正弦定理典型例题与知识点

正弦定理

教学重点：正弦定理

教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用,边角转化。多解问题

1.正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等， 即

A a sin =

B b sin =C

c

sin 2. 三角形面积公式

在任意斜△ABC 当中S △ABC =A bc B ac C ab sin 2

1sin 2

1sin 2

1== 3.正弦定理的推论：

A a sin =

B b sin =C

c

sin =2R （R 为△ABC 外接圆半径） 4.正弦定理解三角形

1）已知两角和任意一边，求其它两边和一角；

2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。 3）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况:（多解情况）

○

1若A 为锐角时: ⎪⎪⎩

⎪⎪

⎨

⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )

( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a b

a

b

a

b a b

a

a 已知边a,

b 和∠A

仅有一个解有两个解

仅有一个解无解

a ≥

b CH=bsinA

A

C B A

C

B1A

B

A

C

B2

C

H H

H

○2若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)(

b a 锐角一解无解

b a

1、已知中，，，则角等于 ( D)

A ．

B ．

C ．

D ．

2、ΔABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sin A=，b=sin B，则a等于 ( D ) A．3B．C． D．

1. 在ABC ∆中，若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆一定是( )

A 、等腰三角形

B 、直角三角形

C 、等腰直角三角形

D 、等腰或直角三角形

3.在Rt △ABC 中，C=

2

π

，则B A sin sin 的最大值是_______________. [解析] ∵在Rt △ABC 中，C=

2

π

，∴sin sin sin sin()2A B A A π=-sin cos A A =

1sin 22A =，∵0,2A π<<∴02,A π<<∴4A π=时，B A sin sin 取得最大值1

2

。 4. 若ABC ∆中，10

10

3B cos ,21A tan =

=

，则角C 的大小是__________ 解析

13101

tan ,cos ,,sin tan 2103

A B O B B B π==<<∴=∴=

tan tan 3tan tan()tan()1,tan tan 14

A B C A B A B O C C A B π

ππ+∴=--=-+=

=-<<∴=

- 7.在△ABC 中，已知2a b c =+，2

sin sin sin A B C =，试判断△ABC 的形状。 解：由正弦定理

2sin sin sin a b c R A B C ===得：sin 2a A R =

，sin 2b

B R

=， sin 2c C R

=

。 所以由2sin sin sin A B C =可得：2()222a b c R

R R

=⋅

，即：2

a bc =。 又已知2a

b

c =+，所以2

2

4()a b c =+，所以2

4()bc b c =+，即2

()0b c -=，

因而b c =。故由2a b c =+得：22a b b b =+=，a b =。所以a b c ==，△ABC 为等边三角形。 ６．在ABC ∆中，

b

A

a B sin sin <

是B A >成立的 ( C ) Ａ．必要不充分条件 Ｂ．充分不必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件

1.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c =2，b =6，B =120°,则 a 等于

（ ）

A.6

B.2

C.3

D.2

答案 D

3.下列判断中正确的是

（ ）

A .△ABC 中，a =7，b =14，A =30°,有两解

B .△AB

C 中，a =30,b =25,A =150°，有一解 C .△ABC 中，a =6,b =9，A =45°，有两解

D .△ABC 中，b =9,c =10,B =60°,无解 答案 B

4. 在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ,则△ABC 一定是

（ ）

A.等腰直角三角形

B.等腰三角形

C.直角三角形

D.等边三角形 答案 B

10. 在△ABC 中，已知a =3,b =2,B =45°,求A 、C 和c . 解 ∵B =45°＜90°且a sin B ＜b ＜a ,∴△ABC 有两解. 由正弦定理得sin A =

b B a sin =2

45sin 3︒ =23

, 则A 为60°或120°.

①当A =60°时，C =180°-(A +B )=75°, c =

B

C

b sin sin =︒︒45sin 75sin 2=︒︒+︒45sin )3045sin(2=2

2

6+.

②当A =120°时，C =180°-(A +B )=15°, c =

B

C

b sin sin =︒︒45sin 15sin 2=︒

︒-︒45sin )

3045sin(2=

2

2

6-. 故在△ABC 中，A =60°,C =75°,c =

2

2

6+或A =120°,C =15°,c =226-.

12. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果（a 2

+b 2

）sin （A -B ）=（a 2

-b 2

）sin （A +B ），判断三角形的形状.

解 方法一 已知等式可化为a 2

［sin （A -B ）-sin （A +B ）］=b 2

［-sin （A +B ）-sin(A -B )］∴2a 2

cos A sin B =2b 2

cos B sin A

由正弦定理可知上式可化为：sin 2

A cos A sin

B =sin 2

B cos B sin A

∴sin A sin B (sin A cos A -sin B cos B )=0∴sin2A =sin2B ,由0＜2A ,2B ＜2π 得2A =2B 或2A =π-2B ,即A =B 或A =

2

π

-B ,∴△ABC 为等腰或直角三角形. 方法二 同方法一可得2a 2

cos A sin B =2b 2

sin A cos B

由正、余弦定理,可得a 2

b b

c a c b 2222-+= b 2a ac

b c a 22

22-+ ∴a 2(b 2+c 2-a 2)=b 2(a 2+c 2-b 2

)

即(a 2-b 2)(a 2+b 2-c 2)=0∴a =b 或a 2+b 2=c 2

∴△ABC 为等腰或直角三角形.

2．在△ABC 中，已知∠B ＝45°，c ＝22，b ＝43

3

，则∠A 等于( ) A ．15°

B ．75°

C ．105°

D ．75°或15°