第五章 流体动力学(控制体雷诺输运定理)
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流体运动学和流体动力学.
二、连续性方程
当液体在管道内作稳定流动时，根据质量守 恒定律，管内液体的质量不会增多也不会减少， 所以在单位时间内流过每一截面的液体质量必然 相等。如图所示，管道的两个通流面积分别为A1、 A2，液体流速分别为v1、v2，液体的密度为ρ， 则 ρv1A1=ρv2A2=常量
即: 或 v1A1=v2A2=Q＝常量 v1/v2=A2/A1
3.一维流动
当液体整个作线形流动时，称为一维流动。
原则上：截Leabharlann 上的速度矢量一致。实际应用上：封闭容器内的液体的流动按 一维流动来分析。 液压传动中的液体流动按一维流动来分析。
4. 迹线，流线，流束
迹线：流动液体的某一质点在某一时间间隔内
在空间的运动轨迹。
流线：某一瞬时液流中各处质点运动状态的一
条条曲线。质点的速度方向与该曲线相切。流线 不可能相交。
例4
课堂练习
如图，管端喷嘴直径d=50mm，管道直径 100mm，假设液面保持不变，不计损失， 求：1）喷嘴流出速度及流量； 2）E处的流速和压力。
Q1 Q1 Q Q Q2 Q2
三、能量方程——伯努利方程
1. 理想液体的伯努利方程：能量守恒定律
1
dp gdz udu 0
u gz C 2 p
2
p1 u p2 u z1 z2 g 2 g g 2g
2 1
2 2
２．水头线
压力水头：
p
位置水头：
z
h
a
g
g
2
2g
g
通过以上分析，可将应用伯努利方程 解决实际问题的一般方法归纳如下：
1.选取适当的基准水平面； 2.选取两个计算截面；一个设在已知参数的断 面上，另一个设在所求参数的断面上； 3.按照液体流动方向列出伯努利方程；
第五章 实际(粘性)流体动力学基础
p
p
(5.12)
上式表示总流重力流量（γQ）所具有的势能。
u2 （2）第二类积分 Q dQ A u3dA ，表示总流重力流量 2g 2g
所具有的动能。 总流在同一过流断面上的流速分布一般是不均匀的，即
3 3 u dA v A A
引入修正系数α，即令
3 3 u dA u dA A A 3 v A Qv 2
u y u y u y u y 1 p 2 Y u y ux uy uz y t x y z
1 p uz uz uz uz 2 Z uz ux uy uz z t x y z
（5.1）
与理想流体的欧拉运动微分方程w dhw
1
2
实际流体恒定元流的伯努利方程或能量方程，式中 z：位置水头；
p
: 动水压强水头；
u2 : 流速水头； 2g
: 损失水头。 hw
即单位重力流体在运动中为了克服1~2元流段中水流阻力 hw
所消耗的机械能，称为水头损失。
§5.3
5.3.1
恒定总流的伯努利方程
下降，平均测压管水头线可以上升，
可以下降。
总水头线的坡度叫做水力坡度， 表示单位重力流体在单位长度的 流程上所损失的平均水头。以H 表示总流的平均总水头，则水力
坡度为
dH dhw J ds ds
(5.21)
5.3.3
恒定总流伯努利方程的应用
总流伯努利方程适用条件：
（1）不可压缩流体；
（2）恒定流； （3）作用于流体上的质量力不可压缩流体； （4）所取过流断面1-1，2-2都在渐变流区域，但两断面之
这些功时所消耗的机械能，就是能量的损失。
《雷诺输运定理》课件
可能较大。
对于非牛顿流体，由于其流动 特性与牛顿流体不同，因此雷 诺输运定理的适用性可能有限
。
改进方向
发展更精确的数值模 拟方法，以模拟流体 的微观运动特性。
深入研究流体的微观 运动特性，以更好地 理解其宏观流动特性 。
结合其他理论或模型 ，如湍流模型或非牛 顿流模型，以提高预 测精度。
06
雷诺输运定理的发展前景
粒子追踪
通过跟踪流场中粒子的运 动轨迹，分析流体的输运 性质。
温度场测量
在流体中设置温度传感器 ，测量温度分布，分析热 量的输运过程。
结果分析
数据对比
将实验数据与理论结果进行对比，分析误差来 源。
适用性分析
分析雷诺输运定理在不同流动条件下的适用范 围和局限性。
改进建议
根据实验结果，提出对理论模型的改进意见，提高理论预测的准确性。
05
雷诺输运定理的局限性
适用范围
雷诺输运定理适用于连续流动的流体，如气体和 液体。
对于非连续流动的流体，如颗粒流或泥浆流，雷 诺输运定理可能不适用。
在高雷诺数流动中，雷诺输运定理的适用性可能 受到限制。
误差分析
由于雷诺输运定理基于宏观平 均流动特性，因此可能无法准 确描述流体的微观运动特性。
在复杂流动中，如湍流或分 离流，雷诺输运定理的误差
雷诺输运定理揭示了流体运动的本质特征，包括流体的流动规律、速度场的变化、质量守恒、动量守 恒和能量守恒等。这些特征对于理解和分析流体运动的特性、流动现象和流体动力系统的行为具有重 要意义。
