二次量子化方法中产生算符和湮灭算符的两种形式

量子力学中几种表象及其之间的关系

量子力学中几种表象及其之间的关系 摘要 体系的态可以用以坐标为变量的波函数ψ(x,t)来描写，力学量则以作用在这种波函数上的算符（量子力学中的算符代表对波函数的一种运算）来表示，这是量子力学中态和力学量的一种具体表述方式。态还可以用其他变量的函数作为波函数来描写体系的状态。 微观粒子体系的状态（量子态）和力学量的具体表示形式称为表象。 常用的表象有坐标表象、动量表象和能量表象。 而研究量子力学规律的各种表示形式以及这些不同形式之间的变换的理论，则称为表象理论。 关键词 态的表象 坐标表象 动量表象 Q 表象 算符表象 角动量表象 正文 体系的态既可用以x （表示全部坐标变量）为变量的波函数ψ(x,t)来描写，也可用以动量p 为变量的波函数c(p,t)来描写。ψ(x,t)和c(p,t)之间的变换关系是 式中 是动量的本征函数， dx x t x t p c dp x t p c t x p p )(),(),()(),(),(*ψ?=?=ψψψ /2 /1)2(1)(ipx p e x -=πψ

称ψ(x,t)是在坐标表象中的波函数，而c(p,t)是同一态在动量表象中的波函数。 由ψ(x,t)可知，粒子坐标在x 到x+dx 之间的概率 c 由(p,t ）可知，粒子动量在p 到p+dp 之间的概率 如果ψ(x,t)所描写的状态是具有动量p ’的自由粒子的状态，即ψ(x,t)=ψp ’(x,t),则 在动量表象中，粒子具有确定动量p ’的波函数是以动量p 为变量的δ函数。 那么，态在任意力学量Q 的表象中的描写方式又是什么样呢？ 设力学量Q 具有分立的本征值Q1,Q2,…Qn …，对应的本征函数为u1(x),u2(x),…,un(x),…,并组成正交归一的完全系。将态在坐标表象中的波函数ψ(x,t)按{un(x)}展开成 dx t x dx t x w 2 ),(),(ψ=dp t p c dp t p w 2 ),(),(=dx e x x dx x t x t p c t iEp p p p p /''')()()(),(),(-**?=ψ?=ψψψ /')'(t iEp e p p --=δ) ()(),(x u t a t x n n n ∑=ψ

能量量子化

17．1 能量量子化 高二物理组韦瑜教材分析、学情分析 本节由黑体和黑体辐射、黑体辐射的实验规律和能量子三部分内容组成。对黑体辐射的研究及由此引发的“紫外灾难”是19世纪初物理学天空中的“第三朵乌云”，然而正是在拨开“第二朵乌云”的过程中，物理学终于迎来了量子物理的曙光。本节的重点是对黑体辐射能量在不同温度下与波长关系的研究，难点是如何让学生理解能量量子化假说。对这部分内容，教材是按物理学史的发展展开的，目的是使学生能从前辈大师的工作中体会科学探究的真实过程。 教学目标 （一）知识与技能 1．了解什么是热辐射及热辐射的特性，了解黑体与黑体辐射 2．了解黑体辐射的实验规律，了解黑体热辐射的强度与波长的关系 3．了解能量子的概念 （二）过程与方法 了解微观世界中的量子化现象。比较宏观物体和微观粒子的能量变化特点。体会量子论的建立深化了人们对于物质世界的认识。 （三）情感、态度与价值观 领略自然界的奇妙与和谐，发展对科学的好奇心与求知欲，乐于探究自然界的奥秘，能体验探索自然规律的艰辛与喜悦。 教学重点 能量子的概念 教学难点 黑体辐射的实验规律 教学方法 教师启发、引导，学生讨论、交流。 教学用具： 投影片，多媒体辅助教学设备 课时安排 1 课时

