矩阵论试卷(2012A)
学年工科硕士研究生期末考试矩阵论试题
武汉大学数学与统计学院2005-2006学年工科硕士研究生学位课程期末考试《矩阵论》 试题 (A 卷，150分钟)专业 电气工程 班号 姓名 学号注：所有的答题内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方的一律无效；交卷时将试卷连同答题纸、草稿纸一并上交。
一、 是非题(满分12“√”,否则打“×”)(√A 是n m ⨯的实矩阵，x 为n 维向量，则⇔=0Ax A T 0=Ax ；()()212200*0*000T T T m j mjm ji A Ax x A Ax Ax a a a Y Ax ⨯=∴==⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⇔=⇔==∑∑Tij m n j=1j=1令Y=（y ），则Y Y=0，即 ( × ) 2.设n 阶方阵A 满足E A =2，则A 的特征值只能是1；也可能是-1，如令1001A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭证明：21111111A E A AAx x A Ax A x x A x Ax Ax x λλλλλλλλ----=⇒==⇒=⇒==⇒=⇒=⇒=±(√ ) 3.欧氏空间n R 上的任意两种向量范数都是等价的； 在线性空间中所任意两种范数等价而欧氏空间是一种特殊的线性空间(√ ) 4.设A 为n m ⨯矩阵，B 为n 阶可逆方阵，则---=A B AB 1)(.()()()111()AB B A AB ABB A AB AA AB ABAB B A--------===∴=二、 填空题(本题满分12分,每空3分).设有三个四维向量T T T Z Y X )3,1,1,2(,)1,1,1,1(,)1,1,1,1(=--=-=.则它们的2-范数分别为=2X2 ; =2Y2 ;2Z 且与Z Y X ,,都正交的所有向量为 (4013)k -. 即求1234111101111021130x x x x ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪--= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的解。
研究生期末试题矩阵论a及答案
,
可得谱分解式 （10分）
六、当 时， ；当 时，存在 与 使得 ，从而有
，（4分）
对于 ，有
，（7分）
对于 ，有
所以 是 中的矩阵范数.（10分）
七、解
，
， ，
.（10分）
八、容易求出矩阵A的最小多项式为 ，所以 ，于是
由此知 的内插多项式表示为
.（6分）
将矩阵A代入上式得
.
当 时， ，故
一、(10分) 为数域，对于线性空间 中任意矩阵 ，规则 ， 分别为
，问 ， 是否为 上的变换，如果是，证明该变换为线性变换，并求该变换在基 ， ， ， 下的矩阵，判断该变换是否为可逆变换．
解：因 ， ，故 为 上的变换， 不是 上的变换。（4分）
又对于线性空间 中任意矩阵 ， ， ，故为线性变换。（6分）
七、(10分)已知函数矩阵
，
其中 ，试求 ， ， ， .
八、(10分)已知矩阵 ，写出矩阵函数 的Lagrange-Sylvester内插多项式表示，并计算 .
.
长 春 理 工 大 学
研 究 生 期 末 考 试标准答案及评分标准
科目名称：矩阵论命题人：姜志侠
适用专业：审核人：
开课学期：2012——2013学年第 一 学期□开卷√闭卷
长 春 理 工 大 学
研 究 生 期 末 考 试试 题
科目名称：矩 阵 论命题人：姜志侠
适用专业：理 工 科审核人：
开课学期：2013 ——2014 学年第 一 学期□开卷 √闭卷
一、(10分) 为数域，对于线性空间 中任意矩阵 ，规则 ， 分别为 ，问 ， 是否为 上的变换，如果是，证明该变换为线性变换，并求该变换在基 ， ， ， 下的矩阵．
矩阵理论 (A-B卷)及答案
矩阵理论矩阵理论 2006-2007 学年第 一 学期末考试试题（A 卷）及答案一、 填空题（共20分，每空2分）1、 在欧氏空间4R 中，与三个向量(1,1,1,1),(1,1,1,1),(2,1,1,3)---都正交的单位向量为：)3,1,0,4(261-±2、 已知122212221A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 则12__________;__________;__________;F A A A A ∞====3、 已知三阶方阵A 的初等因子为()()21,1λλ--，则A 的约当标准形为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1100100014、 已知cos sin ()sin cos t t A x t t ⎛⎫=⎪-⎝⎭，则1()______________;()______________;|()|______________;|()|______________.d dA t A t dt dtd dA t A t dt dt-====.1,0,s i n c o s c o s s i n ,s i n c o s c o s s i n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---t t t t t t t t 二、解答下列各题(（共48分，每小题8分）1. 用最小二乘法求解线性方程组121312312312021x x x x x x x x x x +=⎧⎪+=⎪⎨++=⎪⎪+-=-⎩解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=121111101011A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1021,111021011111b A T，-------------（3’） 所以b A x x x Ax A TT =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=312311164144321-----------------------（7’）求得最小二乘解为.64,613,617321-=-==x x x -------------------------------------（8’） 2. 设111111111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，试计算43()322A A A A E φ=-++。
2012年1月(A卷解答)
2012年1月(A卷解答)2011~2012学年秋季学期线性代数（B ）(A 卷)课程考试试题（解答）一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分，请将合适的答案填在每题的空中）1. 设,A B 都是n 阶矩阵，且它们的行列式分别为3 2 A B ==-，，则AB 2= 62 n-⨯．2．若向量组T T T123(1,2,3),(2,3,4),(3,4,)t ααα===线性相关，则t = 5 ．3. 设n 阶矩阵A 与B 相似，且3A E +不可逆，则B 的一个特征值为 3 -．4．设3阶矩阵A 的特征值互不相同, 若行列式||0=A , 则A 的秩为 2 ．5. 若二次型()()222212312332f x ,x ,x x t x t x =+--是正定的，那么t 取值范围为 20 t <．二、 选择题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1．已知四阶行列式312D 201321=-，则13332A A +的值为【 C 】．（其中ijA 为行列式D 中元素a ij 的代数余子式．）(A) 2； (B) 1； (C) 0； (D) 3． 2． 设12,,,sa a a 均为n 维列向量，下列选项不正确的是【 B 】．(A) 对于任意一组不全为0的数12,,,sk k k 都有s s k a k a k a 1122,0+++≠，则12,,,sa a a 线性无关；(B) 若12,,,sa a a 线性相关，则对于任意一组不全为0数12,,,sk k k 都有s s k a k ak a 1122,0+++=；(C) 12,,,sa a a 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s ；(D) 若12,,,sa a a 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关． 3. 设3阶矩阵A 的特征值为123221λλλ==-=，，，对应的特征向量依次为123,,p p p ，令()123,,P =p p p ，则1-PAP =【 D 】．(A) 200020001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； (B) 100020002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭； (C)200010002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭；(D)200020001⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.4. 