平稳随机过程及其遍历性
随机过程课程第五章 平稳过程
（1）均值函数为常数： m(t) E[X (t)] m
（2）相关函数仅是时间差 t1 t2 的函数：
记
B( ) R(t1,t2 )
证 只对连续型的情况
m(t) E[ X (t)] xf (t；x)dx
xf (x)dx m
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R(t1,t2 ) E[ X (t1) X (t2 )]
而与时间起点无关。
证
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一对维任意的 ，必有 f (t；x) f (t ；x) 若令 t ，得
f (t；x) f (0；x) f (x) 即一维概率密度 f (t；x) 与 t 无关。
同理有一维分布函数也与t无关，
即 F(t；x) F(0；x)
证 二维 对于二维概率密度，有
f (t1,t2；x1, x2 ) f (t1 ,t2 ；x1, x2 )
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第三节 平稳正态过程与正交增量过程
一、平稳正态过程
定义1 若正态随机过程{ X (t) ,t (,) }，满足
E[X (t)] m
R(t1,t2 ) E[ X (t1) X (t2 )] B( )
则称 X (t)为平稳正态过程。
t1 t2
注 平稳正态过程一定是严平稳过程。
证
由于
第五章 平稳过程
第一节 基本概念 第二节 平稳过程相关函数的性质 第三节 平稳正态过程与正交增量过程 第四节 遍历性定理
第一节 基本概念
一、严平稳过程
定义1 设随机过程{ X (t) ,t T }， 若对任意n，任意 t1，t2 , , tn T t1 t2 tn 当t1 ，t2 ，…，tn T 时，有 F (t1, t2 , , tn；x1, x2 , , xn ) P{X (t1） x1, X (t2 ) x2 , , X (tn ) xn )}
3第二章平稳随机过程
例题3：
设S(t)是一周期为T的函数， θ在(0,T)上 均匀分布，称X(t)=S(t+θ)为随机相位周 期过程，讨论其平稳性。
例题4： 随机过程X(t)只取+I和 -I，且P{X(t)=+I} = P{X(t)= -I}=1/2，而正负号在( t, t+ τ) 的变化次数N(t,t+τ)是随机的，且事件 AK={N(t,t+τ)=k}的概率为
1 N
N l im P{|Nk1Xk
m|}1
随时间n的无限增长，随机过程的样本函数 按时间平均以越来越大的概率近似于该过程的 统计平均。也就是说，只要观测的时间足够长， 则随机过程的每个样本函数都能够“遍历”各 种可能的状态。
例题：
随机过程X(t)=acos(wt+θ ),a,w为常 数，θ 为(0,2π )上均匀分布的随机变量， 试分析X(t)集合平均和时间平均值、相 关函数和时间相关函数。
E| a bX(t)d|2 ta ba bR X(t1,t2)d1d t2t
结论：数学期望和积分可以交换秩序。
定理6.9
设{X(t),t∈T}为二阶矩过程在区间[a,b]上均方连 续，则
b
Y(t) X()d a
在均方意义下存在，且随机过程{Y(t), t∈T}在区 间[a,b]上均方可微，且有Y’(t)=X(t)。
具有各态历经性。
定义6.11
如果均方连续的平稳过程{X(t),t∈T} 的均值和相关函数都具有各态历经性， 则称该平稳过程为具有各态历经性或遍 历性。
定理6.10 设{X(t),-∞<t<∞}是均方连续的平稳过程，则它 的均值具有各态历经性的充要条件为
l T .i .m 2 1 T 2 2 T T ( 1 |2 T |)R [ X () |m X |2 ] d 0
时间序列遍历性的重要性
时间序列遍历性的重要性
遍历性遍历性是时间序列中非常重要的。
对于时间序列而言，我们可以得到一个随着时间顺序的样本观测值，对此可以得到一个时间平均值。
定义：假设时间序列是一个平稳过程，如果时间平均值按照概率收敛到总体平均值，则称该随机过程是关于均值遍历的。
遍历性是平稳时间序列非常重要的一个性质，如果一个平稳时间序列是遍历的，那么它在每个时点上的样本矩性质(均值和协方差等)就可以在不同
时点上的样本中体现出来。
这就是遍历性的含义。
定理：如果一个协方差平稳过程，如果自协方差函数满足，则随机过程是关于均值遍历的。
定义：假设时间序列是一个协方差平稳过程，如果样本协方差按照概率收敛到总体协方差，则称该过程是关于二阶矩遍历的。
高阶矩遍历意味着过程不同时间上的统计性质更接近同一时点上的随机抽
样性质。
如果随机过程是高斯协方差平稳过程，则它是均值遍历过程，也是二阶矩遍历过程。