教学过程 （一）引入新课 教师：介绍能量量子化发现的背景：（多媒体投影，见课件。） 19世纪末页，牛顿定律在各个领域里都取得了很大的成功：在机械运动方面不用说，在分子物理方面，成功地解释了温度、压强、气体的内能。在电磁学方面，建立了一个能推断一切电磁现象的Maxwell方程。另外还找到了力、电、光、声----等都遵循的规律---能量转化与守恒定律。当时许多物理学家都沉醉于这些成绩和胜利之中。他们认为物理学已经发展到头了。 1900年，在英国皇家学会的新年庆祝会上，著名物理学家开尔文作了展望新世纪的发言：“科学的大厦已经基本完成，后辈的物理学家只要做一些零碎的修补工作就行了。” 也就是说：物理学已经没有什么新东西了，后一辈只要把做过的实验再做一做，在实验数据的小数点后面在加几位罢了！ 但开尔文毕竟是一位重视现实和有眼力的科学家，就在上面提到的文章中他还讲到： “但是，在物理学晴朗天空的远处，还有两朵令人不安的乌云，----” 这两朵乌云是指什么呢？ 一朵与黑体辐射有关，另一朵与迈克尔逊实验有关。 然而，事隔不到一年（1900年底），就从第一朵乌云中降生了量子论，紧接着（1905年）从第二朵乌云中降生了相对论。经典物理学的大厦被彻底动摇，物理学发展到了一个更为辽阔的领域。正可谓“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”。 点出课题：我们这节课就来体验物理学新纪元的到来――能量量子化的发现（二）进行新课 1．黑体与黑体辐射 教师：在了解什么是黑体与黑体辐射之前，请同学们先阅读教材，了解一下什么是热辐射。 学生：阅读教材关于热辐射的描述。 教师：通过课件展示，加深学生对热辐射的理解。并通过课件展示，使学生进一步了解热辐射的特点，为黑体概念的提出准备知识。 （1）热辐射现象

二次量子化

二次量子化 二次量子化又叫正则量子化，是对量子力学的一种新的数学表述。普通的量子力学方法只能处理粒子数守恒的系统。但在相对论量子力学中，粒子可以产生和湮灭，普通量子力学的数学表述方法不再适用。二次量子化通过引入产生算符和湮灭算符处理粒子的产生和湮灭，是建立相对论量子力学和量子场论的必要数学手段。相比普通量子力学表述方式，二次量子化方法能够自然而简洁的处理全同粒子的对称性和反对称性，所以即使在粒子数守恒的非相对论多体问题中，也被广泛应用。 然而，现在的二次量子化理论反映物质埸的特征是不够全面的。其一：只用作为埸的自由度的广义坐标，是一维的无穷多个指标的广义坐标，也就是说尽管是多个指标，它在空间的自由度却仅有一维。无穷多个指标的广义坐标，只分别对应无穷多个光量子，描写它们一维的状态。为了描写物质埸的矢量性，物质埸 的自由度的广义坐标也应该是多维的广义坐标，必须把推广成，对应物质埸在处的振动的动量，对应物质波的几率密度，即传统的二次量子化理论中的态函数。 在各类物理文献（包括科普）中，我们都能经常看到一个术语，即二次量子化，一般指场量子化或从量子力学到量子场论的这个“提升”过程。然而，所谓的二次量子化其实是一个错误的概念，至少是一个应该被摒弃的不恰当的概念，其产生及仍被使用有着一定的历史根源。但这并不仅仅是历史错误被认识后人们懒得改变的习惯用法，否

则也没有特别说明的必要了，而是依然存在于物理文献中的误解，它还在误导着更多的人。 量子场论的产生是这样一个过程。物理学家们首先建立了基于平直时空点粒子的量子力学，以薛定谔方程来描述，然后为了统一量子力学和狭义相对论，或者说为了找到符合狭义相对性原理的量子力学，他们认为有必要“推广”薛定谔方程，从而找到了克莱恩－戈登方程和狄拉克方程等等并认为他们就是“推广”的薛定谔方程，进一步研究发现这些方程的变量并不是描述点粒子的动力学量，而是所谓的场，一类在时空每一点都有取值的函数，对这类场进行量子化最终促成了量子场论—同时满足狭义相对论和量子力学的新理论的诞生。可是把诸如克莱恩－戈登之类的方程看成薛定谔方程的推广是错误的，正是当年人们这一错误认识导致了二次量子化的提出和使用，并且把量子力学称为经典力学的一次量子化。下面我们简单分析一下。 先从经典点粒子力学说起。经典点粒子力学的研究对象是点粒子，点粒子在空间（即位形空间）中的位置由空间坐标表示，其动力学，即其位置随时间的演化由一个或一组动力学方程所描述，方程的变量是坐标及其时间导数。人们又发现点粒子的动力学也可以等价地通过其位置和动量来描述，一个粒子的位置和动量所构成的空间成为该粒子的相空间，粒子在位形空间中的可能轨迹等价于其相空间中的一条曲线。二十世纪初，一些我们现在已经熟知的原因引发了量子力学革命，物理学家们发现微观世界很大程度上不能为经典相空间所描

