标准差ppt课件
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用样本的均值标准差估计总体的均值标准差PPT课件
77.73
xB 1 (78 96 56 83 86 48 98 67 62 70 64 97 96 79 86) 15
77.73
A、B两个班的平均成绩相同，也就是均值相同．
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知识回眸 情境引入 探索新知 典型例题 巩固知识 归纳小结 布置作业
我们再来比较两个班同学的成绩对于平均成绩的偏离程度， 偏离程度越大，说明其成绩波动越大，教学两极分化；偏离程 度越小，说明其成绩波动越小，教学水平均衡稳定．
4 95 8
7 67 7
8 68 2
9 71 0
8 61 4
7 96 7
8 94 6
9 70 9
6 83 6
试问哪个班的成绩较好些？
将这次成绩作为样本，来评价两个班成绩．分别计算均值，得
1 (67 72 93 69 86 84 45 77 88 91 81 76 84 90 63) 15
（1）求样本均值，并说明样本均值的意义． （2）求样本方差及样本标准差，并说明样本方差或样本标准差
的意义.
第10页/共13页
知识回眸 情境引入 探索新知 典型例题 巩固知识 归纳小结 布置作业
均值，方差和标准差的含义？
均值反映了样本和总体的平均水平，方差和标 准差则反映了样本和总体的波动大小程度．
叫做这个样本的均值，样本均值反映出样本的平均水平．
总体中所有个体数的平均数叫做总体均值．
我们可以用样本的均值来估计总体的均值．样本容量越大，
这种估计的可信程度越强.
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知识回眸 情境引入 探索新知 典型例题 巩固知识 归纳小结 布置作业
例 2 要从两位射击选手中选拔一位参加射击比赛，让他们 作测试，两位选手的10次射击成绩如下表所示：
xB 1 (78 96 56 83 86 48 98 67 62 70 64 97 96 79 86) 15
77.73
A、B两个班的平均成绩相同，也就是均值相同．
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知识回眸 情境引入 探索新知 典型例题 巩固知识 归纳小结 布置作业
我们再来比较两个班同学的成绩对于平均成绩的偏离程度， 偏离程度越大，说明其成绩波动越大，教学两极分化；偏离程 度越小，说明其成绩波动越小，教学水平均衡稳定．
4 95 8
7 67 7
8 68 2
9 71 0
8 61 4
7 96 7
8 94 6
9 70 9
6 83 6
试问哪个班的成绩较好些？
将这次成绩作为样本，来评价两个班成绩．分别计算均值，得
1 (67 72 93 69 86 84 45 77 88 91 81 76 84 90 63) 15
（1）求样本均值，并说明样本均值的意义． （2）求样本方差及样本标准差，并说明样本方差或样本标准差
的意义.
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知识回眸 情境引入 探索新知 典型例题 巩固知识 归纳小结 布置作业
均值，方差和标准差的含义？
均值反映了样本和总体的平均水平，方差和标 准差则反映了样本和总体的波动大小程度．
叫做这个样本的均值，样本均值反映出样本的平均水平．
总体中所有个体数的平均数叫做总体均值．
我们可以用样本的均值来估计总体的均值．样本容量越大，
这种估计的可信程度越强.
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知识回眸 情境引入 探索新知 典型例题 巩固知识 归纳小结 布置作业
例 2 要从两位射击选手中选拔一位参加射击比赛，让他们 作测试，两位选手的10次射击成绩如下表所示：
心理统计学PPT课件2：平均数和标准差
无偏性
当数据量足够大时，平均 数的期望值等于其真实值， 因此平均数具有无偏性。
02
CHAPTER
标准差
定义
01
描述数据分布的离散程度
标准差是用来描述数据分布离散程度的统计量，它表示各数值与其平均
数之间的偏差程度。
02
计算每个数值与平均数的差的平方
标准差的计算方法是将每个数值与平均数之间的差的平方，然后求和，
04
CHAPTER
平均数和标准差的局限性和 注意事项
平均数的局限性
平均数易受极端值影响
01
当数据集中存在极端值时，平均数会受到较大影响，导致结果
