线性系统大作业1
线性系统设计大作业
第一章 背景１．1自相关函数自相关函数是信号在时域中特性的平均度量，它用来描述信号在一个时刻的取值与另一时刻取值的依赖关系，对于离散信号r 长度为N ，记为{r(k),k=0,1,2,…,N-1}。
该信号的自相关函数为101R()[()()]N i r i i N ττ-==+∑()()r i r i N ττ+=+-伪随机信号在每个采样点k 信号值为-a 或a ，其自相关函数为自相关函数就是信号x(t)和它的时移信号()x t τ+乘积的平均值，它是时移变量τ的函数。
自相关函数具有如下主要性质：（1）自相关函数为偶函数，xy R ()τ=xy R ()τ-，其图形对称于纵轴。
因此，不论时移方向是导前还是滞后（τ为正或负），函数值不变。
（2）当τ＝0时，自相关函数具有最大值，且等于信号的均方值，即（3）周期信号的自相关函数仍为同频率的周期信号。
自相关函数的典型应用包括：检测淹没在随机噪声中的周期信号。
由于周期信号的自相关函数仍是周期性的，而随机噪声信号随着延迟增加，它的自相关函数将减到零。
因此在一定延迟时间后，被干扰信号的自相关函数中就只保留了周期信号的信息，而排除了随机信号的干扰。
1.2互相关函数互相关函数，表示的是两个时间序列之间和同一个时间序列在任意两个不同时刻的取值之间的相关程度，即互相关函数是描述随机信号x(t),y(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度。
随机信号x(t)和y(t)的互相关函数xy R ()τ定义为xy R ()[()()]n m x n m y n +∞=-∞=-∑系统脉冲响应的测定。
在随机激励试验中，假如以随机白噪声作为试验信号输入被测系统，则输入信号与输出信号的互相关函数R() 就是被测系统的脉冲xy响应。
这种测量方法的优点可以在系统正常工作过程中测量。
测量时，其他信号都与试验信号无关，因而对互相关函数没有影响，不影响脉冲响应的测量。
第二章 基于Hankel 阵的实现2.1 Markov 系数概述对于严格真有理分式111111...()...n n nnn n nb s b s b G s s a s a s a ----+++=+++ 用多项式除法按指数级数展开12()(0)+(1)(2)...g s h h s h s --=++∵传递函数是严格真有理分式 ∴(0)=0hG(s)按Markov 矩阵展开成1(1)(1)1G(s)=C[SI-A]()()i i i i i B CA s G s h i s ∞--+=∞-+==⇒=∑∑我们把{(1),(2),(3)...}h h h 称为Markov 系数。
线性系统作业1
线性系统作业
1.设计一个仿真实验，说明线性性质
考虑一个线性系统y=0.5*u ，系统仿真如图1
图 1
输入为单位阶跃信号，输出如图2
图 2
验证其齐次性：系统仿真如图3
图 3
输入为单位阶跃信号的 4 倍，输出如图 4
图 4
验证其叠加性，系统仿真如图 5
图 5
输入为两个单位输入信号，输出如图 6
图 6
从图 4、图 6 中我们可以看出线性系统的齐次性和叠加性
2. 构造两个零状态等价系统，其稳定性不同，用仿真说明，在
初始条件相同时，系统输出可能不同。
m
m 先构造两个零状态等价系统，可知道其 D= B C A B （ ⋯） D ， CA
m=0,1,2,
0, 1 1 1, 3
1
取 A 1 , B ,C 0,1 , D 0 则得 A 1, , B , C 0,1 , D 1, 0 2 0
0,1
x 1
0,1 x
系统 1 为 x
1u ， y
1,0
1,3
x 1
0,1 x
系统 2 为 x
2u ， y
1,0
用 MATLAB 仿真系统如图 7
图 7
当输入为正弦信号，两个系统的初始状态均为0 时，输入如图 8
图 8
1 时，输入如图 9当输入为正弦信号，两个系统的初始状态均为
图9
从图 8、图 9 上可以看出在初始条件相同时的两个零状态等价系统，初始状态为0 时系统输出几乎相同，初始状态为 1 时系统输出不同。
线性系统理论大作业
目录题目一 (2)（一）状态反馈加积分器校正的输出反馈系统设计 (2)(1)建立被控对象的状态空间模型，并判断系统性质 (2)(2)状态反馈增益矩阵和积分增益常数的设计 (4)(3)全维观测器设计 (6)(4)如何在闭环调速系统中增加限流环节 (8)（二）二次型最优全状态反馈控制和按负载扰动前馈补偿的复合控制系统设计 (8)(1)线性二次型最优全状态反馈设计 (8)(2)降维观测器设计 (13)题目二 (15)(1)判断系统是否存在最优控制律 (15)(2)非零给定点的最优控制设计和仿真分析 (16)(3)权矩阵的各权值对动态性能影响分析 (17)题目一（一）状态反馈加积分器校正的输出反馈系统设计 (1)建立被控对象的状态空间模型，并判断系统性质1)画出与题目对应的模拟结构图，如图1所示：图1原始系统结构图取状态变量为1x =n ，2x =d I ，3x =d u ，控制输入u=c u1222212333375375111T Le la la la s s s C x x T GD GD C x x x x RT T RT K xx u T T ⎧=-⎪⎪⎪=--+⎨⎪⎪=-+⎪⎩将已知参数代人并设输出y=n=1x ，得被控对象的状态空间表达式为L x Ax Bu ET y Cx=++=其中，237500039.768011=-3.696-17.85727.05600-588.235100T ela lala s C GD C A RT T RT T ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，000=023529.41s s B K T ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2375-30.4880=000GD E ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，[]100C = 2)检查被控系统的结构性质判断系统能控性、能观性、稳定性 程序如下：A=[0 39.768 0;-3.696 -17.857 27.056;0 0 -588.235]; B=[0;0;23529.41];C=[1 0 0]; Qc=ctrb(A,B); Qo=obsv(A,C); L=length(A); if rank(Qc)==Ldisp('系统是状态完全能控'); elsedisp('系统是状态不完全能控'); endif rank(Qo)==Ldisp('系统是状态完全能观'); elsedisp('系统是状态不完全能观'); enddisp(eig(A))%利用A 的特征值判断系统稳定性 运行结果：系统是状态完全能控 系统是状态完全能观 1.0e+02 *-0.0893 + 0.0820i -0.0893 - 0.0820i -5.8823 + 0.0000i由于矩阵A 全部特征值均具有负实部，因此系统渐近稳定。
华电线性系统理论大作业
而前文已经得出导轨的动能 Tw ，因此两式相加得系统的动能 T 为：
2 2 2 2 1 x T Tb Tw m x x2 a Ib I w a 2 R
是导轨相对于水平线的倾斜角。
图 1.球杆系统简图
2.2 拉格朗日法建模
为了对球杆系统进行研究， 我们先对其进行建模， 一般来说， 这种球杆系统， 运用拉格朗日方程建立其数学模型比较方便，拉格朗日方程如下：
d T T V R U t dt q q ' q ' q
v v' w r
其中 v ' 是小球相对于导轨的线速度，其数值等于 x ，负号是指方向与规定 的正方向相反， 指的是导轨的角速度，即 a ，r 是小球的质心在坐标系中的位 置向量，计算式如下：
R x 0 x x a v 0 0 R xa a 0 0 0
其中 T 为系统的动能，包括小球的转动的动能，导轨转动的动能等，V 为系 统的势能， 包括重力势能弹性势能等等， 能量耗散函数为 R ，q
q1 , q2 ....qk
T
1
为广义坐标向量，其中 k 代表系统的自由度，即完全描述系统运动特性需要的坐 标数目，关于自由度在下文会具体分析， u 为作用于系统的外力。 以下为各个变量所表示的物理意义，M：导轨的质量，g：重力加速度 r：小 球的半径 I b ：球的惯性力矩， I w ：杆的惯性力矩，x：球的相对横坐标，y：球 的相对纵坐标， ：小球相对于导轨的转角，a：导轨与水平线的夹角，球杆系 统受力分析如下：
线性系统作业
P130T10系统的状态方程为X(t )AX(t )Bu(t )=+其中， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10,0010B A 试将它离散化，并求出当输入和初始条件分别为⎥⎦⎤⎢⎣⎡==01)0(),(1)(x t t u 时方程在采样时刻的近似解了。
解 取采样周期T=0.05秒，编写和执行以下的m-文件：>> A=[0 1;0 0];>> B=[0;1];>> [G ,H]=c2d(A,B,0.05)得到G =1.0000 0.05000 1.0000H =0.00130.0500因此，所求的离散化状态空间模型是)(0500.00013.00000.100500.00000.1)1(t u k x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+用以下Matlab 程序求离散后状态方程的解，>> syms s t x0 x tao phi phi0;>> G=[1.0000 0.0500;0 1.0000];I=[1 0;0 1];H=[0.0013 0.0500];>> syms s t x0 x tao phi phi0;>> G=[1.0000 0.0500;0 1.0000];I=[1 0;0 1];H=[0.0013;0.0500];>> E=s*I-G;C=det(E);D=collect(inv(E));>> phi0=ilaplace(D);x0=[1;0];x1=phi0*x0;>> phi=subs(phi0,'t',(t-tao));>> F=phi*H*1;x2=int(F,tao,0,t);>> x=collect(x1+x2)得到x =2497/2500*exp(t)+3/2500+1/400*t*exp(t)-1/20+1/20*exp(t)这表示⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-++=t t t e te e t x 20120140012500325002497)( P274T16设有n 阶系统()(1)110()n n n x a x a xa x u t --++++= 其中u(t)是控制函数，试写出使泛函()102t m t J x c u d t⎡⎤=-+⎣⎦⎰ 取极小值的欧拉方程。
线性系统作业
线性系统作业结果
控制科学与工程王珠2011200811
根据原系统的A,B,C搭建图1所示系统，然后计算解耦合，并且进行极点配置后新系统的状态方程。
根据计算结果中，新系统的A,B,C，搭建图2所示系统。
搭建simulink框图如下：
图1 在不同输入下，关于原系统的两个simulink框图比较
图2 在不同输入下，关于解耦配置极点后系统的两个simulink框图比较
产生的实验结果比较图如下：
图3 原系统u2不变，u1阶跃幅值变化，引起y1,y2的变化
