2016考研数学中值定理证明思路总结
中值定理的应用方法与技巧
中值定理的应用方法与技巧中值定理是微积分中的一个重要定理，描述了一种函数的平均斜率与函数其中一点的斜率之间的关系。
下面将介绍中值定理的应用方法与技巧。
一、介值定理的应用方法1.求函数的零点：根据介值定理，如果$f(a)$和$f(b)$异号，那么在区间$(a,b)$内至少存在一个点$c$，使得$f(c)=0$。
因此，通过寻找$f(a)$和$f(b)$异号的区间，可以确定函数的零点的存在性和位置。
2.确定函数的最值：根据介值定理，如果$f(a)$和$f(b)$是函数$f(x)$在区间$(a,b)$上的最小值和最大值，那么在区间$(a,b)$内必然存在一个点$c$，使得$f(c)$是函数的最小值和最大值。
因此，可以通过求解极值点来确定函数的最值。
3.求解方程与不等式：根据介值定理，如果$f(a)<0$且$f(b)>0$，那么在区间$(a,b)$内至少存在一个点$c$，使得$f(c)=0$。
因此，可以通过将方程或不等式转化为函数，然后求解函数的零点来求解方程或不等式。
4.判断函数的增减性：根据介值定理，如果函数$f'(x)>0$在一些区间上恒成立，那么函数$f(x)$在该区间上是递增的；如果函数$f'(x)<0$在一些区间上恒成立，那么函数$f(x)$在该区间上是递减的。
因此，可以通过求导并分析导数的符号来判断函数的增减性。
二、中值定理的技巧1.构造辅助函数：有时候使用中值定理计算问题会比较复杂，需要构造辅助函数来简化计算。
辅助函数的选择需要考虑计算的便利性和准确性。
2.利用函数的性质和对称性：中值定理的应用过程中可以利用函数的性质和对称性来简化计算。
例如，如果已知$f(-x)=f(x)$，可以利用这一对称性将问题转化为求解正数情况下的解析表达式。
3.通过作图来理解问题：在使用中值定理计算问题时，可以通过绘制函数的图像来帮助理解问题，辅助解题。
通过图像可以直观地看到函数的变化趋势和函数的性质，更容易理解和判断。
中值定理证明方法总结
中值定理证明方法总结中值定理（Intermediate Value Theorem）是微积分中的一项重要定理，它表明如果一个连续函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上取两个不同的值$f(a)$和$f(b)$，那么在开区间$(a,b)$内，函数$f(x)$必然取到介于$f(a)$和$f(b)$之间的所有值。
中值定理的证明是通过构造一个辅助函数$g(x)$，它将闭区间$[a,b]$映射到实数区间$[f(a),f(b)]$上，并利用连续函数的性质来证明中值定理。
证明过程如下：1.首先，我们定义辅助函数$g(x)=f(x)-k$，其中$k$是一个常数。
我们的目标是证明如果$g(a)$和$g(b)$异号，那么在开区间$(a,b)$内，$g(x)$必然等于$0$。
2.根据函数$g(x)$的定义，我们可以得到$g(a)=(f(a)-k)$和$g(b)=(f(b)-k)$。
由于$g(a)$和$g(b)$异号，即$(f(a)-k)$和$(f(b)-k)$异号，所以$g(x)$在$[a,b]$上一定有一个根。
3. 接下来，我们要证明在开区间$(a,b)$内，$g(x)$没有其他根。
假设在$(a,b)$内存在一个根$x=c$，即$g(c)=0$。
根据连续函数的性质，我们有$\lim_{x \to c} g(x) = g(c) = 0$。
又因为$f(x)$是连续函数，所以$\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$。
4. 根据极限的性质，我们有$\lim_{x \to c} g(x) = \lim_{x \to c} [f(x)-k] = f(c)-k$。
由于$\lim_{x \to c} g(x) = 0$，所以$f(c)-k=0$，即$f(c)=k$。
这意味着$f(c)-k=0$是$g(x)$的唯一根。
5.综上所述，我们可以得出结论，如果$g(a)$和$g(b)$异号，那么在开区间$(a,b)$内，$g(x)$的根只有$f(c)-k=0$。
2016考研数学中值定理之泰勒中值定理
中值定理这部份的考点要紧包括五大定理：费马引理、罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理，它们在考研中主若是以证明题的形式考查大伙儿。
今天咱们要紧讨论泰勒中值定理，泰勒中值定理在高等数学中的应用是超级多的。
它的应用不单单局限在证明题中，它还能够用到极限的计算中、幂级数的展开和求和等，关于2016年的考生而言，此刻还处于温习的基础时期，那个时期不需要把握泰勒中值定理的全数应用，只需要把握它的大体内容即可。
泰勒中值定理的内容是复杂的，为了帮忙大伙儿专门好的明白得，下面咱们来推导一下泰勒中值定理。
关于基础时期而言，大伙儿把握上面的大体内容就能够够了，具体每一个定理是怎么用的，是下个时期大伙儿要攻克的问题。
中值定理的证题技巧
x
0
,所以可令
F(x)
g2 f x 。
g(x)
(3)要证 f f g 0 即证 eg
x
0
，所以可令
F(x) egx f
x。
(ii)消去导数法
将结论中的 换成 x ，通过变形后积分消去导数
符号，再移项使等式一边为0，则另一边就是辅助
专业: 数学与应用数学 班级: 数学092班 学号 : 0920151224 姓 名: 涂淑瑶 指导老师：徐建平
目录
内容摘要 1 中值定理的内容及联系 2 应用中值定理的基本步骤及建立辅助函数的几点
体 3 微分中值定理证明命题的方法和技巧 3.1 形如“在(a,b)内至少存在一点 ,使得 f k kR”
的相关命题的证明方法
（1）要证至少存在一点 a,b ,使 f k的命题 两边积分得 f x kx 0,建立辅助函数F x f x kx ,则 Fx f xk 0 , 从而有 f k。
（2） 要证至少存在一点 a,b ,使得 f n 0
的命题。
此时，中值定理中的那个函数是 f n1 x ,中值定理
函数 F x 。
如要证至少存在一点 0,1 ，使 f x 1 。
如何建立辅助函数？可把 换成 x ，设f 1， 积分消去导数符号有 f x x c (可令 c 0 )， 移项得辅助函数 F x f x x 。
(iii) 常数 k值法
此法就是将含有区间端点值及端点函数值的式记 为 k ，其中构造辅助函数的基本步骤为：
系式”的相关命题的证明方法
以上所列命题中只含有一个中值，但有些命题 中会出现两个中值，此时一般需要使用两次拉格 朗日中值定理或柯西中值定理，或一次拉格朗日 中值定理、一次柯西中值定理。证明该类型题目 时，一般将含有 ,表达式分离到等式的两边， 对较为明显的一边运用一次中值，可将等式转化 为只含有一个中值的情形。
中值定理证明方法总结(1)
可适当减弱.
