小学奥数平面几何五大模型

小学奥数平面几何五大定律

一、等积模型

图(1) 图(2) 图(3) 图(4)

① 等底等高的两个三角形面积相等

如图(1)：D 为BC 中点，则S △ABD =S △ACD 如图(4)：l 1平行于l 2，则S △ACD =S △BCD ② 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比

如图(2)：

S △ABD S △ACD

=

BD CD

③ 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比

如图(3)：BC=EF ，则

S △ABC S △DEF

=

h 1h 2

④ 夹在一组平行线之间的等积变形

如图(4)：l 1平行于l 2 ，则 S △ABD =S △ACD 反之如果S △ABD =S △ACD ，则可知直线l 1平行于l 2

⑤ 等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平

行四边形)

⑥ 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半

⑦ 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底

相等，面积比等于它们的高之比

二、共角定理(鸟头定理)

两个三角形中有一个角相等或互补(两个角之和＝180O ），这两个三角形叫做共角三角形．

D C B A

ℎ A

B D

C ℎ1

ℎ2 l 2

l 2

B

A

C ℎ1 F E

D ℎ2

B C A

D ℎ

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

共角

互补角

图(1) 图(2)

如图(1)：在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ABC 与△ADE 共∠A 如图(2)：D 在BA 的延长线上，E 在AC 上；∠BAC+∠BAC ＝180O (互补)，

则: S △ABC :S △ADE =(AB ×AC):(AD ×AE)；或

S △ABC S △ADE

=

AB × AC AD × AE

三、相似模型

数学上，相似指两个图形的形状完全相同，其中一个图形能通过放大、缩小、平移、旋转、镜像等方式变成另一个。 相似比：是指两个相似图形的对应边的比值。 相似符号：“∽”

相似三角形：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形 相似三角形传递性：如果图A 相似于图B ，图B 相似于C ，则 A 相似C 即：图A ∽图B ，图B ∽图C ；则，图A ∽图B ∽图C

a 顺时针旋转90度 a 翻转 a 缩小

图(1) 图(2) 图(3) 图(4)

c

a

d

b

A

B C

D

E 金字塔模型

A

D

E C

B

F

A

C B D

E C

O

B

D

A

沙漏模型

图(1)、图(1)、图(1)、图(1)四个三角相似，即△a ∽△b ∽△c ∽△d 沙漏模型中△ABO △∽△CDO ；金字模型中：△ABC ∽△ADE （1）相似三角形的一切对应线段(对应高线、对应中线、对应角平分线、外

接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比； （2）相似三角形周长的比等于相似比； （3）相似三角形面积的比等于相似比的平方；

（4）相似三角形内切圆、外接圆直径比、周长比等于相似比，内切圆、外

接圆面积比是相似比的平方。

（5）沙漏模型

① △ABO ∽△CDO ② 相似比=AB DC

=

AO DO

=

BO CO ＝h

1h 2

③

S △ABO S △CDO

=

1

2AB×h 11

2

CD×h 2=

AB DC

×h 1h 2

=

AB 2DC 2

=(AB DC

)2

=(相似比)2

（6）金字塔模型

① :△ADE ∽△ABC ② 相似比=AD AB

=

AE AC

=

DE BC

=

AF AG

③

S △ADE S △ABC

=

1

2DE×AF 1

2

BC×AG =

DE BC

×

AF AG

=

AB 2DC 2

=(DE BC

)2

=(相似比)2

四、蝴蝶定理

任意凸四边形连接其对角线构成蝴蝶形；或任意两相交直线，分别连接两直线端点即构成蝴蝶

C

O

B

D

A

沙漏模型

ℎ1

ℎ2

金字塔模型

A

D B

E G C

B

F

任意四边形蝴蝶定理：

① S 1S 2=S 4S 3

或者 S 1×S 3=S 2×S 4

②

AO CO

=

S 1+S 2S 3+S 4

=

S △ABD S △CBD

梯形蝴蝶定理：

①

S 1S 3

=(相似比)2

=(a b )2

=a 2

b

2 或 s 1:s 3=a 2:b 2

② s 1:s 3:s 2:s 4=a 2:b 2:ab:ab 即S 1占梯形总面积a 2份，S 3占梯形

总 面积b 2，S2和S4占梯形总面积a ×b 份 ③ 梯形面积对应份数为 (a +b)2份

蝴蝶模型中构建了内部三角形这间的面积关系，同时还建立起了内部三角形面积与相交的两对角线之间的关系。梯形当中，我们只需要知道梯形上下底之间的比例，就可以得出被对角线所分成的四个三角形的面积之间的比例关系，进而知道每个三角形的面积所对应的份数。 五、燕尾定理

在△ABC 内找一点O ，分别连接三个顶点，并延长交于底边如图1。 则 ：

S △ABO S △ACO

=

BD CD

；

S △BCO S △BAO

=

CF AF

；

S △CBO S △CAO

=

BE AE

因为图的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．上述定理给出了一个转化面积比与线段比的手段，该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形内的三角形面积与对应底边之间提供互相联系的途径.

B

C

D

A

O

S 2

S 1

S 4

S 3

a

b

梯形中的蝶形

A

B

C

D

S 1

S 2

S 3

S 4

O

任意四边形

A

B

C

O

D

B

C

A O

D

F

E

图1(燕尾)