二次量子化习题

高等量子力学习题 ? 量子力学中的对称性 1、 试证明：若体系在线性变换Q ?下保持不变，则必有0]?,?[=Q H 。这里H ?为体系的哈密顿算符，变换Q ?不显含时间，且存在逆变换1?-Q 。进一步证明，若Q ?为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。 2、 令坐标系xyz O -绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R z e 的矩阵表示。 3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n 转θd 角，在此转动下， 态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψ =。试导出转动算符),(θd n U 的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U 下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。 4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋1=S 。 5、 证明宇称算符的厄米性和幺正性，并证明宇称算符为实算符。 6、 试证明幺正算符U 与复数共轭算符K 的乘积为反幺正算符。 7、 试证明自旋不为零的粒子的时间反演算符可表为K e T y S i π -=。 8、 试讨论由时间反演不变性引起的Kramers 简并。 ? 角动量理论 1、 角动量算符可以从两个方面来定义，一种是按矢量算符三个分量所满足的对易关系定 义，另一种是按坐标系转动时，态函数的变换规律来定义，试证明这两种定义是等价的。 2、 试证明任意个相互独立的角动量算符之和仍是角动量算符。 3、 定义角动量升降算符y x J i J J ???±=±，试利用升降算符讨论，对给定的角量子数j ，相应的磁量子数m 的取值范围。 4、 给出角量子数1=j 情况下，角动量平方算符及角动量各分量的矩阵表示。 5、 设总角动量算符21J J J +=，1J 、2J 相应的角量子数分别为1j 和2j ，试讨论总角动量 量子数j 的取值情况。 6、 利用已知的C-G 系数的对称性关系，证明以下三个关系式：

2017东北三省三校第二次联考理综物理

2017东北三省三校第二次联考理综物理

东北三省三校哈师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学 2017年高三第二次联考理科综合(物理部分) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分110分。 第Ⅰ卷(选择题共48分) 一、选择题：本题共8小题，每小题6分。在每小题给出的四个选项中，第14～18 题只有一项符合题目要求，第19～21题有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不选的得0分。 14．一个质量为m的小球从高处由静止竖直下落，设其受到的空气阻力与速度的关系为f＝ρv(比例系数ρ为常数)，小球落地前已经匀速运动，如图是小球加速度a与速度v的关系图，已知图象与纵轴交点坐标为b，与横轴交点坐标为n，则下列结论正确的是() A．重力加速度g＝n B．重力加速度g＝b/n C．比例系数ρ＝mb/n D．比例系数ρ＝n 答案C 解析由牛顿第二定律可知mg－f＝ma，a＝g－ρm v，结合图象可知b＝g，A、B错误；图线斜率k＝ ρ m，即 b n＝ ρ m，比例系数ρ＝ mb n，C正确，D错误。 15．如图所示，理想变压器输入电压一定，输出端定值电阻阻值为R，滑动

解析由核反应前后电荷数守恒和质量数守恒可判断生成的新核为氦核42 He，若新核的速度方向与v0方向相同，衰变前后动量守恒，钍核的速度方向也可能与v0方向相同，由左手定则判断可知，衰变后钍核与新核所受的洛伦兹力 方向均向右，由r＝m v qB可知，钍核电量较大，半径较小，A项有可能；若衰变后 钍核速度方向与v0方向相反，由左手定则可判断洛伦兹力方向向左，应顺时针转动，B错误；同理判断C错误；衰变前后总动量方向均向上，D错误。 17．已知引力常量G，地球的质量为M，半径为R，两极附近的重力加速度为g，自转的角速度为ω；对于静止于赤道地面上的一个质量为m的物体，下列说法正确的是() A．物体对地面的压力大小为mg B．物体对地面的压力大小为mg－mω2R C．物体的向心力大小为GMm R2－mg D．物体的向心力大小为GMm R2 答案B 解析在两极处物体所受万有引力等于重力，向心力为零，得GMm R2＝mg， 在赤道平面万有引力、重力、向心力共线，有GMm R2＝mg′＋mω 2R，万有引力 与支持力的合力提供向心力，G Mm R2－F N＝mω 2R，F N＝G Mm R2－mω 2R＝mg－ mω2R，A错误，B正确；物体的向心力为mω2R，C、D错误。 18．如图所示，空间有场强大小为E，方向沿斜面向下的匀强电场；光滑绝缘斜面倾角为θ，底端固定一根劲度系数为k的轻弹簧；彼此绝缘的A、B两物体静止在弹簧顶端，A的质量为m，电量为＋q，B的质量也为m，不带电，弹簧处在弹性限度内；某时刻，在沿斜面向上的外力F作用下，A、B一起以加速度a匀加速运动，则当A、B分离瞬间()