例如, 设 f(x) 在(a,b) 内可导,且 f(a+ 0) = f(b− 0),
则至少存在一点 ξ∈(a,b), 使 f′(ξ) = 0 .
证:
设辅助函数
F(x)
=
⎪⎧ a⎨<ff(x(a<x+) ,b0),
x= a
⎪ x=⎩b f(b−
显然 F(x)在[a,b] 上0连) ,续, 在(a,b) 内可导, 由罗尔
=
h(a) h(b) 0 h′(ξ)
证: 按三阶行列式展开法有
f(a) f(b) f′(ξ) g(a) g(b) g′(ξ)
h(a) h(b)
g(a) h(a)
g(b) h(b)
f′(ξ)
−=h′fh(((ξaa)))
f(b) g′ h(b)
ξ(
)
f(a) f(b) h′(ξ) g(a) g(b)
+
f(a) a
x
显然 , ϕ(x) 在 [ a, b] 上连续 , 在 ( a, b) 内可导, 且
ϕ(a) = bf(a) − af(b)
=
ϕ思(b路),思由路罗思尔b路−定思a理路知:至利少用存逆在向一思点维逆向思维逆向思维逆向
思维找出一ξ个∈(满a,足b),罗使尔ϕ定′(ξ理) =条件0, 的即函定数理结论
y= f(x) 满足:
(1) 在区间 [ a, b] 上连续
o
(2) 在至区少间存在( a一, b点) 内ξ∈可(导a,b) ,
使
aξ f′(ξ) =
bx f(b) − f(a).
证: 问题转化为证 作辅助函数
f′(ξ) − f(b) − f(a) =
b− a
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第五讲 中值定理的证明技巧一、 考试要求1、 理解闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，有界性定理，介值定理），并会应用这些性质。
2、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理，了解并会用柯西中值定理。
掌握这四个定理的简单应用（经济）。
3、 了解定积分中值定理。
二、 内容提要1、 介值定理（根的存在性定理）（1）介值定理 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值m 之间的任何值.（2）零点定理设f(x)在[a 、b]连续，且f(a)f(b)＜0，则至少存在一点,c ∈(a 、b)，使得f(c)=02、 罗尔定理若函数)(x f 满足：（1）)(x f 在[]b a ,上连续（2）)(x f 在),(b a 内可导（3）)()(b f a f =则一定存在),(b a ∈ξ使得0)('=ξf3、 拉格朗日中值定理若函数)(x f 满足：（1）)(x f 在[]b a ,上连续（2）)(x f 在),(b a 内可导则一定存在),(b a ∈ξ，使得))((')()(a b f a f b f -=-ξ4、 柯西中值定理若函数)(),(x g x f 满足:（1）在[]b a ,上连续（2）在),(b a 内可导（3）0)('≠x g则至少有一点),(b a ∈ξ使得)(')(')()()()(ξξg f a g b g a f b f =--5、 泰勒公式如果函数)(x f 在含有0x 的某个开区间),(b a 内具有直到1+n 阶导数, 则当x 在),(b a 内时, )(x f 可以表示为0x x -的一个n 次多项式与一个余项)(x R n 之和，即 )())((!1 ))((!21))(()()(00)(200000x R x x x f n x x x f x x x f x f x f n n n +-+⋅⋅⋅+-''+-'+= 其中10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ (ξ介于0x 与x 之间).在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点：1．展开的基点；2．展开的阶数；3．余项的形式．其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公式，在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式．而基点和阶数，要根据具体的问题来确定．6、 积分中值定理若f(x)在[a 、b]上连续，则至少存在一点c ∈[a 、b]，使得ba ⎰f(x)dx=f(c)(b-a)三、 典型题型与例题题型一 、与连续函数相关的问题（证明存在ξ使0)(=ξf 或方程f(x)=0有根） 方法：大多用介值定理 f(x)满足：在[a,b]上连续；f(a)f(b)<0. 思路：1）直接法2）间接法或辅助函数法例1、设)(x f 在[a,b]上连续，),,2,1(0,21n i c b x x x a i n =><<<<<，证明存在],[b a ∈ξ ，使得nn n c c c x f c x f c x f c f ++++++= 212211)()()()(ξ例2、设)(,0x f a b >>在[a,b]上连续、单调递增，且0)(>x f ，证明存在),(b a ∈ξ使得 )(2)()(222ξξf a f b b f a =+*例3、设)(x f 在[a,b]上连续且0)(>x f ，证明存在),(b a ∈ξ使得⎰⎰⎰==bb a a dx x f dx x f dx x f ξξ)(21)()(。