已知12,ββ是非齐次线性方程组Ax b =的两个不同的解，12,αα是其对应的齐次线性方程组0Ax =的一个基础解系，则Ax b=的通解为【 A 】． (A)k k k k R 112212121()(,)2ααββ+++∈； (B)k k k k R 112212121()(,)2ααββ++-∈;(C)k k k k R 1122112(,)ββα++∈； (D)11!ni n i==∑10分四、（本题满分10分）设矩阵300011014A ⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭，361123B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，且满足B X AX +=2，求矩阵X .解答：由BX AX +=2得，(2)A E X B-=4分1100(2)021011A E -⎛⎫⎪-=-- ⎪⎪⎝⎭8分1(2)X A E B -=-=100021011⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭361123⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭364132⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭10分 或1003610036(2,)01111 010410122300132A E B r ⎛⎫⎛⎫⎪⎪-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，X =364132⎛⎫ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭．五、（本题满分14分，第1题10分，第2题4分）1. 已知非齐次线性方程组121312311x x x x x ax x b+=⎧⎪-=⎨⎪++=⎩ ；（1）求参数的值为何值时，方程组无解，有无穷多解，有惟一解；（2）并在有解时，求其解． 2. 设矩阵1234(,,,)αααα=A ，矩阵A的秩()3R =A ，且234,ααα=+12βαα=-+3α4α-，求方程β=Ax 的通解．解答：1. 对增广矩阵进行行初等变换，得 11011101(,)1011 0110110021A b r a b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，3分 （1）21a b =≠，时，方程组无解； 4分2a ≠时，方程组有惟一解；5分21a b ==，时，方程组有无穷多解解；6分 （2）惟一解为1231121212b x a b x a b x a -⎧=+⎪-⎪-⎪=⎨-⎪-⎪=⎪-⎩8分21a b ==，时，11011011(,)1011 0110110000A b r a b -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭通解为1110()10x k k R ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．10分2．由()3R A =知，齐次线性方程组0Ax =的基础解系中含一个非零的解向量．由于234,ααα=+，则有123401(,,,)011⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭αααα，于是0111⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ξ是齐次线性方程组Ax =基础解系． 2分由12βαα=-+3α4α-，则有123411(,,,)11⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ααααβ，3分于是1111η*⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭是方程β=Ax 的特解，故β=Ax 的通解为()x k k R ξη*=+∈． 4分六、（本题满分14分）已知二次型T 21221232313(,,)222(0)f x x x x Ax =ax x x bx x b =+-+>，其中f 的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12．(1) 求a ，b 的值；(2) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．解答：(1) 二次型f的矩阵为002002a b A b ⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭2分设A 的特征值为iλ（1, 2, 3i =）． 由题设条件，有1232(2)1a λλλ++=++-=，21230020421202a ba b b λλλ==--=-，解得1, 2a b ==．4分(2) 矩阵A 的特征多项式()21020202(3)22A E λλλλλλ--=-=--+--，所以A的特征值122λλ==，33λ=-． 7分对于122λλ==，解齐次线性方程组(2)0A E x -=，得对应的特征向量T1(2,0,1)a =， T2(0,1,0)a =．9分 对于33λ=-，解齐次线性方程组(3)0A+E x =，得对应的特征向量T3(1,0,2)a=-． 10分由于1a ，2a ，3a 已是正交向量组，只需将1a ，2a ，3a 单位化，由此得T155β=，T2(0,1,0)β=，T355β=．令矩阵()123055,,010055Q βββ⎛⎫ ⎪⎪==⎪⎪ ⎝，则Q 为正交矩阵．在正交变换=X QY 下，有T 200020003Q AQ ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪-⎝⎭，13分且二次型f的标准形为222123223f y y y =+-．14分七、（本题满分12分，每小题各6分）证明下列各题： 1. 若向量1234,,,ξξξξ是n 元非齐次线性方程组Ax b =的解向量，那么它们的线性组合11223344k k k k ξξξξ+++也是该方程组解向量的充分必要条件是12341k kk k +++=；2. 设A 是n 阶矩阵，1λ和2λ是A 的两个不同的特征值，12,ηη是A的属于特征值1λ的两个线性无关的特征向量，3η是A的属于特征值2λ的特征向量，证明：123,,ηηη线性无关．证：1. 向量1234,,,ξξξξ是n 元非齐次线性方程组Ax b =的解向量，则(1,2,3,4)iA b i ξ==， 2分于是，11223344112233441234() (),A k k k k k A k A k A k A k k k k b ξξξξξξξξ+++=+++=+++4分 故11223344k k k k ξξξξ+++也是该方程组解向量的充分必要条件是12341k k k k +++=． 6分 2. 令1122330k k k ηηη++=． (1)2分用A 左乘上式得1122330k A k A k A ηηη++=，由111212323,,A A A ηληηληηλη===得，1112123230k k k ληληλη++=． (2)1(1)(2)λ⨯-得3123()0k λλη-=，由12λλ≠，30η≠，知30k =，代入(1)得11220k k ηη+=，4分 再由12,ηη线性无关知，120k k ==，故123,,ηηη线性无关． 6分八、（本题满分6分）设A 为3阶实对称矩阵，且A 的秩()2R A =，已知111100001111A -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，求： A 的所有特征值及每一个特征第 11 页 共 11 页 11 值所对应的特征向量．解答：由111100001111A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭得，111100, 001111A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则11λ=-是A 的特征值，p k k 110(0)1⎛⎫ ⎪=≠ ⎪ ⎪-⎝⎭是与之对应的特征向量， 2分21λ=是A 的特征值，p k k 210(0)1⎛⎫ ⎪=≠ ⎪ ⎪⎝⎭是与之对应的特征向量． 4分 由()2R A =知，30λ=是A 的特征值．设与30λ=对应的特征向量为1323x p x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，由于A 为3阶实对称矩阵，故3p 分别与12, p p 正交，于是有121200x x x x -=⎧⎨+=⎩，则p k k 301(0)0⎛⎫ ⎪=≠ ⎪ ⎪⎝⎭ ．6分。
矩阵论考试题
T
任课教师
0 c c 5. 设 A c 0 c ,当 c c c 0
时,A 为收敛矩阵.