偏离实际。
平均数难以反映数据分布
02
平均数只能描述数据集的中心趋势，无法反映数据的离散程度
和分布形态。
不同数据集的平均数难以比较
03
由于不同数据集的单位、量级可能不同，直接比较两个数据集
03
CHAPTER
平均数和标准差在心理统计 中的应用
描述数据分布
平均数
描述数据集中趋势，计算所有数值的 和除以数值的数量，反映数据“中心 ”或“典型值”。
标准差
描述数据离散程度，计算各数值与平 均数之差的平方和的平均数，再取平 方根，反映数据分布的“宽度”或“ 波动范围”。
比较两组数据
平均数差异检验
的平均数可能导致误解。
标准差的注意事项
标准差并非绝对标准
标准差的大小受数据量级和单位的影响，因此需要结合实际情境 进行解释。
标准差并非越小越好
标准差小表示数据离散程度较小，但这并不意味着数据质量就高。
标准差并非适用于所有情况
对于非正态分布的数据，标准差可能无法准确反映数据的离散程度。
标准偏差计算PPT课件
利用（3—9）式求平均规模：
H
1
1 1 2.3 03 8
1 5(2 10 2 0 12 2 0 11 1 0 19 2 0 1)10 1 5(0 .0) 20 4 .0048
即保种群平均规模为208.33头。
最新课件
28
对于同一资料： 算术平均数>几何平均数>调和平均数
上述五种平均数，最常用的是算术平均数。
则样本平均数可通过下式计算：
n
x x1 x2 xn i1 xi
n
n
其中，Σ为总和符号； 表示从第一个观测值
x1累加到第n个观测值xn。当
n
在x i 意义上已明确时，
可简写为Σx，（3-1）式可改写为i 1 ：
x x n
最新课件
4
【例3.1】 某种公牛站测得10头成年公牛的体重 分别为500、520、535、560、585、600、480、 510、505、490（kg），求其平均数。
最新课件
26
五、调和平均数
资料中各观测值倒数的 算术平均数 的倒数，
称为调和平均数，记为H，即
1
1
H 1 n(x11
x12
x1n)1 n
1 x
调和平均数主要用于反映畜群不同阶段的 平均增长率或畜群不同规模的平均规模。
最新课件
27
【例3.8】 某保种牛群不同世代牛群保种的规模分 别为：0世代200头，1世代220头，2世代210头； 3 世代190头，4世代210头，试求其平均规模。
数为11.5天。
（二）已分组资料中位数的计算方法
最新课件
18
若资料已分组，编制成次数分布表，则可利用次数分布表 来计算中位数，其计算公式为：
H
1
1 1 2.3 03 8
1 5(2 10 2 0 12 2 0 11 1 0 19 2 0 1)10 1 5(0 .0) 20 4 .0048
即保种群平均规模为208.33头。
最新课件
28
对于同一资料： 算术平均数>几何平均数>调和平均数
上述五种平均数，最常用的是算术平均数。
则样本平均数可通过下式计算：
n
x x1 x2 xn i1 xi
n
n
其中，Σ为总和符号； 表示从第一个观测值
x1累加到第n个观测值xn。当
n
在x i 意义上已明确时，
可简写为Σx，（3-1）式可改写为i 1 ：
x x n
最新课件
4
【例3.1】 某种公牛站测得10头成年公牛的体重 分别为500、520、535、560、585、600、480、 510、505、490（kg），求其平均数。
最新课件
26
五、调和平均数
资料中各观测值倒数的 算术平均数 的倒数，
称为调和平均数，记为H，即
1
1
H 1 n(x11
x12
x1n)1 n
1 x
调和平均数主要用于反映畜群不同阶段的 平均增长率或畜群不同规模的平均规模。
最新课件
27
【例3.8】 某保种牛群不同世代牛群保种的规模分 别为：0世代200头，1世代220头，2世代210头； 3 世代190头，4世代210头，试求其平均规模。
数为11.5天。
（二）已分组资料中位数的计算方法
最新课件
18
若资料已分组，编制成次数分布表，则可利用次数分布表 来计算中位数，其计算公式为：
《均值、方差、标准差》课件
详细描述
通过对一个班级的学生成绩进行均值分析， 可以了解整体平均水平；通过方差分析，可 以了解成绩分布的离散程度，即个体成绩与 平均成绩的偏差程度；通过标准差分析，可 以进一步了解成绩分布的稳定性，即成绩分 布是否过于集中或分散。
实例二
总结词
投资组合风险的均值、方差和标准差分析有 助于评估投资组合的风险水平。
06
详细描述
方差越小，说明数据点越集中在平均值周围， 数据的离散程度越低。
方差和标准差的关系
总结词
标准差是方差的平方根
详细描述
