平面向量的线性运算PPT课件
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高考数学专题复习《平面向量的概念及线性运算》PPT课件
向量
模等于 1
的向量
a
向量为±|a|
名称
相等的
向量
定 义
备 注
大小 相等 、方向 相同
的向量
两个向 如果两个 非零 向量的方向 相同或相反 ,则
量平行 称这两个向量平行.两个向量平行也称为两个向
两向量只有相等或不相
等,不能比较大小
规定零向量与任一向量
平行(共线)
(共线)
量共线
相反
给定一个向量,把与这个向量方向 相反 、大 零向量的相反向量仍是
.
,而且λa的方向如下:
,
(ⅱ)当λ=0或a=0时,λa= 0
.
实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量.
(2)数乘向量的定义说明
如果存在实数λ,使得b=λa,则b∥a.
(3)数乘向量的几何意义
数乘向量的几何意义是,把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小.特别地,
一个向量的相反向量可以看成-1与这个向量的乘积,即-a=(-1)a.
D.
3.(多选)(2020山东郓城第一中学高三模拟)若点G是△ABC的重心,BC边的
中点为D,则下列结论正确的是(
A.G 是△ABC 的三条中线的交点
B. + + =0
C. =2
D. =
)
答案 ABC
解析 对于 A,△ABC 三条中线的交点就是重心,故 A 正确;对于 B,根据平行四
(4)数乘向量的运算律
设λ,μ为实数,则λ(μa)=(λμ)a;
特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a).
5.向量的运算律
一般地,对于实数λ与μ,以及向量a,有
(1)λ(μa)= (λμ)a ;(2)λa+μa= (λ+μ)a
高中数学 第25讲 平面向量的概念及其线性运算配套课件
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第25讲 平面向量的概念及其线性运算
双 向
固•
基
础• •
• —— 知 识 梳 理 —— 一、向量的有关概念及表示
名称 向量
定义
表示
在平面中，既有
________又有__方__向____ 大小 的量
用 a，b，c，…，或A→B， B→C，…表示
向量 的模
向量 a 的__大__小____，也 就是表示向量 a 的有向
点 面 讲 考 向
1.平面向量有关的概念 2.平面向量的线性运算
选择(1) 解答(1)
2012年广东T8(C)
选择(1) 2012年广东T3(A)
•
3.向量共线定理
选择(2) 解答(1)
2012年浙江T5(B)
• 4.向量线性运算
选择(2) 2012年天津T7(C)
• 说明：A表示简单题，B表示中等题，C表示难题， 考频分析2012年课标地区真题卷情况．
实数λ与向量a的 (2)当λ＞0时，λa
积是一个 向_量_______，这
与a的方向 相同________；当
种运算叫做向
λ＜0时，λa与
数量乘 的________，
a的相方反 向
记λ作a ________
______；当λ
＝0时0 ，λa＝ ________
(1)对向量加法的 分配律：
λ(a＋b)＝ λa＋__λb______ (2)对实数加法的
1．零向量的问题 (1)0 的模为 0，没有方向．( )
(2)零向量与任意向量平行，零向量与任意向量垂
直．( )
[答案] (1)× (2)√
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第25讲 平面向量的概念及其线性运算
第25讲 平面向量的概念及其线性运算
双 向
固•
基
础• •
• —— 知 识 梳 理 —— 一、向量的有关概念及表示
名称 向量
定义
表示
在平面中，既有
________又有__方__向____ 大小 的量
用 a，b，c，…，或A→B， B→C，…表示
向量 的模
向量 a 的__大__小____，也 就是表示向量 a 的有向
点 面 讲 考 向
1.平面向量有关的概念 2.平面向量的线性运算
选择(1) 解答(1)
2012年广东T8(C)
选择(1) 2012年广东T3(A)
•
3.向量共线定理
选择(2) 解答(1)
2012年浙江T5(B)
• 4.向量线性运算
选择(2) 2012年天津T7(C)
• 说明：A表示简单题，B表示中等题，C表示难题， 考频分析2012年课标地区真题卷情况．
实数λ与向量a的 (2)当λ＞0时，λa
积是一个 向_量_______，这
与a的方向 相同________；当
种运算叫做向
λ＜0时，λa与
数量乘 的________，
a的相方反 向
记λ作a ________
______；当λ
＝0时0 ，λa＝ ________
(1)对向量加法的 分配律：
λ(a＋b)＝ λa＋__λb______ (2)对实数加法的
1．零向量的问题 (1)0 的模为 0，没有方向．( )
(2)零向量与任意向量平行，零向量与任意向量垂
直．( )
[答案] (1)× (2)√
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第25讲 平面向量的概念及其线性运算
高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.3向量数乘运算及其几何意义课件新人教A版必修
一级达标重点名校中学课件
2．本例(1)中，若点F为边AB的中点，设a＝D→E，b＝D→F，用a，b表示D→B. [解] 由题意ab＝＝A12→A→BB－－12AA→→DD，， 解得 AA→→BD＝＝4323aa－－2343bb，， 所以D→B＝A→B－A→D＝23a＋23b.
