二次函数的三种表达形式.

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二次函数的四种形式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
(1)一般式：
y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0),则称y为x的二次函数。

顶点坐标(-
b/2a,(4ac-b^2)/4a)
(2)顶点式：
y＝a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a,h,k为常数，a≠0).
(3)交点式（与x轴）：
y=a(x-x1)(x-x2)
(4)两根式：
y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠
0.
说明：
(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点.
(2)当抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c＝0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2),二次函数y＝ax2+bx+c可转化为两根式y＝a(x-x1)(x-x2).
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二次函数的图像及其三种表达式

二次函数的图像及其三种表达式学生：时间：学习目标1熟悉常见的二次函数的图像；2、理解二次函数的三种表达式知识点分析1、•二次函数的三种表达式一般式：y=ax A2+bx+c (a, b, c 为常数，a老)顶点式：y=a(x-h)A2+k [ 抛物线的顶点P (h, k)]交点式：y=a(x-x1)(x-x2)[ 仅限于与x轴有交点A (x1 , 0)和B (x2 , 0)的抛物线]2、一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=axA2+bx+c (a, b, c为常数，a M),且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，lal还可以决定开口大小，lal越大开口就越小，lal越小开口就越大.) 则称y 为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

例题精讲2例题1已知函数y=x + bx +1的图象经过点(3, 2).(1)求这个函数的表达式；(2)画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；(3)当x > 0时，求使y》2的x的取值范围.例题2、一次函数y=2x + 3，与二次函数y=ax2+ bx + c的图象交于A ( m 5)和B (3, n)两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9.(1)求二次函数的表达式；(2)在同一坐标系中画出两个函数的图象；(3)从图象上观察，x为何值时，一次函数与二次函数的值都随x的增大而增大. (4)当x为何值时，一次函数值大于二次函数值？随堂练习1.已知函数y=ax2+ bx+ c(a M0)的图象，如图①所示，则下列关系式中成立的是(b b b b——=12a 21 2A. y= (x—1) +22 B.y=1 (x—1) 2+2 21 2 1 2C.y =丄(x — 1)2-3D.y =l (x +2)2- 12 23. 抛物线y =- 2x 2-x +1的顶点在第 ______ 象限A. 一B. 二C.三D.四4. 不论m 取任何实数，抛物线 y =a (x +m )2+m (a * 0)的顶点都A.在y =x 直线上B.在直线y =-x 上C.在x 轴上D.在y 轴上25. 任给一些不同的实数 n ,得到不同的抛物线 y =2x +n ，如当n =0,± 2时，关于这些抛物线有以下结论：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状都相同；④都有最低点，其中判断正确的个数是A.1个B.2 个C.3 个D.4 个6. 二次函数y =x 2+p x +q 中，若p+q=O ,则它的图象必经过下列四点中,-1)C.(-1,- 1) D.(1 , 1)7. 下列说法错误的是A. 二次函数y =— 2x 2中，当x =0时，y 有最大值是0B. 二次函数y =4x 2中，当x >0时，y 随x 的增大而增大2 2 2 2 . . 2 . .C. 在三条抛物线 y =2x , y =- 0.5 x , y =-x 中，y =2x 的图象开口最大，y =- x 的图象开口最小D. 不论a 是正数还是负数，抛物线y =ax 2( a 工0)的顶点一定是坐标原点8. 已知二次函数 y =x 2+(2k +1)x +k 2— 1的最小值是0,贝U k 的值是219. 小颖在二次函数 y =2x +4x +5的图象上，依横坐标找到三点(—1, y"，( — , y 2),(-213丄，y 3)，则你认为y 1, y 2,小的大小关系应为2A. y 1 >y 2>y 3B.y 2>y 3>y 1 C. y 3>y 1>y 2 D. y 3>y 2>y 11 210. 抛物线y =-(x +3)的顶点坐标是 __________ .211. _____________________________________________________________ 将抛物线y =3x 2向上平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是 ______________________________ .4 212. 函数y =-x - 2- 3x 有最 ________ 值为 ____ .313. 已知抛物线 y =ax 2+bx +c 的图象顶点为(—2, 3)，且过(—1, 5)，则抛物线的表达式为 14. ________________________________________________________________ 二次函数y =m )2+2x +m- 4n i 的图象过原点，则此抛物线的顶点坐标是 ______________________15. 抛物线y=ax 2 + bx + c (c 丰0)如图②所示，回答：(1) _______________________________________ 这个二次函数的表达式是 ; (2) 当 x= _____ 时，y=3;16. 抛物线y=ax 2 + bx + c (c 丰0)如图②所示，回答：(1) _______________________________________ 这个二次函数的表达式是 ; (2) 当 x= _____ 时，y=3;A.( - 1, 1)B.(1 B.C.D.(3)根据图象回答：当x __________________ 时，y>0.17. ____________________________ 已知抛物线y= - x2+( 6- 2k) x+ 2k- 1与y轴的交点位于(0, 5) 上方，则k的取值范围是__ .18. —根长为100 m 的铁丝围成一个矩形的框子，要想使铁丝框的面积最大，边长分别为19. ________________________________________________________________________ 若两个数的差为 3,若其中较大的数为 x ，则它们的积y 与x 的函数表达式为 __________________ _，它有最 _________ 值，即当 x= _________ 时，y= _________ . 20. 边长为12cm 的正方形铁片，中间剪去一个边长为 x 的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y (cm )与x (cm )之间的函数表达式为 ______________________ . 21. 等边三角形的边长 2x 与面积y 之间的函数表达式为 .22. ____________________________________________________________________ 抛物线y=x 2 + kx — 2k 通过一个定点，这个定点的坐标为 __________________________________ . 23. 已知抛物线 y=x 2 + x + b 2经过点(a , — 1 )和(一a , yj ,则y 1的值是 ________________ .424. 如图，图①是棱长为 a 的小正方体，②、③是由这样的小正方体摆放而成，按照这样的方法继续摆放，由上而下分别叫第一层、第二层……第n 层，第n 层的小正方体的个数记为S,解答下列问题：(1)按照要求填表:n1234s1 3 6(2) 写出当n=10时，S= __________ .(3) 根据上表中的数据，把 S 作为纵坐标，n 作为横坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点.(4) 请你猜一猜上述各点会在某一函数图象上吗？如果在某一函数的图象上，求出该函数的表达式.25. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程.图中二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润 S (万元)与销售时间a由(D ②(月)之间的关系(即前t个月的利润总和根据图象提供的信息，解答下列问题：(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润式；(2)求截止到几月末公司累积利润可达到S与t之间的关系).S (万元)与时间t (月)之间的函数表达30万元;(3)求第8个月公司所获利润是多少万元?精品文档欢迎您的下载，资料仅供参考!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。

