江苏高考数学填空题压轴题精选3

高考压轴题精选

1.

如图为函数()1)f x x =

<<的图象，其在点(())M t f t ，l l y 处的切线为，与轴和直线1=y 分别

交于点P 、Q ，点N （0，1），若△PQN 的面积为b 时的点M 恰好有两个，则b 的取值围为 ▲ . 解：

2. 已知⊙A ：22

1x y +=，⊙B : 2

2

(3)(4)4x y -+-=，P 是平面一动点，过P 作⊙A 、⊙B 的切线，切

点分别为D 、E ，若PE PD =，则P 到坐标原点距离的最小值为 ▲ .

解：设)(y x P ，，因为PE PD =，所以22PD PE =，即14)4()3(2222-+=--+-y x y x ，整理得：

01143=-+y x ，

这说明符合题意的点P 在直线01143=-+y x 上，所以点)(y x P ，到坐标原点距离的最小值即为坐标原点到直线01143=-+y x 的距离，为

5

11

3. 等差数列{}n a 各项均为正整数，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 中，11b =，且2264b S =，{}n b 是公比为64的等比数列．求n a 与n b ；

解：设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则d 为正整数，

3(1)n a n d =+-，1n n b q -=

依题意有1363(1)22642(6)64n n nd

a d n d a

b q q b q S b d q +++-⎧====⎪

⎨⎪=+=⎩

①

由(6)64d q +=知q 为正有理数，故d 为6的因子1，2，3，6之一，

解①得2,8d q == 故1

32(1)21,8n n n a n n b -=+-=+=

4. 在ABC ∆

中，2==⋅AC AB （1）求2

2

+（2）求ABC ∆面积的最大值．

||||2BC AC AB =-=422

2

又因为 2AB AC ⋅=，所以22

8AB AC +=；

（2）设||||||AB c AC b BC a ===，

，，由（1）知822=+c b ，2=a ， 又因为bc

bc bc a c b A 2

2282cos 222=-=-+=，

所以A bc A bc S ABC

2

cos 121sin 21-==∆=222222421c

b c b c b ⋅-≤34)2(

21222=-+c b ， 当且仅当c b a ==时取“=”，所以ABC ∆的面积最大值为3．

5. 设等差数列{}n a 的公差为d ，0d >，数列{}n b 是公比为q 等比数列，且110b a =>． （1）若33a b =，75a b =，探究使得n m a b =成立时n m 与的关系； （2）若22a b =，求证：当2>n 时，n n b a <.

解：记a b a ==11，则1,)1(-=-+=m m n aq b d n a a ，……………1分

（1）由已知得24

26a d aq a d aq ⎧+=⎨+=⎩，

，

消去d 得4232aq aq a -=， 又因为0≠a ，所以02324=+-q q ，所以2122==q q 或，……………5分

若12=q ，则0=d ，舍去；……………6分 若22=q ，则2a d =，因此12)1(-=-+⇔=m m n aq a n a b a 12

11-=-+⇔m q n ， 所以122

1-=

+m n （m 是正奇数）时，m n b a =；……………8分

（2）证明：因为0,0>>a d ，所以111212>+=+===a

d

a d a a a

b b q ， …………11分

2>n 时，1)1(---+=-n n n aq d n a b a =d n q a n )1()1(1-+--

=d n q q q q a n )1()1)(1(22-+++++--

d n n q a )1()1)(1(-+--<=[]0))(1()1()1(22=--=+--b a n d q a n

所以，当n n b a n <>时，2. …………………………16分

6. 已知圆

O ：221x y +=，O 为坐标原点．

（1的正方形ABCD 的顶点A 、B 均在圆O 上，C 、D 在圆O 外，当点A 在圆O 上运动

时，C 点的轨迹为E ． （ⅰ）求轨迹E 的方程；

（ⅱ）过轨迹E 上一定点00(,)P x y 作相互垂直的两条直线12,l l ，并且使它们分别与圆O 、轨迹E 相

交，设1l 被圆O 截得的弦长为a ，设2l 被轨迹E 截得的弦长为b ，求a b +的最大值．

（2）正方形ABCD 的一边AB 为圆O 的一条弦，求线段OC

长度的最值．

解：

（1）（ⅰ）连结OB ，OA ，因为OA =OB =1，AB =2，所以222AB OB OA =+，

所以4

OBA π

∠=

，所以34OBC π∠=，在OBC ∆中，52222=⋅-+=BC OB BC OB OC ，

所以轨迹E 是以O 为圆心，5为半径的圆，

所以轨迹E 的方程为522=+y x ； （ⅱ）设点O 到直线12l l ，的距离分别为12d d ，，

因为21l l ⊥，所以2222212005d d OP x y +==+=， 则2

22

15212d d b a -+-=+，

则[])

5)(1(2)(64)(2

22

12

22

12d d d d b a --++-=+

≤4⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡--⋅++-262)(62

2212221d d d d =22124[122(

d d -+=4(1210)8-=，

当且仅当2

2

1

222

125,15,d d d d ⎧+=⎨-=-⎩，即22219,21,

2d d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

时取“=”，

所以b a +的最大值为 （2）设正方形边长为a ，OBA θ∠=，则cos 2a θ=，0,2θπ⎡⎫

∈⎪⎢⎣⎭

．

当A 、B 、C 、D 按顺时针方向时，如图所示，在OBC ∆中，

2212cos 2a a OC θπ⎛⎫

+-+= ⎪⎝⎭

，

即OC == ==

由2,444θππ5π⎡⎫

+

∈⎪⎢⎣⎭

，此时(1,1]OC ∈； 当A 、B 、C 、D 按逆时针方向时，在OBC ∆中，

2212cos 2a a OC θπ⎛⎫

+--= ⎪⎝⎭

，

即OC ==

==，

由2,444θππ3π⎡⎫

-

∈-⎪⎢⎣⎭

，此时1,OC ∈， 综上所述，线段OC 11．