二、试用 Househoulder 变换将向量 x (1 , 2 , 2) 化为与 e1 (1 , 0 , 0) 同方向的 向量。 （8 分）
1 8 0 0
2 1 4 0
1 1 至少有两个实特征值。(10 分) 0 1
0 1 2 3 八、求矩阵 A 0 2 1 1 的满秩分解(10 分) 2 4 2 4
九、求矩阵 A 的 Jordan 标准形及相应的相似变换矩阵。其中 1 1 A 5 21 10、设 A H A , B H B ，证明： （1） e iA 为酉矩阵； （2） e B 为酉矩阵 (10 分) （10 分）
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中国民航大学 2010－2011 学年第一学期 研究生《 矩阵论 》期末考试试卷
姓名
线――――――――――――――――――――――――――――――－
专业
学号
考试形式：闭卷
一、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 1． det e A 2. 已知 e
At
2 e t e 2 t e 2t e t e 2t e t
姓名：
2 3 0 五、已知 A 1 3 0 ，求 A 的 Doolittle 分解。 1 3 6
(8 分)
1 0 0 六、矩阵 A ，求 A (8 分) 2 0 0
班级：
第 2 页 共 2 页
9 0 七、应用盖尔圆定理证明 1 1
矩阵论试题及答案
一．（10分）已知n n C ⨯中的两种范数a ⋅和b ⋅，对于n n C A ⨯∈，证明b a A A A +=是n n C ⨯中的范数. 解：⑴非负性：由于b a ⋅⋅,是两种范数，故当A=0时，0,0==b a A A ，所以000=+=+=b a A A A ； 当A ≠0时，0,0>>b a A A ，所以0>+=b a A A A⑵齐性：()A A A A A A A A b a b a b a ααααααα=+=+=+= ⑶三角不等式：B A B A B A B A B A B A b b a a b a +=+++≤+++=+二．(每小题10分,共20分)已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=101121103A ,()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=002t e t b , 1. 求At e2. 用矩阵函数方法求微分方程()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=+=T x t b t Ax t x dt d1,0,10的解.解：1. ()1112113det ----=-λλλλA I ()()3211132-=----=λλλλ显然, )det(A I -λ的一阶子式的公因子为1, 容易知道)det(A I -λ 的二阶子式的公因子为2-λ,所以A的最小多项式为()()()23222-=--=λλλλm ,即()()022=-=I A A m ,设()()()b a g m e f t ++==λλλλλ,则()a te f t =='λλ 对于特征值2=λ有()()⎩⎨⎧=='+==a te f b a e f t t 22222,()⎩⎨⎧+-==ttet b te a 2212 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+=+=t t t t t t e bI aA e t At1010122. ()()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰--ds e s s s ss s e e ds s b e x e t x s t s At t As At 001010110102020 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=t t e t e t At 1001012三．(15分)用Givens 变换求⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2100421132403100A 的QR 分解. 解：()T01001=β,构造()s c T ,13=,1101sin ,0100cos 22232132223211=+=+===+=+==xx x s x x x c θθ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=210031002340421121421132403100100000010010010013A T⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=21312A , 构造),(12s c T , ()21sin ,21111cos 222122222211=+==-=+--=+==x x x s x x x c θθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=1052212131111121212A T⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2/1002/12/1002/10010010013122T T I T ,⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==2/12/100000100102/12/100TT Q ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2/12/522344211R四．(10分)用Gerschgorin 定理证明⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=8110260110410100A 至少有两个实特征值. 解：A 的4个盖尔圆为:{}1|1≤=z z G ,{}2114|2=+≤-=z z G , {}3216|3=+≤-=z z G , {}2118|4=+≤-=z z G ,它们构成的两个连通部分为11G S =,4322G G G S =.易见,1S ,2S 都关于实轴对称且各含有1个和3个特征值,因为实矩阵的复特征值必成对出现, 故1S ,2S 必各含有一个实特征值,从而A 至少含有2个实特征值.五．(20分)已知⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=221221*********A ,⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=44111b 1. 求A 的满秩分解.2. 求+A3. 用广义逆矩阵的方法判别方程组b Ax =是否相容.4. 求方程组b Ax =的极小范数解或极小范数最小二乘解并指出所求解的类型.解 1。
南航07-14矩阵论试卷
南航07-14矩阵论试卷南京航空航天大学07-14硕士研究生矩阵论试题2007 ~ 2008学年《矩阵论》课程考试A 卷一、（20分）设矩阵-----=111322211A ，（1）求A 的特征多项式和A 的全部特征值；（2）求A 的行列式因子、不变因子和初等因子；（3）求A 的最小多项式，并计算I A A 236-+；（4）写出A 的Jordan 标准形。
二、（20分）设22?R 是实数域R 上全体22?实矩阵构成的线性空间(按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法)。
（1）求22?R的维数，并写出其一组基；（2）设W 是全体22?实对称矩阵的集合，证明：W 是22?R的子空间，并写出W 的维数和一组基；（3）在W 中定义内积W B A BA tr B A ∈=,),(),(其中，求出W 的一组标准正交基；（4）给出22?R 上的线性变换T ：22,)(?∈?+=R A A A A T T写出线性变换T 在（1）中所取基下的矩阵，并求T 的核)(T Ker 和值域)(T R 。
三、（20分）（1）设-=121312A ，求1A ，2A ，∞A ，F A ；（2）设nn ij C a A ?∈=)(，令ijji a n A ,*max ?=，证明：*是n n C ?上的矩阵范数并说明具有相容性；（3）证明：*2*1A A A n ≤≤。
四、（20分）已知矩阵-=100100011111A ，向量=2112b ，（1）求矩阵A 的QR 分解；（2）计算+A ；（3）用广义逆判断方程组b Ax =是否相容？若相容,求其通解;若不相容,求其极小最小二乘解。
五、（20分）（1）设矩阵=????? ??=15.025.011210,2223235t t B t t A ，其中t 为实数，问当t 满足什么条件时, B A >成立？（2）设n 阶Hermite 矩阵022121211>=A A A A A H，其中k k C A ?∈11，证明：0,012111122211>->-A A A A A H。
矩阵论试题参考答案(2012年)
n n 1 , det X xik X ik xij X ij xik X ik ，其中 X ik 是 xik 的代数 det X k 1 k j
余子式，
det X X ij ，从而 xij
det X 1 xij
xij
1 det X
2012 年矩阵论试题参考答案
一、(16 分) 已知 4 阶方阵 A 的特征值为 1, 2, 2, 2 ，且其一阶和二阶行列式因子分别为
D1 1, D2 2.
