·北京交通大学附属中学九年级月考）如图，一次函数3y x =-与反比例函数()0ky k x=<的图象交于A 、B 两点，点P 在以()3,0C 为圆心，1为半径的C 上，M 是AP 的中点，已知OM 长的最小值为1，则k 的值为______.【答案】2725-【分析】作辅助线,先确定OM 长的最大时,点P 的位置,当BP 过圆心C 时,设B(t,-3t),则CD=3-t,BD=-3t,根据勾股定理计算t 的值,可得k 的值. 【详解】如图,连接BP,由对称性得:OA=OB, ∵M 是AP 的中点, ∵OM=12BP,∵OM 长是最小值为1, ∵BP 长的最小值为1×2=2,如图,当BP 过圆点C 时,BP 最长,过B 作BD∵x 轴于D, ∵CP=1,∵BC=BP+CP=3,∵B 在直线y=-2x 上,设B(t,-3t),则CD=3-t,BD=-3t, 在Rt∵BCD 中,由勾股定理得: BC2=CD2+BD2,∵32=(3-t)2+(-3t)2,解得t=0(舍)或35, ∵B(35,95-), ∵点B 在反比例函数()0ky k x=<的图象上, ∵k=35×95-=2725-. 故答案为: 2725-. 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数与圆的结合,关键在于合理作出辅助线. 17．在平面直角坐标系xOy 中，P 为反比例函数2y x=（x ＞0）的图象上的动点，则线段OP 长度的最小值是．【答案】2．【解析】根据题意可得：当P 为直线y=x 与反比例函数2y x=（x ＞0）的交点时则线段OP 长度的最小，由2{y x y x==得：{x y =={x y ==，则P 点的坐标为），则线段，故答案为2．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．18．（2019·无锡市石塘湾中学九年级期中）如图，一次函数2y x =-与反比例函数y (k 0)kx=<的图象交于A ，B 两点，点P 在以0(2)C ，为圆心，1为半径的⊙C 上，Q 是AP 的中点，已知OQ 长的最小值为12，则k 的值为______.【答案】32 25【分析】作辅助线，先确定OQ长的最小时，点P的位置，当BP延长线过圆心C时，BP 最短，设B（t，-2t），则CD=2-t，BD=2t，根据勾股定理计算t的值，可得k的值．解：连接BP，由对称性得：OA=OB，∵Q是AP的中点，∵OQ=12 BP，∵OQ长的最小值为12，∵BP长的最小值为12×2=1，如图，当BP的延长线过圆心C时，BP最短，过B作BD∵x轴于D，∵CP=1，∵BC=2，∵B在直线y=-2x上，设B（t，-2t），则CD=2-t，BD=2t，在Rt∵BCD中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD2，∵22=（2-t ）2+（2t ）2， ∵t=0（舍）或45， ∵B （45，-85）， ∵点B 在反比例函数y=kx（k ＜0）的图象上， 48325525k ⎛⎫∴=⨯-=- ⎪⎝⎭ 故答案为：3225-. 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，综合性较强，涉及了圆的性质以及勾股定理的应用等知识点，利用勾股定理建立方程解答本题的关键．19．（2019·许昌实验中学中考模拟）如图，过原点的直线l 与反比例函数y ＝﹣1x的图象交于M ，N 两点，若MO ＝5，则ON ＝_____．根据图象猜想，线段MN 的长度的最小值_____．【答案】5【解析】由双曲线的对称性知ON =OM ，欲求MN 的长的最小值，可转化为求OM 的最小值，列出OM 距离的求解式子，求式子的最小值即可．【详解】由双曲线的对称性可知ON =OM =5．由题意可设点M 的坐标为（x ，1x -），则OM == 222112x x x x +-=-≥（）0，∴2212x x +≥，由此可得OM ．∵ON =OM ，∴MN 的最小值为．故答案为5，．【点睛】本题通过反比例函数的知识，考查学生的猜想探究能力．解题时先直观地猜想，再按照从特殊到一般的方法去验证．20．（2016·江苏九年级月考）.如图，在反比例函数上有两点A（3，2），B（6，1），在直线上有一动点P，当P点的坐标为时，PA+PB有最小值．【答案】【解析】设A点关于直线y=﹣x的对称点为A′，连接A′B，交直线y=﹣x为P点，此时PA+PB 有最小值，求出直线A′B的直线解析式，再与y=﹣x联立，求出交点坐标，P点坐标即可求出．解：设A点关于直线y=﹣x的对称点为A′，连接A′B，交直线y=﹣x为P点，此时PA+PB 有最小值，∵A点关于直线y=﹣x的对称点为A′，A（3，2），∵A′（﹣2，﹣3），设直线A′B的直线解析式为y=kx+b，，解得k=，b=﹣2，∵直线A′B的直线解析式为y=x﹣2，联立，解得x=，y=﹣，即P点坐标（，﹣），故答案为（，﹣）．21．（2019·全国九年级单元测试）如图，点A（m，2），B（n，2）分别是反比例函数y＝﹣4x，y＝2x在x轴上方的图象上的点，点P是x轴上的动点，则PA+PB的最小值为_____．【答案】5【解析】作A关于x轴的对称点C，连接BC，交x轴于P，则P即为使P A+PB有最小值的点，根据轴对称的性质求得C的坐标，然后求得BC即可．【详解】∵点A∵m∵2∵∵B∵n∵2）分别是反比例函数y∵∵4x∵y∵2x在x轴上方的图象上的点，∴2∵∵4m，解得m∵∵2∵2∵2n，解得n∵1∵∴A∵∵2∵2∵∵B∵1∵2∵∵作A关于x轴的对称点C，连接BC，交x轴于P，则P即为使P A+PB有最小值的点，此时P A+PB∵BC∵∴C∵∵2∵∵2∵∵∴BC∴P A+PB的最小值为5∵故答案是：5∵【点睛】考查了反比例函数图象上点的坐标特征，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理的应用等，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．22．如图,圆P的圆心在反比例函数y=kx的图象(第一象限）上，并且与x轴交于A、B两点，与y轴相切于点C（0， .（1）当为△PAB正三角形时，则K的值为________；（2）在（1）的条件下，若点M是反比例函数上的一个动点,则△MBC面积的最小值为_____．【答案】【解析】（1）根据三角形的面积公式结合反比例函数系数k的几何意义以及点C的坐标即可得k的值出；(2)结合所给的图形与（1）结论即可求得．解：过P点作PH⊥x轴，垂足为H，∵P点在反比例函数kyx=的图象上，∴P的坐标是（k，在Rt△PAH中，当为△PAB 正三角形时，；（2）若点M 是反比例函数上的一个动点，则△MBC 面积的最小值为. 点睛：本题考查的是反比例函数上的一个动点问题，解题时运用反比例函数图象上点的坐标特征是关键.23．（2020·山西九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 在反比例函数()0ky kx=≠的图象上运动，且始终保持线段AB =M 为线段AB 的中点，连接OM ．则线段OM 长度的最小值是_____(用含k 的代数式表示)．【解析】如图，当OM ⊥AB 时，线段OM 长度的最小．首先证明点A 与点B 关于直线y=x对称，因为点A ，B 在反比例函数()0ky k x=≠的图象上，，所以可以假设A （m ，k m ），则B （m+4，k m -4），则有+4k m =4k m -，解得k=m 2+4m ，推出A （m ，m+4），B（m+4，m ），可得M （m+2，m+2），求出OM 即可解决问题．【详解】如图，当OMAB ⊥时，线段OM 长度的最小，∵M 为线段AB 的中点， ∴OA OB =，∵点A ，B 在反比例函数()0k y k x=≠的图象上， ∴点A 与点B 关于直线y x =对称，∵AB = ∴可以假设,k A m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则4,4k B m m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭， ∴22222(4)(4)k k m m m m +=++-，解得24k m m =+，∴(),4A m m +，()4,B m m +，∴()2,2M m m ++，∴OM ===∴OM【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的特征，反比例函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题.24．（2019·山东九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数(0)k y x x=>的图像与边长是6的正方形OABC 的两边,AB BC 分别相交于,M N 两点，OMN ∆的面积为10.若动点P 在x 轴上，则PM PN +的最小值是_____________【答案】【解析】分析：由正方形OABC 的边长是6，得到点M 的横坐标和点N 的纵坐标为6，求得M ∵6∵6k ∵∵N ∵6k ∵6），根据三角形的面积列方程得到M ∵6∵4∵∵N ∵4∵6），作M 关于x轴的对称点M ′，连接NM ′交x 轴于P ，则NM ′的长=PM +PN 的最小值，根据勾股定理即可得到结论．详解：∵正方形OABC 的边长是6∵∴点M 的横坐标和点N 的纵坐标为6∵∴M (6, 6k ),N (6k ,6)∵ ∵△OMN 的面积为10∵ ∴21116666(6)10262626k k k ⨯-⨯⨯-⨯⨯--=∵∴k =24±∵∵0k >∵∴k =24∵∴M ∵6∵4∵∵N ∵4∵6∵∵作M 关于x 轴的对称点M ′∵连接NM ′交x 轴于P ,则M ′N 的长等于PM +PN 的最小值，∵AB =6∵M ∵6∵4∵∵N ∵4∵6∵∵∴AM ′=AM =4∵BN =2,∴BM ′=10, BN =2,根据勾股定理求得NM ′===故答案为：点睛：本题考查了反比例函数比例系数k 的几何意义、最短路径等知识. 利用反比例函数的性质得出M ∵N 的坐标并利用面积建立方程是解题的关键.三、解答题25．（2020·亳州市第三十三中学九年级期中）如图是反比例函数k y x=的图象，当4x 1-≤≤-时，4y 1-≤≤-．（1）求该反比例函数的解析式；（2）若M 、N 分别在反比例函数图象的两个分支上，请直接写出线段MN 长度的最小值．【答案】（1）反比例函数的解析式为4y x=；（2）线段MN 的最小值为【分析】（1）用待定系数法求反比例函数的解析式；（2）经观察后可发现当MN 为直线y x =与双曲线的两个交点时，线段MN 最短；联立两方程可求得两交点的坐标()M 2,2，()N 2,2--，然后根据两点之间的距离公式求得线段MN 的最小值．【详解】()1在反比例函数的图象中，当4x 1-≤≤-时，4y 1-≤≤-，∴反比例函数经过坐标()4,1--，k 41∴-=-， k 4∴=，∴反比例函数的解析式为4y x=； ()2当M ，N 为一，三象限角平分线与反比例函数图象的交点时，线段MN 最短．将y x =代入4y x=，解得x 2y 2=⎧⎨=⎩或x 2y 2=-⎧⎨=-⎩，即()M 2,2，()N 2,2--．OM ∴=．则MN =．∴线段MN的最小值为【点睛】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式，在第()2问中关键是要正确判断MN 何时出现最小值．26．（2019·全国九年级单元测试）己知函数()283k y k x -=-为反比例函数．己知函数()283k y k x -=-为反比例函数． ()1求k 的值；()2它的图象在第________象限内，在各象限内，y 随x 增大而________；（填变化情况） ()3当122x -≤≤-时，此函数的最大值为________，最小值为________．【答案】（1）k=-3；（2）二、四，增大；（3）12，3 【分析】（1）首先根据反比例函数的定义可得8−k 2＝−1，且k −3≠0，解出k 的值即可；（2）根据k ＜0，结合反比例函数的性质可得答案；（3）根据y 随x 增大而增大可得当x ＝−2时，y 最小，当x ＝−12时，y 最大，代入求值即可．