初中数学-二次函数的解析式

∴a(2-1)2-2=3，得：a=5,
∴解析式为y=5(x- 1)2-2
注：此题运用了二次函数的顶点式
2.已知抛物线过三点：A（－1，2），B（0，1）， C（2，－7），求二次函数的解析式.
解：设二次函数的解析式为： y ax bx 1
2
a b 1 2 由已知得： 4a 2b 1 7
∵抛物线过点C（1，2）
注：此题运用了
二次函数的双根式
解析式为: 1 y ( x 1)(x 3) 2
∴ a (1 1)(1 3) 2
4a 2 1 a 2
3 3.已知抛物线和y轴的交点（0，－ 2 ）
和x 轴的一个交点（-1，0），对称轴是x =1. （1）求图象是这条抛物线的二次函数的解析式；（2）判断这个二次函数是有最大值还是有最小值，并求出这个最大值或最小值
2 2
y
A O
B
x
公式：AB | x2 x1 | |a|
b 2 4ac |a| |a|
y ax2 bx c, (a 0)
6.抛物线y=-2x2+4x+1 在 x轴上截得的线段长度
为
6
.
y
16 8 6 解: AB |a| 2
A O B
当x
b 1 1时 1 2a 2 2
y最小值
4ac b 2 4a
1 3 4 ( ) (1) 2 2 ＝ 2 ＝－2 1 4 2
b 1 当x 1时函数有最小值 1 2a 2 2 1 2 3 y最小值 1 1 2 2 2
x1, x2 为方程： a(x－x1)(x－x2)=0的两个根，即抛物线与x的两个交点的横坐标，

二次函数表达式三种形式的联系与区别

二次函数表达式三种形式的联系与区别二次函数的表达式有三种形式，即一般式、顶点式、交点式。

它们之间各不相同，而又相互联系。

一、一般式：)0(2≠++=a c bx a y x优点：二次项系数a ，一次项系数b ，常数项c ，三系数一目了然。

缺点：不容易看出顶点坐标和对称轴二、顶点式：)0(4422)2(≠-+=+a a ac a y ba b x优点：很容易看出顶点坐标和对称轴缺点：不容易看出二次项系数a ，一次项系数b ，常数项c 各是多少。

三、交点式：))((21x x x x a y --= 优点：很容易看出图像与x 轴的交点坐标（x 1，0）和（x 2，0）缺点：（1）不容易看出二次项系数a ，一次项系数b ，常数项c 各是多少。

（2）当图像不与x 轴相交时，此式不成立。

四、三种表达式之间的联系（1）一般式转化为顶点式利用配方法转化（一提、二配、三整理）a ac a a ac a a c a x ab ax a b axa b a cbx a y b a b x b ab x ab a b x x x x 44444][[)2222222222)2()2()2()2(-+=+-=+-++=++=+=++=++（（2）顶点式转化为一般式展开整理即可c bx a aac bx a a ac abx a a ac x a b a a a ac a y x x b b x b a b xb ab x ++=++=-+++=-+++=≠-+=+222222222224444444)4()0(44)2(（3）交点式转化为一般式展开，利用韦达定理整理可得二次函数)0(2≠++=a c bx ay x 与x 轴有两交点（x 1，0）和（x 2，0）则x 1和x 2为方程02=++c bx a x 的两个根 ])([)())((212122121221x x x x x x x x x x x x x a x x a x x a y ++-=+--=--= 由韦达定理得：ac a b x x x x =-=+2121 代入得： cbx a ac x a b a x a y x x x x x x x ++=+--=++-=2221212])([])([三种表达式视情况而定；（1）不知道特殊点的坐标时，常用一般式来表示；（2）知道顶点坐标，常用顶点式来表示；（3）如果知道图像与x 轴的交点坐标，常用交点式来表示。

二次函数的表达式常见的三种形式

二次函数的表达式常见的三种形式：
1、一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数，且，
当已知抛物线上任意三点坐标时，通常设其函数表达式为一般式，然后列出关于c b a ,,的三元一次方程组求解；
2、顶点式：)0,,(2≠++=a k h a k h x a y 为常数，且）（，当已知抛物线的顶点坐标和抛
物线上另一点的坐标时，通常先设函数的表达式为顶点式，然后将另一点的坐标带入，解关于a 的一元一次方程；
3、交点式（拓展）：)0,,)()((2121≠--=a x x a x x x x a y 为常数，且，其中21,x x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标.当已知抛物线与x 轴的交点及抛物线上另一点坐标时，通常先设其函数表达式为))((21x x x x a y --=，然后将另一点的坐标带入求出待定系数a .。

二次函数的三种表示方式(解析版)

二次函数的三种表示方式高中必备知识点1：一般式形如下面的二次函数的形式称为一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；典型考题【典型例题】已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为x ＝﹣1，且过点（﹣3，0），（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式．（2）已知点（m ，k ）和点（n ，k ）在此抛物线上，其中m ≠n ，请判断关于t 的方程t 2+mt +n ＝0是否有实数根，并说明理由．【答案】（1）y ＝x 2+2x ﹣3；（2）方程有两个不相等的实数根．【解析】（1）抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为x ＝﹣1，且过点（﹣3，0），（0，3） 9a ﹣3b +c ＝0930312a b c c b a⎧⎪-+=⎪=-⎨⎪⎪-=-⎩ 解得a ＝1，b ＝2，c ＝﹣3 ∴抛物线y ＝x 2+2x ﹣3；（2）∵点（m ，k ），（n ，k ）在此抛物线上， ∴（m ，k ），（n ，k ）是关于直线x ＝﹣1的对称点， ∴+2m n＝﹣1 即m ＝﹣n ﹣2 b 2﹣4ac ＝m 2﹣4n ＝（﹣n ﹣2）2﹣4n ＝n 2+4＞0∴此方程有两个不相等的实数根．【变式训练】抛物线的图象如下，求这条抛物线的解析式。

