江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学试题含附加题(解析版)

江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学试题2020．6一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{}24x x <<，B ＝{}13x x <<，则A B ＝ ．2．若i 1iaz =++（i 是虚数单位）是实数，则实数a 的值为 ． 3．某校共有教师300人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为125的样本，则从男学生中抽取的人数为 ． 4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ．第4题第6题5．将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为 ． 6．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(其中ω＞0，22ππϕ-<≤)部分图象如图所示，则()2f π的值为 ．7．已知数列{}n a 为等比数列，若12a =，且1a ，2a ，32a -成等差数列，则{}n a 的前n 项和为 ．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ．若以F为圆心，a 为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于A ，B 两点，且AB ＝2b ，则该双曲线的离心率为 ．9．若正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则三棱锥A —B 1CD 1的体积为 ． 10．已知函数2, 0()(), 0x x f x f x x +≤⎧=⎨->⎩，()(2)g x f x =-，若(1)1g x -≥，则实数x 的取值范围为 ．11．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝2上两个动点，且OA ⊥OB ，若A ，B 两点到直线l ：3x ＋4y ﹣10＝0的距离分别为d 1，d 2，则d 1＋d 2的最大值为 ． 12．若对任意a ∈[e ，+∞)（e 为自然对数的底数），不等式eax bx +≤对任意x ∈R 恒成立，则实数b 的取值范围为 ．13．已知点P 在边长为4的等边三角形ABC 内，满足AP AB AC λμ=+，且231λμ+=，延长AP 交边BC 于点D ，若BD ＝2DC ，则PA PB ⋅的值为 ．14．在△ABC 中，∠A ＝3π，D 是BC 的中点．若AD ≤2BC ，则sinBsinC 的最大值为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⏊PD ，E ， F 分别为AD ，PB 的中点．求证：（1）EF//平面PCD ；（2）平面PAB ⏊平面PCD ．16．（本题满分14分）已知向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(cos x ，﹣sin x )，函数1()2f x m n =⋅+． （1）若()12x f =，x ∈(0，π)，求tan(x ＋4π)的值；（2）若1()10f α=-，α∈(2π，34π)，sin 10β=，β∈(0，2π)，求2αβ+的值．17．（本题满分14分）如图，港口A 在港口O 的正东100海里处，在北偏东方向有条直线航道OD ，航道和正东方向之间有一片以B 为圆心，半径为危险），其中OB ＝tan ∠AOB ＝23，cos ∠AOD 现一艘科考船以海里/小时的速度从O 出发沿OD 方向行驶，经过2个小时后，一艘快艇以50海里/小时的速度准备从港口A 出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇．（1）若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由； （2）在无触礁危险的情况下，若快艇再等x 小时出发，求x 的最小值．18．（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)经过点(﹣2，0)和(1，，椭圆C 上三点A ，M ，B 与原点O 构成一个平行四边形AMBO ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点B 是椭圆C 左顶点，求点M 的坐标；（3）若A ，M ，B ，O 四点共圆，求直线AB 的斜率．19．（本题满分16分）已知函数2e ()xf x x ax a=-+(a ∈R)，其中e 为自然对数的底数．（1）若a ＝1，求函数()f x 的单调减区间；（2）若函数()f x 的定义域为R ，且(2)()f f a >，求a 的取值范围；（3）证明：对任意a ∈(2，4)，曲线()y f x =上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线经过坐标原点． 20．