【详解】由题意得：8-k 2=-1，且k-3≠0，解得：k=-3；（2）∵k=-3＜0，∴图象在第二、四象限，在各象限内，y 随x 增大而增大；故答案为二、四；增大；（3）当x=-2时，y 最小=62--=3；当x=-12时，y 最大=612--=12；故答案为12；3．【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质和定义，关键是掌握反比例函数的形式为y ＝k x（k 为常数，k≠0）或y ＝kx −1（k 为常数，k≠0）．27．（2019·江苏八年级期末）（阅读理解）对于任意正实数a 、b ，∵20≥，∴0a b +-≥∴a b +≥a b =时，等号成立．（数学认识）在a b +≥a 、b 均为正实数）中，若ab 为定值k ，则a b +≥a b =时，+a b 有最小值（解决问题）（1）若0x >时，当x =_____________时，1x x +有最小值为_____________；（2）如图，已知点A 在反比例函数3(0)y x x=>的图像上，点B 在反比例函数1(0)y x x=->的图像上，//AB y 轴，过点A 作AD y ⊥轴于点D ，过点B 作BC y ⊥轴于点C ．求四边形ABCD 周长的最小值．【答案】（1）1,2；（2）8.【解析】(1)根据题意，利用完全平方式即可求解；(2)根据反比例函数的解析式，设出A 和B 的坐标，然后表示出周长，再根据上面的知识求解即可；解：（1）1，2．（2）解：设3(,)A a a ，则1(,)B a a -，∴四边形ABCD 周长42()a a=+ 22428a ⨯⋅=⨯=． ∴四边形ABCD 周长的最小值为8．【点睛】此题属于反比例函数综合题，考查了几何不等式的应用，理解在a b +≥ (a, b均为正实数)中，若ab 为定值k ，则a b +≥a=b 时，a+b 有最小值键.28．（2019·甘肃九年级）如图，一次函数y ax b =+与反比例函数()0k y x x=<的图象交于点()1,4A -、B ，点B 到x 轴的距离为1.（1）求反比例函数的表达式及点B 的坐标；（2）若点P 是y 轴上一点，求PA PB +取得最小值时点P 的坐标.【答案】（1）()40y x x =-<，()4,1B -；（2）点P 的坐标为170,5⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】（1）要求反比例函数的表达式，只需将点A 的坐标代入即可，要求点B 坐标，已知点B 的纵坐标，代入反比例函数的解析式即可；（2）要求PA PB +取最小值时点P 的坐标，可作A 点关于y 轴的对称点'A ，连接'A B ，则'A B 与y 轴的交点即为所求.【详解】（1）∵点()1,4A -在反比例函数k y x=的图象上， ∵144k =-⨯=-.∵反比例函数的表达式为()40y x x =-<；把1y =代入4y x=-中，得4x =- ， ∵()4,1B -；（2）如解图，作点A 关于y 轴的对称点()'1,4A ，连接'A B 交y 轴于点P ，连接PA ，则'PA PA =，∵''AP BP PA BP A B +=+=，即AP BP +的最小值为线段'A B 的长度.设直线'A B 的解析式为y mx n =+，将()4,1B -、()'1,4A 代入，得414m n m n -+=⎧⎨+=⎩，解得35175m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∵直线'A B 的解析式为31755y x =+. 当0x =时，175y =， ∵点P 的坐标为170,5⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】此题主要考查反比例函数与几何，解题的关键是熟知反比例函数的性质及待定系数法的运用.29．（2020·内蒙古九年级）如图，反比例函数y ＝k x（x ＞0）的图象上一点A （m ，4），过点A 作AB ⊥x 轴于B ，CD ∥AB ，交x 轴于C ，交反比例函数图象于D ，BC ＝2，CD ＝43．（1）求反比例函数的表达式；（2）若点P 是y 轴上一动点，求PA +PB 的最小值．【答案】（1）4y x=；（2）【分析】（1）可得点D 的坐标为：4m 2,3⎛⎫+ ⎪⎝⎭，点A （m ，4），即可得方程4m=43（m+2），继而求得答案；（2）作点A 关于y 轴的对称点E ，连接BF 交y 轴于点P ，可求出BF 长即可．【详解】解：（1）∵CD ∥y 轴，CD ＝43， ∴点D 的坐标为：（m+2，43）， ∵A ，D 在反比例函数y ＝k x （x ＞0）的图象上， ∴4m ＝43（m+2），解得：m ＝1，∴点A 的坐标为（1，4），∴k ＝4m ＝4，∴反比例函数的解析式为：y ＝4x；（2）过点A 作AE ⊥y 轴于点E ，并延长AE 到F ，使AE ＝FE ＝1，连接BF 交y 轴于点P ，则PA+PB 的值最小．∴PA+PB ＝PF+PB ＝BF =【点睛】此题考查了待定系数法求反比例函数的解析式以及轴对称的性质．注意准确表示出点D 的坐标和利用轴对称正确找到点P 的位置是关键．30．（2020·江苏八年级期末）在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+的图像与反比例m y x=的图像相交于()A 3,5、()B a,3-两点，与x 轴交于点C ．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）若点P 为y 轴上的动点，当PB PC +取最小值时，求BPC △的面积．【答案】（1）15y x =；2y x =+；（2）307BPC S ∆=．【分析】（1）利用待定系数法，即可得到反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据一次函数y ＝x +2，求得C 的坐标，即可求得C 点关于y 轴的对称点C ′的坐标，根据待定系数法求得直线BC ′的解析式，即可求得P 的坐标，然后根据S △BPC ＝S △BCC ′﹣S △PCC ′求得即可．解：（1）点()A 3,5在反比例函数m y x=的图像上 3515m ∴=⨯= 则反比例函数表达式为15y x=将x a =，3y =-代入15y x =，得5a =- 则点B 坐标为()5,3--点A 、B 在一次函数y kx b =+的图像上3553k b k b +=⎧∴⎨-+=-⎩解得12k b =⎧⎨=⎩则一次函数表达式为2y x =+；（2）在一次函数2y x =+中，令0y =，则2x =-， ∴点C 坐标为()2,0-作点C 关于y 轴对称点C '，则点C '坐标为()2,0，即4CC '=，连接BC '交y 轴于点P ，此时PB PC +有最小值，设直线BC '表达式为11y k x b =+，则11112053k b k b +=⎧⎨-+=-⎩ 解得：113767k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩则BC '表达式为3677y x =-则点P 坐标为60,7⎛⎫- ⎪⎝⎭，即67OP =6434307227BPC BCC CPC S S S ''∆∆∆⨯⨯=-=-=【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，求得P 的位置是解题的关键． 31．（2020·河南九年级练习）如图，一次函数1522y x =-+的图像与反比例函数k y x=(k ＞0)的图像交于A ，B 两点，过点A 做x 轴的垂线，垂足为M ，△AOM 面积为1. （1）求反比例函数的解析式；（2）在y 轴上求一点P,使PA+PB 的值最小，并求出其最小值和P 点坐标.【答案】（1）y=2x ；（2）最小值即为2，P （0，1710）.【解析】（1）根据反比例函数比例系数k 的几何意义得出112k =，进而得到反比例函数的解析式；（2）作点A 关于y 轴的对称点A '，连接A B '，交y 轴于点P ，得到PA PB +最小时，点P 的位置，根据两点间的距离公式求出最小值A B '的长；利用待定系数法求出直线A B '的解析式，得到它与y 轴的交点，即点P 的坐标．【详解】（1）反比例函数(0)ky k x=>的图象过点A ，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，AOM ∆面积为1，∴112k =， 0k >， 2k ∴=，故反比例函数的解析式为：2y x=；（2）作点A 关于y 轴的对称点'A ，连接'A B ，交y 轴于点P ，则PA PB +最小．由15222y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，或412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，()1,2A ∴，14,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，()'1,2A ∴-，最小值'2A B ==．设直线'A B 的解析式为y mx n =+，则2142m n m n -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得3101710m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线'A B 的解析式为3171010y x =-+， 0x ∴=时，1710y =， P ∴点坐标为170,10⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】考查的是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题以及最短路线问题，解题的关键是确定PA PB +最小时，点P 的位置，灵活运用数形结合思想求出有关点的坐标和图象的解析式是解题的关键．32．（2012·浙江九年级月考）如图，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M （－2，1-），且P （1-，－2）为双曲线上的一点．（1）求出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）观察图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x 的取值范围；（3）若点Q 在第一象限中的双曲线上运动，作以OP 、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ ，求平行四边形OPCQ 周长的最小值．【答案】（1）12y x =，2y x =；（2）－2＜x ＜0或x ＞2；（3）平行四边形OPCQ 的周长为4+【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的定义及性质解：（1）设反比例函数的解析式为()0ky k x =≠，由点()2,1M --在曲线上有12k -=-得2k =，则反比例函数的解析式为2y x=；设正比例函数的解析式为()0y kx x =≠，由点()2,1M --在曲线上有12k -=-，则12k =，故正比例函数的解析式为12y x =（2）当正比例函数的图象位于反比例函数的上方时，正比例函数值大于反比例函数值.由212y xy x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得正比例函数的图象位于反比例函数的图象的交点为()()2,1,2,1T S -- 由图可知，当2x >或20x -<<时，正比例函数的图象位于反比例函数的上方，故满足条件的自变量x 的取值范围2x >或20x -<<. （3）由()1,2P --得OP =设2,,0Q x x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则OQ ==由均值不等式定理得2244x x +≥=，则2OQ ≥，即OQ 的最小值为2，所以平行四边形OPCQ 周长的最小值为())2224OP OQ +==+33．（2019·内蒙古九年级）如图，一次函数y ＝﹣12x +3的图象与反比例函数y ＝kx （k ＞0）的图象交于A ，B 两点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，△AOM 面积为2．（1）求反比例函数的解析式；（2）在y 轴上求一点P ，使PA +PB 的值最小，并求出其最小值和P 点坐标．【答案】（1）y ＝4x ；（2）y ＝﹣16x +53，点P 的坐标为（0，53）．【解析】（1）利用反比例函数k 的几何意义即可求出反比例函数的解析式；（2）先把解析式联立组成方程组求出A 、B 两点的坐标，再利用轴对称的性质找到符合条件的点P 的位置，利用一次函数与y 轴的交点求出P 点坐标，再利用勾股定理求出最小距离和．【详解】（1）设A 点的坐标为（a ，b ），则OM ＝a ，AM ＝b ， ∵△AOM 面积为2， ∴12ab ＝2， ∴ab ＝4，∵点A 在反比例函数图象上， ∴k ＝4，∴反比例函数的解析式为y ＝4x；。