雷诺输运定理的应用领域
总结词
雷诺输运定理在多个领域都有广泛应用，如航空航天 、气象学、环境科学等。
详细描述
雷诺输运定理在多个领域都有广泛应用。在航空航天 领域，该定理用于分析和预测流体动力学问题，如飞 行器的气动性能和飞行稳定性。在气象学领域，雷诺 输运定理用于描述大气中各种气象要素的分布和变化 。在环境科学领域，该定理用于研究流体运动对污染 物扩散、水质变化等环境问题的影响。此外，雷诺输 运定理还在水利工程、交通运输和工业生产等领域得 到广泛应用。
对于非牛顿流体，由于其流动 特性与牛顿流体不同，因此雷 诺输运定理的适用性可能有限
。
改进方向
发展更精确的数值模 拟方法，以模拟流体 的微观运动特性。
深入研究流体的微观 运动特性，以更好地 理解其宏观流动特性 。
结合其他理论或模型 ，如湍流模型或非牛 顿流模型，以提高预 测精度。
06
雷诺输运定理的发展前景
粒子追踪
通过跟踪流场中粒子的运 动轨迹，分析流体的输运 性质。
温度场测量
在流体中设置温度传感器 ，测量温度分布，分析热 量的输运过程。
结果分析
数据对比
将实验数据与理论结果进行对比，分析误差来 源。
适用性分析
分析雷诺输运定理在不同流动条件下的适用范 围和局限性。
改进建议
根据实验结果，提出对理论模型的改进意见，提高理论预测的准确性。
05
雷诺输运定理的局限性
适用范围
雷诺输运定理适用于连续流动的流体，如气体和 液体。
对于非连续流动的流体，如颗粒流或泥浆流，雷 诺输运定理可能不适用。
在高雷诺数流动中，雷诺输运定理的适用性可能 受到限制。
误差分析
由于雷诺输运定理基于宏观平 均流动特性，因此可能无法准 确描述流体的微观运动特性。
在复杂流动中，如湍流或分 离流，雷诺输运定理的误差
雷诺输运定理揭示了流体运动的本质特征，包括流体的流动规律、速度场的变化、质量守恒、动量守 恒和能量守恒等。这些特征对于理解和分析流体运动的特性、流动现象和流体动力系统的行为具有重 要意义。
雷诺输运定理的应用领域
总结词
雷诺输运定理在多个领域都有广泛应用，如航空航天 、气象学、环境科学等。
详细描述
雷诺输运定理在多个领域都有广泛应用。在航空航天 领域，该定理用于分析和预测流体动力学问题，如飞 行器的气动性能和飞行稳定性。在气象学领域，雷诺 输运定理用于描述大气中各种气象要素的分布和变化 。在环境科学领域，该定理用于研究流体运动对污染 物扩散、水质变化等环境问题的影响。此外，雷诺输 运定理还在水利工程、交通运输和工业生产等领域得 到广泛应用。
雷诺实验原理
雷诺实验原理雷诺实验（Reynolds experiment）是以英国物理学家雷诺（Osborne Reynolds）的名字命名的流体力学实验。
该实验主要研究流体在直管中流动过程中的稳定性和不稳定性，是理解流体力学中流动现象的基础问题之一。
下面将为大家详细介绍雷诺实验的原理。
一、原理雷诺实验主要是通过观察直管中的流体运动状况，来研究不同流速下的流体稳定性及其转换规律。
该实验使用的设备是一条长方形截面的透明管子，管子内侧涂有淀粉溶液，用来显示流体的运动情况。
在实验中，流体的流速、密度和粘度都是关键变量，影响着其稳定性和转换规律。
二、实验过程在进行实验前，需要准备好实验用的透明管子、淀粉溶液、外加压力差的水泵等设备。
具体实验操作过程如下：1.准备一个长方形截面的透明管子，并在其内侧涂上淀粉溶液。
2.使用水泵将水送入透明管子内部，同时调节水泵压力和水的流速。
3.通过观察管子内的淀粉溶液流动情况，来研究在不同流速下流体的稳定性和转换规律。
4.根据实验结果，分析不同流速下的流体运动状态，以及转换到湍流的临界条件。
5.根据实验数据和分析结果，绘制相应的流体运动图和流量曲线图。
三、实验内容1.流体稳定性分析通过实验观察可以发现，当水的流速较慢时，淀粉溶液呈现出明显的层状排列，这说明流体的运动是稳定的。
当流速加快时，淀粉溶液出现了明显的横向扰动，此时流体的运动开始不稳定，接着出现旋涡和涡流，最终转换成湍流。
在不同的流速下，流体的稳定性也不同。
2.雷诺数的分析雷诺数是流体力学的重要参数之一，它描述了惯性力和黏性力之间的相对作用。
在雷诺实验中，通过调节流速、管子直径、介质粘度等因素，可以改变雷诺数的大小，从而研究流体运动状态的转换规律。
3.流动转换条件的研究在雷诺实验中，流体的运动状态会从层流转为湍流。
通过对实验数据的分析，可以得到流体从层流转为湍流的临界条件。
当雷诺数大于一定值时，流体就会从层流运动状态转换为湍流运动状态。
第5章 粘性流体动力学基本方程组
(5.1.49)
对于低速流，耗散项 也很小。由于它与典型速度平方成正比，因而可以忽略，得到
(5.1.50)
3.总能量方程
动能方程和内能方程分别从机械能和热能的角度研究了粘性流体运动过程中能量的传递和转换问题。下面分析总的能量平衡关系。将(5.1.30)和(5.1.38)式相加得：