（本题满分16分）若数列{}n a 满足n ≥2时，0n a ≠，则称数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(n N *∈)为{}n a 的“L 数列”． （1）若11a =，且{}n a 的“L 数列”为12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，求数列{}n a 的通项公式； （2）若3n a n k =+-(k ＞0)，且{}n a 的“L 数列”为递增数列，求k 的取值范围； （3）若11n n a p-=+，其中p ＞1，记{}n a 的“L 数列”的前n 项和为n S ，试判断是否存在等差数列{}n c ，对任意n N *∈，都有1n n n c S c +<<成立，并证明你的结论．江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学附加题本试卷共40分，考试时间30分钟． 21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝1 1 0a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，a ∈R ．若点P(1，1)在矩阵A 的变换下得到点P′(0，﹣2)． （1）求矩阵A ；（2）求点Q(0，3)经过矩阵A 的2次变换后对应点Q′的坐标．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为1x y t⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．C ．选修4—5：不等式选讲已知为a ，b 非负实数，求证：3322)a b a b +≥+．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱中ABC —A 1B 1C 1，AB ⏊AC ，AB ＝3，AC ＝4，B 1C ⏊AC 1． （1）求AA 1的长；（2）试判断在侧棱BB 1上是否存在点P ，使得直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角和二面角B —A 1C —A 的大小相等，并说明理由．23．（本小题满分10分）口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球．现有一抽奖游戏规则如下：抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球2n ＋1(n N *∈)次．若取出白球的累计次数达到n ＋1时，则终止取球且获奖，其它情况均不获奖．记获奖概率为n P ．（1）求1P ；（2）证明：1n n P P +<．江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学试题2020．6一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{}24x x <<，B ＝{}13x x <<，则A B ＝ ．答案：(1，4)考点：集合的并集运算解析：∵集合A ＝{}24x x <<，B ＝{}13x x <<， ∴A B ＝(1，4)．2．若i 1iaz =++（i 是虚数单位）是实数，则实数a 的值为 ． 答案：2 考点：复数 解析：∵(2)i i 1i 2a a a z +-=+=+是实数，∴实数a 的值为2． 3．某校共有教师300人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为125的样本，则从男学生中抽取的人数为 ． 答案：60考点：分层抽样 解析：12512006030012001000⨯=++．4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ．答案：10 考点：伪代码解析：第一步：i ＝1，S ＝1；第一步：i ＝2，S ＝3； 第一步：i ＝3，S ＝6；第一步：i ＝4，S ＝10；故输出的结果为10．5．将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为 ． 答案：23考点：随机事件的概率解析：22223323A A P A ==． 6．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(其中ω＞0，22ππϕ-<≤)部分图象如图所示，则()2f π的值为 ．考点；三角函数的图像与性质 解析：首先222[()]33πππω=--，解得ω＝1， 又222326k k πππϕπϕπ+=+⇒=-+，k Z ∈，∵22ππϕ-<≤， ∴6πϕ=-，故()2sin()6f x x π=-，所以()2sin()226f πππ=-=．7．已知数列{}n a 为等比数列，若12a =，且1a ，2a ，32a -成等差数列，则{}n a 的前n 项和为 ． 答案：122n +-考点：等比数列的前n 项和公式，等差中项解析：∵1a ，2a ，32a -成等差数列，∴22a ＝1a ＋32a -＝3a ，故q ＝2，∴12(21)2221n n n S +-==-- 8．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ．若以F为圆心，a 为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于A ，B 两点，且AB ＝2b ，则该双曲线的离心率为 ．