图4 解耦配置极点后的系统u2不变，u1阶跃幅值变化，引起y1,y2的变化
图5 解耦配置极点后的系统u1不变，u2阶跃幅值变化，引起y1,y2的变化
结果分析：
当原系统u2不变，u1阶跃幅值变化，u1的变化可以引起系统输出的y1,y2同时变化，并且y1发散，说明系统具有耦合性。
当对原系统进行解耦合，并且进行极点配置后，系统不仅能消除耦合，而且，极点配置可以使系统稳定。
从图中的结果可以看出：u2不变，u1阶跃幅值的改变仅影响y1发生改变，u1的变化对y2没有影响；u1不变，u2阶跃幅值的改变仅影响y2发生改变，u2的变化对y1没有影响。
结果证实：系统解耦合了，并且从图4，图5还可看出，经过极点配置后，系统的输出
最终稳定下来。
清华线性系统控制理论作业一参考解答
2．(根据框图写出状态空间描述) 图2.2中描述了列车悬浮系统的工作原理，其中，1、2、3、 4为电磁装置，车辆通过电磁力的作用，悬浮于轨道上。磁悬浮控制系统的目的是通过调整 电磁作用力的输入，保证列车在运行过程中的平稳。这里我们考虑车辆运行过程中产在x和y 轴两个方向的位移，给出其线形化系统框图如图2.1所示
描述，其中g 是重力加速度常数，如图3所示，h 是自行车质心距地面高度，w 是两个轮子 与地面接触点的距离， b 是自行车质心投影与后轮和地面接触点的距离。 试给出该线性系统 的一个状态空间描述。
图3 参考文献： [3.1] Bicycles, motorcycles, and models-single-track vechicle modeling and control, IEEE Control Systems Magazine, October, 2006. 参考解答：
作业一
1．（线性化）已知倒立摆系统满足如下非线性状态方程
1 (t ) x2 (t ) x 2 (t ) ( g / l ) sin x1 (t ) u (t ) x
通过线性化给出系统在平衡解 [ x1 (), x2 ()] [0,0] ， u () 0 的邻域内的线性模型。 参考解答：
图 2.2
参考解答：
注意状态变量的维数. 3． （从传递函数得到状态方程描述）图3中给出了解释自行车姿态动态平衡的原理图示。在 前进速度保持为定常v 的假设下，车把转角 对车身姿态角 的作用在平衡点（ ＝0， ＝0）附近范围内可用微分方程
g v2 bv h hw wh
图2.1 这里A11=[100 0；0 200] B21=[10 -3；-5 16] C22=[1 1；1 -1]。 这里输入向量u是控制的作用力， 也就是车辆的加速度量， 输出向量y是车辆在两个轴方向的 位移量，通过间隙传感器测量。试列写出系统的状态空间模型。 参考文献： [2.1] H2 and H∞ control for MagLev vehicles，IEEE Control System Magazine, 1998 [2.2] Experimental comparison of linear and nonlinear controllers for a magnetic suspension, Proceedings of the 2000 IEEE International Conference on Control Applications，2000 [2.3] 广义线性磁悬浮对象的H∞控制问题，西安交通大学学报，Feb，2000
第一篇线性系统理论习题答案
9－7 设有三维状态方程
⎡0 ⎤ ⎢1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣1 ⎥ ⎦
1 s + s +1 s 2 s + s +1
2
0
⎤ 0 ⎥ ⎥ ⎡0 ⎤ s 2 + 2 s 1⎥ = 3 0 ⎥ ⎢ ⎢ s −1 ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎢ ⎣1⎥ ⎦ s − 1⎥ ⎦
⎡ R M ⎤ ⎡ R −1 ∵⎢ ⎥×⎢ ⎣0 T ⎦ ⎣ 0
− R −1 MT −1 ⎤ ⎡ R −1 ⎥=⎢ T− ⎦ ⎣ 0
⎡R M ⎤ ∴⎢ ⎥ ⎣0 T ⎦
9－10 解
−1
⎡ R −1 =⎢ ⎣ 0
− R −1 MT −1 ⎤ ⎥ T −1 ⎦
−1
对可控标准形 A 和 b ，计算 ( sI − A) b
+
v2
& 2 = x1 + y = x1 − C 2 x
写成矩阵形式为
1 1 x2 + U R2 R2
图 9－1 RLC 网络
⎡ R1 − & x ⎡ 1 ⎤ ⎢ L1 ⎢x ⎥=⎢ ⎣ &2 ⎦ ⎢ 0 ⎢ ⎣
⎤ ⎡ 1 ⎤ 0 ⎥ x ⎡ ⎤ ⎢ L ⎥ ⎥ ⎢ 1 ⎥ + ⎢ 1 ⎥U − 1 ⎥ ⎣ x2 ⎦ ⎢ − 1 ⎥ ⎢ R2 C 2 ⎥ ⎦ ⎣ R2 C 2 ⎥ ⎦
x1 ， x 2 有下列关系存在 x1 = x1 + x 2 x 2 = − x1 − 2 x 2
试求系统在 x 坐标中的状态方程。 解 ①
&1 = x & = x2 x &2 = & & = −2 x1 − 3 x 2 + u x x
《线性系统理论基础》第一章作业及答案
第一章作业及答案1.3-2已知系统的状态空间表达式，试绘系统状态空间变量图。
11122233112241001040100021110003xx u x x u x x x y y x y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1.4-2已知系统的状态空间表达式，试计算系统的传递函数（阵）。