2020年数学中考最值问题试题总汇【含答案】

⎭ ⎝⎝ ⎝ 4 4 6 4 ⎭ 初中代数、几何所有最值问题一代数问题中的最值问题1、从 - 3，- 2，-1,4,5中任取两个数相乘，所得积中最大值为a ，最小值为b ，求－4答案： 32、若a , b , c 都是大于1的自然数，且a c= 252b , 求a 的最小值？答案：42.a 的值？b 解析：252b 可以分成某数幂的形式。

252b=6×6×7 b ， × 即 b=7，即 a=6×7=42.3、下面是按一定规律排列的一组数：1 ⎛ -1 ⎫第一个数： - 1+ ⎪2 ⎝ 2 ⎭1 ⎛ －1 ⎫⎛(-1)2 ⎫⎛ (-1)3 ⎫第二个数： - 1+ ⎪ 1+ ⎪1+ ⎪3 ⎝ 2 ⎪ ⎪ ⎭⎝ ⎭1 ⎛ -1 ⎫⎛ (-1)2 ⎫⎛ (-1)3 ⎫⎛ (-1)4 ⎫⎛ (-1)5 ⎫第三个数： - 1+ ⎪ 1+ ⎪1+ ⎪1+ ⎪1+ ⎪4 ⎝ 2 ⎭⎪ ⎪ ⎭⎝ ⎭⎝ ⎪ ⎪ ⎭⎝ ⎭……第 n 个数：1⎛ -1 ⎫⎛(-1)2 ⎫⎛ (-1)3 ⎫ ⎛ (-1)2n -1 ⎫ - 1+ ⎪ 1+ ⎪1+ ⎪…… 1+ ⎪n +1 ⎝ 2 ⎭ ⎪ ⎪ ⎭⎝ ⎭ ⎝2n ⎪ ；那么在第 10 个数，第 11 个数，第 12个数中，最大数是？答案：第 10 个。

解析：第n 个数是 1- n2(n +1), 把n = 10, n = 11, n = 12, n = 13分别代入得出答案。

4、已知： 20n 是整数，求满足条件的最小整正数n 的值？答案：5解析：20n=4×5×n ，因为20n 是整数，∴ 20n 是一个完全平方数，∴ n 的最小值为54、当（m+n ）²+1 取最小值时，求m 2 - n 2 + 2 m - 2 n 的值？答案：0解析：（m+n ）²+1 取最小值，m+n=0 时最小。

2023年九年级数学中考专题训练——二次函数的最值 (附答案))

2023年中考专题训练——二次函数的最值1．已知，二次函数23y ax bx =+-的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于C 点，点A 的坐标为()1,0-，且OB OC =． (1)求二次函数的解析式；(2)当04x ≤≤时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？ (3)设点C '与点C 关于该抛物线的对称轴对称．在y 轴上是否存在点P ，使PCC '△与POB 相似，且PC 与PO 是对应边？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图1，抛物线2323333y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，过点B 作直线BD ∥直线AC ，交抛物线y 于另一点D ，点P 为直线AC 上方抛物线上一动点．(1)求线段AB 的长．(2)过点P 作PF y ∥轴交AC 于点Q ，交直线BD 于点F ，过点P 作PE AC ⊥于点E ，求233PE PF +的最大值及此时点P 的坐标． (3)如图2，将抛物线2323333y x x =--+向右平移3个单位得到新抛物线y '，点M 为新抛物线上一点，点N 为原抛物线对称轴一点，直接写出所有使得A 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时点N 的坐标，并写出其中一个点N 的坐标的求解过程． 3．已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过点(3,0)，且对称轴为直线1x =．(1)求b c +的值；(2)当43x -≤≤时，求y 的最大值；(3)平移抛物线2y x bx c =+-，使其顶点始终在二次函数221y x x =--上，求平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最小值．4．已知关于x 的一元二次方程()()121x x m --=+（m 为常数）．（1）若它的一个实数根是方程()2140x --=的根，则m =_____，方程的另一个根为_____；（2）若它的一个实数根是关于x 的方程()240x m --=的根，求m 的值；（3）若它的一个实数根是关于x 的方程()240x n --=的根，求m n +的最小值．5．如图，抛物线23y ax bx =++交x 轴于()3,0A ，()1,0B -两点，交y 轴于点C ，动点P 在抛物线的对称轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）当以P ，B ，C 为顶点的三角形周长最小时，求点P 的坐标及PBC 的周长；（3）若点Q 是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q ，使得以A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．6．平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的顶点为（32，﹣254），它的图象与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 左侧）．（1）若AB ＝5，交y 轴于点C ，点C 在y 轴负半轴上． ①求二次函数的解析式；②若自变量x 的值增加4时，对应的函数值y 增大，求满足题意的自变量x 的取值范围．（2）当-1≤x ≤1时，函数值y 有最小值为﹣a 2，求a 的值（其中a 为二次函数的二次项系数）．7．已知直线1y kx =+经过点()2,3，与抛物线2y x bx c =++的对称轴交于点1,2n ⎛⎫⎪⎝⎭（1）求k ，b 的值；（2）抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()()12,0,0x x 且2139x x ≤-<，若22123p x x =-，求p 的最大值；（3）当12x -<<时，抛物线2y x bx c =++与直线1y kx =+有且只有一个公共点，直接写出c 的取值范围．8．如图，直线:l y m =-与y 轴交于点A ，直线:a y x m =+与y 轴交于点B ，抛物线2y x mx =+的顶点为C ，且与x 轴左交点为D （其中0m >）．（1）当12AB =时，在抛物线的对称轴上求一点P 使得BOP △的周长最小；（2）当点C 在直线l 上方时，求点C 到直线l 距离的最大值；（3）若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当2021m =时，求出在抛物线和直线a 所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++经过A （0，﹣1），B （4，1）．直线AB 交x 轴于点C ，P 是直线AB 下方抛物线上的一个动点．过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，PE ∥x 轴，交AB 于点E ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△PDE 的周长取得最大值时，求点P 的坐标和△PDE 周长的最大值；（3）把抛物线2y x bx c =++平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P ．M 是新抛物线上一点，N 是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形的点M 的坐标，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来．10．如图，抛物线2y x bx c =-++过点()3,2A ，且与直线72y x =-+交于B 、C 两点，点B 的坐标为()4,m ．（1）求抛物线的解析式；（2）点D 为抛物线上位于直线BC 上方的一点，过点D 作DE x ⊥轴交直线BC 于点E ，点P 为对称轴上一动点，当线段DE 的长度最大时，求PD PA +的最小值；（3）设点M 为抛物线的顶点，在y 轴上是否存在点Q ，使45AQM ∠=︒？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线24y ax bx =++交x 轴于3,0,()(,0)4A B -两点，与y 轴交于点C ，连接,AC BC ．M 为线段OB 上的一个动点，过点M 作PM x ⊥轴，交抛物线于点P ，交BC 于点Q ．（1）求抛物线的表达式；（2）过点P 作PN BC ⊥，垂足为点N ．求线段PN 的最大值．（3）试探究点M 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以,,A C Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标：若不存在，请说明理由．12．如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝－1，且抛物线经过A （1，0），C （0，3）两点，与x 轴交于点B ．（1）求抛物线的解析式（2）若直线y ＝mx ＋n 经过B 、C 两点，求直线BC 的解析式；（3）在抛物线的对称轴x ＝－1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标及此时距离之和的最小值13．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2－2ax －1（a ＜0）．（1）抛物线的对称轴为，抛物线与y 轴的交点坐标为；（2）试说明直线y ＝x －2与抛物线y ＝ax 2－2ax －1（a ＜0）一定存在两个交点；（3）若当－2≤x ≤2时，y 的最大值是1，求当-2≤x ≤2时，y 的最小值是多少？14．如图，抛物线2y ax bx =+经过点()3,33A -、()12,0B ．（1）求抛物线的解析式；（2）试判断OAB 的形状；（3）曲线AB 为抛物线上点A 到点B 的曲线，在曲线AB 上是否存在点P 使得四边形OAPB 的面积最大，若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx ﹣6的图象交坐标轴于A （﹣2，0），B （3，0）两点，抛物线与y 轴相交于点C ，抛物线上有一动点P 在直线BC 下方．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P ，使△POC 是以OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出P 点坐标；（3）动点P 运动到什么位置时，△PBC 面积最大．