实变函数论课后答案第三章4

实变函数论课后答案第三章4

第三章第四节习题

1． 举例说明对p q R +中的可测集E 确实有可能存在p x R ∈使x E 不是q R 中的可测集

解：令{} 20E S

R =⨯⊂，这里 S 为(0,1)上的任一不可测集（ S 存在！见 P66）

则从(0,1)S ∧

⊂知 {}{}00(0,1)S ∧⨯⊂⨯，P72Th1则{}{}{}0(0,1)0(0,1)0m m m ⨯=⨯=,区间

可测，故显然，0n ∀>，{}11

0(0,1)(,)(0,1)n n

⨯⊂-⨯

则{}**1111(0(0,1))((,)(0,1))((,)(0,1))m m m n n n n

⨯≤-⨯=-⨯ 1122(,)(0,1)(0,1)0m m m n n n n =-⨯=⨯=→（P72Th1） 即{}*(0(0,1))0m ⨯=从而有{}**()(0(0,1))0m E m ≤⨯=

故从P60Th1, 2E R ⊂为可测的， 然而 {}{}{}{}0|(0,)|(0,)0|E y y E y y S y y S S ∧∧∧=∈=∈⨯=∈=不可测.

2． 试在二维平面2R 中作一开集G ，使G 的边界点所构成的测度大于零（提示：参考§3习题1）

解：在§3习题1中已知存在(0,1)中的开集G 使[0,1]G =，且mG mG >，故 G G G ∂=-，,()0G G G m G mG mG ∂=-∂=-> 令(0,1)E G =⨯，则从G 为1R 中开集，(0,1)为1R 中开集，易知E 为2R 着开集

我们来证明

①0(0,1)G E E E ∂⨯⊂∂=- ②((0,1))0m G ∂⨯>，从而*()0m E ∂> ①之证，00(,)(0,1)x y G ∀∈∂⨯，则0x G ∈∂，0(0,1)y ∈， 故000,(,)x x ηηη'''∀>-+中既有G 中的点x η'，已有c G 中的点x η''，且0η''∃>使00(,)(0,1)y y ηη''''-+⊂，取0δ∀>，当0η>充分小时 000000((,),)(,)(,)B x y x x y y δηηηη⊃-+⨯-+ 则0000(,)(0,1)((,)((,),))x y G E x y B x y ηηδ''∈⨯=∈， 0(,)(0,1)c x y G η''∉⨯

故0(,)x y E η''∉，00(,)x y E ∈∂，即(0,1)G E ∂⨯⊂∂ 因\G G G ∂=可测于1R ，(0,1)G ∂⨯也可测于2R （P72Th ） ②((0,1))()(0,1)m G m G m ∂⨯=∂⨯()0m G =∂> 即()(0,1)0m E m E m ∂≥∂⨯>,证毕.