(完整版)2017高考一轮复习教案-函数的单调性

函数的单调性与最值、函数的单调性1．单调函数的定义2. 单调区间的定义如果函数 y＝f(x) 在区间 A 上是增加的或是减少的，那么称 A为单调区间．3 求函数单调区间的两个注意点：(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应树立“定义域优先”的原则．(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．4 必记结论1．单调函数的定义有以下若干等价形式：设 x1，x2∈[a ，b] ，那么f x1 － f x2① 1 － 2 >0? f(x) 在[a ，b]上是增函数；x1－x2x1－x2 <0? f(x) 在[a ，b] 上是减函数．f x1 －f x2②(x 1－x 2)[f(x 1) － f(x 2)]>0 ? f(x) 在[a ，b] 上是增函数； (x 1－x 2)[f(x 1) －f(x 2)]<0 ? f(x) 在[a ，b] 上是减函数．2．复合函数 y ＝f[g(x)] 的单调性规律是“同则增，异则减”，即 y ＝f(u) 与 u ＝g(x) 若具有相同的单调性，则 y ＝f[g(x)] 为增函数，若具有不同的单调性， 则 y ＝ f[g(x)] 必为减函数．考点一 函数单调性的判断1．下列四个函数中，在 (0 ，＋∞) 上为增函数的是 (解析：当 x>0 时，f (x)＝3－x 为减函数；32当 x ∈ 0，2 时，f(x)＝x 2－3x 为减函数， 3当 x ∈ 2，＋∞ 时，f(x)＝x 2－3x 为增函数；1当 x ∈ (0 ，＋∞ )时， f (x)＝－x ＋1为增函数；当 x ∈ (0 ，＋∞ )时， f (x)＝－| x| 为减函数．故选 C.答案： C－2x2．判断函数 g(x) ＝ 在(1 ，＋∞ )上的单调性．x －1 解：法一：定义法任取 x 1，x 2∈(1 ，＋∞ )，且 x 1<x 2， －2x 1 － 2x 22 x 1－x 2则 g(x1) －g(x 2) ＝x 1－1－x 2－1＝x 1－1 x 2－1 ，因为 1<x 1<x 2，A ．f(x) ＝3－x2B ．f(x) ＝x 2－3xC ．f(x)1x ＋1D ．f(x) ＝－ |x|所以 x 1－x 2<0，(x 1－ 1)(x 2－1)>0 ，因此 g(x 1) －g(x 2)<0 ，即 g(x 1)<g(x 2) ． 故 g(x) 在(1 ，＋∞ )上是增函数． 法二：导数法－2 x － 1 ＋2x2∵g′(x) ＝x －12 ＝ x －1 2>0，∴g(x) 在(1 ，＋∞ )上是增函数．给出解析式函数单调性的两种判定方法1．定义法 ( 基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断 )． *2．导数法 (基本步骤为求定义域、求导、变形、判断 ) ．考点二 函数的单调区间的求法 |1 求下列函数的单调区间： (1) y ＝－ x 2＋2|x| ＋1；(2) y ＝log 21(x 2－3x ＋2)．[ 解 ] (1) 由于2－ x ＋2x ＋ 1，x≥ 0，＝2－x 2－2x ＋1，x<0，画出函数图象如图所示，单调递增区间为 （ －∞，－ 1] 和 [0,1] ， 单调递减区间为 [ －1,0] 和[1 ，＋∞） ．2x － 1 ＋2，x ≥0， 2x ＋ 1 2＋2，x<0.1（2）令 u＝x2－3x＋2，则原函数可以看作 y＝log 2u与 u＝x2－3x＋2 的复合函数．令 u＝ x2－3x＋2>0，则 x<1 或 x>2.12∴函数 y＝log 2（x 2－ 3x＋2）的定义域为（－∞， 1）∪（2 ，＋∞ ）．23又 u＝x2－3x＋2 的对称轴 x＝2，且开口向上．∴u＝x2－3x＋2 在（－∞，1）上是单调减函数，在（2 ，＋∞ ）上是单调增函数．