标准差是方差的平方根，用于衡量数据的离散程度。标 准差的单位与数据的单位相同，而方差的单位是该数据 的单位的平方。
总结词
标准差和方差具有相同的符号
详细描述
如果数据的方差为正，则标准差也为正；如果方差为负 ，则标准差也为负。这是因为标准差是方差的平方根， 所以它们的符号必须相同。
均值、方差、标准差之间的关 系
均值和方差的关系
总结词
方差越大，数据分布越分散
01
总结词
均值相同，方差不一定相同
03
总结词
方差越小，数据越集中
05
02
详细描述
方差是衡量数据点与平均值之间离散程度的 指标。方差越大，说明数据点在平均值周围 的分布越分散，离散程度越高。
04
详细描述
即使两个数据集的平均值相同，它们 的方差也可能不同。这取决于数据点 与平均值的离散程度。
其中 $n$ 是数值的个数，$x_i$
是每一个数值。
计算方法
首先，将所有数值加起来得到总和。 然后，将总和除以数值的个数得到均值。
均值的应用
描述一组数据的“平均水平”。 比较不同组数据的“平均水平”。
极差方差标准差课件
应用场景
可以用于评估数据的稳定性和 预测模型的性能。
掌握标准差
1
定义
标准差是方差的平方根，在统计学中
计算方法
2
用于测量数据的分散程度。
1. 计算平均值
2. 计算每个数据点与平均值的差的平 方
3. 将平方差值的总和除以数据点的个
3
应用场景
数 可以用于比较数据集的稳定性、评估
4. 取平方根
风险和判断数据的代表性。
结论与建议
通过分析结果，找出产生电池寿命差异的原 因，并提出改进建议。
总结与展望
总结
极差、方差、标准差是统计学 中常用的测量指标，可以帮助 我们理解数据的分散程度和稳 定性。
应用
在质量管理、风险评估和数据 分析等领域中，极差、方差、 标准差都有着重要的应用。
展望将变得更加广泛和 深入。
了解极差
定义
极差是一组数据中最大值与最小值之间的差异程度。
计算方法
将最大值减去最小值即可得到极差。
应用场景
可以用于测量变化范围和评估数据集的差异。
理解方差
定义
方差是一组数据与其平均值之 间的离散程度。
计算方法
1. 计算平均值
2. 计算每个数据点与平均值的 差的平方
3. 将平方差值的总和除以数据 点的个数
极差方差标准差ppt课件
极差（Range）：表示一组数据中最大值与最小值之间的差异程度。 方差（Variance）：衡量一组数据与其平均值之间的离散程度，用于描述数据集的稳定性。 标准差（Standard Deviation）：是方差的平方根，在统计学中用于测量数据的分散程度。 极差、方差、标准差之间的关系：极差衡量数据的范围，方差和标准差衡量数据的分散程度。 使用极差、方差、标准差的场景：可以应用于质量管理、数据分析、投资风险评估等领域。 案例分析：通过实际案例来演示极差、方差、标准差的应用和计算方法。 总结：极差、方差、标准差在统计学和数据分析中起着重要的作用，能够帮助我们更好地理解数据。
《测量的标准差》课件
VS
样本代表性
样本的代表性也会影响标准差的大小。如 果样本不具有代表性，那么其标准差可能 会较大，从而影响对总体数据分布的准确 估计。
06 总结与展望
标准差在测量中的地位和作用
标准差在测量中的重要性
标准差是统计学中用于描述数据分散程度的 重要指标，它能够反映一组测量数据的离散 程度，帮助我们了解数据的稳定性和可靠性 。在测量工作中，标准差的应用十分广泛， 对于提高测量精度、降低误差具有重要作用 。
异常值的影响
异常值的定义
异常值是指与其他数据点相比明显偏 大或偏小的数据点。
异常值对标准差的影响
异常值的存在可能导致标准差增大， 从而影响数据的稳定性。在计算标准 差时，通常会使用稳健的标准差计算 方法来减小异常值的影响。
样本大小的影响
样本大小与标准差的关系
随着样本大小的增加，样本的标准差通 常会减小。这是因为更多的数据点有助 于更准确地估计数据的分布和离散程度 。
在制定生产、销售和人力资源等策略 时，可以利用标准差来评估不同方案 的风险和潜在收益。
风险评估
在金融领域，标准差用于评估投资组 合的风险，帮助投资者了解投资回报 的不确定性。
质量控制和过程改进
过程控制
在生产过程中，通过监测数据标 准差的变化，可以及时发现质量
波动并采取措施进行控制。
过程改进
通过分析生产过程中数据标准差 的大小，可以识别出需要改进的 环节，提高生产效率和产品质量
总结词
意义与应用
详细描述
标准差在测量中具有重要意义，它可以反映数据的离散程度，帮助我们了解数据 的可靠性、稳定性和规律性。
课程目标和内容概述
总结词：课程大纲
详细描述：本课程将介绍标准差的计算方法、性质、应用场景以及与其他统计量 的关系。通过学习，学员将掌握标准差的基本概念、计算方法和实际应用，能够 正确使用标准差进行数据分析和处理。