1.(6 分) 求 A 的不变因子和最小多项式； 2.(4 分) 求 A 的 Jordan 标准形； 3.(6 分) 求实数 t 的取值范围，使 cos At 为收敛矩阵. 解 . 1 ． 因 为 D4 即 为 A 的 特 征 多 项 式 ， 且 A 的 特 征 值 为 1, 2, 2, 2 ， 故
A 的最小多项式为 mA d 4 1 2 ．
2．由 A 的不变因子知， A 的初等因子为
1, 2, 2, 2 ，故 A 的 Jordan 标准形
1 2 ． 为 J 2 2
u1 1 , , m , v1 m 1 , , m n , u2 1 , , m , v2 m 1 , , m n ，则
T T T T
x y u1 u2
a
v1 v2
b
u1 a u2
D4 1 2 . 再由行列式因子与不变因子的性质与相互关系知 D3 2 ，
3 2
从而 A 的不变因子为
研究生期末试题矩阵论a及答案
验证 是 中的向量范数.
八、(10分)已知矩阵 ，写出矩阵函数 的Lagrange-Sylvester内插多项式表示，并计算 。
长 春 理Leabharlann 工 大 学研 究 生 期 末 考 试标准答案及评分标准
科目名称：矩阵论命题人：姜志侠
适用专业：审核人：
开课学期：2012——2013学年第 一 学期□开卷√闭卷
计算
，
则得谱分解式
+2 （10分）
六、
．
由于 ，
于是有 ，故
（10分）
七、当 时， ；当 不恒等于零时，由其连续性知 必在 的某个子区间 上不等于零，从而有
，
对于 ，有
，
对于 ，有
，
故 是 中的向量范数.（10分）
八、容易求出矩阵A的最小多项式为 ，所以 ， ，于是
由此知 的内插多项式表示为
将矩阵A代入上式得
长 春 理 工 大 学
研 究 生 期 末 考 试试 题
科目名称：矩 阵 论命题人：姜志侠
适用专业：理 工 科审核人：
开课学期：2012——2013学年第 一 学期□开卷 √闭卷
一、(10分)设 是 的一个基，试求由 ，
， 生成的子空间 的基．
二、(10分)在 中，设 ，定义实数 为 ，判断是否为 中 与 的内积。
．
(2) 在基(Ⅱ)的坐标为 ，由坐标变换公式计算 在基(Ⅰ)下的坐标为
．（10分）
四、首先求出A的Jordan标准形
，
所以行列式因子 ；
不变因子 ；（6分）
那么A的初等因子为 ，故A的Jordan标准形为
．(10分)
五、解：求出 的特征根 （二重），计算对角化相似因子 及其逆 为
南京航空航天大学2007-2014硕士研究生矩阵论matrixTheory试题
2 3 4 A 4 6 8 6 7 8 。 一（20 分） （1）设
2010 ~ 2011 学年《矩阵论》 课程考试 A 卷
（i）求 A 的特征多项式和 A 的全部特征值； （ii）求 A 的行列式因子，不变因子和初等因子； （iii）写出 A 的 Jordan 标准形；
1 A* A2 A* （3）证明： n 。
1 1 1 1 A 0 0 0 0 四、 （20 分）已知矩阵
（1）求矩阵 A 的 QR 分解；
1 2 0 1 b 1 1 2 1 ，向量 ，
（2）计算 A ；
17 6 14 60 A , B 45 16 3 13 ，试问 A 和 B 是否相似？并说明 （2）设
原因。
2 1 A 1 2 3 1 ，求 A 1 ， A 2 ， A ， A F ； 二（20 分） （1）设
（3）用广义逆判断方程组 Ax b 是否相容？若相容,求其通解;若不相容,求其极小最小二乘解。
五、 （20 分）
（1）设矩阵
问当 t 满足什么条件时, A B 成立？
5 3 2 0 1 A 3 2 t , B 1 1 2 t 2 2 0 .5 t
五（20 分）设
A ( a ij )
为 n 阶 Hermite 矩阵，证明：
3
存在唯一 Hermite 矩阵 B 使得 A B ；
2
（2）
（3） 如果 A 0 ，则 tr ( A)tr ( A ) n 。
1
如果 A 0 ，则 tr ( A ) (tr ( A)) ；
2
南开大学2012线性代数期末考试试卷A卷
南开大学2011～2012学年第2学期期末考试试卷《线性代数》（A 卷 共5页）（考试时间：2012年6月16日）一、填空与选择(30分，每小题3分)1.设d a a a a a a a a a =333231232221131211，则=------333232213123222221211312121111432432432a a a a a a a a a a a a a a a ________.2.=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-10057002311003200______________________.3.设B A ,均为n 阶方阵，则有( ).(A))()()(B A B A r r r +=+ (B))()()(B A AB r r r =(C))()(B A B O O A r r r +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ (D))()(B A B O O A r r r =⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 4.设向量组4321,,,αααα线性无关，则14433221,,,αααααααα++++的秩为______.5.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----13222123a 与⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡λ00020002相似，则=λ______，=a ______.6.设33⨯A 的全体特征值为3,2,1-，则( )为可逆矩阵.(A)A E-(B)E A 2+ (C)E A 2-(D)E A 3-7.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100110111A 为线性变换σ在基321,,:(I)ξξξ下的矩阵，则σ在基321211,,:(II)ξξξξξξ+++下的矩阵为=B _______________.8.设T ]2,1[是实对称矩阵A 的特征向量，且0||<A ，则( )也是A 的特征向量.(A)R ∈k k ,]2,1[T (B)R ∈-k k ,]1,2[T非零(C)R ∈-+21T 2T 1,,]1,2[]2,1[k k k k 不全为零(D)R ∈-+21T2T 1,,]1,2[]2,1[k k k k 全不为零9.实二此型32312123222132182292),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=有标准形( ).(A)23222192y y y ++ (B)23222192y y y -+ (C)23222192y y y -- (D)2221y y +10.设B A ,均为n 阶正定矩阵，则( )不一定是正定矩阵.(A)B A + (B)BA AB + (C)ABA (D)⎥⎦⎤⎢⎣⎡B O O A 二、(28分，前3小题各6分，第4小题10分)1.计算n 阶行列式(3≥n ) 022122122011110=nD .2.设n 阶方阵A 满足O E A A A =+--43223，求证E A 2-可逆，并求1)2(--E A .3.求向量组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=6211α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2102α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3013α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=4234α的一个极大无关组，并用该极大无关组线性表示向量组中其他向量.4.设E B A BA A -=-*1，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=863462222*A 为A 的伴随矩阵，试不计算A 与1-A ，而直接求矩阵B .三、(12分)设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+-=-+++-=++---=+---.42,2722,322263,15254321543215432154321t x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 有解，求参数t ；求解线性方程组，若有无穷多解，用其特解与对应齐次线性方程组的基础解系联合表出通解.四、(10分)定义线性空间3R 的变换σ如下：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡323210x x x x x σ，3321R ∈⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∀x x x .1)求证σ是线性变换；2)求σ在3R 的基⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111,011,001321ααα下的矩阵A .