2009高考数学重拳运用向量法解题

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运用向量法解决高考题中的几何问题

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直线
ＢＣ与平面
ＣＤＥ所成的角的正切值为
１．
（３）‘．‘平面ＡＢＣＤ的一个法向量是ｍ＝（０，０，１）．
设平面ＥＦＢ的一个法向量为，ｌ＝（，Ｙ，ｚ），
在新课标下，运用向量法解决一些问题是现在高考中的一个重点考查内容，其主要应用在立体几何、平面解析几何这两部分．下面笔者主要就如何运用向量法解决高考题中的几何问题做以下的一些探讨．
一、在立体几何中运用空间向量法一直以来，立体几何是高考必考的内容，而且常以大题的形式在ｌ８或１９题出现．而在解决某些立体几何问题中，应用一般几何知识在一定条件下是可以解决的，但往往需要作相应的辅助线，或构造出相应的图形．而对于缺乏空间思维能力的学生而言，要解决这些问题并不容易．现在新教材引入空间向量后，为这些学生提供了另一种解决立体几何的工具．本文从以下三方面介绍在立体几何中如何运用空间向量法．（一）运用空间向量法解决立体几何中的 “三类角 ” 问题１．异面直线所成角的向量求法设两异面直线所对应的方向向量分别是ｎ，６，设其夹角
图１
例１如图２所示，已知四边形ＡＢＣＤ为直角梯形，

高考数学题型学习方法剖析——以2009年高考数学试题为例

法与坐标法均能用）解析几何、率、、概导数等内容，并在每种题型中设置有一定难度的试题，而实现选从
拔的功能。对试题有的学生普遍认为难以找到切入点，对基础知识掌握不扎实，方法应用不当，思路不清，间想象能力、算能力较差是得分较低的本原因。这些必须在教师的教学和学生的学习上加以空运根
２１年３００月黔西南民族师范高等专科学校学报Ｍｒ．２１ａｈ００ｃ第１期ＪｎｎｌｏＳｕｈｅｔＧｉｏＴａｈｒ’ ＣｌｇｆｒＮｔｎｌｉｏｒａｆｏｔｗｓｕｚｕｈｅｃｅｓｏｅｅｏａｉａｉｅｌｏｔｓＮ．ｏ１
改进。
关键词：函数；列；数坐标；率概文章编号Ｉ０９－０７（００）１－１１０１０－６３２１０－０２ — ４中图分类号：３．Ｇ６３６文献标志码：Ｂ
ＬａｎｎｔｏａｙｉｆｌｇｎｒｎｅＥａｎｔｎｉｔｅｅｒｉｇＭｅｈｄＡｎｌｓｓｏｌｅＥｔｃｘｍｉａｉＭａｈｍａｉｓＣｏｅａｏｎｔｃ
ｈｅｅｔｏｆｔｆｃｉｎｔｎｔｅｅａｙｔｎｋｉｄｉｕｔｄａｎｔｐｏｎｔａｓｒｔｑｕｓｉｎ．ｃｎｎｂｓｃｓｉｌ，ｔｅｓｌｃｉｎｏｕｎｔｏ．ＳｕｄｅｓｇｎｒｌｉｆｃｌｏｆｎｎｅｒｉｎｗｅｅｔｏｓＬａｋｉｇｉａｉｋｌｓｈｅｌｈｔｉｔｉｙｏｔｈｅ

重庆高考数学理科卷带详解讲解

颢緙攪禎飴蘋緡閩臉驵绶体缙党幣。
【试题分析】lim2x2
ax2
axbxb
x
x
1
(2a)x
(a
b
b)
lim
1
1
x
2．
x
x
2a
0
，解得a
2,b
4，故ab2(4)6．
则
b)
(a
2
（删除）9．已知二面角
l的大小为50，P为空间中随意一点，则过点P且与平面
和平面
所成的角都是25
的直线的条数为（
）
A．2
B．3
C．4
（Ⅱ）若函数
y
g(x)与y
f(x)的图象对于直线
x1对称，求当
4
x[0,]时
3
g(x)的最大值．
【丈量目标】三角函数定义域、值域.
【考察方式】给出函数式，求其最小正周期；依据直线方程求解与函数对于直线对称的另一
函数在区间内的最大值．
【难易程度】简单.攏抛鲤骘橋幗呕嚙祢鲈剝颓羋玑郏。
【试题分析】（Ⅰ）f(x)=sinπxcosπcosπxsinπcosπx
【难易程度】较难.
【参照答案】(1,2
1)
【试题分析】解法一：因为在△PF1F2中，由正弦定理得
PF2
PF1
．（步骤1）
sinPF1F2
sinPF2F1
则由已知，得
a
c
，即aPF1
cPF2，且知点P在双曲线的右支上，
PF2
PF1
设点(x0,y0)由焦点半径公式，
得PF1
aex0,PF2
ex0
a则a(a
）
π
π
2π

如何利用向量解决高考数学中的几何问题

如何利用向量解决高考数学中的几何问题几何问题在高考数学中占据了相当大的比重，许多同学在几何方面的理解和解题能力都尤为薄弱。

针对这一问题，目前解决的方法有很多，其中较为有效的一种方法是借助向量知识来解决几何问题。

一、向量的基本概念向量可以简单地理解为“有方向的线段”，用字母块表示，如$\vec{a}$、$\vec{b}$等。

向量有两个基本属性，即大小和方向。

向量的大小表示为模，用$|\vec{a}|$表示，表示一个向量的长度，方向表示向量的朝向。

二、向量的加减向量的加法是指将两个向量相加得到一个新向量的过程。

加法满足向量的交换律、结合律和分配律。

具体来说，设$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$是三个向量，则：（i）$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$（向量加法的交换律）（ii）$(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$（向量加法的结合律）（iii）$k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}$（向量加法的分配律）同样，向量的减法是指将两个向量相减得到一个新向量的过程。

三、向量的数量积和向量积向量的数量积是指将两个向量的模长相乘再乘以它们的夹角余弦值，用$\vec{a}\cdot\vec{b}$或$\langle\vec{a},\vec{b}\rangle$表示，其中$|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha$表示$\vec{a}$和$\vec{b}$的夹角余弦值，$\alpha$是$\vec{a}$和$\vec{b}$的夹角。

向量的数量积有如下性质：（i）${\vec{a}}\cdot{\vec{b}}={\vec{b}}\cdot{\vec{a}}$（交换律）（ii）${\vec{a}}\cdot({\vec{b}}+{\vec{c}})={\vec{a}}\cdot{\vec{b}}+{\v ec{a}}\cdot{\vec{c}}$（分配律）（iii）${k}\cdot({\vec{a}}\cdot{\vec{b}})=({k}\cdot{\vec{a}})\cdot{\vec{b }}={\vec{a}}\cdot({k}\cdot{\vec{b}})$（数乘结合律）向量积又叫叉乘，用$\vec{a}\times\vec{b}$或$[\vec{a},\vec{b}]$表示，表示一个新的向量，其模长等于$\vec{a}$和$\vec{b}$所组成的平行四边形的面积，方向垂直于$\vec{a}$、$\vec{b}$构成的平面，其方向顺序由右手定则决定。

高考数学难点突破_难点03__运用向量法解题

高考数学难点突破_难点03__运用向量法解题运用向量法解题是高考数学中的一个难点，需要掌握向量的性质和运算规则，并能够灵活运用向量的概念和方法解决问题。

下面将结合具体例题，深入探讨如何突破这一难点。

例题一：已知点A(2,1)，B(4,5)，C(6,3)，求点D使得ABCD为平行四边形。

解析：首先，我们可以使用向量的方法来解决这一问题。

设向量AB 为a，向量AD为b，则向量AC为a+b。

根据平行四边形的性质，向量BD 与向量AC平行且等长，即向量BD与向量AC共线且大小相等。

由向量的定义可知，向量BD=向量AC=(6-2,3-1)=(4,2)。

所以点D的坐标为B的坐标加上向量BD的坐标，即D(4,5)+(4,2)=(8,7)。

通常情况下，解这类问题时可以设A、B、C三点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，向量AB为a=(x2-x1,y2-y1)，向量AC为a+b。

