平方差公式的广义理解及应用.ppt.
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《平方差公式》数学教学PPT课件(5篇)
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
相反数（项）为b
相同数（项）为a
平方差公式特点
相同数（项）的平方减去相反数（项）的平方
★结构特点：
数学表达式
1.左边是两个二项式相乘，并且有一项完全相同；另一项互为相反数。
2.右边是乘式中两项的平方差，即（相同项）2 -（相反项）2。
a、b可以表示数，还可以表示单项式或多项式。
1.利用平方差公式计算：
探索提高
2．若m2﹣n2＝6，且m﹣n＝3，则m+n＝_____．
s2
s3
s4
∵S=s1+s2=(a+b)(a-b)而s2=s3=b(a-b)∴ S=s1+s3
s1
思考
- =？
- = - -ab+ab= -ab+ab-=a(a-b)+b(a-b)= (a+b)(a-b)
逆推导平方差公式
平方差公式的常见变化
1）位置变化 (a+b)(-b+a)＝_________；
= -
相加和为0
相加和为0
相加和为0
探索平方差公式
对于形如(a+b)的多项式和形如(a-b)的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即
乘法的完全平方差公式：(a+b)(a-b) = -
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两数的平方差.
平方差公式
你能根据下图中的图形面积说明平方差公式吗？
探索提高
感谢各位的仔细聆听
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相反数（项）为b
相同数（项）为a
平方差公式特点
相同数（项）的平方减去相反数（项）的平方
★结构特点：
数学表达式
1.左边是两个二项式相乘，并且有一项完全相同；另一项互为相反数。
2.右边是乘式中两项的平方差，即（相同项）2 -（相反项）2。
a、b可以表示数，还可以表示单项式或多项式。
1.利用平方差公式计算：
探索提高
2．若m2﹣n2＝6，且m﹣n＝3，则m+n＝_____．
s2
s3
s4
∵S=s1+s2=(a+b)(a-b)而s2=s3=b(a-b)∴ S=s1+s3
s1
思考
- =？
- = - -ab+ab= -ab+ab-=a(a-b)+b(a-b)= (a+b)(a-b)
逆推导平方差公式
平方差公式的常见变化
1）位置变化 (a+b)(-b+a)＝_________；
= -
相加和为0
相加和为0
相加和为0
探索平方差公式
对于形如(a+b)的多项式和形如(a-b)的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即
乘法的完全平方差公式：(a+b)(a-b) = -
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两数的平方差.
平方差公式
你能根据下图中的图形面积说明平方差公式吗？
探索提高
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平方差公式课件
02
平方差公式的基本概念
平方差公式的定义
平方差公式是数学中的一个基本公式，它表示两个数的平方差等于这两个数和与差的积。
具体形式为：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
平方差公式的几何意义
• 平方差公式可以理解为两个平行线间距离的公式。如果两条平 行线被第三条直线所截，那么截得的两条线段的平方差等于两 条线段和与差的积。
平方差公式的代数表达
• 平方差公式也可以从代数角度理解，即利用多项式乘多项式 法则进行展开。具体形式为：$(a+b)(a-b)=a^2-ab+abb^2=a^2-b^2$
03
平方差公式的证明
利用多项式展开证明
总结词
通过代数运算，将两个多项式相乘，展开后得到两组完全平方项，最终化简得 到平方差公式。
详细描述
首先将两个多项式分别展开，然后根据分配律和结合律，将两个多项式相乘得 到一组新的完全平方项。通过观察和化简，可以发现这组完全平方项可以再次 组合成两个完全平方项的差，即平方差公式。
利用几何方法证明
总结词
通过几何图形，将两个正方形或矩形相减，得到一个新的正 方形或矩形，最终计算其面积得到平方差公式。
示例：计算$203\times197$的值。
习题三：挑战题
总结词：挑战难题
详细描述：本题主要考察学生对平方差公式的综合运用能力，要求学生 能够解决一些复杂的计算问题。
示例：计算$10000\times9999$的值。
THANKS
感谢观看
详细描述
首先画两个正方形或矩形，使它们的边长分别为a和b。然后 将其中一个正方形或矩形剪去，得到一个新的正方形或矩形 。通过计算这个新正方形的面积，可以得到平方差公式。
《平方差公式》课件完整版PPT初中数学1
a 2 - b 2 = ( a + b )( a - b )
特点：两 平方，一
正一负
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
辨一辨
下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
（1）x2+y2 （2）x2-y2 （3）-x2-y2 （4）-x2+y2 （5）x2-25y2
× √ -(x×2+y2) y2-x√2 √(x+5y)(x-5y)
能力提升：n为整数,（2n+1)2-25能否被4整除？
所以， （2n+1)2-25能被4整除.