(5.1.51)
右端最后一项为：
(5.1.36)
不可压缩流为：
(5.1.37)
可见，耗散率与应变变化率的平方成正比。对于层流运动，只在边界层内靠近壁面处有大的速度梯度，因此产生大的耗散，而在其他区域耗散则很小。对于湍流运动，则不仅在边界层内紧靠壁面处，而且在两个很靠近的旋涡之间都可以有很大的应变变化率，因此产生很大的耗散。
根据以上分析，可以归结如下：流体微团动能沿迹线的变化率取决于单位时间内彻体力所作的功、通过粘性力和压力与相邻微团的机械能交换、膨胀功以及粘性力对机械能的耗散等因素。在任何情况下，粘性耗散总使动能减小。
右端第二项是单位时间内粘性力对运动的单位质量流体所输运的机械能。由图5-3可见，上一层流体通过粘性剪切力对微元体所作的功为：
而微元体对下层流体所作的功则为 ，所以微元体净得能量为：
(5.1.31)
图5-3粘性力输运机械能
则单位体积和单位质量在单位时间内得到的能量分别为 和 。可见，在这里粘性剪切力起了输运能量的作用。它依次把上一层流体的部分能量输送给下一层。这种输运能量的方式在理想流体中是不存在的。
对于粘性正应力也可作类似的计算。不过它不是不同流层之间的能量输运，而是前后微团对微元体所作功的差别。
将粘性输运功项进行容积积分，则由斯托克斯定理可得
(5.1.32)
其中 ——微元面 的单位法向矢量。
对于低速流，耗散项 也很小。由于它与典型速度平方成正比，因而可以忽略，得到
(5.1.50)
3.总能量方程
动能方程和内能方程分别从机械能和热能的角度研究了粘性流体运动过程中能量的传递和转换问题。下面分析总的能量平衡关系。将(5.1.30)和(5.1.38)式相加得：
(5.1.51)
右端最后一项为：
(5.1.36)
不可压缩流为：
(5.1.37)
可见，耗散率与应变变化率的平方成正比。对于层流运动，只在边界层内靠近壁面处有大的速度梯度，因此产生大的耗散，而在其他区域耗散则很小。对于湍流运动，则不仅在边界层内紧靠壁面处，而且在两个很靠近的旋涡之间都可以有很大的应变变化率，因此产生很大的耗散。
根据以上分析，可以归结如下：流体微团动能沿迹线的变化率取决于单位时间内彻体力所作的功、通过粘性力和压力与相邻微团的机械能交换、膨胀功以及粘性力对机械能的耗散等因素。在任何情况下，粘性耗散总使动能减小。
右端第二项是单位时间内粘性力对运动的单位质量流体所输运的机械能。由图5-3可见，上一层流体通过粘性剪切力对微元体所作的功为：
而微元体对下层流体所作的功则为 ，所以微元体净得能量为：
(5.1.31)
图5-3粘性力输运机械能
则单位体积和单位质量在单位时间内得到的能量分别为 和 。可见，在这里粘性剪切力起了输运能量的作用。它依次把上一层流体的部分能量输送给下一层。这种输运能量的方式在理想流体中是不存在的。
对于粘性正应力也可作类似的计算。不过它不是不同流层之间的能量输运，而是前后微团对微元体所作功的差别。
将粘性输运功项进行容积积分，则由斯托克斯定理可得
(5.1.32)
其中 ——微元面 的单位法向矢量。
水力学教学课件 第五章 实际流体动力学基础
化简移项后得
z
τxy τxz pxx
∂px ∂τ yx ∂τ zx dux + + )= fx + (− ∂z dt ρ ∂x ∂y 1 1 ∂py ∂y
τ'zy
τ’zx p'zz
同理 ：
τyx τ pyy yz τ'yz τzx pzz τzy p'yy τ'yx
p'xx τ'xz τ'xy
f y + (−
式中： fr、fθ 、fz 分别为单位质量力在
5-1 实际流体的运动微分方程—纳维-斯托克斯方程
r,θ, z 坐标轴上的分量。
3、纳维-斯托克斯方程求解条件 、纳维 斯托克斯方程求解条件
初始条件：在起始时刻 时 各处的流速、压力值；对于恒定流，则不存在条件。 初始条件：在起始时刻t=0时，各处的流速、压力值；对于恒定流，则不存在条件。
px = p − 2µ
py = p − 2µ
∂ux ∂x ∂uy
∂y ∂u pz = p − 2µ z ∂z
------(5------(5-5) (5
5-1 实际流体的运动微分方程—纳维-斯托克斯方程
3、实际流体中任一点的应力状态讨论
（1）理想流体，μ=0, 理想流体，
px =py =pz =p
实际流体具有粘性。 实际流体具有粘性。在作用面上的表面力不仅有压 应力即动压强，还有切应力。 应力即动压强，还有切应力。
2、作用在一平面上M点的表面应力 作用在一平面上 点的表面应力
三个轴向都有三个分量： 表面应力 pn 在x、y、z三个轴向都有三个分量： 、 三个轴向都有三个分量 即动压强； 与平面成法向的压应力p 与平面成法向的压应力 zz，即动压强； 与平面成切向的切应力τ 与平面成切向的切应力 zx，和τzy。
z
τxy τxz pxx
