二次量子化方法中产生算符和湮灭算符的两种形式
§9 二次量子化理论
(9.1.28)
&n = − p
∂H ∂ = − f ∑ ( x m − xm +1 ) ( x m − xm +1 ) ∂x n ∂x n m
m
= − f ∑ ( x m − xm +1 )(δ n,m − δ n,m +1 ) = f ( x n+1 + xn −1 − 2 xn )
(9.1.29)
t2
t2
∂L ∂L & dt = δq + δq & ∂q ∂q ∂L d ∂L − = 0 & ∂q dt ∂q
∫
t2
t1
∂L d ∂L δqdt = 0 ∂q − dt ∂q &
即
为拉氏方程。当 V ( q, t ) 不含广义速度时，
2N 个动力学方程
2
&i = q
∂H ∂H &i = − ， p ∂ pi ∂ qi
(9.1.12)
2. 谐振子的粒子数表象 参考§8.2 第 1 中的论述。 §8.2 第 1 中的论述中没有涉及状态随时间的演化， 在粒子数表象 中， 状态由产生算符作用于真空态的形式表示， 所以采用海森伯绘景。 在海森伯绘景中，
) 1 µ )+ ) ) ) H = pk p k + ∑ ω k2 q k+ q k ∑ 2µ k 2 k
∑ x (t ) exp[ −ikna]
n n
(9.1.40)
由哈密顿方程得
p n (t ) = µx &= 1 N
∑ p (t ) exp[ −ikna ]
k k
(9.1.41) (9.1.42)
温伯格 产生湮灭算符-概述说明以及解释
温伯格产生湮灭算符-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述温伯格-沃尔面产生湮灭算符是量子力学中重要的数学工具，它在描述多粒子系统中的相互作用过程中起到了关键的作用。
该算符是由德国物理学家格雷戈尔·温伯格和约翰·温伯格以及奥地利物理学家弗里茨·沃尔面所提出的。
温伯格-沃尔面算符在量子场论中也扮演着重要的角色，特别是在描述电磁相互作用以及粒子的产生和湮灭过程时。
温伯格-沃尔面算符被定义为一对互为共轭的算符，分别用a和a†表示，它们与粒子的产生和湮灭有着密切的关系。
其中，a†算符表示粒子的产生，而a算符则表示粒子的湮灭。
这两个算符在量子力学的形式体系中起到了重要的作用，能够用于构建系统的哈密顿量以及描述系统的演化过程。
温伯格-沃尔面算符具有一系列特殊的性质，比如它们满足一定的对易关系，即[a, a†] = 1。
这个对易关系是描述产生和湮灭算符之间互相作用的基础，也是构建量子场论的重要基础之一。
此外，温伯格-沃尔面算符还具有正定性和严格的归一化条件等性质，这些性质使得它们在描述物理过程时具有很强的实用性和可计算性。
温伯格-沃尔面算符的应用非常广泛。
它们在量子力学以及量子场论的各个领域都扮演着重要的角色。
比如，在量子力学中，它们可以用于描述系统中粒子的数目变化以及相应的能量变化；在量子场论中，它们可以描述粒子的产生和湮灭过程，以及粒子与场之间的相互作用。
除此之外，温伯格-沃尔面算符还在量子信息和量子计算等领域有着广泛的应用。
综上所述，温伯格-沃尔面产生湮灭算符在量子力学和量子场论中具有重要的地位和作用。
它们的定义、性质以及应用都是研究这两个领域的基础知识。
对于理解多粒子系统的相互作用以及粒子的产生和湮灭过程，深入了解和掌握温伯格-沃尔面算符是非常重要的。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：本文将按照以下结构进行讨论：1. 引言：在引言部分，将对温伯格产生湮灭算符进行简要介绍，并说明本文的目的和意义。
写出全同粒子系统的总轨道角动量lz和l2的二次量子化形式
写出全同粒子系统的总轨道角动量lz和l2的二次量子化形式1. 引言1.1 概述本文旨在探讨全同粒子系统的总轨道角动量lz和l2的二次量子化形式。
在量子力学中，全同粒子系统是一类具有相同物理性质的粒子组成的系统，它们之间没有任何区别。
而总轨道角动量lz和l2则是描述这些粒子在空间中运动时所拥有的角动量。
1.2 文章结构本文按照以下结构进行论述：首先，我们将介绍全同粒子系统总轨道角动量lz 的定义，并给出相关概念和数学表示；其次，我们将阐述lz的本征值及其对应的本征态表示；最后，我们将推导和解释lz的二次量子化表达式。
随后，我们将进行类似的分析并讨论全同粒子系统总轨道角动量l2的二次量子化形式。
1.3 目的本文旨在深入理解全同粒子系统总轨道角动量lz和l2，并通过推导和解释其二次量子化形式，进一步揭示全同粒子系统中这两个重要物理概念的内涵和意义。
