量子力学复习

一、填空

1．量子力学中，描写微观粒子状态的波函数随时间的变化规律由

(薛定谔方程)给出．

2．一维线性谐振子的波函数n ψ的宇称为 ． 3．在z σ表象中，z σ的矩阵表示为 ．

4．泡利不相容原理指出不容许有两个全同的 处于同一个单粒子态． 5．高能粒子散射宜采用 方法处理，低能粒子散射宜采用 处理． 6．微观体系的状态由 完全描述，由此可以得出体系的所有性质．它一般应满足 、 、 三个条件． 1．几率守恒定律的微分表达式 ．

2．描述微观粒子的动量算符为ˆp

= ． 3．两个厄密算符之和 （一定，不一定）为厄密算符．

4．原子置于外电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为 ． 5．体系的 具有确定值的状态称为定态． 体系处于定态时， 和 都与时间无关．

1．不能有两个或两个以上的 处于同一状态，这个结果称为泡利不相容原理． 2．算符在其自身表象中是一个 矩阵．

3．量子力学中，体系的任意态()x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态()n x φ展开：

()()n n n

x c x ψφ=∑，展开式系数n c = ．

4．用球坐标表示，粒子波函数表为(,,)r ψθϕ，粒子在立体角d Ω中被测到的几率为 ．

5．如果一个力学量在经典力学中有对应的量，则表示这个力学量的算符由经典表示式中将动量p

用算符 代换得出．

6．满足 式的矩阵S 称为幺正矩阵，由幺正矩阵所表示的变换称为幺正变换．幺正变换 （改变、不改变）算符的本征值．

7．波函数应满足三个基本条件 、 、 ． 1．量子力学描述方式的特点是微观系统的运动状态用 完全描写． 2． 是指质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子．

3．粒子波函数为(,,)r ψθϕ，则粒子在球壳d r r r →+中被测到的几率为 ． 4．一维无限深势阱中粒子的波函数n ψ的节点数为 ．

5．占有数表象中，产生算符†

ˆa

和湮灭算符ˆa 的对易关系为 ，一维线性谐振子的哈密顿算符ˆH

用†

ˆa ，ˆa 表示为 ． 6．量子力学中表示力学量的算符都是 算符，它们的本征函数组成 ．力

学量F 对应的算符ˆF 的本征方程为ˆn n n F φλφ=．当体系处于波函数()()n n n

x c x ψφ=

∑所描写

的状态时，测量力学量F 所得的数值必定是算符ˆF 的 之一，测得n

λ的几率是 ．

1．自由粒子的能量算符为 ．

2．在量子力学中，体系的量子态用希尔伯特空间中的 来描述，而力学量用 描述．

3．普朗克的量子假说揭示了微观粒子的 特性，爱因斯坦的光量子假说揭示了光的 性．

4．算符在其自身表象中是一个 矩阵，并且此矩阵的对角元素是算符的 ．

5．线性谐振子的零点能是 所要求的最小能量．

6．每个电子具有自旋角动量S

，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值 ． 7．在考虑自旋时氢原子的第n 个能级的简并度为 ．

1．根据表示力学量的算符规则写出量子力学中角动量算符的形式 ．

2．定态薛定谔方程的表示式为 ．

3．乌伦贝克和哥德斯密脱关于自旋的基本假设中，每个电子具有自旋角动量S

,它在空间任

何方向上的投影只能取 个数值为 ；每个电子具有自旋磁矩S M

，它和自旋角动量S

的关系是 （e -表示电子的电荷，μ表示

电子的质量．

4．波函数的标准条件是： 、 、 ． 5．1924年，德布罗意在光有波粒二象性的启示下，提出微观粒子也具有波粒二象性的假说．把粒子的能量E 和动量p

与波的频率ν和波长λ联系起来，表示为德布罗意关系 、 ．

二、单项选择

1．以下表达式错误的是（

）．

A ．ˆˆˆ[,]x y z

L L i L =

B ．ˆˆ[,]x x

p i =

C ．†

ˆˆ[,]1a

a = D ．ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]A

BC B A C A B C =+ 2．占有数表象中，下列表述有误的是（

）．

A ．粒子数算符为†ˆˆˆN

a a = B ．线性谐振子的哈密顿算符†

1

ˆˆˆ()2

H a a ω=+

C ．†ˆ1a n =+

D ．ˆ1a

n =- 3．电子在氢原子中受到球对称的库仑场的作用，不计电子自旋，第n 个能级有（ ）度

简并． A ．n

B ．2

n

C ．1n -

D ．2n

4．2

ˆˆ(,)z L L 的共同本征函数是球谐函数(,)lm Y θϕ，以下表述正确的是（ ）．

A ．2ˆ(,)(1)(,)lm lm L Y l l Y θϕθϕ=+

B ．ˆ(,)(,)z lm lm

L Y m Y θϕθϕ=

C ．2ˆL 的本征值是(1)l l +

D ．ˆz

L 的本征值是m 1．粒子处于一维束缚态，能级基态的节点数为（ ）． A ．1 B ．2 C ．0 D ．均有可能

2．一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用．玻色子只有两个可能的单粒子态．体系可能的状态有（ ）个．

A ．4

B ．3

C ．6

D ．无法确定

3．以下对力学量算符ˆF

的本征值和本征函数说法错误的是（ ）．

A ．本征值一定是实数

B ．本征函数构成正交归一函数系

C ．本征值必大于零

D ．本征函数构成完备函数系 4．以下有关散射理论说法正确的是（ ）． A ．高能粒子散射宜采用分波法处理 B ．低能粒子散射宜采用玻恩近似处理

C ．总散射截面(,)Q q d θϕ=Ω⎰

（(,)q θϕ为微分散射振幅）

D ．碰撞中原子被激发属于非弹性散射 1．测不准关系的存在是由于（ ）． A ．实验仪器精度的限制 B ．测量技术的限制

C ．波粒二象性

D ．不能分别测准粒子的坐标和相应的动量 2．以下关于表象间的变换矩阵说法错误的是（ ）．

A ．表象间的变换矩阵是幺正矩阵

B ．幺正变换不改变算符的本征值

C ．幺正变换改变矩阵的阵迹

D ．幺正变换不改变态矢量的归一化

3．若ˆA ，B ˆ是厄密算符，则下列各算符中必为厄密算符的是（

）．

A ．ˆˆAB

B ．ˆˆA B +

C ．ˆˆˆˆ()/2i AB

BA + D ．ˆcB （c 是任一复数） 4．以下对玻色子和费密子的叙述中错误的是（ ）．

A ．全同费密子体系的波函数是反对称的

B ．质子是玻色子

C ．全同玻色子体系服从玻色－爱因斯坦统计

D ．电子是费密子 5．以下关系错误的是（ ）．

A ．ˆˆ,0z x σσ+

⎡⎤=⎣⎦

B ．ˆˆ[,]x x

p i = C ．ˆˆˆ,2y z x i σσσ

⎡⎤=⎣⎦ D ．ˆˆ[,]z y

p i = 1．以下有关ˆz

L 和2ˆ

L 说法正确的是（

）．

A ．ˆz L 和2ˆL 有共同的本征函数系

B ．2ˆL 的本征值由磁量子数确定

C ．ˆz L 的本征值是m ,其中1,2,m =

D ．2ˆˆ,0z L L ⎡⎤≠⎢⎥⎣⎦

2．在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a ，如果粒子的状态由波函数

)()(x a Ax x -=ψ描写，则归一化常数A 等于（

）．