高一数学必修三课件第章方差与标准差
极差、四分位数间距应用
01
02
03
极差
一组数据中最大值与最小 值之差，反映数据的波动 范围。
四分位数间距
上四分位数与下四分位数 之差，反映中间50%数据 的离散程度。
应用
在数据分析中，极差和四 分位数间距常用于初步了 解数据的分布情况和离散 程度。
平均差、方差和标准差比较
平均差
所有数据与平均数之差的绝对值的平 均数，反映数据离散程度的另一种方 法。
04
概率论中方差与标准差应用
随机变量及其分布概述
随机变量定义
随机变量是描述随机试 验结果的变量，常用大
写字母表示。
离散型随机变量
取值可数的随机变量， 如抛硬币试验中的正面
、反面次数。
连续型随机变量
取值充满某个区间的随 机变量，如测量误差、
气温等。
随机变量的分布
描述随机变量取值的概 率分布，包括离散型分
的平均数。
性质
01
02
03
方差非负。
方差反映了一组数据与其平 均数的偏离程度。
04
05
如果一组数据中的每一个数 都加上或减去一个常数，方
差不变。
标准差定义及性质
定义：标准差是方差的算术平方根，用s 表示。
对于同一组数据，标准差越小，说明数 据越集中；标准差越大，说明数据越分 散。
标准差反映了数据与平均数的偏离程度 ，但与方差相比，它提供了更直观的度 量单位。
标准差
标准差是方差的算术平方根，用s表示。标准差用s表示。标 准差在数学上定义为方差的平方根，标准差与方差一样，表 示的也是数据点的离散程度。
样本波动大小描述方法
样本方差
样本方差是各样本数据与其平均 数差的平方和的平均数，用s^2 表示。样本方差用于描述样本数 据的离散程度。
标准差
通过计算可以得到： 上证综指业绩期望值≈（110.93-0.13+8.94+17.24+43.86-15.34-20.82）/7=20.6685714 上证波动率期望值≈0.115643 标准普尔业绩期望值≈6.731429 标准普尔波动率期望值≈0.068029 分析图2而标准差的计算公式则根据公式⑵计算： 上证综指的业绩标准差≈45.2489073 上证波动率标准差≈0.
外汇术语
外汇术语
标准差指统计上用于衡量一组数值中某一数值与其平均值差异程度的指标。标准差被用来评估价格可能的变 化或波动程度。标准差越大，价格波动的范围就越广，股票等金融工具表现的波动就越大。
在excel中调用函数 “STDEV.S“ 估算样本的标准偏差。标准偏差反映相对于平均值（mean）的离散程度。
图例
标准差表示的就是样本数据的离散程度。标准差就是样本平均数方差的开平方，标准差通常是相对于样本数 据的平均值而定的，通常用M±SD来表示，表示样本某个数据观察值相距平均值有多远。从这里可以看到，标准 差受到极值的影响。标准差越小，表明数据越聚集；标准差越大，表明数据越离散。标准差的大小因测验而定， 如果一个测验是学术测验，标准差大，表示学生分数的离散程度大，更能够测量出学生的学业水平；如果一个测 验测量的是某种心理品质，标准差小，表明所编写的题目是同质的，这时候的标准差小的更好。标准差与正态分 布有密切联系：在正态分布中，1个标准差等于正态分布下曲线的68.26%的面积，1.96个标准差等于95%的面积。 这在测验分数等值上有重要作用。
标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。
公式意义
公式意义
所有数减去其平均值的平方和，所得结果除以该组数之个数（或个数减一，即变异数），再把所得值开根号， 所得之数就是这组数据的标准差。
外汇术语
外汇术语
标准差指统计上用于衡量一组数值中某一数值与其平均值差异程度的指标。标准差被用来评估价格可能的变 化或波动程度。标准差越大，价格波动的范围就越广，股票等金融工具表现的波动就越大。
在excel中调用函数 “STDEV.S“ 估算样本的标准偏差。标准偏差反映相对于平均值（mean）的离散程度。
图例
标准差表示的就是样本数据的离散程度。标准差就是样本平均数方差的开平方，标准差通常是相对于样本数 据的平均值而定的，通常用M±SD来表示，表示样本某个数据观察值相距平均值有多远。从这里可以看到，标准 差受到极值的影响。标准差越小，表明数据越聚集；标准差越大，表明数据越离散。标准差的大小因测验而定， 如果一个测验是学术测验，标准差大，表示学生分数的离散程度大，更能够测量出学生的学业水平；如果一个测 验测量的是某种心理品质，标准差小，表明所编写的题目是同质的，这时候的标准差小的更好。标准差与正态分 布有密切联系：在正态分布中，1个标准差等于正态分布下曲线的68.26%的面积，1.96个标准差等于95%的面积。 这在测验分数等值上有重要作用。