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A，B，D三点共线．
(2)先用共线向量定理引入参数λ得
→ AP
＝λ
→ AB
，再用向量减法的几何意义向
O→P＝xO→A＋yO→B变形，最后对比求x＋y.
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(1)A，B，D
[(1)∵
→ AB
＝e1＋2e2，
B→D＝
B→C＋
→ CD
＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝
2(e1＋2e2)＝2A→B.
A [对于①，b＝－a，有a∥b； 对于②，b＝－2a，有a∥b； 对于③，a＝4b，有a∥b； 对于④，a与b不共线．]
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4．若|a|＝5，b与a方向相反，且|b|＝7，则a＝________b. 【导学号：84352202】
－57 [由题意知a＝－57b.]
一级达标重点名校中学课件
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2．点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是( )
A.A→B＝3B→C
B.A→C＝2B→C
C.A→C＝12B→C
D.A→C＝2C→B
D [由题意可知：A→B＝－3B→C；A→C＝－2B→C＝2C→B.故只有D正确．]
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3．如图2-2-27，在平行四边形ABCD中，对角线AC 与BD交于点O，A→B＋A→D＝λA→O，则λFra bibliotek________.
平面向量的概念及线性运算(课堂PPT)
3
动脑思考 探索新知
在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量 做数量（标量） ，例如质量、时间、温度、面积、密度等． 既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量）， 如力、速度、位移等．
向量的大小叫做向量的模．向量a, A B 的模依次记作 a ， A B ．
模为零的向量叫做零向量．记作0， 零向量的方向是不确定的．
O A O B O A ( O B ) = O A B O B O O A B A ．
即
O A O BB A ． （7．2）
观察图可以得到：起点相同的
a－b
A
两个向量a、 b，其差a − b仍然是一
B
个向量，其起点是减向量b的终点，
b
a
终点是被减向量a的终点．
O
21
巩固知识 典型例题
生活中的一些问题．
作业
32
平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法 具有以下的性质：
(1) a＋0 = 0＋a=a； a＋（− a）= 0； (2) a＋b = b＋a； (3) （a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）．
16
巩固知识 典型例题
例3 一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流
速度为5 km/h，求该船的实际航行速度．
模为1的向量叫做单位向量．
B a A
4
巩固知识 典型例题
例1 一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞机从A处 朝北偏东45°方向飞行200km， 两架飞机的位移相同吗？分别用有向 线段表示两架飞机的位移．
解 位移是向量．虽然这两个向量的模相等，但是它们的方向不
同，所以两架飞机的位移不相同．两架飞机位移的有向线段表示分别
高教版中职数学(基础模块)下册7.1《平面向量的概念及线性运算》ppt课件1
【例2】:如图，设O是正六边形的中心，分别写 出图中与向量 、 相等的向量， OA 、 OC 负向 OB OC B A 量。
C
O
F
D
E
解：
B
A
OA CB DO
OB DC EO
O
C F
OC AB ED FO
D E
OC BA DE OF
下面几个命题：
（1）若a = b， b = c，则a = c。
两个向量a、 b，其差a − b仍然是一
个向量，其起点是减向量b的终点，
B b O a
A
终点是被减向量a的终点．
a
b
b
O
a (b)
a
b
a b
向量减法法则
a
a
ab
b b
B
A
O
a
ba
A
b
B
作法：在平面内任取一 点O, 作OA a, OB b, 则BA a b.