中值定理总结
中值定理总结
中值定理是数学及物理中的重要定理，它的内容是：设f(x) 有二次导数，则及时在区间内f(x)的极大值点和极小值点存在，每段区间至少存在一个零点。
中值定理的基本思路是：大的变化总是由小的变化预先引起的，大的变化比小的变化发生得更快。
这个思路正好体现了中值定理的内涵：在一段区间内，函数一定要经历一个极大值或极小值之前，必须先经历一个零点。
中值定理常用来解决极值问题，通常会通过求导的方法来求解，即先求函数的一阶导数和二阶导数，然后计算得出其中极大值或极小值点，用中值定理来求出函数经过的零点，最终得出极值的结果。
中值定理也广泛用于几何图形的求解，可以用中值定理求出平面上的两条曲线交点，从而完成平面几何图形的构造。
由于中值定理的简单易用，它经常被用在函数的极值和零点的求解、运动学和变分法中，在理论物理学也有广泛的应用。
正是由于中值定理，我们才能更好地阐明物理规律，才能更深入地了解自然现象。
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2016考研数学中值定理题型答题技巧分析
2016考研数学中值定理题型答题技巧分析在考研数学中，有关中值定理的证明题型是一个重要考点，也是一个让很多同学感到比较困惑的考点，不少同学在读完题目后不知从何下手，不会分析证明，找不到思路，之所以会出现这样的情况，主要是因为这些同学对中值定理证明题型的特点缺乏清晰的认识，对其分析和证明方法没有完全理解和掌握，为了协助这样的同学克服这方面的困难，下面文都网校考研数学老师对这类题的特点和证明方法做些分析总结，供各位2016考研的考生参考。
一、中值定理证明题的特点中值定理证明题主要有以下一些特点：1.中值定理证明题常常需要作辅助函数;2.中值定理证明题经常在一个题中需要结合运用三个知识点，分别是：连续函数在闭区间上的性质(包括最大值和最小值定理、零点定理和介质定理)，微分中值定理和积分中值定理;3.中值定理证明题可能需要在一个问题的证明中反复运用同一个微分中值定理两次甚至三次，比如罗尔中值定理或拉格朗日中值定理;4.从历年考研数学真题变化规律来看，证明中用得最多的主要是罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，而泰勒中值定理和柯西中值定理则用得很少。
二、中值定理证明题的常用方法中值定理证明题有不同的类型，对不同的类型需要运用不同的方法，主要的和常用的方法包括以下几种：1.如果题目条件中出现关于函数值的等式，而函数是连续的，则可能需要运用连续函数在闭区间上的性质进行证明;对导数是连续的情况也可以对导函数运用连续函数的性质;2.如果题目条件中出现关于定积分的等式，则可能需要运用积分中值定理;3.对于以下这类问题一般使用罗尔中值定理进行证明：6、如果是要证明两函数差值比的中值等式，或证明两函数导数比的中值等式，则可能需要利用柯西中值定理进行证明。
对于上面总结介绍的各种证明方法，在实际问题中要根据具体情况灵活运用，另外，对于需要作辅助函数的证明题，常常通过还原法分析找出需要的辅助函数，对于含积分等式的证明题，常常需要作变积分限的函数作为辅助函数，这种方法也是证明积分等式或不等式的主要方法之一，这些分析总结希望对大家提高中值定理证明题的解题能力有所帮助。
2016考研数学：三个微分中值定理
2016考研数学：三个微分中值定理每年考研数学必有一道证明题，分值在10分左右，其中百分之九十涉及到的是微分中值定理及其应用。
而微分中值定理及其应用最难的就是三个微分中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。
它们是考研数学的重难点，现分别从涉及的知识点、考查方式、方法选择、真题链接等四个方面进行分析。
一、涉及的知识点及考查形式可涉及微分中值定理及其应用的知识点有，微分中值定理，洛必达法则，函数单调性的判别，函数的极值，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线，函数图形的描绘，函数的最大值与最小值，弧微分(数一、数二要求)，曲率的概念(数一、数二要求)，曲率圆与曲率半径(数一、数二要求)。
微分中值定理以间接考查或与其他知识点综合出题的比重很大，也可以直接出题，所以考查形式有多种。
如利用导数的几何意义考查函数的特性，讨论导数零点存在性或方程根个数问题，不等式的证明，证明含中值的等式，求极限等。
二、方法选择题目考查微分中值定理，那么选择哪一中值定理成为解题的关键。
针对题目的特点，可根据如下情况选择对应的微分中值定理：如果结论不包含端点，优先考虑罗尔定理；如果结论中包含端点，则考虑拉格朗日中值定理或柯西定理。
那么选择拉式还是柯西定理，需要对结论做进一步的处理，化为定理的标准形式。
如第一个标准，左边是只含端点，右边只含中值；第二个标准，左边进一步处理，分子分母减号，一侧只含右端点，一侧只含左端点。
整理后，如果分母是端点相减，则选择拉格朗日定理；否则，选择柯西定理。
三、求解步骤及历年真题解析涉及到微分中值定理，一般首先要找辅导函数。
针对拉式中值定理和柯西定理，经过对要证明的结论化为标准形式，可直接得出辅助函数。
而罗尔定理，需要把结论化为微分方程的一般形式，使用积分因子法可找到。
有了辅助函数，根据中值定理，列出定理对应的三个条件，得出结论。
