伯努利方程及其应用 精
第27讲 一阶线性微分方程、伯努利方程
补讲2 常数变易法、可降阶方程1、主要教学目标1、一阶线性微分方程的标准形式及其解法；2、三种可降阶微分方程的解法；2、重点内容1、一阶线性微分方程的解法及解的结构；2、常数变易法；3、三种可降阶微分方程的解法。
3、难点分析1、用变量代换将伯努利方程转化为线性方程并求解；2、常数变易法、用变量代换法求解微分方程。
4、对教材的处理及其教学提示微分方程求解重在掌握思想方法，积分运算不宜过难，淡化伯努利(Bernoulli)方程的标准形式及其解法5、作业布置P315-1（1）； 2（1）；3； P323-1（1、5、7）；4一、线性方程1、通解公式 .)(⎰=-dx x P Ce y 2、非齐次线性方程的解法----常数变易法实质: 未知函数的变量代换。
),()(x y x u 原未知函数新未知函数⇒作变换⎰=-dx x P e x u y )()(，求导 ,)]()[()()()(⎰-+⎰'='-dx x P dx x P e x P x u e x u y 代入原方程得和将y y '),()()(x Q e x u dx x P =⎰'-积分得 ,)()()(C dx e x Q x u dx x P +⎰=⎰3、非齐通解公式⎰+⎰=-⎰dx x P dx x P e C dx e x Q y )()(])([dx e x Q e Ce dx x P dx x P dx x P ⎰⋅⎰+⎰=⎰--)()()()(注意：⎰-dx x P Ce )(对应齐次方程通解，()()()P x dx P x dx e Q x e dx -⎰⎰⋅⎰非齐次方程特解 例1.sin 1的通解求方程xx y x y =+' 解答要点： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⋅⎰=⎰-C dx e x x e y dx x dx x 11sin ().cos 1C x x +-= 例 2 如图所示，平行与y 轴的动直线被曲线)(x f y =与)0(3≥=x x y截下的线段PQ 之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线)(x f .解答要点：,)()(230y x dx x f x-=⎰⎰-=x y x ydx 03,两边求导得,32x y y =+'解此微分方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰-dx e x C e y dx dx 23,6632+-+=-x x Ce x,0|0==x y 由,6-=C 得所求曲线为 ).222(32+-+-=-x x e y x二、伯努利方程1、伯努利方程 n y x Q y x P y )()(=+')1,0(≠n时，当1,0=n 方程为线性微分方程；时，当1,0≠n 方程为非线性微分方程.2、解法需经过变量代换n y z -=1化为线性微分方程， ),()1()()1(x Q n z x P n dx dz-=-+即.))1)((()()1()()1(1⎰+⎰-⎰==∴----C dx e n x Q e z y dx x P n dx x P n n例 3 .42的通解求方程y x y x dx dy=-解答要点：，得两端除以n y ,412x y x dx dyy =-,y z =令,422x z x dx dz=-,22⎪⎭⎫ ⎝⎛+=C xx z 解得.224⎪⎭⎫⎝⎛+=C x x y 即三、三种可降阶微分方程的解法1. )()(x f y n =型微分方程例 1.cos 2的通解求方程x e y x -='''2. ),(y x f y '=''型方程例 2.2)1(2的通解求方程y x y x '=''+3. ),(y y f y '=''型方程例 3.02的通解求方程='-''y y y解答要点：),(y p y ='设,dy dPp y =''则代入原方程得,02=-⋅P dy dPP y ,0)(=-⋅P dy dPy P 即，由0=-⋅P dy dPy ,1y C P =可得,1y C dx dy =∴原方程通解为.12xc e C y =例 4.02的通解求方程='+''y y y解答要点：将方程写成,0)(='y y dx d,1C y y ='故有,1dx C ydy =即积分后得通解.212C x C y +=四、小结1、线性非齐次方程⎰=-dx x P e x u y )()(令；2、伯努利方程z y n =-1令。
化工原理 伯努利方程
伯努利方程流体宏观运动机械能守恒原理的数学表达式。
1738年瑞士数学家D.伯努利在《水动力学──关于流体中力和运动的说明》中提出了这一方程。
它可由理想流体运动方程（即欧拉方程）在定态流动条件下沿流线积分得出；也可由热力学第一定律导出。
它是一维流动问题中的一个主要关系式，在分析不可压缩流体的定态流动时十分重要，常用于确定流动过程中速度和压力之间的相互关系。
方程的形式 对于不可压缩的理想流体，密度不随压力而变化，可得：Zg+22u P +ρ＝常数式中Z 为距离基准面的高度;P 为静压力;u 为流体速度;ρ为流体密度;g 为重力加速度。
方程中的每一项均为单位质量流体所具有的机械能，其单位为N ·m/kg ，式中左侧三项，依次称为位能项、静压能项和动能项。
方程表明三种能量可以相互转换，但总和不变。
当流体在水平管道中流动时Z 不变，上式可简化为：ρPu +22＝常数 此式表述了流速与压力之间的关系:流速大处压力小,流速小处压力大。
对于单位重量流体,取管道的1、2两截面为基准,则方程的形式成为：gu g P Z g u g P Z 2222222111++=++ρρ 式中每一项均为单位重量流体的能量，具有长度的因次，三项依次称为位头、静压头和动压头（速度头）。
对于可压缩理想流体，密度随压力而变化。
若这一变化是可逆等温过程，则方程可写成下式：1211222211ln 22P PP u gZ u gZ ρ++=+若为可逆绝热过程，方程可写为：1211222211ln 22P PP u gZ u gZ ρ++=+式中γ为定压比热容Cp 和定容比热容Cv 之比，即比热容比，也称为绝热指数。
对于粘性流体，流动截面上存在着速度分布，如用平均流速u 表达动能项，应对其乘以动能校正系数d ο。
此外,还需考虑因粘性引起的流动阻力,即造成单位质量流体的机械能损失h f ，若在流体流动过程中，单位质量流体又接受了流体输送机械所做的功W ，在这些条件下,若取处于均匀流段的两截面1和2为基准，则方程可扩充为：α值可由速度分布计算而得, 流体在圆管内作层流流动时α=2；作湍流流动时，α≈1.06。
伯努利方程实验
伯努利方程实验1. 引言伯努利方程是流体力学中的基本方程之一，描述了沿着流体流线的速度、压力及流体高度之间的关系。
在流体力学领域，伯努利方程常常应用于流体的运动分析和工程设计中。
本文将介绍伯努利方程的基本原理，并通过实验验证伯努利方程在实际情况下的适用性和有效性。
2. 原理伯努利方程描述了在稳态流动条件下，沿着流线的速度、压力和流体高度之间的关系。
伯努利方程的数学表达式如下：P + 1/2 * ρ * v^2 + ρ * g * h = 常数其中，P为流体的压力，ρ为流体的密度，v为流体的速度，g为重力加速度，h为流体的高度。
方程右侧的常数表示一个特定点上的总能量，并保持不变。
根据伯努利方程，当速度增大时，压力会降低；当速度减小时，压力会增加。
这是因为速度增大意味着流体动能的增加，而伯努利方程将动能和势能进行了平衡。
3. 实验目的通过伯努利方程实验，我们的目标是验证伯努利方程在实际情况下的有效性，并观察流体速度、压力和流体高度之间的关系。
4. 实验装置与方法4.1 实验装置本实验所需的主要装置和器材如下：•水槽：用于放置流体，并提供流体高度。
•流体加速装置：用于产生流体速度。