11122233123214100203400121[351]xx u x x u x x x y x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦[][]112232()()()()21410351020340121(2)(1)14(2)1013510(2)(1)034(2)(2)(1)00(2)(2)21120291321408584Y s G s C SI A B U s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s --==----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎡⎤=---+⎣⎦-+-223220291321408584s s s s s s s ⎡⎤---+⎣⎦=-+-注意：也可写做[][][]23220212940138584s s s s s +--+--+-1.5-1已知系统传递函数，试用传递函数求出系统的状态空间模型。
2()35()()(3)(2)Y s s G s U s s s +==++解：通过赋予研究对象不同的内部结构可将传递函数转换成不同的状态空间模型。
（1）求出上述传递函数能控标准型表示由已知条件可知该传递函数为严格真分式，且该系统为单入单出（SISO ）三阶系统。
根据公式10111()...(),(1)()...mm mn n nY s b s b s b G s n m U s s a sa --+++===++++其中，可将传递函数写为223235035()(3)(2)82118s s s G s s s s s s +++==+++++其中，123012a 8,21,18,0,3,5a a b b b ======。
华工自动化线性系统第一次 大作业
求的方法有时域的求解方法和频域的求解方法。 方法1：根据或者的定义直接计算：
=I+++…++…= 从公式可以看出，右边是一个无穷项的和，要精确计算出
结果是很困难的，所以无论是手工计算还是利用电脑计算，都 不可能取无穷项计算，通常是取有限项,得到一个近似的值， 以满足不同的精度要求即可.对于不同的精度要求，n的值会不 同。在工程上，只要取它的前几项就可以满足要求，本方法易 于理解，适合计算机编程。 方法2：利用拉氏反变换法求：
版本）正在进行着陆（速度V=16英里/小时）。描述飞机纵向 运动的状态空间方程
给出如下：
控制输入是升降舵角度和向量的状态变量分别是速度的变化， 迎角，俯仰速率和俯仰度。
该飞机的纵向模式称为短周期和长周期。在长周期特征 值，这也是一种复杂的共轭特征值接近虚轴，造成长周期运 动，在水平面缓慢地震荡。
二、状态转移矩阵的重要性与意义
线性系统理论大作业
专业：控制理论与控制工程 学号与姓名：
一、飞行器原理及结构和空间坐标系
为了进行控制系统设计的目的，飞机动力学经常称为飞行 姿态的一些操作状态进行线性化，它假设飞机的速度（马赫 数）和姿态是不变的。控制面（The control surfaces）和发动 机推力装置设置或修改，以达到这些状态，我们设计控制系统 就是为了维护这些条件，例如，强制将到这些状态的扰动（偏 差）变为零。
syms M s d1 t XT X0; A=[-0.0507 -3.861 0 -32.2;-0.00117 -0.5164 1 0;-0.000129 1.4168 -0.4932 0;0 0 1 0]; disp('矩阵A的行列式如下:'); d1=det(A); I=eye(4); disp('[sI-A]^(-1)为:'); B=(s*I-A); C=inv(B); digits(4) C=vpa(C) disp('状态转移阵为'); D=ilaplace(C); digits(4); M=vpa(D) X0=[0;0;0;0]; B=[0;-0.0717;-1.645;0]; XT=M*(X0+B) %求解系统的状态响应。 %画图 subplot(2,2,1) %画出x(t)d第一个分量X1(t),并把它显示在左上 角。 ezplot(XT(1,1),[0,2]) subplot(2,2,2) %画出x(t)d第二个分量X2(t),并把它显示在右上 角。 ezplot(XT(2,1),[0,2])
线性系统理论习题答案
《线性系统理论》作业参考答案1-1 证明：由矩阵úúúúúúûùêêêêêêëé----=--121000001000010a a a a A n n nL M O M M M L L L则A 的特征多项式为nn n n n n n n n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a a a a a a a A I +++==+--++--=--++--=+--=--------+-----L L L M O MM ML LL L M O M M M L L L L M O MMM L L L112114322111321121)1()1(00001001)1()1(000010001000010001l l l l l l ll l l l l l l l l ll 若i l 是A 的特征值，则00001000010001)(1112121=úúúúúúûùêêêêêêëé+++=úúúúúúûùêêêêêêëéúúúúúúûùêêêêêêëé+--=-----n n i n i n i i i in n ni i i i i a a a a a a A I L M M L M O M M M L L L l l l l l l l l l u l 这表明[]Tn ii i121-l l l L 是i l 所对应的特征向量。
线性系统理论试卷(1)
一、给定多项式矩阵如下：22121()12s s s s D s s s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦++++=++ 1. 计算矩阵的行次数，判断系统是否行既约？2. 计算矩阵的列次数，判断系统是否列既约？3. 寻找单模矩阵，将多项式矩阵()D s 化为史密斯型。
