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概率论与数理统计51切比雪夫不等式和大数定律课件
概率论与数理统计51切比雪夫不 等式和大数定律课件
目录
• 切比雪夫不等式 • 大数定律 • 切比雪夫不等式与大数定律的联系 • 案例分析 • 习题与解答
01
切比夫不等式
Chapter
切比雪夫不等式简介
01
切比雪夫不等式是概率论中的一个基本不等式，它提供了在一定条件下，一个随 机变量的概率分布的上界和下界。
注意事项
使用切比雪夫不等式时，应注意其适用条件，特 别是随机变量的方差必须存在。
大数定律
要点一
总结词
大数定律描述了当试验次数趋于无穷时，随机事件的相对 频率趋于其概率的规律。
要点二
详细描述
大数定律表明，当试验次数n趋于无穷时，随机事件的相 对频率将以概率收敛于该事件的概率。具体来说，对于任 意小的正数ε，有$lim_{n to infty} P(| frac{X_n}{n} - p| < varepsilon) = 1$，其中$X_n$是n次试验中事件A发生的 次数，p是事件A的概率。
切比雪夫不等式的限制
虽然切比雪夫不等式在许多情况下都 很有用，但它也有一些限制。例如， 当随机变量的分布不是对称的或者偏 斜度较大时，切比雪夫不等式的估计 可能会不准确。
VS
因此，在使用切比雪夫不等式时，需 要考虑到这些限制，并根据具体情况 进行适当的调整和修正。
02
大数定律
Chapter
大数定律的定义
大数定律
定义
大数定律是指在独立同分布随机变量 序列中，当样本量趋于无穷大时，样 本均值的概率分布趋近于真实均值。
应用
大数定律在统计学中有着重要的应用 ，例如在样本均值的分布、置信区间 估计和假设检验等领域。
切比雪夫不等式与大数定律的联系
目录
• 切比雪夫不等式 • 大数定律 • 切比雪夫不等式与大数定律的联系 • 案例分析 • 习题与解答
01
切比夫不等式
Chapter
切比雪夫不等式简介
01
切比雪夫不等式是概率论中的一个基本不等式，它提供了在一定条件下，一个随 机变量的概率分布的上界和下界。
注意事项
使用切比雪夫不等式时，应注意其适用条件，特 别是随机变量的方差必须存在。
大数定律
要点一
总结词
大数定律描述了当试验次数趋于无穷时，随机事件的相对 频率趋于其概率的规律。
要点二
详细描述
大数定律表明，当试验次数n趋于无穷时，随机事件的相 对频率将以概率收敛于该事件的概率。具体来说，对于任 意小的正数ε，有$lim_{n to infty} P(| frac{X_n}{n} - p| < varepsilon) = 1$，其中$X_n$是n次试验中事件A发生的 次数，p是事件A的概率。
切比雪夫不等式的限制
虽然切比雪夫不等式在许多情况下都 很有用，但它也有一些限制。例如， 当随机变量的分布不是对称的或者偏 斜度较大时，切比雪夫不等式的估计 可能会不准确。
VS
因此，在使用切比雪夫不等式时，需 要考虑到这些限制，并根据具体情况 进行适当的调整和修正。
02
大数定律
Chapter
大数定律的定义
大数定律
定义
大数定律是指在独立同分布随机变量 序列中，当样本量趋于无穷大时，样 本均值的概率分布趋近于真实均值。
应用
大数定律在统计学中有着重要的应用 ，例如在样本均值的分布、置信区间 估计和假设检验等领域。
切比雪夫不等式与大数定律的联系
切比雪夫不等式与大数定律ppt课件
的期望的偏差不小于 的概率的估计式 .
如取 = 3
P{| X E(X ) | 3} 2 0.111 9 2
可见，对任给的分布，只要期望和方差 2存在，
则 r.v X取值偏离E(X)超过 3 的概率小于0.111 .
大数定律的客观背景
大量随机试验中
事件发生的频率稳定于某一常数 测量值的算术平均值具有稳定性
依概率收敛比高等数学中的普通意义下的收敛 弱些，它具有某种不确定性.
定理2的另一种叙述形式
设随机变量X1，X 2 , , X n , 相互独立，且具
有相同的数学期望和方差：E( X k ) = m, D( X k ) = 2
(k = 1, 2,
)，则序列X
=
1 n
n k =1
X k依概率收敛于m，即
一个常数.若对于任意正数，有
lim
n
P{|
Yn
a
|
}
=
1
则称序列Y1,Y2, Yn , 依概率收敛于a.记为
Yn P a.