量子力学第三章算符

第三章 算符和力学量算符 算符概述 设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为： ?Fu v = （） ? F 称为算符。u 与v 中的变量可能相同，也可能不同。例如，11du v dx =，22xu v =3 v =， (,) x t ?∞ -∞ ，(,)x i p x h x e dx C p t -=，则d dx ，x dx ∞ -∞ ，x i p x h e -?都是算符。 1．算符的一般运算 （1）算符的相等：对于任意函数u ，若??Fu Gu =，则??G F =。 （2）算符的相加：对于任意函数u ，若???Fu Gu Mu +=，则???M F G =+。算符的相加满足交换律。 （3）算符的相乘：对于任意函数u ，若???FFu Mu =，则???M GF =。算符的相乘一般不满足交换律。如果????FG GF =，则称?F 与?G 对易。 2．几种特殊算符 （1）单位算符 对于任意涵数u ，若?I u=u ，则称?I 为单位算符。?I 与1是等价的。 （2）线性算符 对于任意函数u 与v ，若**1212 ???()F C u C v C Fu C Fv +=+，则称?F 为反线性算符。 （3）逆算符 对于任意函数u ，若????FGu GFu u ==则称?F 与?G 互为逆算符。即1??G F -=，111??????,1F G FF F F ---===。 并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。 对于非齐次线性微分方程：?()()Fu x af x =，其中?F 为d dx 与函数构成的线性算符，a 为常数。

高等量子力学作业题

1).H 为厄米算符,iH S e =.证明：（1）S 是幺正算符;（2）det exp(i tr )S H =. 2).求()||0za x x e ψ+=<>的表达式. 3).求相干态|0za z a e +*->的时间反演态. 4).求解一维系统2 0()2p H V x m δ=+的隧道效应. 5).哈密顿量22211()222i i i i j i ij p H m x V x x m ω=++∑∑,写出其二次量子化形式. 1.设一维受扰动的谐振子的哈密顿量为2221122 H p m x gx m ω=++，其中,x p 分别为坐标、动量算符,其他的量为常数.(1)在海森堡绘景中写出坐标、动量算符所满足的运动方程;(2)求出上述坐标、动量算符随时间的变化. 2.(1)请写出谐振子相干态;(2)计算任意两个相干态之间的内积;(3)证明全体谐振子相干态是过完备的,即: 21|| d 1z z z π><=?,其中|z >为相干态, 2d z dxdy =,而,x y 分 别为z 的实部和虚部. 3.通过量子化条件[,]x p i = 计算出坐标算符x 和动量算符p 的本征值,以及坐标表象中的动量的本征态. 4.(a)请写出氢原子的定态狄拉克方程,以及狄拉克方程中(1,2,3)i i α=和β矩阵所满足的关系.(b)证明系统的角动量守恒. 5.设有N 个全同费米子组成的系统,其哈密顿量为222,11()222i i i i j i i j i p H m x V x x m ω≠=++∑∑. (a)在谐振子基矢下计算出哈密顿量的二次量子化形式;(b)在坐标表象中写出哈密顿量的二次量子化形式. 6. 证明动能算符在空间转动变换下是不变的. 7.(a) 设系统的哈密顿量为H ，请写出含时推迟全格林算符'()G t t +-和超前全格林算符'()G t t --以及相应的定态全格林算符()G E +和()G E -.

关于量子力学中的算符

关于量子力学中的算符 1对微观粒子的力学量不能用经典的方法来描述，而引入了一种新的数学手段——力学量用算符来表示，这实际上是量子力学的基本假设之一。 2在物理学中，只有其平均值为实数的算符才能表示量子力学中的力学量。厄米算符的平均值是实数，因此，表示力学量的算符必须是厄米算符。 3由于量子力学中的态满足迭加原理，所以表示力学量的算符还应当是线性的。 4线性厄米算符作用在波函数上，其物理意义为：在波函数所描述的状态下，对微观粒子的某个力学量F进行测量，在测量过程中可能会出现不同的结果，但对同一状态进行多次测量，力学量F的平均值将趋于一个确定的值A。而每一次测量结果相对于平均值都有一个误差 ? F- = F F ?来表示力学量的偏差，故力学量均方偏差的平均值为在量子力学中，引入算符F ?? F F- = 由力学量算符的厄米性，上式可写成 5在对微观粒子的不同力学量同时进行测量时，一般是不可能使每个力学量都获得准确的值的，即使是从理论上也是如此。这与所用实验仪器的精度或实验者的能力无关，而是微观粒子的二象性所带来的必然结果，这就是量子力学中的不确定关系。不确定关系指出了用经典方法描述微观粒子所产生误差的极限，以精炼的数学形式反映了微观粒子的二象性，是量子力学中的一个十分重要的原理。算符理论对此关系给出了严格的证明，并以其独特的表达方式给出了不同力学量和其算符间的联系：