这对于更好地理解多粒子体系及其特性、研究复杂体系的性质和行为具有重要的理论与实际意义。
同时，本文还将探讨相关研究的未来发展方向。
以上是“1. 引言”部分内容的详细清晰撰写。
2. 全同粒子系统总轨道角动量lz的二次量子化形式2.1 全同粒子系统总轨道角动量lz的定义在全同粒子系统中，总轨道角动量lz表示所有单个粒子的轨道角动量在z方向上的矢量和。
它是各个粒子的单个轨道角动量lz值之和。
2.2 lz的本征值和本征态表示根据量子力学理论，lz具有离散值，可用来描述全同粒子系统在z方向上的旋转运动。
其本征值为mħ，其中m为整数或半整数，ħ为约化普朗克常数。
对于N个全同粒子构成的系统，其总轨道角动量lz可以通过求解含有N个因素化项的哈密顿算符得到。
由于全同粒子系统需要满足泡利不相容原理，因此泡利原理会导致只有一部分选定组态有效。
2.3 lz的二次量子化表达式推导与解释在二次量子化中，我们使用产生算符a†和湮灭算符a来描述波函数。
这些算符与单个粒子态以及多体态之间的关系如下所示：$$\begin{align*}a^\dagger_i |0⟩ & = \text{产生一个粒子在单粒子态} |i⟩ \\a_i |0⟩ & = 0\end{align*}$$其中，$|0⟩$表示全空模式，没有任何粒子。
二次量子化
二次量子化说到二次量子化得先说说粒子得统计法，微观粒子按照统计法可分为波色子和费米子统计法。
波色子统计法；相同粒子时不可分辨的。
而同时处在亦个单粒子态上的粒子数不受限制。
所谓得不可分辨性时指粒子的交换不改变系统得状态。
泡利不相容原理，不可能由俩个或者多个电子同时处在亦个态上。
实验表明：具有整数得自旋值得粒子遵从波色统计，具有半整数得自旋粒子则遵从费米统计。
用12(,......)n ϕεεε代表N 个相同粒子得ε表象得波函数在交换粒子时状态保持不变。
因而波函数只能改变亦个 常数因子。
即()()121212,......,......n n ϕεεελεεε= 121λ= 俩此交换这对粒子，得2121λ= 故121λ=± 1213141.........n λλλλ===可知波函数只能时全对称或全反对称得。
由叠加原理可知，对一定系统来说，波函数空间或者只包含全对称函数或者全反对称函数。
由此波函数得对称或者反对称取决于粒子得类型。
按照粒子得这个性质，可以把它们分为两类。
一类粒子得多体波函数时全对称得，另亦类粒子得多体波函数时反对称得。
例如一种最简单得全对称波函数是()()()12.........n αααϕεϕεϕε这个波函数表示任意N 个粒子处在同一个单离子态上，可见这种类型得粒子时波色子。
不难看出，表示系统中由俩个或者多个相同粒子处在同一个单粒子态得波函数对于这些粒子得交换必然述对称得。
因此与系统的全反对称波函数正交，即时说，在全反对称波函数描写得状态夏发现俩个或者多个粒子处于同一个单粒子态得概率等于零。
可见由全反对称波函数描述得粒子遵从泡利不相容原理。
二次量子化就是亦数学形式，通过生产算符和消灭算符作用在一个N 粒子B 值确定得状态上，所得状态时在原状态增加或者减少一个亦个B 值为b 得粒子。
产生算符和消灭算符由于()12.....N N 得全部允许值决定一组正交归一和完备得基本右矢12.....N N ，这组右矢可以看做广义态矢量空间得亦组算符得共同本征右矢，而12N N 时各个算符得本征值。
二次量子化
二次量子化二次量子化又叫正则量子化，是对量子力学的一种新的数学表述。
普通的量子力学方法只能处理粒子数守恒的系统。
但在相对论量子力学中，粒子可以产生和湮灭，普通量子力学的数学表述方法不再适用。
二次量子化通过引入产生算符和湮灭算符处理粒子的产生和湮灭，是建立相对论量子力学和量子场论的必要数学手段。
相比普通量子力学表述方式，二次量子化方法能够自然而简洁的处理全同粒子的对称性和反对称性，所以即使在粒子数守恒的非相对论多体问题中，也被广泛应用。
然而，现在的二次量子化理论反映物质埸的特征是不够全面的。
其一：只用作为埸的自由度的广义坐标，是一维的无穷多个指标的广义坐标，也就是说尽管是多个指标，它在空间的自由度却仅有一维。
无穷多个指标的广义坐标，只分别对应无穷多个光量子，描写它们一维的状态。
为了描写物质埸的矢量性，物质埸的自由度的广义坐标也应该是多维的广义坐标，必须把推广成，对应物质埸在处的振动的动量，对应物质波的几率密度，即传统的二次量子化理论中的态函数。
在各类物理文献（包括科普）中，我们都能经常看到一个术语，即二次量子化，一般指场量子化或从量子力学到量子场论的这个“提升”过程。
