平面向量的线性运算PPT课件
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2.2平面向量的线性运算
2.2.1向量加法运算及其几何意义
.
1
向量加法运算及其几何意义
复习回顾：
1、向量： 既有大小又有方向的量叫做向量
2、平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量
3、相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量
节引言：
数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷。
与数的运算类比，向量是否也能进行运算呢？人们从
它们的加法与数的加法有什么关系？
r a
r a
b
（1）
A
Br r
C
ab
b
（2）
C r rA
B
ab
r r
rrrr
若 a ， b 方 向 相 同 ， 则 | a b | | a | | b |
r r
r r r rr r
若 a ， b 方 向 相 反 ， 则 | a b | | a | | b （ | 或 | b | | a | ）
学以致用：
❖ 例2.长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡 进行运输.一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的 速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为 向东2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行 的速度（保留两个有效数字）； (2)求船实际航行的速度的大小和方向（用与江水 速度间的夹角表示，精确到度）.
D
rr r r rr
rr r
(a r
rb) rc
r
r ( a b ) c a ( b c ) .
rc
a (b c) b c
rr
C
a b
r
向量的加法满足
A
r a
b
B
交换律和结合律.
rr rr a+b=b+a rr rr rr (a+b)+c=a+(b+c)
.
14
向量加法运算及其几何意义
.
6
向量加法运算及其几何意义
向量加法的三角形法则
已知非零向量a与b.如何求a+ b.
首尾相接，首尾连
a
b
a+b=AB+BC=AC
C
B
位移的合成可以看作向量
A
加法三角形法则的物理模型
.
7
向量加法运算及其几何意义
向量加法的平行四边形法则
a
b
起点相同，连对角
B O
力的合成可以看作向量加 法平行四边形法则的物理模型
uuur r uuur r 作法2：在平面内任取一点O，作 OAa，OBb ，以OA、OB为
u u u ru u u ru u u rrr 邻边作 OACB ，连结OC，则 O C O A O B a b .
b a
r
o· a
A r o· a
A
b
b
ab
ab
B
B
Cwk.baidu.com
.
9
向量加法运算及其几何意义
思考： 如图，当在数轴上表示两个共线向量时，
思考:合力F与力F1、F2有怎样的关系？
E
O
E
O
F
力F在以F1、F2为邻边的平行
四边形的对角线上，并且大小等于平
行四边形对角线的长.
.
5
向量加法运算及其几何意义
rr
❖ 向量加法的定义：我们把求r两个r向量 a r, b r 和的运算,叫做向量的加法, a b 叫做 a , b
的和.
两个向量的和仍然是一个向量.
A
B
AB + BC = AC
.
3
向量加法运算及其几何意义
探究:橡皮条在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点. 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
E
O
E
O
F
F1+F2=F
力F对橡皮条产生的效果，与力F1和F2共同作用 产生的效果相同，物理学中把力F叫做F1和F2的合力.
.
4
向量加法运算及其几何意义
.
10
向量加法运算及其几何意义
当向量
r a
r 、b
不共线时，和向量的长度
|
r a
r b
| 与向量
r a
r 、b
的长度和
|
r a|
|
br |之间的大小关系如何？
rr ab
r b
r a
三角形的两边之和大于第三边
r r
r rrr
当 向 量 a 、 b 不 共 线 时 有 | a b | | a | | b |
综合以上探究我们r可得结r论：r r |ab| |a||b|
.
11
向量加法运算及其几何意义
课堂练习：
一、用三角形法则求向量的和
（2） b
ab b
（4） a b
b
ab
a
二、用平行四边形法则求向量的和
（1） b
b
ab
a
（2）
b
a
ab
a
.
12
向量加法运算及其几何意义
探究：
数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R， 有a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c)
DC AB
向量AB 表示静水流速，AD
表示船行进方向，AC 表示
船实际行走路线，垂直于水 流方向，所以∠DAC即为所 求
向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进了向量
的运算。
下面我们学习向量的线性运算。
.