6 所谓“力学量用算符表示”这一量子力学假设，包含着如下物理意义： （1） 力学量的平均值与算符的关系为： r d r F r F )(?)(*ψψ?= （2） 力学量的测量值与该力学量算符之间的关系：实验中测得的力学量的值，就是该力 学量所对应算符的一系列本征值； （3） 力学量之间的关系也可以通过算符之间的关系反映出来：相互对易的算符，它们对 应的力学量同时具有确定的测量值。 7 力学量在一般情况下不能同时确定，若系统处于某力学量的本征态中，这个力学量就有 确定值。对两个或多个力学量同时进行测量，只要系统同时处于每个力学量共同的本征态时，它们就同时具有确定值。由于力学量是用厄米算符表示的，两个力学量能否同时确定就反映在两个力学量的算符之间的关系上。可以证明两个算符具有同样的完全本征函数系，则这两个算符是对易的；它的逆定理也成立。推广到两个以上的情况，如果一组算符有共同的本征函数，而这些本征函数组成完全系，则这组算符中的任何一个和其余算符对易。 若两力学量的算符之间不对易，就不能同时确定，它反映在不确定度关系上，即由 K i F G G F ?????=- 可得一般表达式为： ()()4222K G F ≥??? 当0→?F 时，∞→?G ，而当0→?G 时，∞→?F 。它是微观粒子波粒二象性的反映，只要承认微观粒子有波动性的一面，就必有此规律。 在算符的对易关系中，其基本对易关系是x 与其相应的动量x p ?之间满足： i p p x x x =-?? 或 [] i p x x =?, 由此得到 [])(?),(x f x i p x f x ??= 其不确定度关系为 ()()4222 ≥???x p x 8 量子化是算符表示力学量的必然结果。至于为什么力学量要用算符表示，没有更深入的物理上的起源。有人认为（刘全慧，刘天贵，朱正华，曾永华，量子力学定态不是驻波，物理[J]，33卷 (2004年)3期，223~224）量子力学定态是由波的干涉形成的驻波。但该文作者认为，量子力学中的定态和驻波实质上是有区别的。

二次量子化

寒假里忽然想起曾经在看曾书10.3节角动量的Schwinger表象有一个奇思妙想。 当初记在书上的笔记是“一般Hamiltonian可表示为H(x,p), x、p可用a+、a处理，如果H为x、p的二次式，则可用H(a+,a)与[a+,a]求解” 现在仔细回想这段话，当初的意思应该是：在经典力学里面，哈密顿量可以表示成两 个独立变量的函数（上次还看到说只需要这两个独立变量x和x的一次导数就完备了，不需要诸如x的二次导数、三次导数那些变量，据说朗道书里有讲，本人没细究过），在处理谐振子的时候我们通过引入升降算符a+、a，把哈密顿量表示成H(a+,a)，接 下来利用[a+,a]=1构造出粒子数算符，谐振子的各个能级就轻而易举的解出来了。 然后我看到角动量居然也可以用升降算符表示（确切的说是产生湮灭算符），这就很 容易想到，是否所有的力学量都可以用升降算符表示？既然哈密顿量是力学量的函数，通过表象变换到升降算符表象，哈密顿量显然也可以表示成升降算符的函数H(a+,a)，如果哈密顿量是x、p的二次型，利用升降算符的对易子[a+,a]，可以很容易求解出各个能级（二次型的考虑是记得当初在学经典力学里面有一个说法，只要哈密顿量是x、p的二次型，总可以用泊松括号求解，而泊松括号可以即狄拉克普朗克常数趋向于零 的对易子，曾书习题4.7），求解的过程似乎可以和哈密顿力学的求解过程对应起来。 后来学了二次量子化，在那里，哈密顿量确实都表示成a+、a的函数，再回首当初的 奇思妙想，算是二次量子化的发轫，但确实too simple, too naive. 1、二次量子化里面的a+、a表示的产生湮灭算符，是指产生或湮灭一个态（这里采 用fock表象），和谐振子里面的升降算符在概念上是有差异的。 2、哈密顿量一般来说是偶数次型，不仅限于二次型，还有四次型。 3、二次量子化虽然看起来似乎是一个表象变换，但是它已经把场量子化，这样子，才会有可能产生一个粒子或湮灭一个粒子。 4、最重要的一点，我当初完全没有考虑费米统计和玻色统计（当然我当初连统计力学也没学过，热学也没学好，还真不知道有这回事），对应的是产生湮灭算符的对易子 和反对易子关系（在场量子化的基础上把费米子或波色子的统计形式考虑进去，而且 这个工作是1928年量子力学刚建立起来的时候做的，真心觉得Winger和Jordan厉害）。 故事讲到这里就结束的话就没什么意思了。 二次量子化的好处是在求解哈密顿量时，我们避开了最繁琐的一步，求解波函数，就 获得了我们所需的关于能级的信息（想想求解一个最简单的谐振子尚且需要用到Hemite多项式），从那以后将近60年，物理学家对于产生湮灭算符用得炉火纯青，