考点：双曲线的简单性质解析：由题意知a =，则c =，离心率e ＝2c a ==． 9．若正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则三棱锥A —B 1CD 1的体积为 ． 答案：83考点：正四面体的体积计算解析：可知三棱锥A —B 1CD 1是以为棱长的正四面体，V ＝38123⨯=． 10．已知函数2, 0()(), 0x x f x f x x +≤⎧=⎨->⎩，()(2)g x f x =-，若(1)1g x -≥，则实数x 的取值范围为 ．答案：[2，4]考点：函数与不等式解析：首先2, 0()2, 0x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，由()(2)g x f x =-知(1)(3)g x f x -=-，当()1f x ≥，解得11x -≤≤，故(1)(3)1g x f x -=-≥，得131x -≤-≤， ∴24x ≤≤，故实数x 的取值范围为[2，4]．11．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝2上两个动点，且OA ⊥OB ，若A ， B 两点到直线l ：3x ＋4y ﹣10＝0的距离分别为d 1，d 2，则d 1＋d 2的最大值为 ．答案：6考点：直线与圆综合解析：取AB 中点D ，设D 到直线l 的距离为d ，易知：d 1＋d 2＝2dOA ⊥OB ⇒D 轨迹为：22max 13x y d +=⇒=⇒d 1＋d 2的最大值为6．12．若对任意a ∈[e ，+∞)（e 为自然对数的底数），不等式e ax bx +≤对任意x ∈R 恒成立，则实数b 的取值范围为 ． 答案：[﹣2，+∞)考点：函数与不等式（恒成立问题） 解析：当0x ≤时，显然成立，b R ∈； 当0x >时，[,)a e ∀∈+∞，ln ln ()ax bx e x ax b b x ex f x +≤⇒≤+⇒≥-=1()ex f x x -'=，易知：max 1()()2f x f e==-，故2b ≥-； 综上，实数b 的取值范围为[﹣2，+∞)．13．已知点P 在边长为4的等边三角形ABC 内，满足AP AB AC λμ=+，且231λμ+=，延长AP 交边BC 于点D ，若BD ＝2DC ，则PA PB ⋅的值为 ． 答案：94-考点：平面向量数量积解析：A ，P ，D 共线，不妨令3AP mAD = 又2BD DC =，故12233AD AB AC AP mAB mAC AB AC λμ=+⇒=+=+， 因此121182311844AP AB AC λμλλμμ⎧=⎪=⎧⎪⇒⇒=+⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩， 则7184PB AB AP AB AC =-=-， 故11719()()84844PA PB AB AC AB AC ⋅=-+⋅-=-． 14．在△ABC 中，∠A ＝3π，D 是BC 的中点．若AD≤2BC ，则sinBsinC 的最大值为． 答案：38考点：解三角形综合解析：22222213222a bcbc AD a a +=+=+≤ 22113sin sin sin 228bc a B C A ⇒≤⇒≤=． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⏊PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．求证：（1）EF//平面PCD ；（2）平面PAB ⏊平面PCD ．证明：(1)取PC 中点G ，连接DG 、FG ．在△PBC 中，因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点，所以GF ∥BC ，GF ＝12BC ．因为底面ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点， 所以DE ∥BC ，DE ＝12BC ，所以GF ∥DE ，GF ＝DE ，所以四边形DEFG 为平行四边形， 所以EF ∥DG ．又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD ．(2)因为底面ABCD 为矩形，所以CD ⊥AD ．又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以CD ⊥平面P AD ．因为P A ⊂平面P AD ，所以CD ⊥P A ．又因为P A ⊥PD ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，PD ∩CD ＝D ，所以P A ⊥平面PCD ．因为P A ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面PCD ．16．（本题满分14分）已知向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(cos x ，﹣sin x )，函数1()2f x m n =⋅+． （1）若()12x f =，x ∈(0，π)，求tan(x ＋4π)的值；（2）若1()10f α=-，α∈(2π，34π)，sin 10β=，β∈(0，2π)，求2αβ+的值．