小学奥数计数原理
小学奥数数学原理汇总
组合模块很多人认为所谓组合就是排列组合，其实排列组合只是组合模块中很小的一部分内容。
很多人说组合是考智力的，没有特定方法可循，灵感很重要。
我不否认这种看法，做组合题确实需要学生有更加活跃的思维，但是有许多方法和思路还是可以总结出来的，在这里呢，我就以我个人的一点点经验，简单聊聊如何备考组合模块。
首先，我们还是得先搞清楚，组合到底包括哪些内容。
从大方向来说的话，组合基本可以用三组词语概括：排列与组合、归纳与递推、构造与论证。
除此之外还有：枚举法、几何计数、加乘原理、容斥原理、抽屉原理、概率等等。
可以看出来，内容还是挺多的，而且这里面每一块内容拿出来都可以讲个一整天。
那么备考杯赛的时候，我们需要注意些什么呢？一、枚举法和几何计数。
这是各大杯赛都常考的内容，而枚举法也可以算是计数问题的万能解法（但未必是最好的方法），不过，学生特别容易做错这类题目，因为计数问题本身就容易考虑不全面，容易数重或数漏。
要想避免这种情况，务必注意做到以下两点：1、分类。
分类的好处就是把大问题变成几个小问题，而且很可能你搞定了其中一类，就可以发现一些规律，很快搞定其他几类。
那么怎么分类呢？具体情况具体分析，总之，记住一点：抓住所要计算的东西的特点（属性）！比如几何图形的大小、形状、方向等等。
2、有序。
枚举的时候最怕杂乱无章，想到一个算一个。
最好是能像英文字典排单词一样，有一个固定的顺序，比如说列举数字从小到大。
这样才不会乱，才能轻松做到不重不漏。
二、加乘原理。
加乘原理本身并不难，最最关键的就是分清何时用加法，何时用乘法。
一个原则：类类相加，步步相乘。
说的通俗一点，如果做一件事既可以这么做又可以那么做，用加法；如果做一件事必须先这么做，再那么做，缺一不可，那么用乘法。
三、排列组合。
这一部分小学考得并不多，但如果能熟练运用的话，可以“秒杀”一些题目，做一些难题也是可以体现出不小的优势的。
当然，想学好这部分内容可不是一朝一夕的事，这里有非常多的技巧，在这里我概括出如下6条解题技巧，最重要的是找到题目特点，进而使用相应的解题方法：1、元素相邻，捆绑为一；2、元素不相邻，插空处理；3、特殊优先，一般在后；4、元素定序，只选不排；5、相同元素分组，用隔板法；6、正难则反，间接作答。
六年级下册数学讲义-小学奥数精讲精练： 第十三讲 两个计数原理
第十三讲两个计数原理在日常生活和生产实践中要经常遇到排队、分组的有关计数问题。
例如,有4 名学生与 1 位老师排成一排照相,如果老师必须站在中间,问有多少种排法？某条航线上共有 6 个航空站,这条航线上共有多少种不同的飞机票？如果不同的两站间票价都不同,那么有多少种不同的票价？这种计数问题都涉及到两个基本原理：乘法原理和加法原理。
下面我们就来讨论这两个基本原理。
1．乘法原理先看一个例子。
例1 从甲地到乙地有 2 条路可走,乙地到丙地又有 3 条路可走。
问从甲地经乙地到丙地,可以有多少种不同的走法？分析与解：如果用 a1,a2 表示从甲地到乙地的两条路,用 b1,b2,b3 表示从乙地到丙地的三条路（图13－1）。
从图中可以看出,从甲地经乙地到丙地共有以下6 种走法：解这个问题可以分成两个步骤来考虑：第一步,先从由甲地到乙地的两条路中任意选一条（有2 种选法；第二步,再从乙地到丙地的三条路中任意选一条（有3 种选法）,相互搭配后,共有六种不同走法,正好是每一步骤的选法种数（2 与 3）的乘积。
这个具体问题的解法,给了我们一个重要的启示：如果撇开这里所说的“从甲地到乙地”,“从乙地到丙地”这些具体内容,而把它们一般地看成要完成一件事的两个步骤,并且把这里所说的“有 2 条路”,“有3 条路”一般地说成“有m1 种方法”,有 m2 种方法”。
这样,就可以得到如下结论：如果做一件事需要分两个步骤进行,做第一步有 m1 种不同方法,第二步有m2 种不同方法,那么完成这件事共有N＝m1×m2 种不同的方法。
更一般地,还可得出这样的结论：如果做一件事需要分 n 个步骤进行,做第一步有m1 种不同方法,做第二步有m2 种不同方法,……,做第 n 步有 mn 种不同方法,那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn 种不同方法。
我们把上面这个结论叫做乘法原理。
例2 一天中午,某学生食堂供应 4 种主食、6 种副食。
计数原理公式
计数原理公式计数原理是组合数学中的一个重要概念，它描述了在一系列事件中，每个事件的可能性数量是如何相乘来得到总的可能性数量的。
在实际问题中，计数原理可以帮助我们快速而准确地计算出各种事件的可能性数量，从而解决各种组合问题。
在本文中，我们将详细介绍计数原理的公式和应用。
首先，我们来了解一下计数原理的基本概念。
计数原理包括加法原理和乘法原理两个部分。
加法原理指的是，如果一个事件可以分解为若干个不相交的子事件，那么这个事件的可能性数量就等于各个子事件可能性数量的和。
乘法原理指的是，如果一个事件可以分解为若干个相互独立的子事件，那么这个事件的可能性数量就等于各个子事件可能性数量的积。
接下来，我们来看一些常见的计数原理公式。
首先是加法原理的公式，如果一个事件可以分解为若干个不相交的子事件，那么这个事件的可能性数量就等于各个子事件可能性数量的和。
其数学表达式为，若A = A1∪A2∪...∪An，其中Ai∩Aj=∅（i≠j），则|A| = |A1| + |A2| + ... + |An|。
这个公式在实际问题中常常用于计算不同情况下的可能性数量之和。