∂px ∂τ yx ∂τ zx dux + + )= fx + (− ∂z dt ρ ∂x ∂y 1 1 ∂py ∂y
τ'zy
τ’zx p'zz
同理 ：
τyx τ pyy yz τ'yz τzx pzz τzy p'yy τ'yx
p'xx τ'xz τ'xy
f y + (−
式中： fr、fθ 、fz 分别为单位质量力在
5-1 实际流体的运动微分方程—纳维-斯托克斯方程
r,θ, z 坐标轴上的分量。
3、纳维-斯托克斯方程求解条件 、纳维 斯托克斯方程求解条件
初始条件：在起始时刻 时 各处的流速、压力值；对于恒定流，则不存在条件。 初始条件：在起始时刻t=0时，各处的流速、压力值；对于恒定流，则不存在条件。
px = p − 2µ
py = p − 2µ
∂ux ∂x ∂uy
∂y ∂u pz = p − 2µ z ∂z
------(5------(5-5) (5
5-1 实际流体的运动微分方程—纳维-斯托克斯方程
3、实际流体中任一点的应力状态讨论
（1）理想流体，μ=0, 理想流体，
px =py =pz =p
实际流体具有粘性。 实际流体具有粘性。在作用面上的表面力不仅有压 应力即动压强，还有切应力。 应力即动压强，还有切应力。
2、作用在一平面上M点的表面应力 作用在一平面上 点的表面应力
三个轴向都有三个分量： 表面应力 pn 在x、y、z三个轴向都有三个分量： 、 三个轴向都有三个分量 即动压强； 与平面成法向的压应力p 与平面成法向的压应力 zz，即动压强； 与平面成切向的切应力τ 与平面成切向的切应力 zx，和τzy。
流体动力学基本原理
x
z
X方向流入的流量为：
u u udydz u dx dydz dxdydz x x
同理，Y方向：
v dxdydz y
w dxdydz z
Z方向：
控制体内因密度的变化而 引起的质量变化为：
dxdydz t
( u ) ( v) ( w) 0 t x y z
( V ) 0 t
u v w V 0 t x y z
D V 0 Dt
微分形式的连续方程的矢量形式
积分形式连续方程
根据质量守恒原理（连续性条件）可得：
u v w dxdydz dxdydz y z t x
整理即可得到微分形式连续方程：
u v w 0 t x y z
系统 和 控制体
①系统（system）
由确定流体质点组成的流体团或流体体积τ(t)。 系统边界面A(t)在流体的运动过程中不断发生变化。
②控制体(control volume)
相对于坐标系固定不变的空间体积τ 。 控制体是为了研究问题方便而取定的。控制体边界 面A 称为控制面。
针对图示微元控制体应用质量守恒原理，有
VA
V dl V dl A dA Adl l l t
V V VA VA VdA Adl dAdl l l V V 2 2 VAdl VdAdl A dl dA dl l l l l l l Adl t
VA const
流体动力学
除了质量、动量与能量守恒方程之外，另外还有热力学的状态方程，使得压力成为流体其他热力学变量的函 数，而使问题得以被限定。
组成内容
研究运动流体的规律和运动流体与边界之间相互作用的流体力学分支。流体动力学的主要内容包括：流体动 力学基本方程、无粘性不可压缩流体动力学、粘性不可压缩流体动力学、气体动力学和透平机械气体动力学。
若流体足够致密，可以成为一连续体，并且不含有离子化的组成，速度相对于光速是很慢的，则牛顿流体的 动量方程为“纳维-斯托克斯方程”。其为非线性微分方程，描述流体的流所带有的应力是与速度及压力呈线性相 依。未简化的纳维-斯托克斯方程并没有一般闭形式解，所以只能用在计算流体力学，要不然就需要进行简化。方 程可以通过很多方法来简化，以容易求解。其中一些方法允许适合的流体力学问题能得到闭形式解。
流动种类：定常流动、非定常流动 流动形态：层流、紊流 流动稳定性：不可压缩流动、可压缩流动、粘性流动、无粘流动
研究点
01
应力张量
02
应力张量和 变形速率张 量的关系
04
涡旋的动力 学性质
06
动量定理
03
动量方程和 能量方程
05
伯努利积分 和拉格朗日 积分
根据无粘性流体对于剪切变形没有抗拒能力和静止流体不能承受剪应力的事实可以断言：在无粘性流体或静 止流体中，剪应力为零，而正应力（即法向应力）pxx=pyy=pzz=－p。p称为无粘性流体或静止流体的压力函数， 它表征无粘性流体或静止流体在任一点的应力状态。在流体动力学中可以用px、py、pz或九个量pij（i，j=1，2， 3）的组合可完全地描写一点的应力状况。pij组成的二阶张量称为应力张量。
涡旋的动力学性质主要体现在开尔文定理和亥姆霍兹定理上。如果流体是无粘性、正压的（见正压流体）， 且外力有势，则涡旋不生不灭，而且涡线、涡管总是由相同的流体质点组成，涡管强度不随时间变化。只有流体 的粘性、斜压性和外力无势这三个因素才能使涡旋产生、发展变化和消亡.