请注意 :
X n依概率收敛于a，意味着对任意给定的 0，
当n充分大时，事件 X n X 的概率很大，接近于1； 并不排除事件 X n X 的发生，而只是说他发生的
可能性很小.
n
P{|
1 n
n i =1
Xi
m
|
} = 1
E(Xk ) D(Xk )
=m =2
E( X ) = m lim
n
P{|
1 n
n i =1
Xi
m
|
}
=1
k
大数定律以严格的数学形式表达了随机现
象最根本的性质之一：
第45讲 切比雪夫不等式
概率论与数理统计主讲：四川大学四川大学第45讲切比雪夫不等式1第五章大数定律及中心极限定理四川大学第45讲切比雪夫不等式3第五章大数定律及中心极限定理§0切比雪夫不等式§1 大数定律§2中心极限定理四川大学第45讲切比雪夫不等式4§5.0 切比雪夫不等式四川大学第45讲切比雪夫不等式5第45讲切比雪夫不等式四川大学牟尼沟四川大学第45讲切比雪夫不等式6切比雪夫(1821~1894)ЧебышёвChebyshev俄罗斯数学家、力学家。
他一生发表了70多篇科学论文，内容涉及数论、概率论、函数逼近论、积分学等方面。
他证明了贝尔特兰公式，自然数列中素数分布的定理，大数定律的一般公式以及中心极限定理。
四川大学第45讲切比雪夫不等式15例子四川大学第45讲切比雪夫不等式16-四川大学第45讲切比雪夫不等式24例5 证明方差的性质4 ( 教材103页(第41讲) )：设()0{()}1D X P XE X =⇔==证充分性（教材103页）{()}1P X E X ==则22[()]{}1P X E X ==2()X 2]E X=⨯2[()]E X =22()()[()]D X E X E X =-0=四川大学四川大学四川大学第45讲切比雪夫不等式26例6 设某电网有10000盏电灯，夜间每一盏灯开灯的概率都是0.7。
假设电灯开、关时间彼此独立，试估计夜晚同时开着的电灯数在6800与7200盏之间的概率。
解用X 表示在夜晚开着的电灯的盏数，则X 服从参数n =10000, p =0.7的二项分布。
(k =0, 1, …, n ){}P X k =(1)kk n k n C p p -=-{68007200}P X <<100007199100006801(0.7)(0.3)k k k k C -==∑计算量太大。
下面用切比雪夫不等式估计概率四川大学四川大学四川大学第45讲切比雪夫不等式28例7 一机床加工长为50cm 的零件，由于随机扰动，零件长度有一定误差。
切比雪夫不等式及大数定律 PPT课件
P{20 X 100 20} P{| X 100 | 20}
10 1 202 0.975
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
例2 在每次试验中事件A发生的概率为0.5 .试用切比
雪夫不等式估计在1000次独立的试验中,事件A发生的 的次数在450至550次之间的概率.
1
2
(x
)2
f
( x)dx
2 2
.
证毕.
例1 已知随机变量 X 的数学期望为 E( X ) 100 , 方差为 D( x) 10 2 ,试估计 X 落在( 80 , 120 )内的概率.
解: 由切比雪夫不等式有: P{80 X 120} P{80 100 X 100 120 100}
由切比雪夫不等式 ，对任意 0,
有：
0
P{|
1 n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
E( Xi ) |
}
1 1 n
C
2
D( n
i 1
Xi)
n 2
.
从而：lim n
P{|
1 n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
E(Xi
)
|
0}
0
证毕 .
推论： 设相互独立的随机变量 X1, X2L , Xn,L 服从相同
即在进行精密测量时，为减少测量误差，可以重复 测量多次，然后用测量值的平均值来代替实际的真值. 当测量次数充分大时，这一平均值与其真值差的绝对 值大于任一小的正数几乎是不可能的,这样就保证了测 量的精度.
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
的分布，且 E( Xi ) , D( Xi ) 2, i 1, 2L ,
切比雪夫定理不等式45页PPT
拉Байду номын сангаас
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
切比雪夫定理不等式
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
切比雪夫定理不等式
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
3-8切比雪夫不等式
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概率论与数理统计教程（第四版）
§3.8 切比雪夫不等式与大数定律
[例] 从某工厂生产的产品中任取 200 件来检查， 是否相信该工厂的产品 结果发现其中有 6 件次品， 的次品率 p ≤ 1% ? 解：假设该工厂的次品率 p ≤ 1%, 则检查 200 件产品 发现其中次品数 X ≥ 6的概率
概率论与数理统计教程（第四版）
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§3.8 切比雪夫不等式与大数定律
小结
D X) ( [ 1. 切比雪夫不等式： P X −E(X) ≥ε] ≤ 2 .
2. 大数定律及其含义. 3. 小概率事件的实际不可能性原理. .
ε
概率论与数理统计教程（第四版）
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§3.8 切比雪夫不等式与大数定律
D X) ( ≥1− 2 .
ε
切比雪夫不等式给出了离差与方差的关系， 可用它 注： 来估计 [ X − E ( X ) < ε ] 的概率.
概率论与数理统计教程（第四版）
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§3.8 切比雪夫不等式与大数定律
2.大数定律 .
[定义 对随机变量序列 X 1 , X 2 ,⋯ , X n ,⋯, 若存在 定义] 定义 常数 a , 使得对于任意的 正数 ε ,
概率论与数理统计教程（第四版）
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第三章 随机变量的数字特征
§3.8 切比雪夫不等式与大数定律
概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系 列定理统称为大数定律.