四、小结三个微分中值定理(条件与结论)的理解及其区别是复习的要点，而方法的选择是解题的关键。
考研数学：中值定理相关命题的证明方法总结
考研数学：中值定理相关命题的证明方法总结中值定理这一块是考研数学的重点同时也是难点，对于中值定理这一块的相关证明题，很多同学一碰到，多数是束手无措，难以找到解题的突破口，现在跨考教育数学教研室易老师就这一问题做详细的方法介绍。
这一类型的问题，从待证的结论入手，首先看结论中有无导数，若无导数则采用闭区间连续函数的性质来证明（介值或零点定理），若有导数则采用微分中值定理来证明（罗尔、拉格朗日、柯西定理），这个大方向首先要弄准确，接下来就待证结论中有无导数分两块来讲述。
一、结论中无导数的情况结论中无导数，接下来看要证明的结论中所在的区间是闭区间还是开区间，若为闭区间则考虑用介值定理来证明，若为开区间则考虑用零点定理来证明。
例1 ()f x 在[]0,3上连续，且(0)(1)(2)3f f f ++=，证明：至少存在一点[]0,3c ∈，使得() 1.f c =分析：待证结论中无导数，则用闭区间连续函数的性质来证，且待证的结论的中值在闭区间上，故应采用介值定理来证明。
证明：()f x 在[]0,2上连续，,m M ∴∃使3(0)(1)(2)3m f f f M ≤++≤1m M ⇒≤≤,∴由介值定理可得结论。
二、结论中有导数情况① 结论中有导数，无端点信息，则采用罗尔定理来证明。
用罗尔定理来证明的常见题型：● 型一：()()0n f ξ=● 型二：结论中仅有ξ的相关表达式，且导数相差一阶用罗尔定理来证明题时，难点就在找原函数上，找原函数的常用方法分为两种，一为观察法，二为积分法。
观察法：i ）待证结论若为这种形式'()g()()g'()0()()f f f x g x ξξξξ+=⇐原函数为ii ）待证结论若为这种形式()'()()()'()0()f x fg f g g x ξξξξ-=⇐原函数为积分法：i ）待证结论若为这种形式()'()()()0()()g x dx f g f F x e f x ξξξ⎰+=⇐=原函数为ii ）待证结论若为这种形式()"()()'()0()'()g x dxf g f F x e f x ξξξ⎰+=⇐=原函数为 例2 ()f x 在[]0,1上连续，在(0,1)内可导，(1)0,f =证明：(0,1)ξ∃∈，使得 '()2()0f f ξξξ+=分析：有导数，无端点信息，采用罗尔定理。
中值定理知识点总结
中值定理知识点总结中值定理的表述：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则存在一个点c∈(a, b)，满足f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
中值定理的证明比较简单，可以根据函数的连续性和可导性来进行推导。
接下来我们来详细介绍中值定理的知识点。
一、中值定理的条件中值定理的前提是函数在闭区间上连续，在开区间上可导。
这两个条件都是至关重要的，只有同时满足这两个条件，中值定理才成立。
1. 函数在闭区间上连续：闭区间[a, b]是一个包含了a和b的区间，函数在闭区间上连续意味着函数在这个区间内没有间断点，没有跳跃点，图象是一条连续的曲线。
一般来说，函数在有限区间上都是连续的，因此这个条件通常是满足的。
2. 函数在开区间上可导：开区间(a, b)是一个不含a和b的区间，函数在开区间上可导意味着函数在这个区间上具有导数。
可导性是指函数在这个区间内存在切线，即函数在这个区间内是光滑的。
这个条件比较严格，只有在一些特殊的情况下才能满足。
二、中值定理的应用中值定理主要用来描述函数在某个区间内的平均变化率与瞬时变化率之间的关系。
它可以推导出一些重要的结论和定理，对于理解函数的性质和特点有很大的帮助。
1. 平均变化率和瞬时变化率：中值定理可以用来比较函数在闭区间上的平均变化率和在开区间上的瞬时变化率。
平均变化率指的是函数在某个区间内的整体变化情况，而瞬时变化率指的是函数在某一点的瞬间变化情况。
中值定理表明，这两者之间存在着某种联系，通过中值定理可以求得函数在某个区间内的平均变化率和在某一点的瞬时变化率之间的对应关系。
2. 函数的增减性：中值定理可以用来研究函数的增减性。
通过中值定理可以求得函数在某个区间内的导数值，在这个区间上的函数是增加还是减小。
这对于研究函数的极值和拐点有很大的帮助。
3. 函数的凹凸性：中值定理可以用来研究函数的凹凸性。
通过中值定理可以求得函数在某个区间内的二阶导数值，根据二阶导数的正负性可以判断函数在这个区间上的凹凸性，这对于求解函数的拐点和凹凸区间有很大的帮助。
中值定理的证明题思路
中值定理的证明题思路想说起中值定理的证明，首先得先跟大家聊聊这个定理是干啥的。
这个定理其实就像是数学里的“调皮捣蛋鬼”，看似简单，实则能在很多场合把问题给解决了。
它说的就是：如果一个函数在一个区间里是连续的，并且这个区间的两端有不同的函数值，那么在这个区间内总能找到一个点，这个点的函数值正好是这两个端点值之间的某个数。
是不是听起来有点神奇？就像是你在山脚下看到两座山峰，定理告诉你，总有一个地方，你站在那个点上，就可以同时看到这两座山的风景。
好啦，咱们不绕圈子，直接来看看怎么证明这个定理。
大家可以想象一下，中值定理就是一座桥，桥的两端是函数在区间两端的值，桥的中间点就是我们要找到的那个点。
现在问题来了，怎么证明这座桥一定存在呢？这里有一个聪明的办法，就是“假设法”！我们假设，区间内没有这样的点。