(结果化成一般式)【答案】【解析】由图象可知抛物线的顶点坐标为（1，4），设此二次函数的解析式为y=a（x-1）2+4把点（3，0）代入解析式，得：4a+4，即a=-1所以此函数的解析式为y=-（x-1）2+4故答案是y=-x2+2x+3．【能力提升】如图，在平面直角坐标系中，抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线. （1）求抛物线的解析式（化为一般式）；（2）直接写出抛物线的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积.【答案】(1) ;(2)4.【解析】（1）抛物线的顶点坐标为，把点先向右平移2个单位，再向下平移2个单位后得到的点的坐标为，抛物线的解析式为；（2）顶点坐标为，且抛物线的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积，抛物线的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积.高中必备知识点2：顶点式形如下面的二次函数的形式称为顶点式：y ＝a (x -h )2＋k (a ≠0)，其中顶点坐标是(h ，k )．典型考题【典型例题】已知二次函数21322y x x =-++． ⑴用配方法将此二次函数化为顶点式； ⑵求出它的顶点坐标和对称轴方程．【答案】（1）()21122y x =--+；（2）（1，2），直线1x = 【解析】（1）21322y x x =-++()21232y x x =--- ()2121132y x x =--+--()212142y x x ⎡⎤=--+-⎣⎦ ()21142y x ⎡⎤=---⎣⎦()21122y x =--+（2）∵()21122y x =--+∴顶点坐标为（1，2），对称轴方程为直线1x =.【变式训练】已知二次函数的图象的顶点是（﹣1，2），且经过（1，﹣6），求这个二次函数的解析式．【答案】二次函数的解析式为y=﹣2（x+1）2+2．【解析】∵二次函数的图象的顶点是（﹣1，2），∴设抛物线顶点式解析式y=a （x+1）2+2，将（1，﹣6）代入得，a （1+1）2+2=﹣6，解得a=﹣2，所以，这个二次函数的解析式为y=﹣2（x+1）2+2．【能力提升】二次函数的图象经过点(03)A -，，(23)B -，，(10)C -，．（1）求此二次函数的关系式；（2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移个单位，使得该图象的顶点在原点．【答案】（1）322--=x x y ；（2）（1，-4）；（3）5【解析】（1）设c bx ax y ++=2，把点(03)A -，，(23)B -，，(10)C -，代入得 ⎪⎩⎪⎨⎧=---=++-=03343b a c b a c ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a∴322--=x x y ；（2）∵4)1(3222--=--=x x x y∴函数的顶点坐标为（1，-4）；（3）∵|1-0|+|-4-0|=5∴二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移5个单位，使得该图象的顶点在原点．高中必备知识点3：交点式形如下面的二次函数的形式称为交点式：y ＝a (x －x 1) (x －x 2) (a ≠0)，其中x 1，x 2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标．典型考题【典型例题】已知在平面直角坐标系中，二次函数 y =x 2+2x +2k ﹣2 的图象与 x 轴有两个交点．（1）求 k 的取值范围；（2）当 k 取正整数时，请你写出二次函数 y =x 2+2x +2k ﹣2 的表达式，并求出此二次函数图象与 x 轴的两个交点坐标．【答案】（1）k ＜；（2）（﹣2，0）和（0,0）.【解析】（1）∵图象与x轴有两个交点，∴方程有两个不相等的实数根，∴解得（2）∵k 为正整数，∴k=1．∴令y=0，得解得∴交点为（﹣2，0）和（0，0）.【变式训练】已知二次函数的图象经过点(3，－8)，对称轴是直线x＝－2，此时抛物线与x轴的两交点间距离为6.(1)求抛物线与x轴两交点坐标；(2)求抛物线的解析式．【答案】(1)(－5，0)，(1，0)；（2）y＝－x2－2x＋.【解析】(1) ∵因为抛物线对称轴为直线x=-2，且图象与x轴的两个交点的距离为6，∴点A、B到直线x=-2的距离为3，∴A为（-5，0），B为（1，0）；(2)设y＝a(x＋5)(x－1)．∵点(3，－8)在抛物线上，∴－8＝a(3＋5)(3－1)，a＝－，∴y＝－x2－2x＋.【能力提升】已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）求该二次函数与x轴的交点坐标和顶点；（2）在所给坐标系中画出该二次函数的大致图象，并写出当y＜0时，x的取值范围．【答案】（1）二次函数与x轴的交点坐标为（1，0）（3，0），抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；（2）图见详解；当y＜0时，1＜x＜3．【解析】（1）当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，所以该二次函数与x轴的交点坐标为（1，0）（3，0）；因为y＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）2﹣1，所以抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；（2）函数图象如图：由图象可知，当y＜0时，1＜x＜3．专题验收测试题1．将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣2向左平移2个单位，向下平移3个单位后的新抛物线解析式为（）A．y＝﹣2（x﹣1）2+1 B．y＝﹣2（x+3）2﹣5C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣5 D．y＝﹣2（x+3）2+1【答案】B【解析】解：将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣2向左平移2个单位，向下平移3个单位后的新抛物线解析式为：y＝﹣2（x+3）2﹣5．故选：B．2．二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）【答案】A【解析】解：二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标为（1，3）．故选：A．3．若二次函数y＝（k+1）x2﹣2x+k的最高点在x轴上，则k的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【答案】D【解析】∵二次函数y＝（k+1）x2﹣2x+k的最高点在x轴上，∴△＝b2﹣4ac＝0，即8﹣4k（k+1）＝0，解得：k1＝1，k2＝﹣2，当k＝1时，k+1＞0，此时图象有最低点，不合题意舍去，则k的值为：﹣2．故选：D．4．已知二次函数为常数，且），（）A．若，则的增大而增大；B．若，则的增大而减小；C．若，则的增大而增大；D．若，则的增大而减小；【答案】C【解析】解：∵y=ax2+（a+2）x-1对称轴直线为，x=-=-．由a＜0得，-＞0．∴-＞-1．又∵a＜0∴抛物线开口向下．故当x＜-时，y随x增大而增大．又∵x＜-1时，则一定有x＜-．∴若a＜0，则x＜-1，y随x的增大而增大．故选：C．5．二次函数y＝3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（）A．图象的开口向下B．图象的顶点坐标是（1，2）C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．图象与y轴的交点坐标为（0，2）【答案】B【解析】解：A、因为a＝3＞0，所以开口向上，错误；B、顶点坐标是（1，2），正确；C、当x＞1时，y随x增大而增大，错误；D、图象与y轴的交点坐标为（0，5），错误；故选：B．6．将抛物线y＝x2﹣x+1先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为（）A．y＝x2+3x+6 B．y＝x2+3x C．y＝x2﹣5x+10 D．y＝x2﹣5x+4【答案】A【解析】，当向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得.故选A．7．把抛物线y＝ax2+bx+c图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的解析式是y＝x2+5x+6，则a﹣b+c的值为（）A．2 B．3 C．5 D．12【答案】B【解析】y＝x2+5x+6＝（x+）2﹣．则其顶点坐标是（﹣，﹣），将其右左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到（﹣）．故原抛物线的解析式是：y＝（x+）2+＝x2+x+3．所以a＝b＝1，c＝3．所以a﹣b+c＝1﹣1+3＝3．故选B．8．