高等量子力学

研究生课程教学大纲 高等量子力学 一、课程编码：21-070200-B01-17 课内学时： 64 学分： 4 二、适用学科专业：理学，工学 三、先修课程：数理方法，理论力学，电动力学，量子力学，热力学统计物理 四、教学目标 通过本课程的学习，使研究生掌握希尔伯特空间，量子力学基本理论框架，了解狄拉克 方程，量子力学中的对称性与守恒定律，二次量子化等理论知识，提升在微观体系中运用量 子力学的基本能力。 五、教学方式：课堂讲授 六、主要内容及学时分配 1 希尔伯特空间10学时 1.1 矢量空间 1.2 算符 1.3 本征矢量和本征值 1.4 表象理论 1.5 矢量空间的直和与直积 2 量子力学基本理论框架20学时 2.1 量子力学基本原理 2.2 位置表象和动量表象 2.3 角动量算符和角动量表象 2.4 运动方程 2.5 谐振子的相干态 2.6 密度算符 3 狄拉克方程 6学时 4 量子力学中的对称性 5学时 5 角动量理论简介 5学时 6 二次量子化方法16学时 6.1 二次量子化 6.2 费米子 6.3 玻色子 复习 2学时七、考核与成绩评定：以百分制衡量。 成绩评定依据: 平时作业成绩占30%，期末笔试成绩占70%。 八、参考书及学生必读参考资料 1. 喀兴林，《高等量子力学》，.[M]北京：高等教育出版社，2001 2. Franz Schwabl,《Advanced Quantum Mechanics》，.[M]北京：世界图书出版公司：2012 3. 曾谨言，《量子力学》，.[M]北京：科学出版社：第五版2014或第四版2007 4. https://www.360docs.net/doc/1311565667.html,ndau, M.E.Lifshitz，《Quantum Mechanics (Non-reativistic Theory)》，.[M]北京：世界 图书出版公司：1999 5. 倪光炯，《高等量子力学》，. [M]上海：复旦大学出版社：2005 九、大纲撰写人：曾天海

物质量量子化方法

摩尔是一系统的物质的量，该系统中所包含的基本单元数与0.012kg 碳—12的原子数目相等。使用摩尔时应予以指明基本单元，它可以是原子、分子、离子、电子及其他粒子，或是这些粒子的特定组合。 0.012kg 碳—12中所含的原子数目叫做阿伏加德罗常数，符号为A N 。阿伏加德罗常数的近似值为236.0210?/mol ，具体数值是236.022136710?/mol ，这个常数可用很多种不同的方法进行测定。这些方法的理论根据各不相同，但结果却几乎一样差异都在实验方法误差范围之内，这说明阿伏加德罗常数是客观存在的重要数据。 物质量量子化方法 1、洛希密脱的理论计算 1865年，洛希密脱根据气体分子运动论并结合固体密度的实验数据，得出关于A N 的最早可靠估计值231010/A N mol ≈?他的理论计算如下： 洛希密脱根据气体分子运动论的平均自由程公式 从麦克斯韦速率分布函数求得的平均速率 及由气体输运过程得到的粘滞系数 得到 假定固体分子互相紧接着，每个分子占据一个边长为d 的正方体，则1mol 固体占据体积为3 A N d 于是，固体的密度为

洛希密脱的理论计算结果表明阿伏伽德罗常数是一个大得惊人的天文数字。 2、爱因斯坦的贡献 爱因斯坦在1905年和1906年发表的一系列论文中仔细分析了布朗运动，他的分析主要是关于在时间t内微粒的总位移是在很大范围内变化的，而其分量的均方值2x对于悬浮在粘滞系数为n的液体中半径为a的球形微粒来说，则有【1】 （1） 上式称为布朗运动的爱因斯坦公式。推导如下： 设微粒是半径为a的球体，根据斯托克斯定理，它在流体中运动所受粘滞力 （2）根据经典力学定律微粒的运动方程为 （3） F F F表示液体分子由于热运动而产生的对微粒的碰撞力。 其中,, x y z 假设t=0时微粒位于坐标原点, 则x,y,z代表微粒在t时刻的位移, 以x,y,z乘（2）式的3个式子并考虑到 则（1）式可以写为