然后，我们可以用(x1,y1)+b=(x4,y4)代表点D的坐标。

再将向量BD与AC进行运算，找到满足平行四边形的点D坐标。

例题二：已知直线l的方程为x-2y+3=0，点A(1,2)，求点P使得AP 垂直于直线l。

解析：根据题意，点P在直线l上，假设点P的坐标为(x,y)。

则向量AP=(-1,2)+(x-1,y-2)=(x-2,y)。

由垂直向量的性质可知，向量AP与直线l的法向量垂直。

直线l的法向量为(1,-2)。

因此，AP与(1,-2)的点乘为0，即(x-2,y)•(1,-2)=0。

将点乘展开计算，得到x-2y=2、由此可得到点P的坐标为(x,y)=(2,-1)。

综上所述，使用向量法解题可以使解题过程更加简洁明了。

但是在运用向量法解题时，需要掌握向量的性质，并能够运用垂直、平行、共线和点乘等相关概念来解决不同类型的问题。

同时，我们还需要注意合理地选取坐标系和使用向量的运算规则。

合理地选取坐标系可以简化计算，使问题更具可行性。

高考数学如何利用向量解决几何问题

高考数学如何利用向量解决几何问题高考数学是中国高中生的重要一课，其中几何问题一直是考试的重点之一。

在解决几何问题时，向量是一种常用的工具和方法。

本文将介绍如何利用向量来解决高考数学中的几何问题，并提供几个实例来加深理解。

一、向量简介向量是指有大小和方向的量，常用箭头表示，如A B⃗。

向量可以表示位移、速度、力等概念。

向量的加法、减法和数乘运算与数的运算类似。

在几何中，常用向量表示线段。

例如，A B⃗表示从点A到点B的位移向量。

二、向量的基本性质1. 平行向量：若两个向量的方向相同或者相反，则它们是平行向量。

2. 相等向量：若两个向量的大小相等且方向相同，则它们是相等向量。

3. 垂直向量：若两个向量的数量乘积为0，则它们是垂直向量。

三、向量解决几何问题的应用1. 判断线段垂直、平行关系利用向量的垂直性质可以判断两个线段是否垂直。

设A B⃗和C D⃗是两个线段的位移向量，若A B⃗·C D⃗ = 0，则可以得出线段A B⃗和C D⃗垂直。

利用向量的平行性质可以判断两个线段是否平行。

设A B⃗和C D⃗是两个线段的位移向量，若存在λ，使得A B⃗ = λC D⃗，则可以得出线段A B⃗和C D⃗平行。

2. 求线段的中点坐标设A B⃗是线段AB的位移向量，点M是线段AB的中点，则A M⃗= M B⃗ = 1/2A B⃗。

利用向量的数乘运算可以求得线段中点的坐标。

3. 判断三角形的形状利用向量可以判断三角形的形状，包括等腰三角形、等边三角形和直角三角形。

对于等腰三角形，可以利用向量A B⃗和A C⃗的相等性质来判断，若A B⃗ = A C⃗或者A B⃗ = -A C⃗，则可以得出三角形ABC是等腰三角形。

对于等边三角形，可以利用向量A B⃗、B C⃗和C A⃗相等性质来判断，若A B⃗= B C⃗= C A⃗，则可以得出三角形ABC是等边三角形。

对于直角三角形，可以利用向量的内积来判断，若A B⃗·B C⃗ = 0或者B C⃗·C A⃗ = 0或者C A⃗·A B⃗ = 0，其中·表示两个向量的数量乘积，则可以得出三角形ABC是直角三角形。

历年高考真题考点归纳2009年第五章平面向量、解三角形第一节平面向量.pdf

一、选择题 1.(2009年广东卷，b=，则向量 ( ) A平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于轴D.平行于第二、四象限的角平分线答案 C 解析 ,由及向量的性质可知,C正确. 2.（广东卷）一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知成角，且的大小分别为和，则的大小为 B. 2 C. D. 答案 D 解析，所以，选D. 3.（2009浙江卷理）设向量，满足：，，．以，，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为 ( ) A． C． D． C 解析对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点对于圆的位置稍一右移或其他的变化能实现4个交点的情况但5个以上的交点不能实现．已知向量，．若向量满足，，则（） A． B． C． D．解析不妨设，则，对于，则有；又，则有，则有【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用．，如果那么( ) A．且与同向 B．且与反向 C．且与同向 D．且与反向答案 D 解析本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算考查. ∵a，b，若，则cab，dab，显然，a与b不平行，排除A、B. 若，则cab，dab，即cd且c与d反向，排除C，故选D. 6.（2009北京卷文）设D是正及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合，则集合S表示的平面区域是 ( ) A．三角形区域 B．四边形区域 C．五边形区域 D．六边形区域答案 D 解析本题主要考查集合与平面几何基础知识.本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.如图，A、B、C、D、E、FABCDEF，其中，即点P可以是点A.a、b不共线，cabR),dab,如果cd，那么 ( ) A．且c与d同向 B．且c与d反向 C．且c与d同向 D．且c与d反向答案 D 解析本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查. 取a，b，若，则cab，dab，显然，a与b不平行，排除A、B. 若，则cab，dab，即cd且c与d反向，排除C，故选D. 8.(2009山东卷理)设P是△ABC所在平面内的一点，，则（） A. B. C. D. 答案 B 解析 :因为，所以点P为线段AC的中点，所以应该选B。