其次是乘法原理的公式，如果一个事件可以分解为若干个相互独立的子事件，那么这个事件的可能性数量就等于各个子事件可能性数量的积。
其数学表达式为，若A = A1×A2×...×An，则|A| = |A1| × |A2| × ... × |An|。
这个公式在实际问题中常常用于计算多个独立事件同时发生的可能性数量。
除了加法原理和乘法原理，计数原理还包括排列和组合两个重要概念。
排列指的是从n个不同元素中取出m个元素，按照一定顺序排成一列的所有可能性数量。
排列的计数公式为，A(n,m) =n!/(n-m)!。
组合指的是从n个不同元素中取出m个元素，不考虑顺序的所有可能性数量。
组合的计数公式为，C(n,m) = n!/(m!(n-m)!)。
六年级奥数专题 计数方法(学生版)
计数方法,掌握常见的计数方法,会使用这些方法来解决问题最简单的计数问题,只需一一列举就可以；复杂的计数问题则需要借助排列与组合的相关知识予以解决．一般地,从n 个不同的元素中,任取m(m ≤n)个不同的元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中任取m 个元素的一个排列．我们主要来研究满足某种条件的排列的个数．相同的排列应满足：它们所含的元素均相同；它们的顺序也一样．一般地,从n 个不同元素中取出m 个元素的排列的个数称为从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,记作：m n A (m ≤n)．从n 个元素中取出m 个元素排成一排,有多少种排法,是从n 个元素中取出m 个元素的排列数．这个问题可以看成有m 个位置,从n 个元素中取m 个元素放到m 个位置中,可分m 个步骤：第①步：第1个位置有n 种选择；第②步：第2个位置有n-1种选择；第③步：第3个位置有n-2种选择；……第m 步：第m 个位置有n-m+1种选择．由乘法原理：m n A = n ×(n- 1)×(n- 2)×…×(n-m+1)．——乘积中共有m 项特别地,当m=n 时,()1...21m n n n A A n n ==⨯-⨯⨯叫做n 个元素的全排列数．1×2×3×…×n 称为n 的阶乘,记作n!因此()!!m n n A n m =- (m ≤n)． 排列数乘积形式的公式：m n A =n ×(n- 1)×(n- 2)×…×(n-m+1)．排列数阶乘形式的公式：()!!m n n A n m =- (m ≤n)．有时我们只需从若干元素中取出一些就可以了,这种问题称为组合问题,组合问题与排列问题的区别就是：组合问题是将元素取出即可,不需排序,而排列问题是取出后要进行排序．一般地,从n 个不同元素中任取m(m ≤n)个不同的元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出,n 个元素的组合．从n 个不同元素中,每次取出m 个元素的组合总数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数,记作m n C (m ≤n)．从n 个元素中取出m 个元素的排列问题可以看成分两步完成：第①步：从n 个元素中取出m 个元素,这时有多少种取法?实际上就是从n 个元素中取出m 个元素的组合数m n C ；第②步：对取出的m 个元素进行排列,排法数就是m m A ．由乘法原理可知：m m m n n m A C A =⨯,因此,m m n n m mA C A =． 将排列数公式代人得：()()().1...1.1...3.2.1m n n n n m C m m --+=-或 ()!!!m n n C n m m =- 常用的计数方法有：分类枚举、插板、整体、递推、排除、概率等等。
三年级奥数计数知识点
三年级奥数计数知识点计数是数学中的一个重要概念，它涉及到对不同对象数量的计算和分析。
对于三年级的学生来说，奥数中的计数问题可能会比常规数学课程中的计数问题更具挑战性。
以下是一些三年级奥数计数的知识点：1. 基本计数原理：学生需要理解基本的计数原理，例如“加法原理”和“乘法原理”。
加法原理指的是如果一个事件可以分成两个互不干扰的步骤来完成，那么这个事件的完成方式的总数就是这两个步骤完成方式数的和。
乘法原理则是指如果完成一个事件需要进行n个步骤，并且每个步骤都有m种不同的方法，那么这个事件的完成方式的总数就是m的n次方。
2. 组合计数：在奥数中，学生需要学习如何计算组合数，也就是从n个不同元素中选择k个元素的所有可能组合的数量。
这通常涉及到组合公式的应用。
3. 排列计数：与组合不同，排列考虑了元素的顺序。
排列数的计算公式是P(n, k) = n! / (n-k)!，其中n!表示n的阶乘。
4. 容斥原理：这是一个在计数问题中非常有用的原理，它可以帮助我们解决一些包含和排除的问题。
例如，如果我们要计算一个集合中满足多个条件的元素数量，我们可以先计算每个条件满足的元素数量，然后减去它们重叠的部分。
5. 递推关系：在解决计数问题时，学生需要学会如何使用递推关系来找出数列的规律。
递推关系可以帮助我们理解一个序列是如何通过前一个数来生成下一个数的。
6. 图形计数：在奥数中，图形计数问题可能涉及到点、线、面的数量计算。
学生需要学会如何通过观察和分析图形来确定计数的方法。
7. 数列和数表：学生需要理解数列和数表的基本概念，以及如何通过数列和数表来解决计数问题。
8. 概率计数：虽然三年级的学生可能还没有正式学习概率，但是了解基本的概率概念对于解决一些计数问题是非常有帮助的。