• 要点:1.平移到同一起点；2.指向被减向量.
向量加法法则总结与拓展
• 向量加法的三角形法则: – 1.将向量平移使得它们首尾相连 – 2.和向量即是第一个向量的首指向第二个向量的尾 • 向量加法的平行四边形法则: – 1.将向量平移到同一起点 – 2.和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的 对角线 • 三角形法则推广为多边形法则：
多个向量相加， 如：AB BC CD DE EF AF ，
任一组平行向量都可移到同一条直线上,平行向量也叫
共线向量 规定：零向量与任一向量平行
记作:
0 // a
3. 向量的负向量：长度相等且方向相反的向量。
向量线性运算的坐标表示PPT课件
x1y2 x2 y1 0 由此得到，对非零向量a、 b，设 a (x1, y1),b (x2, y2 ),
当 0 时，有
a ∥ b x1y2 x2 y1 0． （7．9）
交叉相乘差为零
巩固知识 典型例题
例4 设 a (1,3),b (2,，6)判断向量a、 b是否共线．
创设情境 兴趣导入
前面我们学习了公式（7.4），知道对于非零向量a、b，当
0 时，有
a ∥b a b
如何用向量的坐标来判断两个向量是否共线呢？
动脑思考 探索新知
设 a (x1, y1),b (x2, y2 ), 由 a b ，有 x1 x2 , y1 y2 , 于是 x1 y2 x2 y1 ，即
当 0时，有
a ∥ b x1y2 x2 y1 0．
运用知பைடு நூலகம் 强化练习
已知向量a, b的坐标，求a＋b、 a－b、−2 a＋3 b的坐标． （1） a＝(−2,3)， b=(1,1)； （2） a＝(1,0)， b=(−4,−3)； （3） a＝(−1,2)， b=(3,0)．
(1)a＋b=(-1,4)、 a－b=(-3,2)、−2 a＋3 b=(7,-3) (2)a＋b=(-3,-3)、 a－b=(5,3)、−2 a＋3 b=(-14,-9) (3)a＋b=(2,2)、 a－b=(-4,2)、−2 a＋3 b=(11,-4)
巩固知识 典型例题
例3 设a＝(1, −2), b＝(−2,3)，求下列向量的坐标：
(1) a＋b ， (2) －3 a，
(3) 3 a－2 b ．
解 (1) a＋b＝(1, −2)＋(−2,3)＝(−1,1)
(2) −3 a＝−3 (1, −2)＝(−3,6)
当 0 时，有
a ∥ b x1y2 x2 y1 0． （7．9）
交叉相乘差为零
巩固知识 典型例题
例4 设 a (1,3),b (2,，6)判断向量a、 b是否共线．
创设情境 兴趣导入
前面我们学习了公式（7.4），知道对于非零向量a、b，当
0 时，有
a ∥b a b
如何用向量的坐标来判断两个向量是否共线呢？
动脑思考 探索新知
设 a (x1, y1),b (x2, y2 ), 由 a b ，有 x1 x2 , y1 y2 , 于是 x1 y2 x2 y1 ，即
当 0时，有
a ∥ b x1y2 x2 y1 0．
运用知பைடு நூலகம் 强化练习
已知向量a, b的坐标，求a＋b、 a－b、−2 a＋3 b的坐标． （1） a＝(−2,3)， b=(1,1)； （2） a＝(1,0)， b=(−4,−3)； （3） a＝(−1,2)， b=(3,0)．
(1)a＋b=(-1,4)、 a－b=(-3,2)、−2 a＋3 b=(7,-3) (2)a＋b=(-3,-3)、 a－b=(5,3)、−2 a＋3 b=(-14,-9) (3)a＋b=(2,2)、 a－b=(-4,2)、−2 a＋3 b=(11,-4)
巩固知识 典型例题
例3 设a＝(1, −2), b＝(−2,3)，求下列向量的坐标：
(1) a＋b ， (2) －3 a，
(3) 3 a－2 b ．
解 (1) a＋b＝(1, −2)＋(−2,3)＝(−1,1)
(2) −3 a＝−3 (1, −2)＝(−3,6)
第六章第1讲+平面向量的概念及线性运算课件-2025届高三数学一轮复习
相同
相反
2.向量的线性运算
向量运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
加法
求两个向量和的运算
_
交换律： ______;结合律： ___________
向量运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
减法
求两个向量差的运算
_
续表
向量运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
数乘
求实数 与向量 的积的运算
【对点训练】
1.(2023·四川成都七中诊断)如图， 是圆 的一条直径， ， 为半圆弧的两个三等分点，则 ( )
A. B. C. D.
解析：选D.连接 （图略），因为 ， 是半圆弧的三等分点，所以 ，且 ，因此 .