概率论与数理统计教程（第四版）
§3.8 切比雪夫不等式与大数定律
[例] 从某工厂生产的产品中任取 200 件来检查， 是否相信该工厂的产品 结果发现其中有 6 件次品， 的次品率 p ≤ 1% ? 解：假设该工厂的次品率 p ≤ 1%, 则检查 200 件产品 发现其中次品数 X ≥ 6的概率
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§3.8 切比雪夫不等式与大数定律
小结
D X) ( [ 1. 切比雪夫不等式： P X −E(X) ≥ε] ≤ 2 .
2. 大数定律及其含义. 3. 小概率事件的实际不可能性原理. .
ε
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§3.8 切比雪夫不等式与大数定律
D X) ( ≥1− 2 .
ε
切比雪夫不等式给出了离差与方差的关系， 可用它 注： 来估计 [ X − E ( X ) < ε ] 的概率.
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§3.8 切比雪夫不等式与大数定律
2.大数定律 .
[定义 对随机变量序列 X 1 , X 2 ,⋯ , X n ,⋯, 若存在 定义] 定义 常数 a , 使得对于任意的 正数 ε ,
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第三章 随机变量的数字特征
§3.8 切比雪夫不等式与大数定律
概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系 列定理统称为大数定律.
第45讲 切比雪夫不等式
第五章大数定律及中心极限定理§0 切比雪夫不等式§1大数定律§2中心极限定理§5.0切比雪夫不等式定理（切比雪夫不等式）设随机变量X 的数学期望E (X )和方差D (X )都 存在，则对任意ε > 0，都有百度传课 我们知道，随机变量X 的方差D (X )描述的是X 的取值偏离其均值E (X )的程度。
下面这个定理给出了方差与均值满足的一个 不等式。
四川大学 徐小湛证（连续型）设X的概率密度为f(x)百度传课证（离散型）设X的分布律为p k =P{X =xk}(k =1,2,..)切比雪夫不等式的意义：在随机变量X的分布未知，而只知道X的均值和方差（或已知分布但很复杂）的情况下，切比雪夫不等式给出了概率的一个估计范围。
切比雪夫不等式可用于以下情形：在已知E(X), D(X)的情况下(1)对给定的ε> 0，估计|X-E(X)| ≥ε的概率。
(2)对给定的概率p ，确定所需的区间长度，即确定满足不等式的ε。
百度传课 、 。
切比雪夫 (1821~1894) ЧебышёвChe bys hev 俄罗斯数学家、力学家。
他一生发表了70多篇科学论 文，内容涉及数论、概率论 函数逼近论、积分学等方面 他证明了贝尔特兰公式，自 然数列中素数分布的定理， 大数定律的一般公式以及中 心极限定理。
例子解例 若随机变量X 服从参数为 2 的泊松分布， 用切比雪夫不等式估计，P {|X -2|≥4}≤1 8 。
42 16 8P { X -2 ≥ 4} = P { X - E (X ) ≥ 4} ≤ D (X ) = 2 = 1课 例 设某电网有10000盏电灯，夜间每一盏灯 开灯的概率都是0.7。
假设电灯开、关时间彼 此独立，试估计夜晚同时开着的电灯数在6800 与7200盏之间的概率。
10000 7199 k C (0.7)k (0.3)10000-kk =6801 = ∑ 计算量太大。
§5.1 切比雪夫不等式
7
例5.2 设r.v.Ｘ和Ｙ的数学期望都是2，方 差分别为1和4，而相关系数为0.5，利用切比雪 夫不等式给出概率 P X Y 6 的下界估计．
解 若记 Z X Y , 则 EZ 0, 而
DZ D( X Y ) DX DY 2Cov( X , Y )
6
●切比雪夫不等式在概率估计方面起重要
作用．给出了概率 P X EX 的最小上
界和 P X EX 的最大下界估计．
例5.1 设r.v.Ｘ的方差为2，利用切比雪夫 不等式给出概率 P X EX 2 的上界估计．
DX 2 1 解 P X EX 2 2 2 . 2 2 2
DX DY 2 XY DX DY 3,
于是，由切比雪夫不等式得
P X Y 6 P Z EZ 6 DZ 3 11 1 2 1 . 6 36 12
8
例5.3 设电站供电网有10000盏电灯，夜 晚每一盏灯开灯概率都是0.6，而假定各盏灯 开、关彼此独立，估计夜晚同时开着的灯数 在5800至6200之间的概率．
9
第 5章
大数定律与中心极限定理
1
随机现象是本门课程的研究对象，本门课 程的任务是研究随机现象的统计规律，而统计 规律是在大数次重复试验中呈现出来的． 作为概率论中最重要同时也最精彩的极限 定理就是揭示各种统计规律． 大数定律和中心极限定理是统计规律的两 种重要的表现形式，是概率论极限定理中的重
要内容，在概率论和数理统计的理论研究和实
际应用中都具有重要的意义．
2
§5.1 切比4)
3
定理5.1 若r.v.Ｘ的期望 EX 和方差 DX 都存在，则对任意的 0, 有
例5.2 设r.v.Ｘ和Ｙ的数学期望都是2，方 差分别为1和4，而相关系数为0.5，利用切比雪 夫不等式给出概率 P X Y 6 的下界估计．