请模仿上面解题过程，计43;1)(99-1)
=2(n+3) ×2(n-2)=4(n+3)(n-2).
2 公式法法因式分解
③（a＋ 3)(a－3）；
=(1[()a(+bb+)2+ac)]([2(a+－bb)-)c]
=100×98，所以992-1能否被100整除.
公 式 ①已知 a²-b²=3，求 (a-b)³(a+b)³的值.
a²-b²=(a+b)(a-b)
（1）计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
所以， （2n+1)2-25能被4整除.
你知道992-1能否被100整除吗？
所以， （2n+1)2-25能被4整除.
两①个(x-数y+z的)(x平+y方+z差) ，②等(于3m这+两n-p个)(数3m的-n和+p与) 这两个数的差的乘积.
所解以:原，式（＝2（n+21n)+21-+25）能(被2n4+整1-除5) .
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人教版数学八年级上册14.2.1平方差 公式 课件
14.2.1 平方差公式
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规律探索：
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计算： (1) (x+1)(x-1) = x2 - 1 (2) (m+2)(m-2) = m2 - 4 (3) (2x+1)(2x-1) = 4x2 - 1
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运用平方差公式计算：
1、(m+n)(-n+m) = 2、(-x-y) (x-y) = 3、(2a+b)(2a-b) = 4、(x2+y2)(x2-y2)=
注意：a、b可以是数，也可以是整式
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知识延伸
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灵活运用平方差公式计算：
（1）(3x+4)(3x-4) – (2x+3)(3x-2);
（2）(x+y)(x-y)(x2+y2); (3) x(x-1)-(x-1)(x1) 33
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小结
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平方差公式
字母：(a+b)(a-b)=a2-b2
特征： 有两个完全相同的项 和两个符号相反的项
14.2.1 平方差公式
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规律探索：
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计算： (1) (x+1)(x-1) = x2 - 1 (2) (m+2)(m-2) = m2 - 4 (3) (2x+1)(2x-1) = 4x2 - 1
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运用平方差公式计算：
1、(m+n)(-n+m) = 2、(-x-y) (x-y) = 3、(2a+b)(2a-b) = 4、(x2+y2)(x2-y2)=
注意：a、b可以是数，也可以是整式
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知识延伸
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灵活运用平方差公式计算：
（1）(3x+4)(3x-4) – (2x+3)(3x-2);
（2）(x+y)(x-y)(x2+y2); (3) x(x-1)-(x-1)(x1) 33
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小结
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平方差公式
字母：(a+b)(a-b)=a2-b2
特征： 有两个完全相同的项 和两个符号相反的项
平方差公式ppt课件
1. 计算 (+)(−) 的结果是(
A. −
B. −
)
A
C. −
D. −
2. 下列多项式相乘中，不能用平方差公式计算的是( A )
A. ( − )( − )
B. (− + )(− − )
C. ( − )( + )
D. ( + )( − )
3．(1)(2021德阳)已知a＋b＝2，a－b＝3，则a 2－b2 的值
为
6
；
(2)计算：(x＋2)(x－2)(x 2＋4)＝
x 4－16 ．
知识点三：巧用平方差公式计算
技巧：当出现多个因式相乘时，要仔细观察式子的特点，
看是不是符合平方差公式的结构特征或根据题意“凑”出
符合平方差公式结构的形式，然后依次运用公式，一直到
小结：正确列式表示图①和图②中的阴影面积是关键.
例1 判断下列各式是否满足平方差公式的结构特征，若满足，则运用平方差公式计算.
【点拨】先观察题中的式子是否符合“ ( + )( − ) ”的结构特征，若符合，进
而确定式子中的“ ”与“ ”，然后依据公式可得出运算结果.