然而，所谓的二次量子化其实是一个错误的概念，至少是一个应该被摒弃的不恰当的概念，其产生及仍被使用有着一定的历史根源。
但这并不仅仅是历史错误被认识后人们懒得改变的习惯用法，否则也没有特别说明的必要了，而是依然存在于物理文献中的误解，它还在误导着更多的人。
量子场论的产生是这样一个过程。
物理学家们首先建立了基于平直时空点粒子的量子力学，以薛定谔方程来描述，然后为了统一量子力学和狭义相对论，或者说为了找到符合狭义相对性原理的量子力学，他们认为有必要“推广”薛定谔方程，从而找到了克莱恩－戈登方程和狄拉克方程等等并认为他们就是“推广”的薛定谔方程，进一步研究发现这些方程的变量并不是描述点粒子的动力学量，而是所谓的场，一类在时空每一点都有取值的函数，对这类场进行量子化最终促成了量子场论—同时满足狭义相对论和量子力学的新理论的诞生。
产生和湮灭算符 玻色子
上述有关全同粒子的对称性假设将不同种类的 全同粒子的态限制为对称、或者反对称. 这极 大地简化了多粒子态理论, 从而允许我们引进一 种包含产生和湮灭算符的更简洁的理论形式, 即 所谓的二次量子化.
1
Fock 空间
Fock 空间的正交基矢包括: 真空或无粒子态；
单粒子态的完备集,{ :(=1,2,3…)}； 双粒子态的完备集{ }； 三粒子态的完备集{ } ；
C ~ 1,
(15a)
C ~ 0, if 0. (15b)
从(14)式, 我们有 C 0.
(15c)
7
从(15)的三个关系式可以分别得到
~ C 1,
(16)
~ C 0, if 0, (17)
故而 C 被称作湮灭算符.
综上, 产生算符C† 增加一个粒子于 轨道(如 果它是空的), 而湮灭算符从 轨道(如果它被占
据)移走一个粒子; 否则, 结果为零.
12
算符方程
1. 考虑算符C† C† , CC 0, 对任意成立
CC 0,
(23)
a 0 ,
a n1, n2,, n , n1, n2 ,, n 1, , n 1,
a n1, n2 ,, n 0, 0.
(30)
29
类似地, 定义 轨道的数算符为a† a :
aa n1, n2,, n , n n1, n2,, n , . (31) 因此, 由关系
这些在空间某点产生和湮灭的新算符被称 之为场算符(field operators).
积 †(x)(x) 称为数密度算符, 而类似于(28)
二次量子化
二次量子化寒假里忽然想起曾经在看曾书10.3节角动量的Schwinger表象有一个奇思妙想。
当初记在书上的笔记是“一般Hamiltonian可表示为H(x,p), x、p可用a+、a处理，如果H为x、p的二次式，则可用H(a+,a)与[a+,a]求解”现在仔细回想这段话，当初的意思应该是：在经典力学里面，哈密顿量可以表示成两个独立变量的函数（上次还看到说只需要这两个独立变量x和x的一次导数就完备了，不需要诸如x的二次导数、三次导数那些变量，据说朗道书里有讲，本人没细究过），在处理谐振子的时候我们通过引入升降算符a+、a，把哈密顿量表示成H(a+,a)，接下来利用[a+,a]=1构造出粒子数算符，谐振子的各个能级就轻而易举的解出来了。
然后我看到角动量居然也可以用升降算符表示（确切的说是产生湮灭算符），这就很容易想到，是否所有的力学量都可以用升降算符表示？既然哈密顿量是力学量的函数，通过表象变换到升降算符表象，哈密顿量显然也可以表示成升降算符的函数H(a+,a)，如果哈密顿量是x、p的二次型，利用升降算符的对易子[a+,a]，可以很容易求解出各个能级（二次型的考虑是记得当初在学经典力学里面有一个说法，只要哈密顿量是x、p的二次型，总可以用泊松括号求解，而泊松括号可以即狄拉克普朗克常数趋向于零的对易子，曾书习题4.7），求解的过程似乎可以和哈密顿力学的求解过程对应起来。
后来学了二次量子化，在那里，哈密顿量确实都表示成a+、a的函数，再回首当初的奇思妙想，算是二次量子化的发轫，但确实too simple, too naive.1、二次量子化里面的a+、a表示的产生湮灭算符，是指产生或湮灭一个态（这里采用fock表象），和谐振子里面的升降算符在概念上是有差异的。
2、哈密顿量一般来说是偶数次型，不仅限于二次型，还有四次型。
3、二次量子化虽然看起来似乎是一个表象变换，但是它已经把场量子化，这样子，才会有可能产生一个粒子或湮灭一个粒子。
06_二次量子化
代入哈密顿量表达式，有
1⎞ ⎛ ˆ H = hω ⎜ a + a + ⎟ 2⎠ ⎝
作线性变换：
a= mω 2h
引入算符粒子数算符N ：
ˆ N = a+a
则: 以上两个算符互为厄米，称为谐振子的一对升降算符。 （也称为粒子的湮灭算符与产生算符） 逆变换为：