已知二次函数y＝﹣（x﹣k+2）（x+k）+m，其中k，m为常数．下列说法正确的是（）A．若k≠1，m≠0，则二次函数y的最大值小于0B．若k＜1，m＞0，则二次函数y的最大值大于0C．若k＝1，m≠0，则二次函数y的最大值小于0D．若k＞1，m＜0，则二次函数y的最大值大于0【答案】B【解析】∵y＝﹣（x﹣k+2）（x+k）+m＝﹣（x+1）2+（k﹣1）2+m，∴当x＝﹣1时，函数最大值为y＝（k﹣1）2+m，则当k＜1，m＞0时，则二次函数y的最大值大于0．故选：B．9．关于抛物线，下列说法错误．．的是（）．A．开口向上B．与轴只有一个交点C．对称轴是直线D．当时，的增大而增大【答案】B【解析】解：A、，抛物线开口向上，所以A选项的说法正确；B、当时，即，此方程没有实数解，所以抛物线与x轴没有交点，所以B选项的说法错误；C、抛物线的对称轴为直线，所以C选项的说法正确；D、抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线，则当时，y随x的增大而增大，所以D选项的说法正确．故选：B．10．将抛物线y＝﹣3x2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y＝﹣3（x﹣2）2+4 B．y＝﹣3（x﹣2）2﹣2C．y＝﹣3（x+2）2+4 D．y＝﹣3（x+2）2﹣2【答案】D【解析】将抛物线y＝﹣3x2+1向左平移2个单位长度所得直线解析式为：y＝﹣3（x+2）2+1；再向下平移3个单位为：y＝﹣3（x+2）2+1﹣3，即y＝﹣3（x+2）2﹣2．故选D．11．已知抛物线经过点，则该抛物线的解析式为__________．【答案】【解析】解：将A、O两点坐标代入解析式得：，解得：，∴该抛物线的解析式为：y=.12．二次函数y=（a-1）x2-x+a2-1 的图象经过原点，则a的值为______．【答案】-1【解析】解：∵二次函数y=（a-1）x2-x+a2-1 的图象经过原点，∴a2-1=0，∴a=±1，∵a-1≠0，∴a≠1，∴a的值为-1．故答案为：-1．13．将二次函数y=x2的图象先向上平移1个单位，然后向右平移2个单位，得到新的二次函数的顶点式为______．【答案】y=（x-2）2+1【解析】解：将抛物线y=x2的图象先向上平移1个单位，然后向右平移2个单位后，得到的抛物线的表达式为y=（x-2）2+1，故答案为：y=（x-2）2+1．14．将抛物线y＝2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是_____．【答案】y＝2（x+3）2+1【解析】抛物线y＝2x2平移，使顶点移到点P（﹣3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为y＝2（x+3）2+1．故答案为：y＝2（x+3）2+115．在平面直角坐标系xOy 中，函数y = x2的图象经过点M (x1 , y1 ) ，N (x2 , y2 ) 两点，若- 4< x1<-2，0< x2<2 ，则y1 ____ y2 . （用“ <”，“=”或“>”号连接）【答案】>【解析】解：抛物线y=x2的对称轴为y轴，而M（x1，y1）到y轴的距离比N（x2，y2）点到y轴的距离要远，所以y1＞y2．故答案为：＞．16．小颖从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下列信息：；；；；．你认为其中正确信息的个数有______．【答案】【解析】解：抛物线的对称轴位于y轴左侧，则a、b同号，即，抛物线与y轴交于正半轴，则，所以，故错误；如图所示，当时，，所以，故正确；对称轴，，则如图所示，当时，，，，故正确；如图所示，当时，，故错误；综上所述，正确的结论是：．故答案是：．17．已知二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与x轴的交点坐标为（m﹣2，0）和（2m+1，0）．（1）若x＜0时，y随x的增大而增大，求m的取值范围；（2）若y ＝1时，自变量x 有唯一的值，求二次函数的解析式．【答案】（1）31=m （2）y ＝﹣x 2﹣4x ﹣3和y ＝﹣x 2﹣16x ﹣63．【解析】解：（1）由题意可知，二次函数图象的对称轴为x ＝2213122m m m -++-=，∵a ＝﹣1＜0，∴二次函数的图象开口向下， ∵x ＜0时，y 随x 的增大而增大，∴312m -≥0，解得m ≥13，（2）由题意可知，二次函数的解析式为y ＝﹣（x ﹣312m -）2+1， ∵二次函数的图象经过点（m ﹣2，0）， ∴0＝﹣（m ﹣2﹣312m -）2+1，解得m ＝﹣1和m ＝﹣5，∴二次函数的解析式为y ＝﹣x 2﹣4x ﹣3和y ＝﹣x 2﹣16x ﹣63． 18．设二次函数y 1＝ax 2+bx +a ﹣5（a ，b 为常数，a ≠0），且2a +b ＝3．（1）若该二次函数的图象过点（﹣1，4），求该二次函数的表达式；（2）y 1的图象始终经过一个定点，若一次函数y 2＝kx +b （k 为常数，k ≠0）的图象也经过这个定点，探究实数k ，a 满足的关系式；（3）已知点P （x 0，m ）和Q （1，n ）都在函数y 1的图象上，若x 0＜1，且m ＞n ，求x 0的取值范围（用含a 的代数式表示）．【答案】（1）y ＝3x 2﹣3x ﹣2；（2）k ＝2a ﹣5；（3）x 0<．【解析】解：（1）∵函数y 1＝ax 2+bx +a ﹣5的图象经过点（﹣1，4），且2a +b ＝3 ∴，∴，∴函数y 1的表达式为y ＝3x 2﹣3x ﹣2；（2）∵2a +b ＝3∴二次函数y1＝ax2+bx+a﹣5＝ax2+（3﹣2a）x+a﹣5，整理得，y1＝[ax2+（3﹣2a）x+a﹣3]﹣2＝（ax﹣a+3）（x﹣1）﹣2∴当x＝1时，y1＝﹣2，∴y1恒过点（1，﹣2）∴代入y2＝kx+b得∴﹣2＝k+3﹣2a得k＝2a﹣5∴实数k，a满足的关系式：k＝2a﹣5（3）∵y1＝ax2+（3﹣2a）x+a﹣5∴对称轴为x＝﹣，∵x0＜1，且m＞n∴当a＞0时，对称轴x＝﹣，解得，当a＜0时，对称轴x＝﹣，解得（不符合题意，故x0不存在）故x0的取值范围为：19．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A和点B（1）求该二次函数的解析式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标．【答案】(1) y＝x2﹣4x﹣6；（2）对称轴为x＝2；顶点坐标是（2，﹣10）．【解析】（1）根据题意，得，解得，∴所求的二次函数的解析式为y＝x2﹣4x﹣6．（2）又∵y＝x2﹣4x﹣6＝（x﹣2）2﹣10，∴函数图象的对称轴为x＝2；顶点坐标是（2，﹣10）．20．如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，其中A点的坐标为（-3，0），C为抛物线与y轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且S△POC=2S△BOC，求点P的坐标．【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）点P的坐标为（2，5）或（﹣2，﹣3）【解析】（1）∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，A点的坐标为（﹣3，0），∴点B的坐标为（1，0）．将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得：解得：b＝2，c＝﹣3，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．（2）∵将x＝0代y＝x2+2x﹣3入，得y＝﹣3，∴点C的坐标为（0，﹣3）．∴OC＝3．∵点B的坐标为（1，0），∴OB＝1．设点P的坐标为（a，a2+2a﹣3），则点P到OC的距离为|a|．∵S△POC＝2S△BOC，∴12OC•|a|＝12OC•OB，即12×3×|a|＝2×12×3×1，解得a＝±2．当a＝2时，点P的坐标为（2，5）；当a＝﹣2时，点P的坐标为（﹣2，﹣3）．∴点P的坐标为（2，5）或（﹣2，﹣3）．21．已知抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a≠0）．（1）直接写出该抛物线的对称轴．（2）试说明无论a为何值，该抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标．【答案】（1）；（2）抛物线一定经过点.【解析】解：（1）该抛物线的对称轴为x=-;（2）可化为，当，即时，，抛物线一定经过点.22．如图，已知点A(-1，0)，B(3，0)，C(0，)在抛物线y=ax2+bx+c 上.(1)求抛物线解析式；(2)在第一象限的抛物线上求一点P，使△PBC的面积为.【答案】(1)；(2)点P的坐标为(1，2)或(2，).【解析】(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)，将C(0，)代入，得-3a=，解得∴抛物线的解析式为(2)过点P作PD⊥x轴于D.设点，∴S四边形ACOB=S梯形PDOC+S△PBD =(=∴S△PBC=S四边形PCOB- S△BOC=整理得，解得x=1或x=2.∴点P的坐标为(1，2)或(2，)。

