2020届高考数学(理)二轮复习专题强化训练：(十九)解析几何理+Word版含答案

专题强化训练(十九) 解析几何

1．[2019·长沙一模]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为1

3

，左、右焦点分别

为F 1，F 2，A 为椭圆C 上一点，AF 1与y 轴相交于B ，|AB |＝|F 2B |，|OB |＝4

3

(O 为坐标原点)．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，过A 1，A 2分别作x 轴的垂线l 1，l 2，椭圆C 的一条切线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)分别与l 1，l 2交于点M ，N ，求证：∠MF 1N ＝∠MF 2N .

解：(1)如图，连接AF 2，由题意得|AB |＝|F 2B |＝|F 1B |，

所以BO 为△F 1AF 2的中位线，又BO ⊥F 1F 2，

所以AF 2⊥F 1F 2，且|AF 2|＝2|BO |＝b 2a ＝8

3，

又e ＝c a ＝13

，a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝9，b 2

＝8，

故所求椭圆C 的方程为x 29＋y 2

8

＝1.

(2)由(1)可得，F 1(－1,0)，F 2(1,0)，l 1的方程为x ＝－3，l 2的方程为x ＝3.

由⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝－3，y ＝kx ＋m 得⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝－3，y ＝－3k ＋m ，由⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝3，

y ＝kx ＋m ，

得⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝3，y ＝3k ＋m ，所以M (－3，－3k ＋m )，N (3,3k ＋m )，

所以F 1M →＝(－2，－3k ＋m )，F 1N →

＝(4,3k ＋m )， 所以F 1M →·F 1N →＝－8＋m 2－9k 2

.

联立⎩⎪⎨⎪⎧

x 29＋y 2

8

＝1，y ＝kx ＋m

得(9k 2＋8)x 2＋18kmx ＋9m 2

－72＝0.

因为直线l 与椭圆C 相切，

所以Δ＝(18km )2

－4(9k 2

＋8)(9m 2

－72)＝0， 化简得m 2

＝9k 2

＋8.

所以F 1M →·F 1N →＝－8＋m 2－9k 2

＝0， 所以F 1M →⊥F 1N →

，故∠MF 1N ＝π2.

同理可得F 2M →⊥F 2N →

，∠MF 2N ＝π2.

故∠MF 1N ＝∠MF 2N .

2．[2019·合肥质检二]已知抛物线C 1：x 2

＝2py (p >0)和圆C 2：(x ＋1)2

＋y 2

＝2，倾斜角为45°的直线l 1过C 1的焦点，且l 1与C 2相切．动点M 在C 1的准线上，动点A 在C 1上，若C 1在A 点处的切线l 2交y 轴于点B ，设MN →＝MA →＋MB →

，求证：点N 在定直线上，并求该定直线的方程．

解：解法一：依题意设M (m ，－3)，

由(1)知抛物线C 1的方程为x 2

＝12y ，所以y ＝x 2

12，

所以y ′＝x

6

，

设A (x 1，y 1)，则以A 为切点的切线l 2的斜率为k ＝x 1

6，

所以切线l 2的方程为y ＝1

6

x 1(x －x 1)＋y 1.

令x ＝0，则y ＝－16x 21＋y 1＝－1

6×12y 1＋y 1＝－y 1，即B 点的坐标为(0，－y 1)，

所以MA →

＝(x 1－m ，y 1＋3)， MB →

＝(－m ，－y 1＋3)，

所以MN →＝MA →＋MB →

＝(x 1－2m,6)， 所以ON →＝OM →＋MN →

＝(x 1－m,3)． 设N 点坐标为(x ，y )，则y ＝3， 所以点N 在定直线y ＝3上． 解法二：设M (m ，－3)，

由(1)知抛物线C 1的方程为x 2

＝12y ①，

设l 2的斜率为k ，A ⎝

⎛⎭⎪⎫x 1，112x 21，则以A 为切点的切线l 2的方程为y ＝k (x －x 1)＋112x 21 ②，

联立①②得，x 2

＝12⎝

⎛⎭⎪⎫k (x －x 1)＋112x 21，

因为Δ＝144k 2－48kx 1＋4x 2

1＝0，所以k ＝x 1

6，

所以切线l 2的方程为y ＝16x 1(x －x 1)＋112x 2

1.

令x ＝0，得B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－112x 21，

所以MA →＝⎝ ⎛

⎭⎪⎫x 1－m ，112x 21＋3，

MB →

＝⎝

⎛⎭

⎪⎫－m ，－112

x 21＋3，

所以MN →＝MA →＋MB →

＝(x 1－2m,6)， 所以ON →＝OM →＋MN →

＝(x 1－m,3)， 所以点N 在定直线y ＝3上．

3．[2019·武汉4月调研]已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)经过点M (－2,1)，且右焦点

F (3，0)．

(1)求椭圆Γ的标准方程；

(2)过N (1,0)且斜率存在的直线AB 交椭圆Γ于A ，B 两点，记t ＝MA →·MB →

，若t 的最大值和最小值分别为t 1，t 2，求t 1＋t 2的值．

解：(1)由椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点为(3，0)，知a 2－b 2＝3，即b 2＝a 2

－3，则x 2a

2＋

y 2

a 2

－3

＝1，a 2

>3.

又椭圆过点M (－2,1)，∴4a 2＋1

a 2－3＝1，

又a 2

>3，∴a 2

＝6.

∴椭圆Γ的标准方程为x 26＋y 2

3

＝1.

(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

由⎩⎪⎨⎪⎧

x 26＋y 2

3＝1y ＝k (x －1)

得x 2＋2k 2(x －1)2

＝6，

即(1＋2k 2

)x 2

－4k 2

x ＋2k 2

－6＝0， ∵点N (1,0)在椭圆内部，∴Δ>0，