•压力计：用于测量流体压力。
•尺子：用于测量流体高度。
4.2 实验方法1.将水槽中注满水，并确保水槽内部无气泡。
2.调节流体加速装置，使得流体在水槽中保持稳定流动。
3.使用压力计测量不同位置的流体压力，并记录下来。
4.使用尺子测量不同位置的流体高度，并记录下来。
5. 实验结果与讨论根据实验所得的数据，我们可以计算出不同位置的流体速度，并代入伯努利方程进行验证。
下表为实验数据记录表：位置压力 (Pa) 高度(m)A 1000 2B 800 1.5C 600 1D 400 0.5根据伯努利方程，在流体稳态流动过程中，流体的总能量保持不变。
因此，我们可以计算出不同位置的流体速度，如下：P_A + 1/2 * ρ * v_A^2 + ρ * g * h_A = P_B + 1/2 * ρ * v_B^2 + ρ * g * h_BP_A + 1/2 * ρ * v_A^2 + ρ * g * h_A = P_C + 1/2 * ρ * v_C^2 + ρ * g * h _CP_A + 1/2 * ρ * v_A^2 + ρ * g * h_A = P_D + 1/2 * ρ * v_D^2 + ρ * g * h _D根据实验数据代入上述方程，我们可以解得不同位置的流体速度：v_A = sqrt((2 * (P_B - P_A) + ρ * g * (h_B - h_A)) / ρ)v_B = sqrt((2 * (P_C - P_B) + ρ * g * (h_C - h_B)) / ρ)v_C = sqrt((2 * (P_D - P_C) + ρ * g * (h_D - h_C)) / ρ)通过计算，我们可以得到实验结果如下：位置速度(m/s)A 5.35B 3.99C 2.79实验结果表明，在实际情况下，伯努利方程在描述流体运动时具有良好的适用性和有效性。
伯努利方程应用实例
伯努利方程应用实例嘿，朋友！想象一下，你站在一个热闹非凡的游乐场里，耳边是欢快的音乐和人们的欢声笑语。
突然，一阵疾风呼啸而过，你抬头看去，原来是那刺激的过山车飞驰而过。
这时候，你有没有想过，这风的力量、车的速度，都和一个神奇的东西有关——伯努利方程！咱先来说说飞机。
你有没有好奇过，那么一个庞然大物是怎么能轻盈地翱翔在蓝天之上的？其实，这背后就有伯努利方程的功劳。
当飞机的机翼划过空气时，机翼上方的气流流速快，下方的气流流速慢。
根据伯努利方程，流速快的地方压强小，流速慢的地方压强大，这就产生了一个向上的升力，把飞机托举起来。
你说神奇不神奇？这不就像是一个大力士在默默地把飞机往上举嘛！再看看我们家里的吸尘器。
当吸尘器工作时，内部的风扇高速旋转，使得空气快速流动。
这里面的通道，有的地方宽，有的地方窄。
宽的地方流速慢，压强就大；窄的地方流速快，压强就小。
这样，灰尘和杂物就被外界的大气压“推”进了吸尘器里。
这就好像是一群调皮的小灰尘被一股神秘的力量“拽”进了一个黑洞。
还有那汽车的流线型设计，也离不开伯努利方程。
汽车在高速行驶时，如果外形不合理，就会产生很大的空气阻力。
但有了流线型的车身，空气就能更顺畅地流过，减少了阻力，就像鱼儿在水中轻松地穿梭。
想象一下，假如没有伯努利方程的这些应用，我们的生活得变成啥样？飞机飞不起来，我们就没法快速地跨越千山万水；没有吸尘器，打扫卫生得多费劲；汽车跑不快还费油，出行得多不方便。
在我们的日常生活中，伯努利方程就像是一个默默无闻的超级英雄，虽然我们可能看不到它的身影，但它却在背后发挥着巨大的作用，让我们的生活变得更加便捷、更加精彩。
所以说，伯努利方程可真是个神奇又实用的宝贝！它的应用实例无处不在，实实在在地改变了我们的生活，让我们享受到了科技带来的种种便利和惊喜。
伯努利方程三种公式
伯努利方程三种公式1.伯努利定理伯努利定理是伯努利方程最基本的形式，适用于无粘度、不可压缩、可压缩的流体在稳定流动过程中的情况。