解 若记 Z X Y , 则 EZ 0, 而
DZ D( X Y ) DX DY 2Cov( X , Y )
6
●切比雪夫不等式在概率估计方面起重要
作用．给出了概率 P X EX 的最小上
界和 P X EX 的最大下界估计．
例5.1 设r.v.Ｘ的方差为2，利用切比雪夫 不等式给出概率 P X EX 2 的上界估计．
DX 2 1 解 P X EX 2 2 2 . 2 2 2
DX DY 2 XY DX DY 3,
于是，由切比雪夫不等式得
P X Y 6 P Z EZ 6 DZ 3 11 1 2 1 . 6 36 12
8
例5.3 设电站供电网有10000盏电灯，夜 晚每一盏灯开灯概率都是0.6，而假定各盏灯 开、关彼此独立，估计夜晚同时开着的灯数 在5800至6200之间的概率．
9
第 5章
大数定律与中心极限定理
1
随机现象是本门课程的研究对象，本门课 程的任务是研究随机现象的统计规律，而统计 规律是在大数次重复试验中呈现出来的． 作为概率论中最重要同时也最精彩的极限 定理就是揭示各种统计规律． 大数定律和中心极限定理是统计规律的两 种重要的表现形式，是概率论极限定理中的重
要内容，在概率论和数理统计的理论研究和实
际应用中都具有重要的意义．
2
§5.1 切比4)
3
定理5.1 若r.v.Ｘ的期望 EX 和方差 DX 都存在，则对任意的 0, 有
精品5.1切比雪夫不等式.ppt
16
(2) 切比雪夫不等式也从另一角度体现了方差D(X)
的意义。从切比雪夫不等式可以看出，随机变量
X的方差越小，则X的取值越集中在其中心E(X)的
附近。方差越小，X取值越集中在区间(E(X)-ε,
E(X)+ε)之内。
(3)可以证明方差性质
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3
例一台设备由10个独立工作的元件组成,每一元件 在时间T发生故障的概率为0.05．设在时间T发生 故障的元件数为X.试用切比雪夫不等式估计随机 变量X与其数学期望的偏差（若不对称？） （a）小于2；(b)不小于2的概率． 解 （a）由题意知X~b(10, 0.05)，且
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7
• 解：设 表 示 六 颗 骰 子 出 现 的 点 数 总 和。
i，表 示 第 i 颗 骰 子 出 现 的 点 数 ，
i = 1，2，…，6 1， 2， … ，6
相互独立，显然
6
i
i1
Ei
1 1 2 3 4 5 6
6
7 2
Di
1 6
12
22
62
49 35 4 12
方差D(X)=2, 则对任意的正数，有
P{|X
|
}
2 2
P{|
X
|
}
1
2 2
--------切比雪夫(chebyshev)不等式．
证明:（X为连续型） 设X的概率密度为f(x)，则
P{| X - | } f ( x)dx
(x )2
f ( x)dx
| x |
|x| 2
1 2
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5
• 解：设表示1000次独立试验中事件A发生 的次数，则 E(X ) 500, D(X ) 250
5.1切比雪夫不等式
独立 不相关 ，但反之不然
Ch5 . 大数定律与中心极限定 理
§5.1 切比雪夫不等式
2 设随机变量X有期望μ和方差 ，则对于任 给 >0,
或
P (| X | ) 2 2 P (| X | ) 1 2
2
由切比雪夫不等式可以看出，若 2 越小，则 事件（|X-μ|<ε）的概率越大，即随机变量X集中 在期望μ 附近的可能性越大.
解：设每毫升白细胞数为X 依题意，EX=7300,DX=7002 所求为 P(5200≤ X ≤9400) P(5200≤ X ≤9400) =P(5200-7300≤ X-7300 ≤9400-7300) =P(-2100≤ X-EX ≤2100)
700 2 8 DX 1( ) P (| X EX | 2100) 1 2 2100 ( 2100) 9
2 P (| X | ) 1 2
2 如取 3 ，P (| X | 3 ) 1 2 0.889 9
对比 3规则：若X ~ N ( , 2 )，则
P (| X | 3 ) 0.9973
例1 已知正常成人血液中，每一毫升白细胞数平 均是7300，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式 估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率 .
方差
DX=E(X-EX)2 =E(X2)-(EX)2 （若X与Y独立， D(X±Y)= DX+DY ）
协方差 Cov ( X ,Y ) E ( X EX )(Y EY )
=E(XY) -EXEY
（若X与Y独立， Cov(X,Y ( X ,Y ) DXDY
概率论第四章-切比雪夫不等式
定理：（切比雪夫不等式） 定理：（切比雪夫不等式） ：（切比雪夫不等式
设随机变量X 设随机变量X 有数学期望 E = µ, 方 D =σ2 X 差 X 对任意 ε > 0, 不等式
P{| X −µ |≥ε}≤σ2 / ε2
或 成立， P{| X −µ |<ε}≥1−σ / ε 成立，
2 2
称此式为切比晓夫不等式. 称此式为切比晓夫不等式.