标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。
公式意义
公式意义
所有数减去其平均值的平方和，所得结果除以该组数之个数（或个数减一，即变异数），再把所得值开根号， 所得之数就是这组数据的标准差。
样本平均数与标准差课件(共30张PPT)
情感目标 通过本节课学习，使学生养成乐于学习、勇于探索的良好品质
核心素养
通过思考、讨论等活动，提升学生数学的数学抽象、数学运算、数学抽象、 数学建模、逻辑推理的核心素养
创设情境，生成问题 在活初动中1，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？ 问题情境 以下是某学校高一年级98位学生的身高（单位：cm):
有了这组数据，怎样描述学生的身高情况？
调动思维，探究新知 在活初动中2，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
我们可以用图表直观表示这组数据，例如作出扇形图 、频数统计表和频率分布直方图，通过图表反映这组数据的 一些特征，从而描述学生的身高情况.
此外，我们在初中学习了平均数，平均数描述了数据 的平均水平，定量地反映了数据的集中趋势所处的水平．可 以通过求平均数来描述这组数据，从而了解高一年级这98 位学生的平均身高．
可以发现样本平均数与总体平均数相差不大．
调动思维，探究新知 在活初动中2，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
这就说明，在容许一定误差存在的前提下，可以 用样本平均数去估计总体平均数，这样就能节省人力 和物力．
另外，有时候总体平均数不可能获得，比如质检 部门想知道市场上节能灯的平均使用寿命，不可能把 所有节能灯都拿来检测，此时只能用样本平均数去估 计总体平均数．
样本平均数为 x ，则称
2
2
2
s2 x1 x x2 x xn x
n
为样本方差， s s2 为样本标准差．
活动 4 调动思维，探究新知
在上述问题情境中，我们可以根据标准差来判断两名运
差和标准差ppt课件
变异系数
当数据的量纲或单位不同，或者需要比较两组数 据的离散程度时，可以选择使用变异系数。
06 差和标准差的案例分析
案例一：股票收益率的差和标准差分析
总结词
股票收益率的差和标准差分析是评估投资风险的重要手段。
详细描述
通过计算股票收益率的差和标准差，投资者可以了解该股票的波动情况，从而 评估投资风险。如果标准差较小，说明股票价格波动较小，风险较低；反之， 如果标准差较大，则说明股票价格波动较大，风险较高。
05 差和标准差的优缺点
差的优势与局限性
优势
差是描述数据分散程度的最简单 方法，计算方便，易于理解。
局限性
差只考虑了每个数据点与平均数 的差距，没有考虑到数据之间的 相互关系，因此可能无法全面反 映数据的分散程度。
标准差的优势与局限性
优势
标准差不仅考虑了每个数据点与平均 数的差距，还考虑了数据之间的相互 关系，因此能够更全面地反映数据的 分散程度。
在投资组合管理中的应用
资产配置
业绩评估
投资者可以使用差和标准差来评估不 同资产类别的风险和回报特性，进而 进行合理的资产配置。
差和标准差可以用来评估投资组合的 表现，通过与基准指数或竞争对手的 比较，判断投资组合的优劣。
风险控制
在投资组合管理中，通过限制整体投 资组合的标准差水平，投资者可以控 制投资组合的风险敞口。
平均差越小，说明数据集的离 散程度越小，数据的稳定性越 好。
相对差的计算
相对差是两个数值之 间的相对差异，通常 用百分数表示。
相对差越大，说明两 个数值之间的差异越 大。
相对差可以用于比较 不同量纲的数值之间 的差异程度。
03 标准差的计算方法
总体标准差的计算
当数据的量纲或单位不同，或者需要比较两组数 据的离散程度时，可以选择使用变异系数。
06 差和标准差的案例分析
案例一：股票收益率的差和标准差分析
总结词
股票收益率的差和标准差分析是评估投资风险的重要手段。
详细描述
通过计算股票收益率的差和标准差，投资者可以了解该股票的波动情况，从而 评估投资风险。如果标准差较小，说明股票价格波动较小，风险较低；反之， 如果标准差较大，则说明股票价格波动较大，风险较高。
05 差和标准差的优缺点
差的优势与局限性
优势
差是描述数据分散程度的最简单 方法，计算方便，易于理解。
局限性