[高考真题]2009年高考试题解析版

2009年全国卷Ⅱ理科数学试题解析一选择题： 1. 解：原式10i(2+i)24(2-i)(2+i)i ==-+.故选A.2. 解：{}{}1|0|(1)(4)0|144x B x x x x x x x -⎧⎫=<=--<=<<⎨⎬-⎩⎭.(3,4)A B ∴=I .选B. 3.解：已知ABC ∆中,12cot 5A =-,(,)2A ππ∴∈. 12cos 13A ===-故选D. 4. 解：111222121||[]|1(21)(21)x x x x x y x x ===--'==-=---, 故切线方程为1(1)y x -=--,即20x y +-= 故选B. 5.解：令1AB =则12AA =,连1A B 1C D Q ∥1A B ∴异面直线BE 与1CD 所成的角即1A B与BE 所成的角.在1A BE ∆中由余弦定理易得1cos A BE ∠=.故选C 6.解：222250||||2||520||a b a a b b b =+=++=++r r r r r r r Q g ||5b ∴=r.故选C7.解：322log 2log 2log 3b c <<∴>Q2233log 3log 2log 3log a b a b c π<=<∴>∴>> .故选A. 8.解：6tan tan[(]ta )6446n y x y x x πππππωωω⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−→=-=+ ⎝+⎪ ⎪⎝⎭⎭向右平移个单位164()662k k k Z ππωπωπ+=∴=+∈∴-, 又min 102ωω>∴=Q .故选D 9.解：设抛物线2:8C y x =的准线为:2l x =-直线()()20y k x k =+>恒过定点P ()2,0- .如图过A B 、分别作AM l ⊥于M ,BN l ⊥于N , 由||2||FA FB =,则||2||AM BN =,点B 为AP 的中点.连结OB ,则1||||2OB AF =, ||||OB BF ∴= 点B 的横坐标为1, 故点B 的坐标为22022(1,22)1(2)3k -∴==--, 故选D 10.解：用间接法即可.22244430C C C ⋅-=种. 故选C 11.解：设双曲线22221x y C a b-=：的右准线为l ,过A B 、分别作AM l ⊥于M ,BN l ⊥于N ,BD AM D ⊥于,由直线AB 的斜率为3,知直线AB 的倾斜角为16060,||||2BAD AD AB ︒∴∠=︒=, 由双曲线的第二定义有1||||||(||||)AM BN AD AF FB e -==-u u u r u u u r 11||(||||)22AB AF FB ==+u u ur u u u r .又15643||||25AF FB FB FB e e =∴⋅=∴=u u u r u u u r Q 故选A12.解：展、折问题.易判断选B第II 卷（非选择题,共90分）二、13.解：()4224()x y y x x y x y -=-,只需求4()x y -展开式中的含xy 项的系数：246C = 14. 解：{}n a Q 为等差数列,9553995S a S a ∴== 15.解：设球半径为R ,圆C 的半径为r ,2277.444r r ππ==,得由因为22224R OC R ==.由2222217()484R R r R =+=+得22R =.故球O 的表面积等于8π. 16.解：设圆心O 到AC BD 、的距离分别为12d d 、,则222123d d OM ==+. 四边形ABCD 的面积222212121||||2(4)8()52S AB CD d d d d =⋅=-≤-+=)(4- 三、解答题17.设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,3cos()cos 2A CB -+=,2b ac =,求B . 分析：由3cos()cos 2A CB -+=,易想到先将()B AC π=-+代入3cos()cos 2A C B -+=得3cos()cos()2A C A C --+=.然后利用两角和与差的余弦公式展开得3sin sin 4A C =；又由2b ac =,利用正弦定理进行边角互化,得2sin sin sin B A C =,进而得sin B =.故233B ππ=或.大部分考生做到这里忽略了检验,事实上,当23B π=时,由1cos cos()2B AC =-+=-,进而得3cos()cos()212A C A C -=++=>,矛盾,应舍去. 也可利用若2b ac =则b a b c ≤≤或从而舍去23B π=.不过这种方法学生不易想到.评析：本小题考生得分易,但得满分难. 18（I ）分析一：连结BE,111ABC A B C -Q 为直三棱柱, 190,B BC ∴∠=︒E Q 为1B C 的中点,BE EC ∴=.又DE ⊥平面1BCC ,BD DC ∴=（射影相等的两条斜线段相等）而DA ⊥平面ABC , AB AC ∴=（相等的斜线段的射影相等）.分析二：取BC 的中点F ,证四边形AFED 为平行四边形,进而证AF∥DE ,AF BC ⊥,得AB AC =也可.分析三：利用空间向量的方法.具体解法略.（II ）分析一：求1B C 与平面BCD 所成的线面角,只需求点1B 到面BDC 的距离即可.作AG BD ⊥于G ,连GC ,则GC BD ⊥,AGC ∠为二面角A BD C --的平面角,60AGC ∠=︒.不妨设23AC =,则2,4AG GC ==.在RT ABD ∆中,由AD AB BD AG ⋅=⋅,易得6AD =.设点1B 到面BDC 的距离为h ,1B C 与平面BCD 所成的角为α.利用11133B BC BCD S DE S h ∆∆⋅=⋅,可求得h =23,又可求得143B C =11sin 30.2h B C αα==∴=︒ 即1B C 与平面BCD 所成的角为30.︒分析二：作出1B C 与平面BCD 所成的角再行求解.如图可证得BC AFED ⊥面,所以面AFED BDC ⊥面.由分析一易知：四边形AFED为正方形,连AE DF 、,并设交点为O ,则EO BDC ⊥面,OC ∴为EC 在面BDC 内的射影.ECO ∴∠即为所求.以下略.分析三：利用空间向量的方法求出面BDC 的法向量n r,则1B C 与平面BCD 所成的角即为1B C u u u r与法向量n r 的夹角的余角.具体解法详见高考试题参考答案.总之在目前,立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况.命题人在这里一定会兼顾双方的利益. 19解：（I ）由11,a =及142n n S a +=+,有12142,a a a +=+21121325,23a a b a a =+=∴=-=由142n n S a +=+,．．．① 则当2n ≥时,有142n n S a -=+．．．．．② ②－①得111144,22(2)n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-∴-=-又12n n n b a a +=-Q ,12n n b b -∴={}n b ∴是首项13b =,公比为２的等比数列．（II ）由（I ）可得11232n n n n b a a -+=-=⋅,113224n n n n a a ++∴-= ∴数列{}2n n a是首项为12,公差为34的等比数列． ∴1331(1)22444n na n n =+-=-,2(31)2n n a n -=-⋅ 评析：第（I ）问思路明确,只需利用已知条件寻找1n n b b -与的关系即可．第（II ）问中由（I ）易得11232n n n a a -+-=⋅,这个递推式明显是一个构造新数列的模型：1(,n n n a pa q p q +=+为常数),主要的处理手段是两边除以1n q +．总体来说,09年高考理科数学全国I 、Ⅱ这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数列（全国I 还考查了利用错位相减法求前n 项和的方法）,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式.具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用.也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心. 20分析：（I ）这一问较简单,关键是把握题意,理解分层抽样的原理即可.另外要注意此分层抽样与性别无关.（II ）在第一问的基础上,这一问处理起来也并不困难.从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率1146210815C C P C ⋅==（III ）ξ的可能取值为0,1,2,31234211056(0)75C C P C C ξ==⋅=,1112146342212110510528(1)75C C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=, 21622110510(3)75C C P C C ξ==⋅=,31(2)1(0)(1)(3)75P P P P ξξξξ==-=-=-== 分布列及期望略.评析：本题较常规,比08年的概率统计题要容易.在计算(2)P ξ=时,采用分类的方法,用直接法也可,但较繁琐,考生应增强灵活变通的能力.（21）（本小题满分12分）解:(I ）设(,0)F c ,直线:0l x y c --=,由坐标原点O 到l 的距离为22则222=,解得 1c =.又3,3,2c e a b a ==∴==. （II ）由(I ）知椭圆的方程为22:132x y C +=.设11(,)A x y 、B 22(,)x y由题意知l 的斜率为一定不为0,故不妨设 :1l x my =+ 代入椭圆的方程中整理得22(23)440m y my ++-=,显然0∆>.由韦达定理有：1224,23m y y m +=-+1224,23y y m =-+．．．．．．．．① .假设存在点P,使OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r成立,则其充要条件为：点1212P (,)x x y y ++的坐标为,点P 在椭圆上,即221212()()132x x y y +++=. 整理得2222112212122323466x y x y x x y y +++++=.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m又A B 、在椭圆上,即22221122236,236x y x y +=+=.故12122330x x y y ++=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．② 将212121212(1)(1)()1x x my my m y y m y y =++=+++及①代入②解得212m =1222y y ∴+=-,12x x +=22432232m m -+=+,即3(,22P ±.当3,(,:12222m P l x y =-=+;当3,(:12m P l x y ==+. 评析：处理解析几何题,学生主要是在“算”上的功夫不够.所谓“算”,主要讲的是算理和算法.算法是解决问题采用的计算的方法,而算理是采用这种算法的依据和原因,一个是表,一个是里,一个是现象,一个是本质.有时候算理和算法并不是截然区分的.例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半,还是分割成几部分来算？在具体处理的时候,要根据具体问题及题意边做边调整,寻找合适的突破口和切入点. 22.解: （I ）()2222(1)11a x x af x x x x x++'=+=>-++ 令2()22g x x x a =++,其对称轴为12x =-.由题意知12x x 、是方程()0g x =的两个均大于1-的不相等的实根,其充要条件为480(1)0a g a ∆=->⎧⎨-=>⎩,得102a << ⑴当1(1,)x x ∈-时,()0,()f x f x '>∴在1(1,)x -内为增函数； ⑵当12(,)x x x ∈时,()0,()f x f x '<∴在12(,)x x 内为减函数；⑶当2,()x x ∈+∞时,()0,()f x f x '>∴在2,()x +∞内为增函数；（II ）由（I ）21(0)0,02g a x =>∴-<<,222(2)a x x =-+2()()()22222222221(2)1f x x aln x x x x ln x ∴=++=-++2设()()221(22)1()2h x x x x ln x x =-++>-,则()()()22(21)122(21)1h x x x ln x x x ln x '=-++-=-++ ⑴当1(,0)2x ∈-时,()0,()h x h x '>∴在1[,0)2-单调递增； ⑵当(0,)x ∈+∞时,()0h x '<,()h x 在(0,)+∞单调递减.()1112ln 2(,0),()224x h x h -∴∈->-=当时故()22122()4In f x h x -=>．。

2009年普通高等学校招生全国统一考试试题汇编向量部分

2009年高考数学试题分类汇编——向量一、选择题1.(2009年广东卷文)已知平面向量a =,1x （），b =2,x x （－），则向量+a b A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y 轴D.平行于第二、四象限的角平分线【答案】【解析】+a b 2(0,1)x =+,由210x +≠及向量的性质可知,C 正确. 2.（2009广东卷理）一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知1F ，2F 成060角，且1F ，2F 的大小分别为2和4，则3F 的大小为A. 6B. 2C. 25D. 27【解析】28)60180cos(20021222123=--+=F F F F F ，所以723=F ，选D. 3.（2009浙江卷理）设向量a ，b 满足：||3=a ，||4=b ，0⋅=a b ．以a ，b ，-a b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 ( )A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案：C【解析】对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现．4.（2009浙江卷文）已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c =（）A ．77(,)93 B ．77(,)39-- C ．77(,)39 D ．77(,)93--【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用．【解析】不妨设(,)C m n =，则()1,2,(3,1)a c m n a b +=+++=-，对于()//c a b +，则有3(1)2(2)m n -+=+；又()c a b ⊥+，则有30m n -=，则有77,93m n =-=- 5.（2009北京卷文）已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k Rd a b ===+∈=-，如果//c d ，那么A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向【答案】D【解析】本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵a ()1,0=，b ()0,1=，若1k =，则c =a +b ()1,1=，d =a -b ()1,1=-，显然，a 与b 不平行，排除A 、B .若1k =-，则c =-a +b ()1,1=-，d =-a +b ()1,1=--，即c //d 且c 与d 反向，排除C ，故选D .6.（2009北京卷文）设D 是正123PP P ∆及其内部的点构成的集合，点0P 是123PPP ∆的中心，若集合0{|,||||,1,2,3}i S P P D PP PP i =∈≤=，则集合S 表示的平面区域是( )A ．三角形区域B ．四边形区域C ．五边形区域D ．六边形区域【答案】D【解析】本题主要考查集合与平面几何基础知识. 本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力.属于创新题型.如图，A 、B 、C 、D 、E 、F 为各边三等分点，答案是集合S 为六边形ABCDEF ，其中，即点P 可以是点A.7.（2009北京卷理）已知向量a 、b 不共线，c k =a +b (k ∈R ),d =a -b ,如果c //d ，那么（）A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向【答案】D【解析】本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查. 取a ()1,0=，b ()0,1=，若1k =，则c =a +b ()1,1=，d =a -b ()1,1=-，显然，a 与b 不平行，排除A 、B .若1k =-，则c =-a +b ()1,1=-，d =-a +b ()1,1=--，即c //d 且c 与d 反向，排除C ，故选D .8.(2009山东卷理)设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（）A.0PA PB +=B.0PC PA +=C.0PB PC +=D.0PA PB PC ++=【解析】:因为2BC BA BP +=，所以点P 为线段AC 的中点，所以应该选B 。