五、(15分)求正交矩阵S 与标准形),,(321y y y g ，使得二次型323121232221321442522),,(x x x x x x x x x x x x f --+++=经过正交线性替换T 321T 321],,[],,[y y y x x x S =化为标准形),,(321y y y g .六、(5分)设矩阵n n ij a ⨯=][A 的每列全体元素之和均为1.1)求证1是A 的特征值； 2)设T 210],,,[n c c c =X 为齐次线性方程组0=AX 的解向量，求证 021=+++n c c c .线性代数试卷答案(120606)一、(30分，每小题3分)填空：d 2；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----O O 21313725；3=r ；6,4=-=a λ；A B =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=100110111. 选择：CCBBB.二、(28分，前3小题各6分，第4小题10分)1.12122111)2(2122112121110)2(2--≥--=--+--≥-∑n n j j i nn c c i r r D. 2.E E A E A 2)3)(2(2=--，因而E A 2-可逆，且23)2(21EA E A -=--.3.],,,[4321αααα⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-−−−−−→−6100160109001有限次初等行变换，因而321,,ααα是一个极大无关组，且32146169αααα-+=.4.E BA E BA A AE B A A B -=-=-=--**11||)(，即E E A B =-)(*，因而⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-=--1030122211763452221)(11E A B *.三、(12分)增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−−−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----------=20000012100013010010002111142272121322263151121~t t 有限次初等行变换A ， 因而2=t ，且通解为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=12300000120110121k k X ，其中21,k k 为任意常数.四、(10=4+6分)1)R R ∈∈⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∀k y y y x x x ,,3321321， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡32132132323322332211321321000y y y x x x y y x x y x y x y x y x y x y y y x x x σσσσ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡321323232132100x x x k x x k kx kx kx kx kx x x x k σσσ，因而σ是线性变换.2)⎪⎩⎪⎨⎧-=-==,)(,)(,)(1331221ααααααασσσ0 因而⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=100010110A . 五、(15分)二次型的矩阵为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----=522221212A . )7()1(||2--=-λλλA E ，因而A 的全体特征值为7,1321===λλλ，二次型的标准形为 2322213217),,(y y y y y y g ++=. 下面求正交线性替换矩阵S . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-−−−−−→−-O E A 211有限次初等行变换，因而标准正交特征向量组为6/211,3/111,2/011321⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=X X X ， 正交线性替换矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=62310613121613121S . 注 属于特征值121==λλ的特征向量组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-==−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=111011102),(),(,102,01111112221121ββββααβαβαα正交化.六、(5=3+2分)1)||A E -011000111212222121212222111211=------+++---------=nnn n nn nnn n n na a a a a a r r r a a a a a a a a a ，因而1是A 的特征值.2)0=0AX ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++,0,,0,0221122221211212111n nn n n nn n n c a c a c a c a c a c a c a c a c a n 个等式相加得021=+++n c c c .。
矩阵论A卷
武汉理工大学研究生课程考试试题纸（A 卷）课程名称 矩阵论 专业年级 全校2012级备注: （共2页，共7个大题，答题时不必抄题，标明题目序号）一、填空题(共5小题，每题3分，共15分)1. 实数域上所有阶反对称矩阵所构成的线性空间的维数是.R n 2. 设向量，则= .(2,1,3,12)T i i i α=--2||||α3. 已知矩阵，则的LU 分解为 .1235A ⎛⎫= ⎪⎝⎭A 4. 设是n 维欧氏空间V 中一单位向量，定义. 若在η2(,),T V ααηαηα=-∀∈T 标准正交基下的矩阵为A ，则 .||A =5.设4阶方阵A 的特征值为，则=.,,0,0ππ-sin A 二、(15分)设是两个线性无关的向量，.12,n R αα∈{|(,)0,1,2}n i W R i ββα=∈==(1)证明：是的线性子空间;W n R (2)求的维数.W 三、(15分)设，在线性空间上定义映射1203A ⎛⎫= ⎪⎝⎭22R ⨯.22(),T X AX XA X R ⨯=-∀∈(1)证明：是上的线性变换；T 22R ⨯(2)求在基下的表示矩阵，其中是元为1、其余元T 11122122,,,E E E E ij E (,)i j 为0的2阶方阵.四、(15分)设线性空间，2340123[]{()|,0,1,2,3}i F x f x a a x a x a x a R i ==+++∈=对于任意的，定义.4(),()[]f x g x F x ∈11(,)()()f g f x g x dx -=⎰(1)证明是的一个内积;(,)f g 4[]F x (2)写出此空间的柯西—施瓦兹不等式；(3)由基出发，在题目所定义的内积下求的一组标准正交基.231,,,x x x 4[]F x 五、(15分)设矩阵，308316205A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭(1)求矩阵的Jordan 标准形；A (2)求的最小多项式.A 六、(15分)已知线性方程组为：AX b = ，123131312323102212463x x x x x x x x x x ++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪++=⎩(1)求矩阵的满秩分解；A (2)求矩阵的广义逆矩阵；A A +(3)求线性方程组的最小二乘解；AX b =(4)求线性方程组的极小范数最小二乘解.AX b =七、(10分)已知，05081316,12031A X ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭(1)求矩阵函数；At e (2)求微分方程组满足初始条件的解.()()dX t AX t dt=0(0)X X =。
南航07-14矩阵论试卷
南京航空航天大学07-14硕士研究生矩阵论试题2007 ~ 2008学年《矩阵论》 课程考试A 卷一、（20分）设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=111322211A ， （1）求A 的特征多项式和A 的全部特征值； （2）求A 的行列式因子、不变因子和初等因子；（3）求A 的最小多项式，并计算I A A 236-+；（4）写出A 的Jordan 标准形。