一般情况下，平稳性和遍历性之间没有必然联系，下面的例子可以说明这一点。
假设随机过程的均值过程满足，其中均值满足，是独立的白噪声过程。
因为，上式表明，该过程是协方差平稳过程，因此，该过程不是均值遍历过程。
其中和是任意常数。
由于这个随机过程依赖最近两个时间阶段的的加权平均，因此称此过程为一阶移动平均过程。
平稳各态遍历随机过程的概念
平稳各态遍历随机过程的概念在概率论和数理统计中，平稳各态遍历随机过程是一种重要的概念，它由平稳性和各态遍历性两个性质共同定义。
这种随机过程在许多实际应用领域，如物理学、经济学、生物学等，都有广泛的出现。
本文将详细介绍平稳各态遍历随机过程的概念，包括平稳性、各态遍历性、随机过程和遍历性等方面。
1. 平稳性平稳性是指随机过程的统计特性不随时间的推移而改变。
换句话说，平稳随机过程在任何时间点的概率分布与时间无关。
例如，在金融市场中，如果一个股票价格的时间序列是平稳的，那么无论何时观察该股票价格，其均值和方差等统计特性都保持不变。
2. 各态遍历性各态遍历性是指随机过程在长时间内能够充分地展现出所有可能的状态。
具体来说，如果一个随机过程是各态遍历的，那么对于任何给定的时间间隔，在间隔内的任何时刻观察到的样本点都具有相同的概率分布。
例如，在气象学中，如果一个气候模型的时间序列是各态遍历的，那么可以通过观察该时间序列来预测未来任何时间点的气候状态。
3. 随机过程随机过程是指一系列随时间变化的随机变量。
例如，在金融市场中，股票价格可以看作是一个随机过程，它随时间变化，并且每个时刻的股票价格都是一个随机变量。
随机过程可以用来描述许多自然现象和人为现象，如天气变化、交通流量、人口增长等。
4. 遍历性遍历性是指一个随机过程能够覆盖所有可能的状态。
具体来说，如果一个随机过程是遍历的，那么在足够长的时间内，该过程可以展现出所有可能的状态。
例如，在密码学中，一个随机密钥生成器是遍历的，意味着在足够多的次数之后，该生成器能够产生所有可能的密钥。
总的来说，平稳各态遍历随机过程是指具有平稳性和各态遍历性的随机过程。
这种随机过程在许多领域都有广泛的应用，如预测气候变化、金融市场分析、密码学等。
通过对其概念的理解和研究，可以更好地应用这些方法来处理和分析实际问题。
随机信号2-2 平稳随机过程和各态历经性
17
2-2 平稳随机过程和各态历经性 第二章
随机过程和随机序列
严格各态历经：所有参数各态历经
广义各态历随机过程和各态历经性 第二章
随机过程和随机序列
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2-2 平稳随机过程和各态历经性 第二章
随机过程和随机序列
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随机过程和随机序列
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随机过程和随机序列
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随机过程和随机序列
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2-2 平稳随机过程和各态历经性 第二章
随机过程和随机序列
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2-2 平稳随机过程和各态历经性 第二章
随机过程和随机序列
各态历经性或遍历性：在一定的条件下，平 稳随机信号的任何一个样本函数的时间平均， 从概率意义上来说等于它的统计平均。
随机过程和随机序列
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2-2 平稳随机过程和各态历经性 第二章
随机过程和随机序列
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2-2 平稳随机过程和各态历经性 第二章
随机过程和随机序列
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2-2 平稳随机过程和各态历经性 第二章
随机过程和随机序列
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2-2 平稳随机过程和各态历经性 第二章
随机过程和随机序列
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2-2 平稳随机过程和各态历经性 第二章
1
2-2 平稳随机过程和各态历经性 第二章
随机过程和随机序列