1而 y＝log 2u 在（0 ，＋∞ ）上是单调减函数，1∴y＝log2（x 2－3x＋2）的单调递减区间为（2 ，＋∞ ），单调递增区间为（－∞， 1）．函数单调区间的四种求法（1）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．（2）定义法：先求定义域，再利用单调性定义．（3）图象法：如果 f（x）是以图象形式给出的，或者 f（x）的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．*（4）导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．2 函数 y＝|x|（1 －x）在区间 A上是增函数，那么区间 A 是（）A．（－∞，0）B.0，12C．［0 ，＋∞ ）D.1，＋∞2，＋∞解析： y＝|x|（1 －x）x 1－ x x≥0－x 1－x x<0－ x－21 2＋41x≥01 2 1 x－－x－2－4x<0画出函数的草图，如图．1由图易知原函数在 0，2上单调递增．答案：B考点三函数单调性的应用函数单调性的应用比较广泛，是每年高考的重点和热点内容．见的命题探究角度有：1．求函数的值域或最值．2．比较两个函数值或两个自变量的大小． 3．解函数不等式．4．求参数的取值范围或值．归纳起来，常求函数的值域或最值2x ＋－ 3，x≥1，1. 已知函数 f（x）＝xlg x2＋1 ，x<1，则 f(f( － 3)) ＝， f(x) 的最小值是________二比较两个函数值或两自变量的大小12．已知函数 f(x) ＝log 2x＋，若 x1∈(1,2) ，x2∈(2 ，＋∞ ) ，则( )1－xA．f(x 1)<0 ，f(x 2)<0 B．f(x 1)<0，f(x 2)>0C．f(x 1)>0 ，f(x 2)<0 D．f(x 1)>0，f(x 2)>0三解函数不等式x3，x≤0，23．已知函数 f(x) ＝若 f(2 －x2)>f(x) ，则实数 x 的ln x＋ 1 ，x>0，取值范围是 ( )A．( －∞，－ 1)∪(2 ，＋∞)B．( －∞，－ 2) ∪(1 ，＋∞)C．( －1,2)D．( －2,1)四利用单调性求参数的取值范围2－ a x ＋ 1 x<1 ，4．已知 f(x) ＝x 满足对任意 x1≠x2，都有 a x ≥1f x1 －f x21 －2 >0成立，那么 a的取值范围是 ( )x1－x233A. 2， 2B. 1，2C．(1,2) D．(1 ，＋∞)1.解析：由题知，f( －3) ＝1，f(1) ＝0，即 f(f( －3)) ＝0.又 f(x) 在(－∞， 0)上单调递减，在 (0,1) 上单调递增，在 (1 ， 2)上单调递减，在 ( 2，＋∞)上单调递增，所以 f(x) min＝ min{f(0) ，f( 2)} ＝2 2－3.答案： 0 2 2－312.解析：∵函数 f(x) ＝log 2x＋在(1 ，＋∞ )上为增函数，且 f(2) ＝0，1－x∴当 x1∈(1,2) 时， f(x 1)<f(2) ＝0，当 x2∈(2 ，＋∞ )时， f(x 2)>f(2) ＝0，即 f(x 1)<0 ，f(x 2)>0.答案：B3.解析：∵当 x＝0 时，两个表达式对应的函数值都为零，∴函数的图象是一条连续的曲线．∵当x≤0时，函数 f(x) ＝ x3为增函数，当 x>0 时，f(x) ＝ln(x ＋ 1)也是增函数，且当 x1<0，x2>0 时，f(x 1)<f(x 2) ，∴函数 f(x) 是定义在 R上的增函数．因此，不等式 f(2 －x2)>f(x) 等价于 2－x2>x，即 x2＋ x－ 2<0，解得－2<x<1，故选 D.答案：D2－a>0，4.解析：依题意，f(x) 是在 R上的增函数，于是有 a>1，12－a × 1＋1≤a.3解得2≤a<2，故选 A.