x= h a + a+ , 2mω
⎛ ˆ 1⎞ ˆ H = hω ⎜ N + ⎟ 2⎠ ⎝
注意到对易关系： [ N , a ] = − a , [ N , a + ] = a + ˆ ˆ 也就是：
ˆ ˆ N a = a ( N − 1) , ˆ ˆ N a + = a + ( N + 1)
两者比较，结论： λ 0 = 0
0
+ 由： λ a a λ = λ λ λ = λ
而且
λ a + a λ = ( λ a + )( a λ ) ≥ 0
e λ a ae − λ a = a − 2 λ a + , e
λa +2
2 +2 +2
+
+
+
+
+
+
二、玻色子系统的二次量子化 三、费米子系统的二次量子化 四、波场的二次量子化
e λa a + e − λa = a + + 2λ a
2 2
f ( a , a )e
+
− λa +2
2
= f ( a − 2λ a , a )
k =l ψ k ( q1 )ψ l ( q 2 ) ⎧ ⎪ Ψ kl ( q1 , q 2 ) = ⎨ 1 [ψ k ( q1 )ψ l ( q 2 ) + ψ l ( q1 )ψ k ( q 2 ) ] k ≠ l ⎪ 2 ⎩
二次量子化理论.
为使拉格朗日方程
(
3
1
0i i
i L L
L x
x t ψ
ψψ=∂∂∂∂∂-
-
=∂∂∂∂/∂∂∂∑
(
3
*
*
*
1
0i i i L L
L x t x ψ
ψ
ψ=∂∂∂∂∂--
*
'
'
3
3'
1
, , , , , 2
x t x t V x x x t x t
d x d x ψψψψ+
⎰⎰
在以上的讨论中, (, x t ψ和质点组( i x t一样,还是一个经典系统,找到正则动量后就可以进行量子化了。量子化的过程是把(, x t ψ和(*, x t ψ看成正则坐
标算符,把(, x t π和(*, x t π看成相应的正则动量算符,并给他们以对易关系。由于现在((*, , x t i x t πψ=而(*, 0x t π=,所以对易关系只有一套,即
一次量子化的对象是系统的正则坐标( i x t ,若系统是(非全同的n粒子系统,则1, 2, 3i n =⋅⋅⋅;而二次量子化的对象是一个复标量场(, x t ψ,如果把
(, x t ψ和(*
, x t ψ
看成独立的广义坐标,则其中的x与前者的i相当,由于x可取
连续的不可数无穷多个值,这是一个无穷多自由度的系统。
((, , S
x t x t ψ
ψ→ ((* , , S x t x t ψψ→
而它们仍满足原来的薛定谔方程,即(36.20式。(2赋予这些算符以同时对易关系式:
二次量子化方法
Φ x Φ = ∑ 0 bi ba bβ b 0 xαβ = xii
αβ
∧ ∧ ∧ + ∧ + i
∧ +
= ∫ dxψ i∗ ( x) xψ i ( x)
和量子力学中结果相同
外场中粒子化波场中的势能算符 V = ∫ dxψ α ( x) xψ β ( x) = ∑ ba bβ Vαβ
αβ
∧ ∧+ ∧ ∧ ∧ +
2的哈密顿量也变成了算符算符是来源场量和的算符性所以是二次量子化的算符转化到粒子数表象为了引入粒子数表象我们取了正交完全函数集将场算符展开可取一次量子化理论中一单粒子力学量算符的本证函数集可得算符展开式是逆变换关系利用变换关系和算符对易关系得出量子化波场的哈密顿算符公式二次量子化中的力学量一次量子化理论中概率密度和粒子数密度以及所有力学量的平均值都变成了算符这种算符就是二次量子化中的力学量粒子数密度期望假设因为和化简上式坐标算符二次量子化中的算符是由量子力学中的坐标算符平均值转换而来粒子数表象和量子力学中结果相同动力学方程二次量子化中的力学量是通过场算符来构造的如果一次量子化中采用薛定谔绘景那么二次量子化采用海森堡绘景以算符是运动方程为例将哈密顿算符带入运动方程中将哈密顿算符代人运动方程海森堡动力学方程化简为
2u 拉氏密度需要将它代入拉式方程中得到上面的薛定谔方程 • ∂ζ ∗ ∂ζ = −Vψ , = iηψ − Vψ ∗ ∂ψ ∂ψ ∂ζ ∗ ∂ζ = iηψ , =0 • ∗ ∂ψ ∂ψ ∂ζ ∂ (∂ψ ∂xi ) =− ∇ψ ∗ ⋅∇ψ − Vψ ∗ψ
多体量子体系(多粒子态)求解：二次量子化
（
C(E1'...EN' , t) E1'...EN' ）
E1' ...EN'
Ek：单粒子量子数集合（如nlmms) 全同性的充分+必要条件： C( Ei Ej ,t) C( Ej Ei ,t)
充分性可通过代入得到证明；
必要性则可通过上式投影出特定系数及波函数的交换对称性证明。
态矢的全同对称性由完备基矢上的展开系数体现