二次函数常见的表达形式有

二次函数常见的表达形式有：（1）一般式：y ax bx c a=++≠20()；（2）顶点式：y a x m h=-+()2，其中点（m,h）为该二次函数的顶点；（3）交点式：y a x x x x=--()()12，其中点(,)()x x1200，，为该二次函数与x轴的交点。

1）二次函数关系式设为：y=ax2+bx+c（a≠0）复习1．抛物线)0(2≠++=acbxaxy，对称轴为直线x＝2，且过点P（3，0），则cba++= ；2．函数baxy +=与cbxaxy++=2的图象如图所示，则ab 0，c 0（填“＜”或“＞”）3．已知抛物线cbxxy++=2的部分图象如图所示，若y<0,则x的取值范围是；4．已知抛物线y=3(x-1)2+k上有三点A(2,y1),B(2,y2),C(-5,y3),则y1,y2,y3的大小关系为；5．已知二次函数,2cbxaxy++=且0,0>+-<cbaa，则一定有b2-4ac 0；例1. （南通市）已知抛物线y ax bx c=++2经过A，B，C三点，当x≥0时，其图象如图1所示。

求抛物线的解析式，写出顶点坐标。

解：设所求抛物线的解析式为y ax bx c=++2（a≠0）。

由图象可知A，B，C的坐标分别为（0，2），（4，0），（5，-3）。

∴=++=++=-⎧⎨⎪⎩⎪ca b ca b c216402553,,，解之，得abc=-==⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪12322,,∴抛物线的解析式为y x x =-++123222825)23(212)3(2122+--=+--=x x x ∴该抛物线的顶点坐标为()32258，。

例2 （江西省）一条抛物线y x mx n =++142经过点()032，与()432，。

求这条抛物线的解析式。

1. （2006年长春市）二次函数y x bx c =++2的图象经过点M （1，-2），N （-1，6）。

求二次函数y x bx c =++2的关系式。

二次函数的三种表达形式

•二次函数的三种表白形式：①普遍式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶面坐标为[,]把三个面代进函数剖析式得出一个三元一次圆程组，便能解出a、b、c的值.之阳早格格创做②顶面式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶面坐标为对于称轴为直线x=h，顶面的位子特性战图像的启心目标与函数y=ax2的图像相共，当x=h时，y最值=k.偶尔题目会指出让您用配要发把普遍式化成顶面式.例：已知二次函数y的顶面(1,2)战另一任性面(3,10)，供y 的剖析式.解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代进上式，解得y=2(x-1)2+2. 注意：与面正在仄里直角坐标系中的仄移分歧，二次函数仄移后的顶面式中，h>0时，h越大，图像的对于称轴离y 轴越近，且正在x轴正目标上，没有克没有及果h前是背号便简朴天认为是背左仄移.简直可分为底下几种情况：当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由扔物线y=ax2背左仄止移动h个单位得到；当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由扔物线y=ax2背左仄止移动|h|个单位得到；当h>0,k>0时，将扔物线y=ax2背左仄止移动h个单位，再进与移动k个单位，便不妨得到y=a(x-h)2+k的图象；当h>0,k<0时，将扔物线y=ax2背左仄止移动h个单位，再背下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h<0,k>0时，将扔物线y=ax2背左仄止移动|h|个单位，再进与移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h<0,k<0时，将扔物线y=ax2背左仄止移动|h|个单位，再背下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象.③接面式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有接面时的扔物线，即b2-4ac≥0] .已知扔物线与x轴即y=0有接面A（x1，0）战 B（x2，0）,咱们可设y=a(x-x1)(x-x2),而后把第三面代进x、y中即可供出a.由普遍式形成接面式的步调：二次函数∵x1+x2=-b/a， x1?x2=c/a(由韦达定理得),∴y=ax2+bx+c=a(x2+b/ax+c/a)=a[x2-(x1+x2)x+x1?x2]=a(x-x1)(x-x2).要害观念：a，b，c为常数，a≠0，且a决断函数的启心目标.a>0时，启心目标进与；a<0时，启心目标背下.a的千万于值不妨决断启心大小.a的千万于值越大启心便越小，a的千万于值越小启心便越大.能机动使用那三种办法供二次函数的剖析式；能流利天使用二次函数正在几许范围中的应用；能流利天使用二次函数办理本质问题.•二次函数阐明式的供法：便普遍式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而止，其中含有三个待定的系数a ，b ，c．供二次函数的普遍式时，必须要有三个独力的定量条件，去修坐闭于a ，b ，c 的圆程，联坐供解，再把供出的a ，b ，c 的值反代回本函数剖析式，即可得到所供的二次函数剖析式.1.巧与接面式法：知识归纳：二次函数接面式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0）x1，x2分别是扔物线与x轴二个接面的横坐标.已知扔物线与x轴二个接面的横坐标供二次函数剖析式时，用接面式比较烦琐.①典型例题一：报告扔物线与x轴的二个接面的横坐标，战第三个面，可供出函数的接面式.例：已知扔物线与x轴接面的横坐标为-2战1 ，且通过面（2，8），供二次函数的剖析式.面拨：解设函数的剖析式为y＝a(x+2)(x-1)，∵过面（2，8），∴8＝a(2+2)(2-1).解得a=2，∴扔物线的剖析式为：y＝2(x+2)(x-1)，即y＝2x2+2x-4.②典型例题二：报告扔物线与x轴的二个接面之间的距离战对于称轴，可利用扔物线的对于称性供解.例：已知二次函数的顶面坐标为（3，-2），而且图象与x 轴二接面间的距离为4，供二次函数的剖析式.面拨：正在已知扔物线与x轴二接面的距离战顶面坐目标情况下，问题比较简单办理．由顶面坐标为（3，-2）的条件，易知其对于称轴为x＝3，再利用扔物线的对于称性，可知图象与x轴二接面的坐标分别为（1，0）战（5，0）.此时，可使用二次函数的接面式，得出函数剖析式.2.巧用顶面式：顶面式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是扔物线的顶面.当已知扔物线顶面坐标或者对于称轴，或者不妨先供出扔物线顶面时，设顶面式解题格外简净，果为其中惟有一个已知数a.正在此类问题中，常战对于称轴，最大值或者最小值分离起去命题.正在应用题中，波及到桥拱、隧讲、弹讲直线、投篮等问题时，普遍用顶面式便当．①典型例题一：报告顶面坐标战另一个面的坐标，间接不妨解出函数顶面式.例：已知扔物线的顶面坐标为（-1，-2），且通过面（1，10），供此二次函数的剖析式.面拨：解∵顶面坐标为（-1，-2），故设二次函数剖析式为y=a(x+1)2-2 （a≠0）.把面（1，10）代进上式，得10=a·(1+1)2-2.∴a=3.∴二次函数的剖析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1.②典型例题二：如果a>0，那么当时，y有最小值且y最小=；如果a<0，那么，当时，y有最大值，且y最大=. 报告最大值或者最小值，本质上也是报告了顶面坐标，共样也不妨供出顶面式.例：已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x 轴二接面间的距离为6，供那个二次函数的剖析式.面拨：析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶面坐标为（4，-3），对于称轴为直线x＝4，扔物线启心进与.由于图象与x轴二接面间的距离为6，根据图象的对于称性便不妨得到图象与x轴二接面的坐标是（1，0）战（7，0）. ∴扔物线的顶面为（4，-3）且过面（1，0）.故可设函数剖析式为y＝a(x－4)2－3.将（1，0）代进得0＝a(1－4)2－3, 解得a＝13．∴y＝13(x－4)2-3，即y＝13x2－83x＋73.③典型例题三：报告对于称轴，相称于报告了顶面的横坐标，概括其余条件，也可解出.比圆：（1）已知二次函数的图象通过面A（3，-2）战B（1，0），且对于称轴是直线x＝3．供那个二次函数的剖析式. （2）已知闭于x的二次函数图象的对于称轴是直线x=1，图象接y轴于面（0，2），且过面（-1，0），供那个二次函数的剖析式.（3）已知扔物线的对于称轴为直线x=2，且通过面（1，4）战面（5，0），供此扔物线的剖析式.（4）二次函数的图象的对于称轴x=-4，且过本面，它的顶面到x轴的距离为4，供此函数的剖析式．④典型例题四：利用函数的顶面式，解图像的仄移等问题非常便当.例：把扔物线y=ax2+bx+c的图像背左仄移3 个单位, 再背下仄移2 个单位, 所得图像的剖析式是y=x2-3x+5, 则函数的剖析式为_______.面拨：解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114. ∵它是由扔物线的图像背左仄移3 个单位, 再背下仄移2 个单位得到的，∴本扔物线的剖析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7.。