P(6800< X <7200) =
用切比雪夫不等式
7200 K 10 C104 0.7K0.3 −K ∑
K=6800 =
2100 =0.95 P(6800< X <7200) = P( X −7000 < 200) ≥1− 2 200
练习 随机掷四颗骰子， 随机掷四颗骰子，估计四颗骰子出现的点数
之和在10至18之间的概率。 之和在10至18之间的概率。 10 之间的概率
P{| X −µ |≥ε}≤σ2 / ε2
P{| X −µ |<ε}≥1−σ / ε
2
2
证明：设X为连续性（离散型类似），其密度为 f ( x). 证明： 为连续性（离散型类似），其密度为 ），
P{| X −µ |≥ε}
≤
|x− |≥
∫ε µ
1
2
|x−µ |
2
ε
2
f (x)dx ≤ ∫
2
|x−µ |2
不等式的其它形式
例1 估计 解
的概率
例2一电网有1万盏路灯， 晚上每盏灯开的概率为0.7. 一电网有1万盏路灯， 晚上每盏灯开的概率为0.7. 求同时开的灯数在6800至7200之间的概率。 求同时开的灯数在6800至7200之间的概率。 6800 之间的概率 解 为同时开的灯数。 设X 为同时开的灯数。 用二项分布
设随机变量X 设随机变量X 有数学期望 E = µ, 方 D =σ2 X 差 X 对任意 ε > 0, 不等式
P{| X −µ |≥ε}≤σ2 / ε2
或 成立， P{| X −µ |<ε}≥1−σ / ε 成立，
2 2
称此式为切比晓夫不等式. 称此式为切比晓夫不等式.
P(6800< X <7200) =
用切比雪夫不等式
7200 K 10 C104 0.7K0.3 −K ∑
K=6800 =
2100 =0.95 P(6800< X <7200) = P( X −7000 < 200) ≥1− 2 200
练习 随机掷四颗骰子， 随机掷四颗骰子，估计四颗骰子出现的点数
之和在10至18之间的概率。 之和在10至18之间的概率。 10 之间的概率
P{| X −µ |≥ε}≤σ2 / ε2
P{| X −µ |<ε}≥1−σ / ε
2
2
证明：设X为连续性（离散型类似），其密度为 f ( x). 证明： 为连续性（离散型类似），其密度为 ），
P{| X −µ |≥ε}
≤
|x− |≥
∫ε µ
1
2
|x−µ |
2
ε
2
f (x)dx ≤ ∫
2
|x−µ |2
不等式的其它形式
例1 估计 解
的概率
例2一电网有1万盏路灯， 晚上每盏灯开的概率为0.7. 一电网有1万盏路灯， 晚上每盏灯开的概率为0.7. 求同时开的灯数在6800至7200之间的概率。 求同时开的灯数在6800至7200之间的概率。 6800 之间的概率 解 为同时开的灯数。 设X 为同时开的灯数。 用二项分布
切比雪夫定理
E( X 2 ) 2E( X )E( X ) E( X )2 E( X 2 ) E( X )2
3.例题讲解 例题11-1-1 设随机变量
，求方差 D(X )。
解 PX m m e m 0,1, 2, .
m!
E(X)
m
m e
m0 m!
E X 2 m 2 m e e m m1 k m 1 e k 1 k
同理可证：D( X Y ) D( X ) D(Y )
口诀：方差：常数为零系数提平方，独立加减都算加 利用定理3，用归纳法可以证明以下推论
第十一讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
例11-1-4. 均值为0,方差为1的特殊分布 设随机变量X 的数学期望为E( X ) ，标准差为
设随机变量
证明：
证
第十一讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
Y g( X )时，E(Y ) E[g( X )]
g( x)P( x) g( x) f ( x)dx
x
第十一讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
回顾： 1.原点矩 定义1 设 X 是随机变量，则称
2.中心 矩
为X 的 k 阶原点矩。
显然：v1 E( X )
x 0; 其 它.
第十一讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
E(
X
)
0
x
e x
dx
1
E X 2
x 2
0
e x
dx
tx 1
2
t 2e t
0
dt
3
2
2
2
D( X ) E
4.方差性质
X2
E(X )2
2
2
1
2
1
2
3.例题讲解 例题11-1-1 设随机变量
，求方差 D(X )。
解 PX m m e m 0,1, 2, .
m!
E(X)
m
m e
m0 m!
E X 2 m 2 m e e m m1 k m 1 e k 1 k
同理可证：D( X Y ) D( X ) D(Y )
口诀：方差：常数为零系数提平方，独立加减都算加 利用定理3，用归纳法可以证明以下推论
第十一讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
例11-1-4. 均值为0,方差为1的特殊分布 设随机变量X 的数学期望为E( X ) ，标准差为
设随机变量
证明：
证
第十一讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
Y g( X )时，E(Y ) E[g( X )]
g( x)P( x) g( x) f ( x)dx
x
第十一讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
回顾： 1.原点矩 定义1 设 X 是随机变量，则称
2.中心 矩
为X 的 k 阶原点矩。
显然：v1 E( X )
x 0; 其 它.