N V
2
d 3xd 3 x ' e xx' x x'
1 2
e2
N V
2
d 3x d 3z ez z
1 e2 N 2 4 2 V 2
N
Helb e2
i 1
d 3x n(x)e xri x ri
N
e2
N
d 3 x e xri
i1 V
x ri
N
e2
N
d 3.z ez
多体量子体系(多粒子态)求解：二次量子化
背景:多体波函数原则上包含了所有信息, 但直接求解薛定谔方程很困难:
i
t
(
x1...xN
,
t
)
H
(
x1...xN
,
t
)
N
H [T (xk ) Vext (xk )] V (x1, x2 ,..., xN ) k 1
由于粒子间相互作用势V(x1,…,xN)的存在, Ψ不能分离变量(平均场近似?)
一、一次量子化的薛定谔方程
i
t
(
x1...xN
,
t
)
H
(
x1...xN
,
t
)
算符的二次量子化形式
14
在这个特定的对角表示中
V 1 4
CCC C CCC C
1
2
CCCC .
R
R1 CC . (40)
它的优点是无需涉及虚拟的粒子下标, 也不依赖于粒子数.
4
下面证明(39)、(40)之间的等价性, 这 可通过它们对于任意一对n-体态矢具 有相同矩阵元而得证:
5
首先, 我们证明(40)对于基矢的变换不变, 比 如考虑另一基矢表示的相似的算符为
§5.4 算符的二次量子化形式
对于玻色子和费米子来说, 用产生算符、 湮灭算符表示动力学变量的形式在本质 上是相同的, 这里采用费米子来引入这 一形式, 因为它的反对易关系需要更加 注意 +、 号.
1
n个全同粒子系统的力学量有几种类型, 一种可以写成n个单体力学量Ri 之和, 如:
n
动量 Pi i 1
(43)
, ( , )*, , , .
10
根据反对称态矢 2 .
表示的矩阵元为:
x1, x2 , , .
11
又(42)式可表示为
V 1
2
, CCC C
1
2
, CCC C
1
2
( , )CCC C
(42)式
哑元
C C C C 0.
12
V 1
4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( , , )CCC C
产生湮灭算符的维克定理
产生湮灭算符的维克定理1.引言概述部分应该对整篇文章的主题进行简要介绍和概述，下面是一个可能的概述部分的内容供参考：1.1 概述产生湮灭算符的维克定理是量子力学中一个重要的数学工具和理论定理。
它提供了一种计算量子态演化和相互作用的方法，尤其在量子光学和量子信息领域有广泛的应用。
维克定理最早由英国物理学家Hugo D. W. Weli在20世纪50年代提出，并在之后的发展中得到了广泛的应用和完善。
通过维克定理，我们可以得到产生湮灭算符的一系列重要性质和关系，从而方便地描述和计算物理体系的演化和性质。
本文旨在深入探讨维克定理的基本原理、推导过程和应用实例。
首先，我们将简要介绍维克定理的基本概念和定义，并通过一些具体的数学形式来说明其在量子力学中的应用场景。
接着，我们将详细讨论如何利用维克定理计算和描述产生湮灭算符的性质和相互作用，以及如何应用于具体的物理问题中。
本文分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，我们将简要介绍维克定理的背景和意义，以及本文的结构和目的。
在正文部分，我们将详细阐述维克定理的基本原理和推导过程，并给出一些实际应用的例子。
最后，在结论部分，我们将总结维克定理的要点，并展望其在未来的发展方向。
通过深入研究和理解维克定理，我们可以更好地理解和描述量子力学中的产生湮灭算符，为进一步研究量子体系的演化、相互作用和性质提供更多的数学工具和计算方法。
同时，本文也将为相关领域的科研人员和学习者提供一份详尽的参考和学习材料。
1.2 文章结构文章结构的安排对于文章的整体组织和逻辑性至关重要。
在本文中，为了准确描述产生湮灭算符的维克定理，我们将按照以下结构进行阐述：2. 正文2.1 第一个要点在本部分，我们将介绍维克定理的基本概念和相关定义。
我们将从量子力学的基本原理出发，引入量子态和算符的概念，并建立其数学表达形式。
同时，我们会阐述湮灭算符的意义和作用，并介绍其在物理学中的应用领域。
2.2 第二个要点在这一部分，我们将详细介绍产生湮灭算符的维克定理以及其推导过程。
湮灭算符和产生算符
湮灭算符和产生算符
湮灭算符和产生算符是量子力学中的核心概念之一。
它们是用来描述粒子态的数学工具，通常用符号a和a表示。
湮灭算符a作用在一个粒子态上，能将其湮灭，即将其从系统中移除。