√
2.在四边形 中，若 ，且 ，则四边形 为( )
×
（3）若向量 与向量 是共线向量,则 , , , 四点在一条直线上.( )
×
（4）当两个非零向量 , 共线时,一定有 ,反之成立.( )
√
2.(2022·新高考卷Ⅰ)在 中，点 在边 上， .记 , ，则 ( )
A. B. C. D.
√
A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.梯形
解析：选C.因为 ，所以四边形 是平行四边形.又 ，所以平行四边形 的对角线相等，因此该四边形是矩形.故选C.
√
3.(2023·河南八市联考改编)在等腰梯形 中， ，点 是线段 的中点，若 ，则 _ _， __.
解析：取 的中点 ，连接 （图略），则由题意可得 ，且 .因为 ，所以 ， .
√
√
解析：选 选项，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，所以A错误；B选项，因为 与 共线，且有公共点 ，所以 ， ， 三点在同一条直线上，所以B正确；C选项，当 且方向相反时，即使 ，也不能得到 ，所以 且 不是 的充要条件，而是必要不充分条件，所以C错误；D选项， ， ， ， 是不共线的点， ，即模相等且方向相同，即四边形ABCD对边平行且相等，反之也成立，所以D正确.
相反
2.向量的线性运算
向量运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
加法
求两个向量和的运算
_
交换律： ______;结合律： ___________
向量运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
减法
求两个向量差的运算
_
续表
向量运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
数乘
求实数 与向量 的积的运算
【对点训练】
1.(2023·四川成都七中诊断)如图， 是圆 的一条直径， ， 为半圆弧的两个三等分点，则 ( )
A. B. C. D.
解析：选D.连接 （图略），因为 ， 是半圆弧的三等分点，所以 ，且 ，因此 .
√
2.在四边形 中，若 ，且 ，则四边形 为( )
×
（3）若向量 与向量 是共线向量,则 , , , 四点在一条直线上.( )
×
（4）当两个非零向量 , 共线时,一定有 ,反之成立.( )
√
2.(2022·新高考卷Ⅰ)在 中，点 在边 上， .记 , ，则 ( )
A. B. C. D.
√
A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.梯形
解析：选C.因为 ，所以四边形 是平行四边形.又 ，所以平行四边形 的对角线相等，因此该四边形是矩形.故选C.
√
3.(2023·河南八市联考改编)在等腰梯形 中， ，点 是线段 的中点，若 ，则 _ _， __.
解析：取 的中点 ，连接 （图略），则由题意可得 ，且 .因为 ，所以 ， .
√
√
解析：选 选项，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，所以A错误；B选项，因为 与 共线，且有公共点 ，所以 ， ， 三点在同一条直线上，所以B正确；C选项，当 且方向相反时，即使 ，也不能得到 ，所以 且 不是 的充要条件，而是必要不充分条件，所以C错误；D选项， ， ， ， 是不共线的点， ，即模相等且方向相同，即四边形ABCD对边平行且相等，反之也成立，所以D正确.
高一数学平面向量的概念及线性运算PPT优秀课件
a＋b＝λLeabharlann a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，
∴ λ－1＝0 1＋λ＝0
，λ 无解，故假设不成立，即 a＋b 与 a－b 不平行，故选 D.