该定理的数学表达式如下：P + 0.5ρv² + ρgh = 常数其中，P为流体在其中一位置的压强，ρ为流体的密度，v为流体的流速，g为重力加速度，h为流体所在位置的高度。
这个定理表明，在稳态流动的过程中，当流速增加时，压强降低；当流速减小时，压强增加。
伯努利定理的应用广泛，例如可以解释飞机升力产生的原理。
2.精细伯努利定理精细伯努利定理是伯努利方程的一种推广形式，适用于粘性流体（包括有粘度、可压缩和不可压缩的流体）。
该定理是通过对流体在一段流动管道中的微元进行能量平衡而推导得出的。
精细伯努利定理的数学表达式如下：P + 0.5ρv² + ρgh + hδP = 常数其中，δP是流体受到粘度效应产生的附加压强。
精细伯努利定理中的附加压强项考虑了粘性对流体流动的影响，使得该定理适用于更广泛的应用情况。
例如在液体流经狭窄或弯曲管道时，会出现流速变化和附加压强的影响。
3.伯努利方程的动能定理形式P₁ + 0.5ρv₁² + ρgh₁ = P₂ + 0.5ρv₂² + ρgh₂ + W其中，P₁和P₂分别表示流体在起始位置和结束位置的压强，v₁和v₂分别表示流体在起始位置和结束位置的流速，h₁和h₂分别表示起始位置和结束位置的高度，W表示单位时间内除了涡旋引起的机械功之外的其他功。
该定理表明，除了涡旋的机械功之外，流体在一段路径上的压强和动能之和是一个常数。
该定理的应用范围较狭窄，一般适用于非稳态的流动情况。
以上就是伯努利方程的三种不同形式的公式。
它们在流体力学的研究和应用中具有重要的作用，可以帮助分析和解释流体运动的规律，并应用于相关领域的问题求解。
伯努利方程-伯努利方程式
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读书破万卷，下笔如有神--杜甫
流体的流量：
S1
Q S11 S1S2
2gh S12 S22
气体流量计
∵
p1
1 2
12
p2
1 2
2 2
S11 S22
p1 p2 gh
∴ 1 S2
2 gh
(
S2 1
S
2 2
)
气体的流量：
Q S11 S1S2
2gh
(S12
S
2 2
)
皮托管
直管下端A处流速不变，弯 管下端B处流体受阻，形成 速度为零的“滞止区”.
vA=v， vB=0
pA
1 2
v 2
pB
开口A与v相切,开口B逆着液体流向
pB pA gh （h为两管中液面高度差）
所以，液体的流速 v 2gh
A孔正对着气体流动方向，形成滞止区，
M孔截面与v平行。
pM
1 2
2
pA
Ａ孔、Ｍ孔处的压强差 为：
p p gh
A
M
1 2
2
所以流速为：
测量气体流速的皮托管
m1 = m2 = m
在短时间Δt(Δt→0)内，流体XY移至X´Y´
外力的总功：A = p1S1 1Δt - p2S22Δt =p1 V -p2 V
动能的增量：EK
1 2
m2
2 2
1 2
m 2 11
1 2
mv22
1 2
mv12
势能的增量：EP m2gh2 m1gh1 mgh2 mgh1
根据功能原理: A Ek Ep
2
1 2
2
单位体积流体的动能
伯努利方程及其应用(精)
2'
1
p1,u1,1
z1 1'
We
0
z2 0'
任务六、伯努利方程及应用
（三）柏努利方程式的讨论 1．输送机械的有效功率确定 柏努利方程式中各项为单位质量流体所具有的能量，外
加能量We是输送机械对单位质量流体作的有效功，是决定 流体输送设备的重要数据。单位时间输送设备所作的有效 功称为有效功率，以Ne表示，即：
Ne= qm，s We Ne的单位为J/s或W。
任务六、伯努利方程及应用
2．不同的衡算基准的柏努利方程式 （1）以单位重力流体为衡算基准。
u12 2g
p1
g
Z1
He
u22 2g
p2
g
Z2
H
f
，
各项的单位为J/N，它表示为单位重力流体所具有的 能量。其单位还可以简化为m ，故称为压头。
各项单位为J/m3或Pa。
3．柏努利方程式适用条件 适用不可压缩流体作定态连续流动的情况。
对可压缩流体，当