求出此时P 点坐标和△PBC 的最大面积．16．已知抛物线y ＝x 2﹣bx +c （b ，c 为常数）的顶点坐标为（2，﹣1）．（1）求该抛物线的解析式；（2）点M （t ﹣1，y 1），N （t ，y 2）在该抛物线上，当t ＜1时，比较y 1与y 2的大小；（3）若点P （m ，n ）在该抛物线上，求m ﹣n 的最大值． 17．如图1，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点(2,0)A -、(6,0)B ．（1）求抛物线的函数关系式．（2）如图1，点C 是抛物线在第四象限内图像上的一点，过点C 作CP y ⊥轴，P 为垂足，求CP OP +的最大值；（3）如图2，设抛物线的顶点为点D ，点N 的坐标为()2,16--，问在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使线段MN 绕点M 顺时针旋转90︒得到线段MN '，且点N '恰好落在抛物线上？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，已知抛物线2y ax bx c =++()0a ≠与x 轴交于点1,0A 和点()3,0B -，与y 轴交于点C ，且OC OB =．（1）求点C 的坐标和此抛物线的解析式；（2）若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE ，CE ，BC ，求BCE 面积的最大值；（3）点P 在抛物线的对称轴上，若线段PA 绕点P 逆时针旋转90°后，点A 的对应点A '．恰好也落在此抛物线上，求点P 的坐标．19．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ()0,3-，A 点的坐标为(-1，0)．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P 是抛物线在第四象限上的一个动点，当四边形ABPC 的面积最大时，求点P 的坐标，并求出四边形ABPC 的最大面积；（3）若Q 为抛物线对称轴上一动点，当Q 在什么位置时QA+QC 最小，求出Q 点的坐标，并求出此时△QAC 的周长．20．函数学习中，自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一，请解决下面的问题．（1）分别求出当24x ≤≤时，两个函数：()221,211y x y x =+=-+的最大值和最小值；（2）若2y x=的值不大于2，求符合条件的x 的范围；（3）若(0)ky k x=≠，当()20t x x ≤≤≠时既无最大值，又无最小值，求a 的取值范围．参考答案：1．(1)2=23y x x --(2)函数的最大值为5，最小值为4- (3)存在，(0,9)P -或9(0,)5P -【分析】（1）先求出点C 的坐标，得到点B 的坐标，再将点A 、B 的坐标代入解析式计算即可；（2）将函数解析式化为顶点式，根据函数的性质解答即可；（3）存在点P ，设()0,P m ，根据相似三角形对应边成比例列得PC CC PO OB'=，代入数值求出m 即可．【解析】（1）二次函数23y ax bx =+-的图象与y 轴交于C 点，()0,3C ∴-．OB OC =，点A 在点B 的左边，()3,0B ∴．又点A 的坐标为()1,0-，由题意可得：093303a b a b =+-⎧⎨=--⎩，解得：12a b =⎧⎨=-⎩．∴二次函数的解析式为2=23y x x --．（2）()22=2314y x x x ---=-，二次函数顶点坐标为()1,4-，∴当1x =时，4y =-最小值，当01x ≤≤时，y 随着x 的增大而减小， ∴当0x =时，3y =-最大值，当14x <≤时，y 随着x 的增大而增大， ∴当4x =时，5y =最大值．∴当04x ≤≤时，函数的最大值为5，最小值为4-．（3）存在点P ，如图，设()0,P m ，CC OB '∥，且PC 与PO 是相似三角形的对应边，PC CC PO OB ∴'=，即：()323m m --=，解得：9m =-或95m =-，()0,9P ∴-或90,5P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点评】此题考查了二次函数与图形问题，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称性，相似三角形的性质，二次函数的最值，正确掌握二次函数的综合知识是解题的关键． 2．(1)4(2)当32t =-时，233PE PF +1733232P ⎛- ⎝⎭； (3)(1,3N --，113⎛- ⎝⎭和3731,⎛- ⎝⎭【分析】（1）令232330，求解即可；（2）求直线,AC BD 的解析式，设点232,33P t ⎛ ⎝，则33Q t ⎛ ⎝，33F t ⎛ ⎝⎭，利用30QFC ∠=︒，将所求转化为23333PE PF PQ PF +=+，再求解即可；（3）推出平移后的解析式，设234383,M m ⎛ ⎝⎭，()2,N n -，分三种情况讨论；再利用平行四边形的性质结合中点坐标求解即可．【解析】（1）令232330，解得1x =或3x =-， ∴()()3,0,1,0A B -，4AB ∴=；（2）232333y x x =-(3C ∴，设直线AC 的解析式为y kx b =+，303k b b -+=⎧⎪∴⎨=⎪⎩，解得33k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC 的解析式为y x =(),1,0AC BD B ∥，∴直线BD 的解析式为y x =设点2,P t ⎛ ⎝+，则Q t ⎛+ ⎝，F t ⎛ ⎝⎭， ∵点P 为直线AC 上方抛物线上一动点，22PQ ∴==，22P F ==∵3,OA OC ==30CAO ∴∠=︒，,PE AC PF OA ⊥⊥， 30QFC ∴∠=︒，PE ∴=，∴222333332PF PQ PF t ⎛⎫+=+==-+ ⎪⎭⎝⎭∴当32t =-时，3PF +32P ⎛- ⎝⎭；（3）)22313y x =-+ ∴抛物线对称轴为直线=1x -，∵抛物线2y =3个单位得到新抛物线y '，∴新抛物线y '的解析式为)22y x =-+'，∴2,M m ⎛ ⎝⎭，()1,N n -，①当AB 为平行四边形的对角线时，2311,0m n -=-+=，∴1,m n =-=∴((1,N M --，；②当AM 为平行四边形的对角线时，234383311,m n -=+-= ∴1133,m n ==∴113113N M ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，； ③当AN 为平行四边形的对角线时，24311,3383n m -+-=+=， ∴3735,m n =-= ∴3733735,1,M N ⎛⎛-- ⎝⎭⎝⎭，；综上，N 点坐标分别为(1,3N -，113⎛- ⎝⎭和3731,⎛- ⎝⎭．【点评】本题考查了为此函数的图象和性质，直角三角形的性质，平行四边形的性质，熟练掌握知识并能够运用分类讨论的思想是解题的关键． 3．(1)1 (2)21 (3)1312-【分析】（1）根据对称轴公式求出b ，再有二次函数2y x bx c =+-的图象经过点(3,0)，代入求出c ，计算即可；（2）根据二次函数的增减性可知，当x =-4时，y 值最大，代入求解即可；（3）因为平移抛物线2=23y x x --，其顶点始终在二次函数221y x x =--上，故设顶点坐标为()2,21h h h --，可得平移后的解析式为22()21y x h h h =-+--，可求平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标为231=--w h h ，根据二次函数求最值的方法求解即可． (1)解：由题意可知12bx =-=，∴2b =-．将(3,0)代入22y x x c =--，得3c =， ∴1b c +=． (2)解：由（1）得2223(1)4y x x x =--=--，∴当1x <时，y 随x 增大而减小，当1x >时，y 随x 增大而增大．∵1(4)31-->-，∴当4x =-时，y 取最大值21． (3)解：∵平移抛物线2=23y x x --，其顶点始终在二次函数221y x x =--上，∴设顶点坐标为()2,21h h h --，故平移后的解析式为22()21y x h h h =-+--，∴22222221231y x hx h h h x hx h h =-++--=-+--．设平移后所得抛物线与y 轴交点的纵坐标为w ，则22113313612w h h h ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，∴当16h =时，平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最小值为1312-．【点评】本题考查了二次函数的性质，和最值，平移规律，熟练掌握二次函数的性质和平移规律是解题的关键．4．（1）1，0x =；（2）11m =，21m =-；（3）当1n =-时，m n +有最小值为-2．【分析】(1)求方程2(x -1)-4=0的根，代入（x -1）(x -2)=m +1中，确定m 的值；解（x -1）(x -2)=m +1，得到另一个根；（2）求方程2(x -m )-4=0的根，代入（x -1）(x -2)=m +1中，确定m 的值；（3）求方程()240x n --=的根，代入（x -1）(x -2)=m +1中，用含n 的代数式表示m ，构造m +n 与n 的二次函数，利用二次函数的性质确定最值. 【解析】（1）∵2(x -1)-4=0， ∴x =3，∴（3-1）(3-2)=m +1，解得m =1， ∴（x -1）(x -2)=2， ∴2x -3x =0， ∴123,0x x ==，故答案为：1，0x =．（2）由()240x m --=，得 2x m =+．则()()21221m m m +-+-=+ ∴21m m m +=+， ∴21m =，∴11m =，21m =-．（3）由()240x n --=，得2x n =+．则()()21221n n m +-+-=+．即21m n n =+-．∴()222112m n n n n +=+-=+-； ∴当1n =-时，m n +有最小值-2．【点评】本题考查了一元一次方程，一元二次方程，二次函数的最值，熟练掌握方程的解法，二次函数的最值是解题的关键．5．(1) 223y x x =-++；(2) P 点坐标为(1,2)，BCP ∆1032(3) Q 点坐标存在，为(2，2)或(417或(4，17-或(2-，314或(2-，314【分析】(1)将()3,0A ，()1,0B -代入即可求解；(2)连接BP 、CP 、AP ，由二次函数对称性可知，BP=AP ，得到BP +CP =AP +CP ，当C 、P 、A 三点共线时，△PBC 的周长最小，由此求出AC 解析式，将P 点横坐标代入解析式中即可求解；(3)设P 点坐标为(1，t )，Q 点坐标为(m ，n )，按AC 为对角线，AP 为对角线，AQ 为对角线分三种情况讨论即可求解．