组成内容
研究运动流体的规律和运动流体与边界之间相互作用的流体力学分支。流体动力学的主要内容包括：流体动 力学基本方程、无粘性不可压缩流体动力学、粘性不可压缩流体动力学、气体动力学和透平机械气体动力学。
若流体足够致密，可以成为一连续体，并且不含有离子化的组成，速度相对于光速是很慢的，则牛顿流体的 动量方程为“纳维-斯托克斯方程”。其为非线性微分方程，描述流体的流所带有的应力是与速度及压力呈线性相 依。未简化的纳维-斯托克斯方程并没有一般闭形式解，所以只能用在计算流体力学，要不然就需要进行简化。方 程可以通过很多方法来简化，以容易求解。其中一些方法允许适合的流体力学问题能得到闭形式解。
流动种类：定常流动、非定常流动 流动形态：层流、紊流 流动稳定性：不可压缩流动、可压缩流动、粘性流动、无粘流动
研究点
01
应力张量
02
应力张量和 变形速率张 量的关系
04
涡旋的动力 学性质
06
动量定理
03
动量方程和 能量方程
05
伯努利积分 和拉格朗日 积分
根据无粘性流体对于剪切变形没有抗拒能力和静止流体不能承受剪应力的事实可以断言：在无粘性流体或静 止流体中，剪应力为零，而正应力（即法向应力）pxx=pyy=pzz=－p。p称为无粘性流体或静止流体的压力函数， 它表征无粘性流体或静止流体在任一点的应力状态。在流体动力学中可以用px、py、pz或九个量pij（i，j=1，2， 3）的组合可完全地描写一点的应力状况。pij组成的二阶张量称为应力张量。
涡旋的动力学性质主要体现在开尔文定理和亥姆霍兹定理上。如果流体是无粘性、正压的（见正压流体）， 且外力有势，则涡旋不生不灭，而且涡线、涡管总是由相同的流体质点组成，涡管强度不随时间变化。只有流体 的粘性、斜压性和外力无势这三个因素才能使涡旋产生、发展变化和消亡.
《工程流体力学》第五章 理想流体多维流动基础
第六节 连续方程： 体系表达式的基本物理定律－>
积分形式方程：流体流动的总体性能关系，如流体作用在 物体上合力，总的能量传递等 微分形式方程：详细了解流动过程各个参数
一、积分形式连续方程： 连续方程：质量守恒定律应用于流动流体的数学表达式 流体块体积: V 流体块密度: 流体块质量:
代入雷诺输运定理：
穿过控制体表面流体净动量通量： =单位时间流出控制体的流体所带走动量 -单位时间流进控制体的流体所带进动量
定常流，动量方程为：
直角坐标系下，x方向动量方程分量形式：
y和z方向动量方程分量形式：
动量方程：求流体对物体的作用力 动量方程：加以改写 取控制体如图：
A=A1+A2+A3
动量方程中：
线变形： y方向
t时： AD边长ds t+dt时：A’D’’在y方向投影A’D’长度
单位时间流体微团沿y向相对伸缩量 即单位时间AD沿y向相对伸缩量：y向线变形
(2)角变形： 在xy平面，绕z轴 流体线：流体质点组成的线段，随流体运动并改变形状 考查AB、AD流体线
流体微团角变形速度：流体微团上任意两条互相垂直流体 线夹角的时间变化率的一半
5)控制面上法向速度Vn：以控制面外法线方向为正
动量方程变为：
6)推导上述方程时：假设为理想流体 实际流体：有粘性 一般粘性系数：很小 紧靠物体表面附面层内流体：必须考虑粘性 附面层以外流体：可按理想流体处理 求流体与物体之间作用力时：仍可用动量方程
流体与物体之间法向压力和切向粘性力总和：
二、微分形式动量方程：
物体对流体作用力： 流体对物体作用力：
在A1上：
动量方程变为： 分量形式为：
讨论： 1) 空气：质量力略去不计
流体动力学基础工程流体力学
31
固定的控制体
对固定的CV，积分形式的连续性方程可化为
CS
ρ(
vn
)dA
CV
t
dV
运动的控制体
将控制体随物体一起运动时，连续性方程形式不变，只
要将速度改成相对速度vr
t
dV
CV
CS (vr n)dA 0
32
连续方程的简化
★1、对于均质不可压流体： ρ=const
dV 0
t CV
t
，所以由于密度 的变
化单位时间内微元六面体内增加的质量为dxdydz t。
微元控制体内流体质量增长率： dxdydz t
48
（3）根据质量守恒定律
流体运动的连续方程式为：
dxdydz uxdydz dx uydxdz dy uzdxdy dz 0
令β＝1，由系统的质量不变可得连续性方程
D Dt
CV
dV
t
CV
ρdV
CS
ρ
vndA
0
30
D Dt
CV
dV
t
CV
ρdV
CS