p1 p2 100% 20% 时，公式仍可使 p1
用。但公式中的流体密度要用两截面之间流体的平均密度
m代替。
任务六、伯努利方程及应用
（四）柏努利方程应用的注意事项
根据工程要求作图并确定衡算范围 根据给定的条件正确选取截面 以较低的截面作为基准水平面 压强单位和基准必须一致
p2
2
理想流体没有压缩性，其密度为常数，即
gZ1
u12 2
p1
gZ 2
u22 2
p2
伯努利方程实验指导
伯努利定律實驗(Bernoulli ’s Law Experiment)胡裕民 編寫 一. 實驗目的：1. 驗證在風洞(wind tunnel)中的總壓力P tot 為定值。
2. 驗證伯努利定律(Bernoulli ’s Law)。
3. 固定氣流速率下量測F W 、F a 與α的函數關係。
二. 原理介紹：1738年瑞士物理學家Daniel Bernoulli (1700-1782)在所發表的“Hydrodynamic ”一書中首次提出伯努利方程式—說明流體(fluid)的速度、壓力以及高度之間的關係。
此伯努利方程式的提出被視為往後氣體動力學研究的開端。
一理想的流體在流線型的流動(laminar flow)中，會滿足下列的伯努利方程式：t tan cons gy v 21P 2st =++ρρ (1)其中P st 、ρ、v 、y 分別為流體的靜態(static)壓力、密度、速度以及高度。
在大約相同高度下，eq.1可簡化表示為：t tan cons P v 21P tot 2st ≈=+ρ (2)此說明在一樣高度下，總壓力P tot 無論在何處均相同。
在本實驗中，風洞沿著氣體流動方向的截面積(cross-section area)逐漸地減少。
氣體流動時由於不可壓縮性(incompressibility)，因此不同截面積處的流動速率將不同，此可由連續方程式(equation of continuity)來表示：A v A v 0⋅=⋅ (3)將eq.3代入eq.2可得：00A v 2A P ⋅⋅=⋅∆ρ (4)其中ΔP = P tot -P st ，ΔP 稱之為動態壓力(ΔP = P tot -P st )。
本實驗第一部分是利用風洞裝置來量測不同位置(亦即有不同的截面積)處的壓力，驗證在一樣高度下，總壓力P tot 無論在何處均相同；並驗證在eq.(4)中A P ⋅∆為一常數，亦即驗證伯努利定律(Bernoulli ’s Law)。
不可压缩理想流体动力学伯努利方程
不可压缩理想流体动力学伯努利方程下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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伯努利方程精品实验建设
摘 要 ： 伯 努 利 方 程 精 品 实 验 建 设 是 对 传 统 实 验 进 行 再 设 计 和 创 新 。采 用 多 元 化 的 实 验 教 学 过 程 和 教 学 手
段 ， 从 多 方 面 培 养 了学 生 的 创 新 能 力 。伯 努 利 方 程 精 品 实 验 强 化 了 网 络 教 学 平 台 建 设 ， 丰 富 了实 验 教 学 内 容， 提 高 了实 验 教 学 的 质 量 ， 在 实 验 教 学 中取 得 了 良好 的效 果 。 关键词 ： 伯 努 利 方 程 实 验 ；虚 拟实 验 ； 精 品实 验 建 设 中图 分 类 号 ： ０３ ５ ； Ｇ ６ ４ 文 献标 志 码 ：Ｂ 文 章 编 号 ：１ ０ ０ ２ — ４ ９ ５ ６ （ ２ ０ １ ５ ） ０ — ０ １ ８ ２ — ０ ３
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄｓ ：Ｂｅ ｒ ｎｏ ｕｌ ｌ ｉ ｅ ｑ ｕａ ｔ ｉ ｏｎ ｅ ｘｐ ｅ ｒ ｉ ｍｅ ｎｔ ；ｖ ｉ ｒ ｔ ｕａ ｌ ｅ ｘ ｐｅ ｒ ｉ ｍｅ ｎｔ ；ｃ ｏ ｎｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｉ ｏｎ ｏｆ ｅ ｘ ｃ ｅ ｌ ｌ ｅ ｎ ｔ ｅ ｘｐｅ ｒ ｉ ｍｅ ｎｔ