二、（20分）设22⨯R 是实数域R 上全体22⨯实矩阵构成的线性空间(按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法)。
（1）求22⨯R的维数，并写出其一组基；（2）设W 是全体22⨯实对称矩阵的集合， 证明：W 是22⨯R的子空间，并写出W 的维数和一组基；（3）在W 中定义内积W B A BA tr B A ∈=,),(),(其中，求出W 的一组标准正交基；（4）给出22⨯R 上的线性变换T ： 22,)(⨯∈∀+=R A A A A T T写出线性变换T 在（1）中所取基下的矩阵，并求T 的核)(T Ker 和值域)(T R 。
三、（20分）（1）设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=121312A ，求1A ，2A ，∞A ，F A ； （2）设nn ij C a A ⨯∈=)(，令ijji a n A ,*max ⋅=，证明：*是n n C ⨯上的矩阵范数并说明具有相容性；（3）证明：*2*1A A A n ≤≤。
四、（20分）已知矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100100011111A ，向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2112b ， （1）求矩阵A 的QR 分解；（2）计算+A ；（3）用广义逆判断方程组b Ax =是否相容？若相容,求其通解;若不相容,求其极小最小二乘解。
五、（20分）（1）设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=15.025.011210,2223235t t B t t A ，其中t 为实数，问当t 满足什么条件时, B A >成立？（2）设n 阶Hermite 矩阵022121211>⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A A A A A H，其中k k C A ⨯∈11，证明：0,012111122211>->-A A A A A H。
华中科技大学硕士研究生矩阵论2012年试题
矩陣論2012年試題一、 填空題：（每個空3分，共27分）1、設矩陣⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---=i i i i i A 1013122131,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111X ,其中1-=i ，則______,1=AX .______1=A 2、設矩陣1000030012-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=P P A ，則______;)(dim =A N .______)(λA m 3、矩陣⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000a a a a a a A ，則a 滿足條件______時，矩陣冪級數∑∞=0k k A 收斂. 4、論矩陣⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=221132332211A ，則A 的LDV 分解為.______= 5、設⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3/10002/10001A ,)sin(A 的Jordan 矩陣______;)sin(=A J .______)sin(lim =∞>-n n A6、設⎥⎦⎤⎢⎣⎡=201a A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1203B ，則矩陣方程0=+XB AX 有非零解的條件是.______≠a 二、（15分）設線性空間3R 上的線性變換T 在基},,{321e e e 下的變換矩陣為⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211a a a a a a a a a A ， （1） 求變換T 在基},3,{321e e e 下的變換矩陣.（2） 求變換T 在基},,{3211e e e e +下的變換矩陣.三、（15分）設矩陣⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000012A （1）求矩陣A 的奇異值分解.（2）求矩陣A 的P M -廣義逆+A .四、（15分）設⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111,011L W 是空間3R 的子空間， （1）求空間3R 上的正交投影變換P ，使得P 的象空間.)(W P R =（2）求空間3R 的向量T]3,2,1[=α在投影變換P 下的象. 五、（15分）設⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=502613803A ，計算矩陣函數.At e 六、證明題：（1）（7分）設A 是可逆矩陣，n σ是矩陣A 的最小奇異值，證明n A σ121=-（2）（6分）設矩陣A 和B 都是n 階方正，證明)()()(B rank A rank B A rank ⋅=⊗。
矩阵论试卷(2012A)答案(1[1].5)
![矩阵论试卷(2012A)答案(1[1].5)](https://img.taocdn.com/s3/m/a30b5e8571fe910ef12df86e.png)
2
17 分
⇒ 由（1）的证明知，“=”成立时，有 A 酉相似于一对角阵，根据定理 4.5.2，A 为
正规阵 20 分
2× 2
三．（1） 对任意 X1 , X 2 ∈ W , k ∈ R, 都有 X1 + X 2 ∈ W , kX1 ∈ W , 所以， W 是 R ⎛ x11 线 性 子 空 间 ， 设 X =⎜ ⎜x ⎝ 21 ⎛ x11 X =⎜ ⎜x ⎝ 21 0 ⎞ ⎟, x11 + x21 ⎟ ⎠
的
x12 ⎞ ⎟ ∈ W , 因 为 AX = XA, 所 以 ， x22 ⎟ ⎠
⎛1 0⎞ ⎛0 0⎞ 5分 W 的一组基为 X1 = ⎜ ⎟ , X = ⎜ 2 ⎜0 1⎟ ⎜1 1 ⎟ ⎟, 维数是 2. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （ 2 ） 对 任 意 X1 , X 2 ∈ W , k ∈ R, 都 有 T ( X 1 + X 2 ) = T ( X1 ) + T ( X 2 ) ， 9分 T ( kX1 ) = kT ( X1 ) ，所以， T 为线性变换 ⎛1 0⎞ ⎛0 0⎞ （3）对于 W 的一组基为 X1 = ⎜ ⎜0 1⎟ ⎟, X 2 = ⎜ ⎜1 1 ⎟ ⎟, 有： ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 0 0⎞ ⎛ − 1 0⎞ T ( X 1) = ⎜ ⎜ 0 0⎟ ⎟ = 0X1 + 0 X2 ， T ( X 2 ) = ⎜ ⎜ 2 1⎟ ⎟ = −1 X1 + 2 X 2 ， ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 0 − 1⎞ ⎛ 0 −1⎞ T ( X 1 , X 2 ) = ( X 1 , X 2 )⎜ ⎜0 2 ⎟ ⎟ ， T 在（1）中所取基下的矩阵是 A = ⎜ ⎜0 2 ⎟ ⎟ 14 分 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 0⎞ ⎛0 0⎞ （4）对于 W 的一组基为 X1 = ⎜ ⎜0 1⎟ ⎟, X 2 = ⎜ ⎜1 1 ⎟ ⎟, ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ − b 0⎞ ⎛ 0 0⎞ 若 T ( aX 1 + bX 2 ) = ⎜ ⎟ ⎜ 2b b ⎟ ⎟=⎜ ⎜ ⎟ ，则有： b = 0 ， ⎝ ⎠ ⎝ 0 0⎠ 所以， Ker (T ) = {kI2 : k ∈ R )} ，维数为 1, 17 分 ⎛ −1 0⎞ R (T ) = {T ( X ) : X ∈ W } = span{T ( X 1 ), T ( X 2 )} = {k ⎜ ⎜ 2 1⎟ ⎟ : k ∈ R} ， ⎝ ⎠
矩阵理论试题参考答案