1.7-量子力学中的算符和力学量

算符即运算规则算符即运算规则。。它作用在一个函数ψ(x)(x)上即是对上即是对ψ(x)(x)进行某进行某 种运算种运算，，得到另一个函数?(x) §1.7 1.7 量子力学中的力学量和算符量子力学中的力学量和算符 例： )()(?x x F ?ψ=)()(?x xf x f x =)()(?x f x f I =dx d D = ?1、定义

2、乘法与对易 算符的乘法一般不服从交换律: )?(??ψψB A B A ≡A B B A ????≠例如:

则算符的对易式可记为则算符的对易式可记为：：若对任意若对任意ΨΨ，都有： 则称 和 对易: 引入记号: ψψA B B A ????=A ?B ?]?,?[????B A A B B A ≡?0]?,?[=B A I x D ?]?,?[=h i p x x =]?,?[易证:

可定义算符的可定义算符的n n 次方为： A A A A n ???????=可定义算符的多项式和算符的函数可定义算符的多项式和算符的函数。。例如：

3、线性算符 设C 1, C 2为常数为常数，，若算符满足： 则称其为线性算符则称其为线性算符。。 量子力学态叠加原理要求力学量算符必须是线性算符 例如例如，，下列算符为线性算符下列算符为线性算符：： 2 2112211??)(?Ψ+Ψ=Ψ+ΨF C F C C C F x p H y x x ?,?,,2 ??? ??

算符的本征值方程:4、本征函数本征函数、、本征值 λ为算符 的本征值的本征值，，为算符 的本征值为λ的本征函数的本征函数。。 例如，e 2x 是微商算符的本征函数： )()(?x x F λψψ=)(x ψF ?F ?F ?

量子力学中 算符及其本征函数

论文题目： ?L算符及其本征函数 量子力学中2 （理工类）

?L算符及其本征函数 1量子力学中2 摘要 角动量算符是量子力学中一个很重要的力学量，本论文分别对2?L的定义、意义、性质以及作用做了阐述，给出了2?L算符在球坐标系中的表示式，并用经典坐标变换以及对易关系进行了推导，2?L是描述旋转运动及原子分子状态的一个重要的物理量，因此对2?L 的研究将有助于理解量子力学中的诸多问题。本论文将采取理论分析，并结合数学推导的方法，在掌握大量材料的基础上，作出自己的见解，把理论模型建立在合理的体系上，立足实际情况对它们进行深入的分析和研究。 关键词 角动量算符；空间转子；角量子数；自旋 The 2?L in the Quantum Mechanics and Its Eigenfunction Abstract Angular momentum operator is a very important mechanics in quantum mechanics ,this paper definite the definition, significance, as well as the nature of the2?L operator , and gives the expression of 2?L operator in spherical coordinates .And according with classic and easy to transform the relationship between the derivation. The 2?L operator is a very important mechanics which describe rotary movement and the state of Atomic and Molecular, so it will help to understand lots of questions of quantum mechanics. This paper will take theoretical analysis, and mathematical derivation of the method, the availability of large on the basis of material to make their own opinion, the theoretical model based on a reasonable system, based on the actual situation on their conduct in-depth analysis and research. Keywords angular momentum operator；Spatial rotor；Azimuthal quantum number；Spinning 1作者简介：王慧1986年10月出生，女汉族河南兰考人，郑州大学物理工程学院凝聚态物理专业硕士研究生一年级，主要研究方向为陶瓷功能材料。

量子力学期末考试知识点+计算题证明题

1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。 (简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？) 答：Bohr 理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr 理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr 理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。 2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？ 答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率0υ，当照射光频率 0υυ<时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与 照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0υυ>时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻9 10s -≈观测到光电子。爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完 成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。 3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 答：对于一般情况，如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：1122c c ψψψ=+（12c c ，是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态1ψ和2ψ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于态1ψ，又处于态2ψ。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。 4. 什么是定态？定态有什么性质？ 答：体系处于某个波函数()()[]exp r t r iEt ψ ψ=-，所描写的状态时，能量具有确定值。这 种状态称为定态。定态的性质：（1）粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化；（2）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。 5. 简述力学量与力学量算符的关系？ 答：算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学