二次函数的图像及其三种表达式

二次函数的图像及其三种表达式学生：时间：学习目标1、熟悉常见的二次函数的图像；2、理解二次函数的三种表达式知识点分析1、.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P （h ，k ）]交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x 轴有交点A （x1，0）和 B （x2，0）的抛物线]2、一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0，且a 决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI 还可以决定开口大小,IaI 越大开口就越小,IaI 越小开口就越大.）则称y 为x 的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

例题精讲例题1已知函数y=x 2＋bx ＋1的图象经过点（3，2）．（1）求这个函数的表达式；（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；（3）当x ＞0时，求使y ≥2的x 的取值范围．例题2、一次函数y=2x ＋3，与二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象交于A （m ，5）和B （3，n ）两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9．（1）求二次函数的表达式；（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；（3）从图象上观察，x 为何值时，一次函数与二次函数的值都随x 的增大而增大．（4）当x 为何值时，一次函数值大于二次函数值？随堂练习1．已知函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象，如图①所示，则下列关系式中成立的是（） A ．0＜－a b 2＜1 B ．0＜－a b 2＜2 C ．1＜－a b 2＜2 D ．－a b 2=1图① 图② 2.函数y =21x 2+2x +1写成y =a (x －h)2+k 的形式是 A.y =21(x －1)2+2 B.y =21(x －1)2+21 C.y =21(x －1)2－3 D.y =21(x +2)2－13.抛物线y =－2x 2－x +1的顶点在第_____象限A.一B.二C.三D.四4.不论m 取任何实数，抛物线y =a (x +m )2+m (a ≠0)的顶点都A.在y =x 直线上B.在直线y =－x 上C.在x 轴上D.在y 轴上5.任给一些不同的实数n ，得到不同的抛物线y =2x 2+n ，如当n =0，±2时，关于这些抛物线有以下结论：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状都相同；④都有最低点，其中判断正确的个数是A.1个B.2个C.3个D.4个6.二次函数y =x 2+p x +q 中，若p+q=0，则它的图象必经过下列四点中A.(－1，1)B.(1，－1)C.(－1，－1)D.(1，1)图37.下列说法错误的是A.二次函数y =－2x 2中，当x =0时，y 有最大值是0B.二次函数y =4x 2中，当x >0时，y 随x 的增大而增大C.在三条抛物线y =2x 2，y =－0.5x 2，y =－x 2中，y =2x 2的图象开口最大，y =－x 2的图象开口最小D.不论a 是正数还是负数，抛物线y =ax 2(a ≠0)的顶点一定是坐标原点8.已知二次函数y =x 2+(2k +1)x +k 2－1的最小值是0，则k 的值是 A.43 B.－43 C.45 D.－45 9.小颖在二次函数y =2x 2+4x +5的图象上，依横坐标找到三点(－1，y 1)，(21，y 2)， (－321，y 3)，则你认为y 1，y 2，y 3的大小关系应为A.y 1>y 2>y 3B.y 2>y 3>y 1C.y 3>y 1>y 2D.y 3>y 2>y 110.抛物线y =21(x +3)2的顶点坐标是______. 11.将抛物线y =3x 2向上平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是______.12.函数y =34x －2－3x 2有最_____值为_____. 13.已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图象顶点为(－2，3)，且过(－1，5)，则抛物线的表达式为______.14.二次函数y =mx 2+2x +m －4m 2的图象过原点，则此抛物线的顶点坐标是______.15．抛物线y=ax 2＋bx ＋c （c ≠0）如图②所示，回答：（1）这个二次函数的表达式是；（2）当x= 时，y=3；16．抛物线y=ax 2＋bx ＋c （c ≠0）如图②所示，回答：（1）这个二次函数的表达式是；（2）当x= 时，y=3；（3）根据图象回答：当x 时，y ＞0．17．已知抛物线y=－x 2＋（6－2k ）x ＋2k －1与y 轴的交点位于（0，5）上方，则k 的取值范围是．18．一根长为100m 的铁丝围成一个矩形的框子，要想使铁丝框的面积最大，边长分别为．19．若两个数的差为3，若其中较大的数为x ，则它们的积y 与x 的函数表达式为，它有最值，即当x= 时，y= ．20．边长为12cm 的正方形铁片，中间剪去一个边长为x 的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y （cm 2）与x （cm ）之间的函数表达式为．21．等边三角形的边长2x 与面积y 之间的函数表达式为．22．抛物线y=x 2＋kx －2k 通过一个定点，这个定点的坐标为．23．已知抛物线y=x 2＋x ＋b 2经过点（a ，－41）和（－a ，y 1），则y 1的值是．24．如图，图①是棱长为a 的小正方体，②、③是由这样的小正方体摆放而成，按照这样的方法继续摆放，由上而下分别叫第一层、第二层……第n 层，第n 层的小正方体的个数记为S ，解答下列问题：（1）按照要求填表：n 1 2 3 4 …s 1 3 6 …（2）写出当n=10时，S= ．（3）根据上表中的数据，把S 作为纵坐标，n 作为横坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．（4）请你猜一猜上述各点会在某一函数图象上吗？如果在某一函数的图象上，求出该函数的表达式．25．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．图中二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S （万元）与销售时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S （万元）与时间t （月）之间的函数表达式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？。