【解析】解：(1)将()3,0A ，()1,0B -代入二次函数表达式中，∴093303a b a b =++⎧⎨=-+⎩ ，解得12a b =-⎧⎨=⎩，∴二次函数的表达式为：223y x x =-++； (2)连接BP 、CP 、AP ，如下图所示：由二次函数对称性可知，BP=AP ， ∴BP +CP =AP +CP ， BCPC BP CP BCPA CP BCBC 为定直线，当C 、P 、A 三点共线时，PA CP 有最小值为AC ，此时BCP ∆的周长也最小，设直线AC 的解析式为：y kx m =+，代入()3,0,(0,3)A C ，∴0=330k m m +⎧⎨=+⎩，解得13k m =-⎧⎨=⎩，∴直线AC 的解析式为：3y x =-+，二次函数的对称轴为12bx a=-=，代入3y x =-+，得到2y =， ∴P 点坐标为(1,2)，此时BCP ∆的周长最小值=222213331032BC AC；(3)()3,0,(0,3)A C 设P 点坐标为(1，t )，Q 点坐标为(m ，n )，分类讨论：情况一：AC 为菱形对角线时，另一对角线为PQ ，此时由菱形对角互相平分知：AC 的中点也必定是PQ 的中点，由菱形对角线互相垂直知：1AC PQk k ，∴30103111m t n n t m ⎧⎪+=+⎪+=+⎨⎪-⎪-⋅=--⎩，解得221m n t =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴P 点坐标为(1，1)，对应的Q 点坐标为(2，2)；情况二：AP 为菱形对角线时，另一对角线为CQ ，同理有：310030312m t n t n m ⎧⎪+=+⎪+=+⎨⎪--⎪⋅=--⎩，解得43m n t=⎧⎪⎨⎪=⎩或43m n t =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴P 点坐标为(1，3)或(1，3，对应的Q 点坐标为(4或(4，)；情况三：AQ 为菱形对角线时，另一对角线为CP ，()3,0,(0,3)A C 设P 点坐标为(1，t )，Q 点坐标为(m ，n )，同理有：3010303131m n t n t m ⎧⎪+=+⎪+=+⎨⎪--⎪⋅=--⎩，解得23m n t =-⎧⎪=⎨⎪=⎩23m n t =-⎧⎪=⎨⎪=⎩ ∴P 点坐标为(1或(1，，对应的Q 点坐标为(-2，3或(-2，3；纵上所示，Q 点坐标存在，为(2，2)或(4或(4，或(2-，3或(2-，3．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数对称性求线段最值问题及菱形的存在性问题，本题第三问难度大一些，熟练掌握各图形的性质是解决本题的关键． 6．（1）①234y x x =--；②自变量x 的取值范围为12x >-；（2）a 1401-+25541-- 【分析】（1）①二次函数y ＝ax 2+bx +c 的顶点为（32，﹣254），可确定二次函数的对称轴为32x =，利用对称轴求出抛物线与x 轴的交点A （-1，0），B （4，0），利用待定系数法可求抛物线解析式；②设自变量x 的值增加4时,的函数为y 1，求出新增函数21=5y x x +，利用1y y >两函数作差840x +>解不等式即可；（2）设二次函数的解析式为232524y a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由-1≤x ≤132<，0a >或a<0分两种情况利用函数的增减性构造关于a 的一元二次方程，求出a 的值即可．【解析】解：（1）①二次函数y ＝ax 2+bx +c 的顶点为（32，﹣254），∴二次函数的对称轴为32x =， ∵与x 轴交于点A ，B ，AB ＝5， ∴A 、B 两点关于对称轴为32x =对称，35122-=-，35+422=， ∴A （-1，0），B （4，0），设解析式为()()14y a x x =+-，∵()()14y a x x =+-过顶点（32，﹣254），∴253314422a ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得=1a ，∴二次函数解析式为：2=34y x x --， ②设自变量x 的值增加4时,的函数为y 1， ∴()()221=+43+44=5y x x x x --+， ∵1y y >，∴()22534840x x x x x +---=+>，解得12x >-；（2）设二次函数的解析式为232524y a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当-1≤x ≤132<，当0a >，二次函数开口向上，在二次函数对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小， ∴当x =1时函数取最小值﹣a 2，∴22325124a a ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，整理得24+250a a -=，解得a =0a =<（舍去），当a<0，二次函数开口向下，在二次函数对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大， ∴当x =-1时函数取最小值﹣a 2，∴22325124a a ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭，整理得24+25250a a -=，解得a =或0a =>（舍去）．【点评】本题考查待定系数法求抛物线解析式，利用自变量增大函数值增大构造不等式，利用函数的增减性取最小值构造关于a 的一元二次方程，掌握待定系数法求抛物线解析式，会列不等式与解不等式，利用函数的增减性取最小值构造关于a 的一元二次方程和解方程是解题关键．7．（1）1k =，1b =；（2）p 最大值为1；（3）30c -<≤或1c =【分析】（1）将（2，3）和1,2n ⎛⎫⎪⎝⎭分别代入直线表达式中可求得k 和n 值，再根据抛物线的对称轴公式求解b 值即可；（2）抛物线的对称轴为直线x =﹣12和2139x x ≤-<得出211x x =--及152x -<≤-，则()22221211331p x x x x =-=---2133222x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，根据二次函数的最值方法求解即可；（3）联立方程组可得x 2=1﹣c ，对c 讨论，结合方程根取值范围进行求解即可．【解析】解：（1）把()2,3代入1y kx =+得：213k +=，则1k =，∴点1,2n ⎛⎫⎪⎝⎭在直线1y x =+上，∴12n =-，∴抛物线的对称轴122b x =-=-，∴1b =；（2）由（1）知1b =，则2y x x c =++，∵抛物线2y x x c =++与x 轴交点的横坐标为1x ，2x 且213x x -≥ ∴2112x x >-> ∴211122x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即121x x +=-． ∴211x x =--．∴()22221211331p x x x x =-=---2133222x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∵2139x x ≤-<，∴()11319x x ≤---< ∴152x -<≤-∵20-<且对称轴为直线32x =-∴当152x -<≤-时，p 随1x 的增大而增大， ∴当12x =-时，p 取最大值且最大值为1；（3）由（1）知，直线的表达式为1y x =+，抛物线表达式为2y x x c =++，联立方程组21y x y x x c =+⎧⎨=++⎩得：x 2=1﹣c ，当c ＞1时，该方程无解，不满足题意；当c =1时，方程的解为x =0满足题意；当c ＜1时，方程的解为x =±1c -当1c -2即30c -<≤时，满足12x -<<时，抛物线2y x bx c =++与直线1y kx =+有且只有一个公共点，综上，满足题意的c 的取值范围为30c -<≤或1c =．【点评】本题考查二次函数与一次函数的综合，涉及待定系数法求函数表达式、二次函数的图象与性质、求二次函数的最值问题、两个函数图象的交点问题、解一元二次方程、解一元一次不等式组等知识，解答的关键是认真分析题意，找寻知识之间的关联点，利用待定系数法、分类讨论和数形结合思想进行推理、探究和计算． 8．（1）()3,3-；（2）1；（3）4044个【分析】（1）先求出点B 坐标，B 的纵坐标减去A 的纵坐标等于12求出m 值，再求出抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性和两点之间线段最短知，当B 、P 、D 三点共线时OBP 周长最短，此时点P 为直线a 与对称轴的交点，进而求解即可；（2）先求出抛物线的顶点C 坐标2,24m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由C 与l 的距离221()(2)1144m m m =---=--+≤即可求出最大值；（3）先求出抛物线与直线a 的交点的横坐标，根据每一个整数x 的值都对应的一个整数y 值，结合边界由线段和抛物线组成求解即可．【解析】解：（1）当0x =时，y x m m =+=， (0,)B m ∴，12AB =，而(0,)A m -，()12m m ∴--=，6m ∴=，∴抛物线L 的解析式为：26y x x =+，L ∴的对称轴3x =-，又知O 、D 两点关于对称轴对称，则OP DP =OB OP PB OB DP PB ∴++=++∴当B 、P 、D 三点共线时OBP 周长最短，此时点P 为直线a 与对称轴的交点，当3x =-时，63y x =+=， (3,3)P ∴-；（2）2224m m y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，L ∴的顶点2,24m m C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 在l 上方，C ∴与l 的距离221()(2)1144m m m =---=--+≤，∴点C 与l 距离的最大值为1；（3）当2021m =时，抛物线解析式2:2021L y x x =+ 直线解析式:2021a y x =+联立上述两个解析式220212021y x xy x ⎧=+⎨=+⎩可得：12021x =-，21x =∴可知每一个整数x 的值都对应的一个整数y 值，且-2021和1之间（包括-2021和1）共有2023个整数；∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线， ∴线段和抛物线上各有2023个整数点， ∴总计4046个点∵这两段图象交点有2个点重复， ∴“整点”的个数：404624044-=（个）；故2021m =时“整点”的个数为4044个．【点评】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、图形与坐标、最短路径问题、二次函数的最值、两函数图象的交点问题、解二元一次方程组等问题，综合性强，难度适中，解答的关键是读懂题意，找寻相关知识的关联点，利用数形结合思想解决问题． 9．（1）2712y x x =--；（2）t =2时，△PDE 2458，点P的坐标为（2，﹣4）；（3）满足条件的点M 的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12），过程见解析【分析】（1）利用待定系数法求函数表达式即可；（2）先求出直线AB 的函数表达式和点C 坐标，设P 27,12t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，其中0<t <4，则E22727,12t t t t ⎛⎫---⎪⎝⎭，证明△PDE ∽△AOC ，根据周长之比等于相似比可得())22355651024522828l t t ++⎡⎤=--+=-⎣⎦，根据二次函数求最值的方法求解即可；（3）分以下情况①若AB 是平行四边形的对角线；②若AB 是平行四边形的边，1）当 MN ∥AB 时；2）当 NM ∥AB 时，利用平行四边形的性质分别进行求解即可．【解析】解（1）∵抛物线2y x bx c =++经过点A （0，﹣1），点B （4，1），∴11641c b c =-⎧⎨++=⎩，解得721b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， ∴该抛物线的函数表达式为2712y x x =--；（2）∵A （0，-1），B （4，1）， ∴直线AB 的函数表达式为112y x =-， ∴C （2，0），设P 27,12t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，其中0<t <4，∵点E 在直线112y x =-上，PE ∥x 轴， ∴E 22727,12t t t t ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，∠OCA =∠DEP ，∴PE =()2228228t t t -+=--+， ∵PD ⊥AB ， ∴∠EDP =∠COA ， ∴△PDE ∽△AOC ， ∵AO =1，OC =2， ∴AC∴△AOC 的周长为令△PDE 的周长为lACPE=，∴())2222828l t t ⎡⎤=--+=-⎣⎦， ∴当t =2时，△PDE8，此时点P 的坐标为（2，﹣4），（3）如图所示，满足条件的点M 的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12）．