量子力学知识点小结

第一章 ⒈玻尔的量子化条件，索末菲的量子化条件。 ⒉黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。 ⒎普朗克量子假说： 表述1：对于一定频率ν的辐射，物体只能以hν为能量单位吸收或发射电磁辐射。 表述2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量子的方式进行，每个量子的能量为：ε=h ν。 表述3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量ε的整数倍来实现，即ε，2ε，3ε，…。 ⒏光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。 ⒐光电效应有两个突出的特点： ①存在临界频率ν0：只有当光的频率大于一定值v0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。 ②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。⒑爱因斯坦光量子假说： 光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。爱因斯坦方程 ⒒光电效应机理： 当光射到金属表面上时，能量为E= hν的光子立刻被电子所吸收，电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分就是电子离开金属表面后的动能。 ⒓解释光电效应的两个典型特点： ①存在临界频率v0：由上式明显看出，当hν- W0≤0时，即ν≤ν0 = W0 / h时，电子不能脱出金属表面，从而没有光电子产生。 ②光电子动能只决定于光子的频率：上式表明光电子的能量只与光的频率ν有关，而与光的强度无关。 ⒔康普顿效应：高频率的X射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。 ⒕康普顿效应的实验规律： ①散射光中，除了原来X光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X光，且λ' >λ； ②波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大。 ⒖量子现象凡是普朗克常数h在其中起重要作用的现象 ⒗光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒二象性

第八章_量子多体问题方法及其应用

第八章 量子多体问题方法及其应用 二次量子化的基本概念，正则变换为主的多体理论方法。 §8.1 二次量子化方法 在讨论多体问题时，采用粒子的产生和湮灭算符的方法，------“二次量子化”方法。 8.1A 二次量子化，玻色子和费米子 一次量子化：算符的量子化（经典的力学量到量子力学中的厄密算符）。例如电磁场的量子化。 8.1B 量子光学中的JC 模型 举例，一个二能级原子与单模量子化广场作用，耦合Hamiltonian 为 dr p A mc e H g e ψ?? ? ???ψ=? *int --------- 跃迁e g →， 式中，()()?? ? ? ? - =ψ?? ? ??- =ψt E i r t E i r g g g e e e exp ,exp ψψ 带入Hamiltonian 中，得 ()()()()()()()() dr r p r A mc e e dr r p r A mc e e dr r p A mc e r t E E i H g e t i g e t i g e g e ????=?? ? ???=??? ?????? ??-=ψψψψψ ψωω * * * int 00exp 式中，对于一个模式()α,k ，()() ()x k i t i k x k i t i k k e a e a h c V t x A ?-+?+-+= ωα ωα αεω ,,1,，则 () ()()()dr r p r e a e a h c V mc e e H g e x k i t i k x k i t i k k t i ??+=?-+?+-ψψ εω ωα ωα αω *,,int 10 此处，采用长波近似，即1≈?x k i e 。则有 ()()()()()()dr r p r e a e a V h m e H g e k t i k t i k ??+= ++ -ψψεωα ωωαωωα * ,,int 00 又有，[][] ??? ???=?=?? ?????==m p r i m p p m i m p r p i p r i p r 2,2,2,,,2 22 一个电子在原子中的Hamiltonian 为()r V m p H += 22 0， 则()[]02 2,2,2,H r i m r V m p r i m m p r i m p =? ?????+=??????=。所以，

高等量子力学作业题

高等量子力学作业题 1).H为厄米算符,S?eiH.证明：（1）S是幺正算符;（2）detS?exp(i trH). 2).求?(x)??x|eza|0?的表达式. 3).求相干态eza??z?a?|0?的时间反演态. p2?V0?(x)的隧道效应. 4).求解一维系统H?2mpi2115).哈密 顿量H??(?m?i2xi2)?V?xixj,写出其二次量子化形式. 2m22iji1.设一维受扰动的谐振子的哈密顿量为 H?121p?m?2x2?gx，其中x,p分别为坐2m2标、动量算符,其他的 量为常数.(1)在海森堡绘景中写出坐标、动量算符所满足的运动 方程;(2)求出上述坐标、动量算符随时间的变化. 2.(1)请写出谐振子相干态;(2)计算任意两个相干态之间的内积;(3)证明全体谐振子相干态是过完备的,即: 别为z的实部和虚部. 3.通过量子化条件[x,p]?i?计算出坐标算符x和动量算符p 的本征值,以及坐标表象中的动量的本征态. 4.(a)请写出氢原子的定态狄拉克方程,以及狄拉克方程 中?i(i?1,2,3)和?矩阵所满足的关系.(b)证明系统的角动量守恒. pi2115.设有N个全同费米子组成的系统,其哈密顿量为 H??(?m?i2xi2)?V?xixj. 2m22i,j?ii|z??z| d??12z?1,其中|z?为相干态, d2z?dxdy, 而x,y分

(a)在谐振子基矢下计算出哈密顿量的二次量子化形式;(b)在坐标表象中写出哈密顿量的二次量子化形式. 6. 证明动能算符在空间转动变换下是不变的. 7.(a) 设系统的哈密顿量为H，请写出含时推迟全格林算符G?(t?t')和超前全格林算符G?(t?t')以及相应的定态全格林算符G?(E)和G?(E). (b)证明含时格林算符是定态格林算符的傅里叶变换.