概率统计第七章参数估计参考答案

概班级 姓名 学号 任课教师第七章 参数估计教学要求：一、理解点估计的概念，了解矩估计法和极大似然估计法；二、了解无偏性、有效性、一致性等估计量的评判标准；三、理解区间估计的概念，会求单个正态总体均值与方差的置信区间，会求两个正态总体均值差与方差比的置信区间．重点：极大似然估计法、矩估计法． 难点：置信区间的定义及求法．习题一 点估计1.随机抽取8只活塞环，测得它们的直径（单位：mm ）为：74.001， 74.005， 74.003， 74.001， 74.000， 73.998， 74.006， 74.002 试求总体均值μ与总体方差2σ的矩估计值，并求样本方差2s ．解：总体的一、二阶原点矩分别为：()μ=X E ， ()()()[]2222μσ+=+=X E X D X E ；样本的一、二阶中心矩分别为：X X n A n i i ==∑=111， ∑==n i i X n A 1221；由矩估计法有()X A X E ===∧∧1μ, ()2222A XE =+=∧∧∧μσ,即X =∧μ，()∑∑==∧∧-=-=-=ni i n i i XX n X X n A 1221222211μσ由题中所给数据得001.74=∧μ， 5210388.1-∧⨯=σ2.设总体X 的密度函数为，()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-;0,0,0,1x x e x f xθθ 其中θ0>是未知参数，求θ的矩估计．解：因为 ()θθθ===-∞+∞+∞-⎰⎰dx e x dx x xf X E x1)(则 X =∧θ.3.设总体X 服从泊松分布，其分布律为λλ-==e x x X P x!}{， ,2,1=x ．试求未知参数λ)0(>λ的矩估计． 解：因为λλλλλλλλλλ=-=-=⋅=⋅=∑∑∑∑∞=---∞=-∞=∞=-1111)!1()!1(!!)(x x x xx xx x x eex ex x x e x X E ，故 X =∧λ.4.设总体X 的密度函数为：σσxe xf -=21)( ，)(+∞<<-∞x 求参数σ)0(>σ的最大似然估计．解：似然函数为 ()σσσσσ∑=∏==---=ni iix n x ni e e L 1221)(1， σσσ∑=--=ni ixn L 1)2ln()(ln ，对σ求导得似然方程01)(ln 12=+-=∑=ni ixn d L d σσσσ求得σ的最大似然估计为 ∑=∧=ni i ML x n 11σ.5.已知某种白炽灯泡的使用寿命服从正态分布，其分布参数均未知．在某个星期所生产的这种灯泡中随机抽取10只，测得其寿命（单位：小时）为：1067， 919， 1196， 785， 1126， 936， 918， 1156， 920， 948. 试用最大似然估计法估计这个星期中生产的灯泡能使用1300小时以上的概率．解：设灯泡的使用寿命为X ,则X ～()2,σμN，其中2,σμ未知. 似然函数为()()()()∑===-----=∏ni i i x n x ni eeL 122222122212221,μσσμπσσπσμ，()()()∑=---=ni i x n L 12222212ln 2,ln μσπσσμ 对2,σμ求偏导得似然方程组：()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-∑∑==n i i n i i x n x 1222212;0212,01μσσμσ 求得2,σμ的最大似然估计值为：x x n n i i ==∑=∧11μ， ()∑=∧-=n i i x x n 1221σ.将已知数据代入得：1.997=∧μ， 8.1242=∧σ于是008.0)43.2(18.1241.99713001}1300{1}1300{=Φ-=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-=≤-=>x P x P .6.设有一大批产品，其次品率p )10(<<p 未知．今从中随意抽取100个，发现有5个次品，试求p 的最大似然估计值．解：由于产品只有合格品和次品两种可能，故总体x 应服从两点分布.设两点分布的分布律为 xxp p x X P --==1)1(}{，x ＝0，1设 ⎩⎨⎧=01i X 当产品为正品时当产品为次品时由样本观察值计算得51001=∑=i ix似然函数为： ∑-∑=====-=∏100110011001001)1(}{)(i ii ix x ii p px X P p L取对数得： )1ln()100(ln )(ln 10011001p x p x L i ii i--+=∑∑==对p 求导得似然方程 011)100(1ln 10011001=---+=∑∑==p x x p dp L d i i i i解得p 的最大似然估计值为： 05.0100510011001===∑=∧i i x p .