第八章 联立方程组模型及其识别问题

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变形后可得
Y1t −γ12Y2t −L−γ1gYgt = β11X1t +Lβ1K XKt + ε1t −γ 21Y1t +Y2t −L−γ 2gYgt = β21X1t +Lβ2K XKt + ε2t M M −γ g1Y1t −γ g2Y2t −L+Ygt = βg1X1t +LβgK XKt + ε gt
它的简约式为：
Qt = Π11 + Π12Yt + Π13 Pt −1 + u1t Pt = Π 21 + Π 22Yt + Π 23 Pt −1 + u2t
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结构式系数和简约式系数的关系为
α 1 + α 2 β1 α 2 β3 α3 , Π12 = , Π13 = 1− α2β2 1− α2β2 1− α2β2 β + α1β 2 β3 α3β2 Π 21 = 1 , Π 22 = , Π 23 = 1 − α 2β2 1− α2β2 1− α2β2
α 1 + α 2 β1 = Π11 1− α 2β2 β1 + α 1 β 2 = Π 21 1− α 2β2
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供求模型的识别问题
S2
P
S1 (Qt = α 1 + α 2 Pt + ε 1t )
Pt
D2 D1 ( Pt = β 1 + β 2 Qt + ε 2t )
Q
t
Q
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因为根据数据无法确定究竟是哪两条供给、 因为根据数据无法确定究竟是哪两条供给、需求曲 线的均衡产生的数据，因此无法识别。 线的均衡产生的数据，因此无法识别。 两个方程的线性组合可以产生很多形式，因此不可 两个方程的线性组合可以产生很多形式，因此不可 识别。 识别。 结构式、简约式参数之间不能一一决定， 结构式、简约式参数之间不能一一决定，因此不可 识别。 识别。
Π 23 α 3β 2 = Π13 1 − α 2 β 2 Π 24 α 4β2 = Π14 1 − α 2 β 2
α3 = β2 1− α 2β2 α4 = β2 1− α2β2
Π23 Π24 ⇒ = β2 = Π14 Π13
参数存在约束，属于过度可识别。
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二、判断识别的一般方法和条件
识别的两种等价定义：（1）可通过简约式 唯一确定结构式参数；（2）各个结构式方 程有唯一确定的形式。
Qt = α1 + α 2 Pt + α 3 Pt −1 + ε 1t Pt = β1 + β 2Qt + β 3Yt + ε 2t
上述都是结构式，其中 是内生变量， 上述都是结构式，其中Qt 和Pt 是内生变量，Yt 和 Pt-1分别为外生变量和滞后内生变量
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线性变换后得到
Qt =
α2β3 α3 ε + α 2 ε 2t α1 + α 2 β1 + Yt + Pt −1 + 1t 1−α2β2 1−α2β2 1−α2β2 1−α2β2 β3 α3β2 β ε + ε 2t β + α1 β 2 Pt = 1 + Yt + Pt −1 + 2 1t 1−α2β2 1−α2β2 1−α2β2 1−α2β2
Fra Baidu bibliotek
如果引入下述记法
Π 11 = Π 21 α2β3 α3 ε + α 2 ε 2t α1 + α 2 β1 , Π 12 = , Π 13 = , u1t = 1t 1−α2β2 1−α2β2 1−α2β2 1−α2β2 β3 α3β2 β ε + ε 2t β + α1 β 2 = 1 , Π 22 = , Π 23 = , u 2t = 2 1t 1−α2β2 1−α2β2 1−α2β2 1−α2β2
β11 β 21 β= β g1
β12 L β1K β 22 L β 2 K , βg2
M L β gK
ε 1t ε 2t ε t = , M ε gt
模型结构式可以表示为 ΓYt = βX t + ε t , 简化式可写为：Yt = Π X t +ν t
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模型就化为：
Qt = Π 11 + Π 12Yt + Π 13 Pt −1 + u1t Pt = Π 21 + Π 22Yt + Π 23 Pt −1 + u 2t
这是供求模型的简约式（用所有先决变量作为每个内 简约式（ 简约式 生变量的解释变量） 生变量的解释变量）。 简约式与结构式之间的差别：形式、意义等。 简约式与结构式之间的差别 简约式的优势：可避免随机解释变量。 简约式的优势