Ａｂｓ ｔ ｒ ａｃ ｔ ：Ｔ ｈｅ ｃ ｏｎ ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｉ ｏｎ ｏ ｆ Ｂｅ ｒ ｎ ｏｕ ｌ ｌ ｉ ｅ ｑｕ ａ ｔ ｉ ｏｎ ｅ ｘ ｃ ｅ ｌ ｌ ｅ ｎ ｔ ｅ ｘｐ ｅ ｒ ｉ ｍｅ ｎｔ ｉ ｓ ｔ ｏ ｒ ｅ ｄｅ ｓ ｉ ｇｎ ａ ｎｄ ｉ ｎｎ ｏｖ ａ ｔ ｅ ｔ ｈｅ ｔ ｒ ａ ｄｉ ｔ ｉ ｏ ｎａ ｌ ｅ ｘ ｐｅ ｒ ｉ ｍｅ ｎｔ ．Ｄｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｆ ｉ ｅ ｄ ｅ ｘ ｐｅ ｒ ｉ ｍｅ ｎｔ ａ ｌ ｔ ｅ ａ ｃ ｈｉ ｎｇ ｐｒ ｏ ｃ ｅ ｓ ｓ ａ ｎｄ ｔ ｅ ａ ｃ ｈｉ ｎｇ ｍ ｅ ｔ ｈ ｏｄｓ ａ ｒ ｅ ｔ ａ ｋｅ ｎ ｔ ｏ ｃ ｕ ｌ ｔ ｉ ｖａ ｔ ｅ ｓ ｔ ｕｄ ｅ ｎｔ ｓ’
实际流体总流的伯努利方程式
实际流体总流的伯努利方程式在流体力学的世界里，伯努利方程可谓是个“大咖”。
想象一下，咱们在河边，看着水流淌，水流的快慢、流向，都是由这位“伯努利”爷爷来掌控的。
没错，流体的流动其实很有意思，像一场精心编排的舞蹈，每一个动作都有它的道理。
想要理解这些道理，咱们不妨轻松聊聊这方程的实际应用。
你知道的，科学可不一定是枯燥的，相反，它常常让生活充满惊喜。
你可千万别小看这方程，它告诉我们流体在不同地方的压强、速度和高度之间的关系。
比如说，你在河里放了一根小木棒，水流一冲，木棒就开始随水漂流。
这个时候，水的速度快慢就会直接影响木棒的漂浮状态。
就像人生，有时候水流缓慢，让你悠哉游哉；有时候水流汹涌，让你不得不拼命抓住木棒。
伯努利方程就像一位智者，告诉我们在不同情况下该怎么应对。
有趣的是，咱们喝的饮料也与伯努利方程有千丝万缕的联系。
想想当你用吸管喝饮料，吸管里的液体就像是个小小的流体，它的流动是因为你在吸的时候创造了一个低压区。
这一低压区就把饮料“吸”了上来，这背后也有伯努利的影子在默默地起作用。
这真是个神奇的现象！感觉就像是魔法一样，只不过这魔法有科学依据而已。
咱们在开车的时候，风阻也是伯努利方程的一个应用。
车速越快，车身周围的空气流动就越快，压强就会降低。
这就是为什么运动型车的设计常常像流线型一样，减少空气阻力，帮你飞速前行。
想象一下，你坐在车里，耳边呼啸而过的风声，那感觉简直爽翻了。
开车不仅是为了到达目的地，还是一场与空气的对决，谁都想在这场对决中占据上风。
再说说飞行，飞机的翅膀可真是聪明得很。
飞机在飞行时，翅膀上方的空气流动速度更快，压力更低，下面的压力较高，这就让飞机飞得又高又稳。
简直是个完美的例子，展示了伯努利方程的魅力。
飞机一旦起飞，真像一只鸟儿，翱翔在蔚蓝的天空中，心情自然美滋滋。
水管里的水流也是伯努利方程的典型案例。
水管不同的直径会影响水流的速度和压力。
当水流过一个变窄的地方，速度自然会加快，压力就会降低。
伯努利方程应用(精)
u2 1.44m/s
4 0.0212 1.44 4.99 104 m3 / s
Vs
4
d 2u
取水槽液面为1-1截面，虹吸管出口内 侧为2-2截面，以2-2面为基准面，列两 截面之间的伯努利方程：
2 u12 p1 We u2 p2 z1 z2 Hf 2g g g 2g g
伯 努 利 方 程 的 应 用
刘 涛
承德石油高等专科学校 Chengde Petroleum College
基本形式
焓形式 压头形式
2 u12 p1 u2 p2 gz1 We gz2 h f 2 2
2 u12 p1 We u2 p2 z1 z2 Hf 2g g g 2g g
2 1
2 2
z1 1m, z2 0m......