第十一讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
E(
X
)
0
x
e x
dx
1
E X 2
x 2
0
e x
dx
tx 1
2
t 2e t
0
dt
3
2
2
2
D( X ) E
4.方差性质
X2
E(X )2
2
2
1
2
1
2
5.1.1PPT切比雪夫不等式
5.1 切比雪夫不等式
P{|
X
E(X ) |
}
D(X )
2
Note: 当方差已知时，切比雪夫不等式给出了随机变量X与 它的期望的偏差不小于ε的概率的估计式。若D(X)越小，则 事件{|X−E(X)|≥ε}的概率越小，即随机变量X集中在期望附 近的可能性越大。
P
X EX 3
DX 9Βιβλιοθήκη DX DX 21 9
0.111
可见，对任给的分布，只要期望和方差存在，则随机变量 X取值偏离E(X)超过3σ的概率小于0.111
本章 上页 下页
5.1 切比雪夫不等式
例题：已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均 是7300，均方差是700。利用切比雪夫不等式估计每毫升白 细胞数在5200~9400之间的概率。
正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂
作答
可为此题添加文 容全部放在本区
解：设每毫升白细胞数为X，依题意，E(X)=7300，D(X)=7002
P5200 X 9400 P2100 X E X 2100
由切比雪夫不等式
P X E X 2100
DX
1 21002
1
7002 21002
1
1 9
8 9
左右两边对称
主观题 10分
答案解析
练习：设某个小区居民每天用于身体锻炼的平均时间为 30min，标准差为10 min，试根据切比雪夫不等式估计该 小区居民每天锻炼的时间在10~50 min之间的概率的取值 范围。
P{|
X
E(X ) |
}
D(X )
2
Note: 当方差已知时，切比雪夫不等式给出了随机变量X与 它的期望的偏差不小于ε的概率的估计式。若D(X)越小，则 事件{|X−E(X)|≥ε}的概率越小，即随机变量X集中在期望附 近的可能性越大。
P
X EX 3
DX 9Βιβλιοθήκη DX DX 21 9
0.111
可见，对任给的分布，只要期望和方差存在，则随机变量 X取值偏离E(X)超过3σ的概率小于0.111
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5.1 切比雪夫不等式
例题：已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均 是7300，均方差是700。利用切比雪夫不等式估计每毫升白 细胞数在5200~9400之间的概率。
正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂
作答
可为此题添加文 容全部放在本区
解：设每毫升白细胞数为X，依题意，E(X)=7300，D(X)=7002
P5200 X 9400 P2100 X E X 2100
由切比雪夫不等式
P X E X 2100
DX
1 21002
1
7002 21002
1
1 9
8 9
左右两边对称
主观题 10分
答案解析
练习：设某个小区居民每天用于身体锻炼的平均时间为 30min，标准差为10 min，试根据切比雪夫不等式估计该 小区居民每天锻炼的时间在10~50 min之间的概率的取值 范围。
第五章大数定律与中心极限定理切贝谢夫不等式ppt课件
解 ： ( 1 ) 1 2 ... 1 5 0 0 Ei 0
E 0
D125
D
i
1 12
P(||15)1P(||15)1P|1205|
15 125
1(2 0(1.34)1)=0.18024
(2)设有n个数相加
1 2 ... n ,E 0D
n 12
P(||10)P|n102|
记 ＝ 4 1 8i＝ 48 1i,求 P(<0.4)
解 法 一 ： Ei 1 2,D i 11 2
48
记 ＝i,E24,D4 N(24,22) i＝ 1
因为＝ 1
48
P(
0.4)
P
1 48
0.4P(19.2)
P22419.22240(2.4)
10(2.4)=0.008158
解法二：
正态分布的线性函数也是正态分布
第五章 大数定律与中心极限定理
§1 切贝谢夫不等式
研究随机变量的离差与方差的关系。
设 随 机 变 量 有 期 望 值 E 与 方 差 D 。 对 任 给 >0,有
P(|E|)D 2 P(|E|)1D 2 称为切贝谢夫不等式
证 ： 若 是 离 散 型 随 机 变 量 。
P(xk)pk
P (| E |) P (x k) |x k E |
(2)用 局 部 极 限 定 理 P ( 3 )n 1 p q 0 k n p n q p 1 .2 1 6 5 0 1 3 .2 6 2 5 1.21650(0.79)0.2308
相差较大，这是因为n较小。 一 般 要 求 n30
例7 每颗炮弹命中飞机的概率为0.01，求500发炮弹 中命中5发的概率。
n
概率论与数理统计 5.1 切比雪夫不等式和大数定律 ppt课件
=
1
.
16
伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况 . 在实际
问题的处理中辛钦定理十分有用也很重要 .