解：(1) 因为向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(cos x ，－sin x )，所以 f (x )＝m ·n ＋12＝cos 2x －sin 2x ＋12＝cos2x ＋12．因为f (x 2)＝1，所以cos x ＋12＝1，即cos x ＝12．又因为x ∈(0，π) ，所以x ＝π3，所以tan(x ＋π4)＝tan(π3＋π4)＝tan π3＋ tan π41－tan π3tanπ4＝－2－3．(2)若f (α)＝－110，则cos2α＋12＝－110，即cos2α＝－35．因为α∈(π2，3π4)，所以2α∈(π，3π2)，所以sin2α＝－1－cos 22α＝－45．因为sin β＝7210，β∈(0，π2)，所以cos β＝1－sin 2β＝210，所以cos(2α＋β)＝cos2αcos β－sin2αsin β＝(－35)×210－(－45)×7210＝22．又因为2α∈(π，3π2)，β∈(0，π2)，所以2α＋β∈(π，2π)，所以2α＋β的值为7π4．17．（本题满分14分）如图，港口A 在港口O 的正东100海里处，在北偏东方向有条直线航道OD ，航道和正东方向之间有一片以B 为圆心，半径为危险），其中OB ＝tan ∠AOB ＝23，cos ∠AOD ＝5现一艘科考船以海里/小时的速度从O 出发沿OD 方向行驶，经过2个小时后，一艘快艇以50海里/小时的速度准备从港口A 出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇．（1）若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由； （2）在无触礁危险的情况下，若快艇再等x 小时出发，求x 的最小值．解：如图，以O 为原点，正东方向为x 轴，正北方向为y 轴，建立直角坐标系xOy ． 因为OB ＝2013，tan ∠AOB ＝23，OA ＝100，所以点B (60，40)，且A (100，0)．(1)设快艇立即出发经过t 小时后两船相遇于点C ， 则OC ＝105(t ＋2)，AC ＝50t ．因为OA ＝100，cos ∠AOD ＝55， 所以AC 2＝OA 2＋OC 2－2OA ·OC ·cos ∠AOD ，即(50t )2＝1002＋[105(t ＋2)]2－2×100×105(t ＋2)×55．化得t 2＝4，解得t 1＝2，t 2＝－2（舍去）， 所以OC ＝405．因为cos ∠AOD ＝55，所以sin ∠AOD ＝255，所以C (40，80)，所以直线AC 的方程为y ＝－43(x －100)，即4x ＋3y －400＝0．因为圆心B 到直线AC 的距离d ＝|4×60＋3×40－400| 42＋32＝8，而圆B 的半径r ＝85，所以d ＜r ，此时直线AC 与圆B 相交，所以快艇有触礁的危险． 答：若快艇立即出发有触礁的危险．(2)设快艇所走的直线AE 与圆B 相切，且与科考船相遇于点E ． 设直线AE 的方程为y ＝k (x －100)，即kx －y －100k ＝0．BEA COD xy因为直线AE 与圆B 相切，所以圆心B 到直线AC 的距离d ＝|60k －40－100k | 12＋k 2＝85，即2k 2＋5k ＋2＝0，解得k ＝－2或k ＝－12．由（1）可知k ＝－12舍去．因为cos ∠AOD ＝55，所以tan ∠AOD ＝2，所以直线OD 的方程为y ＝2x ． 由⎩⎨⎧y ＝2x ， y ＝－2(x －100)，解得⎩⎨⎧x ＝50，y ＝100，所以E (50，100)，所以AE ＝50 5，OE ＝505，此时两船的时间差为50 5105－50 550＝5－ 5，所以x ≥5－ 5－2＝3－5．答：x 的最小值为(3－5)小时． 18．（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)经过点(﹣2，0)和(1，2)，椭圆C 上三点A ，M ，B 与原点O 构成一个平行四边形AMBO ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点B 是椭圆C 左顶点，求点M 的坐标；（3）若A ，M ，B ，O 四点共圆，求直线AB 的斜率．解：(1)因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(－2，0)和 (1，32)，所以a ＝2，1a 2＋34b 2＝1，解得b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．(2)因为B 为左顶点，所以B (－2，0)．因为四边形AMBO 为平行四边形，所以AM ∥BO ，且AM ＝BO ＝2． 设点M (x 0，y 0)，则A (x 0＋2，y 0)．因为点M ，A 在椭圆C 上，所以⎩⎨⎧x 024＋y 02＝1， (x 0＋2)24＋y 02＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1， y 0＝±32，所以M (－1，±32)． (3) 因为直线AB 的斜率存在，所以设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2．因为平行四边形AMBO ，所以OM →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．