例如，理解掷骰子得到某个特定数字的概率。
9. 逻辑推理：在解决计数问题时，逻辑推理能力是非常重要的。
学生需要能够通过逻辑推理来确定计数的正确方法。
小学六年级奥数 第4讲计数原理之加乘原理
计数原理之加乘原理【例1】(★)用数字0，1，2，3，4可以组成多少个小于1000的自然数？加油站加法原理：分类计数，类类独立乘法原理：分步计数，步步相关关联词区分：可以……也可以……加法原理【例2】(★★★)(北京市人大附中分班考题)先……再……又……乘法原理由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位数中，百位不是2的奇数有多少个？【例3】(★★★)【例5】(★★★)一个三位数，其反序数也是一个三位数，用这个三位数减去它的反序数得到的差大于0，且为4的倍数，满足条件的三位数有_____个。
在1001，1002，…，2000这1000个自然数中，可以找到多少对相邻的自然数，使它们相加时不进位？【例4】(★★★)一个至少两位的数，如果满足高数位上的数字总大于低数位上的数字，如732、85421，我们称之为“下降数”，那么“下降数”中一共有_____个偶数。
【例6】(★★★)一个七位数，其数码只能为1或3，且无两个3是邻的。
问这样的七位数共有多少个？1【例7】(★★★)【例9】(★★★★)在1～10这10个自然数中，每次取出三个不同的数，使它们的和是3的倍数有多少种不同的取法？从1到3998这3998个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被4整除？【例8】(★★★★)从1、2、3、4、5、6、7这7个数中选出3个数，请问：⑴要使这3个数的乘积能被3整除，一共有多少种不同的选法？⑵要使这3个数的和能被3整除，一共有多少种不同的选法？【例10】(★★★★)从1到999这999个自然数中有_____个数的各位数字之和能被4整除。
本讲总结加法原理：分类计数，类类独立乘法原理：分步计数，步步相关关联词区分：可以……也可以……加法原理先……再……又……乘法原理乘法原理的前提：平等性常用方法：①优先排序法②排除法③分类讨论重点例题：例5、例7、例8、例9 2。
小学奥数专题精讲计数
目录第 1 讲枚举法和加乘原理 (2)第 2 讲排列组合 (12)第 3 讲计数综合提高 (22)第一讲枚举法和加乘原理知识总结归纳一.枚举法：（1）顺序：按照一定的规律和顺序去分析问题的数学思想。
（2）分类：把一个复杂问题拆分成几个简单问题的思想。
（3）树形图：记录分类和顺序思考过程的工具。
（4）“有顺序”和“无顺序”问题：例如把10个相同的小球分成3堆和把10个相同的小球分给甲、乙、丙三个人，这是两个不同的问题。
二.加法原理：如果完成一件事情可以分成几类方法，每一类又包含若干种不同方法，那么将所有类中的方法数累加就是完成这件事的所有方法数．三.加法原理的关键：（1）分类的思想；（2）分类的原则：不重复不遗漏四.乘法原理：如果完成一件事情可以分成几个步骤，每一步又包含若干种不同方法，那么将所有步骤中的方法数连乘就是完成这件事的所有方法数．五.乘法原理的关键：（1）分步的思想（2）分步的原则：前不影响后。
前面采取什么样的步骤，不会影响到后面的方法数。
每层的分叉数必须一样多。
（3）对于染色问题、排数字问题、排队问题等较复杂的乘法原理问题，在分步的时候要优先考虑选择情况少的步骤，必须让前面步骤的结果不影响后面步骤选择的方法数。
六.标数法：（1）标数法是加法原理和乘法原理的综合应用（2）主要用于解决路径问题和某些图形计数问题。
枚举法例题111个相同的小球分成第1堆、第2堆、第3堆，有多少种不同的分法？例题211个相同的小球分成3堆，有多少种不同的分法？例题3商店里有12种不同的签字笔，价格分别是1，2，3，4，5，，11，12元．琪琪准备买3支不同价格的签字笔，并且希望恰好花掉15元．请问：小悦一共有多少种不同的买法？例题4小梦买了一些大福娃和小福娃，一共不到10个，且两种福娃的个数不一样多．请问：两种福娃的个数可能有多少种不同的情况？例题5一个三位数，百位比十位小，十位比个位小，个位不大于5，那么这样的三位数一共有几个？例题6甲、乙、丙三个人传球．第一次传球是由甲开始，将球传给乙或丙，……，经过4次传球后，球正好回到甲手中．那么一共有多少种不同的传球方式？加乘原理例题7（1）大雄一家人外出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以坐飞机．经过网上查询，出发的那一天中火车有4班，汽车有3班，飞机有2班．任意选择其中一个班次，有多少种选择方法？（2）大雄一家人外出旅游，需要先做火车，再乘汽车，最后坐飞机．经过网上查询，途中的火车有4班，汽车有3班，飞机有2班．每种交通工具任意选择其中一个班次，有多少种选择方法？例题8（1）每个数位可以是1~4中的一个数字（可以重复），这样的三位数有多少个？（2）每个数位可以是0~4中的一个数字（可以重复），这样的三位数有多少个？（3）每个数位可以是0~4中的一个数字（可以重复），这样的三位偶数有多少个？例题9（1）用1、2、3、4、5可以组成多少个没有重复数字的三位数？（2）用0、1、2、3、4可以组成多少个没有重复数字的三位数？（3）用0、1、2、3、4可以组成多少个没有重复数字的三位奇数？例题10“IMO”是“国际数学奥林匹克”的缩写，要求把这三个字母涂上不同的颜色，且每个字母只能涂一种颜色．现有五种不同颜色的笔，按要求能有多少种不同的涂色方法？