事实上, 由辛钦定理可知, 如果随机变量
X1 ,X2 , … , Xn … 相互独立, 服从同一分布且具有数
学期望 μ , 则前 n 个随机变量的算术平均值
依概率收敛于它们的数学期望 μ .
11
2、定理5.2(切比雪夫定理的特殊情况):
设随机变量 X1 ,X2 , … , Xn , … 相互独立 , 且
具有相同的数学期望和方差:
E( Xk ) = , D( Xk ) = 2 .
作前n个随机变量的算术平均
1n X = n k=1 Xk
则对于任意正数 ε , 有
lim P X
( X E( X ))2
f (x) X E( X )
2
dx
1
2
(X
)2
f ( x)dx
D( X )
2
4
例1、 已知正常男性成人血液中, 单位白细胞数 (单位:个/mL)平均是7300, 均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估计单位白细胞数在 5200～9400之间的概率 .
P
1n n k =1
Xk
2 /n
1
Hale Waihona Puke 2=12 n 2
由概率性质知
13
P
1n n k=1 X k
1
.
两边关于 n 取极限,即令 n , 则
§5.1 切比雪夫不等式
第五章 大数定律与中心极限定理
§5.1 切比雪夫不等式 §5.2 大数定律 §5.3 中心极限定理
概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学 科, 随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复 试验时才会呈现出来. 也就是说，要从随机现象中去寻求 必然的法则，应该研究大量随机现象.
研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导 致对极限定理进行研究. 极限定理的内容很广泛，其中 最重要的有两种: 大数定律 与 中心极限定理
EX np 900 0.5 450, DX 225.
所求概率为:
P{400 X 500} 2
1
225 502
1 0.09
0.91.
|
}
2 2
.
等价形式为：P{|
X
|
}
1
2 2
.（切比雪夫不等式）
证明: 设X的概率密度为f ( x)，则有
P{| X | }
f ( x)dx
x
(x )2
x
2
f ( x)dx
( x )2
2
f ( x)dx
1
2
(x
)2
f
( x)dx
2 2
.
说明：在随机变量X的分布未知的情况下，切比雪夫不
等式给出了估计事件 {| X | } 的概率的一种方法。
2. 切比雪夫不等式的应用
例1 假设一批种子的良种率为 1/6 ,从中任意选出600 粒,试用切比雪夫不等式估计：这600粒种子中良种所占 比例与1/6之差的绝对值不超过0.02的概率.
解
设
X 表示600粒种子中的良种数, 则 X ~ EX 600 1 =100, DX 600 1 5 = 500 .
§5.1 切比雪夫不等式 §5.2 大数定律 §5.3 中心极限定理
概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学 科, 随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复 试验时才会呈现出来. 也就是说，要从随机现象中去寻求 必然的法则，应该研究大量随机现象.
研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导 致对极限定理进行研究. 极限定理的内容很广泛，其中 最重要的有两种: 大数定律 与 中心极限定理
EX np 900 0.5 450, DX 225.
所求概率为:
P{400 X 500} 2
1
225 502
1 0.09
0.91.
|
}
2 2
.
等价形式为：P{|
X
|
}
1
2 2
.（切比雪夫不等式）
证明: 设X的概率密度为f ( x)，则有
P{| X | }
f ( x)dx
x
(x )2
x
2
f ( x)dx
( x )2
2
f ( x)dx
1
2
(x
)2
f
( x)dx
2 2
.
说明：在随机变量X的分布未知的情况下，切比雪夫不
等式给出了估计事件 {| X | } 的概率的一种方法。
2. 切比雪夫不等式的应用
例1 假设一批种子的良种率为 1/6 ,从中任意选出600 粒,试用切比雪夫不等式估计：这600粒种子中良种所占 比例与1/6之差的绝对值不超过0.02的概率.
解
设
X 表示600粒种子中的良种数, 则 X ~ EX 600 1 =100, DX 600 1 5 = 500 .
4.3.1切比雪夫不等式
lim
1
→
或
lim
0
→
则称序列 依概率收敛于常数 ，记作 → .
5*
5
第六讲 切比雪夫不等式
切比雪夫 不等式
设随机变量 ，E 则∀ 0， 或
, 1
第四章 0
x
6*
6
第六讲 切比雪夫不等式 证 设~ ，
1 1
第四章
7*
7
第六讲 切比雪夫不等式
第四章
例 设随机变量 ，E
,
0
取
，则有
取 3，则有
3
当 ~ , 时,
2048
0.5005
6019
0.5016
12012
0.5005
39699
0.4923
随着重复试验次数增多，事件 出现的频率 呈现稳定性， 接近 0,1 上的某个数 ， 为事件 在一次试验中发生的概率.
2*
2
第六讲 切比雪夫不等式
这种稳定性应该怎么表示呢？
⇔ 对于∀ ⇔ 对于∀ ⇔ 对于∀
lim
→
0, ∃ ,当
31
3
1 Φ3 Φ 3
1 0.0026
9
切比雪夫不等式用于估计关于期望中心分布的情况,应用 广泛,但估计结果比较粗糙.