习题二 区间估计1. 设某种清漆的的9个样品，其干燥时间分别为（单位：h ）6.0， 5.7， 5.8， 6.5，7.0， 6.3， 5.6， 6.1， 5.0. 设干燥时间总体服从正态分布),(2σμN ，对于以下两种情况:(1) 已知6.0=σ（h ）；(2)σ未知.分别求出均值μ的置信度为0.95的置信区间.解：由条件知95.01=-α，025.02=α， 9=n ， 6.0=σ.6)0.51.66.53.60.75.68.57.50.6(91=++++++++⨯=x ()∑∑===-=--=n i i ii x x x n S 19122233.0681)(11 （1）当方差2σ已知时，μ的置信度为α-1的置信区间为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⋅-22,αασσz n X z n X查正态分布表得 96.1025.0=z ，将条件中的值代入得μ的置信度为0.95的置信区间为： ()392.6,608.5（2）当方差2σ未知时，μ的置信度为α-1的置信区间为：()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+-⋅-1,122n t n SX n t n SX αα 查t 分布表得 ()3060.28)1(025.0025.0==-t n t .将值代入得μ的置信度为0.95的置信区间为：()442.6,558.5.2. 为考察某大学成人男性的胆固醇水平，现抽取了样本容量为25的一个样本，并测得样本均值 186=x ，样本标准差12=s .假定所论胆固醇水平),(~2σμN X ，μ与2σ均未知，试分别求出μ以及σ的90%置信区间．解：（1）方差未知2σ时，)1(/--n t n S X ～μ，由αμα-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-<-1)1(/2n t n S X P得置信度为α-1的置信区间为：()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+-⋅-1,122n t n SX n t n SX αα将186=x ，12=s ，25=n 代入得置信度为90%的置信区间为()191.190,809.181． （2）均值μ未知时，)1()1(2222--=n S n χσχ～于是 2σ的置信度为α-1置信区间为： ()()()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11,11212222n S n n S n ααχχσ的置信度为α-1置信区间为：()()()()⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----11,112212222n S n n S n ααχχ 将12=s ，25=n 代入得：()798.15,742.9．3. 2003年在某地区分行业调查职工平均工资情况：已知体育、卫生、社会福利事业职工工资X （单位：元）)218,(~21μN ；文教、艺术、广播事业职工工资Y (单位：元))227,(~22μN ，从总体X 中调查25人，平均工资1286元，从总体Y 中调查30人，平均工资1272元，求这两大类行业职工平均工资之差的99%的置信区间．解：当21σ，22σ已知时，)1,0()(22212121N n n Y X U ～σσμμ+---=则工资之差的99%的置信区间为：()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+-+⋅--22212122221212,n n zY X n n z Y X σσσσαα将1286=X ，1272=Y ，221218=σ，222227=σ，251=n ，302=n 代入得()395.167,395.139-.4. 用两台机床加工同一种零件，分别从它们加工的零件中抽取6个和9个测其长度（单位：cm ）,算得样本方差分别为 245.021=s ，357.022=s ．设两台机床加工零件的长度都服从正态分布，试求两个总体方差之比2221σσ的置信区间（取置信度为0.95）． 解：两个正态总体方差比2221σσ的α-1置信区间为：()()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅--⋅---2221212122212121,11,1,11S S n n F S S n n F αα 由95.01=-α，025.02=α，975.021=-α，查F 分布表得 82.4)8,5(025.0=F ，76.61)5,8(1)8,5(025.0975.0==F F .