“两法”速解向量题

“两法”速解向量题作者：印琴红来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2010年第08期平面向量集数与形于一身,是数形结合的重要体现.处理向量有关问题时,我们可从两个方面切入,一是寻找与挖掘向量对应图形,借助图形的丰富的几何性质与直观性将问题转化;二是利用条件中或隐含的垂直关系建立直角坐标系,将图形量化后求解,即将向量坐标化.下面举例分析.一、几何法——以形助数例1 (2009全国卷I文8)设非零向量a、b、c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则=解析:设a=OA,b=OB,c=OC,由向量加法的平行四边形法则,知OA,OB可构成菱形的两条相邻边,且菱形OACB对角线OC长等于菱形的边长,故∠AOB=120°.评注:本题虽可以将a+b=c平方,利用向量数量积也不难求解,而利用向量加法,借助平行四边形法则,善用菱形几何性质,问题可快速获解.例2 (2008浙江卷9)已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足(a-c)•(b-c)=0,则c的最大值是解析:利用数形结合,不妨设a=OA,b=OB,c=OC,则a-c=-AC,b-c=-BC,由(a-c)•(b-c)=0知,AC⊥BC,可知点C在以AB为直径的圆上,如下图,OC的最大值是该圆的直径,又OA=OB=1,则AB=2,故c的最大值是2.评注:向量中出现两个向量数量积等于零,易联想到直线垂直,根据圆的直径所对圆周角是直角的特征来构造圆,巧妙新颖,解题过程变得直观而简捷.例3 已知向量OB=(2,0),OC=(2,2),CA=(2cosα,2sinα),则OA与OB夹角的取值范围是解析:因CA的终点A在以C(2,2)为圆心,2为半径的圆上.OA1,OA2是圆的两条切线,Rt△OCA1中,OC=22,CA=2,则∠COA1=∠COA2=π6,因∠COB=π4,则∠A1OB=π4-π6=π12,∠A2OB=π4+π6=5π12,故OA与OB夹角的取值范围是[π12,5π12].评注:由cos2α+sin2α=1进而联想到圆,在得到A的轨迹是圆,借助圆丰富的几何性质,将问题转化到圆中解决,简单易操作.二、坐标法—以数解形例4 (2009湖南15)如图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一块,若AD=x AB+y AC,则x= ,y=解析:以AB,AC所在的直线分别为x轴,y轴,建立如图所示的直角坐标系,不妨设BC=DE=2,过点D做DF⊥x轴于点F.则AB=AC=2,BD=3,又∠DBF=45°,则BF=DF=3×22=62,故AB=(2,0),AC=(0,2)AD=(2+62,62),因AD=x AB+y AC,可得x=1+32,y=32.评注:由直角三角形,易想到建立直角坐标系,让向量坐标化,只要求出A,B,C,D的坐标,问题便迎刃而解.例5 (2009天津15)若等边△ABC的边长为23,平面内一点M满足CM=16CB+23CA,则MA•MB=解:以BC的中点O为坐标原点,BC所在直线为x轴建立直角坐标系,则A(0,3),B(-3,0),C(3,0),设M(x,y),则CA=(-3,3),CB=(-23,0),CM=(x-3,y),由CM=16CB+23CA,可得x=0,y=2,则MA=(0,1),MB=(-3,-2),故MA•MB=-2评注:由等边△ABC,利用其对称性,通常是以底边的中点为坐标原点建立直角坐标系,这样比较方便,易于求A,B,C坐标.向量坐标化的关键是适当建立直角坐标系,并使给出向量(或点)的坐标形式尽可能简单,又具有一般性.例6 (2009安徽14)给定两个长度为1的单位向量OA和OB,它们的夹角为120°,如图所示,点C在以O为圆心的圆弧AB上变动,若OC=x OA+y OB,其中x,y∈R,则x+y的最大值为解:以O为坐标原点,OA所在直线为x轴建立直角坐标系,则A(1,0),B(-12,32),又OC=x OA+y OB,则C(x-y2,32y),又(x-y2)2+(32y)2=1,整理得x2-xy+y2=1则(x+y)2=1+3xy≤1+3(x+y2)2,解得x+y≤2,故x+y的最大值为2.评注:本题通过建系,让向量坐标化,结合条件可得关于x,y一个等式,为快速、准确解题铺就坦途,借助不等式知识即可顺利获解.对于向量有关问题,从以上两个方面考虑,常能找到解决问题的突破口,快速明确思路.善于利用向量中的“形”,将问题转化平面几何问题,能有效简化运算,收到直观、明快之效.向量的坐标表示是将几何问题代数化,很多题目中没有明确给出向量坐标,不少同学苦于不知如何入手,其实将向量坐标化便是良策之一.练习:1.设向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若a=1,则a2+b2+c2的值是2.如图,平面内有三个向量OA、OB、OC,其中与OA与OB的夹角为120°,OA与OC的夹角为30°,且OA=OB=1,OC=23,若OC=λOA+μOB,(λ,μ∈R),则λ+μ= .答案:6(提示:用坐标法)(作者:印琴红,江苏省连云港市板浦高级中学)。