如果要求相邻字母不能同色，有多少种方法？综合提高例题11商店里有三类笔，铅笔、钢笔和圆珠笔．铅笔有4种颜色，钢笔有3种颜色，圆珠笔有2种颜色．（1）要买任意一支笔，有多少种买法？（2）要从三类笔中各买一支，有多少种买法？（3）要买两支不同类的笔，有多少种买法？例题12如右图所示，要用红、黄、蓝三色给这个图形的5个区域进行染色，每个区域染一种颜色，那么共有多少种不同的染色方法？如果相邻区域不得同色，那么共有多少种不同的染色方法？例题13某省的地图如图，共有A、B、C、D、E、F、G七个区县，用5种颜色给地图染色，要求相邻区县的颜色不能相同，共有多少种不同的染色方法？例题14 下图是一个阶梯形方格表，在方格中放入五枚相同的棋子，使得每行、每列中都只有一枚棋子，这样的放法共有多少种？例题15 （1）如图，在一个4行4列的方格表内放入4枚相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，每行也至多有1枚棋子，那么一共有多少种不同的放法？ （2）同上图，在这个4行4列的方格表内放入4枚相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，每行不作限制，那么一共有多少种不同的放法？（3）同上图，在这个4行4列的方格表内放入4枚互不相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，每行也至多有1枚棋子，那么一共有多少种不同的放法？（4）同上图，在这个4行4列的方格表内放入4枚互不相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，每行不作限制，那么一共有多少种不同的放法？标数法例题16 按右图中箭头所示的方向行走，从A 点走到B 点有多少条不同的路线？例题17 如右图，从A 地沿网格线走到B 地，规定只能朝右或朝上走．（1）如果每次只能走一步共有多少种不同的走法？（2）如果每次只能走一步且不能通过黑点，共有多少种不同的走法？ （3）如果每次可以走一步或两步（不能转弯），共有多少种不同的走法？思维飞跃例题18 如图，在一个34 的方格表内放入4枚相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，一共有多少种不同的放法？如果放入4枚互不相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，一共有多少种不同的放B BA BABA法？例题19如图，一只蚂蚁从A点出发，沿着八面体的棱行进，要求恰好经过每个顶点各一次，一共有多少种不同的走法？E作业1. 妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止．如果天数不限，可能的吃法一共有多少种？2. 用0、1、2、3、4、5可以组成_______个没有重复数字的四位数．3. 把1分、2分、5分、1角的硬币各一枚排成一排，其中1分硬币不在两边，共有_______种排硬币的方法．4. 如图，把A、B、C、D、E这五部分用4种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色．那么共有________种不同的染色方法．ABCDE5. 在右图的道路上按照箭头所示的方向行进，从甲地到乙地共有_______条不同的路线．6. 在5×5的方格纸中放入两枚相同的棋子，要求这两枚棋子既不同行也不同列，不考虑旋转，一共有_______种放法．7. 如图，用红、蓝两种颜色来给图中的小圆圈染色，每个小圆圈只能染一种颜色．请问：（1）如果每个小圆圈可以随意染色，一共有多少种不同的染法？（2）如果要求关于中间那条竖线左右对称，一共有多少种不同的染法？8. 王老师家装修新房，需要2个木匠和2个电工．现有木匠3人、电工3人，另有1人既能做木匠也能做电工．要从这7人中挑选出4人完成这项工作，共有多少种不同的选法？第二讲 排列组合知识总结归纳一. 排列的概念：从n 个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，记作m n A ．排列数的计算公式如下：二. 组合的概念：从n 个不同的元素中取出m 个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的组合数，记作m n C ．组合数的计算公式如下：[(1)(1)][(1)1]m m m n n m C A A n n n m m m =÷=⨯-⨯⨯-+÷⨯-⨯⨯…………例如：333553543(321)10C A A =÷=⨯⨯÷⨯⨯=三. 组合重要公式：n m m nm -=C C四. 排列、组合以及和乘法原理的联系：1. 排列是乘法原理的延续，是乘法原理在特殊情况下的应用。
一年级奥数计数知识点总结
一年级奥数计数知识点总结一、认识数字1. 数字的认识：数字0-9的认识与书写，认识数字的大小顺序。
2. 数字的顺序：1-100的数字顺序。
3. 数字的组成：十以内数的构成，十以内数的大小比较。
4. 数字的读法：认识百以内数的读法，会读写百以内的数。
二、数列1. 数列的认识：认识、写出简单数列。
2. 数列规律：找规律，延续规律，补充规律。
三、数的组成1. 十以内的数的组成：认识并展现10以内数的组成。
2. 100以内的数的组成：认识并展现100以内数的组成。
3. 数的交换律与分配律：认识数的交换律、分配律，概念性的理解。