矩阵理论2007年考试参考答案一、判断题（40分）（对者打∨，错者打⨯）1、设,n nA B C⨯∈的奇异值分别为120n σσσ≥≥≥>，'''120n σσσ≥≥≥>，如果'(1,2,,)i i i n σσ>=，则22||||||||A B ++>. ( ⨯ )2、设n nA C ⨯∈为正规矩阵，则矩阵的谱半径2()||||r A A =. ( ∨ )3、设nn CA ⨯∈可逆，nn C B ⨯∈，若对算子范数有1||||||||1A B -⋅<，则B A +可逆.( ∨ )4、设323121000a a A a a a a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭为一非零实矩阵，则2221123()a a a A --++为A 的一个广义逆矩阵 ( ∨ )5、设A 为m n ⨯矩阵，P 为m 阶酉矩阵, 则P A 与A 有相同的奇异值. ( ∨ )6、设n nA C⨯∈，且A 的所有列和都相等，则()r A A ∞=. ( ⨯ )7、如果12(,,,)T n n x x x x C =∈，则1||||min i i nx x ≤≤=是向量范数. ( ⨯ )8、0010140110620118A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦至少有2个实特征值. ( ∨ ) 9、设,n nA C⨯∈则矩阵范数m A∞与向量的1-范数相容. ( ∨ )10、设n nA C⨯∈是不可逆矩阵，则对任一自相容矩阵范数有1I A -≥, 其中I 为单位矩阵. ( ∨ )二、计算与证明（60分）1. (10分)设矩阵n nA C ⨯∈可逆, 矩阵范数||||⋅是nC 上的向量范数||||v ⋅诱导出的算子范数,令()L x Ax =, 证明:||||11||||1max ||()||||||||||min ||()||v v vx vy L x A A L y =-==⋅.证明: 根据算子范数的定义, 有||||1max ||()||||||x L x A ==,11100||||1||||10||||||||111||||max max ||||||||||||min ||||min ||()||min ||||y A x x y y y y A x y A Ay x Ay Ay L y y --=-≠≠==≠=====,结论成立.2.(10分) 已知矩阵110130110,112114A b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,(1) 求矩阵A 的最大秩分解; (2) 求A +;(3) 用广义逆矩阵方法判断方程组Ax b =是否有解?(4) 求方程组Ax b =的最小范数解或最佳逼近解?(要求指出所求的是哪种解)解: (1)10110101011011A BD ⎛⎫⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭,(2)12111()1213T TB B B B +--⎛⎫== ⎪-⎝⎭, 121121()13521T T D D DD +--⎛⎫⎪ ⎪== ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭,541033157215541A D B +++-⎛⎫ ⎪ ⎪==⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭, (3) 314AA b b +⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭, 方程组Ax b =有解;(5) 最小范数解:()01101Tx A b +==.3. (10分) 设矩阵n nA C ⨯∈为单纯矩阵, 证明: A 的特征值都是实数的充分必要条件是存在正定矩阵n nH C⨯∈, 使得HA 为Hermite 矩阵.证明: (充分性) (0)Ax x x λ=≠, ,(0,)HHHHx HAx x Hx R x Hx x HAx R λ=∈>∈,R λ∈.(必要性) A 为单纯矩阵, 所以11, (,,),n i A P DP D diag R λλλ-==∈,令H H P P =, 则1H HHA P PP DP P DP -==为Hermite 矩阵. 4. (10分) 设矩阵n nA C⨯∈为行严格对角占优矩阵, 用Gerschgorin 圆盘定理证明:(1) 矩阵A 为可逆矩阵;(2) 如果矩阵A 的所有主对角元均为负数, 证明A 的所有特征值都有负实部. 证明：(1)A 行严格对角占优||||i ij ii j iR a a ≠⇒=<∑1({:||||})ni i i ii ii i S S z C z a a λ=⇒∈=∈-<100ni ii S S =⇒∉⇒∉(2)0,||||ii ii ii a a a λ<-<⇒A 的特征值都有负实部5. (10分) (1) 设矩阵()m nA Cm n ⨯∈<, 且H m AA I =, 其中m I 为单位矩阵, 证明H A A 酉相似于对角矩阵, 并求此对角矩阵.证明: 由于矩阵H A A 和H m AA I =的非零特征值相同, 所以矩阵HA A 的特征值为1(m个)和 0(n m -个), 同时由于矩阵H A A 为Hermite 矩阵, 所以矩阵HA A 酉相似于对角矩阵000m n nI D ⨯⎛⎫=⎪⎝⎭ (2) 设矩阵m nnA C ⨯∈, 证明: 2||||1AA +=.证明: 令2B AA B B +=⇒=. 设B 的特征值为λ, 则2λλ=, 即0,1λ=.设,00n x C x Ax ∈≠⇒≠, 所以有()1()B Ax AA Ax Ax +==⋅, 即1是矩阵B 的特征值, 故()1r B =, 1/22||||[()]()1H B r B B r B ⇒===.6. (10分) (1) 设矩阵()ij n n A a ⨯=, 则,||||max ||a ij i jA n a =⋅是矩阵范数.(2) 设,,,n x y p q C ∈为非零列向量, 矩阵H H A xp yq ,x y,p q =+⊥⊥其中，求2||m A .解：(1) 0A ≠⇒ij a ⇒不全为零,||||max ||0;a ij i jA n a =⋅>,,||||max ||||max ||||||||a ij ij a i ji jkA n ka k n a k A =⋅=⋅=;,,,||||max ||max ||max ||||||||||a ij ij ij ij a a i ji ji jA B n a b n a n b A B +=⋅+≤⋅+⋅=+(2)H H A xp yq ,x y,p q =+⊥⊥⇒其中2222()()||||||||H H H H H H H HA A xp yq xp yq x pp y qq=++=+⇒22222222||||||||||||||||x p x q +p,q 为矩阵HA A 对应于2222||||||||,x p 2222||||||||x q 的特征向量.又因为()()2H rank A A rank A =≤⇒()()2H rank A A rank A ==⇒2222||||||||,x p 2222||||||||x q 为H A A 全部非零特征值所以22222222221||||()||||||||||||||||nHm i i A AA x p x q λ===+⇒∑2||||m A =。
矩阵理论历年试题汇总及答案
矩阵理论历年试题汇总及答案矩阵理论是线性代数中的一个重要分支，它涉及到矩阵的运算、性质以及矩阵在不同领域中的应用。
历年来的矩阵理论试题通常包括矩阵的基本运算、矩阵的特征值和特征向量、矩阵的分解等重要概念。
以下是对矩阵理论历年试题的汇总及答案解析。
矩阵的基本运算试题1：给定两个矩阵 \( A \) 和 \( B \)，其中 \( A =\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，\( B =\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \)，求 \( A + B \) 和 \( AB \)。
答案：首先计算矩阵的加法 \( A + B \)，根据矩阵加法的定义，对应元素相加，得到 \( A + B = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix} \)。
接着计算矩阵乘法 \( AB \)，根据矩阵乘法的定义，得到 \( AB = \begin{bmatrix} 1\cdot5 + 2\cdot7 & 1\cdot6 + 2\cdot8 \\ 3\cdot5 + 4\cdot7 & 3\cdot6 + 4\cdot8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50\end{bmatrix} \)。
特征值和特征向量试题2：已知矩阵 \( C = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 1 & -1\end{bmatrix} \)，求 \( C \) 的特征值和对应的特征向量。
答案：首先求特征值，我们需要解方程 \( \det(C - \lambda I) = 0 \)，其中 \( I \) 是单位矩阵。
计算得到 \( \det(\begin{bmatrix}4-\lambda & -2 \\ 1 & -1-\lambda \end{bmatrix}) = (4-\lambda)(-1-\lambda) - (-2)(1) = \lambda^2 - 3\lambda - 2 \)。
太原理工大学2012矩阵论试题-推荐下载
题号
得分
得分
一
二
一、本题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分.