二次函数三种表达形式

函数三种表达形式与a,b,c,∆符号【知识要点】一．图形a ，b ，c ，∆的符号的确定，它们之间的关系：1. 0>a ⇔ 开口向上 0<a ⇔ 开口向下2. 02=-a b ⇔ 对称轴为y 轴 02<-ab ⇔ 对称轴在y 轴左侧 02>-ab⇔ 对称轴在y 轴右侧（左同右异） 3. 0=c ⇔ 经过原点 0>c ⇔ 与y 轴正半轴相交 3.0<c ⇔ 与y 轴负半轴相交 4. 0=∆ ⇔ 与x 轴只有一个交点（顶点在x 轴上） 0>∆ ⇔ 与x 轴有两个交点0<∆ ⇔ 与x 轴无交点二．二次函数解析式的三种形式：（1）一般式：2y ax bx c =++(a,b,c 为常数，a ≠0)；已知抛物线上任意三点或三组x,y 的对应值时，通常设函数解析式为一般式2y ax bx c =++，然后列三元一次方程组求解a,b,c 。

（2）顶点式：k h x a y +-=2)( (a,h,k 为常数，a ≠0)已知抛物线顶点坐标或对称轴，函数最值等及第三点时，设二次函数k h x a y +-=2)(，求解。

（3）两根式（或截距式）：12()()y a x x x x =--（a, 12,x x 为常数，a ≠0）其中12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标。

【例题讲解】例1．1 已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象是（1）a 0，b 0，c 0（填“>”或“<”）（2）点（bc ac ,）在直角坐标系中的第象限．（3）二次函数，满足ac b 42- 0．（4）一次函数c ax y +=的图象不经过第象限．2．二次函数c bxax y ++=2的图象,如图（1）所示，则系数b ax y +=的图象只可能是图（）x例2.二次函数的图象如下图所示，则在下列不等式中，成立的个数是（） ①abc<0 ②a+b+c<0 ③a+c>b ④a<2c b- A ．1 B ．2 C ．3 D ．4例3．(1)若0,0,0<><c b a ，则抛物线c bx ax y ++=2的大致图象为（）（2）．二次函数c bx ax y ++=2()0≠a 的图象，如图，下列结论①0<c ②0>b ③024>++c b a ④()22b c a <+其中正确的有（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个例4.不论x 为何实数，二次函数22y ax x c =-+的值恒为负的条件（） A ．0,1a ac >> B ．0,1a ac >< C ．0,1a ac << D ．0,1a ac <>例5 ．如图，抛物线2812y mx mx n =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），在第二象限内抛物线上的一点C ，使△OCA ∽△OBC ，且:3:1AC BC =，若直线AC 交y 轴于P 。

二次函数的三种解析式

∴ A（-1，0），（3，0）），B（，）（，），）（x- ） ∴抛物线的解析式为y=a（x+ 1）（ 3）抛物线的解析式为（）（又∵抛物线的顶点为P （1，-4） ∵抛物线的顶点为，））（1- ） ∴-4=a（1+1）（ 3）（）（ ∴a=1 ）（x- ） ∴y = （x+ 1）（ 3））（
(2)交x轴于（x1，0），（x2，0），顶点为交轴于轴于A（），B（），顶点为），）， P（1，-4），且x12+x22=10 ），且（，），
解： ∵ ∴
x1 + x 2 2
=1
y
x1 + x 2
=2
∵ x12+x22=10 ∴x1= -1 ; x2=3 A -1 o -4 1 B 3
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c （1）解：设抛物线的解析式为））、C（，） ∵图象过A(0，1) 、B（1，2）、（2，-1）三点图象过，（，）、
a × 0 2 + b × 0 + c = 1 2 ∴ a × 1 + b × 1 + c = 2 a × 2 2 + b × 2 + c = −1 a = −2 ∴ b = 3 c = 1
-1 O
m
y
n
1
x
课堂小结：课堂小结：
1. 抛物线的三种解析式？抛物线的三种解析式？ 2. 如何选择这三种解析式求抛物线的解析式？如何选择这三种解析式求抛物线的解析式？ 3. 各种解析式对称轴、顶点坐标求法？各种解析式对称轴、顶点坐标求法？ 4. 二次函数的最值的求法？二次函数的最值的求法？ 5. 抛物线的平移规律？抛物线的平移规律？ 6. 抛物线与轴两交点距离的求法？抛物线与x轴两交点距离的求法？轴两交点距离的求法

二次函数的几种表达形式

二次函数的几种表达形式二次函数是高中数学中的重要概念，是一种形式为y = ax^2 + bx + c的函数。

在实际问题中，二次函数常常用于描述抛物线的形状、物体的运动轨迹等。

这篇文章将介绍二次函数的几种表达形式，包括顶点形式、标准形式和描点形式。

一、顶点形式二次函数的顶点形式为y = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为抛物线的顶点坐标。

顶点形式的优点是可以直接读出抛物线的顶点坐标，从而确定抛物线的最值和对称轴。

例如，对于函数y = 2(x - 3)^2 - 4，顶点坐标为(3, -4)，抛物线开口向上，最小值为-4，对称轴为x = 3。

二、标准形式二次函数的标准形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。

标准形式常用于求解二次函数的零点和判别式。

对于标准形式的二次函数，其零点可以通过求解方程ax^2 + bx + c = 0来得到。

判别式Δ = b^2 - 4ac可以判断二次函数的根的情况。

当Δ > 0时，函数有两个不相等的实根；当Δ = 0时，函数有两个相等的实根；当Δ < 0时，函数没有实根。

例如，对于函数y = x^2 + 2x + 1，其判别式Δ = 2^2 - 4 × 1 × 1 = 0，说明函数有一个重根x = -1。

三、描点形式二次函数的描点形式是通过给定函数的一些特定点来确定函数的形式。

常见的特定点有顶点、x轴交点和对称轴上的一点。

通过给定这些点的坐标，可以得到二次函数的具体形式。

例如，已知抛物线的顶点坐标为(2, 3)，与x轴交于点(1, 0)，则可以通过以下步骤确定二次函数的描点形式：首先，由顶点坐标可得函数的顶点形式为y = a(x - 2)^2 + 3；其次，将交点坐标代入函数中可得0 = a(1 - 2)^2 + 3，解得a = -3；最后，代入a的值得到描点形式为y = -3(x - 2)^2 + 3。