并将61=n ，92=n ，245.021=s ，357.022=s 代入得方差比2221σσ的置信度为0.95的置信区间为：()6392.4,1424.0.综合练习题一、填空题1.在天平上重复称量一重为a 克的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布)2.0,(2a N ，若以n X 表示n 次称量结果的算术平均值，则为使,95.0}1.0{≥<-a X P n n 的最小值应不小于自然数16≥n ．2.设由来自正态总体~(,0.81)X N μ的一个容量为9的简单随机样本,计算得平均值为5，则未知参数μ的置信水平为0.95的置信区间为（4.412，5.588）．3.设总体~(,)X B N p ，N 已知，(12,,,n X X X )是来自X 的样本，则2p 的最大似然估计量为22⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∧N X P ． 4.总体~X 2(,)N μσ,若μ是已知常数，则2σ的置信度为1α-的置信区间的长度L的数学期望为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--)(1)(1222212n n n ααχχσ．5.总体X 服从(,1)θθ+上的均匀分布，(12,,,n X X X )是来自X 的样本，则θ的最大似然估计量为),1(ˆ)1()(X X n -∈θ．二、选择题1.设321X ,X ,X 是来自总体),(~2σμN X 的一个样本，下面给出的四个统计量都是总体均值μ 的无偏估计量，则它们中最有效的统计量为（ C ）．（A ） 11X =∧μ ； （B ）3212613121X X X ++=∧μ； （C ） ∑=∧==31331i i X X μ ； （D ） 3145352X X +=∧μ.2．设总体X 的方差为2σ，(12,,,n X X X )是来自X 的样本，2121)(11,1-==---==∑∑X X n S X n X n i i n i i ，则（ C ）． （A ）S 是σ 的无偏估计量； (B) S 是σ 的最大似然估计量； （C) S 是σ 的相合估计量； (D) S 与-X 独立．3．总体X ～2(,)N μσ，μ为已知，(12,,,n X X X )是来自X 的样本，则2σ的有效估计量为（ B ）.（A ）22ˆ()X σμ=- ； (B) 2211ˆ()ni i X n σμ==-∑； （C) 2211ˆ()1n i i X X n σ==--∑； (D) 2211ˆ()n i i X X n σ==-∑． 4.设θ∧是参数24b ac θ-的无偏估计量0()D θ<<∞,则下列结论必定成立的是( B ).(A) 22ˆθθ是 的无偏估计量 ； (B) 22ˆθθ是的矩估计量；(C) 22ˆθθ是的有偏估计量； (D) 22ˆθθ是的一致估计量． 5．总体X ～2(,)N μσ，(12,,,n X X X )是来自X 的样本，为使1ˆnii A X X θ==-∑是σ的无偏估计量，则A 的值应为（ D ）.(A)n1 ； (B)n 1； (C) 11-n ； (D) 2(1)n n π-.三、计算题1.设n X X ,,1 是取自总体X 的一个样本，X 的密度函数为：()()⎩⎨⎧<<+=其它；,0,10,1x x x f θθ 其中θ未知，0>θ，求θ的矩估计和最大似然估计.解：⑴ θ的矩估计因为 21)1(),()(01++=+==⎰⎰++∞∞-θθθθθθdx x dx x f x X E 则()X X E =++=∧∧∧21θθ，即θ的矩估计量XX --=∧112θ⑵ θ的最大似然估计 似然函数是()()⎪⎩⎪⎨⎧<<⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=∏=其它；,0,10,11i n i i n x x L θθθ ,3,2,1=i …n . 当10<<i x 时，恒有0)(>θL ，故∑=++=ni i x n L 1ln )1ln(ln θθ对θ求导得似然方程： 0ln 1ln 1=++=∑=ni i x nd L d θθ求解得θ的最大似然估计量为： ∑=∧--=ni ixn1ln 1θ.2. 设总体X 具有分布律：X 1 2 3 P 2θ 2)1(θθ- 2)1(θ-其中θ)10(<<θ为未知参数．若1，2，1，3，1是X 的一个样本值，试求θ的矩估计值和最大似然估计值．解：⑴θ的矩估计因为 ()()()θθθθθ2313122122-=-⨯+-⨯+⨯=X E ，则()X X E =-=∧∧θ23，即θ的矩估计量为：23X-=∧矩θ.