平稳：与时间起点无关
2
2-2 平稳随机过程和各态历经性 第二章
随机过程和随机序列
严平稳也称狭义平稳
严格平稳要 求所有阶次 原点矩、中 心矩必须时 间平移不变
3
2-2 平稳随机过程和各态历经性 第二章
随机过程和随机序列
平稳随机过程及其遍历性
fX (x1, x2, 0,t2 t1) fX (x1, x2, )
从概率密度函数的角度讲，高阶平稳一定低阶平稳
《随机信号分析》教学组
6
fX (x1, x2,t1,t2 ) fX (x1, x2, )
随机过程X(t)的自相关函数，自协方差函数都是 平稳的。
《随机信号分析》教学组
10
2 宽(广义)平稳随机过程(Weakly Stationary Process)
若随机过程X(t)满足
mX (t) mX
RX (t1,t2 ) E[ X (t1) X (t2 )] RX ( )
2 (t) E[X 2(t)] X
则称X(t)为宽平稳或广义平稳随机过程。
都与时间无关
RX (t1, t2 ) x1x2 f X (x1, x2;t2 t1)dx1dx2
x1x2
fX
(x1,
x2; )dx1dx2
R X
( )
KX (t1, t2 ) RX (t1, t2 ) mX (t1)mX (t2 )
R X
(
)
mX2
Kx ( )
若 t2
t1
，则 K X (0) RX (0) mX2
与时间t无关。
2) 若X(t)为严平稳，则对于任一时刻t0 ， X(t0)具 有相同的统计特性。
《随机信号分析》教学组
9
实际中，要确定一个对一切n都成立的随机过 程概率密 度函数族是十分困难的，因而在工程中往往根据实际需要只 在相关理论范围内考虑平稳过程问题。
相关理论：只限于研究随机过程一阶和二阶矩的理论。 即研究随机过程的数学期望、相关函数以及功率谱密度等。
随机过程(平稳过程)、第六章
6.1 平稳随机过程的概念
定义6.1 设{X(t)，t T }是随机过程， 对任意常数和正整数n， t1,t2,, tnT, t1+, t2+,,tn+ T， 若(X(t1), X(t2), , X(tn))与 (X(t1+), X(t2+),, X(tn+)) 有相同的联合分布，则称{X(t)，t T } 为严平稳过程，也称狭义平稳过程。
15
§6.2平稳过程及其相关函数的性质
一.相关函数的性质(实平稳过程)
X t , t T 是平稳过程，相关函数为RX 2 (1) RX 0 E X 2 t X 0 (2) RX RX ，即RX 是偶函数。 RX E X t X t E X t X t RX 由此性质，在实际问题中只需计算或测量RX
所以{X(t)，t T }为宽平稳过程。
6.1
平稳随机过程的概念
• 例6.2 设{Xn,n=0, 1, 2,}是实的互不 相关随机变量序列，且E[Xn]=0，D[Xn] =2 ，试讨论随机序列的平稳性。
解 因为E[Xn]=0， RX ( n,n ) E[ X n X n ]
注：
i , j 1
n E X ti X t j ai a j i , j 1
2
X ti X t j ai a j ( X ti ai )( X t j a j )
n n n i 1 j 1
n E X ti ai 0 i 1 在理论上可证明：任一连续函数只要具有非负 定性，则该函数必是某平稳过程的自相关函数。
随机过程关于平稳过程中的各态历经性的综述
关于平稳过程中的各态历经性的综述首先要介绍一下什么是平稳过程，平稳过程是一类统计特性不随时间推移而变化的过程。
在实际中，有相当多的随机过程，不仅它现在的状态，而且它过去的状态，都对未来状态的发生有着很强的影响。
有这样重要的一类随机过程，即所谓平稳随机过程，它的特点是：过程的统计特性不随时间的推移而变化。
严格地说，如果对于任意的n （=1，2…），12,,t t t T ∈n …,和任意实数h,当12,,n t h t h t h T+++∈…,时，n 维随机变量（X(1t ),X(2t ),…,X(t n )）和 （X （1t h +）,X （2t h +）,…,X （n t h +）） 具有相同的分布函数，则称随机过程{}X ∈（t ）,t T 具有平稳性，并同时称此过程为平稳随机过程，或简称平稳过程。
在实际工作中，确定随机过程的均值函数和相关函数是很重要的。
而要确定随机过程的数字特征一般来说需要知道过程的一﹑二维分布，这在实际问题中往往不易办到，因为这时要求对一个过程进行大量重复的实验，以便得到很多的样本函数。
但是由于平稳过程的统计特性不随时间的推移而变化，就会提出这样一个问题：能否从一个时间范围内观察到的样本函数或一个样本函数在某些时刻的取值来提取过程的数字特征呢？所谓各态历经，是指可以从过程的一个样本函数中获得它的各种统计特性；具有这一特性的随机过程称为具有各态历经性的随机过程，只要有一个样本函数就可以表示出它的数字特征。