由题意可知，平移后抛物线的函数表达式为24y x x =-，对称轴为直线2x =． ①若AB 是平行四边形的对角线，当MN 与AB 互相平分时，四边形ANBM 是平行四边形，即MN 经过AB 的中点C （2，0），∵点N 的横坐标为2，∴点M 的横坐标为2，∴点M 的坐标为（2，-4）；②若AB 是平行四边形的边，1）MN ∥AB 时，四边形ABNM 是平行四边形，∵A （0，-1），B （4，1），点N 的横坐标为2，∴点M 的横坐标为2﹣4=﹣2，∴点M 的坐标为（﹣2，12）；2）当 NM ∥AB 时，四边形ABMN 是平行四边形，∵A （0，-1），B （4，1），点N 的横坐标为2，∴点M 的横坐标为2+4=6，∴点M 的坐标为（6，12），综上，满足条件的点M 的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12）．【点评】本题考查待定系数法求函数的表达式、相似三角形的判定与性质、求二次函数的最值、平行四边形的性质等知识，解答的关键是熟练掌握二次函数的性质，运用平行四边形的性质，结合数形结合和分类讨论的思想方法进行探究、推导和计算．10．（1）21722y x x =-++；（2）352（3）存在，点Q 的坐标为(10,23Q 、(20,23Q 【分析】（1）先将点B 的坐标为(4,)m 代入代入直线解析式中，求得点B 的坐标，再利用,A B 坐标，待定系数法求二次函数解析式；（2）设217,22D m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则7,2E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()21222DE m =--+，当2m =时，DE 有最大值为2，此时72,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，作点A 关于对称轴的对称点A '，连接A D '，与对称轴交于点P ，PD PA PD PA A D ''+=+=此时PD PA +最小，勾股定理即可求得；（3）作AH y ⊥轴于点H ，连接AM 、AQ 、MQ 、HA 、HQ ，由45AQM ∠=︒可知12AQM AHM ∠=∠，继而可得：2QH HA HM ===，设(0,)Q t ，勾股定理即可求得点Q 的坐标【解析】解：（1）将点B 的坐标为(4,)m 代入72y x =-+， 71422m =-+=-， ∴B 的坐标为14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，将(3,2)A ，14,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入 212y x bx c =-++， 2213322114422b c b c ⎧-⨯++=⎪⎪⎨⎪-⨯++=-⎪⎩ 解得1b =，72c =， ∴抛物线的解析式21722y x x =-++；（2）设217,22D m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则7,2E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 222177112(2)222222DE m m m m m π⎛⎫⎛⎫=-++--+=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴当2m =时，DE 有最大值为2 此时72,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，作点A 关于对称轴的对称点A '，连接A D '，与对称轴交于点P ．PD PA PD PA A D ''+=+=，此时PD PA +最小，∵(3,2)A ，∴(1,2)A '-，2273(12)2522A D ⎛⎫'=--+- ⎪⎝⎭ 即PD PA +352（3）作AH y ⊥轴于点H ，连接AM 、AQ 、MQ 、HA 、HQ ，∵抛物线的解析式21722y x x =-++， ∴(1,4)M ，∵(3,2)A ，∴2AH MH ==，(1,2)H∵45AQM ∠=︒，90AHM ∠=︒， ∴12AQM AHM ∠=∠，可知AQM 外接圆的圆心为H ，∴2QH HA HM ===设(0,)Q t2，2t =2∴符合题意的点Q的坐标：(10,2Q、(20,2Q ．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像与性质，勾股定理，将军饮马求线段和的最小值，三角形的外心，圆周角定理，正确作出图形是解题的关键．11．（1）211433y x x =-++；（2）3；（3）存在，点Q 的坐标为(1,3)或⎝⎭ 【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入解析式中求解即可；（2）由抛物线的表达式211433y x x =-++求出y 轴交点C 的坐标，利用待定系数法求得直线BC 的解析式，然后用m 表示出PQ ，利用三角函数求出PN =PQ cos45°，再利用二次函数的性质即可求解；（3）分三种情况：①当AC CQ =时，过点Q 作QE y ⊥轴于点E ．则222CQ CE EQ =+，即[]224(4)25m m +--+=；②当AC AQ =时，连结AQ ，则5AQ AC ==，在Rt AMQ △中，由勾股定理得：AQ 2=AM 2+QM 2=AC 2，即22[(3)](4)25m m --+-+=；③当CQ AQ =时，则EC 2+EQ 2=AM 2+QM 2,即()[]2222(3)(+44)4m m m m =--+--+⎡⎤+⎦-⎣，分别求解即可．【解析】解：（1）∵抛物线24y ax bx =++交x 轴于3,0,()(,0)4A B -两点，∴将点A B 、的坐标代入抛物线表达934016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得1313a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的表达式为：211433y x x =-++；（2）∵抛物线的表达式211433y x x =-++，当x=0时，y=4，∴点(0,4)C ，设直线BC 的表达式为：y kx b =+；把点B C 、的坐标代入解析式得：404k b b +=⎧⎨=⎩，解得：14k b =-⎧⎨=⎩，直线BC 的表达式为：4y x =-+；设点(,0)M m ，则点211,433P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，点4(),Q m m -+， 221114443333PQ m m m m m ∴=-+++-=-+， OB OC =，∴45ABC OCB ∠=∠=︒，∵PM ⊥x 轴，∴∠MQB =90°-∠CBO =90°-45°=45°，∴∠PQN =∠MQB =45°，∵PN ⊥BC ，∴45NPQ NQP ∠=∠=︒，22214222sin 452)33PN PQ m m m ⎫∴=︒=-+=-⎪⎝⎭， 206-<，开口向下，PN 有最大值，当2m =时，PN 22 （3）存在，理由：点A C 、的坐标分别为(3,0),(0,4)-，在△OAC 中由勾股定理有()2222-34AC OA OC +=+①当AC CQ =时，过点Q 作QE y ⊥轴于点E ．则222CQ CE EQ =+，∴222=CE EQ AC +即()224425m m ⎡⎤⎣-⎦+-+=，解得：52m =（舍去负值），∴点Q ⎝⎭；②当AC AQ =时，连结AQ ，则5AQ AC ==，在Rt AMQ △中，由勾股定理得：AQ 2=AM 2+QM 2=AC 2即[]22(3)(4)25m m --+-+=，解得：1m =或0（舍去0），∴点()1,3Q ；③当CQ AQ =时，则EC 2+EQ 2=AM 2+QM 2,即()[]2222(3)(+44)4m m m m =--+--+⎡⎤+⎦-⎣，解得：2542m =>（舍去）；综上，点Q 的坐标为(1,3)或822⎛- ⎝⎭．．【点评】本题考查待定系数法求抛物线解析式和直线解析式，两点距离公式，锐角三角函数，分类探究等腰三角形．勾股定理，掌握待定系数法求抛物线解析式和直线解析式，两点距离公式，锐角三角函数，分类探究等腰三角形．勾股定理，利用勾股定理构造方程是解题关键．12．（1）223y x x =--+；（2）y =x +3；（3）M （-1，2），【分析】（1）根据抛物线的对称轴可得12b a-=-，然后代入A （1,0），C （0，3）代入抛物线解析式03a b c c ++=⎧⎨=⎩解方程组即可；（2）利用（1）的函数解析式令y =0，解方程即可求出点B 坐标，再根据B 、C 坐标利用待定系数法求直线BC 的解析式即可；（3）由点A 与点B 是关于对称轴直线=1x -的对称点，直线BC 与对称轴直线=1x -的交点就是D （-1，2），由点M 在对称轴上，可得AM =BM ，由点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，点B ，点M ，点C 三点共线时最短，即点M 与点D 重合时，距离之和的最小值就是可得CM +AM =BC 的长，在Rt △BOC 中，由勾股定理得BC =32【解析】解：（1）依题意得:1203b a a b c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴223y x x =--+；（2）当y=0时2x 2x 30--+=解得123,1x x =-=∴点B （-3，0）由直线BC 的解析式为：y ＝mx+n ，代入B （﹣3，0），C （0，3）得：303m n n -+=⎧⎨=⎩，解得：13m n =⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为：y ＝x +3；（3）∵点A 与点B 是关于对称轴直线=1x -的对称点，∴直线BC 与对称轴直线=1x -的交点就是D 点，∴当=1x -时3y x =-1+3=2，∴D （-1，2），∵点M 在对称轴上，∴AM =BM ，点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，∴点B ，点M ，点C 三点共线时最短，即点M 与点D 重合时，点M （-1，2），∴距离之和的最小值就是CM +AM =CM+BM ＝ BC 的长，在Rt △BOC 中，由勾股定理得BC∴距离之和的最小值就是【点评】本题考查的是二次函数的综合运用，待定系数法求函数解析式，一次函数解析式，利用轴对称求最短路径以及M 坐标是解题关键．13．（1）直线x ＝1，（0，－1）；（2）见解析；（3）17-．【分析】（1）将抛物线解析式转化为顶点式解析式，得到对称轴，当0x =时，可解得抛物线与y 轴的交点坐标；（2）将y ＝x －2代入二次函数解析式，得到关于x 的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式解题即可；（3）将抛物线解析式转化为顶点式，得到对称轴为直线x ＝1，根据抛物线的图象与性质解题即可．