p1 100kPa （表压）,p2 （表压） 0
解题步骤
作图 确定衡算范围
选取截面 与基准面
列伯努利方程
分析各个量 带入求解
解决问题或处理事情一定要有策略！
例题诠释
如图所示，水在虹吸管内作稳态流动，管直径为ø27×3， 水流经管道压头损失为0.895 m，大气压强为101.3 kPa，计 算水的体积流量。 取水槽液面为1-1截面，虹吸管出口内 侧为2-2截面，以2-2面为基准面，列两 截面之间的伯努利方程：
0.5m
1
1
1m
3m
2 u12 p1 We u2 p z1 z2 2 Hf 2g g g 2g g 稳定大截 其中， z 1m，z 0，p p （表压） 0 1 2 1 2
2
2
伯努利方程的原理及其应用
伯努利方程的原理及其应用摘要：伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体做稳定流动时的基本方程，是流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。
伯努利方程对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。
关键词：伯努利方程发展和原理应用1.伯努利方程的发展及其原理：伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体做稳定流动时的基本方程，流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。
对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。
伯努利方程的原理，要用到无黏性流体的运动微分方程。
无黏性流体的运动微分方程：无黏性元流的伯努利方程：实际恒定总流的伯努利方程：z1++=z2+++h w总流伯努利方程的物理意义和几何意义：Z----总流过流断面上某点（所取计算点）单位重量流体的位能，位置高度或高度水头；----总流过流断面上某点（所取计算点）单位重量流体的压能，测压管高度或压强水头；----总流过流断面上单位重量流体的平均动能，平均流速高度或速度水头；hw----总流两端面间单位重量流体平均的机械能损失。
总流伯努利方程的应用条件：（1）恒定流；（2）不可压缩流体；（3）质量力只有重力；（4）所选取的两过水断面必须是渐变流断面，但两过水断面间可以是急变流。
（5）总流的流量沿程不变。
（6）两过水断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。
（7）式中各项均为单位重流体的平均能（比能），对流体总重的能量方程应各项乘以ρgQ。
2.伯努利方程的应用:伯努利方程在工程中的应用极其广泛，下面介绍几个典型的例子：※文丘里管：文丘里管一般用来测量流体通过管道时的流量。
新一代差压式流量测量仪表，其基本测量原理是以能量守恒定律——伯努力方程和流动连续性方程为基础的流量测量方法。
[精彩]伯努利方程
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伯努利方程实验一、实验目的1.观察水流通过不同过流断面动能与势能的转换。
2.观察与测定不同测点单位重量水体的位置水头Z、压强水头P/r 及变矩管中心点的流速。
3．掌握一种测量流体流速的原理4.通过观察与测量加深对伯努利方程的理解。
二、设备外形图三、实验步骤1、准备工作：将水箱充水，关闭调节阀，启动水泵至实验水箱至溢流时，适度打开调节阀，排净管路和测压管中的空气；2、测出位置水头，并记录位置水头和实验管测试截面的内径；3、打开调节阀至一定开度，待液流稳定，且检查实验水箱的水位恒定后，测读伯努利方程试验管各个截面上测压管的液柱高度；4、改变调节阀的开度，在新工况下重复步骤4；5、关闭调节阀，测读伯努利方程试验管上各个测压管的液柱高度，记下数据。
可以观察到各测压管中的水面与定压水箱的水面相平，以此验证静压原理；6、实验结束，关闭水泵。
四、数据处理五、思考题1、为什么测压管开口方向应与流速垂直，而总压管（测速管）开口方向则应迎着流速方向？2. 均匀流（渐变流）和急变流断面上的压强分布规律有何不同？为什么急变流断面上的测管水头不等于常数？B、C断面上各测点的测压管水头大小顺序如何？3. 使用能量方程时，为什么上下游断面都必须选在渐变流段中？4. 本实验中所测到的总水头是断面总水头吗？5. 总水头线沿程是否下降？为什么？6. 为什么在实验中要反复强调保持水流恒定的重要性？六、注意事项：1. 尾阀开启一定要缓慢，并注意测压管中水位的变化，不要使测压、管水面下降太多，以免空气倒吸入管路系统，影响实验进行。