那么咋办呢？这时候就得发挥想象力了——如果中间没有那个点，那就意味着函数的值永远是跟区间两端的值不相干的。
听起来怪怪的吧？可要是函数真是这样，那就表示函数在这区间内根本就没有“连接”起来。
嗯，这样一想，就好像是一条桥，中间是空的，两头都垂直掉下去，那显然是不成立的嘛！然后，我们就开始利用“极值”来搞定它。
你知道，“极值”就是在某个区间里，函数能够达到的最小值或者最大值。
要证明这个定理，其实就是告诉大家：无论你怎么调皮捣蛋，想从一个点跳到另一个点，只要你不抛下连续性，咱们总能在某个点上找到一个合适的中间值。
举个例子来说，就像你从家出发，走到商店去买东西。
你离开家时，家门口和商店门口的温度分别是不同的，这时你就可以放心地知道，在你走的过程中，总会经过一个温度刚好是你家门口和商店门口之间某个值的地方。
是不是很有道理？不过话说回来，咱们还得再细致地看看中值定理的证明。
这个证明实际上是要用到一个叫做“连续性”的东西。
也就是说，这个函数在你所走的这段路上，不能突然“断掉”或者跳跃。
你走着走着，不能中间卡壳，不然就证明不了定理了。
中值定理的证明
中值定理的证明中值定理是微积分中的一项重要定理，它是由法国数学家拉格朗日在18世纪末提出的。
中值定理在微积分的应用中起着重要的作用，它能够帮助我们研究函数的性质和解决一些实际问题。
中值定理的证明是通过对函数在闭区间上的性质进行分析来完成的。
具体来说，中值定理指出，如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，那么在开区间(a,b)上至少存在一个点c，使得f'(c)等于函数在区间[a,b]上的平均变化率。
为了证明中值定理，我们首先需要定义函数的平均变化率。
对于函数f(x)在闭区间[a,b]上的平均变化率，我们可以通过计算函数在区间[a,b]上的斜率来得到。
具体来说，平均变化率等于函数在区间[a,b]上的增量与自变量增量的比值。
接下来，我们考虑函数在闭区间[a,b]上的最大值和最小值。
由于函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，根据最值存在定理，函数在该闭区间上必定存在最大值和最小值。
假设函数的最大值为M，最小值为m。
由于函数在闭区间上连续，根据连续函数的介值定理，函数在最大值和最小值之间的任意值都可以取到。
然后，我们将函数在闭区间[a,b]上的平均变化率与最大值和最小值进行比较。
根据函数在闭区间上的性质，我们可以得到以下结论：如果函数在闭区间上的平均变化率大于0，则函数在该区间上的某一点的导数大于0；如果函数在闭区间上的平均变化率小于0，则函数在该区间上的某一点的导数小于0。
我们应用罗尔定理来证明中值定理。
罗尔定理是中值定理的基础，它指出，如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，并且在区间的两个端点上函数取相同的值，那么在开区间(a,b)上至少存在一个点c，使得函数在该点的导数等于0。
根据罗尔定理，我们可以得到以下结论：如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，并且函数在区间的两个端点上函数取相同的值，那么在开区间(a,b)上至少存在一个点c，使得函数在该点的导数等于0。
2016数学考研中值定理证明之拉格朗日、柯西及积分中值定理
2016数学考研复习指导之导数的应用：极值考研数学如何取得高分？以下老师为各位同学整理了提高考研数学成绩的技巧，供大家参考，希望能对大家复习备考有帮助！考研数学复习是建立在对基本的东西很深刻的理解的基础上的，单纯多做题可能会多见识一些题型，但对于一些很灵活有新意的题目就可能无法应对，这和点石成金的故事是一样的道理。
而这种能力的培养却来自于老老实实地将基础打牢，这一点上要摒弃那种急功近利的想法，不论是考研还是成就一番事业，要想成功，首先要沉得住气，有一个长远的打算，而不是做一天算一天，同时要善于控制事情发展的节奏，不论太快抑或太慢都不好，你都得去考虑为什么会这样，怎样去解决。
一个人不论处于顺风还是逆风，都要学会不断的去跟自己出难题，不断地去反省自己，自己主动把握自己的命运，他才能最后成功。
在忙碌的考研复习中，或许你正在忙于大量的复习知识，或许你已投入无尽的题海，或许你还在为一道道题而苦恼，或许你还在因为复习不见成效而沮丧。
但是，不知忙于埋头复习的你有没有发现，不是你的能力不够强，而是你对如何复习还不熟练。
我们的最终目的是提高复习效果，提高复习效果的途径大致可以分为两种：一是调整数学整体的素质和能力，更好的驾驭考研;二是理解复习的每一个环节，掌握复习方法，将自己已有的潜能和水平发挥到极致。
试大纲中要求考生理解函数的极值概念，掌握求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。
下面我们来看一下这部分知识。
三是极值点不能取端点，四是极值是局部概念，即极大值不一定很大，极小值不一定很小，完全有可能极小值比极大值还要大。
在这里我们要着重分析一下极值与最值的关系，首先极限不一定是最值，最值是整个区间内部的最大或最小值，而极值是小范围内的最值，反过来最值是极限吗?最值都是整个范围内的最大或最小值，在小范围内也是最值，我们要注意的是极值是在区间内部取到，但只要最大值是在区间内部取到，则最值一定是极值。