高考数学如何利用向量解决平面几何题目

高考数学如何利用向量解决平面几何题目在高考数学中，平面几何题目是一类重要且需要灵活运用数学知识的题型。

在解决这类问题时，向量是一种非常有用的工具。

通过运用向量的性质和运算，我们可以简化计算，提高解题效率。

本文将探讨如何利用向量解决高考数学中的平面几何题目。

一、向量的基本概念和性质在进一步探讨如何利用向量解决平面几何题之前，我们需要对向量的基本概念和性质有所了解。

向量可以用来表示大小和方向都有意义的物理量。

常用的表示向量的方法是使用箭头或者使用字母加上上方的箭头符号，如a→。

向量的几何意义是有起点和终点的有向线段，起点和终点分别称为向量的始点和终点。

两个向量相等，意味着它们有相同的大小和方向。

两个向量的和是将它们的起点放在一起，然后将它们的终点连成一条线段。

向量的运算有加法、减法和数量乘法。

向量加法满足交换律和结合律。

向量减法可以通过加上负向量来实现。

数量乘法是将向量的大小与标量相乘，同时改变向量的方向。

二、向量解决平面几何题目的应用1. 向量的共线性在平面几何问题中，有时需要判断三个点是否共线。

可以使用向量来解决这个问题。

考虑三个点A、B、C，如果向量AB和向量BC平行或者反向，则可以判断这三个点共线。

2. 向量表示线段通过向量的性质，我们可以使用向量表示线段。

考虑线段AB，可以用向量→AB来表示。

线段的长度可以通过求向量的模来计算。

3. 向量的垂直性在平面几何问题中，有时需要判断两条直线的垂直性。

可以使用向量的内积来判断。

如果两条向量的内积等于0，则可以判断这两条直线垂直。

4. 向量的平行性判断两条直线的平行性也可以使用向量。

如果两条直线的方向向量平行或者反向，则可以判断这两条直线平行。

5. 向量的投影在解决平面几何问题中，有时需要求一个向量在另一个向量上的投影。

可以通过计算这两个向量的内积，再除以投影向量的模得到。

6. 向量运算简化计算通过利用向量的运算规则，有时可以简化计算过程。

特别是在证明平行四边形性质或计算面积时，向量运算可以大大简化计算过程。

向量在2009年高考解析几何试题中的应用

向量在2009年高考解析几何试题中的应用作者：王晶来源：《新校园·学习版》2010年第06期2009年全国各地高考中的圆锥曲线试题,都出现了平面向量与解析几何知识交汇的综合题.向量本身既能体现“形”的直观特征,又具有“数”的良好运算性质,是数形结合的桥梁.利用向量的“工具性”结合解析几何中的几何性质设计试题,已逐渐成为高考命题的一个热点.本文通过对2009年全国各地高考试题的分析整理,把平面向量在解析几何中的应用进行归类总结,其主要应用体现在以下三个方面:一、运用向量共线的充要条件解决有关平行、共线等问题此类问题经常出现在选择题与填空题中,顺利解决这类问题必须充分理解平面向量的相关概念,并熟练掌握向量的坐标运算,共线的充要条件.例1(2009浙江理)过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点A作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C.若则双曲线的离心率是A.2B.3C.5D.10解析:∵斜率为k=-1,经过右顶点A(a,0),∴直线方程为x+y-a=0.由x+y-y=bax.解得B(a2a+b,aba+b).由x+y-y=-bax.解得C(a2a-b,-aba-b).∴-b2,-2a2ba2--aba+b,aba+b).又∵∴4a2=b2, ∴e=5.答案:选C.点评:本题着重考查向量共线的充要条件及其坐标运算与双曲线的概念及几何性质的交汇.所谓向量共线的充要条件就是向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b=λa(a≠0).二、运用向量的数量积处理有关长度、角度、垂直、取值范围等问题运用向量的数量积,可以把有关的长度、角度、垂直等几何关系迅速转化为数量关系,从而“计算”出所要求的结果.例2 (2009四川文)已知双曲线x22-y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别是、其一条渐近线方程为y=x,点在双曲线上.则A.-12B.-2C.0D.4解析:∵y=x 为双曲线渐近线方程,∴双曲线的实轴与虚轴相等,即b2=2.∴双曲线方程为x2-y2=2.又∵点在双曲线上,∴P(3,1)或P(3,-1).由c2=a2+b2=4可知左、右焦点坐标分别是-2,0)和(2,0).假设P(3,1),则-2-3,--3,-1),∴-(2+3)(2-3)+1=0.答案:选C.点评:本题考查向量数量积的坐标运算.首先求双曲线的方程,进而求得点P的坐标和焦点坐标,可得向量的坐标,最后求得两向量的数量积的值.若取P(3,-1),所得结果一样.例3 (2009北京理改)已知双曲线C∶x2a2-的离心率为3,a2c=33.(1)求双曲线C的方程;(2)设直线l是圆O∶x2+y2=2上动点处的切线,l与双曲线C交于不同的两点A、B,证明:∠AOB的大小为定值.解析:(1)由题意,得ca=3.解得a=1,c=3,∴b2=c2-a2=2,∴所求双曲线C的方程为x2-y22=1.(2)∵直线l是圆O∶x2+y2=2上动点处的切线,∴圆在点处的切线方程为-2=0.由x2-消去y得--4-又∵点P在圆x2+y2=2上,∴-代入上式整理得-4)x2--2∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B,且0∴-4≠0,且--4)(8-设A、B两点的坐标分别为则---4.∵cos∠而----=8--4+12-----4]=8--4+12-----4=8--4-8--4=0.∴cos∠AOB=0.∴∠AOB=90°,即∠AOB的大小为定值.点评:本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识及应用它们解决问题的基本能力,如逻辑思维能力、推理计算能力,还考查了解析几何的基本思想方法.三、综合运用平面向量知识,探求动点轨迹方程以及进一步探求曲线的性质例4 (2009山东理)设椭圆E∶x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)过M(2,2),N(6,1)两点,O为坐标原点.(1)求椭圆E的方程;(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B,且⊥若存在,写出该圆的方程,并求|AB|的取值范围,若不存在说明理由.解析:(1)∵M(2,2),N(6,1)两点在椭圆E∶x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)上,∴6a2+1b2=1.解得1b2=14.所以b2=4.∴椭圆E∶x28+y24=1.(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B,且⊥设该圆的切线方程为y=kx+m(假设斜率存在).∵切线与椭圆恒有两个交点A、B,∴由x28+y24=1.得x2+2(kx+m)2=8,整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0.设则有--81+2k2.-8k21+2k2.由Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-8)>0,整理得8k2-m2+4>0.又∵⊥∴∴2m2-81+2k2+m2-8k21+2k2=0,整理得3m2-8k2-8=0,k2=3m2-88≥0.又∵8k2-m2+4>0,∴3m2-m2>2.解得m≤-263 或m≥263.因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为r=|m|1+k2, r2=m21+k2=m21+3m2-88=83.所求圆的方程为x2+y2=83.此时,圆的切线y=kx+m都满足m≤-263或m≥263,而当切线的斜率不存在时切线为x=±263,与椭圆x28+y24=1的两个交点为(263,±263)或(-263,±263),且满足⊥综上, 存在圆心在原点的圆x2+y2=83,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B,且⊥----=(1+k2)[(-4km1+2k2)2-4×2m2-81+2k2]=(1+k2)8(8k2-m2+4)(1+2k2)2=8(1+k2)(8k2-m2+4)(1+2k2)2将m2=8k2+83代入上式得:|AB|=323×4k4+5k2+14k4+4k2+1=323[1+k24k4+4k2+1]=3231+14k2+1k2+4.当k≠0时,∵4k2+1k2+4≥8,∴0∴323由|AB|=323(1+14k2+1k2+4)可得,436当k=0时,易求|AB|=463;当AB所在直线的斜率不存在时, 两个交点为(263,±263)或(-263,±263),可求得:|AB|=463.综上,|AB|的取值范围为436≤|AB|≤23.点评:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系,直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,要求考生能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系及利用基本不等式求相关量的取值范围.例5 (2009全国II 理)已知椭圆C∶x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为33,过右焦点F的直线l 与C相交于A、B两点,当l的斜率为1时,坐标原点O到l的距离为22.(1)求a,b的值;(2)椭圆C上是否存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有成立?若存在,求出所有点P的坐标与l的方程;若不存在,说明理由.解析:(1)设焦点F(c,0),直线l:x-y-c=0,∵坐标原点O到l的距离为22,∴ |0-0-c|2=22,解得c=1.又由e=ca=33得a=3,b=2.(2)由(1)知椭圆的方程为x23+y22=1.设、由题意知直线l的斜率一定不为0,所以可设l∶x=my+1.由x23+y22=1.消去x得(2m2+3)y2+4my-4=0,Δ=16m2+16(2m2+3)>0恒成立.由韦达定理有--42m2+3.…………①假设存在点P,使成立,则点P的坐标为又因为点P在椭圆上,所以整理得又A、B在椭圆上,即故②将及①代入②可解得m2=12,m=±22.∴或--4m22m2+3+2=32,即P(32,±22).当m=22时,P(32,-22),l∶x=22y+1;当m=-22时,P(32,22),l∶x=-22y+1.点评:解析几何的学习过程中,一定要在“算”上多下功夫.所谓“算”,主要讲的是算理和算法.算法是解决问题采用的计算的方法,而算理是采用这种算法的依据和原理.。