产生算符a则能在一个空的系统中产生一个粒子，将其加入系统中。
这两个算符满足一些重要的基本关系，如：
[a,a]=1
[a,a]=0
[a,a]=0
其中[ , ]表示对两个算符进行对易或反对易运算的结果。
通过这些基本关系，可以推导出一系列重要的物理量和关系，如Heisenberg不确定性原理等。
湮灭算符和产生算符也是量子场论中
不可或缺的数学工具，用于描述场的激发态和粒子产生和湮灭的过程。
总之，湮灭算符和产生算符是量子力学中非常重要的概念，对于理解量子世界的本质和解释各种现象具有重要的意义。
- 1 -。
二次量子化粒子数算符和哈密顿量算符对易关系
二次量子化是量子力学中的一个重要概念，它将系统的宏观描述从波函数转换为了场算符。
在二次量子化中，粒子数算符和哈密顿量算符是非常重要的概念，它们之间的对易关系对于描述物质的性质和行为有着重要的意义。
本文将从二次量子化的基本理论入手，探讨粒子数算符和哈密顿量算符之间的对易关系的意义及其在物理学中的应用。
一、二次量子化的基本理论二次量子化是对一次量子化的推广，它主要应用于多体系统的描述。
在一次量子化中，系统的状态由单粒子波函数描述，而在二次量子化中，系统的状态则由多个单粒子波函数乘积构成的波函数描述。
二次量子化的基本思想是将粒子视为一个场，而不是单个粒子，场的激发态就是粒子数不同的态。
在二次量子化中，系统的态可以用多个产生算符作用在真空态上得到。
二、粒子数算符和哈密顿量算符粒子数算符是用来描述系统中粒子的数目的算符，它作用在系统的态矢量上得到系统中粒子的数目。
而哈密顿量算符则是描述系统的能量的算符，它是系统动力学性质的标量函数。
粒子数算符和哈密顿量算符在二次量子化中有着重要的地位，它们之间的对易关系对于描述系统的行为和性质有着重要的意义。
三、粒子数算符和哈密顿量算符的对易关系在二次量子化中，粒子数算符和哈密顿量算符之间的对易关系可以用来描述系统的性质。
粒子数算符和哈密顿量算符之间的对易关系可以用来确定系统的基态能量和激发态能量。
在一个系统中，如果粒子数算符和哈密顿量算符对易，那么系统的粒子数是守恒的，在准经典极限下，这就相当于系统的宏观性质。
而如果粒子数算符和哈密顿量算符不对易，那么系统的粒子数就不是守恒的，这就相当于系统的量子性质。
四、粒子数算符和哈密顿量算符对易关系的应用粒子数算符和哈密顿量算符对易关系在物理学中有着广泛的应用。
它们可以用来描述凝聚态物质中的超流、超导、玻色-爱因斯坦凝聚等现象。
它们还可以用来描述量子场论中的费米子、玻色子以及它们之间的相互作用。
粒子数算符和哈密顿量算符对易关系还可以用来描述量子信息学中的量子比特、量子纠缠、量子密度矩阵等量子信息学的现象。
二次量子化方法中产生算符和湮灭算符的两种形式
二次量子化方法中产生算符和湮灭算符的两种形式
雷世曾
【期刊名称】《大学物理》
【年(卷),期】1983(000)012
【摘要】产生算符和湮灭算符是二次量子化方法中的基本算符，它们可通过对占有数表象中的基矢或波函数的作用而定义。
有些著遮中往往把达两种形式的算符混淆，因而引起误解和混乱。
【总页数】3页(P11-13)
【作者】雷世曾
【作者单位】湖南师院
【正文语种】中文
【中图分类】O413.1
【相关文献】
1.算符二次量子化形式的一种导出方式 [J], 任政学;孙保元
2.产生算符、湮灭算符、位相算符及幅算符 [J], 吴奇学
3.量子理论中的产生算符a~+与湮灭算符a [J], 桑建平;但汉久;
4.用几何方法表示产生算符与消没算符 [J], 王红
5.产生算符、湮灭算符、位相算符及幅算符 [J], 吴奇学
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高等量子力学31产生算符和消灭算符
§31
产生算符和消灭算符
所得状态： 所得状态：在原状态中 增加一个B值为 值为b的粒子 增加一个 值为 的粒子
a † ( b ) n; bα bb β L bν = n + 1 n + 1; bbα bb β L bν
验证完全性关系 n; b α ′b β ′ L bν ′ ∑
bα ′ b β ′ L bν ′
Bose Fermi
1 2
ε
ε
⇒ n粒子系统的基矢统一用真空态 0 和适当的产生算符表示： 0 1; bα = a † ( bα ) 0 2; b b LL n; bα b β L bν = 1 † α † β a ( b ) a ( b ) L a † ( bν ) 0 n! (9.29)
α β
在 R0 空间（一维） R1 R2 L Rn
1 † α † β = a (b ) a (b ) 0 2!