答案：A函数单调性应用问题的四种类型及解题策略(1) 比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2) 解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间 [a，b] 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．(4)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．1.确定抽象函数的单调性以及解含“ f ”的不等式【典例】函数 f(x) 对任意 a，b∈R，都有 f(a ＋b) ＝f(a) ＋f(b) －1，当 x>0 时，有 f(x)>1.(1) 求证： f(x) 是 R上的增函数；(2) 若 f(4) ＝5，解不等式 f(2t －1) －f(1 ＋t)<2.[ 规范解答 ] (1) 证明：设 x1， x2∈R 且 x1<x2，则 x2－x1>0，∴f(x 2－x1)>1.(2 分)根据条件等式有f(x 2) －f(x 1) ＝ f(x 2－x1＋x1) －f(x 1) ＝f(x 2－x1)＋f(x 1)－1－f(x 1) ＝f(x x1) －2－1>0，∴f(x 1)<f(x 2) ，∴f(x) 是 R上的增函数． (6 分)(2) 由 f(a ＋ b) ＝f(a) ＋f(b) －1，得 f(a ＋b) －f(a) ＝f(b) －1，∴f(2t －1)－f(1 ＋t) ＝f(t －2) － 1， (8 分)∴f(2t －1) －f(1 ＋t)<2 ，即 f(t －2) － 1<2，∴f(t － 2)<3.又 f(2 ＋2) ＝f(2) ＋f(2) －1＝5，∴f(2) ＝3，∴f(t － 2)<3＝f(2) ．(10 分)∵f(x) 是 R 上的增函数，∴t －2<2，∴ t<4 ，故不等式的解集为 (－∞，4)．1． A．下列函数中，定义域是 －xy ＝eC ． 2．y ＝ ln x 下列四个函数： 1①y ＝3－x ；②y ＝x 2＋1；③y ＝x 2＋2x －10；④y ＝练习 A 组R 且为增函数的是 ()B ．D ．y ＝x y ＝|x| －x－1x x≤0x>0其中值域为 R 的函数有 ( A ．1个 B ．2个 C ．3个 23．若函数 f(x) ＝－ x ＋2ax 与函数 g(x) a＝x ＋1在区间 [1,2] 上都是减函数，则实数 a 的取值范围为 ( A ．(0,1) ∪ (0,1) B ．(0,1) C ．(0,1) D ．(0,1]2x 2－4x ＋3，x ≤0， 4．已知函数 f(x) ＝2－x － 2x ＋3， )∪(0,1]) 则不等式 f(a 2－4)>f(3a) 的解 集为( A ．(2,6) B ．( －1,4) C ．(1,4) D ．( －3,5) 5． 如果函数 y ＝f(x) 在区间 I 上是增函数，且函数 y ＝ 在区间 I 上是减函数，那么称函数 y ＝ f(x) 是区间 I 上的“缓增函 x x13数”，区间 I 叫作“缓增区间”．若函数 f(x) ＝12x 2－x ＋32是区间 I 上的“缓增 函数” ，则“缓增区间”I 为( ) A ．[1 ，＋∞ )B ．[0 ， 3] D ．[1 ， 3]6．已知 f(x) 是定义在 R上的偶函数，若对任意的 x1，x2∈[0，＋∞)(x 1≠x2) ， f x2 － f x1有 2 － II <0，则 f(3) ，f( －2) ，f(1) 的大小关系为________________________ ．x2－x11，x>0，7．设函数 f(x) ＝ 0，x＝0，g(x) ＝x2f(x －1) ，则函数 g(x) 的递减－1，x<0，区间是 _________ ．8．已知函数 f(x) ＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则 a 的取值范围是____________ ．