例3 计算：
【点拨】 （1） (−) 与 (+) 符合平方差公式的形式,其结果再与 ( +) 结合．（2）
观察式子的特点， (+) 可以理解为 × (+) = (−)(+) = − ,这样可借助平方差公
式计算．
（1） (−)( +)(+) ；
【解】原式 = (−)(+)( +)
2.平方差公式PPT课件
（4）(5a+b)(5a-b)= 25a2-b2 （5）(n+3m)(n-3m)= n2-9m2
（6）(x+2y)(x-2y）= x2-4y2
计算下列各题
视察 & 发现
（1)（a+5）(a-5)= a2-25 视察以上算式及其运
算结果，你发现了什
（2）(m+3) (m-3)= m2-9 么规律？
（3）(3x+7)(3x-7)= 9x2-49
平方差公式
平方差公式的几何背景：
第一回忆我们曾经用 几何的意义即图形面积来解释整式乘法
运算法则，如：a(b+c)=ab+ac;
平方差公式
平方差公式的几何背景：
请同学们思考如何用几何图形的 面积来解释（a +b）(a-b)呢？ 1、当a>b>0时，我们可能看成是以长为(a+b) , 宽为(a-b)的长方形的面积。
平方差公式
回顾 & 思考☞
多项式乘法 法则是:
用一个多项式的每一项 乘另一个多项式的每一项 再把所得的积相加。
(m+a)(n+b)= mn+mb+an+ab
如果m=n，且都用 x 表示，那么上式就成为:
(x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab
这是上一节学习的 一种特殊多项式的乘法——
两个相同字母的 二项式的ห้องสมุดไป่ตู้积 .
如果 (x+a)(x+b)中的a、b再有某种特殊关系， 又将得到什么特殊结果呢? 这就是从本课起要学习的内容．
计算下列各题
视察 & 发现
平方差公式 —初中数学课件PPT
-3
a
(1+a)(-1+a)
a
1
(0.3x-1)(1+0.3x) 0.3x
1
a2-b2 12-1x22-x2
(-3)2-a2
a2-12 ( 0.3x)2-12
练一练：口答下列各题： (l)(-a+b)(a+b)=____b_2_-a_2__； (2)(a-b)(b+a)= ___a_2_-b_2____； (3)(-a-b)(-a+b)= __a_2_-_b_2 __； (4)(a-b)(-a-b)= ___b_2_-_a_2 __.
（4）（5y ＋ z)(5y－z）.
(5y)2 － z2
想一想：这些计算结果有什么特点？
(a+b)(a−b)= a2−b2 也就是说，两个数的和与这两个数的差的积 ，等于这两数的平方差.这个公式叫做（乘法的 ）平方差公式.
1.（a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2.（b + a )( -b + a ) = a2 - b2
例计1 算： (1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ； (2)（-x+2y)(-x-2y).
解：（1）原式=(3x)2－22 =9x2－4. (2) 原式＝ (-x)2 - (2y)2 ＝x2 - 4y2.
应用平方差公式计算时，应注意以下几 点：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式 中一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相 同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可 以是具体的数，也可以是单项式或多项式．
D.(a-b-c)(-a+b+c)
解析：(-3a+4b)(-4b-3a)=(-3a+4b)(-3a-4b) =9a2-16b2
《平方差公式》PPT课件
a2 - b2 是两个数的平方差形式。
- = - -ab+ab= -ab+ab-=a(a-b)+b(a-b)=(a+b)(a-b)
(a+b)(a-b)
a2 - b2
因式分解
整式分解
尝试- =？
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
思考探究
对照平方差公式将下面多项式分解因式4x²-9 (2)(x+p)²-(x+q)²
(a-b)(a-2)(a+2)
课堂测试
2．分解因式：a2﹣1+b2﹣2ab＝_____．
【详解】解：a2﹣1+b2﹣2ab＝(a2+b2﹣2ab)﹣1＝(a﹣b)2﹣1＝(a﹣b+1)(a﹣b﹣1)．故答案为：(a﹣b+1)(a﹣b﹣1)．
(a﹣b+1)(a﹣b﹣1)
课堂测试
3．分解因式：4ax2-ay2=________________.