又 58)13121(51=++++⨯=x ， 故θ的矩估计值为：7.0107==∧矩θ. ⑵ θ的最大似然估计似然函数为 ()()()[]()()321,)(35151=======∏∏==X P X P X P x XP x p L i i i iiθθ()()()()3723212112θθθθθθ-=-⨯-⨯=，)1ln(3ln 72ln )(ln θθθ-++=L ， 对θ求导得似然方程：0137)(ln =--=θθθθd L d求解得θ的最大似然估计值为： 7.0107max ==∧θ 3. 设总体X 的密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它；,0,10,63x x xx f θθn X X X ,,,21 是取自X的简单随机样本．（1）求θ的矩估计量∧θ；（2）求∧θ的方差)(∧θD ；（3）讨论∧θ的无偏性.解：（1）因为 ()26)()(03θθθθ=-==⎰⎰+∞∞-dx x xdx x f x X E则()X X E =∧即 X =∧2θ.所以θ的矩估计量为：X 2=∧θ．（2）由于 ()232221036)()(θθθθ=-==⎰⎰∞+∞-dx x x dx x f x X E ，[]2222220141103)()()(θθθ=-=-=X E X E X D ， 所以()222121512014414)(4)2()(θθθn n n X D nX n D X D X D D ni i n i i =⨯⨯==⎪⎭⎫ ⎝⎛===∑∑==∧.（3）因为 θθθ=⨯====∧22)(2)(2)2()(X E X E X E E ，所以 X 2=∧θ是θ的无偏估计量．4. 对方差2σ为已知的正态总体来说，问需抽样容量n 为多少的样本，方能使总体均值μ的置信度为)1(α-的置信区间长度不大于L ？解：当方差2σ为已知时，样本容量为n 的总体均值μ的置信度为)1(α-置信区间为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⋅-22,αασσz n X z n X则置信区间长度为22ασz n ⋅.依题意 L z n ≤⋅22ασ，求得22224ασz L n ⋅≥.5. 设总体),(~2σμN X ， n X X X ,...,,21为来自X 的一个样本，μ和2σ为未知参数.若以L 表示μ的置信区间的长度，求)(2L E ．解：方差2σ为未知时，样本容量为n 、置信度为()α-1的总体均值μ的置信区间为：()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+-⋅-1,122n t n SX n t n SX αα则μ的置信区间的长度：)1(22-=n t nS L α.由于2S 是2σ的无偏估计，于是()()()()2222222221414)1(2σααα⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=n t n S E n t n n t n S E L E ． 6. 设从均值为μ，方差为2σ＞0的总体中，分别抽取容量为1n ，2n 的两个独立样本，11 1X 和2X 分别是两样本的均值．试证：对于任意常数()1,1,X a Y b a b a ==++2X b 都是μ的无偏估计；并确定常数b a ,，使()Y D 达到最小．解：因为1X ，2X 都是样本均值，则μ=)(1X E ，μ=)(2X E ,且1=+b a ，则 μμμμ=+=+=+=+=)()()()()(2121b a b a X bE X aE X b X a E Y E 即21X b X a Y +=是μ的无偏估计． 由于1X 与2X 相互独立，且 121)(n X D σ=，222)(n X D σ=，则=+=+=2221222212)()()(n b n a X D b X D a Y D σσ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+22122n b n a σ， 设 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22122),(n b n a b a f σ依题意，使()Y D 达到最小为求()b a f ,在条件1=+b a 下的极值，由拉格朗日乘数法，设 ()1),(2212-+++=b a n b n a b a L λ 令 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=+=∂∂=+=∂∂01020221b a L n b b L n a a L λλλ 求解得： 212n n +-=λ，211n n n a +=，212n n n b += 故 当211n n n a +=，212n n n b +=时，)(Y D 达到最小值，其最小值为212)(n n Y D +=σ．。