2009年上海高考理科数学试题分析

2009年上海高考理科数学试题分析丁红玲09年上海高考数学试题，无论是试题结构还是试题形式，还是解决方法上都给广大师生以较大的“冲击”。

首先是题型较新，有在教材和平时练习中从未出现过的问题；二是二期课改的教材的新增内容也占一定比例；三是有与时事紧密相联系的问题。

具体分析如下：一、各题考察内容和数学思想方法的分析第1题.考察复数的四则运算和复数的共轭。

是常规的复数题。

基本计算第2题.对逻辑关系的考察。

类似于二次函数的定义域为R值域为R的问题。

数形结合第3题矩阵行列式的考察，新增知识点的考察。

基本计算第4题. 算法的题目，主要仍然是对于数列逐项分析判断的考察。

分类讨论第5题. 立体几何空间角的求法。

转化思想第6题. 与三角函数有关的值域的求法基本计算，化归思想第7题. 对于新概念的基本考察。

意料之中的题目基本计算第8题. 球的表面积公式基本计算，类比方法第9题.椭圆的定义。

属于填空中解析几何的常见题目。

转化思想，数形结合第10题.极坐标方程与直角坐标方程形式的转化的考察。

数形结合第11题.函数单调性，三角函数，恒成立问题进行综合考察。

函数方程思想，数形结合第12题. 单调性，奇偶性和数列的结合化归思想，函数方程思想第13题.区间讨论问题的考察，和绝对值的不等式十分相像式。

转化思想，数形结合第14题.函数的定义和图像，圆的方程的综合考察。

转化思想，数形结合。

第15题.对充要条件的考察。

基本计算第16题.排列组合概率和统计初步。

基本计算第17题. 仍然是对于统计初步的考察。

实际应用型能力，基本计算与推理第18题.函数连续性和单调性的考察要求学生总体上对函数性质有所把握。

转化思想，数形结合，数学建模思想第19题. 一如既往的立体几何，一如既往的向量法，没有任何变化。

基本计算，数形结合第20题. 结合分段函数对函数的性质和值域进行考察，仍然是新包装下的老题目，函数的单调性的证明，考查新知识学习型能力。

基本计算，化归思想第21题.本题主要考察了考生对于双曲线渐近线的求解和几何意义的理解。

历年高考理科数学真题演练分类解析：立体几何的向量方法

【考点14】立体几何的向量方法1．（2009·上海卷·理19）（本题满分14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，21===AB BC AA ，AB ⊥BC ，求二面角111C C A B --的大小．2． (2009·天津卷·理·19)如图,在五面体ABCDEF 中，FA ABCD ⊥平面，////AD BC FE ，,AB AD M ⊥为EC 的中点，12AF AB BC FE AD ====． (Ⅰ) 求异面直线BF 与DE 所成的角的大小;(Ⅱ) 证明平面AMD ⊥平面CDE ; (Ⅲ) 求二面角A CD E --的余弦值． 3． (2009·广东卷·理·18)如图6，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 是正方形11BCC B 的中心，点F 、G 分别是棱111,C D AA 的中点．设点11,E G 分别是点E ，G 在平面11DCC D 内的正投影．（1）求以E 为顶点，以四边形FGAE 在平面11DCC D 内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（2）证明：直线⊥1FG 平面1FEE ；（3）求异面直线11E G EA 与所成角的正弦值．4． (2009·福建卷·理·17）如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ABCD ⊥平面，NB ABCD ⊥平面，且MD=NB=1，E 为BC 的中点(1)求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值(2)在线段AN 上是否存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ？若存在，求线段AS 的长；若不存在，请说明理由zyxE 1G 15．（2009·安徽卷·理·18）（本小题满分13分）如图，四棱锥F-ABCD 的底面ABCD 是菱形，其对角线AC=2， BD=2，AE 、CF 都与平面ABCD 垂直，AE=1，CF=2．（I ）求二面角B-AF-D 的大小；（II ）求四棱锥E-ABCD 与四棱锥F-ABCD 公共部分的体积．6．（2008江苏，22）如图（1），设动点P 在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -的地角线1BD 上，记λ=BD PD 11．，当∠APC 为钝角时，求λ的取值范围．7．（2008辽宁，19）如图（2），在棱长为1的正方体''''D C B A ABCD -，b BQ AP ==（0<b<1），截面PAEF ∥D A '，截面PQGH ∥'.AD （1）证明：平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直；（2）证明：截面PQEF 和截面PQGH 面积之和是定值，并求出这个值；（3）若E D '与平面PQEF 所成的角045,求勤E D '与平面PQGH 所成角的正弦值．8．（2008上海，16，12分）如图（3），在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，E 是1BC 的中点．求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．9．（2008湖南，17，12分）如图（4）所示，四棱锥ABCD P -的底面ABCD是边长为1的菱形，∠060=BCD ，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，.2=PA（1）证明：平面 PBE ⊥平面PAB ；（2）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小． 10．（2008·山东高考题）如图（5），已知四棱锥石 -P ABCD ，底面ABCD为菱形，PA ⊥平面ABCD ，∠060=ABC ，E 、F 分别是BC 、PC 的中点．（1）证明：AE ⊥PD ；（2）求二面角C AF E --的余弦值．11．（2007·山东高考题）如图（6），在直四棱柱ABCD1111D C B A -中，已知AD DD DC 21===AB 2，AD ⊥DC ，AB ∥DC ．（1）设E 是DC 的中点，求证：E D 1∥平面BD A 1；（2）求二面角11C BD A -的余弦值．高考真题答案与解析数学（理）【考点14】立体几何的向量方法1．【解析】如图，建立空间直角坐标系．则A （2，0，0），C （0，2，0），A 1（2，0，2）， B 1（0，0，2），C 1`（0，2，2），设AC 的中点为M ，,,1CC BM AC BM ⊥⊥ )0,1,1(11=⊥∴C ，C A BM 即平面是平面A 1C 1C 的一个法向量．设平面A 1B 1C 的一个法向量是),,(z y x =，)0,0,2(),2,2,2(11-=--=B A ,0222,02111=-+-=⋅=-=⋅∴z y x A x B A 令z=1，解得x=0，y=1．)1,1,0(=∴，设法向量与的夹角为ϕ，二面角B 1—A 1C —C 1的大小为θ，显然θ为锐角．分的大小为二面角解得14.3.3,21|||||cos |cos 111 ππθϕθC C A B BM n --∴==⋅==2．【解法1】(Ⅰ) 由题设知，//BF CE ，所以CED ∠（或其补角）为异面直线BF 与DE 所成的角．设P 为AD 的中点，连结,EP PC ．因为//FE AP 且=FE AP ，所以//FA EP 且=FA EP ．同理//AB PC 且=AB PC ．又FA ABCD ⊥平面，所以EP ABCD ⊥平面．而PC ABCD ⊂平面，AD ABCD ⊂平面，故EP PC ⊥，EP AD ⊥由AB AD ⊥，得PC AD ⊥．设FA a =，则EP PC PD a ===，QPMFEDCBAi CD DE EC θ===，ECD ∆为等边三角形，所以60CED ∠=︒．所以, 异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60︒．(Ⅱ) 因为DC DE =，且M 为EC 的中点，所以 DM CE ⊥．连结MP ，因为EP PC =，且M 为EC 的中点，所以MP CE ⊥，又MP MD M =，所以CE AMD ⊥平面，而CE CDE ⊂平面，所以平面AMD ⊥平面CDE ． (Ⅲ) 设Q 为CD 的中点,连结PQ EQ ,．因为CE DE =,且Q 为CD 的中点,所以EQ CD ⊥．因为PC PD =,且Q 为CD 的中点,,则PQ CD ⊥．故EQP ∠为二面角A CD E --的平面角．由(Ⅰ)可得，EP PQ ⊥，,22EQ a PQ a ==．于是在Rt EPQ ∆中，cos 3PQ EQP EQ ∠==．所以，二面角A CD E --的余弦值为3．【解法2】如图,建立空间直角坐标系,点A 为坐标原点．设1AB =，依题意得()()()1,0,0,1,1,0,0,2,0B C D ，()()110,1,1,0,0,1,,1,22E F M ⎛⎫⎪⎝⎭．(Ⅰ) ()()1,0,1,011BF DE =-=-，，, 于是1cos ,22BF DE BF DE BF DE⋅===⋅．所以, 异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60︒． (Ⅱ) 由MFEDCBA()()11,1,,1,0,1,0,2,022AM CE AD ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭可得0,0CE AM CE AD ⋅=⋅=．因此,CE AM CE AD ⊥⊥，又AM AD A =，故CE AMD ⊥平面．而CE CDE ⊂平面，所以平面AMD ⊥平面CDE ．(Ⅲ) 设平面CDE 的法向量为(),,u x y z =,则0,0.u CE u DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩于是0,0.x z y z -+=⎧⎨-+=⎩令1x =,则()1,1,1u =．又由题设，平面ACD 的一个法向量为()0,0,1v AF ==，所以，cos ,31u v u v u v⋅===⋅⋅．因为二面角A CD E --为锐角，所以，它的余弦值为3．【点评】本题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力． 3．【解析】（1）依题作点E 、G 在平面11DCC D 内的正投影1E 、1G ，则1E 、1G 分别为1CC 、1DD 的中点，连结1EE 、1EG 、ED 、1DE ，则所求为四棱锥11FG DE E -的体积，其底面11FG DE 面积为111111E DG Rt FG E Rt FG DE S S S ∆∆+=221212221=⨯⨯+⨯⨯=，又⊥1EE 面11FG DE ，11=EE ，∴323111111=⋅=-EE S V FG DE FG DE E ．（2）以D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别作x 轴，y 轴，z 轴，得)1,2,0(1E 、)1,0,0(1G ，又)1,0,2(G ，)2,1,0(F ，)1,2,1(E ，则)1,1,0(1--=FG ，)1,1,1(-=，)1,1,0(1-=FE ，∴01)1(01=+-+=⋅FE FG ，01)1(011=+-+=⋅FE FG ，即FE FG ⊥1，11FE FG ⊥，y又F FE FE =⋂1，∴⊥1FG 平面1FEE ．（3）)0,2,0(11-=G E ，)1,2,1(--=EA ，则62,cos 111111=>=<EAG E EA G E EA G E ，设异面直线11E G EA 与所成角为θ，则33321sin =-=θ． 4．【解析】（1）在如图，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标D xyz-依题意，得1(0,0,0)(1,0,0)(0,0,1),(0,1,0),(1,1,0),(1,1,1),(,1,0)2D A M C B NE ．1(,0,1),(1,0,1)2NE AM ∴=--=-10cos ,||||NE AM NE AM NE AM <>==-⨯，所以异面直线NE 与 AM 所成角的余弦值为1010．A （2）假设在线段AN 上存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ．(0,1,1)AN =,可设(0,,),AS AN λλλ==又11(,1,0),(,1,)22EA ES EA AS λλ=-∴=+=-．由ES ⊥平面AMN ，得0,0,ES AM ES AN ⎧=⎪⎨=⎪⎩即10,2(1)0.λλλ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩故12λ=，此时112(0,,),||222AS AS ==．经检验，当22AS =时，ES ⊥平面AMN ．故线段AN 上存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ，此时22AS =． 5．【解】（I ）(综合法)连接AC 、BD 交于菱形的中心O ，过O 作OG ⊥AF ，G 为垂足．连接BG 、DG ．由BD ⊥AC,BD ⊥CF,得：BD ⊥平面ACF ，故BD ⊥AF ．于是AF ⊥平面BGD,所以BG ⊥AF,DG ⊥AF,∠BGD 为二面角B-AF-D 的平面角．由FC ⊥AC,FC=AC=2,得∠FAC=4π,OG=22．由OB ⊥OG,OB=OD=2,得∠BGD=2∠BGO=2π．(向量法)以A 为坐标原点，BD 、AC 、AE 方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．于是22(,1,0),(,1,0),(0,2,2).22B D F -设平面ABF 的法向量1(,,)n x y z =，则由1100n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得202220x y y z ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩．令1,z =得21x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，1(2,1,1)n =--同理，可求得平面ADF 的法向量2(2,1,1)n =-．由120n n ⋅=知，平面ABF 与平面ADF 垂直，二面角B-AF-D 的大小等于2π．（II ）连EB 、EC 、ED ，设直线AF 与直线CE 相交于点H ，则四棱锥E-ABCD 与四棱锥F-ABCD 的公共部分为四棱锥H-ABCD ．过H 作HP ⊥平面ABCD ，P 为垂足．因为EA ⊥平面ABCD ，FC ⊥平面ABCD ，，所以平面ACFE ⊥平面ABCD ，从而,.P AC HP AC ∈⊥由1,HP HP AP PC CF AE AC AC +=+=得23HP =．又因为12,2ABCD S AC BD =⋅=菱形故四棱锥H-ABCD 的体积122.3ABCD V S HP =⋅=菱形【点评】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知识，考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力． 6．【解析】由题设可知，以DA 、DC 、1DD 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系xyzD-，则有)0,0,1(A，B（1，1，0）C（0，1，0），D1（0，0，1）。