差只考虑了每个数据点与平均数 的差距，没有考虑到数据之间的 相互关系，因此可能无法全面反 映数据的分散程度。
标准差的优势与局限性
优势
标准差不仅考虑了每个数据点与平均 数的差距，还考虑了数据之间的相互 关系，因此能够更全面地反映数据的 分散程度。
在投资组合管理中的应用
资产配置
业绩评估
投资者可以使用差和标准差来评估不 同资产类别的风险和回报特性，进而 进行合理的资产配置。
差和标准差可以用来评估投资组合的 表现，通过与基准指数或竞争对手的 比较，判断投资组合的优劣。
风险控制
在投资组合管理中，通过限制整体投 资组合的标准差水平，投资者可以控 制投资组合的风险敞口。
平均差越小，说明数据集的离 散程度越小，数据的稳定性越 好。
相对差的计算
相对差是两个数值之 间的相对差异，通常 用百分数表示。
相对差越大，说明两 个数值之间的差异越 大。
相对差可以用于比较 不同量纲的数值之间 的差异程度。
03 标准差的计算方法
总体标准差的计算
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计算可得 x甲7，x乙7
两人射击 的平均成绩是一样的.那么两个人的水平就没 有什么差异吗?
.
频率
0.3
0.2
0.1
4 5 6 7 8 9 10
频率
(甲)
甲成绩比较 分散,乙成绩
相对集中
环数
0.4 0.3
0.2 0.1
4 5 6 7 8 9 10
(乙)
.
环数
思 考 ：什么样的指标可以反映一组数据 变化范围的大小？
s21 n (x 1x )2 (x2x )2 (xnx )2 .
步骤：求平均数；作差；平方；再求平均数
.
同步练习
（09 重庆高考）从一堆苹果中任取5只，称得它们的
质量如下（单位：克）125，124， 121， 123， 127
则该样本标准差 s
（克）（用数字作答）．
【解析】样本平均数 x 1 (125 124 121123 127) 124
5
则样本方差
s2
1 5
(12
O2
32
12
32 )
4,
所以
s
2
．
.
例2 甲乙两人同时生产内径为25.40mm的一种零 件.为了对两人的生产质量进行评比,从他们生产的 零件中各抽出20件,量得其内径尺寸如下(单位:mm) 甲 25.46, 25.32, 25.45, 25.39, 25.36
25.34, 25.42, 25.45, 25.38, 25.42 25.39, 25.43, 25.39, 25.40, 25.44 25.40, 25.42, 25.35, 25.41, 25.39
极差： 一组数据的最大值与最小值的差
极差＝最大值－最小值
极差越大，数据越分散，越不稳定 极差越小，数据越集中，越稳定
极差体现了数据的离散程度
.
甲的环数极差=10-4=6
乙的环数极差=9-5=4. 极差对极端值非常敏感，在一定程度上表 明样本数据的的波动情况．
但极差只能反映一组数据中两个极端值之间 的差异情况，对其他数据的波动情况不敏感， 到底是A组还是B组数据更加稳定呢？有必要重 新找一个对整组数据波动情况更敏感的指标
本节课我们就要来学习反应一组数据 稳定程度的两个量――方差、标准差．
.
考察样本数据的分散程度的大小，最 常用的统计量是标准差．
标准差是样本平均数的一种平均距离， 一般用s表示．
假设样本数据是 x1, x2 ,...xn ,
x 表示这组数据的 平均数。xi到 x 的距离是
xi x(i 1,2,,n).
2.2.2 用样本的数字特征 估计总体的数字特征
标准差
.
实际问题：有两位射击运动员在一次射击测试中 各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：７ ８ ７ ９ ５ ４ ９ １０ ７ ４ 乙：９ ５ ７ ８ ７ ６ ８ ６ ７ ７ 如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价?如果是一 次选拔考核，你应该如何做选择？
.
例题分析
例1 画出下列四组样本数据的条形图， 说明他们的异同点. (1) 5，5，5，5，5，5，5，5，5； (2) 4，4，4，5，5，5，6，6，6；
频率
x= 5
1.0
0.8
s= 0
0.6
0.4
0.2
O 12345678
（1）
频率 x = 5
1.0
0.8
s = 0.82
0.6
0.4
0.2
O 12345678
标准差为0的样本数据都等于样本平均数. 标准差表现为：
标准差越大，表明数据的离散程度就越大；反之， 标准差越小，表明各数据的离散程度就越小。
标准差的作用: 它用来描述样本数据的离散程度。在实际应用 中，标准差常被理解为稳定性。
.