ρ
vn
dA
0
系统质量变化率 控制体内质量变化率 流出控制体的质量流率
上式表明：通过控制面净流出的质量流量等于控 制体内流体质量随时间的减少率。
在推导上式的时候，未作任何假设，因此只要满 足连续性假设，上式总是成立的
CV
B V n dA
CS
D* (t )
CV B n
质量体
控制体 任一物理量 控制体表面外法向单位向量
18
雷诺输运定理
将拉格朗日法求系统内物理 量的时间变化率转换为按欧 拉法去计算的公式
固定的控制体
对固定的CV，积分形式的连续性方程可化为
CS
ρ(
vn
)dA
CV
t
dV
运动的控制体
将控制体随物体一起运动时，连续性方程形式不变，只
要将速度改成相对速度vr
t
dV
CV
CS (vr n)dA 0
32
连续方程的简化
★1、对于均质不可压流体： ρ=const
dV 0
t CV
t
，所以由于密度 的变
化单位时间内微元六面体内增加的质量为dxdydz t。
微元控制体内流体质量增长率： dxdydz t
48
（3）根据质量守恒定律
流体运动的连续方程式为：
dxdydz uxdydz dx uydxdz dy uzdxdy dz 0
令β＝1，由系统的质量不变可得连续性方程
D Dt
CV
dV
t
CV
ρdV
CS
ρ
vndA
0
30
D Dt
CV
dV
t
CV
ρdV
CS
ρ
vn
dA
0
系统质量变化率 控制体内质量变化率 流出控制体的质量流率
上式表明：通过控制面净流出的质量流量等于控 制体内流体质量随时间的减少率。
在推导上式的时候，未作任何假设，因此只要满 足连续性假设，上式总是成立的
CV
B V n dA
CS
D* (t )
CV B n
质量体
控制体 任一物理量 控制体表面外法向单位向量
18
雷诺输运定理
将拉格朗日法求系统内物理 量的时间变化率转换为按欧 拉法去计算的公式
流体力学 第五章 讲稿
1 X 1 Y ρ 1 Z ρ
p 2u 2u 2u du ( 2 2 2 ) x x y z dt p 2v 2v 2v dv υ ( 2 2 ) 2 y x y z dt p 2w 2w 2w dw υ( 2 2 ) 2 z x y z dt
zx
u w ) zx ( z x v u xy ( ) x y w v yz ( ) y z 称为广义牛顿内摩擦定律
通过六面体形心且平行于z轴取矩，由于质量力和法向应力都 通过形心不产生力矩，则所受外力的力矩总和为： xy dx dx M xy dydz 2 ( xy x dx)dydz 2 yx dy dy yx dxdz ( yx dy )dxdz 2 y 2 dxdydzr 2 0 所以： xy yx 同理： yz zy
同理
p xx yx zx du X ( ) x y z dt 1 xy p yy zy dv Y ( ) x y z dt 1 xz yz p zz dw Z ( ) x y z dt 1
惯性力 雷诺数 粘性力
层流状态：惯性力较弱，粘性力居主导地位，雷诺数小；
紊流状态：惯性力占主导地位，雷诺数较大。
临界雷诺数Rec=2000~2300
第二节 实际流体的运动微分方程式
－纳维－斯托克斯方程式
一、粘性流体受力分析
取微小六面体ABCDEFGH，其平行于坐标轴各边的长度为dx、dy、dz , 其质量为M dxdydz。单位质量流体的质量力在坐标轴的投影分别为 X、Y、Z。 作用在六面体表面上的力：与受压面垂直的法向应力p，切向应力分别 垂直于p而平行于作用面的坐标轴。各应力脚码规定如下：第1个脚码代 表作用面的法向方向，第2个脚码表示应力的方向。
雷诺输运定理
----
涡街的形成
宇 航 推 进 系 流 体 力 学
----
4.5.1涡旋的概念
宇 在速度分解定理中的旋转项可以写成角速度向量与矢径
航 推
乘积的形式:
进 系
取=xi y j zk
----
流
r = xi y j zk xi yj zk
体
力
i jk
学
x y z
x y z
y z z y i z x x z j x y y x k
4.5.5有关涡旋的基本性质
宇 拉格朗日定理(旋涡不生不灭定理)
航
推 如果考虑的是理想,正压流体,且外力有势.如果
进
系 初始时刻在某部分流体内无旋,则以前或以后任
----
一时刻中这部分流体皆无旋.反之,若初始时刻
流 体
部分流体有旋,则以前或以后的任何时刻中这一
力 学
部分流体皆有旋.