方法1、 进行初等变换成二、设系统的传递函数矩阵为右MFD 1()()N s D s -，其中：210()21s D s s s s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦-=+-+，()11N s s s ⎡⎤⎣⎦=-+ 试判断{}(),()N s D s 是否右互质；如果不是右互质，试通过初等运算找出其最大右公因子。
最大右公因子进行列变换可得()0R s ⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、给定()G s 的一个左MFD 为：121010()1121s s G s s s s -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-+=+-+ 试判断这个MFD 是否是最小阶的；如果不是，求出其最小阶MFD 。
四、确定下列传递函数矩阵的一个不可简约左MFD：2110()1022s ss G s s s s s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦+=+++五、给定系统的传递函数矩阵为223(1)(2)(1)(2)()31(1)(2)(2)s s s s s s G s s s s s s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦+++++=+++++ 试计算出相应的评价值，并写出其史密斯--麦克米伦型。
六、给定传递函数矩阵如下：22221156()125343s s s s s G s s s s s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦+-++=++++ 试定出其零、极点，并计算出其结构指数。
七、给定系统的传递函数矩阵如下：22211154()143712s s s s G s s s s s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦+-++=++++ 试求出一个控制器型实现。
八、确定下列传递函数矩阵()G s 的一个不可简约的PMD22141()14332s s s s G s s s s s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦++-=++++九、给定系统的传递函数矩阵如下：12243011()22121s s s s G s s s s s -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++-+=+++试设计一个状态反馈K,使得状态反馈系数的极点为：12λ*=-， 23λ*=-， 4,542j λ*=-±。
线性系统大作业1
xdot(1)=-R/L*x(1)-1/L*x(2)+1/L*f(t);
xdot(2)=1/C*x(1);
function in=f(t)
in=(t>0)*2;
end
end
仿真求解状态方程代码如下：
L=1;
C=0.1;
R=1.5;
[t,x]=ode45('funcforex14',[-1,10],[0;1],[],R,L,C);
的根。方阵A有n个特征值；实际物理系统中，A为实数方阵，故特征值或为实数，或为成对共轭复数；如A为实数对称方阵，则其特征值都是实数。
4.2系统的不变量与特征值的不变性
同一系统，经非奇异变換后，得
公式(4.1)
其特征方程为
公式(4.2)
公式(4.1)与公式(4.2)形式虽然不同，但实际是相等的，即系统的非奇异变换，其特征值是不变的。可以证明如下：
xlabel('t/ms');ylabel('电压/V');title('系统响应');
[t,x]=ode45('funcforex13',[-1,10],[0;1],[],R,L,C);
figure(1);plot(t,x(:,1),'k');hold on;xlabel('time sec');
figure(1);plot(t,x(:,1),'r');hold on;xlabel('time sec');grid;
xlabel('t/ms');ylabel('电压/V');title('齐次性');
线性系统理论大作业
《线性系统理论》大作业报告引言：研究线性定常连续系统状态方程的解时，求解状态方程是进行动态系统分析与综合的基础，是进行定量分析的主要方法。
而线性定常连续系统状态方程的解由两个部分相加组成。
第一个部分是由初始状态所引起的自由运动，即状态的零输入响；第二个部分是由输入所引起的系统强迫运动,其值为输入函数与矩阵指数函数的卷积，即状态的零状态响应。
由于这两部分中都包含有状态转移矩阵，因此状态转移矩阵的计算是线性定常连续系统状态方程求解的关键。
本文先总结了的计算方法，并运用matlab命令求解证明各方法的正确性及给出相应的零输入响应仿真结果。
然后推导了脉冲响应的公式，希望通过飞机模型的例子来研究其系统的脉冲响应。
最后推广研究了任意输入的零状态响应。
第一部分的计算方法及零输入响应的仿真证明一．的计算方法1.根据的定义直接计算定义式是一个无穷级数，故在计算中必须考虑级数的收敛条件和计算收敛速度问题。
类似于标量指数函数，对所有有限的常数矩阵A和有限的时间t来说，矩阵指数函数这个无穷级数都是收敛的。
显然用此方法计算一般不能写成封闭的解析形式，只能得到数值计算的结果。
2.变换A为约旦标准型因为任何都可经线性变换成为对角矩阵或约旦矩阵，因此下面将利用对角矩阵和约旦矩阵的矩阵指数函数计算的简便性质，通过线性变换将一般形式的系统矩阵变换成对角矩阵或约旦矩阵计算其矩阵指数函数。