利用平方差公式分解因式的注意事项
填空
±3x
± 6
± 0.9
± 4
课堂热身
判断能否用平方差公式分解因式
Байду номын сангаас
可以
不可以
不可以
可以
它不满足平方差公式的特点
它不满足平方差公式的特点
基础巩固
1．因式分解：＝___.
【解析】 a2(a-b)-4(a-b)=(a-b)(a2-4)=(a-b)(a-2)(a+2)，故答案为：(a-b)(a-2)(a+2)．
探索提高
感谢各位的仔细聆听
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- = - -ab+ab= -ab+ab-=a(a-b)+b(a-b)=(a+b)(a-b)
(a+b)(a-b)
a2 - b2
因式分解
整式分解
尝试- =？
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
思考探究
对照平方差公式将下面多项式分解因式4x²-9 (2)(x+p)²-(x+q)²
(a-b)(a-2)(a+2)
课堂测试
2．分解因式：a2﹣1+b2﹣2ab＝_____．
【详解】解：a2﹣1+b2﹣2ab＝(a2+b2﹣2ab)﹣1＝(a﹣b)2﹣1＝(a﹣b+1)(a﹣b﹣1)．故答案为：(a﹣b+1)(a﹣b﹣1)．
(a﹣b+1)(a﹣b﹣1)
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3．分解因式：4ax2-ay2=________________.
利用平方差公式分解因式的注意事项
填空
±3x
± 6
± 0.9
± 4
课堂热身
判断能否用平方差公式分解因式
Байду номын сангаас
可以
不可以
不可以
可以
它不满足平方差公式的特点
它不满足平方差公式的特点
基础巩固
1．因式分解：＝___.
【解析】 a2(a-b)-4(a-b)=(a-b)(a2-4)=(a-b)(a-2)(a+2)，故答案为：(a-b)(a-2)(a+2)．
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《平方差公式》PPT优质课件
= 9x2–16–6x2–5x+6 = 3x2–5x–10.
探究新知
素养考点 3 利用平方差公式进行化简求值
例3 先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)， 其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2) ＝4x2–y2–4y2＋x2 ＝5x2–5y2.
当x＝1，y＝2时， 原式＝5×12–5×22＝–15.
探究新知
素养考点 5 利用平方差公式解决实际问题
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居 李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大 妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了． 理由：原正方形的面积为a2， 改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16， ∵a2＞a2–16， ∴李大妈吃亏了．
巩固练习
如果两个连续奇数分别是2n–1，2n+1(其中n为正 整数)，证明两个连续奇数的平方差是8的倍数.
证明：(2n+1)2–(2n–1)2 =[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)] =(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1) =4n×2 =8n 因为8n是8的倍数，所以结论成立.
探究新知 知识点 平方差公式
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
(x ＋ 3)( x＋5) =x2 ＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15.
探究新知
面积差变了吗？
a米
a米 5米
探究新知
素养考点 3 利用平方差公式进行化简求值
例3 先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)， 其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2) ＝4x2–y2–4y2＋x2 ＝5x2–5y2.
当x＝1，y＝2时， 原式＝5×12–5×22＝–15.
探究新知
素养考点 5 利用平方差公式解决实际问题
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居 李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大 妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了． 理由：原正方形的面积为a2， 改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16， ∵a2＞a2–16， ∴李大妈吃亏了．
巩固练习
如果两个连续奇数分别是2n–1，2n+1(其中n为正 整数)，证明两个连续奇数的平方差是8的倍数.
证明：(2n+1)2–(2n–1)2 =[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)] =(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1) =4n×2 =8n 因为8n是8的倍数，所以结论成立.
探究新知 知识点 平方差公式
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
(x ＋ 3)( x＋5) =x2 ＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15.
探究新知
面积差变了吗？
a米
a米 5米
《平方差公式》课件精品 (公开课)2022年数学PPT
= 20152－ （20152－12 )
= 20152 － 20152+12 =1
6.利用平方差公式计算:
（1）（a-2)(a+2)(a2 + 4) 解:原式=(a2-4)(a2+4)
=a4-16.
(2) (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).
解：原式=（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4) =（x4-y4)(x4+y4) =x8-y8.