错源二：向量有关概念理解不当
【例2】 如图，由一个正方体的12条棱构成的向量组成了一个集合M，则集合M的元 素个数为________．
错解：正方体共有12条棱，每条棱可以表示两个向量，一共有24个向量．答案是24. 错解分析：方向相同长度相等的向量是相等向量，故AA1―→＝BB1―→＝CC1―→ ＝ DD1―→ ， AB―→ ＝ DC―→ ＝ D1C1―→ ＝ A1B1―→ ， AD―→ ＝ BC―→ ＝ B1C1―→＝A1D1―→.错解的原因是把相等的向量都当成不同的向量了． 正解：12条棱可以分为三组，共可组成6个不同的向量，答案是6. 答案：6
错解分析：错解一，忽视了 a≠0 这一条件．错解二，忽视了 0 与 0 的区别，AB―→＋
BC―→＋CA―→＝0；错解三，忽视了零向量的特殊性，当 a＝0 或 b＝0 时，两个等号同时
成立．
正解：∵向量 a 与 b 不共线，
∴a，b，a＋b 与 a－b 均不为零向量．
若 a＋b 与 a－b 平行，则存在实数 λ，使
∴|AM―→|＝12|AD―→|＝12|BC―→|＝2.故选 C.
【例2】 (2010年安徽师大附中二模)设O在△ABC的内部，且OA―→＋OB―→＋ 2OC―→＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解析：由 OC―→＝－12(OA―→＋OB―→)，设 D 为 AB 的中点， 则 OD―→＝12(OA―→＋OB―→)， ∴OD―→＝－OC―→，∴O 为 CD 的中点， ∴S△AOC＝12S△ADC＝14S△ABC，∴SS△△AAOBCC＝4.故选 B.
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思考:合力F与力F1、F2有怎样的关系？
E
O
E
O
F
力F在以F1、F2为邻边的平行
四边形的对角线上，并且大小等于平
行四边形对角线的长.
.
5
向量加法运算及其几何意义
rr
❖ 向量加法的定义：我们把求r两个r向量 a r, b r 和的运算,叫做向量的加法, a b 叫做 a , b
的和.
两个向量的和仍然是一个向量.
.
10
向量加法运算及其几何意义
当向量
r a
r 、b
不共线时，和向量的长度
|
r a
r b
| 与向量
r a
r 、b
的长度和
|
r a|
|
br |之间的大小关系如何？
rr ab
r b
r a
三角形的两边之和大于第三边
r r
r rrr
当 向 量 a 、 b 不 共 线 时 有 | a b | | a | | b |
向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进了向量
的运算。
下面我们学习向量的线性运算。
.
2
向量加法运算及其几何意义
日常生活中遇到的向量加法问题:
例如:某对象从A点走到B点. 然后从B点走到C点.
思考:这个人所走过的位移是多少?
C
分析 :由物理知识可以知道:
从A点到B点然后到C点的 合位移,就是从A点到C点 的位移.
rr 任意向量 a、b 的加法是否也满足交换律与结合律？
r
因为 AC = AB + BC = a + b
D
r b
a
A C =A DD C =b C
r
u u u u ru u u ru u u u rrr + a .
b
rr r r
A
r aB
所以 a +b =b a.
.
13
向量加法运算及其几何意义
D
rr r r rr
rr r
(a r
rb) rc
r
r ( a b ) c a ( b c ) .
rc
a (b c) b c
rr
C
a b
r
向量的加法满足
A
r a
b
B
交换律和结合律.
rr rr a+b=b+a rr rr rr (a+b)+c=a+(b+c)
.
14
向量加法运算及其几何意义
它们的加法与数的加法有什么关系？
r a
r a
b
（1）
A
Br r
C
ab
b
（2）
C r rA
B
ab
r r
rrrr
若 a ， b 方 向 相 同 ， 则 | a b | | a | | b |
r r
r r r rr r
若 a ， b 方 向 相 反 ， 则 | a b | | a | | b （ | 或 | b | | a | ）
DC AB
向量AB 表示静水流速，AD
表示船行进方向，AC 表示
船实际行走路线，垂直于水 流方向，所以∠DAC即一 向 量 a,我 们 规 定
rr rr r
A a00aa
.
8
向量加法运算及其几何意义
例题讲解：
rr
rr
例1.如图，已知向量 a , b ，求作向量 a b 。
uuur r uuur r 作法1：在平面内任取一点O，作 OAa，ABb
，则
uuu r r r OBab
.
6
向量加法运算及其几何意义
向量加法的三角形法则
已知非零向量a与b.如何求a+ b.