对于矩阵A，若经过非奇异变换（相似变换）矩阵Ｐ作变换后，有则3. 利用拉氏反变换求已知齐次方程两边取拉氏变换即对上式两边取拉氏反变换得齐次微分方程的解：而由定义法求得的齐次微分方程的解为比较两式得4. 应用凯莱—哈密顿定理求（1）由凯莱—哈密顿定理，方阵A 满足其自身的特征方程，即()1110 0n n n fA A a A a A a I--=++++=故121210...n n n n n A a A a A a A a I ----=-----它是的线性组合。
兰州理工大学线性系统理论期末MATLAB大作业
1、在造纸流程中，投料箱应该把纸浆流变成2cm 的射流，并均匀喷洒在网状传送带上。
为此，要精确控制喷射速度和传送速度之间的比例关系。
投料箱内的压力是需要控制的主要变量，它决定了纸浆的喷射速度。
投料箱内的总压力是纸浆液压和另外灌注的气压之和。
由压力控制的投料箱是个耦合系统，因此，我们很难用手工方法保证纸张的质量。
在特定的工作点上，将投料箱线性化，可以得到下面的状态空间模型：ẋ = [−0.8+0.02−0.020] x+[0.0510.0010] u y =[x 1 , x 2]其中，系统的状态变量x1=液面高度，x2=压力，系统的控制变量u1=纸浆流量u2=气压阀门的开启量。
在上述条件下，试设计合适的状态变量反馈控制器，使系统具有实特征根，且有一个根大于5解：下面是对此设计的MATLAB 程序实现：>> A=[-0.8 0.02;-0.02 0];>> B=[0.05 1;0.001,0];>> r=rank(ctrb(A,B))r =2>> C=[1 1];>> P=[1 6];>> K=place(A,B,P)K =1.0e+003 *-0.0200 -6.0000-0.0008 0.30002、描述恒速制导导弹的运动方程为：ẋ = [ 01000−0.1−0.50000.500000 010000.51000]x + [ 01000] uy =[ 0 0 0 1 0 ] x(a) 运用ctrb 函数计算系统的能控型矩阵，并验证系统是不可控的；(b) 计算从u 到Y 的传递函数，并消去传递函数中的分子和分母公因式，由此可以得到能控的状态空间模型。
在消去了公因子之后，请用tf2ss 函数确定新的状态变量模型；(c) 证明(b)中得到的状态变量模型是能控的；(d) 说明恒速制导导弹是否稳定？(e) 讨论状态变量模型的能控性和复杂性的关系（假设用状态变量的数目来度量复杂性）解程序如下:clearA=input('请输入系统矩阵:');B=input('请输入输入矩阵:');C=input('请输入输出矩阵:');Qc1=ctrb(A,B)N1=size(A);n1=N1(1) %判断状态方程维数rc1=rank(Qc1)if rc1==n1disp('系统可控')elseif rc1<n1disp('系统不可控')endsyms sI=eye(n1);Q=inv(s*I-A);sys=collect(C*Q*B) %求解原状态方程的频域传递函数并化简num=[500 250 50];den=[1 0 0];[A1 B1 C1 D1]=tf2ss(num,den)Qc2=ctrb(A1,B1)N2=size(A1);n2=N2(1) %判断状态方程维数rc2=rank(Qc2)if rc2==n2disp('系统可控')elseif rc2<n2disp('系统不可控')endd1=eig(A)'d2=eig(A1)'flag1=0;flag2=0;for i=1:n1if real(d1(i))>0flag1=1;endendif flag1==1disp('原系统不稳定')elsedisp('原系统稳定')endfor j=1:n2if real(d2(j))>0flag2=1;endendif flag2==1disp('新系统不稳定')elsedisp('新系统稳定')end运行结果：请输入系统矩阵:[0 1 0 0 0;-0.1 -0.5 0 0 0;0.5 0 0 0 0;0 0 10 0 0;0.5 1 0 0 0]请输入输入矩阵:[0;1;0;0;0]请输入输出矩阵:[0 0 0 1 0]Qc1 =0 1.0000 -0.5000 0.1500 -0.02501.0000 -0.5000 0.1500 -0.0250 -0.00250 0 0.5000 -0.2500 0.07500 0 0 5.0000 -2.50000 1.0000 0 -0.1000 0.0500n1 =5rc1 =4系统不可控sys =50/s^2/(10*s^2+5*s+1)A1 =0 01 0B1 =1C1 =250 50D1 =500Qc2 =1 00 1n2 =2rc2 =2系统可控d1 =0 0 0 -0.2500 - 0.1936i -0.2500 + 0.1936id2 =0 0原系统稳定新系统稳定分析：由上述分析结果可知原系统和新系统均稳定，而实际上由系统的极点可知，原系统是稳定的，新系统实际上处于临界稳定状态也可认为是不稳定的；若以状态变量的数目来度量复杂性，可知系统的完全可控性与复杂性存在类似反比的关系，及复杂性越高系统完全可控的难度越大，复杂性越低系统完全可控的难度越低。
线性系统作业