①（x ＋1)( x－1）=x2 － 1， ②（m＋ 2)( m－2）=m2 －22
x2 － 12 m2－22
③（2m＋ 1)( 2m－1)=4m2 － 12 ④（5y ＋ z)(5y－z)= 25y2 － z2
(2m)2 － 12 (5y)2 － z2
想一想：这些计算结果有什么特点？
知识要点 平方差公式
填一填： (a-b)(a+b) (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a)
(1+a)(-1+a) (0.3x-1)(1+0.3x)
ab
1
x
-3
a
a1
0.3x 1
a2-b2 12-x2 (-3)2-a2 a2-12 ( 0.3x)2-12
练一练：口答下列各题： (l)(-a+b)(a+b)=____b_2-_a_2__. (2)(a-b)(b+a)= ___a_2-_b_2____. (3)(-a-b)(-a+b)= __a_2-_b_2___. (4)(a-b)(-a-b)= ___b_2-_a_2___.
2.计算（2x+1）（2x-1）等于（ A ）
= 20152 － 20152+12 =1
6.利用平方差公式计算:
（1）（a-2)(a+2)(a2 + 4) 解:原式=(a2-4)(a2+4)
=a4-16.
(2) (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).
解：原式=（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4) =（x4-y4)(x4+y4) =x8-y8.
①（x ＋1)( x－1）=x2 － 1， ②（m＋ 2)( m－2）=m2 －22
x2 － 12 m2－22
③（2m＋ 1)( 2m－1)=4m2 － 12 ④（5y ＋ z)(5y－z)= 25y2 － z2
(2m)2 － 12 (5y)2 － z2
想一想：这些计算结果有什么特点？
知识要点 平方差公式
填一填： (a-b)(a+b) (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a)
(1+a)(-1+a) (0.3x-1)(1+0.3x)
ab
1
x
-3
a
a1
0.3x 1
a2-b2 12-x2 (-3)2-a2 a2-12 ( 0.3x)2-12
练一练：口答下列各题： (l)(-a+b)(a+b)=____b_2-_a_2__. (2)(a-b)(b+a)= ___a_2-_b_2____. (3)(-a-b)(-a+b)= __a_2-_b_2___. (4)(a-b)(-a-b)= ___b_2-_a_2___.
2.计算（2x+1）（2x-1）等于（ A ）
平方差公式课件(市一等奖)
平方差公式的特点
形式特点：形如a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) 结构特点：左边是两个相同的二项式相减，右边是两个相同的二项式相加 符号特点：当a、b同号时，结果为正；当a、b异号时，结果为负 代数式特点：左边是两个相同的代数式相减，右边是两个相同的代数式相加
平方差公式的应用
第四章
练习与巩固
第六章
基础练习题
计算(a+b)^2的值
计算(a^2-b^2)^2的值
计算(a-b)^2的值 计算(a^2+b^2)^2的值
提升练习题
计算(a+b)(a-b)的值 计算(2x+y)(2x-y)的值 计算(3a+2b)(3a-2b)的值 计算(-5m+6n)(-5m-6n)的值
综合练习题
文字，以便观者准确地理解您传达的思想
归纳法证明法：通过归纳法，从特殊到一般，逐步推导出平方差公式的结论。 以上是几种常见
04
的平方差公式的证明方法，可以根据不同的需求和实际情况选择合适的方法进行证明。
以上是几种常见的平方差公式的证明方法，可以根据不同的需求和实际情况选
择合适的方法进行证明。
证明过程演示
平方差公式的应用范围
代数式变形：利用 平方差公式对代数 式进行变形和化简
计算：利用平方差 公式计算一些数学 表达式的结果
证明：利用平方差 公式证明一些数学 命题
应用题：利用平方 差公式解决一些实 际问题
平方差公式的应用实例
计算平方差公式 中的a和b的值
计算平方差公式 中的c的值
计算平方差公式 中的d的值
计算平方差公式 中的e的值
平方差公式的应用技巧
识别平方差公式形式：首先需要识别题目中的平方差公式形式，以便正确应用。
平方差公式ppt课件
解：(4)
例 在括号中填入适当的整式
(1)(b+a(a -b)=a²-b²; (2)(m-n(-n -m)=n²-m²;
(3)(=1-3x)(=1
+3x)=1-9x²;(4)(a²+b²)(a²-b²)=a⁴-b4
分析：观察此题的结果，是两数的平方差，再对比左侧已知的 因式，分析出谁是相同项，谁是相反项.