4.5.5有关涡旋的基本性质
4.5.1涡旋的概念
宇 航 推
这一角速度正是速度旋度的 1 2
进
i jk
----
系
=xi
y
j
z k
1 2
x
y
1 rotV x 2
流 体
Vx Vy Vz
力
记旋度为: rotV，也叫涡度、涡量
学
有旋流动：旋转角速度（旋度）不为零的运动
这样,检验流体运动有旋还是无旋,只要看其速度的旋度 是否为零即可。
y
v x
u y
co学
法线单位矢量n的正方向与L的正方向组成右手螺旋系统
4.5.3涡通量和速度环量
宇 航
❖ 涡通量和速度环量都能表征涡旋强度,但是在某些
第五章流体动力学控制体雷诺输运定理流体力学
5.1.1 体系
❖ 什么是体系? ❖ 在力学和热学中，基本物理定律适用的对象是一
个选定的物质系统,具有以下特征:
➢ 该系统始终由一定量的物质组成； ➢ 系统的边界把自己同周围的外界物质分开； ➢ 系统边界既可以固定不动，也可以运动，而且系统的
形状和系统所占据的空间都可以随时间发生变化； ➢ 可以透过系统边界和外界有功和热量的交换,但绝无质
5.2雷诺输运定理
CVIII
CVI
I
dA1
t
n
II III
u dA3
CVII
u
n
t t
考虑到dA面和vn的方向,并认为流出体系所在空间对应
பைடு நூலகம்
体积的流量为正,则单位时间流出微元面的N值为
(vndA) v dS
S的方向按CV的表面外法线方向计
4.3.3雷诺输运定理
CVIII
CVI
I
dA1
t
n
II III
流体的密度,微体积的质量
A1, t to
dm d
则有ms d s
y
x
5.1.1体系
进一步把式中的参数用流动参数表达也来,则得到关于流 体封闭体系的质量守恒方程. 这种分析方法就称为体系分析法
但是,由于运动中的流体系统将产生由移动、转动和变形 运动等组成的复杂运动，长时间难以追踪得到，甚至在 紊流流动状态由于流体的混沌，严格讲要辨认哪些流体 仍否属于原来的流体系统都成了问题.
这种分析方法就称为 控制体分析法
控制体与体系的区别
名称
定义
边界特性
适用
体系
物质的集 有力、能交换， 拉格朗
合
无质量交换
日法
控制体
❖ 什么是体系? ❖ 在力学和热学中，基本物理定律适用的对象是一
个选定的物质系统,具有以下特征:
➢ 该系统始终由一定量的物质组成； ➢ 系统的边界把自己同周围的外界物质分开； ➢ 系统边界既可以固定不动，也可以运动，而且系统的
形状和系统所占据的空间都可以随时间发生变化； ➢ 可以透过系统边界和外界有功和热量的交换,但绝无质
5.2雷诺输运定理
CVIII
CVI
I
dA1
t
n
II III
u dA3
CVII
u
n
t t
考虑到dA面和vn的方向,并认为流出体系所在空间对应
பைடு நூலகம்
体积的流量为正,则单位时间流出微元面的N值为
(vndA) v dS
S的方向按CV的表面外法线方向计
4.3.3雷诺输运定理
CVIII
CVI
I
dA1
t
n
II III
流体的密度,微体积的质量
A1, t to
dm d
则有ms d s
y
x
5.1.1体系
进一步把式中的参数用流动参数表达也来,则得到关于流 体封闭体系的质量守恒方程. 这种分析方法就称为体系分析法
但是,由于运动中的流体系统将产生由移动、转动和变形 运动等组成的复杂运动，长时间难以追踪得到，甚至在 紊流流动状态由于流体的混沌，严格讲要辨认哪些流体 仍否属于原来的流体系统都成了问题.
这种分析方法就称为 控制体分析法
控制体与体系的区别
名称
定义
边界特性
适用
体系
物质的集 有力、能交换， 拉格朗
合
无质量交换
日法
控制体
雷诺输运定理
第四章 流体动力学基础
4.1系统和控制体，雷诺输运定理 4.2对控制体的流体力学积分方程 4.3微分形式的连续方程 4.4粘性流体中的应力 4.5微分形式的动量方程
动力学三大方程
质 量
推
连 续
三 大
守 恒
广
方 程
守 恒 定
能 量
到
能 量
守 恒
流
方 程
律
动体
动
量
量
守中
方
恒
程
4.1系统和控制体，雷诺输运定理
理论力学 工程热力学
研 究
质点、质点系和刚体
对 象
闭口系统或开口系统
均以确定不变的物质集合作为研究对象！
（1）系统
在流体力学中，系统，也称体系，是指某一确定流 体质点集合的总体。
系统随流体运动而运动，其边界把系统和外界分开， 系统边界的形状和所包围的空间大小随运动而变化。 在系统的边界上，没有流体流入或流出，即系统与外 界没有质量交换，始终由同一些流体质点组成。但可 以通过边界与边界发生力的作用和能量的交换。
DV Dt
=
V t
+ (V )V
如何用欧拉变量表达式来表示 对系统体积分的物质导数？
借助雷诺输运定理
雷诺输运定理的推导：
图示的有限大小的控制体V，表面积为A,同时把这个控制体取为t 时刻的体系，即Ⅰ和Ⅱ两块。
t+△t时刻，体系移动到了新位置，即为图中的Ⅰ和Ⅱ两块组成， 而控制体依然在原位。令N表示流体输运的该体系中的
单位时间内控制体内流体质量的增加量与流出控制体的 流体质量之和等于零。
★对于均质不可压流体： const
则
d 0
t CV
4.1系统和控制体，雷诺输运定理 4.2对控制体的流体力学积分方程 4.3微分形式的连续方程 4.4粘性流体中的应力 4.5微分形式的动量方程