2
向量加法运算及其几何意义
日常生活中遇到的向量加法问题:
例如:某对象从A点走到B点. 然后从B点走到C点.
思考:这个人所走过的位移是多少?
C
分析 :由物理知识可以知道:
从A点到B点然后到C点的 合位移,就是从A点到C点 的位移.
D
C
5
A2 B
ta n C A B 5,查 计 算 器 可 得 C A B 6 8 . 2
答：船实际航行速度的大小约为5.4km/h，方向与水的流
速间的夹角约为680
.
16
向量加法运算及其几何意义
变式：
❖ 在静水中船速为20m/min，水流速度为10m/min,若 船从岸边出发，垂直于水流航线到达对岸的，问船 行进的方向是___方__向__与__水_的__流__速__间__的_夹__角__为__1_2_0o.
C
r
对 于 零 向 量 与 任 一 向 量 a,我 们 规 定
rr rr r
A a00aa
.
8
向量加法运算及其几何意义
例题讲解：
rr
rr
例1.如图，已知向量 a , b ，求作向量 a b 。
uuur r uuur r 作法1：在平面内任取一点O，作 OAa，ABb
，则
uuu r r r OBab
rr 任意向量 a、b 的加法是否也满足交换律与结合律？
r
因为 AC = AB + BC = a + b
D
r b
a
A C =A DD C =b C
r
u u u u ru u u ru u u u rrr + a .
b
rr r r
A
r aB
所以 a +b =b a.
.
13
向量加法运算及其几何意义
.
15
向量加法运算及其几何意义
分析： 向量加法在实际生活中的应用，本例应解
决的问题是向量模的大小及向量的方向
解：如图，设 AB 表示水流的
速度，AD表示渡船的速度，
AC 表示渡船实际过
江的速度.(由平行四边形 法则可以得到)
由AB AD得RtABC, uuur
得AC 22 52 29 ≈5.4
2.2.1向量加法运算及其几何意义
.
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向量加法运算及其几何意义
复习回顾：
1、向量： 既有大小又有方向的量叫做向量
2、平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量
3、相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量
节引言：
数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷。
与数的运算类比，向量是否也能进行运算呢？人们从
它们的加法与数的加法有什么关系？
r a
r a
b
（1）
A
Br r
C
ab
b
（2）
C r rA
B
ab
r r
rrrr
若 a ， b 方 向 相 同 ， 则 | a b | | a | | b |
r r
r r r rr r
若 a ， b 方 向 相 反 ， 则 | a b | | a | | b （ | 或 | b | | a | ）
学以致用：
❖ 例2.长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡 进行运输.一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的 速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为 向东2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行 的速度（保留两个有效数字）； (2)求船实际航行的速度的大小和方向（用与江水 速度间的夹角表示，精确到度）.
D
rr r r rr
rr r
(a r
rb) rc
r
r ( a b ) c a ( b c ) .
rc
a (b c) b c
rr
C
a b
r
向量的加法满足
A
r a
b
B
交换律和结合律.
rr rr a+b=b+a rr rr rr (a+b)+c=a+(b+c)
.
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向量加法运算及其几何意义
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6
向量加法运算及其几何意义
向量加法的三角形法则
已知非零向量a与b.如何求a+ b.
首尾相接，首尾连
a
b
a+b=AB+BC=AC
C
B
位移的合成可以看作向量
A
加法三角形法则的物理模型
.