=9996
例 计算：
(3)(x"+4)(x"-4);
分析：(3)xn 可以看成公式中的a,4 可以看成公式中的b, 根据平方差公式，结果为(xn)²-42.
解：
(3) (x”+4)(xn-4)
=(x”)²-4²
=x²n-16.
例 计算： (3)(x”+4)(x”-4);
分析：(4)需要先把前两项利用平方差公式计算出来，然 后利用结果二次利用平方差公式，从而得到最终结果.
平方差公式
阅读小故事，并回答问题：
小明和小兰分别负责两块区域的值日工作.小明负责一块边长为a 米 的正方形空地，小兰则负责一块长方形空地，长为正方形空地边长加5 米，宽度是正方形空地边长减5米.有一天，小明对小兰说：“咱们换 一下值日的区域吧，反正这两块地大小都一样. ”你觉得小明说的对吗? 为什么?
符号语言： (a+b)(a-b)=a²-b²
atb(a-b)=a²-b²→ 平方差公式
代数推导：(a+b)(a-b)=a²-ab+ab-b²
=a²-b².
文字描述：两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的 平方差.
结构特点：左边：a 符号相同，b 符号相反. 右边：符号相同项a的平方减去符号相反项b的平方.
例 在括号中填入适当的整式
(1)(b+a(a -b)=a²-b²; (2)(m-n(-n -m)=n²-m²;
(3)(=1-3x)(=1
+3x)=1-9x²;(4)(a²+b²)(a²-b²)=a⁴-b4
分析：观察此题的结果，是两数的平方差，再对比左侧已知的 因式，分析出谁是相同项，谁是相反项.
=9996
例 计算：
(3)(x"+4)(x"-4);
分析：(3)xn 可以看成公式中的a,4 可以看成公式中的b, 根据平方差公式，结果为(xn)²-42.
解：
(3) (x”+4)(xn-4)
=(x”)²-4²
=x²n-16.
例 计算： (3)(x”+4)(x”-4);
分析：(4)需要先把前两项利用平方差公式计算出来，然 后利用结果二次利用平方差公式，从而得到最终结果.
平方差公式
阅读小故事，并回答问题：
小明和小兰分别负责两块区域的值日工作.小明负责一块边长为a 米 的正方形空地，小兰则负责一块长方形空地，长为正方形空地边长加5 米，宽度是正方形空地边长减5米.有一天，小明对小兰说：“咱们换 一下值日的区域吧，反正这两块地大小都一样. ”你觉得小明说的对吗? 为什么?
符号语言： (a+b)(a-b)=a²-b²
atb(a-b)=a²-b²→ 平方差公式
代数推导：(a+b)(a-b)=a²-ab+ab-b²
=a²-b².
文字描述：两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的 平方差.
结构特点：左边：a 符号相同，b 符号相反. 右边：符号相同项a的平方减去符号相反项b的平方.
平方差公式的应用课件
平方差公式的应用ppt课件
目
CONTENCT
录
• 平方差公式简介 • 平方差公式的应用场景 • 平方差公式的应用实例 • 平方差公式的应用练习题 • 总结与展望
01
平方差公式简介
公式定义
平方差公式
a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)。
公式描述
表示两个数的平方差等于它们的和与差的乘积。
THANK YOU
感谢聆听
学习平方差公式不仅是为了应对考试 ，更是为了培养数学思维和应用能力 ，为未来的 叉融合，拓展自己的知识面和应用能 力，以更好地适应未来的发展需求。
在学习平方差公式的过程中，我们需 要注重实践和应用，通过解决实际问 题来加深对公式的理解和掌握。
面积和周长的计算
详细描述
在几何图形中，平方差公式可以用于计算图形的面积和周长。例如，在矩形、平行四边形等图形中，可以利用平 方差公式来计算面积和周长。
日常生活实例
总结词
日常生活中的数学应用
详细描述
平方差公式在日常生活中有着广泛的应用，如房屋装修、购物、金融投资等方面。通过运用平方差公 式，可以更好地理解和解决日常生活中的数学问题。
日常生活练习题
总结词：将平方差公式 的应用与日常生活相结 合，提高解决实际问题 的能力。
利用平方差公式解决购 物时遇到的数学问题， 例如：计算商品打折后 的价格。
利用平方差公式解决房 屋装修时的面积问题， 例如：计算墙纸需要购 买的面积。