四、数的比较1. 大小比较：使用大于、小于、等于来进行数的大小比较。
2. 十以内的数的大小比较：十以内数的大小比较。
3. 100以内数的大小比较：100以内的大小比较。
五、整数1. 正整数：认识正整数，正整数与数轴的关系。
2. 负整数：认识负整数，认识负整数的绝对值。
3. 整数的认识：认识整数的概念，正整数、负整数的认识。
六、几何图形1. 认识图形：认识圆、正方形、长方形、三角形、梯形、五边形、六边形。
2. 图形的边和角：认识图形的边和角。
七、相等1. 记数的相等：相等的认识，相等的运用。
2. 相等的变换：相等式的变换。
八、倍数和约数1. 倍数的认识：认识倍数的概念。
2. 倍数与除法：倍数与除法的关系，认识倍数的运用。
3. 约数的认识：认识约数的概念，认识约数的运用。
4. 最大公约数：认识最大公约数。
九、奇数和偶数1. 奇数和偶数的认识：认识奇数和偶数的概念。
2. 奇数和偶数的相互转化：奇数和偶数的变化。
十、分数1. 分数的认识：认识分数的概念。
2. 分数的大小：分数大小的比较，认识分数的大小。
3. 分数的运算：分数加减法，认识分数的运算。
4. 分数的变化：分数的化简，认识分数的变化。
十一、小数1. 小数的认识：认识小数的概念，小数的读法。
2. 小数的大小：小数的大小比较，认识小数的大小。
数学 计数原理
数学计数原理
在数学中，计数原理是一种常用的方法，用于计算由多个步骤组成的任务的总数目。
计数原理有两个基本原则，分别是乘法原理和加法原理。
乘法原理是指，如果一个任务可以分解为n个相互独立的步骤，且每个步骤都有m种选择，则整个任务的总数目为n乘以m。
例如，假设要组合一个四位数密码，其中每位数字可选取的范围是0到9。
根据乘法原理，总的密码组合数为：10乘以10
乘以10乘以10，即10的四次方，等于10000种可能的密码
组合。
加法原理是指，如果一个任务可以通过两个或多个互不相交的子任务完成，其中第一个子任务有n种可能，第二个子任务有m种可能，则整个任务的总数目为n加m。
例如，假设要在一个菜单中选择主菜和甜点，菜单中提供了3
种主菜选择和2种甜点选择。
根据加法原理，总的餐点组合数为：3加2，等于5种可能的餐点组合。
计数原理在组合数学、概率论、统计学等领域中有广泛应用。
通过应用计数原理，我们可以解决各种问题，如排列组合、概率计算、统计分析等。
3、小升初分班奥数计数原理
精锐教育学科教师辅导讲义 讲义编号：学员编号: 年 级：小六 课时数：3学员姓名: 辅导科目：奥数 学科教师：课 题计数原理 授课时间：备课时间： 教学目标 对排列组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握排列与组合的联系和区别，并掌握一些排列组合技巧，如捆绑法、挡板法等；根据不同题目灵活运用计数方法进行计数。
教学内容【专题知识点概述】一、排列一般地，从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素的排列中取出m 个元素的排列数，我们把它记做m n P ．根据排列的定义，做一个m 元素的排列由m 个步骤完成：步骤1：从n 个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n 种方法；步骤2：从剩下的(1n -)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1n -)种方法；……步骤m ：从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置，有11n m n m --=-+（）(种)方法； 由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是121n n n n m ⋅-⋅-⋅⋅-+（）（）（），即12.1m n P n n n n m =---+（）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘。
二、组合一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作m n C 。
奥数知识十七——简单的计数原理
奥数知识十七——简单的计数原理简单的计数原理分类计数原理与分步计数原理是排列、组合的两个基本原理。
为了让教师更好的理解教材，我们在这里做一简要的介绍。
我们先来看下面的问题：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。
在一天中，火车有2班，汽车有3班。
那么一天中，乘坐这些交流工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？因为一天中乘火车有2种走法，乘汽车有3种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有：3＋2＝5种不同的走法，如下图所示：一般的，有如下原理：分类计数原理（也称加法原理）完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法。
那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法。
再看下面的问题：从甲地到乙地，要先从甲地乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地。
一天中，火车有2班，汽车有3班。