线性系统作业设计⼀：⼀、状态反馈与积分器校正设计①根据结构框图和所给数据，先求出系统状态空间表达式代码如下：%建⽴状态⽅程，其中 x1=ud,x2=Id,x3=n,u=uc Ts=0.0017;Tla=0.048;Ce=0.1377;Ks=40;%参数数值R=0.78;P=10.1;CT=1.3149;A=[-1/Ts 0 0;1/(R*Tla) -1/Tla -Ce/(R*Tla);0 375*CT/P 0] B=[Ks/Ts;0;0] C=[0 0 1] D=0求解出的结果为：A= 0 48.8205 0 3.6779- 20.8333- 26.7094 0 0 588.2353- ，??=0023529B ，[]100=C ，0=D②检查被控系统是否能控因为状态反馈实现的前提是系统能控，所以我们在设计前必须先进⾏判断。
代码如下：%判断系统是否完全能控Qc=ctrb(A,B);if rank(Qc)==length(A) str='系统是状态完全能控' elsestr='系统是状态不完全能控' end得到结果为：str =系统是状态完全能控，故可以进⾏状态反馈设计③进⾏反馈控制系统的设计状态反馈加积分器校正的输出反馈系统，反馈控制律为w k x k u *2*1+-=，其中[]1312111k k k k =。
则设计后的新系统??--='02*1*C k B k B A A .求新系统的特征多项式'det )(A sI s p -=. 求解多项式代码如下：A'=[-588.2353-23529*k11 -23529*k12 -23529*k13 23529*k2;26.7094 -20.8333 -3.6779 0;0 48.8205 0 0;0 0 -1 0]%根据已知数据较易求得aa=sym(A') poly(aa,'s')得到计算结果为p(s)= s^4 + (23529*k11 85718785000095935/140737488355328)*s^3 + ((68987647192765231095*k11)/140737488355328 + (176891674764002194755*k12)/281474976710656 + 601292593358158433508566018029941453/48357032784585166988247040000000)*s^2 +((84495893978331*k11)/20000000 +(3454376003126387659614591*k13)/112589990684262400 + 1858116894196552875337977/17592186044416000000)*s + (3454376003126387659614591*k2)/112589990684262400=s^4+(23529*k11+613.24)*s^3+(588225*k11+1400535.49*k12+14852.40)*s^2+(3447486.34*k11+25330505.04*k13+86188.67)*s+25330505.04*k2由于最⼤超调量%10021?=--ζζπeM p ，当振幅在%2±范围内时调节时间ns t ζω4=，其中Tn 1=ω为系统⾃然振荡⾓频率。
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图9输入信号在2s的响应
在如图7所示的线性系统中，在初始时刻t=0时对系统施加阶跃信号，得到如图8所示的输出波形，在t=2时也对系统施加阶跃信号，得到如图9所示的输出波形，由以上图可见，当系统输入信号延迟了两个单位时间后，其输出波形一致，只是延迟了两个单位时间，由此可验证时不变系统的特性。
[t,x]=ode45('funcforex16',[-1,10],[0;3],[],R,L,C);
figure(2);plot(t,x(:,1),'k');
text(0.58,1.42,'\leftarrow u_0(t)');
xlabel('t/ms');ylabel('电压/V');title('叠加性');
将特征方程写成多项式形式 。由于特征值全由特征多项式的系数 唯一地确定，而特征值经非奇异变换是不变的，那么这些系数 也是不变的量。所以称特征多项式的系数为系统的不变量。
5记忆性与因果性
若一个系统当前的输出只与当前的输入有关，则该系统称为无记忆性系统。纯电阻电路就是一个无记忆性的系统。若一个系统当前的输出与过去、当前和将来的输入有关，则该系统称为有记忆性的系统。特殊地，当系统的当前输出只与过去和当前的输入有关，而与将来的输入无关，则该系统为具有因果性的系统。任何一个物理系统都是因果系统，即在建立一个物理系统时，因果性是一个必要的条件。
线性系统的一个基本特征是其模型方程具有线性属性即满足叠加原理。叠加原理是指，若表系统的数学描述为L，则对任意两个输入变量u1和u2以及任意两个非零有限常数c1和c2必成立关系式：
对于线性系统，通常还可进一步细分为线性时不变系统（linear time-invariant systems)和线性时变系统（linear time-varying systems)两类。
当系统的输入为一个理想的脉冲信号并且初始状态为0时，令系统的输出即脉冲响应为 ，t为系统的当前时刻， 为脉冲信号作用到系统的时刻。对于因果系统来说，当 时， 。
记单位脉冲信号为 ，即
或
在单位脉冲信号作用下系统的零状态响应称为系统的单位脉冲响应，用 表示。
考虑一个单输入单输出线性系统的零状态响应。令 为图X所示的脉冲，其宽度为Δ，高度为1/Δ，作用时间是 时刻。因此，输入 可以近似看成多个脉冲序列的和，即 可近似看成多个 之和，即
齐次性验证仿真结果如图2:
图2 齐次性的仿真结果
为输入电压4V,电容初始状态为2V时的系统响应。 为输入电压2V,电容初始状态为1V时的系统响应，由响应曲线可知 的响应为 的2倍，齐次性得证。
叠加性仿真结果如图3所示：
图3叠加性仿真结果
为输入电压6V,电容初始状态为3V时的系统响应。 为输入电压4V,电容初始状态为2V时的系统响应， 为输入电压1V,电容初始状态为1V时的系统响应，由响应曲线可知 的响应为 和 之和，叠加性得证。