定义 设X （t ）是均方连续平稳随机过程，如果它沿整个时间上的平均值即时间平均值〈X （t ）〉存在，即〈X （t ）〉=1lim()2T TT X t dtT-→∞⎰存在，而且〈X （t ）〉=E ｛X （t ）｝=X μ依概率1相等。
即〈X （t ）〉依概率1等于X μ= E ｛X （t ）｝, X μ代表随机过程的集平均（或称统计平均），则称该过程的均值具有各态历经性。
随机过程第六章平稳随机过程
2
6.1 平稳随机过程的概念
定义6. 2 设{X(t)，t T }是随机过程，并满足： (1) {X(t)，t T }是二阶矩过程； (2) 对任意t T ，mX(t)=EX(t)=常数； (3) 对任意s, t T ，
RX(s, t)=E[X(s)X(t)]=RX(t-s)， 则称{X(t)，t T }为宽平稳过程，也称广义平稳过程，简 称平稳过程。 若T为离散集，称平稳过程{Xn，nT }为平稳序列。
E ln.i.m
Xn
l.i.m
n
Ym
特别有 lim E n
Xn
2
E[
X
2]
E
l.i.m
n
Xn
2
28
6.3 随机分析简介
定理6.4 设{Xn} 为二阶矩随机序列，则{Xn}均方收敛的 充要条件是下列极限存在
lim
n,m
E
X
n
X
m
29
6.3 随机分析简介
定义6.6 设有二阶矩过程{X(t),tT}，若对每一个tT ，有
2
AB sin(t )sin(t )
1
d
0
2
AB 2 1 [cos( )
2 0 2
cos(2t 2 )]d
1 2
AB
cos(
)
RXY
(
)
22
6.2 联合平稳随机过程
RYX (t,t ) E[Y (t)X (t )] E[B sin(t )Asin(t )]
2
AB sin(t )sin(t )
其中ti1 ti ti (i 1, 2, , n)
2-2-平稳随机过程和各态历经过程
2.2 平稳随机过程和各态历经过程
A2 2
cosc
14
例题
比较统计平均（例1）与时间平均，得
mX= mX
R(τ)= R( )
因此，随机相位余弦波是各态历经过程。
15
2、应用
一般随机过程的时间平均是随机变量，但各态历经过程 的时间平均为确定量，因此可用任一样本函数不可能无限长， 只要足够长即可。
A
2
[cosct
2
0
cosd
sin ct
2
0
sind ] 0(常数）
8
例题
X(t)的自相关函数为
R(t1, t2 ) E[ X (t1) X (t2 )]
E[ A cos(ct1 ) A cos(ct2 )]
A2 2
E cosc (t2
t1) cos[c (t2
t1) 2 ]
2 X
mX2
此值在[－1，1]之间。rX ( ) 0 表示不相关，rX ( ) 1 表
示完全相关。rX ( ) 0 表示正相关，表明两个不同时刻起
伏值（随机变量与均值之差）之间符号相同可能性大。
27
相关时间
当相关系数中的时间间隔大于某个值，可以认为两个不同 时刻起伏值不相关了，这个时间就称为相关时间。
22
⑵ R(τ) =R(-τ) [R(τ)是偶函数]
证明：
R( ) E[X (t)X (t )],令t ' t ,即t t '
随机过程复习题
随机过程复习题一、随机过程的数字特征及平稳性1、设随机过程Z (t ) =X sin t +Y cos t ，其中X 和Y 是相互独立的随机变量，它们都分别以2/3和1/3的概率取值-1和2，讨论Z(t)的平稳性。
2、设随机过程()Xt e t -=ξ （t >0），其中随机变量X 具有在区间（0，T ）中的均匀分布。
试求随机过程ξ（t ）的数学期望和自相关函数。
3、有随机过程{ξ(t )，-∞<t <∞}和{η(t )，-∞<t <∞}，设ξ(t )=A sin(ω t +Θ)，η(t )=B sin(ω t +Θ+φ), 其中A ，B ，ω，φ为实常数，Θ均匀分布于[0，2π]，试求R ξη(s ,t )4、设有随机过程{ξ(t )，-∞<t <∞}，ξ(t )=η cos t , 其中η为均匀分布于（0，1）间的随机变量，即()()112311212(a)=cos cos (b)C =cos cos 1212R t ,t t t t ,t t t ξξξξ试证：5、随机过程ξ(t )=sin(Ut )，其中U 是在[0，2π]上均匀分布的随机变量。
若t ∈T , 而T =[0，∞）, 试分析ξ（t ）的平稳性。
6、随机过程()()0=cos +t A t ξωθ；式中：A 、ω0是实常数；θ是具有均匀分布的随机变量：()2(0=20(f πθθπ⎧≤≤⎪⎨⎪⎩其他） 分析ξ(t )的平稳性。