那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？（如下图。
）这个问题与前面的问题不同。
在前一问题中，采用乘火车或乘汽车中的任何一种方式，都可以从甲地到乙地，而在这个问题中，必须经过先乘火车、后乘汽车两个步骤，才能从甲地到乙地。
这里，因为乘火车有2种走法，乘汽车有3种走法，所以乘一次火车再接着乘一次汽车从甲地到乙地，共有2×3＝6种不同的走法。
所有走法火车1──汽车1火车1──汽车2火车1──汽车3火车2──汽车1火车2──汽车2火车2──汽车3一般的，有如下原理：分步计数原理（也称乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有m n种不同的方法。
那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法。
例书架的第1层放有4本不同的科技书，第2层放有3本不同的漫画书，第3层放有2本不同的文学书。
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？解：（1）从书架上任取1本书，有3类办法：第1类办法是从第1层取1本科技书，有4种方法；第2类办法是从第2层取1本漫画书，有3种方法；第3类办法是从第3层取1本文学书，有2种方法。
五年级奥数题排列与组合的重难点
五年级奥数题排列与组合的重难点一、两个根本计数原理：〔排列与组合的根底〕1、分类加法计数原理：做一件事，完成它可以有n 类方法，在第一类方法中有1m 种不同的方法，在第二类方法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类方法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +⋅⋅⋅++=21种不同方法.2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯=21种不同的方法.二、排列与组合〔1〕排列定义:一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列；排列数用符号m n A 表示 对排列定义的理解：1、定义中包括两个根本容：①取出元素②按照一定顺序。
因此，排列要完成的“一件事情〞是“取出m 个元素，再按顺序排列〞2、一样的排列：元素完全一样，并且元素的排列顺序完全一样。
假设只有元素一样或局部一样，而排列顺序不一样，都是不同的排列。
比方abc 与acb 是两个不同的排列描述排列的根本方法：树状图排列数公式：),)(1()2)(1(*∈+-⋅⋅⋅--=N m n m n n n n A m n 我们把正整数由1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用!n 表示，即12)2()1(!⨯⨯⋅⋅⋅⨯-⨯-⨯=n n n n ，并规定1!0=。
全排列数公式可写成!n A n n =.由此，排列数公式可以写成阶乘式：)!(!)1()2)(1(m n n m n n n n A m n -=+-⋅⋅⋅--=〔主要用于化简、证明等〕排列应用题的主要解题方法有：直接法、间接法〔排除法〕、优先法、捆绑法、插空法、定序问题除法处理1、直接法：把符合条件的排列数直接列式计算2、间接法〔排除法〕：先不考虑题目中的限制条件，求出所有的排列数，然后从中减去不符合条件的排列数，从而得到所求的排列数。
四年级奥数第一讲
四年级奥数第一讲戴氏教育白马寺校区课题一计数问题-----加法原理一、本讲知识点生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的方法。
那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用我们将讨论的加法原理来解决．例如：某人从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？分析这个问题发现，此人去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法．在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．一般地，如果完成一件事有k类方法，第一类方法中有m1种不同做法，第二类方法中有m2种不同做法，…，第k类方法中有mk种不同的做法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mk种不同的方法．这就是加法原理．二、教学过程例1 ：学校组织读书活动，要求每个同学读一本书．小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书150本，不同的科技书200本，不同的小说100本．那么，小明借一本书可以有多少种不同的选法？分析: 在这个问题中，小明选一本书有三类方法．即要么选外语书，要么选科技书，要么选小说．所以，是应用加法原理的问题．解：小明借一本书共有150+200+100=450〔种〕不同的选法例2 ：一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜戴氏教育白马寺校区色各不相同．问：①从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？