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向量加法运算及其几何意义
向量加法的平行四边形法则
a
b
起点相同，连对角
B O
力的合成可以看作向量加 法平行四边形法则的物理模型
uuur r uuur r 作法2：在平面内任取一点O，作 OAa，OBb ，以OA、OB为
u u u ru u u ru u u rrr 邻边作 OACB ，连结OC，则 O C O A O B a b .
b a
r
o· a
A r o· a
A
b
b
ab
ab
B
B
Cwk.baidu.com
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向量加法运算及其几何意义
思考： 如图，当在数轴上表示两个共线向量时，
思考:合力F与力F1、F2有怎样的关系？
E
O
E
O
F
力F在以F1、F2为邻边的平行
四边形的对角线上，并且大小等于平
行四边形对角线的长.
.
5
向量加法运算及其几何意义
rr
❖ 向量加法的定义：我们把求r两个r向量 a r, b r 和的运算,叫做向量的加法, a b 叫做 a , b
的和.
两个向量的和仍然是一个向量.
A
B
AB + BC = AC
.
3
向量加法运算及其几何意义
探究:橡皮条在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点. 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
E
O
E
O
F
F1+F2=F
力F对橡皮条产生的效果，与力F1和F2共同作用 产生的效果相同，物理学中把力F叫做F1和F2的合力.
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向量加法运算及其几何意义
.
10
向量加法运算及其几何意义
当向量
r a
r 、b
不共线时，和向量的长度
|
r a
r b
| 与向量
r a
r 、b
的长度和
|
r a|
|
br |之间的大小关系如何？
rr ab
r b
r a
三角形的两边之和大于第三边
r r
r rrr
当 向 量 a 、 b 不 共 线 时 有 | a b | | a | | b |
综合以上探究我们r可得结r论：r r |ab| |a||b|
.
11
向量加法运算及其几何意义
课堂练习：
一、用三角形法则求向量的和
（2） b
ab b
（4） a b
b
ab
a
二、用平行四边形法则求向量的和
（1） b
b
ab
a
（2）
b
a
ab
a
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向量加法运算及其几何意义
探究：
数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R， 有a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c)
DC AB
向量AB 表示静水流速，AD
表示船行进方向，AC 表示
船实际行走路线，垂直于水 流方向，所以∠DAC即为所 求
向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进了向量
的运算。
下面我们学习向量的线性运算。
.
2
向量加法运算及其几何意义
日常生活中遇到的向量加法问题:
例如:某对象从A点走到B点. 然后从B点走到C点.
思考:这个人所走过的位移是多少?
C
分析 :由物理知识可以知道:
从A点到B点然后到C点的 合位移,就是从A点到C点 的位移.
D
C
5
A2 B
ta n C A B 5,查 计 算 器 可 得 C A B 6 8 . 2
答：船实际航行速度的大小约为5.4km/h，方向与水的流
速间的夹角约为680
.
16
向量加法运算及其几何意义
变式：
❖ 在静水中船速为20m/min，水流速度为10m/min,若 船从岸边出发，垂直于水流航线到达对岸的，问船 行进的方向是___方__向__与__水_的__流__速__间__的_夹__角__为__1_2_0o.
C
r
对 于 零 向 量 与 任 一 向 量 a,我 们 规 定
rr rr r
A a00aa
.
8
向量加法运算及其几何意义
例题讲解：
rr
rr
例1.如图，已知向量 a , b ，求作向量 a b 。
uuur r uuur r 作法1：在平面内任取一点O，作 OAa，ABb
，则
uuu r r r OBab
rr 任意向量 a、b 的加法是否也满足交换律与结合律？
r
因为 AC = AB + BC = a + b
D
r b
a
A C =A DD C =b C
r
u u u u ru u u ru u u u rrr + a .
b
rr r r
A
r aB
所以 a +b =b a.
.
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向量加法运算及其几何意义
.
15
向量加法运算及其几何意义
分析： 向量加法在实际生活中的应用，本例应解
决的问题是向量模的大小及向量的方向
解：如图，设 AB 表示水流的
速度，AD表示渡船的速度，
AC 表示渡船实际过
江的速度.(由平行四边形 法则可以得到)
由AB AD得RtABC, uuur
得AC 22 52 29 ≈5.4