x 9．已知 f(x) ＝x－a(x≠a)．(1) 若 a＝－ 2，试证 f(x) 在( －∞，－ 2)上单调递增；(2) 若 a>0且 f(x) 在(1 ，＋∞ )上单调递减，求 a的取值范围．II10．已知函数 g(x) ＝ x ＋1， h(x) ＝x＋3，x ∈( － 3，a] ，其中 a 为常数且a>0，令函数 f(x) ＝g(x) · h(x) ．(1) 求函数 f(x) 的表达式，并求其定义域；1(2) 当 a＝4时，求函数 f(x) 的值域．练习 B 组1．下列函数中，在区间 (0 ，＋∞) 上为增函数的是 ( )A．y＝ x＋1 B．y＝(x －1) 3 4C．y＝2－x D．y＝log 0.5(x ＋1)*2．“a≤0”是“函数 f(x) ＝|(ax －1)x| 在区间 (0 ，＋∞ )内单调递增” 的 ( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件－x＋6，x≤2，3．若函数 f(x) ＝ (a>0，且 a≠1)的值域是 [4 ，＋∞ ) ， 3＋ log a x，x>2则实数 a 的取值范围是 ________ ．4． a 为实数，函数 f(x) ＝|x 2－ax| 在区间 [0,1] 上的最大值记为 g(a) ．当 a＝ ____________ 时， g(a) 的值最小．答案1.解析：因为定义域是 R，排除 C，又是增函数，排除 A、D，所以选 B.答案：B－ x x≤0 ，2.解析：依题意，注意到 y＝3－ x 与函数 y＝ 1 的值－ x>0x32 2域均是 R，函数 y＝x2＋1的值域是 (0,1] ，函数 y＝x2＋2x－10＝(x＋1)2－11 的 x ＋ 1 值域是[ －11，＋∞ ) ，因此选 B.答案：B2 2a ≤ 1，3. 解析：注意到 f(x) ＝－(x －a) 2＋a 2；依题意得 即 0<a ≤1，故a>0，选 D.答案：D4. 解析：作出函数 f(x) 的图象，如图所示，则函数 f(x) 在 R 上是单调递减 的．由 f(a 2－4)>f(3a) ，可得 a 2－4<3a ，整理得 a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0， 解得－ 1<a<4，所以不等式的解集为 ( － 1,4) ．答案：B1 2 35. 解析：因为函数 f(x) ＝ 2x － x ＋ 2的对称轴为 x ＝1，所以函数 y ＝ f(x) 在 f x 1 3 1 区间［1 ，＋∞ )上是增函数，又当 x≥1时， x ＝2x －1＋2x ，令 g(x) ＝2x － 3 1 3 x 2 － 31＋2x (x ≥1)，则 g ′(x) ＝ 2－2x 2＝ 2x 2 ，由 g ′(x) ≤0得 1≤x ≤ 3，即函数13＝2x －1＋2x 在区间［1 ， 3］上单调递减，故“缓增区间”I答案：D∴f(x) 在(0 ，＋∞) 上为减函数． 又 f( －2) ＝f(2) ，1<2<3， ∴f(1)>f( －2)>f(3) 即 f(1)>f(2)>f(3) 答案： f(1)>f( －2)>f(3)2x ， x>1，7. 解析： g(x) ＝ 0， x ＝1，－x 2，x<1.是 ［0,1) ．答案： ［0,1)8. 解析：因为函数 f(x) 在( －∞，－ a)上是单调函数，所以－ a ≥－1，解得 a ≤1.fx x6. 解析：由 x 1，x 2∈(0 ，＋∞ )时，x 2 － x 1 x 2－x 1<0，如图所示，其减区间答案：( －∞，1]9. 解： (1) 证明：任设 x 1<x 2<－2，x 1x 2则 f(x 1) －f(x 2) ＝x 1＋2－x 2＋22 x 1 － x 2＝ x 1＋ 2 x 2＋2 .∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0 ，x 1－ x 2<0， ∴f(x 1)<f(x 2) ，∴f(x) 在( －∞，－ 2)上单调递增． 