2009届高三数学一轮复习运用向量法解题

12009届一轮复习运用向量法解题高考要求:平面向量是新教材改革增加的内容之一，近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考查力度，本节内容主要是帮助考生运用向量法来分析，解决一些相关问题.重难点归纳:1.解决关于向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识.二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想.2.向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中.常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题.3.用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考: (1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？(3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？(4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？典型题例示范讲解:例1如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面 ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD .(1)求证: C 1C ⊥BD .(2)当1CC CD的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明命题意图:本题主要考查考生应用向量法解决向量垂直，夹角等问题以及对立体几何图形的解读能力.知识依托:解答本题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题，这就使几何问题代数化，使繁琐的论证变得简单.错解分析:本题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，再就是要清楚已知条件中提供的角与向量夹角的区别与联系.技巧与方法:利用a ⊥b ⇔a ·b=0来证明两直线垂直，只要证明两直线对应的向量的数量积为零即可.(1)证明:设CD =a ,.CB =b ,1CC =c ,依题意，|a |=|b|，CD 、CB 、 1CC 中两两所成夹角为θ，于是-==a －b，CC ⋅1=c (a －b )=c ·a －c ·b =|c |·|a |cos θ－|c|·|b |cos θ=0,∴C 1C ⊥BD .(2)解:若使A 1C ⊥平面C 1BD ，只须证A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DC 1，由)()(1111CC AA C -⋅+=⋅=(a +b +c )·(a －c )=|a |2+a ·b －b ·c －|c |2=|a |2－|c |2+|b |·|a |cos θ－|b |·|c|·cos θ=0,得当|a =|c |时，A 1C ⊥DC 1，同理可证当|a |=|c|时，A 1C ⊥BD ，∴1CC CD=1时，A 1C ⊥平面C 1BD . 例2如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA =CB =1，∠BCA =90°，AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点.(1)求的长；(2)求cos<11,CB BA >的值；(3)求证:A 1B ⊥C 1M .命题意图:本题主要考查考生运用向量法中的坐标运算的方法来解决立体几何问题.知识依托:解答本题的闪光点是建立恰当的空间直角坐标系O －xyz ,进而找到点的坐标和求出向量的坐标.错解分析:本题的难点是建系后，考生不能正确找到点的坐标技巧与方法:可以先找到底面坐标面xOy 内的A 、B 、C 点坐标，然后利用向量的模及方向来找出其他的点的坐标.(1)解:如图，以C 为原点建立空间直角坐标系O －xyz . 依题意得:B (0，1，0)，N (1，0，1)∴||=3)01()10()01(222=-+-+-.(2)解:依题意得:A 1(1，0，2)，C (0，0，0)，B 1(0，1，2). ∴1BA =1),2,1,1(CB -=(0，1，2)11CB BA ⋅=1×0+(－1)×1+2×2=3|1BA |=6)02()10()01(222=-+-+-5)02()01()00(||2221=-+-+-=CB .1030563||||,cos 111111=⋅=⋅>=<∴CB BC CB BA (3)证明:依题意得:C 1(0，0，2)，M (2,21,21))2,1,1(),0,21,21(11--==A C∴,,00)2(21121)1(1111C A C A ⊥∴=⨯-+⨯+⨯-=⋅ ∴A 1B ⊥C 1M .例3三角形ABC 中，A (5，－1)、B (－1，7)、C (1，2)，求:(1)BC 边上的中线AM 的长；(2)∠CAB 的平分线AD 的长；(3)cos ABC 的值. 解:(1)点M 的坐标为x M =)29,0(,29227;0211M y M ∴=+==+- .2221)291()05(||22=--+-=∴ 5)21()15(||,10)71()15(||)2(2222=--+-==--++=D 点分的比为2. ∴x D =31121227,3121121=+⨯+==+⨯+-D y.2314)3111()315(||22=--+-=(3)∠ABC 是与的夹角，而=(6，8），=(2，－5）1452629291052)5(2)8(6)5()8(26||||cos 2222==-+⋅-+-⨯-+⨯=⋅=∴BC BA ABC 学生巩固练习:1.设A 、B 、C 、D 四点坐标依次是(－1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，则四边形ABCD 为( )A .正方形B .矩形C .菱形D .平行四边形2.已知△ABC 中， =a，=b，a·b<0，S △ABC =415,|a|=3,|.b |=5,则a 与b 的夹角是( )A .30°B .－150°C .150° :D .30°或150°3.将二次函数y =x 2的图象按向量a平移后得到的图象与一次函数y =2x －5的图象只有一个公共点(3，1)，则向量a=_________.4.等腰△ABC 和等腰Rt △ABD 有公共的底边AB ，它们所在的两个平面成60°角，若AB =16.cm,AC =17.cm,则CD =_________.5.如图，在△ABC 中，设=a ，AC .=b ，.=c ,.=λa,(0<λ<1),.=μb .(0<μ<1),试用向量a ，b 表示c .6.正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为a ,侧棱长为2a . (1)建立适当的坐标系，并写出A 、B 、A 1、C 1的坐标； (2)求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.7.已知两点M (－1，0)，N (1，0)，且点P 使⋅⋅⋅,,成公差小于零的等差数列.(1)点P 的轨迹是什么曲线？(2)若点P 坐标为(x 0,y 0),Q 为与的夹角，求tan θ.8.已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点. (1)用向量法证明E 、F 、G 、H 四点共面； (2)用向量法证明:BD ∥平面EFGH ； (3)设M 是EG 和FH 的交点，求证:对空间任一点O ，有)(41+++=. 参考答案:1.解析:.=(1，2），.=(1，2），∴=，∴∥，又线段AB 与线段DC 无公共点，∴AB ∥DC 且|AB |=|DC |，∴ABCD 是平行四边形，又||=5，.=(5，3），||=34， ∴||≠|},∴ ABCD 不是菱形，更不是正方形；又=(4，1)，∴1·4+2·1=6≠0,∴不垂直于， ∴ABCD 也不是矩形，故选D . 答案: D 2.解析: ∵21415=·3·5sin α得sin α=21,则α=30°或α=150°.又∵a ·b＜0,∴α=150°.答案: C 3.(2,0)4.13.cm5.解: ∵与共线，∴=m =m (－)=m (μb －a), ∴=+=a +m (μb －a )=(1－m ).a+m μb ①又与共线，∴=n =n (－)=n (λa －b),∴=AC +CP =b +n (λa －b )=n λa+(1－n ).b ②由①②，得(1－m )a +μm b =λn a+(1－n ).b .∵a 与b 不共线，∴⎩⎨⎧=-+=-+⎩⎨⎧-==-010111m n m n n m a m μλμλ即 ③解方程组③得: m =λμμλμλ--=--11,11n 代入①式得c =(1－m ).a +m μb =πμ-11［λ(1-μ).a +μ(1-λ)b ］.6.解: (1)以点A 为坐标原点O ，以AB 所在直线为Oy 轴，以AA 1所在直线为Oz 轴，以经过原点且与平面ABB 1A 1垂直的直线为Ox 轴，建立空间直角坐标系.由已知，得A (0，0，0)，B (0，a ,0),A 1(0,0,2a ),C 1(－,2,23a a 2a ).(2)取A 1B 1的中点M ，于是有M (0，2,2aa ），连AM ，MC 1，有1MC =(－23a ,0,0）,且=(0，a ,0）,1AA =(0,02a ) 由于1MC ·=0，1MC ·1AA =0，所以M C 1⊥面ABB 1A 1， ∴AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.∵1AC =),2,2,0(),2,2,23(a a a a a =-a a a AC 49240221=++=⋅∴ a a a a a a a AC 2324||,324143||22221=+==++=而2323349,cos 21=⨯>=<∴aa aAC所以AC 与1所成的角，即AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.7.解: (1)设P (x ,y ）,由M (－1，0），N (1，0）得，.=－=(－1－x ,－y ）,-=.=(1－x ,－y ), MN .=－NM =(2,0),∴·=2(1+x ),.·=x 2+y 2－1,⋅.=2(1－x ). 于是，⋅⋅⋅,,是公差小于零的等差数列，等价于⎩⎨⎧>=+⎪⎩⎪⎨⎧<+---++=-+03 0)1(2)1(2)]1(2)1(2[211222x y x x x x x y x 即所以，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆. (2)点P 的坐标为(x 0,y 0)220012,||||PM PN x y PM PN ⋅=+-=⋅===cos ||PM PN PM PNθ⋅∴==⋅010cos 1,0,23x πθθ<≤<≤≤<||3cos sin tan ,411cos 1sin 02022y x x =-==∴--=-=∴θθθθθ 8.证明: (1）连结BG ，则EH EF EH BF EB BD BC EB BG EB EG +=++=++=+=)(21由共面向量定理的推论知:E 、F 、G 、H 四点共面，(其中21=)(2)因为21)(212121=-=-=-=.所以EH ∥BD ，又EH ⊂面EFGH ，BD ⊄面EFGH所以BD ∥平面EFGH .(3）连OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG 由(2）知21=，同理21=，所以=，EH FG ,所以EG 、FH 交于一点M 且被M 平分，所以1111111()[()][()]2222222OM OE OG OE OG OA OB OC OD =+=+=+++1().4OA OB OC OD =+++。