②从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？分析①从两个口袋中只需取一个小球,那么这个小球要么从第一个口袋中取，要么从第二个口袋中取，共有两大类方法．所以是加法原理的问题．②要从两个口袋中各取一个小球，那么可看成先从第一个口袋中取一个，再从第二个口袋中取一个，分两步完成，是乘法原理的问题解：①从两个口袋中任取一个小球共有3+8=11〔种〕不同的取法．②从两个口袋中各取一个小球共有3×8=24〔种〕不同的取法．例3：如右图，从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地有3条路可走．那么，从甲地到丙地共有多少种走法？分析从甲地到丙地共有两大类不同的走法．第一类，由甲地途经乙地到丙地．这时，要分两步走，第一步从甲地到乙地，有4种走法；第二步从乙地到丙地共2种走法，所以由乘法原理，这时共有4×2=8种不同的走法．第二类，由甲地直接到丙地，由条件知，有3种不同的走法．解：由加法原理知，由甲地到丙地共有： 4×2+3=11〔种〕不同的走法．1、如右图，从甲地到乙地有三条路，从乙地到丙地有三条路，从甲地到丁地有两条路，从丁地到丙地有四条路，问：从甲地到丙地共有多少种走法？戴氏教育白马寺校区2、书架上有6本不同的画报和7本不同的书，从中最多拿两本〔不能不拿〕，有多少种不同的拿法？3、如下列图中，沿线段从点A走最短的路线到B，各有多少种走法？例4 ：如下页图，一只小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点，要求任何点和线段不可重复经过．问：这只甲虫有多少种不同的走法？分析从A点到B点有两类走法，一类是从A点先经过C点到B点，一类是从A 点先经过D点到B点．两类中的每一种具体走法都要分两步完成，所以每一类中，都要用乘法原理，而最后计算从A到B的全部走法时，只要用加法原理求和即可．解：从A点先经过C到B点共有：1×3=3〔种〕不同的走法．从A点先经过D到B点共有： 2×3=6〔种〕不同的走法．所以，从A点到B点共有： 3+6=9〔种〕不同的走法．戴氏教育白马寺校区例5 ：有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6．将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？分析要使两个数字之和为偶数，只要这两个数字的奇偶性相同，即这两个数字要么同为奇数，要么同为偶数，所以，要分两大类来考虑．第一类，两个数字同为奇数．由于放两个正方体可认为是一个一个地放．放第一个正方体时，出现奇数有三种可能，即1，3，5；放第二个正方体，出现奇数也有三种可能，由乘法原理，这时共有3×3=9种不同的情形．第二类，两个数字同为偶数，类似第一类的讨论方法，也有3×3=9种不同情形．最后再由加法原理即可求解．例6 ：从1到500的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个？分析从1到500的所有自然数可分为三大类，即一位数，两位数，三位数．一位数中，不含4的有8个，它们是1、2、3、5、6、7、8、9；两位数中，不含4的可以这样考虑：十位上，不含4的有1、2、3、5、6、7、8、9这八种情况．个位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种情况，要确定一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理，这时共有 8×9=72个数不含4．三位数中，小于500并且不含数字4的可以这样考虑：百位上，不含4的有1、2、3、这三种情况．十位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种情况，个位上，不含4的也有九种情况．要确定一个三位数，可以先取百位数，再取十位数，最后取个位数，应用乘法原理，这时共有3×9×9=243个三位数．由于500也是一个不含4的三位数．所以，1～500中，不含4的三位数共有3×9×9+1=244个．解：在1～500中，不含4的一位数有8个；不含4的两位数有8×9=72个；不含4的三位数有3×9×9+1=244个，由加法原理，在1～500中，共有：8+8×9+3×9×9+1=324〔个〕不含4的自然数．戴氏教育白马寺校区4、在1～1000的自然数中，一共有多少个含数字0？5、在1～500的自然数中，不含数字0和1的数有多少个？6、十把钥匙开十把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，问：最多试开多少次，就能把锁和钥匙配起来？7、有五顶不同的帽子，两件不同的上衣，三条不同的裤子。
小学奥数组合模块-计数原理