因为x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝k ·－8km 1＋4k 2＋2m ＝2m1＋4k 2， 所以M (－8km 1＋4k 2，2m1＋4k 2)．因为点M 在椭圆C 上，所以将点M 的坐标代入椭圆C 的方程， 化得4m 2＝4k 2＋1．①因为A ，M ，B ，O 四点共圆，所以平行四边形AMBO 是矩形，且OA ⊥OB ， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0． 因为y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 1＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m2－4 k 21＋4k 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝4m 2－41＋4k 2＋m 2－4k 21＋4k2＝0，化得5m 2＝4k 2＋4．② 由①②解得k 2＝114，m 2＝3，此时△＞0，因此k ＝±112．所以所求直线AB 的斜率为±112． 19．（本题满分16分）已知函数2e ()xf x x ax a=-+(a ∈R)，其中e 为自然对数的底数．（1）若a ＝1，求函数()f x 的单调减区间；（2）若函数()f x 的定义域为R ，且(2)()f f a >，求a 的取值范围；（3）证明：对任意a ∈(2，4)，曲线()y f x =上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线经过坐标原点．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝e xx 2－x ＋1，所以函数f (x )的定义域为R ，f'(x )＝e x (x －1)(x －2)(x 2－x ＋1)2．令f'(x )＜0，解得1＜x ＜2，所以函数f (x )的单调减区间为(1，2)．(2)由函数f (x )的定义域为R ，得x 2－ax ＋a ≠0恒成立， 所以a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜4． 方法1由f (x )＝e xx 2－ax ＋a ，得f'(x )＝e x (x －a )(x －2)(x 2－ax ＋a )2．①当a ＝2时，f (2)＝f (a )，不符题意． ②当0＜a ＜2时，因为当a ＜x ＜2时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(a ，2)上单调递减， 所以f (a )＞f (2)，不符题意． ③当2＜a ＜4时，因为当2＜x ＜a 时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(2，a )上单调递减， 所以f (a )＜f (2)，满足题意． 综上，a 的取值范围为(2，4)．方法2由f (2)＞f (a )，得e 24－a ＞e aa ．因为0＜a ＜4，所以不等式可化为e 2＞e a a(4－a )．设函数g (x )＝e xx(4－x )－e 2， 0＜x ＜4．因为g'(x )＝e x·－(x －2)2x 2≤0恒成立，所以g (x )在(0，4)上单调递减．又因为g (2)＝0，所以g (x )＜0的解集为(2，4)． 所以，a 的取值范围为(2，4)．(3)证明：设切点为(x 0，f (x 0))，则f'(x 0)＝e x 0(x 0－2)(x 0－a )(x 02－ax 0＋a )2，所以切线方程为y －ex 0x 02－ax 0＋a ＝e x 0(x 0－2)(x 0－a )(x 02－ax 0＋a )2×(x －x 0)．由0－ex 0x 02－ax 0＋a ＝e x 0(x 0－2)(x 0－a )(x 02－ax 0＋a )2×(0－x 0)，化简得x 03－(a ＋3)x 02＋3ax 0－a ＝0． 设h (x )＝x 3－(a ＋3)x 2＋3ax －a ，a ∈(2，4)， 则只要证明函数h (x )有且仅有三个不同的零点．由(2)可知a ∈(2，4)时，函数h (x )的定义域为R ，h'(x )＝3x 2－2(a ＋3)x ＋3a ． 因为△＝4(a ＋3)2－36a ＝4(a －32)2＋27＞0恒成立，所以h'(x )＝0有两不相等的实数根x 1和x 2，不妨x 1＜x 2． 因为所以函数h (x )最多有三个零点．因为a ∈(2，4)，所以h (0)＝－a ＜0，h (1)＝a －2＞0，h (2)＝a －4＜0，h (5)＝50－11a ＞0，所以h (0)h (1)＜0，h (1)h (2)＜0，h (2)h (5)＜0．因为函数的图象不间断，所以函数h (x )在(0，1)，(1，2)，(2，5)上分别至少有一个零点．综上所述，函数h (x )有且仅有三个零点． 20．（本题满分16分）若数列{}n a 满足n ≥2时，0n a ≠，则称数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(n N *∈)为{}n a 的“L 数列”． （1）若11a =，且{}n a 的“L 数列”为12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，求数列{}n a 的通项公式； （2）若3n a n k =+-(k ＞0)，且{}n a 的“L 数列”为递增数列，求k 的取值范围； （3）若11n n a p-=+，其中p ＞1，记{}n a 的“L 数列”的前n 项和为n S ，试判断是否存在等差数列{}n c ，对任意n N *∈，都有1n n n c S c +<<成立，并证明你的结论．