7、随机过程ξ(t )=A cos(ωt +Φ )，-∞<t <+∞，其中A, ω,Φ 是相互统计独立的随机变量，E A =2, D A =4, ω 是在[-5, 5]上均匀分布的随机变量，Φ 是在[-π，π]上均匀分布的随机变量。
试分析ξ(t)的平稳性和各态历经性。
8、设(){}+∞<<∞-t t X ,的均值函数为m X (t )，协方差函数为C X (t )，而ϕ(t )是一个普通函数，令()()()t t X t Y ϕ+=，+∞<<∞-t ，试求(){}+∞<<∞-t t Y ,的均值函数和协方差函数。
随机过程复习题
随机过程复习题一、随机过程的数字特征及平稳性1、设随机过程Z (t ) =X sin t +Y cos t ，其中X 和Y 是相互独立的随机变量，它们都分别以2/3和1/3的概率取值-1和2，讨论Z(t)的平稳性。
2、设随机过程()Xt e t -=ξ （t >0），其中随机变量X 具有在区间（0，T ）中的均匀分布。
试求随机过程ξ（t ）的数学期望和自相关函数。
3、有随机过程{ξ(t )，-∞<t <∞}和{η(t )，-∞<t <∞}，设ξ(t )=A sin(ω t +Θ)，η(t )=B sin(ω t +Θ+φ), 其中A ，B ，ω，φ为实常数，Θ均匀分布于[0，2π]，试求R ξη(s ,t )4、设有随机过程{ξ(t )，-∞<t <∞}，ξ(t )=η cos t , 其中η为均匀分布于（0，1）间的随机变量，即()()112311212(a)=cos cos (b)C =cos cos 1212R t ,t t t t ,t t t ξξξξ试证：5、随机过程ξ(t )=sin(Ut )，其中U 是在[0，2π]上均匀分布的随机变量。
若t ∈T , 而T =[0，∞）, 试分析ξ（t ）的平稳性。
6、随机过程()()0=cos +t A t ξωθ；式中：A 、ω0是实常数；θ是具有均匀分布的随机变量：()2(0=20(f πθθπ⎧≤≤⎪⎨⎪⎩其他） 分析ξ(t )的平稳性。
7、随机过程ξ(t )=A cos(ωt +Φ )，-∞<t <+∞，其中A, ω,Φ 是相互统计独立的随机变量，E A =2, D A =4, ω 是在[-5, 5]上均匀分布的随机变量，Φ 是在[-π，π]上均匀分布的随机变量。
试分析ξ(t)的平稳性和各态历经性。
8、设(){}+∞<<∞-t t X ,的均值函数为m X (t )，协方差函数为C X (t )，而ϕ(t )是一个普通函数，令()()()t t X t Y ϕ+=，+∞<<∞-t ，试求(){}+∞<<∞-t t Y ,的均值函数和协方差函数。
随机过程平稳性遍历性正交性不相关性和独立性
随机过程的遍历性
1 a x(t ) lim T T
T 2
T 2
x(t ) dt
1 T2 R( ) x(t ) x(t ) lim x(t ) x(t )dt T T T 2
如果平稳过程使下式成立
a a R( ) R( )
随机过程
1 2
平稳性 遍历性 正交性、不相关性与独立性 正态随机过程的主要性质
3
4
随机过程的平稳性 ， f ( x, y, z, t ) f ( x, y, z, t )，当 x x x 的特性不变，就称 f ( x, y, z, t ) 关于 x 函数是平稳的。 平稳性：若一个函数 判断方法： 方法一： 若X(t)为严平稳，k为任意正整数，则 E[ X (t )]与时间t 无关。 方法二：若X(t)为严平稳，则对于任一时刻t0 ， X(t0)具有相同的统计特性。 实际意义：
严格平稳
一定
广义平稳
不一定
当随机过程满足高斯分布时，严平稳和宽平稳是等价的。
随机过程的遍历性
• 实际意义： 随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程的所有样本函数的统计 平均，但在实际过程中很难测得大量的样本。因此，我们想在满足一定条件下， 从一次试验中得到一个样本函数来决定平稳过程的数字特征，这就是各态历经 性，又称遍历性。
3.高斯过程有很多与高斯变量类似的统计特征，如：
•
• • • •
高斯过程通过线性系统或高斯过程的线性组合仍为高斯型。
如果高斯过程是广义平稳的，则等价于平稳。 如果高斯过程的时间进程中两个不同时刻的随机变量不相关，则等价于统计独立。 高斯过程的线性积分则为相应的高斯随机变量。 两个高斯分布律的随机变量的卷积是高斯分布律，它的均值和方差是原来两个高斯分 布律的均值和方差的代数和。
6-4平稳过程-各态历经性
解放军电子技术学院
卢
定义 设{X(t),t∈(－∞,+ ∞)}是平稳过程
1) 若P{ X ( t ) m X } 1,
称X(t)的均值具有各态历经性(均方遍历性).