总之，天道酬勤，坚持就是胜利!加油!任何知识的积累都是长期努力的结果，都是需要我们踏踏实实来努力的，切勿投机。
(完整版)【考研数学】中值定理总结
中值定理一向是经济类数学考试的重点（当然理工类也常会考到），咪咪结合老陈的书和一些自己的想法做了以下这个总结，希望能对各位研友有所帮助。
1、 所证式仅与ξ相关①观察法与凑方法1 ()[0,1](0)(1)(0)02()(,)()1 ()()2()0(1) ()() [()]()f x f f f f a b f x f x xf x f x f x xf x xf x xf x '==='ζ''ζ∈ζ=-ζ'''''ζ--='''''''=L 例设在上二阶可导，试证至少存在一点使得分析：把要证的式子中的换成，整理得由这个式可知要构造的函数中必含有，从找突破口因为()(1) ()()[()()]0()()[()]0()(1)()()f x f x f x xf x f x f x f x xf x F x x f x f x '+'''''''''''--+=⇒--='=--，那么把式变一下：这时要构造的函数就看出来了②原函数法⎰-⎰-⎰===⇒=⇒+=⇒='ζζζ=ζ'∈ζ∃==⎰dxx g dx x g dxx g e x f x F C C e x f Ce x f C dx x g x f x g x f x f x g f f g f b a b a x g b f a f b a b a x f )()()()()( )( )(ln )()(ln )()()( )()()(),( ],[)()()( ),(],[)( 2 很明显了，于是要构造的函数就现在设换成把有关的放另一边，同样有关的放一边，与现在把与方法造的函数，于是换一种是凑都不容易找出要构分析：这时不论观察还使得求证：上连续在，又内可导，上连续，在在设例两边积分00③一阶线性齐次方程解法的变形法0 ()()()[,](,)()0()()(,)()()()()0[()()]pdx pdxf pf p x u x e F x f e f x a b c a b f c f f a a b f b af f a f b a f f a '+=⎰⎰==⋅'∈=ξ-'ξ∈ξ=-ξ-'ξ-=-'⇒ξ-对于所证式为型，（其中为常数或的函数）可引进函数，则可构造新函数例：设在有连续的导数，又存在，使得求证：存在，使得分析：把所证式整理一下可得：11[()()]00 () C=0()[()()]()()()0()() x xdx b a b a b a f f a f pf b a u x e e F x e f x f a f b f a f c f b f a b a ---'-ξ-=+=-⎰==--'==⇒=-－－，这样就变成了型引进函数＝（令），于是就可以设注：此题在证明时会用到这个结论2、所证式中出现两端点①凑拉格朗日ab a af b bf f f F x xf x F f f ab a af b bf b a b a b a x f --=ζ'ζ+ζ=ζ'=ζ'ζ+ζ=--∈ζ)()()()()( ),()( )()()()(),( ),(],[)( 3 下用拉格朗日定理验证一可以试一下，不妨设证的式子的特点，那么分析：很容易就找到要使得证明至少存在一点内可导上连续，在在设例②柯西定理 数就很容易证明了用柯西定理设好两个函没有悬念了于是这个式子一下变得分子分母同除一下是交叉的，变换一下，发现容易看出来了这题就没上面那道那么的式子分析：先整理一下要证，使得至少存在一点可导，证明在在，设例 )()( )()( )()()()()()()()( ),(],[)( 4 1212212121212121111012121221212121x x x x x x x x x x x x x x x x e eex f e x f ex f e x f e c f c f ee xf e x f e c f c f x f x f e e e e c x x x x x f x x ---'-=--'-=-<<+ ③k 值法 。
中值定理证明题思路
中值定理证明题思路1. 中值定理中值定理又被称为秦九韶定理，它是中国古代数学家秦九韶在《九章算法》中提出的定理。
其定义：若在一个三角形的三边之后引入三内角的辅助线，则在其中的每一段中，辅助线的长度等于三角形的边，而其角的和等于180度。
2. 中值定理的原理中值定理的原理是：若在一个三角形的三边的夹角之间引入三向角的辅助线，则辅助线的长度之和等于三角形的三边之和，而辅助角之和为180度。
而在其中每一段辅助线的长度等于三角形边的长度。
3. 中值定理的实践应用（1）测量距离：在路上有一条路程较长的距离，当需要测量这段路程的时候，可以用中值定理。
从原点出发，向左和向右依次隔出一定的距离，例如100米，然后从原点出发，向右走，当到达第一个点时，从第一个点出发，向左走，当到达原点时，说明原点到第一个点的距离等于原点出发，向右和向左隔出的距离之和，即为中值定理。
（2）角度测量：在测量角度的时候，可以用到中值定理，例如在一个三角形的三边之后引入三内角的辅助线，此时在角度测量的时候，只要把三角形的三个顶点，以及辅助线的三个端点之间的角度测量出来，便可以使用中值定理，用以求出三角形的三内角的总和为180度。
4. 中值定理的证明（1）交叉定理：假设一个三角形ABC中，出发点A到达三个顶点的距离分别为a，b，c，则依据交叉定理，可以得出：a + b > c，b + c > a，c + a > b。