三
1-5 题为填空题：
1．已知 X (t) 为 n 阶未知函数矩阵， A 为已知的 n 阶数字矩阵，并且 d X (t) AX (t) ，则 dt
2．如果
3．
X (t)
A
1
2
3
4
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2012年矩阵论A
（1）A 的最小多项式与 Jordan 标准型； （2）计算 sin A 及 e At 。
1 1 0 1 3 , 6.(10 分) 已知矩阵 A 0 1 1 0 , b 1 1 2 1 1 4
4． 设 A Crmn ， P 为 m 阶酉矩阵, 1 , 2 , , r 为 A 奇异值， 则 PA 的奇异值为 5．设 A2 A; B 2 B ,且满足 AB BA , A B , ( A B) 2 A B ,则
AB( A B)
。
2 1 4 3 2 1 6．设矩阵 A ，则 ( A 5 A 6 A 6 A 8E ) 1 3
（2）求 T 的核子空间 N (T ) 的基，及其维数 dim N (T ) 。
2 x e 2 x2 2 x3 x2 x1 3.（10 分）设 A 1 , x 3 x4 x3 sin(3 x2 )
x2 dA 。 ，求 x4 dx
29 6 18 4.(10 分) 求单纯矩阵 A 20 5 12 的谱分解。 40 8 25
(1) 求矩阵 A 的最大秩分解; (2) 求 A ； (3) 判断方程组 Ax b 是否有解；
(4) 如果方程组有解，求其最小范数解；如果无解，求其极小范数最小二乘解。
2
三．证明题（10 分）
1（5 分）已知 A 是 Hermit 矩阵，且 Ak 0 （ k 为自然数） ，试证： A＝0 。 2. (5 分) 设矩阵 A C nn 为单纯矩阵, 证明； A 的特征值都是实数的充分必要条
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（4） 求（2）中线性变换T 的值域 R(T ) 和核 Ker(T ) ，并确定它们的维数.
四（20 分）设 A∈ Rm×n 。
（1）证明： AT A半正定；
（2）证明： | I + AT A|≥ 1，并且等号成立当且仅当 A = 0 ；
nm
∏ ∑ （3）证明： | AT A|≤ ( ai2k ) ；
姓名
（i）求 A的特征多项式和 A 的全部特征值；
成绩
（ii）求 A 的行列式因子，不变因子和初等因子； （iii）写出 A 的 Jordan 标准形；
（2）设
A
=
⎛17
⎜ ⎝
45
−6 −16
⎞ ⎟ ⎠
,
B
=
⎛14
⎜ ⎝
3
−60⎞
−13
⎟ ⎠
，试问
AHale Waihona Puke 和B是否相似？并说明原因。
共5页 第2页
⎛2
二（20
k =1 i=1
（4）证明：存在唯一的对称半正定矩阵 S 使得 AT A = S2。
共5页 第4页
⎛1 1 ⎞
⎛0⎞
五（20
分）（1）设
A
=
⎜ ⎜
0
1
⎟ ⎟
，
b
=
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
.
⎜⎝ 1 −1⎟⎠
⎜⎝ 1 ⎟⎠
共5页 第5页
（i） 求 A 的奇异值分解；
（ii）计算广义逆矩阵 A+ ；
（iii）用广义逆矩阵判定线性方程组 Ax = b 是否相容。若相容，求其通解；
三（20 分）设 A = ⎢⎣1
0⎤ 2⎥⎦ ,
W=
X AX = XA, X ∈ R2×2
（1） 证明： W 是 R2×2 的线性子空间，并求W 的基和维数；
（2） 在 W 中定义变换T : T (X ) = X − X * , 其中 X* 为 X 的伴随矩阵， 证
明：T 为线性变换；
（3） 求 T 在（1）中所取基下的矩阵表示；
分）（1）设
A
=
⎜ ⎜1
⎜⎝ 3
− 1⎞
⎟
2
⎟ ，求
A， 1
A， 2
A， ∞
A； F
1 ⎟⎠
（2）设 A∈ Cn×n 的特征值为 λ1, λ2 ,⋯,λn ，求证：
n
∑ (i)
λi 2 ≤
A2 ； F
i =1
n
∑ (ii)
λi 2 =
A 2 的充要条件是 A为正规矩阵。 F
i =1
共5页 第3页
{ } ⎡1
若不相容，求其极小最小二乘解;
∑ （2）设
A
=
⎛ ⎜ ⎝
−0.2 0.6
0.3⎞ 0.5⎟⎠
，判定矩阵级数
∞ k =0
(−1)k
Ak
是否收敛。若收敛，求其和。
南京航空航天大学 2010 级硕士研究生
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2010 ~ 2011 学年第 1 学期 《矩阵论》 课程考试 A 卷
考试日期：2011 年 1 月 12 日，课程编号：A000003，命题教师： 阅卷教师：
学院
专业
学号
⎛ 2 −3 4 ⎞
一（20
分）（1）设
A
=
⎜ ⎜
4
−6
8
⎟ ⎟
。
⎜⎝ 6 −7 8 ⎟⎠