09年高考数学平面向量的解题技巧

第二讲平面向量的解题技巧【命题趋向】由2007年高考题分析可知：1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右．2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主．【考点透视】“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主．透析高考试题，知命题热点为：1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式．5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等．6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．【例题解析】1. 向量的概念，向量的基本运算(1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法.(3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式.例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（）Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD = 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力．解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0, 故选A ．例2．（2006年安徽卷）在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN =______.（用a b 、表示）命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+由得，12AM a b =+，所以,3111()()4244MN a b a b a b =+-+=-+.例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=( )（A ）21+- （B ） 21--（C ） BA BC 21- （D ）BA BC 21+命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：21+-=+=，故选A.例4． ( 2006年重庆卷)与向量a =71,,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54 (B) ⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54或⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 （C ）⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322 （D ）⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322或⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,322 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题.解：设所求平面向量为,c 由433,,, 1.555c c ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4或-时5另一方面,当7413431,,cos ,.5527a c c a c a c ⎛⎫⨯+⨯- ⎪⋅⎛⎫=-== ⎪⋅⎝⎭⎛⎫时当7413431,,cos ,.5527a c c a c a c ⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯ ⎪ ⎪⋅⎛⎫=-===- ⎪⋅⎝⎭⎛⎫时故平面向量c 与向量a =71,,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹角相等.故选 B. 例5．（2006年天津卷）设向量a 与b 的夹角为θ，且)3,3(=a，)1,1(2-=-a b ，则=θco s __．命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及用平面向量的数量积处理有关角度的问题.解: ()()()()(),,22,3,323,231,1.b x y b a x y x y =-=-=--=-设由 ()2311,1,2.231 2.x xb y y -=-=⎧⎧⇒∴=⎨⎨-==⎩⎩得 2cos ,33a b a b a b⋅===⋅+例6.（2006年湖北卷）已知向量()3,1a =，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b ⋅=，则b = （）（A ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛21,23 （B ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 （C ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛433,41 （D ） ()0,1 命题意图: 本题主要考查应用平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及方程的思想解题的能力.解:设(),()b x y x y =≠，则依题意有1,y +=1,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 故选B.例7.设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=.如果向量1b 、2b 、3b ，满足2i i b a =，且i a 顺时针旋转30o 后与i b 同向，其中1,2,3i =，则（）（A ）1230b b b -++= （B ）1230b b b -+= （C ）1230b b b +-= （D ）1230b b b ++=命题意图: 本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念.常规解法：∵1230a a a ++=，∴ 1232220.a a a ++=故把2i a (i=1,2,3)，分别按顺时针旋转30后与i b 重合，故1230b b b ++=，应选D.巧妙解法：令1a =0，则2a =3a -，由题意知2b =3b -，从而排除B ，C ，同理排除A ，故选(D). 点评：巧妙解法巧在取1a =0，使问题简单化.本题也可通过画图,利用数形结合的方法来解决.2. 平面向量与三角函数,解析几何等问题结合(1) 平面向量与三角函数、三角变换、数列、不等式及其他代数问题，由于结合性强，因而综合能力较强，所以复习时，通过解题过程，力争达到既回顾知识要点，又感悟思维方法的双重效果，解题要点是运用向量知识，将所给问题转化为代数问题求解.(2)解答题考查圆锥曲线中典型问题，如垂直、平行、共线等，此类题综合性比较强，难度大. 例8．（2007年陕西卷理17.）设函数f (x )=a-b ,其中向量a =(m,cos2x ),b =(1+sin2x ,1),x ∈R ,且函数y=f (x )的图象经过点⎪⎭⎫⎝⎛2,4π，（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f (x )的最小值及此时x 的值的集合. 解：（Ⅰ）()(1sin 2)cos 2f x a b m x x ==++，由已知πππ1sin cos 2422f m ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π()1sin 2cos 2124f x x x x ⎛⎫=++=+⎪⎝⎭，∴当πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 的最小值为1由πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得x 值的集合为3ππ8x x k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ，例2．（2007年陕西卷文17）设函数b a x f 、=)(.其中向量2)2π(R,),1,sin 1(),cos ,(=∈+==f x x b x m a 且.（Ⅰ）求实数m 的值; （Ⅱ）求函数)(x f 的最小值.解：（Ⅰ）()(1sin )cos f x m x x ==++a b ，πππ1sin cos 2222f m ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π()sin cos 114f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，∴当πsin 14x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 的最小值为1例9．（2007年湖北卷理16）已知ABC △的面积为3，且满足06AB AC ≤≤，设AB 和AC 的夹角为θ．（I ）求θ的取值范围；（II ）求函数2()2sin 24f θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭π的最大解：（Ⅰ）设ABC △中角AB C ，，的对边分别为a b c ，，，则由1sin 32bc θ=，0cos 6bc θ≤≤，可得0cot 1θ≤≤，ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴．（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)θθ=+πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭．ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2363θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=．例10．（2007年广东卷理）已知ABC 的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、Ｃ(c,0) （1）若c=5，求sin ∠A 的值；（2）若∠A 为钝角，求c 的取值范围；解：（1）(3,4)AB =--，(3,4)AC c =--，若c=5，则(2,4)AC =-，∴cos cos ,A AC AB ∠=<=，∴sin ∠A ；（2）∠A 为钝角，则39160,0,c c -++<⎧⎨≠⎩解得253c >，∴c 的取值范围是25(,)3+∞例11．（2007年山东卷文17）在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan a b c C =，，，（1）求cos C ；（2）若52CB CA =，且9a b +=，求c ．解：（1）sin tan cos CC C=∴=又22sin cos 1C C +=解得1cos 8C =±．tan 0C >，C ∴是锐角． 1cos 8C ∴=．（2）52CB CA =，5cos 2ab C ∴=， 20ab ∴=．又9a b +=22281a ab b ∴++=． 2241a b ∴+=．2222cos 36c a b ab C ∴=+-=．6c ∴=．例12. （2006年湖北卷）设函数()()f x a b c =⋅+，其中向量()()sin ,cos ,sin ,3cos a x x b x x =-=-, ()cos ,sin ,c x x x R =-∈.（Ⅰ）求函数()x f 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）将函数()x f y =的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d . 命题意图:本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力.解：(Ⅰ)由题意得，f(x)＝a ·(b c +)=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx －3cosx)＝sin 2x －2sinxcosx+3cos 2x ＝2+cos2x －sin2x ＝2+2sin(2x+43π).所以，f(x)的最大值为2+2，最小正周期是22π＝π.（Ⅱ）由sin(2x+43π)＝0得2x+43π＝k.π，即x ＝832ππ-k ,k ∈Z ，于是d ＝（832ππ-k ，－2），(k d π=-k ∈Z.因为k 为整数，要使d 最小，则只有k ＝1，此时d ＝（―8π，―2）即为所求.例13．（2006年全国卷II ）已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2＜θ＜π2．（Ⅰ）若a ⊥b ，求θ；（Ⅱ）求｜a ＋b ｜的最大值．命题意图:本小题主要考查平面向量数量积和平面向量的模的计算方法、以及三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力.解：（Ⅰ）若a ⊥b ，则sin θ＋cos θ＝0，由此得 tan θ＝－1(－π2＜θ＜π2)，所以 θ＝－π4；（Ⅱ）由a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)得｜a ＋b ｜＝(sin θ＋1)2＋(1＋cos θ)2＝3＋2(sin θ＋cos θ)＝3＋22sin(θ＋π4)，当sin(θ＋π4)＝1时，|a ＋b |取得最大值，即当θ＝π4时，|a ＋b |最大值为2＋1．例14．（2006年陕西卷）如图，三定点(2,1),(0,1),(2,1);A B C --三动点,,AD t AB BE tBC == ,[0,1].DM tDE t =∈（I ）求动直线DE 斜率的变化范围；（II ）求动点M 的轨迹方程。