利用平方差公式解决旅 行中的行程安排问题， 例如：计算两地之间的 距离和时间。
面积计算
在几何图形中，平方差公式常用于计 算某些图形的面积，例如直角三角形 中的两个直角边长分别为 a 和 b， 则其面积可以用 $0.5ab$ 来表示。
目
CONTENCT
录
• 平方差公式简介 • 平方差公式的应用场景 • 平方差公式的应用实例 • 平方差公式的应用练习题 • 总结与展望
01
平方差公式简介
公式定义
平方差公式
a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)。
公式描述
表示两个数的平方差等于它们的和与差的乘积。
THANK YOU
感谢聆听
学习平方差公式不仅是为了应对考试 ，更是为了培养数学思维和应用能力 ，为未来的 叉融合，拓展自己的知识面和应用能 力，以更好地适应未来的发展需求。
在学习平方差公式的过程中，我们需 要注重实践和应用，通过解决实际问 题来加深对公式的理解和掌握。
面积和周长的计算
详细描述
在几何图形中，平方差公式可以用于计算图形的面积和周长。例如，在矩形、平行四边形等图形中，可以利用平 方差公式来计算面积和周长。
日常生活实例
总结词
日常生活中的数学应用
详细描述
平方差公式在日常生活中有着广泛的应用，如房屋装修、购物、金融投资等方面。通过运用平方差公 式，可以更好地理解和解决日常生活中的数学问题。
日常生活练习题
总结词：将平方差公式 的应用与日常生活相结 合，提高解决实际问题 的能力。
利用平方差公式解决购 物时遇到的数学问题， 例如：计算商品打折后 的价格。
利用平方差公式解决房 屋装修时的面积问题， 例如：计算墙纸需要购 买的面积。
利用平方差公式解决旅 行中的行程安排问题， 例如：计算两地之间的 距离和时间。
面积计算
在几何图形中，平方差公式常用于计 算某些图形的面积，例如直角三角形 中的两个直角边长分别为 a 和 b， 则其面积可以用 $0.5ab$ 来表示。
平方差公式的广义理解及应用
平方差公式的广义理解及应用河南省潢川县张集乡中学 wuwanning各位领导、各位同行，上午好！首先感谢教研室和伞陂中学的领导给我提供一个向大家汇报学习心得的平台。
把我在教学上的一点做法在这里提出来，与大家共勉。
在协作区教研活动中，2007年在我们张集中学举办了一次由我执教的数学观摩课，执教的内容是《实际问题与二次函数》，受到参加听课的领导和教师的一致好评，特别是学生又快又准确的运算给大家留下深刻印象。
今天我就在这里向大家汇报学生是怎么快速运算的，也就是我今天向大家汇报的内容《平方差公式的广义理解及应用》。
首先请大家看两个实际问题。
问题1 世博会期间上海某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满；当房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲，宾馆需对游客居住的每个房间每天支付20元的各种费用。
根据规定，每个房间的房价不得高于340元。
当房间的房价每天增加多少元时，宾馆一天的利润达到9200元？解：设宾馆每个房间的房价每天增加x 元，根据宾馆一天的利润为9200元列方程得 （180+x-20）（50-10x ）=9200 一般解法：我的解法：问题2政府大力扶持大学生创业。
李明在某市政府的扶持下，投资销售一种进价为20元的护眼灯，销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看做一次函数y=—10x+500，设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？解：由题意可得W=(x-20)(-10x+500)=-10x²+500x+200x-10000=-10x²+700-10000=-10（x²-70x）-10000=-10﹝（x²-70x+35²）-35²﹞-10000=-10（x-35）²+10×35²-10000=-10（x-35）²+2250即当x=35时，w有最大值，w最大=2250而我的做法是：W=(x-20)(-10x+500)=-10（x-20）（x-50）=-10（x-35）²+2250即当w=35时，w有最大值，w最大=2250从以上两个问题中，大家很容易发现，问题1和问题2中都是形如（ax+b）（cx+d）式子，而又都是需要转化为a（x-h）²+k的形式。