例题分析
例1 画出下列四组样本数据的条形图， 说明他们的异同点. (1) 5，5，5，5，5，5，5，5，5； (2) 4，4，4，5，5，5，6，6，6； (3) 3，3，4，4，5，6，6，7，7； (4) 2，2，2，2，5，8，8，8，8.
乙 25.40, 25.43, 25.44, 25.48, 25.48 25.47, 25.49, 25.49, 25.36, 25.34 25.33, 25.43, 25.43, 25.32, 25.47 25.31, 25.32, 25.32, 25.32, 25.48
从生产的零件内径的尺寸.看,谁生产的质量较高?
a
x1
x1 x2
x2
2
显然,标准差越大,则a越大,数据的离散程度
越大;标准差越小,数据的离散程度越小.
标准差用来衡量一批数据的波动大小(即 这批数据偏离平均数的大小).
.
标准差的取值范围是什么?标准差为0的样本 数据有什么特点?标准差是怎样表现数据的离 散程度的?
标准差的取值范围: [0,+∞)
一般地,对于一个正态总体( , 2 ),数据落在区间 ( ,)、(2,2)、( 3,3 )内
的百分比分别为68.3%、95.4%、99.7%，这个原理 在产品质量控制中有着广泛的应用（参考教材 P79“阅读与思考”）.
.
从数学的角度考虑，人们有时用标准差 的平方s2_--------方差来代替标准作为测量样本 数据分散程度的工具。
0.4
0.2
. O 12345678
标准差还可用于对样本数据的另外一种解释
对于城市居民月均用水量样本数据，其平均数 x
=1.973 ，标准差s=0.868.在这100个数据中，
落在区间（ x -s，x +s）=[1.105，2.841]外的有28个； 落在区间（x -2s，x +2s）=[0.237,3.709]外的只有4个； 落在区间（x -3s，x +3s）=[-0.631，4.577]外的有0个.
.
于是样本数据x1，x2，……xn，到x的平均
距离是
s|x1x||x2x|L|xnx| n
平均距离标准差
由于上式含有绝对值，运算不太方便， 因此，通常改用如下公式来计算标准差．
s (x1x)2(x2x)2L(xnx)2 n .
标准差的几何意义
考虑一个容量为2的样本:
x1x2,其样本的 x22 标 x1,记 准 ax差 22 x1.为
（2）
.
频率
x= 5
Hale Waihona Puke 1.00.8s= 0
0.6
0.4
0.2
O 12345678
（1）
频率
x= 5
1.0
0.8
s = 1.49
0.6
0.4
0.2
O 12345678
频率 x = 5
1.0
0.8
s = 0.82
0.6
0.4
0.2
O 12345678
（2） 频率
x= 5
1.0 0.8
s = 2.83
0.6
两人射击 的平均成绩是一样的.那么两个人的水平就没 有什么差异吗?
.
频率
0.3
0.2
0.1
4 5 6 7 8 9 10
频率
(甲)
甲成绩比较 分散,乙成绩
相对集中
环数
0.4 0.3
0.2 0.1
4 5 6 7 8 9 10
(乙)
.
环数
思 考 ：什么样的指标可以反映一组数据 变化范围的大小？
s21 n (x 1x )2 (x2x )2 (xnx )2 .
步骤：求平均数；作差；平方；再求平均数
.
同步练习
（09 重庆高考）从一堆苹果中任取5只，称得它们的
质量如下（单位：克）125，124， 121， 123， 127
则该样本标准差 s
（克）（用数字作答）．
【解析】样本平均数 x 1 (125 124 121123 127) 124
5
则样本方差
s2
1 5
(12
O2
32
12
32 )
4,
所以
s
2
．
.