X X |2 | T 0 1 2T T 2T2T 1 2 2T T t T lim (1 ) R ( ) d (t1 , t ) 1 1 2 2 2 T T 0 2T 2 T ; 1 2 2T t T 2T ( 1 , 2 ) 2 2 ( 1 2 lim (1 T )[ R ) m ]d
1 2T lim 0 1 C X d 0 T T 2T
或
1 2T lim 1 RX mX T T 0 2T
2
d 0
卢
解放军电子技术学院
证 均值各态历经
由概率论知识，对于随机变量X而言： P{X E[ X ]} 1 D( X ) 0 故,要证明我们的定理，只须证明： E X (t ) E[ X (t )] mx , D X (t ) 0
2
2 2
1 1 |2 | 1 2T lim (1 ) R ( ) d 令 1 ,T 2 t22 1 t21. 则 t1 X(t) 为实平稳过程 ( 1 2 ), t2 ( 1 2 ) 2tT2 t12 2 T若 T 2T 2 2 2
6.4 平稳过程的均方遍历性
类似于处理随机变量的办法，通过统计试验的 方法，由所取得的数据，求出这些统计特征和 估计值．确定随机过程的统计特性 ， 所需试验 的工作量很大，实际上这种做法也难以办到．
11平稳过程下—遍历性
第四节遍历过程(历经过程)要讨论平稳随机过程的数字特征，就应该知道一族样本函数，而样本函数往往需要大量的观察试验，然后用数理统计的点估计理论进行估计才能取得，其要求是很高的。
讨论平稳随机过程的历经性就是讨论能否在较宽松的条件下，用一个样本函数去近似计算平稳过程的均值和相关函数等数字特征。
l一. 时间均值和时间相关函数设随机过程{X (t ),t ∈T = (-∞,+∞)} 任意固定e ∈S,样本函数X(e,t)=x(t), x(t)在区间[-l , l ](l >0)上的函数平均值定义为x (t ) = 12l ⎰-lx (t )dtx(t)在(-∞,+∞)上的函数平均值定义为x (t ) = lim 1⎰ x (t )dtl →+∞ 2l-l当e 变化时X (t ) =X (e ,t ) = lim 1⎰X (e ,t )dtl →+∞2l-lll定义1X (t) = X (e,t) =lim 1⎰X (e,t)dtl→+∞2l -l称为随机过程X(t)对于参数t的平均值, 通常称为X(t)的时间均值.显然X (t) 是一个随机变量.可以记Y= X (t)l定义2∀t,τ∈(-∞,+∞)X (t ) X (t +τ ) = X (e ,t ) X (e ,t +τ ) = lim 1 ⎰ X (e ,t ) X (e ,t +τ )dtl →+∞2l-l称为随机过程X(t)的时间相关函数.显然 X (t )X (t +τ ) = lim 1⎰X (e ,t )X (e ,t +τ )dtl →+∞ 2l-l是一个随机过程.可以记Y(τ)= X (t )X (t +τ )ll例1. 求随机相位正弦波 X (t ) = a c os(ωt + Θ)的时间均值和时间相关函数. 解: 时间均值X (t ) =X (e , t ) = lim 1⎰ X (e , t )dtl →+∞ 2l-l= lim 1⎰ a cos(ω t + Θ)dtl →+∞=2l -la ⋅1sin(ωt + Θ ) |l lim l → +∞ω - l= lim asin(ω l + Θ) -sin(-ω l + Θ)= 0l →+∞2ωlll2l时间相关函数X (t )X (t +τ ) = lim 1⎰X (e ,t )X (e ,t +τ )dtl →+∞2l-l= lim 1⎰ a cos(ωt + Θ) ⋅ a cos[ω(t +τ ) + Θ]dtl →+∞ 2l-l= lim a2⎰ cos ωτ + cos[ω(2t +τ ) + Θ] dtl →+∞ 2l-l 2 =a2cos ωτ2a2由第二节例1知 μX= 0, R X (τ ) = cos ωτ 2lll结论这样,对于随机相位正弦波, 用时间平均和集平均分别算得的均值和自相关函数是相等的，并且与t无关.称均值和相关函数都具有各态遍历性。
第2章平稳随机过程汇总
第2章平稳随机过程2．1 平稳随机过程的基本概念引言“平稳”的中文含意：平坦、稳定。
不大起大落。
随机过程X (t) ，当t变化时，得一系列随机变量：X(t1)，X(t2)，⋯⋯X(t n)。
X (t )具有“平稳”性，是指X(t i)的变化稳定，不“大起大落” ，各X (t i )具有相同的分布规律、或具有相同的数字特征、或具有相同的概率密度。
在统计学中，X (t1 ) ，X (t 2) ，⋯⋯X (t n )往往假设满足“独立同分布” ( iid )。
“独立” 性不太容易满足，“同分布”就包含了“平稳性” 。
2．1．1 严平稳过程及其数字特征一、定义随机过程X(t) 的n维概率密度(或n维分布函数) p X (x1,x2 x n,t1,t2 t n )不随时间起点选择不同而改变。
即：对任何n和，过程X (t )的概率密度满足：p X (x1,x2 x n,t1,t2 t n) p X (x1,x2 x n,t1 ,t2 t n )则称X (t )为严平稳过程。