【解析】解：（1）抛物线y ＝ax 2－2ax －12(1)1a x a =--- ，∴抛物线的对称轴为直线1x =，抛物线y ＝ax 2－2ax －1中，当0x =时，1y =-，∴抛物线与y 轴的交点坐标为：(0,1)-故答案为：直线x ＝1，(0,1)-；（2）将y ＝x －2代入二次函数解析式，得x －2 ＝ ax 2－2ax －1，则原方程可化为 ax 2－（2a ＋1）x ＋1＝0，由根的判别式可得2-4b ac ＝()222214441441a a a a a a ⎡⎤-+-=++-=+⎣⎦2410a +>0∴∆>∴直线y ＝x －2与抛物线y ＝ax 2－2ax －1（a ＜ 0）一定存在两个交点；（3）∵抛物线的开口向下，对称轴直线为x ＝1，顶点坐标为(1,1)a --，∴当－2≤x ≤2时，∵y 的最大值是1，∴顶点坐标为（1， 1），11a ∴--=2a ∴=-∴当x ＜ 1时，y 随x 的增大而增大，当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，∵2x =-比2x =离对称轴1x =更远一些，即x ＝－2时，y 有最小值，∴最小值是22(2)2(2)(2)117y =-⨯--⨯-⨯--=-，即y 的最小值是 17-.【点评】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数与二次函数的交点问题，涉及二次函数的最值等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键.14．（1）2343y x =；（2）直角三角形；（3）存在，点P 坐标为：151353,2⎛ ⎝⎭．【分析】（1）把(3,33A -、(12,0)B 代入2y ax bx =+，利用待定系数法解题；（2）利用勾股定理的逆定理解题；（3）连接AB ，利用待定系数法解得直线AB 的解析式为：33y =-2343P x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，交AB 于点343N x x ⎛- ⎝，由三角形面积公式，结合二次函数的最值问题解题即可．【解析】解：（1）把(3,33A -、(12,0)B 代入2y ax bx =+，得9333144120a b a b ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩①②， ①4⨯-②得，1083a -=-3a ∴= 把3a =①得 43b =343a b ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩∴抛物线的解析式为：2343y x =；（2）(0,0)O，(3,A -、(12,0)B(222336OA ∴=+=∣(222(123)108AB =-+=2212144OB ==22236108144OA AB OB +=+==OAB ∴△为直角三角形；（3）存在，连接AB ，OAB APB OAPB S S S =+△△四边形而OAB S 已确定，要使四边形OAPB S 面积最大，只需要APB S 最大即可，设直线AB 的解析式为(0)y kx b k =+≠，把点(3,A -、(12,0)B代入，得：3120k b k b ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩解得：k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴直线AB的解析式为：y x =-设2P x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，交AB 于点N ，于是N x ⎛- ⎝，则2119922APB APB S PN S x x ⎡⎤⎫=⋅⋅==--⨯⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎝⎝⎭⎣⎦△△2x =-当152x ==⎝⎭时，APB S 最大．2x x = ∴符合条件的点P坐标为：15,2⎛ ⎝⎭．【点评】本题考查二次函数与一次函数的综合题，涉及勾股定理逆定理、待定系数法求一次。

2020 中考数学含参二次函数最值讨论

使用日期：2020年月日2020 中考数学培优压轴题训练【含参二次函数最值讨论问题】模型分析：【1】具体例子：已知二次函数y=-x2+4x+6．（1）当x为何值时，y有最值？是多少？（2）当一2≤x≤1时，求函数的最值．（3）当x≥4时．求函数的最值；（4）当0≤x≤5时，求函数的最值.【2】讨论：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当m≤x≤n时，求其最值.（一）当a＞0（a＜0）时，求最小（大）值.（二）当a＞0（a＜0）时，求最大（小）值.例1例2 （2018•黄冈）当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，则a的值为（）A．-1 B．2 C．0或2 D．-1或2例3（2018•潍坊）已知二次函数y=-（x-h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为-1，则h的值为（）A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6例5（2019秋•昌江区校级期末）已知函数y=（m+2）x2+kx+n．（1）若此函数为一次函数；①m，k，n的取值范围；②当-2≤x≤1时，0≤y≤3，求此函数关系式；③当-2≤x≤3时，求此函数的最大值和最小值（用含k，n的代数式表示）；（2）若m=-1，n=2，当-2≤x≤2时，此函数有最小值-4，求实数k的值.例6 （2020 白云广雅九下月考）如图①,将抛物线y=ax2(−1<a<0)平移到顶点恰好落在直线y=x−3上，设此时抛物线顶点的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式(用含a、m的代数式表示)(2)如图②，Rt△ABC与抛物线交于A、D、 C三点，∠B=90∘,AB∥x轴，AD=2，BD:BC=1:2 .①求△ADC的面积(用含a的代数式表示)②若△ADC的面积为1，当2m−1⩽x⩽2m+1时，y的最大值为−3，求m的值。

使用日期：2020年月日 2020 中考数学培优压轴题训练例7 （2020 七中九下月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线C ：()0122≠-+=a x ax y 和直线b kx y l +=:，点A （-3，-3），B （1，-1）均在直线l 上.（1）若抛物线C 与直线l 有交点，求a 的值；（2）当a=-1时，二次函数()0122≠-+=a x ax y 的自变量x 满足m ≤x ≤m+2时，函数y 的最大值为-4，求m 的值；（3）若抛物线C 与线段AB 有两个交点，请直接写出a 的取值范围.例8 （2019 广州二中九上月考）已知抛物线y=x 2+(2m-1)x-2m(2321≤≤-m )，直线l 的解析式为 y=（k-1）x+2m-k+2.（1）若抛物线与y 轴交点的纵坐标为-3，试求抛物线的顶点坐标；（2）试证明：抛物线与直线l 必有两个交点；（3）若抛物线经过点（x 0，-4），且对于任意实数x ，不等式x 2+（2m-1）x-2m≥-4都成立；当k≤x≤k +4时，抛物线的最小值为2k+1．求直线l 的解析式．【巩固练习】1．（2017•乐山）已知二次函数y=x2-2mx（m为常数），当-1≤x≤2时，函数值y的最小值为-2，则m 的值是 .2．（2017秋•余杭区期末）已知二次函数y=x2+2bx+c（1）若b=c，是否存在实数x，使得相应的y的值为1？请说明理由；（2）若b=c-2，y在-2≤x≤2上的最小值是-3，求b的值。

2020中考数学复习分类汇编专题3：二次函数与线段及其最值问题(含答案)

专题：二次函数中的线段问题(含最值问题)1. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A ，B (1，0)，与y 轴交于点C ，直线y ＝ x －2经过点A 、C .抛物线的顶点为D ，对称轴为直线l .(1) 求抛物线的表达式、顶点D 的坐标及对称轴l ； (2) 设点E 为x 轴上一点，且AE ＝CE ，求点E 的坐标；(3) 设点G 是y 轴上一点，是否存在点G ，使得GD ＋GB 的值最小，若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由；(4) 在直线l 上是否存在一点F ，使得△BCF 的周长最小，若存在，求出点F 的坐标及△BCF 周长的最小值；若不存在，请说明理由；(5) 点S 为y 轴上任意一点，K 为直线AC 上一点，连接BS ，BK ，是否存在点S ，K 使得△BSK 的周长最小，若存在，求出S ，K 的坐标，并求出△BSK 周长的最小值；若不存在，请说明理由；(6) 在y 轴上是否存在一点S ，使得SD －SB 的值最大，若存在，求出点S 的坐标；若不存在，请说明理由； (7) 若点H 是抛物线上位于AC 上方的一点，过点H 作y 轴的平行线，交AC 于点K ，设点H 的横坐标为h ，线段HK ＝d .①求d 关于h 的函数关系式； ②求d 的最大值及此时H 点的坐标．122. 如图，抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.点D（m，0）为线段OA上一个动点（与点A，O不重合），过点D作x轴的垂线与线段AC交于点P，与抛物线交于点Q，连接BP，与y轴交于点E.（1）求A，B，C三点的坐标；（2）当点D是OA的中点时，求线段PQ的长；（3）在点D运动的过程中，探究下列问题：①是否存在一点D，使得PQ＋22PC取得最大值？若存在，求此时m的值；若不存在，请说明理由；②连接CQ，当线段PE＝CQ时，直接写出m的值.3. 如图，直线y ＝－34x ＋1与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过点B ，且与直线AB 的另一交点为C （4，n ）.（1）求该抛物线的表达式及点C 的坐标；（2）设抛物线上的一个动点P 的横坐标为t （0＜t ＜4），过点P 作PD ⊥AB 交直线AB 于点D ，作PE ∥y 轴交直线AB 于点E .①求线段PD 的长的最大值； ②当t 为何值时，点D 为BE 的中点.4. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2经过A （－1，0），B （2，0），C 三点.直线y ＝mx ＋12交抛物线于A ，Q 两点，点P 是抛物线上直线AQ 上方的一个动点，过点P 作PF ⊥x 轴，垂足为点F ，交AQ 于点N .（1）求抛物线的表达式；（2）如图①，在点P 运动过程中，当PN ＝2NF 时，求点P 的坐标；（3）如图②，线段AC 的垂直平分线交x 轴于点E ，垂足为点D ，点M 为抛物线的顶点，在直线DE 上是否存在一点G ，使△CMG 的周长最小？若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案1. (1)解：对于直线y ＝21x －2，令y ＝0，得x ＝4，令x ＝0，得y ＝－2， ∴点A (4，0)，点C (0，－2)，抛物线的解析式为y = -21x 2+25x -2 ∴顶点D 的坐标为(25，98 )，对称轴l 为直线x ＝ 25（2）要求点E 的坐标，已知AE ＝CE ，设E 点坐标为(e ，0)，用含e 的式子分别表示出AE 和CE ，建立等量关系求解即可．点E 的坐标为( 23，0)（3）要使GD ＋GB 的值最小，一般是通过轴对称作出对称点来解决．解：存在．如解图②，要使GD ＋GB 的值最小，取点B 关于y 轴的对称点B ′，点B ′的坐标为(－1，0)．连接B ′D ，直线B ′D 与y 轴的交点G 即为所求的点，点G 的坐标为(0， 289)；（4）要使△BCF 周长最小，BC 长为定值，即要使CF ＋BF 的值最小．