(∆)
由 a † ( bα ) a † ( b β ) n; b γ L bν =
1 † n 类似 n = (A ) 0 n!
( n + 1)( n + 1) ( n + 1)( n + 1)
n + 2; bα b β b γ L bν n + 2; b β bα b γ L bν n + 2; bα b β b γ L bν (31.2)
二次量子化基础
二次量子化基础基本思想一次量子化基本方程为Schr odinger 方程 ψψμψ),(222t r V t i +∇-=∂∂. 任意状态),(t x ψ可在Hilbert 空间按基矢)(x i ϕ展开为 ∑=)()(),(x t a t x i i ϕψ,基矢)(x i ϕ可为某不含时Hamiltonian 的本征态)()()()(2)(22r E r r U r r H i i i i i ϕϕϕμϕ=+∇-=.二次量子化的基本思想就是将按基矢)(x i ϕ展开的Schr o dinger 方程（或其它场方程）的解),(t x ψ看作场算符，展开系数+i i a a ,为相应于单粒子态)(x i ϕ的湮灭算符和产生算符。
1. Hartree-Fock 自洽场方法H-F 方法是一种有用的近似方法，在计算原子中电子壳模型势和原子核壳模型势时获得较好结果。
这种方法便于作独立粒子近似，即设粒子近似独立地在其它粒子的平均场中运动。
考虑由N 个全同Fermi 子组成的系统, 设粒子间有二体相互作用，Hamiltonian 为∑∑≠+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=i ji j i i i r r V t r V m H ),(21),(222 （1） 计及交换反对称性，试探波函数可表或Slater 行列式)()( )()()()()()()(!1),,2,1(21N 2221212111N N N N N q q q q q q q q q N N ϕϕϕϕϕϕϕϕϕψ =（2）式中i ϕ为正交归一的单粒子态。
利用（2），能量平均值为∑⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇->==<*i i ir t x V m r x d H H )(),(2)(||223ϕϕψψ∑⎰⎰∑⎰⎰≠**≠**''''-''''+ji j i j i ji j i j i r r r r V r r x xd d r r r r V r r x xd d )()(),()()(21)()(),()()(213333ϕϕϕϕϕϕϕϕ （3）利用散度定理和i ϕ在边界为零，上式第1项为⎰∑∇∙∇*i i x d mϕϕ322 , 即⎰∑⎰∑⎰∑=∇∙∇+∇=∇∙∇***iii i i i iix d x d x d 0)(3323ϕϕϕϕϕϕ.证明：N =2时，)]()()()([2112212211r r r r ϕϕϕϕψ-=, )]()()()([21||12212211231321r r r r x d x d ****->=∇<⎰⎰ϕϕϕϕψψ )]()()()([1221221121r r r r ϕϕϕϕ-∇∙)]()()()( )()()()()()()()( )()()()([2112211221211121122221122111212211211122222313r r r r r r r r r r r r r r r r x d x d ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ∇+∇-∇-∇=********⎰⎰ 利用i ϕ的正交归一性，对r 2积分后得⎰∇+∇>=∇<**)],()()()([21||1221121121111321r r r r x d ϕϕϕϕψψ 同理⎰∇+∇>=∇<**)]()()()([21||2222222122212322r r r r x d ϕϕϕϕψψ 所以，略去x 和r 的下脚标后，有∑⎰∑=*=∇=>∇<2123212)()(21||i i i j jr r x d ϕϕψψ （4） ⎰⎰****->=<),()]()()()([21|),(|212112************r r V r r r r x d x d r r V ϕϕϕϕψψ )]()()()([12212211r r r r ϕϕϕϕ-⎰⎰****+=)]()(),()()()()(),()()([21122121122122112122112313r r r r V r r r r r r V r r x d x d ϕϕϕϕϕϕϕϕ)]()(),()()()()(),()()(22112112211221212211r r r r V r r r r r r V r r ϕϕϕϕϕϕϕϕ****--（5）此即（3）式中后两项的展开形式，证毕。