当 a>0 时， f(x) 在( －∞， a) ， (a ，＋∞ )上是减函数， 又 f(x) 在(1 ，＋∞ )上单调递减，∴0<a ≤1，故实数 a 的取值范围为 (0,1] ． 10. 解：(1) ∵f(x) ＝g(x)·h(x)＝( x ＋1) x ＋13＝x x＋＋31，1(2) 函数 f(x) 的定义域为 0，4 ， 3令 x ＋1＝t ，则 x ＝(t －1)2，t ∈ 1，2 ， t1 f(x) ＝F(t) ＝t 2－2t ＋4＝ 4 .t ＋t －24 3 3 4∵t ＝t 时，t ＝±2? 1，2 ，又t ∈ 1，2时，t ＋t 单调递减，F(t) 单调递增， 16∴F(t) ∈ 31，13 .16即函数 f(x) 的值域为 3， 13 .(2)f(x)x x － a ＋a x －a x － a1＋ ax －a ，∴f(x)x ＋1x ＋3 ，x ∈[0 ， a](a>0) ．11. 解析： y ＝(x － 1) 5仅在[1 ，＋∞ )上为增函数，排除 B ；y ＝2－x＝ 2 x为减 函数，排除 C ；因为 y ＝log 0.5t 为减函数， t ＝x ＋1 为增函数，所以 y ＝log 0.5(x ＋ 1)为减函数，排除 D ；y ＝ t 和 t ＝x ＋1 均为增函数，所以 y ＝ x ＋1为增函数， 故选 A.答案：A2. 解析：由二次函数的图象和性质知 f(x) ＝|(ax －1)x| 在(0 ，＋∞ )内单调 1递增，只需 f(x) 的图象在 (0 ，＋∞ )上与 x 轴无交点，即 a ＝0或 <0，整理得a ≤0， a 而当 a≤0时，结合图象 (图略)可知 f(x) 在(0 ，＋∞)上为增函数．故 a≤0是 f(x) 在(0 ，＋∞) 上单调递增的充要条件，故选 C.答案：Ca>1， 数 f(x) 的值域为 [4 ，＋∞ ) ，所以 解得 1<a ≤ 2，所以实数 a 的3＋log a 2≥4.取值范围为 (1,2] ．答案： (1,2]a a 24. 解析：f(x) ＝ x －2 2－ 4 ，其在区间 [0,1] 上的最大值必在 x ＝0，x ＝ 1， 2 a a a x ＝ 2处产生，即 g(a) ＝maxf 0 ，f 1 ，f 2 ＝ max 0，|1 －a| ， 4 ＝a2 a 2max|1 －a| ，4 ，在同一坐标系中分别画出 y ＝|1 －a| ，y ＝ 4的图象可知 (图略)，5在两图象的交点处， g(a) 取得最小值，此时 1－a ＝4，则 a ＝2 2－2(－2－2 2 舍去)．答案： 2 2－23. 解析：因为 f(x)－x ＋6，x ≤2，3＋ log a x ，所以当 x≤2时， f(x) ≥4；又函例题列函数中，在区间 （0 ，＋∞） 上单调递减的是 （ ）值范围是 （ ）f （x ） ＝x 1在（0 ，＋∞ ）上单调递减，故选x A.答案： A12.解析：要使 y ＝log 5（2x ＋1）有意义，则 2x ＋1>0，即 x>－2，而 y ＝log5u为（0 ，＋∞ ）上的增函数，当 x>－21时， u ＝2x ＋1也为 R 上的增函数，故原函数11的单调增区间是 －2，＋∞ . 答案： － 2，＋∞3. 解析：要使函数在 R 上是增函数，a－ ≥ 1， －2≥1， 则有 a<0，1． A ． 1f(x) ＝x 1B ．f(x) ＝(x －1) 2C ． f (x) ＝e xD ．f(x) ＝ln(x ＋ 1)2．函数 f （x ） ＝log 5（2x ＋1）的单调增区间是 －x － ax －5，x ≤1，3．已知函数 f （x ） a x ，x>1在 R 上为增函数， 则 a 的取A ．［ －3,0)B ． [ －3，－ 2]C ．（ －∞，－ 2]D ． ( －∞， 0)1. 解析：根据函数的图象知，函数－1－a－5≤a，解得－ 3≤a≤－ 2，即 a的取值范围是 [ －3，－ 2] ．答案： B。