首尾相接，首尾连
a
b
a+b=AB+BC=AC
C
B
位移的合成可以看作向量
A
加法三角形法则的物理模型
.
7
向量加法运算及其几何意义
向量加法的平行四边形法则
a
b
起点相同，连对角
B O
力的合成可以看作向量加 法平行四边形法则的物理模型
D
C
5
A2 B
ta n C A B 5,查 计 算 器 可 得 C A B 6 8 . 2
答：船实际航行速度的大小约为5.4km/h，方向与水的流
速间的夹角约为680
.
16
向量加法运算及其几何意义
变式：
❖ 在静水中船速为20m/min，水流速度为10m/min,若 船从岸边出发，垂直于水流航线到达对岸的，问船 行进的方向是___方__向__与__水_的__流__速__间__的_夹__角__为__1_2_0o.
2.2平面向量的线性运算
2.2.1向量加法运算及其几何意义
.
1
向量加法运算及其几何意义
复习回顾：
1、向量： 既有大小又有方向的量叫做向量
2、平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量
3、相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量
节引言：
数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷。
与数的运算类比，向量是否也能进行运算呢？人们从
综合以上探究我们r可得结r论：r r |ab| |a||b|
.
11
向量加法运算及其几何意义
课堂练习：
一、用三角形法则求向量的和
（2） b
ab b
（4） a b
b
ab
a
二、用平行四边形法则求向量的和
（1） b
b
ab
a
（2）
b
a
ab
a
.
12
向量加法运算及其几何意义
探究：
数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R， 有a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c)
.
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向量加法运算及其几何意义
分析： 向量加法在实际生活中的应用，本例应解
决的问题是向量模的大小及向量的方向
解：如图，设 AB 表示水流的
速度，AD表示渡船的速度，
AC 表示渡船实际过
江的速度.(由平行四边形 法则可以得到)
由AB AD得RtABC, uuur
得AC 22 52 29 ≈5.4
A
B
AB + BC = AC
.
3
向量加法运算及其几何意义
探究:橡皮条在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点. 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
E
O
E
O
F
F1+F2=F
力F对橡皮条产生的效果，与力F1和F2共同作用 产生的效果相同，物理学中把力F叫做F1和F2的合力.
.
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向量加法运算及其几何意义
uuur r uuur r 作法2：在平面内任取一点O，作 OAa，OBb ，以OA、OB为
u u u ru u u ru u u rrr 邻边作 OACB ，连结OC，则 O C O A O B a b .
b a
r
o· a
A r o· a
A
b
b
ab
ab
B
B
C
.
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向量加法运算及其几何意义
思考： 如图，当在数轴上表示两个共线向量时，
学以致用：
❖ 例2.长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡 进行运输.一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的 速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为 向东2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行 的速度（保留两个有效数字）； (2)求船实际航行的速度的大小和方向（用与江水 速度间的夹角表示，精确到度）.
E
O
E
O
F
力F在以F1、F2为邻边的平行
四边形的对角线上，并且大小等于平
行四边形对角线的长.
.
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向量加法运算及其几何意义
rr
❖ 向量加法的定义：我们把求r两个r向量 a r, b r 和的运算,叫做向量的加法, a b 叫做 a , b
的和.
两个向量的和仍然是一个向量.
.
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向量加法运算及其几何意义
当向量
r a
r 、b
不共线时，和向量的长度
|
r a
r b
| 与向量
r a
r 、b
的长度和
|
r a|
|
br |之间的大小关系如何？
rr ab
r b
r a
三角形的两边之和大于第三边
r r
r rrr
当 向 量 a 、 b 不 共 线 时 有 | a b | | a | | b |
向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进了向量
的运算。
下面我们学习向量的线性运算。
.
2
向量加法运算及其几何意义
日常生活中遇到的向量加法问题:
例如:某对象从A点走到B点. 然后从B点走到C点.
思考:这个人所走过的位移是多少?
C
分析 :由物理知识可以知道:
从A点到B点然后到C点的 合位移,就是从A点到C点 的位移.
rr 任意向量 a、b 的加法是否也满足交换律与结合律？
r
因为 AC = AB + BC = a + b
D
r b
a
A C =A DD C =b C
r
u u u u ru u u ru u u u rrr + a .
b
rr r r
A
r aB
所以 a +b =b a.