二次量子化理论
二次量子化理论“一次量子化”（1） 把经典系统的正则坐标()i x t 和正则动量()i p t 看成是海森伯绘景中 的算符()H i X t 和()H i P t ；（2） 赋予它们对易关系()(),H Hi j ijX t P t i δ⎡⎤=⎣⎦ 等等，认为哈密顿正则方 程对于算符仍然有效；（3） 给这些算符找一些作用对象，用来描写系统的量子状态。
通过一次量子化的手续，就从经典力学建立起了单粒子（以及非全同的多粒子）的量子理论。
“二次量子化”就是从单粒子的量子理论出发，经过与上述类似的手续建立全同粒子系统的量子理论的手续。
它的方法如下：（1）把薛定谔绘景中位置表象的单粒子态函数(),S x t ψ和它的轭量()*,S x t ψ看成是海森伯绘景中位置为x 的粒子的消灭算符(),x t ψ和产生算符()†,x t ψ：()(),,Sx t x t ψψ→ ()()* ,,S x t x t ψψ→而它们仍满足原来的薛定谔方程，即（36.20）式。
（2）赋予这些算符以同时对易关系式：()()()()()†' ,,,,,x t x t x t x t x x ψψεψψδ-=-⋅⋅⋅（3）给()†,x t ψ和(),x t ψ找一个作用的对象，即定义一个没有粒子的态0|〉，使()()††'',00,0,x x x x x x ψψ|〉=|〉|〉=〉⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅从而建立起一个巨希尔伯特空间。
通过这三个步骤，把本章所讲的理论倒过来推理，也可以建立起全同粒子系统的理论。
可以认为，全同粒子系统的理论，是将单粒子的量子力学经过“量子化”而来，所以通常把以产生算符和消灭算符为主要特点的这一套理论称为二次量子化理论。
一次量子化的对象是系统的正则坐标()i x t ，若系统是（非全同的）n 粒子系统，则1,2,3i n =⋅⋅⋅；而二次量子化的对象是一个复标量场(),x t ψ，如果把(),x t ψ和()*,x t ψ看成独立的广义坐标，则其中的x 与前者的i 相当，由于x 可取连续的不可数无穷多个值，这是一个无穷多自由度的系统。
粒子数表象中的产生与湮灭算符
一．粒子数表象只须把处于每个态上的粒子数，（n 1，n 2，…，n N ）交代清楚，全同粒子系的量子态就完全确定了。
所以，只需用（n 1，n 2，…，n N ）来标记波函数就可以了。
为了避免对全同粒子编号，就需脱离q 表象。
此时，全同玻色子体系的量子态可以用下列右矢来标记：对于费米子，泡利原理要求n i ＝0或1。
设系统有量子态αβγ…。
脱离q 表象，可记为（后式只标出了被粒子占据的那些单粒子态。
）这种表示方式称为粒子填布数表象简称粒子数表象，也称为Fock 表象。
二．产生和湮灭算符利用它们可以把粒子数表象的基矢以及各种类型的力学量方便的表示出来，而各种计算中，只需利用这些产生和湮灭算符的基本对易关系，量子力学的置换对称性即可自动得以保证。
1．全同玻色子体系的量子态描述a i +与a i 应理解为单粒子态i ϕ的产生和湮灭算符玻色子产生和湮灭算符满足对易关系： j i j i a a δ=+],[ 0],[],[==++j i j i a a a a (代表了玻色子产生和湮灭算符全部代数性质) （1） 此处a i +与a i 是相互共轭的。
（2） 特殊的1],[=+i i a a在单粒子态i ϕ上有n i （i ＝0，1，2，，，，，）个玻色子它是粒子数算符i i i a a n +=ˆ的本征态，本征值为n i （i ＝1，2，，，，，），它也是总粒子数∑=iinNˆˆ算符的本征态，本征值为∑=iinN 。
|0>为真空态。
可以可以看出上式是交换对称的。
玻色子产生和湮灭算符作用：其伴式为2．全同费米子体系的量子态描述利用粒子产生算符，设系统有量子态αβγ…（α≠β≠γ≠…）。
则系统的量子态用一下右矢表示由于费米子体系波函数的交换反对称性，即所以，00 ++++++-=γβαγαβa a a a a a 。
即费米子产生和湮灭算符满足反对易关系：βαβαδ=++],[a a0],[],[==++++βαβαa a a a (代表了费米子产生和湮灭算符全部代数性质) （1）0==++ααααa a a a（2）++++-=βααβa a a a玻色子产生和湮灭算符作用：由于单粒子态的归一性，<α|α>=1，即100=+ααa a ，由于真空态|0>及其伴态<0|不简并，所以0+ααa a 代表一个确定的态，即真空态|0>。