例2 甲乙两人同时生产内径为25.40mm的一种零 件.为了对两人的生产质量进行评比,从他们生产的 零件中各抽出20件,量得其内径尺寸如下(单位:mm) 甲 25.46, 25.32, 25.45, 25.39, 25.36
25.34, 25.42, 25.45, 25.38, 25.42 25.39, 25.43, 25.39, 25.40, 25.44 25.40, 25.42, 25.35, 25.41, 25.39
极差： 一组数据的最大值与最小值的差
极差＝最大值－最小值
极差越大，数据越分散，越不稳定 极差越小，数据越集中，越稳定
极差体现了数据的离散程度
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甲的环数极差=10-4=6
乙的环数极差=9-5=4. 极差对极端值非常敏感，在一定程度上表 明样本数据的的波动情况．
但极差只能反映一组数据中两个极端值之间 的差异情况，对其他数据的波动情况不敏感， 到底是A组还是B组数据更加稳定呢？有必要重 新找一个对整组数据波动情况更敏感的指标
本节课我们就要来学习反应一组数据 稳定程度的两个量――方差、标准差．
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考察样本数据的分散程度的大小，最 常用的统计量是标准差．
标准差是样本平均数的一种平均距离， 一般用s表示．
假设样本数据是 x1, x2 ,...xn ,
x 表示这组数据的 平均数。xi到 x 的距离是
xi x(i 1,2,,n).
2.2.2 用样本的数字特征 估计总体的数字特征
标准差
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实际问题：有两位射击运动员在一次射击测试中 各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：７ ８ ７ ９ ５ ４ ９ １０ ７ ４ 乙：９ ５ ７ ８ ７ ６ ８ ６ ７ ７ 如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价?如果是一 次选拔考核，你应该如何做选择？
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例题分析
例1 画出下列四组样本数据的条形图， 说明他们的异同点. (1) 5，5，5，5，5，5，5，5，5； (2) 4，4，4，5，5，5，6，6，6；
频率
x= 5
1.0
0.8
s= 0
0.6
0.4
0.2
O 12345678
（1）
频率 x = 5
1.0
0.8
s = 0.82
0.6
0.4
0.2
O 12345678
标准差为0的样本数据都等于样本平均数. 标准差表现为：
标准差越大，表明数据的离散程度就越大；反之， 标准差越小，表明各数据的离散程度就越小。
标准差的作用: 它用来描述样本数据的离散程度。在实际应用 中，标准差常被理解为稳定性。
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例题分析
例1 画出下列四组样本数据的条形图， 说明他们的异同点. (1) 5，5，5，5，5，5，5，5，5； (2) 4，4，4，5，5，5，6，6，6； (3) 3，3，4，4，5，6，6，7，7； (4) 2，2，2，2，5，8，8，8，8.
乙 25.40, 25.43, 25.44, 25.48, 25.48 25.47, 25.49, 25.49, 25.36, 25.34 25.33, 25.43, 25.43, 25.32, 25.47 25.31, 25.32, 25.32, 25.32, 25.48
从生产的零件内径的尺寸.看,谁生产的质量较高?
a
x1
x1 x2
x2
2
显然,标准差越大,则a越大,数据的离散程度
越大;标准差越小,数据的离散程度越小.
标准差用来衡量一批数据的波动大小(即 这批数据偏离平均数的大小).
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标准差的取值范围是什么?标准差为0的样本 数据有什么特点?标准差是怎样表现数据的离 散程度的?
标准差的取值范围: [0,+∞)
一般地,对于一个正态总体( , 2 ),数据落在区间 ( ,)、(2,2)、( 3,3 )内
的百分比分别为68.3%、95.4%、99.7%，这个原理 在产品质量控制中有着广泛的应用（参考教材 P79“阅读与思考”）.
.
从数学的角度考虑，人们有时用标准差 的平方s2_--------方差来代替标准作为测量样本 数据分散程度的工具。
0.4
0.2
. O 12345678
标准差还可用于对样本数据的另外一种解释
对于城市居民月均用水量样本数据，其平均数 x
=1.973 ，标准差s=0.868.在这100个数据中，
落在区间（ x -s，x +s）=[1.105，2.841]外的有28个； 落在区间（x -2s，x +2s）=[0.237,3.709]外的只有4个； 落在区间（x -3s，x +3s）=[-0.631，4.577]外的有0个.
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于是样本数据x1，x2，……xn，到x的平均
距离是
s|x1x||x2x|L|xnx| n
平均距离标准差
由于上式含有绝对值，运算不太方便， 因此，通常改用如下公式来计算标准差．
s (x1x)2(x2x)2L(xnx)2 n .
标准差的几何意义
考虑一个容量为2的样本:
x1x2,其样本的 x22 标 x1,记 准 ax差 22 x1.为
（2）
.
频率
x= 5
Hale Waihona Puke 1.00.8s= 0
0.6
0.4
0.2
O 12345678
（1）
频率
x= 5
1.0
0.8
s = 1.49
0.6
0.4
0.2
O 12345678
频率 x = 5
1.0
0.8
s = 0.82
0.6
0.4
0.2
O 12345678
（2） 频率
x= 5
1.0 0.8
s = 2.83
0.6