二次函数关系式的三种形式

二次函数关系式的三种形式1.引言1.1 概述二次函数是数学中的重要概念，在许多领域都有广泛的应用。

它是一个拥有二次项的多项式函数，通常用一般形式表示为f(x) = ax^2 + bx + c。

其中，a、b和c分别代表函数的系数。

二次函数关系式可以通过三种形式来表示：标准形式、顶点形式和描点形式。

本文将对这三种形式进行详细介绍，包括定义和特点，并给出一些示例和应用。

在二次函数关系式的标准形式中，函数表达式会经过整理化简，常见形式为f(x) = ax^2 + bx + c。

标准形式的特点是系数a、b和c可以直接体现函数的性质，例如a决定了函数的开口方向，b决定了函数的对称轴以及接触或穿过x轴的情况，c则是函数在y轴上的截距。

标准形式的示例和应用可帮助读者更好地理解和应用二次函数关系式。

另一种常见的表达形式是二次函数关系式的顶点形式。

顶点形式的函数表达式为f(x) = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)代表二次函数的顶点坐标。

顶点形式的特点是可以直观地描述二次函数的顶点位置及函数的凹凸性，方便进行图像的绘制和分析。

顶点形式的示例和应用将帮助读者更深入地理解二次函数的几何性质和图像特点。

此外，二次函数关系式还可以通过描点形式来表示。

描点形式的函数表达式为f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)，其中(x_1,y_1)和(x_2,y_2)分别为二次函数的两个描点坐标。

描点形式的特点是可以通过已知点的坐标，直接构造出二次函数的表达式，方便进行函数的推导和计算。

描点形式的示例和应用将帮助读者更好地理解和使用二次函数关系式。

总之，本文将详细介绍二次函数关系式的三种形式：标准形式、顶点形式和描点形式。

通过深入理解这三种形式的定义、特点和应用，读者将能够更好地掌握二次函数的性质和图像特点，进而在实际问题中灵活运用。

文章结构部分的内容可以如下编写：1.2 文章结构本文将分为三个主要部分进行讨论。

首先，在引言部分，我们将简要概述本文的主题和目的，为读者提供一个整体了解的框架。

二次函数的三种表示方式

二次函数的三种表示方式1．二次函数的一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．二次函数的顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2＋bx＋c＝0．①并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac存在下列关系：（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立．于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以x 1＋x2＝，x1x2＝，即＝－(x1＋x2)，＝x1x2．所以，y＝ax2＋bx＋c＝a( )= a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1) (x－x2)．由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)．这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3．二次函数的交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．。

第四讲二次函数的三种表示方式

第四讲二次函数的三种表示方式第一部分：二次函数的三种表示方式通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2＋bx＋c＝0．①并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac存在下列关系：（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立．于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以x1＋x2＝ba-，x1x2＝ca，即ba＝－(x1＋x2)，ca＝x1x2．所以，y＝ax2＋bx＋c＝a(2b cx xa a++)= a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1) (x－x2)．由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)．这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．例2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．例3已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？小结内容练习1．选择题:（1）函数y＝－x2＋x－1图象与x轴的交点个数是（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）无法确定（2）函数y＝－12(x＋1)2＋2的顶点坐标是（）（A）(1，2) （B）(1，－2) （C）(－1，2) （D）(－1，－2)2．填空：（1）已知二次函数的图象经过与x轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y＝a(a≠0) ．（2）二次函数y＝－x2+23x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为．3．根据下列条件，求二次函数的解析式．（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；（2）当x＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；（3）函数图象与x轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y轴交于(0，－2)．第二部分二次函数的简单应用一、函数图象的平移变换与对称变换1．平移变换问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可．例1 求把二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位．2．对称变换问题2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题．例2 求把二次函数y ＝2x 2－4x ＋1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式：（1）直线x ＝－1；（2）直线y ＝1．x y Ox ＝－1 A (1,－1) A 1(－3,－1) 图2.2－7 x y Oy ＝1 A (1,－1)B (1，3) 图2.2－8二、分段函数一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数．例3在国内投递外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g不超过40g付邮资160分，超过40g不超过60g付邮资240分，依此类推，每封x g(0＜x≤100)的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象．例4如图9－2所示，在边长为2的正方形ABCD的边上有一个动点P，从点A出发沿折线ABCD移动一周后，回到A点．设点A移动的路程为x，ΔP AC 的面积为y．（1）求函数y的解析式；（2）画出函数y的图像；（3）求函数y的取值范围．AC BDP 图2.2－10。

二次函数的六种表达式

二次函数的六种表达式一、标准式二次函数的标准式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c均为常数，a不为0。

其中a决定了二次函数的开口方向和开口程度，当a>0时开口向上，当a<0时开口向下；b决定了二次函数的对称轴位置，对称轴方程为x=-b/2a；c决定了二次函数与y轴的交点位置。

在应用中，可以通过标准式方程确定二次函数的各项参数，进而画出函数图像。

同时，可以通过标准式方程求解二次方程，解决实际问题。

二、顶点式二次函数的顶点式为y=a(x-h)²+k，其中a、h、k均为常数，a不为0。

其中(h,k)为二次函数的顶点坐标。

通过顶点式可以方便地确定二次函数的顶点坐标，进而画出函数图像。

同时，可以通过顶点式进行函数的变形，例如平移、压缩、拉伸等操作。

三、描点式二次函数的描点式为y-y₁=a(x-x₁)²，其中(x₁,y₁)为已知点，a为常数且不为0。

通过描点式可以方便地确定二次函数的各项参数，进而画出函数图像。

同时，可以通过描点式求解二次方程，解决实际问题。

四、导数式二次函数的导数式为y'=2ax+b，其中a、b均为常数，a不为0。

通过导数式可以方便地确定二次函数的斜率，进而画出函数图像。

同时，可以通过导数式求解二次方程的极值，解决实际问题。

五、交点式二次函数的交点式为y=k(x-x₁)(x-x₂)，其中k、x₁、x₂均为常数，k 不为0，x₁、x₂为二次函数的零点。

通过交点式可以方便地确定二次函数的各项参数，进而画出函数图像。

同时，可以通过交点式求解二次方程，解决实际问题。

六、因式分解式二次函数的因式分解式为y=a(x-x₁)(x-x₂)，其中a、x₁、x₂均为常数，a不为0，x₁、x₂为二次函数的零点。

通过因式分解式可以方便地确定二次函数的各项参数，进而画出函数图像。

同时，可以通过因式分解式求解二次方程，解决实际问题。

二次函数有六种常见的表达式，每种表达式都有其特点和应用。

二次函数的三种表达形式.

二次函数的四种形式

二次函数的图像及其三种表达式

初中数学-二次函数的解析式

二次函数表达式三种形式的联系与区别

二次函数的表达式常见的三种形式

二次函数的三种表示方式(解析版)

二次函数常见的表达形式有

二次函数的三种表达形式

二次函数的图像及其三种表达式

二次函数三种表达形式

二次函数的三种解析式

二次函数的几种表达形式

二次函数关系式的三种形式

二次函数的三种表示方式

第四讲 二次函数的三种表示方式

二次函数的六种表达式

第四讲二次函数的三种表示方式