解：（1）由题意知，112n n n a a +=，所以12n n na a +=， 所以(1)121123(1)1221121222122n n n n n n n n n n a aaa a a a a ---++++----=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅==即数列{}n a 的通项公式为(1)22n n n a -=（2）因为a n ＝n ＋k －3(k ＞0)，且n ≥2，n ∈N *时，a n ≠0，所以k ≠1． 方法1设b n ＝a n a n ＋1，n ∈N *，所以b n ＝n ＋k －3(n ＋1)＋k －3＝1－1n ＋k －2．因为{b n }为递增数列，所以b n ＋1－b n ＞0对n ∈N*恒成立， 即1n ＋k －2－1n ＋k －1＞0对n ∈N*恒成立．因为1n ＋k －2－1n ＋k －1＝1(n ＋k －2)(n ＋k －1)，所以1n ＋k －2－1n ＋k －1＞0等价于(n ＋k －2)(n ＋k －1)＞0．当0＜k ＜1时，因为n ＝1时，(n ＋k －2)(n ＋k －1)＜0，不符合题意． 当k ＞1时，n ＋k －1>n ＋k －2>0，所以(n ＋k －2)(n ＋k －1)＞0， 综上，k 的取值范围是(1，＋∞)． 方法2令f (x )＝1－1x ＋k －2，所以f (x )在区间(－∞，2－k )和区间(2－k ，＋∞)上单调递增．当0＜k ＜1时，f (1)＝1－1k －1＞1，f (2)＝1－1k ＜1，所以b 2＜b 1，不符合题意．当k ＞1时，因为2－k ＜1，所以f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以{b n }单调递增，符合题意． 综上，k 的取值范围是(1，＋∞)．（3）存在满足条件的等差数列{}n c ，证明如下：因为11111111k k kkk a p p a p p p-+-+==+++，k N *∈，所以2111111(1)()1111n n nn S p p p pp p-=+-++++++++， 又因为1p >，所以110p->， 所以2111111(1)()n n nn n S p p p p pp p-<<+-++++， 即11(1)n n n n S p p p p<<+-， 因为111(1)n p p p -<，所以1n n n S p p+<<， 设n n c p=，则111n n n n c c p p p ++-=-=，且1n n n c S c +<<， 所以存在等差数列{}n c 满足题意．江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学附加题本试卷共40分，考试时间30分钟． 21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝1 1 0a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，a ∈R ．若点P(1，1)在矩阵A 的变换下得到点P′(0，﹣2)． （1）求矩阵A ；（2）求点Q(0，3)经过矩阵A 的2次变换后对应点Q′的坐标．解：(1) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0a ．因为点P (1，1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－2)，所以a ＝－2，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0．(2)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 2，所以A 2⎣⎡⎦⎤03=⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 2 ⎣⎡⎦⎤03=⎣⎢⎡⎦⎥⎤－36， 所以，点Q ′的坐标为(－3，6)．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为1x y t⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．解：曲线C ：(x ﹣1)2＋y 2＝1，直线l ：0x +=圆心C(1，0)到l 的距离设为d ，12d =故曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为112++，即32+．C ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b 为非负实数，求证：3322)a b a b +≥+．证明：因为a ，b 为非负实数，3322)a b a b ab +-+=+55]-若a b ≥≥，从而55≥，得55]0-≥，若a b <<，从而55<，得55]0->，综上，3322)a b a b +≥+．