.
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向量加法运算及其几何意义
D
rr r r rr
rr r
(a r
rb) rc
r
r ( a b ) c a ( b c ) .
rc
a (b c) b c
rr
C
a b
r
向量的加法满足
A
r a
b
B
交换律和结合律.
rr rr a+b=b+a rr rr rr (a+b)+c=a+(b+c)
.
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向量加法运算及其几何意义
它们的加法与数的加法有什么关系？
r a
r a
b
（1）
A
Br r
C
ab
b
（2）
C r rA
B
ab
r r
rrrr
若 a ， b 方 向 相 同 ， 则 | a b | | a | | b |
r r
r r r rr r
若 a ， b 方 向 相 反 ， 则 | a b | | a | | b （ | 或 | b | | a | ）
DC AB
向量AB 表示静水流速，AD
表示船行进方向，AC 表示
船实际行走路线，垂直于水 流方向，所以∠DAC即一 向 量 a,我 们 规 定
rr rr r
A a00aa
.
8
向量加法运算及其几何意义
例题讲解：
rr
rr
例1.如图，已知向量 a , b ，求作向量 a b 。
uuur r uuur r 作法1：在平面内任取一点O，作 OAa，ABb
，则
uuu r r r OBab
.
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向量加法运算及其几何意义
向量加法的三角形法则
已知非零向量a与b.如何求a+ b.
首尾相接，首尾连
a
b
a+b=AB+BC=AC
C
B
位移的合成可以看作向量
A
加法三角形法则的物理模型
.
7
向量加法运算及其几何意义
向量加法的平行四边形法则
a
b
起点相同，连对角
B O
力的合成可以看作向量加 法平行四边形法则的物理模型
D
C
5
A2 B
ta n C A B 5,查 计 算 器 可 得 C A B 6 8 . 2
答：船实际航行速度的大小约为5.4km/h，方向与水的流
速间的夹角约为680
.
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向量加法运算及其几何意义
变式：
❖ 在静水中船速为20m/min，水流速度为10m/min,若 船从岸边出发，垂直于水流航线到达对岸的，问船 行进的方向是___方__向__与__水_的__流__速__间__的_夹__角__为__1_2_0o.
2.2平面向量的线性运算
2.2.1向量加法运算及其几何意义
.
1
向量加法运算及其几何意义
复习回顾：
1、向量： 既有大小又有方向的量叫做向量
2、平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量
3、相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量
节引言：
数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷。
与数的运算类比，向量是否也能进行运算呢？人们从
综合以上探究我们r可得结r论：r r |ab| |a||b|
.
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向量加法运算及其几何意义
课堂练习：
一、用三角形法则求向量的和
（2） b
ab b
（4） a b
b
ab
a
二、用平行四边形法则求向量的和
（1） b
b
ab
a
（2）
b
a
ab
a
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向量加法运算及其几何意义
探究：
数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R， 有a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c)
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向量加法运算及其几何意义
分析： 向量加法在实际生活中的应用，本例应解
决的问题是向量模的大小及向量的方向
解：如图，设 AB 表示水流的
速度，AD表示渡船的速度，
AC 表示渡船实际过
江的速度.(由平行四边形 法则可以得到)
由AB AD得RtABC, uuur
得AC 22 52 29 ≈5.4
A
B
AB + BC = AC
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向量加法运算及其几何意义
探究:橡皮条在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点. 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
E
O
E
O
F
F1+F2=F
力F对橡皮条产生的效果，与力F1和F2共同作用 产生的效果相同，物理学中把力F叫做F1和F2的合力.
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向量加法运算及其几何意义
uuur r uuur r 作法2：在平面内任取一点O，作 OAa，OBb ，以OA、OB为
u u u ru u u ru u u rrr 邻边作 OACB ，连结OC，则 O C O A O B a b .
b a
r
o· a
A r o· a
A
b
b
ab
ab
B
B
C
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向量加法运算及其几何意义
思考： 如图，当在数轴上表示两个共线向量时，
学以致用：
❖ 例2.长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡 进行运输.一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的 速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为 向东2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行 的速度（保留两个有效数字）； (2)求船实际航行的速度的大小和方向（用与江水 速度间的夹角表示，精确到度）.