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在需求函数中引入收入变量 Yt 来说明
Qt = α 1 + α 2 Pt + ε 1t Pt = β 1 + β 2 Qt + β 3Yt + ε 2t
化为简约式为：
Qt =
α2β3 ε + α 2 ε 2t α1 + α 2 β1 Yt + 1t = Π 11 + Π 12Yt + u1t + 1−α2β2 1−α2β2 1−α2β2 β3 β ε + ε 2t β + α1 β 2 Pt = 1 + Yt + 2 1t = Π 21 + Π 22Yt + u 2t 1−α2β2 1−α2β2 1−α2β2
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第二节 联立方程模型的识别问题
一、识别性问题的意义
二、判断识别性的一般方法和条件
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一、识别性问题的意义
例：简单的供给需求均衡模型 供给函数 需求函数 也可以写成 供给函数 需求函数
Qt = α 1 + α 2 Pt + ε 1t
Pt = β1 + β 2Qt + ε 2t
Qt = α1 + α 2 Pt + ε 1t
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结构式方程识别条件
方程识别的秩条件：在一个包含有 个内生变量的 个内生变量的g个方程的 方程识别的秩条件：在一个包含有g个内生变量的 个方程的 联立方程系统中，一个方程是可识别的， 联立方程系统中，一个方程是可识别的，当且仅当能从系 统的不含该方程外的所有变量的的系数矩阵中构造出至少 一个(g-1)× (g-1)阶的非零行列式。方程识别的秩条件是一 阶的非零行列式。 一个 × 阶的非零行列式 个充要条件。 个充要条件。 方程识别的阶条件：如果一个方程是可识别的， 方程识别的阶条件：如果一个方程是可识别的，那么它所 不包含的先决变量的个数必须大于它所包含的内生变量的 个数减1。识别的阶条件仅仅是必要条件而非充分条件， 个数减 。识别的阶条件仅仅是必要条件而非充分条件，可 以用阶条件来识别该方程是恰好识别或者是过度识别。 以用阶条件来识别该方程是恰好识别或者是过度识别。
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变形后可以得到： 变形后可以得到：
Qt = α1 + α 2 Pt + α 3 Pt −1 + ε 1t ′ ′ ′ Pt = β1′ + β 2Qt + β 3Yt + ε 2t
其中 β 1′ = − β 1 β 2 , β 2 = 1 β 2 , β ′ 3= − β 3 β 2 , ε 2t = − ε 2t β 2 ′ ′ 简单起见仍写成： 简单起见仍写成：
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结构式和简约式之间的关系如下
Π11 =
α 2β3 α3 α1 + α 2 β1 α4 , Π12 = , Π13 = , Π14 = 1− α2β2 1 − α 2β2 1− α 2β2 1− α2β2 β3 α 3β2 β + α1β 2 α 4β2 Π 21 = 1 , Π 22 = , Π 23 = , Π 24 = 1− α 2β2 1 − α 2β2 1− α2β2 1− α2β2
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结构式方程识别条件
如果R(Γ0 , β0 )<g-1, 则第i个结构方程不可识别； 如果 则第 个结构方程不可识别； 个结构方程不可识别 如果R(Γ0 , β0 )＝g-1，则第 个结构方程可以识别，且 个结构方程可以识别， 如果 ＝ ，则第i个结构方程可以识别 个结构方程恰好识别； 若k-ki=gi-1，则第 个结构方程恰好识别； ，则第i个结构方程恰好识别 若k-ki>gi-1，则第 个结构方程过度识别。 个结构方程过度识别。 ，则第i个结构方程过度识别 其中R表示矩阵的秩，一般将前一部分称为秩条件， 其中 表示矩阵的秩，一般将前一部分称为秩条件，用 表示矩阵的秩 以判断结构方程是否识别；后一部分称为阶条件， 以判断结构方程是否识别；后一部分称为阶条件，用 以判断结构方程恰好识别或者过度识别。 以判断结构方程恰好识别或者过度识别。
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供给函数可识别
′ D3
P
P3 P2 P1
D1′
S
D3 D2
Q1
Q
2
D1 Q3
Q
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结构式参数和简约式参数之间存在下列四个 α β α 1 + α 2 β1 关系式 =Π , 2 3 =Π
1 − α 2β2
11
1 − α 2β2