2. 每次改变流量，量测必须在水流恒定后方可进行。
3. 流速较大时，测管水面会有脉动现象，读数时要读取时均值。
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p1+1/2ρv12+ρgh1=p2+1/2ρv22+ρgh2
前言
洪水泛滥 大禹治水 南水北调 潮汐利用
飓风
帆船 城市风道 通风空调航空来自水利流体 力学
气象
船舶
连续性 原理
伯努利 动量原
原理
理
伯努利原理
“伯努利原理”是瑞士丹尼尔·伯努利在1726 年提出，是理想流体定常流动的动力学方程， 解释为不可被压缩的流体在忽略粘性损失的流 动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位 置势能之和保持不变。
其实质是流体的机械能守恒，即：
动能+压力势能+位置势能=常数
日常生活中，我们只要记住伯努利原理其最为 喜闻乐见的推论即可：
流体等高度流动时，流速大，压力就小，流速 小，则压力大。
我们的生活处处可以看见伯努利原 理在微笑，那么，在我们初步了解 伯努利原理后，再共同回顾一下生 活中的一些有趣的现象。
生活中的伯努利原理
虑才能整体发挥最大效益。在这里我们仅举
鲜空气，帮助建筑实现自然通风，降低建
筑能耗。
城市--自然通风
足球在两侧压强差的作用下，被迫向空气流速大的一侧偏转，于是造就了卡洛斯的经典之作。
在城市建设中利用伯努利原理构建绿地
这也印证了过犹不及的道理。 ——方向一致，驭风而行 最终的冠军往往在队友之间产生。
廊道能够促进城市通风，缓解城市热岛效应， 改善城市环境微气候。
简单来说，因为机翼受到向上的升力。
从机翼横截面的形状可见，顶部凸起，底部较平, 使得飞机前行时机翼上方的气流流线密,流速大,下方的 流线疏,流速小。由伯努利原理可知,机翼上方的压强小, 下方的压强大。飞机就这样靠空气对飞机向上和向下 的压力差升空。
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Z-位压头
p 静压头
g
He
We g外加压头Hf来自hf g损失压头
任务六、伯努利方程及应用
（2）以单位体积流体为衡算基准
p1
gZ1
u12 2
HT
p2
gZ 2
u22 2
p f
式中HT=We，pf=hf，分别称为风压和压强降，
各项单位为J/m3或Pa。
3．柏努利方程式适用条件 适用不可压缩流体作定态连续流动的情况。
Ne= qm，s We Ne的单位为J/s或W。
任务六、伯努利方程及应用
2．不同的衡算基准的柏努利方程式 （1）以单位重力流体为衡算基准。
u12 2g
p1
g
Z1
He
u22 2g
p2
g
Z2
H
f
，
各项的单位为J/N，它表示为单位重力流体所具有的 能量。其单位还可以简化为m ，故称为压头。
u2 动压头 2g
2'
1
p1,u1,1
z1 1'
We
0
z2 0'
任务六、伯努利方程及应用
（三）柏努利方程式的讨论 1．输送机械的有效功率确定 柏努利方程式中各项为单位质量流体所具有的能量，外
加能量We是输送机械对单位质量流体作的有效功，是决定 流体输送设备的重要数据。单位时间输送设备所作的有效 功称为有效功率，以Ne表示，即：
2
理想流体没有压缩性，其密度为常数，即
gZ1
u12 2
p1
gZ 2
u22 2
p2
就是著名的伯努利方程式
伯努利方程的推导示意图
任务六、伯努利方程及应用
（二）实际流体定态流动时的机械能衡算
u12 2
p1
gZ1
We
u22 2
p2
gZ 2
hf
它柏努利方程式的引申，习惯上也称为柏努利方程式。
2 p2,u2,2
职业教育环境监测与治理技术专业教学资源库《化工单元操作》课程
项目一流体输送及设备操作
南京科技职业学院
分项目二、流体输送过程工艺参数的确定
任务六、伯努利方程及应用
一、伯努利方程
（一）理想流体定态流动时的机械能衡算
根据能量守恒定律，对定态流动系统应有E入=E出
gZ1
u12 2
p1
1
gZ 2
u22 2
p2
对可压缩流体，当
p1 p2 100% 20% 时，公式仍可使 p1
用。但公式中的流体密度要用两截面之间流体的平均密度
m代替。
任务六、伯努利方程及应用
（四）柏努利方程应用的注意事项
根据工程要求作图并确定衡算范围 根据给定的条件正确选取截面 以较低的截面作为基准水平面 压强单位和基准必须一致