二、严平稳过程的一、二维概率密度结论：严平稳过程X(t) 的一维概率密度与时间无关；严平稳过程X (t )的二维概率密度只与t1、t2 时间间隔t2 t1 有关。
证明：当n ＝1时，对任何，有p X (x1,t1) p X(x1,t1 )。
取t1，则有p X (x1,t1) p X (x1,t1 ) p X(x1,t1 t1) p X (x1,0) p X (x1)。
当n＝2时，对任何，有p X(x1,x2,t1,t2) p X (x1,x2,t1 ,t2 )。
取t1，t2 t1，则p X(x1,x2,t1,t2) p X (x1,x2,0,t2 t1) p X(x1,x2, )。
三、严平稳过程的数字特征(1)若X (t )是严平稳过程，则它的均值、均方值、方差皆为与时间无关的常数。
21证明：m X (t) E(X(t)) xp X (x,t)dx xp X (x)dx m XE( X 2(t)) x2p X(x,t)dx x2p X (x)dx X222D(X(t)) (x m X )2p X (x)dx 2X(2)若X (t )是严平稳过程，则它的自相关函数R X (t1 ,t 2 )只是间间隔t2 t1的单变量的函数。
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6
fX (x1, x2,t1,t2 ) fX (x1, x2, )
随机过程X(t)的自相关函数，自协方差函数都是 平稳的。
都与时间无关
RX (t1, t2 ) x1x2 f X (x1, x2;t2 t1)dx1dx2
ຫໍສະໝຸດ x1x2fX
(x1,
要求：
(1)根据图形或表达式判断一个函数是否是广义平稳 过程的自相关函数；
(2)根据自相关函数分析随机过程其它数字特征。
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20
性质1 性质2
RX
(0)
E[
X
2
(t
)]
2 X
0
平均功率
RX ( ) RX ( ) K X ( ) K X ( ) 偶函数
证： RX ( ) E[X (t)X (t )] E[X (u)X (u )] RX ( ) 同理 KX ( ) KX ( )
若随机过程X(t)满足
mX (t) mX
RX (t1,t2 ) E[ X (t1) X (t2 )] RX ( )
2 (t) E[X 2(t)] X
则称X(t)为宽平稳或广义平稳随机过程。
严平稳与宽平稳的关系：
严格平稳
一定 广义平稳
不一定
当随机过程满足高斯分布时，严平稳和宽平稳是等价的。
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2
一 平稳随机过程
1 严平稳随机过程(Strictly Stationary Process) (1) 定义
如果随机过程的任意n维分布不随时间起点 变化，即当时间平移时，其任意的n维概率密度 不变，则称是严（格）平稳的随机过程 或称为 狭义平稳随机过程。
fX (x1, , xn,t1 t, ,tn t) fX (x1, , xn,t1, ,tn )
E(Y
2)
(1)2
2 3
22
1 3
2 3
4 3
2
E(X
3
)
E(Y
2)
(1)3
2 3
23
1 3
2 3
8 3
2
E(XY ) E(YX ) E(X )E(Y ) 0
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15
mZ (t) E[Z (t)] E[ X ]cos t E[Y ]sin t 0
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23
例：设随机过程为
X (t) Acos(0t ) N (t)
式中 A,0 为常数， 为(0, 2 ) 上均匀分布的随
机变量，N(t)为一般平稳过程，对于所有t 而言，
与 N(t) 统计独立。
则易得出相关函数为
RX
( )
A2 2
cos0
RN ( )
1 2
A2E[cos 0 (t1
t2)
cos[0 (t1
t2 )
2]]
1 2
A2
cos
0 (t1
t2 )
1 2
A2
2 0
1 2
cos[0
(t1
t2
)
2]d
1 2
A2
cos
0 (t1
t2 )
1 2
A2
cos
0
X(t)均值为“0”，自相关函数仅与时间间隔有关，故X(t)是宽平稳的。
可见，相关函数也包含有与随机过程X(t)的周期 分量相同周期的周期分量。
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24
性质6 若平稳随机过程X(t)不含有任何周期分量， 则满足
lim
RX
(
)
RX
()
mX2
lim
K
X
(
)
K
X
()
0
物理含义：当 增大时，X (t)与 X (t ) 之
fX (x1,t1 t) fX (x1,t1) fX (x1, 0) fX (x1)
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4
随机过程X(t)的均值，均方值和方差都是平稳的
都与时间t无关
E[ X (t)] xfX (x)dx mX
E[ X 2 (t)]
x2
fX
(x)dx