教师评语：
成绩评定：分任课教师签名：年月日
线性系统理论的研究对象为线性系统。线性系统是最为简单和最为基本的一类动态系统。线性系统理论是系统控制理论中研究最为充分、发展最为成熟和应用最为广泛的一个分支。线性系统理论中的很多概念和方法，对于研究系统控制理论的其他分支，如非线性系统理论、最优控制理论、自适应控制理论、鲁棒控制理论、随机控制理论等，同样也是不可缺少的基础。
线性系统的零输入响应 定义为只有初始状态作用即 而无输入作用即 时系统的状态响应。
线性系统的零初态响应 定义为只有输入作用即 而无初始状态作用即 时系统的狀态响应。
利用线性系统的叠加性可得，系统的响应输出为系统的零输入响应和零状态响应之和。利用Matlab仿真结果如下。
仿真代码如下：
L=1;
C=1;
figure(1);plot(t,x(:,1),'r');hold on;xlabel('time sec');grid;
xlabel('t/ms');ylabel('电压/V');title('齐次性');
text(0.55,0.95,'\leftarrow u_0(t)');
[t,x]=ode45('funcforex15',[-1,10],[0;2],[],R,L,C);
2零输入响应和零状态响应
线性系统的一个基本属性是满足叠加原理。基于叠加原理，可以把系统同时在初始状态 和输入 作用下的状态运动 ，分解为由初始状态 ,和输入 分别单独作用所产生的运动 和 的叠加.即 并且，称 为系统的零输入响应， 为系统的零初态响应。线性系统运动的可分解属性为分析系统运动过程的演化规律提供了简便性和直观件。
研 究 生 课 程 论 文
(2014-2015学年第一学期)
线性系统的基本特性
研究生：
提交日期：2014年10月30日研究生签名：
学号
201420114258
201420114425
201420114289
学院
自动化科学与工程学院
课程编号
S0811040
课程名称
线性系统理论I
学位类别
硕士
任课教师
苏为洲教授
线性时不变系统也称为线性定常系统或线性常系数系统。其特点是，描述系统动态过程的线性微分方程或差分方程中，每个系数都是不随时间变化的函数。从实际的观点而言，线性时不变系统也是实际系统的一种理想化模型，实质上是对实际系统经过近似化和工程化处理后所导出的一类理想化系统。但是，由于线性时不变系统在研究上的简便性和基础性，并且为数很多的实际系统都可以在一定范围内足够精确地用线性时不变系统来代表，因此自然地成为线性系统理论中的主要研究对象。
本论文使用了一个简单的线性系统，即RLC电路仿真来验证线性系统的叠加性和齐次性。RLC电路图连接如图1：
图1RLC串联电路
设电感电流为 ，电容电压为 ，根据电路，列出KVL方程：
改写为标准形式：
利用Matlab进行仿真，求解状态方程。将RLC电路微分方程写成状态空间表达式代码如下:
function xdot = funcforex14( t,x,flag,R,L,C )
R=1.5;
[t,x]=ode45('funcforex12',[-1,10],[0;0],[],R,L,C);
figure(1);plot(t,x(:,1),'r');hold on;xlabel('time sec');grid;
text(0.57,0.20,'\leftarrow 零状态响应');
text(0.55,0.95,'\leftarrow u_1(t)');
[t,x]=ode45('funcforex15',[-1,10],[0;2],[],R,L,C);
figure(2);plot(t,x(:,1),'b');
text(0.61,0.48,'\leftarrow u_2(t)');
text(0.70,0.07,'\leftarrow 零输入响应)');
[t,x]=ode45('funcforex12',[-1,10],[0;1],[],R,L,C);
figure(1);plot(t,x(:,1));hold on;xlabel('time sec');
text(0.55,0.31,'\leftarrow 系统全响应');
xlabel('t/ms');ylabel('电压/V');title('系统响应');
[t,x]=ode45('funcforex13',[-1,10],[0;1],[],R,L,C);
figure(1);plot(t,x(:,1),'k');hold on;xlabel('time sec');
用线性微分方程描述的元件或系统，称为线性元件或线性系统。线性系统的重要性质是可以应用叠加原理。叠加原理有两重含义,即具有叠加性和齐次性(或均匀性）。现举例说明：设有线性微分方程为
当 时，上述方程的解为 ；当 时，其解为 。如果 ，容易验证，方程的解必为 ，这就是可叠加性。而当 时，式中A为常数，则方程的解必为 ，这就是齐次性。
线性时不变系统和线性时变系统在系统描述上的这种区別，既决定了两者在运动状态特性上的实质性差别.也决定了两者在分析和综合方法的复杂程度上的重要差别。事实上，比之线性时不变系统，对线性时变系统的研究要远为复杂得多，也远为不成熟得多。因此本论文将主要介绍线性时不变系统的基本特性及它们之间的内在联系。
1.叠加性和齐次性
一个系统的输出响应与输入信号施加于系统的时间起点有关，称为时变系统。时变系统的特性随时间变化而变化。火箭就是时变系统的一个典型的例子，在飞行中它的质量会由于燃料的消耗而随时间减少；另一个常见的例子是机械手，在运动时其各关节绕相应轴的转动惯量是以时间为自变量的一个复杂函数。
时变系统的特点增加了分析和研究的复杂性，对于线性时变系统，其状态空间表达式中A、B、C、D都是随时间变化的，比定常系统复杂得多。对于线性时变系统，有： 。
xdot=zeros(2,1);