（2）假设反证法：假设有一个三角形ABC，并且在这个三角形ABC的三条边之间引入三内角的辅助线，使得在三边之间引出三条辅助线之后，三角形ABC的三边和辅助线的长度之和小于三边的总和，把三内角的辅助线的长度之和记作S，三边的长度之和记作L，则有S < L。
（3）推导式：令a、b、c分别是三角形ABC的三边之间引出的三条辅助线的长度，显然有S = a + b + c，L = a + b + c。
因此a+b > c，b + c > a，c + a > b运用交叉定理可以得出：（a + b）+ （b + c）+ （c + a）=3a + 3b + 3c，因此S + L = 2a + 2b + 2c，即S = L。
中值定理证明方法总结
中值定理证明方法总结中值定理是微积分中的一个重要定理，它建立了一个函数在一些区间上连续的条件与其在该区间上取到的最大值和最小值之间的关系。
中值定理分为费马中值定理、罗尔中值定理和拉格朗日中值定理三种形式。
在实际问题中，通过中值定理可以推导出很多有用的结论，因此学好中值定理的证明方法对于掌握微积分知识非常重要。
下面对中值定理的证明方法进行总结。
1.费马中值定理的证明方法：费马中值定理是对实数集上的连续函数的最值及其存在性进行了精确的描述。
其证明方法如下：首先，假设函数f(x)在[a,b]上取得了极大值或者极小值。
如果f(x)在[a,b]的内点c处取得极值，那么根据极值点的定义，f'(c)=0。
我们可以通过数学归纳法证明，如果一个函数在[a,b]上的内点x处取得了极大值或者极小值，那么f'(x)=0。
假设f(x)在[a,b]的每个内点处都取得了极大值或者极小值，那么f'(x)=0在它们的闭区间上也成立。
根据极值点的定义，f(x)在[a,b]的端点处也取得了极大值或者极小值，因此f(x)在[a,b]上的每个内点处都取得了极大值或者极小值。
这与f(x)在[a,b]上连续的条件矛盾，所以假设错误，即f(x)在[a,b]上没有取得极大值或者极小值。
根据介值定理，f(x)在[a,b]上连续，所以在[a,b]上一定取到了最大值和最小值。
2.罗尔中值定理的证明方法：罗尔中值定理是对实数集上的可微函数的导数为0的点进行了描述。
其证明方法如下：首先，假设函数f(x)在[a,b]上满足f(a)=f(b)。
根据闭区间上连续函数的最值存在定理，f(x)在[a,b]上一定取到了最大值和最小值。
如果最大值和最小值不是在[a,b]的内点处取到的，那么它们一定是在[a,b]的端点处取到的。
根据最值点的定义，f(x)在[a,b]的端点处的导数等于0。
所以，如果f(x)在[a,b]的内点处取到了最大值或者最小值，那么根据费马中值定理，它们的导数等于0。
2016考研数学证明题解答技巧
2016考研数学证明题解答技巧2016考研初试即将来临，届时文都网校会第一时间发布真题解析，敬请关注文都网校考研频道。
考研初试即将到来，临考前这几天我们需要做哪些准备呢?当然是学习一些实用的答题技巧，争取更好的临场发挥啦!下面是小编为大家总结的考研数学考场答题技巧之证明题解答技巧。
借助几何意义寻求证明思路一个证明题，大多时候是能用其几何意义来正确解释的，当然最为基础的是要正确理解题目文字的含义。
如2007年数学一第19题是一个关于中值定理的证明题，可以在直角坐标系中画出满足题设条件的函数草图，再联系结论能够发现：两个函数除两个端点外还有一个函数值相等的点，那就是两个函数分别取最大值的点(正确审题：两个函数取得最大值的点不一定是同一个点)之间的一个点。
这样很容易想到辅助函数F(x)=f(x)-g(x)有三个零点，两次应用罗尔中值定理就能得到所证结论。
再如2005年数学一第18题(1)是关于零点存在定理的证明题，只要在直角坐标系中结合所给条件作出函数y=f(x)及y=1-x在[0，1]上的图形就立刻能看到两个函数图形有交点，这就是所证结论，重要的是写出推理过程。
从图形也应该看到两函数在两个端点处大小关系恰好相反，也就是差函数在两个端点的值是异号的，零点存在定理保证了区间内有零点，这就证得所需结果。
如果第二步实在无法完满解决问题的话，转第三步。
逆推法从结论出发寻求证明方法。
如2004年第15题是不等式证明题，该题只要应用不等式证明的一般步骤就能解决问题：即从结论出发构造函数，利用函数的单调性推出结论。
在判定函数的单调性时需借助导数符号与单调性之间的关系，正常情况只需一阶导的符号就可判断函数的单调性，非正常情况却出现的更多(这里所举出的例子就属非正常情况)，这时需先用二阶导数的符号判定一阶导数的单调性，再用一阶导的符号判定原来函数的单调性，从而得所要证的结果。
该题中可设F(x)=ln*x-ln*a-4(x-a)/e*，其中eF(a)就是所要证的不等式。
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2016考研数学中值定理证明思路总结中值定理这块一直都是很多考生的“灾难区”，一直没有弄清楚看到一个题目到底怎么思考处理，因此也是考研得分比较低的一块内容，如果考生能把中值定理的证明题拿下，那么我们就会比其他没做上的同学要高一个台阶，也可以说这是一套“拉仇恨”的题目。
下面小编就和大家来一起分析一下这块内容。
1.具体考点分析
首先我们必须弄清楚这块证明需要的理论基础是什么，相当于我们的工具，那需要哪些工具呢?