⚫ 数线段：若基本线段有n 条，则线段总数：(1)1232n n n +++++=L⚫ 数角：若基本角有n 个，则角总数：(1)1232n n n +++++=L ⚫ 数三角形：若基本角有n 个，则三角形总数：(1)1232n n n +++++=L数一数下面三个图形中，分别有多少个三角形？…3nn -121 计数原理知识剖析模块一 数三角形（线段、角）例1nn -14321…n -1n321如下图中共有_________个三角形．下面图形中共有多少个三角形？数一数下图中总共有多少个三角形．练一练例2练一练⚫ 如上图，n m ≥，数正方形：()(1)(1)(2)(2)11n m n m n m n m ⨯+−⨯−⨯−⨯−++−+⨯L ；例如：8n =，7m =，正方形个数：87766554433221⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ⚫ 如上图，n m ≥，数长方形（包括正方形）：(123)(123)n m++++⨯++++L L ；例如：8n =，7m =，长方形个数：(87654321)(7654321)+++++++⨯++++++下面两个图形中，长方形和正方形分别各有多少个？图（1）中有长方形________个． 图（2）中有平行四边形________个． 图（3）中有梯形________个．…4321nm…321知识剖析模块二 数四边形例3练一练下面边长为8的大正方形中， （1）有________个正方形； （2）有________个“田”字形； （3）有________个形；（4）有________个形；有________个形．左图中共有等边三角形________个． 左图中共有 型________个（可旋转）． 右图中共有正方形________个．右图中共有 型________个（可旋转）．⚫ 原理：长方形可由处于对角位置的两个点确定，也就是说一个长方形与对角的两个点之间有对应的关系，可利用这种对应关系，将数长方形的问题转化为数“点的组合”的问题。
计数原理的操作方法
计数原理的操作方法
计数原理是一种数学上的方法，用于计算可能性的数量。
以下是计数原理的操作方法：
1. 乘法原理：如果一个事件由两个独立的步骤组成，第一步有m种可能性，第二步有n种可能性，那么整个事件有m * n种可能性。
2. 加法原理：如果一个事件可以通过两个或多个独立的方式发生，其中第一种方式有m种可能性，第二种方式有n种可能性，那么整个事件有m + n种可能性。
3. 排列：当从n个元素中选择r个元素进行排列时，排列的方法有n * (n-1) * (n-2) * ... * (n-r+1)种。
4. 组合：当从n个元素中选择r个元素进行组合时，组合的方法有n! / (r! * (n-r)!)种。
其中n!表示n的阶乘，即n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
通过应用这些原理，可以计算出各种情况下的可能性数量。
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计数原理
知识纵横：
如果完成一件事情，有几类不同的方法，而且每类方法中又有几种可能的方法，那么求完成这件事的方法总数，即各类方法的总和，就是我们要掌握的加法原理。
加法原理：完成某件事情，如果有几类方法，而在第一类方法中有m1种方法，第二类方法中有m2种方法……第n类有m n种，那么完成这件事的方法总数可以表示为m1+ m2+ m3+…+m n。
完成一件事，需要分几个步骤来完成，而完成每步又有几种不同的方法，要求完成这件事的方法的总数，应当将各步骤方法总数相乘，这就是我们应掌握的乘法原理。
乘法原理：完成一件事需要分成几个步骤，第一步有m1种方法，第二步有m2种方法，第三步有m3种方法……第n步有m n种方法，那么完成这件事共有m1×m2×m3×…×m n种不同的方法。
例题求解：
【例1】 10个人进行乒乓球比赛，每两个人之间比赛一场，问：一共要比赛多少场？
【例2】一天有6节不同的课，这一天的课表有多少种排法？
【例3】 1000至1999这些自然数中，个位数大于百位数的有多少个？
【例4】 4只鸟飞入4个不同的笼子里，每只小鸟都有自己的一个笼子（不同的鸟，笼子也不同），每个笼子只能进一只鸟。
若都不飞进自己的笼子里去，有种不同的飞法。
【例5】如果组成三位数abc的三个数字a，b，c中，有一个数字是另外两个数字的乘积，则称它为“特殊数”。
在所有的三位数中，共有个“特殊数”。
【例6】如下图所示，用红、绿、蓝、黄四种颜色，涂编号为1、2、3、4的长方形，使任何相邻的两个长方形的颜色都不相同，一共有多少种不同的涂法？
【例7】恰有两位数字相同的三位数共有多少个？
基础夯实
1、一件工作可以用3种方法完成，有5人会用第1种方法完成，有4人会用第2种方法完成，有6人会用第3种方法完成。
选出一个人来完成这项工作共有多少种选法？
2、一件工序可以分3步方法完成，有5人会做第1步，有4人会做第2步，有6人会做第3步，每个人只会做一步。
选出三个人来完成这组工序共有多少种选法？
3、用1、2、3、
4、5这五个数字组成的不含重复数字的四位数有多少个？其中有多少个偶数？
4、有20个队参加篮球比赛，比赛先分三组，第一组7个队，第二组6个队，第三组7
个队，每组先进行单循环赛，然后由每小组的前两名共6个队，再进行单循环赛，决出冠亚军。
问：共需要比赛多少场？
5、7个人并排站成一排，如果甲必须站在中间，有多少种排法？如甲、乙两人必须站在两端，有多少种排法？
6、某信号兵用红、黄、蓝三面旗子从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂一面、二面或三面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？
7、四位数2336、2445、2782、2116等有一些共同的特征，每个数都以2开头，并且恰好每个数中只有两个相同的数字，求这样的四位数一共有多少个？
综合创新：
8、如下图，一共有九个点，相邻两个点之间的距离为1厘米，求用这九个点一共可以组成多少个三角形？。