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱中ABC —A 1B 1C 1，AB ⏊AC ，AB ＝3，AC ＝4，B 1C ⏊AC 1． （1）求AA 1的长；（2）试判断在侧棱BB 1上是否存在点P ，使得直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角和二面角B —A 1C —A 的大小相等，并说明理由．解：（1）直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，又AB ，AC ⊂平面ABC ，故AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ，又AB ⊥AC 故以A 为原点，{AB ，AC ，1AA }为正交基底建立空间直角坐标系 设AA 1＝a ＞0，则A 1(0，0，a )，C(0，4，0)，B 1(3，0，a )，C 1(0，4，a )， 1B C ＝(﹣3，4，﹣a )，1AC ＝(0，4，a )因为B 1C ⊥AC 1，故11=0B C AC ⋅，即2160a -=， 又a ＞0，故a ＝4，即AA 1的长为4；（2）由（1）知：B(3，0，0)，B 1(3，0，4)，假设存在，设1BP BB λ==(0，0，4λ)，(0,1)λ∈， 则P(3，0，4λ)，则CP ＝(3，﹣4，4λ) AB ⊥AC ，AB ⊥AA 1，又ACAA 1＝A ，AC ，AA 1⊂平面AA 1C 1C所以AB ⊥平面AA 1C 1C ，故平面AA 1C 1C 的法向量为AB ＝(3，0，0) 设PC 与平面AA 1C 1C 所成角为α，则sin cos ,CP AB α=<>=，设平面BA 1C 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，平面AA 1C 的法向量为AB ＝(3，0，0)由（1）知：1AC ＝(0，4，﹣4)，BC ＝(﹣3，4，0)，AC ＝(0，4，0)， 1340440n BC x y n AC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令3y =，则n ＝(4，3，3) 设二面角B —A 1C —A 的大小为β，则cos cos ,n AB β=<>=， 因为αβ=，则22298sincos 1162517αβλ+=+=+，无解， 故侧棱BB 1上不存在符合题意的点P ．23．（本小题满分10分）口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球．现有一抽奖游戏规则如下：抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球2n ＋1(n N *∈)次．若取出白球的累计次数达到n ＋1时，则终止取球且获奖，其它情况均不获奖．记获奖概率为n P ．（1）求1P ；（2）证明：1n n P P +<．解：（1）根据题意，每次取出的球是白球的概率为25，取出的球是黑球的概率为35， 所以1212222344()5555125P C =⨯+⨯⨯=； （2）证明：累计取出白球次数是n +1的情况有：前n 次取出n 次白球，第n +1次取出的是白球，概率为12()5nn n C +⨯前n+1次取出n 次白球，第n +2次取出的是白球，概率为1123()55nn n C ++⨯⨯ 前2n ﹣1次取出n 次白球，第2n 次取出的是白球，概率为112123()()55nn n n C +--⨯⨯ 前2n 次取出n 次白球，第2n +1次取出的是白球，概率为1223()()55nn n n C +⨯⨯ 则111112122323()()()()55555nn nn nn n n n n n P C C C +++-+-=⨯+⨯⨯++⨯⨯+ 11011121212232333()()()[()()]555555n n n n n n n n n n n n nC C C C C ++--+-⨯⨯=⨯+⨯++⨯+⨯ 因此2011111221222333()[()()]5555n n n n n n n n n n n P P C C C C ++++++++-=⨯+⨯++⨯+⨯ 1011112122333()[()()]5555n n n nn n n n nC C C C +--+--⨯+⨯++⨯+⨯ 101111221222333(){[()()]5555n n n n n n n n n C C C C +++++++=⨯+⨯++⨯+⨯ 01+1+1+222+12+12+23333[()()+()]}5555n n nn n n n n n n n C C C C C +-+⨯++⨯+⨯⨯ 则11111212221222333()[()()()]5555n n n n n n n n n n n n P P C C C ++++++++++-=⨯⨯-⨯-⨯ 1111222122233()()()555n n n nn n n n C C C +++++++=⨯--11112122233()()()555n n n n n n C C ++++++=⨯- 因为11111212221212121212133231()55555n n n n nn n n n n n n n n n n C C C C C C C C +++++++++++++-=-+=-=-， 所以11121231()()()0555n n n n n n P P C ++++-=⨯⨯-<，因此1n n P P +<．。