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β1 + α 1 β 2 β3 = Π 21 , = Π 22 1− α 2β2 1− α 2β2
而结构式参数却有五个。所以存在不可识别 问题。但因为 α 2 β3 β3
1 − α 2 β2 1 − α 2 β2 = α 2 = Π11 Π 22
所以供给函数可识别，需求函数无法识别。
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在供给函数中再引入一个变量，如 Pt −1 。
Qt = α1 + α 2 Pt + α 3 Pt −1 + ε 1t Pt = β1 + β 2Qt + β 3Yt + ε 2t
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三、联立方程模型的矩阵表示
模型的结构式一般表示为： 模型的结构式一般表示为：
Y1t = γ 12Y2t + L+ γ 1gYgt + β11 X1t + Lβ1K X Kt + ε1t Y2t = γ 21Y1t + L+ γ 2gYgt + β 21 X1t + Lβ 2K X Kt + ε 2t M Ygt = γ g1Y1t + L+ γ gg−1Yg −1t M + β g1 X1t + Lβ gK X Kt + ε gt
Π11 =
此时模型两个方程都可识别。
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过度可识别问题
再引入一个解释变量 T t 。模型的结构式为
Qt = α1 + α 2 Pt + α 3 Pt −1 + α 4Tt + ε 1t Pt = β1 + β 2Qt + β 3Yt + ε 2t
模型的简约式为
Qt = Π11 + Π12Yt + Π13P−1 + Π14Tt + u1t t P = Π21 + Π22Yt + Π23P−1 + Π24T + u2t t t
推论：如果一个方程包含模型中所有的变量， 肯定不可识别。
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结构式方程识别条件
联立方程的结构式ΓY=βX+ε中第 个方程中包含 i 中第i个方程中包含 联立方程的结构式 中第 个方程中包含g 个内生变量（含被解释变量） 个先决变量（ 个内生变量（含被解释变量）和ki个先决变量（含 常数项），模型系统中内生变量和先决变量的数目 常数项），模型系统中内生变量和先决变量的数目 ）， 仍用g和k表示，矩阵（Γ0 , β0 )表示第 个方程中未 表示， 表示第i个方程中未 仍用 和 表示 矩阵（ 表示第 包含的变量（包括内生变量和先决变量）在其它 包含的变量（包括内生变量和先决变量）在其它g1个方程中对应系数所组成的矩阵，则判断第i个结 个方程中对应系数所组成的矩阵，则判断第 个结 个方程中对应系数所组成的矩阵 构方程识别状态的结构式条件为： 构方程识别状态的结构式条件为：
Qt = β1 + β 2 Pt + ε 2t
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模型的简约式
为：
α 1 + α 2 β 1 ε 1t + α 2 ε 2 t Qt = + = Π 11 + u 1t 1 − α 2β2 1 − α 2β2 β 1 + α 1 β 2 β 2 ε 1t + ε 2 t Pt = + = Π 21 + u 2 t 1 − α 2β 2 1 − α 2β 2
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引入向量和矩阵记法
− γ 12 L − γ 1g 1 − γ 1 L − γ 2g 21 , Γ= M − γ g1 − γ g 2 L 1
Y1t Y 2t Yt = , M Ygt
X 1t X X t = 2 t , M X kt
结构式模型和简约式模型
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例：三方程供给需求的市场均衡模型
QtS = α 1 + α 2 Pt + α 3 Pt −1 + ε 1t QtD = β 1 + β 2 Pt + β 3Yt + ε 2t QtS = QtD
市场均衡时 Qt = QtS = QtD ，所以有
Qt = α 1 + α 2 Pt + α 3 Pt −1 + ε 1t Qt = β 1 + β 2 Pt + β 3Yt + ε 2t
第八章 联立方程模型及其识别问题
1
内 容 第一节 联立方程模型及其假设
第二节 联立方程模型的识别问题
2
第一节
联立方程模型及其假设
一、联立方程模型的基本概念
二、联立方程模型的矩阵表示
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一、联立方程模型的基本概念
内生变量（随机的）、外生变量 内生变量（随机的）、外生变量 ）、 前定变量（先决变量）——外生变量和滞后 前定变量（先决变量） 外生变量和滞后 内生变量（非随机的） 内生变量（非随机的）