△BCF 周长的最小值为BC ＋AC ＝3 √5 ；（5）要求△BSK 周长的最小值，可分别作点B 关于y 轴和直线AC 的两个对称点B ′、B ″，连接B ′B ″与y 轴和直线AC 交点即为使得△BSK 的周长最小的点S 、K ，最小值即线段B ′B ″的长．存在点S (0，-43 )，点K (1， - 23 )使得△BSK 的周长最小，最小值为4；（6）当点S 在DB 的延长线上时，SD －SB 最大，最大值为BD ，即当点S 的坐标为(0，-43)时，SD －SB 的值最大；（7）平行于y 轴的直线上两点之间的距离为此两点的纵坐标之差的绝对值，如此问，由题可得点H 的横坐标为h ，①求出点H ，K 的纵坐标，再由点H 在点K 的上方，可得到d 关于h 的函数关系式；②利用二次函数的性质求最值，即可得d 的最大值及H 点的坐标．（1）d 关于h 的函数关系式为d ＝－21h 2＋2h ；（2）当h ＝2时，d 最大，最大值为2，此时点H 的坐标为(2，1)．参考答案2. 解：(1)在y ＝－x 2－2x ＋3中，令y ＝0，得－x 2－2x ＋3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1. ∵点A 在点B 的左侧， ∴A (－3，0)，B (1，0)．令x ＝0，得y ＝3， ∴点C 的坐标为(0，3)；(2)设直线AC 的表达式为y ＝kx ＋b .将A ，C 两点的坐标(－3，0)，(0，3)代入表达式，得⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋b ＝0，b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝3，∴直线AC 的表达式为y ＝x ＋3.(4分) ∵点D 是OA 的中点，∴OD ＝12OA ＝32，∴点D 的横坐标m ＝－32.∵PQ ⊥x 轴，∴把m ＝－32分别代入y ＝x ＋3和y ＝－x 2－2x ＋3，得P ，Q 两点的坐标分别为(－32，32)、(－32，154)，∵DQ ⊥OA ，∴PQ ＝DQ －DP ＝y Q －y P . ∴PQ ＝154－32＝94；(3)①存在点D ，使得PQ ＋22PC 取得最大值．理由：∵点D 的横坐标为m ，PQ ⊥x 轴，且点P ，Q 分别在直线AC 和抛物线上， ∴P ，Q 两点的坐标分别为(m ，m ＋3)，(m ，－m 2－2m ＋3)． ∵DQ ⊥OA ，∴PQ ＝DQ －DP ＝y Q －y P ，∴PQ ＝－m 2－2m ＋3－(m ＋3)＝－m 2－3m . 如解图，过点P 作PF ⊥y 轴于点F ，则PF ＝－m . 在Rt △AOC 中，OA ＝OC ＝3， ∴∠CAO ＝∠OCA ＝45°.∴sin ∠OCA ＝PF PC ＝22.∴PF ＝22PC ∴PQ ＋22PC ＝－m 2－3m －m ＝－m 2－4m ＝－(m ＋2)2＋4， ∵PQ ＋22PC 是m 的二次函数，其中a ＝－1＜0，而－3＜m ＜0. ∴当m ＝－2时，PQ ＋22PC 取得最大值；②m ＝－1或m ＝－ 5.【解法提示】∵△PFE ∽△BOE ，∴PF BO ＝EFEO.∵PF ＝－m ，OF ＝m ＋3，OB ＝1，∴EF ＝－mOE .∵OF ＝EF ＋OE ，∴m ＋3＝(－m ＋1)OE ，则OE ＝m ＋3－m ＋1，EF ＝－m （m ＋3）－m ＋1，又∵CQ ＝PE ，PQ ∥CE ，∴|y Q －y C |＝|y P －y E |＝EF .∵|y Q －y C |＝|－m 2－2m ＋3－3|＝|m 2＋2m |，∴－m （m ＋3）－m ＋1＝|m 2＋2m |.又∵－3＜m ＜0，解得m ＝－1或m ＝－ 5.3. 解：(1)把x ＝4，y ＝n 代入y ＝－34x ＋1中，得n ＝－34×4＋1＝－2∴点C 的坐标为(4，－2)．将点C (4，－2)和点B (0，1)代入y ＝－12x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧－8＋4b ＋c ＝－2，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝54，c ＝1，∴抛物线的表达式为y ＝－12x 2＋54x ＋1；(2)①∵PE ＝－12t 2＋54t ＋1－(－34t ＋1)＝－12t 2＋2t ，如解图，过点E 作QE ⊥y 轴于点Q ，则QE ＝t ， QB ＝1＋34t －1＝34t ，BE ＝QB 2＋QE 2＝（34t ）2＋t 2＝54t ∵PE ∥y 轴， ∴∠PEB ＝∠EBQ ， ∵∠BQE ＝∠PDE ＝90°， ∴△PED ∽△EBQ ，∴PE EB ＝PD EQ ，得－12t 2＋2t 54t ＝PDt， PD ＝－25t 2＋85t .∵－25＜0，∴PD 有最大值， PD 最大＝0－（85）24×（－25）＝85；②∵点D 为BE 的中点，∴由PE EB ＝DE QB ，DE ＝12BE ，得12BE 2＝PE ·QB ，代入得12×(54t )2＝(－12t 2＋2t )×34t ，整理得2532＝－38t ＋32，解得t ＝2312，∴当t ＝2312时，点D 为BE 的中点．4. 解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2经过A (－1，0)，B (2，0)，∴将点A 和点B 的坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋2＝0，4a ＋2b ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋x ＋2；(2)直线y ＝mx ＋12交抛物线于A 、Q 两点，把A (－1，0)代入解析式得m ＝12，∴直线AQ 的表达式为y ＝12x ＋12.设点P 的横坐标为n ，则P (n ，－n 2＋n ＋2)，N (n ，12n ＋12)，F (n ，0)，∴PN ＝－n 2＋n ＋2－(12n ＋12)＝－n 2＋12n ＋32，NF ＝12n ＋12.∵PN ＝2NF ，即－n 2＋12n ＋32＝2×(12n ＋12)，解得n ＝－1或n ＝12，当n ＝－1时，点P 与点A 重合，不符合题意舍去．∴点P 的坐标为(12，94)；(3)在直线DE 上存在一点G ，使△CMG 的周长最小；此时G (－38，1516)．理由如下：∵y ＝－x 2＋x ＋2＝－(x －12)2＋94，∴M (12，94)．如解图，连接AM 交直线DE 于点G ，连接CG 、CM ，此时，△CMG 的周长最小．设直线AM 的函数表达式为y ＝kx ＋b ，且过A (－1，0)，M (12，94)．根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，12k ＋b ＝94，解得⎩⎨⎧k ＝32，b ＝32.∴直线AM 的表达式为y ＝32x ＋32.∵D 为AC 的中点，∴D (－12，1)．设直线AC 的表达式为y ＝kx ＋2，将点A 的坐标代入得－k ＋2＝0，解得k ＝2， ∴AC 的表达式为y ＝2x ＋2.设直线DE 的表达式为y ＝－12x ＋c ，将点D 的坐标代入得：14＋c ＝1，解得c ＝34，∴直线DE 的表达式为y ＝－12x ＋34.联立⎩⎨⎧y ＝－12x ＋34，y ＝32x ＋32，解得⎩⎨⎧x ＝－38，y ＝1516.∴在直线DE 上存在一点G ，使△CMG 的周长最小，此时G (－38，1516)．。

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例5 如图，在RT△ABC中,∠ACB=90°， ∠CAB=30°,BC=2。将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C,M是BC的中点,P是A'B' 的中点,连接PM,求PM的最大值。
变式如图，在RT△ABC中,∠ACB=90°， ∠CAB=30°,BC=2。将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C,M是BC的中点,P是A'B' 的中点,连接PM,过点C作PM的垂线，垂足为H，求PH的最小值。
提供例3及其变式是为了说明模型的重要性，让学生会用模型解决问题。但有时，试题未必直接给出模型，比如例4。遇到此类没有现成的模型可用的题目时，可以分析问题中的特殊位置关系和数量关系，特别是一些“变中的不变量”，如本题中的AQ。通过数量关系的转化，减少（或简化）变化的量，从而得到我们所熟悉的模型。
从更高的层面来看最值（或取值范围）问题。其实，“两点之间线段最短”和“垂线段最短”给我们提供的是一种点运动过程中所满足的不等关系，利用这些不等关系可以建立不等式进行求解。
建立MN 与a的函数
利用函数性质
建立a和h的（函数）关系式
不同点：背景不同，一道考查“最值”，一道考查“取值范围”。
共同点：题目中都存在多个变量，都是借助函数予以求解，思路分析属于典型的函数思想。
例1需要分析矩形BDEF面积被哪个元素控制，例2则需要判断哪个量牵制着a的变化，在各自问题中要选择一个能影响目标变量（例1中的矩形BDEF面积，例2中的a）的变量作为自变量，并建立目标函数。
题目给出坐标系以及直线解析式只是为了在平面内确定点的位置，即提供点A,B的坐标，而解决问题的关键是化曲为直，通过做对称，将C,D两点由x轴同侧转化成x轴异侧，进而用“两点之间线段最短”求解。
例3是典型的“将军饮马”问题，而变式则综合了两点之间线段最短和垂线段最短两个知识点。对于“两点之间线段最短”和“垂线段最短”既要熟悉定理的文字语言还要熟悉定理的图形语言，并将其作为基本模型运用于解题。特形，识别其中的模型，并运用该模型解决问题。
2020中考数学复习专题 ---函数最值问题
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知识要点（1）对于一次函数y=kx+b（k≠0），当k＞0 时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小。
（3）对于二次函数y=a(x-h) 2+k（a≠0），如果a＞0，当x＜h时，y随x的增大而减小，当x＞h时，y随x的增大而增大；如果a＜0，当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时， y随x的增大而减小。
示例分析借助“函数”解题借助“不等式”解题
解题关键：分析运动的形成，选择一个能控制矩形BDEF的面积的变量作为自变量，进而建立面积的目标函数。
由于点D运动时，DB，DE都随之改变，从而导致矩形BDEF的面积随之改变，所以可选择AD为自变量。
还可以怎么解决？当BD⊥AC时，BD最小，此时SBDEF最小。
（4）两点之间线段最短。
（5）垂线段最短。
思想方法
由于最值（或取值范围）主要是在运动变化过程中产生的，所以此类问题往往与动态几何问题或函数问题相结合，并蕴含其中。
函数与不等式是揭示变量之间的制约关系的有力工具，为我们研究最值（或取值范围）在数学上提供了支持。所以就方法而言，在初中阶段，解决最值（或取值范围）问题的有效工具是函数法和不等式法。由于此类问题综合性较强，具体解决时所涉及到的数学思想很多，如函数思想、模型思想、划归转化思想等。
两种解法的对比
共同点：建立目标函数，利用函数的性质解决问题。
不同点：解法一选择AD为自变量，解法二选择BD为自变量。
例2 已知，抛物线y=ax2+bx+c(a ≠0)经过原点，顶点为A(h,k)(h ≠0)。（1）当h=1，k=2时，求抛物线解析式；（2）若抛物线y=tx2 (t≠0)也经过点A，求a与t之间的关系式；（3）当点A在抛物线y=x2-x上，且-2≤h＜1时，求a的取值范围。
∵PH2=PC2-CH2 =4-CH2
∴当CH最大时，PH最小。
∵CH≤CM=1，
∴当H点与M点重合，即 PM⊥CB时，CH有最大值1。
例3及其变式是直接使用模型解决最值（或取值范围）问题，例4则是从转化的角度看模型的运用，但我们注意到一个问题：这几道题所求的都是最小值。实际上，“两点之间线段最短”和“垂线段最短”也能解决最大值问题。例5及其变式就说明了这点，例5及其变式分别利用“两点之间线段最短”和“垂线段最短” 解决了最大值。