8*
8
第六讲 切比雪夫不等式
例 设某工厂一周的产量为 ， E
50， D
试估计一周的产量在40~60之间的概率。
25，
解 40
60
10
50 10
50 10
25
1
1
0.75
10
第四章
9*
第四章
11 *
11
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np
n(n 1) p2[ p (1 p)]n2 np
(n2 n) p2 np.
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2
(n2 n) p2 np (np)2
np(1 p).
3. 泊松分布
设 X ~ P(), 且分布律为
(2) 利用公式计算 D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2.
证明
D( X ) E{[X E( X )]2} E{X 2 2XE( X ) [E( X )]2} E( X 2 ) 2E( X )E( X ) [E( X )]2
E( X 2 ) [E( X )]2
P{ X k} k e , k 0,1,2,, 0.
k! 则有
E( X ) k k e e k1
k0 k!
k1 (k 1)!
e e .
E( X 2 ) E[X ( X 1) X ] E[X ( X 1)] E( X )
(5) 若C E( X ), 则D( X ) E( X C )2
(6)契比雪夫不等式
契比雪夫
定理 设随机变量 X 具有数学期望 E(X ) μ,
方差 D( X ) σ2,则对于任意正数ε, 不等式
P{XΒιβλιοθήκη με}
σ2 ε2
成立.
证明 对连续型随机变量的情况来证明. 设 X 的概率密度为 p( x), 则有
P{ X k} n pk (1 p)nk ,(k 0,1,2,, n),
k
则有
0 p 1.
EX
n
k0
k
n k
p
k
(1
p)nk
np
E( X 2 ) E[X ( X 1) X ]
E[X ( X 1)] E( X )
3. 随机变量方差的计算
(1) 利用定义计算
离散型随机变量的方差
D( X ) [ xk E( X )]2 pk ,
k 1
其中 P{ X xk } pk , k 1,2,是 X 的分布律.
连续型随机变量的方差
D(
X
)
[
x
E(
X
)]2
p(
x)d
x,
其中 p( x) 为X的概率密度.
E( X 2 ) E2( X ).
4. 方差的性质
(1) 设 C 是常数, 则有 D(C ) 0. 证明 D(C ) E(C 2 ) [E(C )]2 C 2 C 2 0. (2) 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有
D(CX ) C 2D( X ). 证明 D(CX ) E{[CX E(CX )]2}
C 2E{[X E( X )]2} C 2D( X ).
(3) 设 X, Y 相互独立, D(X), D(Y) 存在, 则 D( X Y ) D( X ) D(Y ).
证明 D( X Y ) E{[(X Y ) E( X Y )]2} E{[X E( X )] [Y E(Y )]}2 E[ X E( X )]2 E[Y E(Y )]2 2E{[X E( X )][Y E(Y )]}
P{ X μ ε} xμ ε p( x)d x
x μ2
xμ ε
ε2
p( x)d x
1 ε2
( x
μ)2
p( x)d
x
1 ε2
σ2.
得
P{
X
μ
ε}
σ2 ε2
.
P{
X
μ
ε}
σ2 ε2
P{
X
μ
ε}
1
σ2 ε2
.
二、常见概率分布的方差
n
k(k 1)Cnk pk (1 p)nk np
k0
n k(k 1)n!pk (1 p)nk np
k0 k!(n k)!
n
n(n 1) p2
(n 2)!
pk2 (1 p)(n2)(k2)
k2 (n k)!(k 2)!
k(k 1) k e
k0
k!
2e
k 2
2ee 2 .
k2 (k 2)!
所以 D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 2 2 .
第3.2节 随机变量的方差和矩
一、随机变量方差的定义及性质 二、常见概率分布的方差 三、例题讲解 四、矩的概念 五、小结
一、随机变量方差的定义及性质
1. 方差的定义 (定义3.3)
设X是 一 个 随 机 变 量,若E{[X E( X )]2 }存 在, 则 称E{[X E( X ) ]2 } 为 X 的 方 差, 记 为 D( X ) 或
1. 两点分布
已知随机变量 X 的分布律为
X1
0
p
p 1 p
则有 E( X ) 1 p 0 q p, D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2
12 p 02 (1 p) p2 pq
2. 二项分布
设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布, 其分布律为
D( X ) D(Y ).
推广 若 X1, X2 ,, Xn 相互独立,则有
D(a1X1 a2 X2 an Xn ) a12D( X1) a22D( X2 ) an2D( Xn ). (4) D(X) 0的充要条件是X以概率1取常数 C,即P{X C} 1.
2(X ),即 D( X ) 2( X ) E{[X E( X )]2 }.
称 D( X ) 为 标 准 差 或 均 方 差, 记 为σ( X ).
2. 方差的意义
方差描述了随机变量X取值对于数学 期望的分散程度.如果D(X)值大, 表示X 取 值分散程度大, E(X)的代表性差;而如果 D(X) 值小, 则表示X 的取值比较集中,以 E(X)作为随机变量的代表性好.