第一：闭区间连续函数的性质。
最值定理：闭区间连续函数的必有最大值和最小值。
推论：有界性(闭区间连续函数必有界)。
介值定理：闭区间连续函数在最大值和最小值之间中任意一个数，都可以在区间上找到一点，使得这一点的函数值与之相对应。
零点定理：闭区间连续函数，区间端点函数值符号相异，则区间内必有一点函数值为零。
第二：微分中值定理(一个引理，三个定理)
费马引理：函数f(x)在点ξ的某邻域U(ξ)内有定义，并且在ξ处可导，如果对于任意的x∈U(ξ)，都有f(x)≤f(ξ) (或f(x)≥f(ξ) )，那么f'(ξ)=0。
罗尔定理：如果函数f(x)满足：
(1)在闭区间[a,b]上连续
(2)在开区间(a,b)内可导
在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，
那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ
柯西中值定理：如果函数f(x)及F(x)满足
(1)在闭区间[a,b]上连续
(2)在开区间(a,b)内可导
(3)对任一x∈(a,b)，F'(x)≠0
那么在(a,b) 内至少有一点ξ，使等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)成立。
第三：积分中值定理：
如果函数f(x) 在积分区间[a, b]上连续，则在[a, b]上至少存在一个点ξ，使下式成立
加强版：如果函数f(x) 在积分区间[a, b]上连续，则在(a, b)上至少存在一个点ξ，使下式成立
第四：变限积分求导定理：如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，则积分变上限函数在[a,b]上具有导数，并且导数为：
第五：牛顿--莱布尼茨公式：如果函数f(x) 在区间[a,b] 上连续，并且存在原函数F(x) ，则
2.注意事项
针对上文中具体的考点，佟老师再给出几点注意事项，这几个注意事项也是在证明题中的“小信号”，希望大家理解清楚并掌握：
1. 所有定理中只有介值定理和积分中值定理中的ξ所属区间是闭区间。
2. 拉格朗日中值定理是函数f(x)与导函数f'(x)之间的桥梁。
3. 积分中值定理是定积分与函数之间的桥梁。
4. 罗尔定理和拉格朗日中值定理处理的对象是一个函数，而柯西中值定理处理的对象是两个函数，如果结论中有两个函数，形式与柯西中值定理的形式类似，这时就要想到我们的柯西中值定理。
5. 积分中值定理的加强版若在定理证明中应用，必须先证明。
其次对于中值定理证明一般分为两大类题型：第一应用罗尔定理证明，也可又分为两小类：证明结论简单型和复杂型，简单型一般有证明f'(ξ)=0，f'(ξ)=k (k为任意常数)，f'(ξ1)=g'(ξ2)，f''(ξ)=0，f''(ξ)=g''(ξ)，像这样的结论一般只需要找罗尔定理的条件就可以了，一般罗尔定理的前两个条件题目均告知，只是要需找两个不同点的函数值相等，需找此条件一般会运用闭区间连续函数的性质、积分中值定理、拉格朗日中值定理、极限的性质、导数的定义等知识点。
复杂型就是结论比较复杂，需要建立辅助函数，再使辅助函数满足罗尔定理的条件。
辅助函数的建立一般借助于解微分方程的思想。
第二就是存在两个点使之满足某表达式。
这样的题目一般利用拉格朗日中值定理和柯西中值定理，处理思想把结论中相同字母放到等是一侧首先处理。
When you are old and grey and full of sleep,
And nodding by the fire, take down this book,
And slowly read, and dream of the soft look
Your eyes had once, and of their shadows deep;
How many loved your moments of glad grace, And loved your beauty with love false or true,
But one man loved the pilgrim soul in you,
And loved the sorrows of your changing face; And bending down beside the glowing bars, Murmur, a little sadly, how love fled
And paced upon the mountains overhead
And hid his face amid a crowd of stars.
The furthest distance in the world
Is not between life and death
But when I stand in front of you
Yet you don't know that
I love you.
The furthest distance in the world
Is not when I stand in front of you
Yet you can't see my love
But when undoubtedly knowing the love from both Yet cannot be together.
The furthest distance in the world
Is not being apart while being in love
But when I plainly cannot resist the yearning
Yet pretending you have never been in my heart.
The furthest distance in the world
Is not struggling against the tides
But using one's indifferent heart
To dig an uncrossable river
For the one who loves you.
倚窗远眺，目光目光尽处必有一座山，那影影绰绰的黛绿色的影，是春天的颜色。
周遭流岚升腾，没露出那真实的面孔。
面对那流转的薄雾，我会幻想，那里有一个世外桃源。
在天阶夜色凉如水的夏夜，我会静静地，静静地，等待一场流星雨的来临…
许下一个愿望，不乞求去实现，至少，曾经，有那么一刻，我那还未枯萎的，青春的，诗意的心，在我最美的年华里，同星空做了一次灵魂的交流…
秋日里，阳光并不刺眼，天空是一碧如洗的蓝，点缀着飘逸的流云。
偶尔，一片飞舞的落叶，会飘到我的窗前。
斑驳的印迹里，携刻着深秋的颜色。
在一个落雪的晨，这纷纷扬扬的雪，飘落着一如千年前的洁白。
窗外，是未被污染的银白色世界。
我会去迎接，这人间的圣洁。
在这流转的岁月里，有着流转的四季，还有一颗流转的心，亘古不变的心。