R( ) R( T )
证：由自相关函数的定义和周期性条件，容易得到
RX ( T ) E[X (t)X (t T )] E[X (t)X (t )] RX ( )
性质5 若平稳过程含有一个周期分量，则自相关函数 含RX有( )同一个周期分量。
自相关函数可用来检测信号是否含有周期分量。
n 2, t t1, t2 t1时，二维概率密度：
fX (x1, x2,t1,t2 ) fX (x1, x2,t1 t,t2 t)
fX (x1, x2, 0,t2 t1) fX (x1, x2, )
从概率密度函数的角度讲，高阶平稳一定低阶平稳
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对于平稳过程X(t)，性质1可知
E[ X 2 (t)] E[ X 2 (t )] RX (0)
代入前式，可得 2RX (0) 2RX ( ) 0
于是 RX (0) RX ( )
同理
KX (0)
2 X
KX ( )
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22
性质4 若平稳过程X(t)满足条件X(t)=X(t+T)，则称 它为周期平稳过程，其中T为随机过程周期。 周期平稳过程的自相关函数必是周期函数， 且与随机过程的周期相同。即：周期平稳过 程X(t)=X(t+T)，T为周期，则相关函数满足
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11
为什么要研究宽平稳随机过程?
随机过程可分为平稳和非平稳两大类, 严格地说, 所有信号都是非平稳的, 但是, 在自然界和实际应用 中许多随机过程可以近似为平稳信号。且平稳信号 分析要容易得多，理论成熟，是随机信号分析的基 础。
物理规律或统计结果与随机试验的时间起点无关 在线性时不变系统中，输入宽平稳，输出也宽平稳。
（1）平稳随机过程表示噪声电压，一、二矩函数可以 表示噪声的平均功率的直流、交流分量以及总功率的重要参 数。
（2）工程中常见的随机过程是高斯过程，只要知道数 学期望和相关函数，则多维概率密度函数就确定了。
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2 宽(广义)平稳随机过程(Weakly Stationary Process)
实际应用中，通过上式来判定过程的平稳性是很不容易的，因 此在实际中往往不需要所有时间都平稳，只要观测的有限时间 平稳就行了。
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fX (x1, , xn,t1 t, ,tn t) fX (x1, , xn,t1, ,tn )
(2) 特性 ➢ 一阶平稳(n=1) 严平稳随机过程的一维概率密度函数与时间无关 n 1, t t1 时，对于一维概率密度有：
RZ (t1, t2 ) E[Z (t1)Z (t2 )]
E{[ X cos t1 Y sin t1][ X cos t2 Y sin t2 ]}
E[ X 2 ]cos t1 cos t2 E[Y 2 ]sin t1 sin t2
E[ XY ]cos t1 sin t2 E[YX ]sin t1 cos t2
2 cos t1 cos t2 2sin t1 sin t2
2 cos(t1 t2 )
2cos
t1 t2
RZ (0) 2
Z(t)是广义平稳的。
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E[Z 3 (t)] E{[ X cos t Y sin t]3} E[ X 3 cos3 t Y 3 sin3 t 3X 2Y cos2 t sin t 3Y 2 X cos t sin t]
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随机过程可分为平稳和非平稳两大类, 严格地说, 所 有信号都是非平稳的, 但是, 平稳信号的分析要容易得 多, 而且在电子系统中, 如果产生一个随机过程的主要 物理条件在时间的进程中不改变, 或变化极小, 可以忽 略, 则此信号可以认为是平稳的. 如接收机的噪声电压 信号, 刚开机时由于元器件上温度的变化, 使得噪声电 压在开始时有一段暂态过程, 经过一段时间后, 温度变 化趋于稳定, 这时的噪声电压信号可以认为是平稳的。
x2; )dx1dx2
R X
( )
KX (t1, t2 ) RX (t1, t2 ) mX (t1)mX (t2 )
R X
(
)
mX2
Kx ( )
若 t2
t1
，则 K X (0) RX (0) mX2
2 X
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(3) 严平稳随机过程的判断
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性质3
RX (0) RX ( )
K
X
(0)
2 X
KX ( )
极值性
当 0 平稳过程的相关函数具有最大值。
物理意义：随机过程同一时刻随机过程自身的相关性最强。
证：任何正函数的数字期望恒为非负值，即