动力学三大方程
质 量
推
连 续
三 大
守 恒
广
方 程
守 恒 定
能 量
到
能 量
守 恒
流
方 程
律
动体
动
量
量
守中
方
恒
程
4.1系统和控制体，雷诺输运定理
理论力学 工程热力学
研 究
质点、质点系和刚体
对 象
闭口系统或开口系统
均以确定不变的物质集合作为研究对象！
（1）系统
在流体力学中，系统，也称体系，是指某一确定流 体质点集合的总体。
系统随流体运动而运动，其边界把系统和外界分开， 系统边界的形状和所包围的空间大小随运动而变化。 在系统的边界上，没有流体流入或流出，即系统与外 界没有质量交换，始终由同一些流体质点组成。但可 以通过边界与边界发生力的作用和能量的交换。
DV Dt
=
V t
+ (V )V
如何用欧拉变量表达式来表示 对系统体积分的物质导数？
借助雷诺输运定理
雷诺输运定理的推导：
图示的有限大小的控制体V，表面积为A,同时把这个控制体取为t 时刻的体系，即Ⅰ和Ⅱ两块。
t+△t时刻，体系移动到了新位置，即为图中的Ⅰ和Ⅱ两块组成， 而控制体依然在原位。令N表示流体输运的该体系中的
单位时间内控制体内流体质量的增加量与流出控制体的 流体质量之和等于零。
★对于均质不可压流体： const
则
d 0
t CV
《工程流体力学》第五章 理想流体多维流动基础
5)控制面上法向速度Vn：以控制面外法线方向为正
动量方程变为：
6)推导上述方程时：假设为理想流体 实际流体：有粘性 一般粘性系数：很小 紧靠物体表面附面层内流体：必须考虑粘性 附面层以外流体：可按理想流体处理 求流体与物体之间作用力时：仍可用动量方程
流体与物体之间法向压力和切向粘性力总和：
二、微分形式动量方程：
规定逆时针为正 规定顺时针为负
类推可得，对三维流动：
矢量形式旋转角速度：
流体微团运动一般由四种基本运动复合而成
由泰勒级数展开，并略去高阶小量： 上式改写为：
—— 亥姆霍兹速度分解定理
ห้องสมุดไป่ตู้
第三节 有旋流动：
两种形式： 1)集中涡：肉眼可看出流体在旋转，如龙卷风，旋涡等 2)数学涡：肉眼看不到，但由速度分布，可算出
=单位时间内体系随流物理量N进入区域III的数量 =单位时间内从控制体流出的随流物理量
A出 — 从控制体表面 流出的流体所 穿过控制面的 面积
— 穿出控制面流速
=单位时间内流进控制体的流体所带进随流物理量N数量
A进 — 从控制体表面 流进的流体所 穿过控制面的 面积
但随流物理量总是正的 在积分前加负号
一、涡线、涡管： 旋涡场：把角速度矢量场作为研究对象来研究流体运动 涡线：某一瞬时曲线上每一点的角速度矢量方向都与该处 曲线切线方向相同
涡管：在旋涡场中任取一条封闭曲线 (不是涡线) ，通过曲线上每一点作一 条涡线，所有涡线形成的管形曲面
二、速度环量： 速度环量：流场中流动速度沿给定封闭曲线的线积分
质点A速度矢量： 质点A速度分量：(VAx, VAy)
B点速度分量：
D点速度分量：
C点速度分量：
流体力学第五章_不可压粘性流体的一元流动
2
5.2 粘性流体管内流动的伯努利方程
粘性流体总流的伯努利方程
如图，χ是微元体截面的周长， 沿流线运动方程写为
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as
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fs
A
p s
ds
ds
a
s
u
u s
，
fs
g z s
s
z
p
g
u2 2g
gA
0
沿流线积分，取
非圆截面管道
hf
l
d
V2 2g
式中，d取水力直径 d=4过流面积/湿周长
水力半径定义： R=过流面积/湿周长＝d/4
30
水力直径举例：
园管：
R 2
d 4
2R d
2R
方形管： d 4 H B 2 H B
2(H B) H B
环形管：
d
4 (R12 R22 ) 2R1 2R2
S2 S1
gA
ds
h' w
，得
3
z1
p1
g
V2 1
2g
z2
p2
g
V2 2
2g
h' w
此即为粘性流体的伯努利方程。
hw’表示单位重量的流体从上游运动到下游机械能 的减少量。 粘性总流的伯努利方程：
z1
p1
g
1
V12 2g
z2
p2
g
5.2 粘性流体管内流动的伯努利方程
粘性流体总流的伯努利方程
如图，χ是微元体截面的周长， 沿流线运动方程写为
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A
p s
ds
ds
a
s
u
u s
，
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s
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u2 2g
gA
0
沿流线积分，取
非圆截面管道
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l
d
V2 2g
式中，d取水力直径 d=4过流面积/湿周长
水力半径定义： R=过流面积/湿周长＝d/4
30
水力直径举例：
园管：
R 2
d 4
2R d
2R
方形管： d 4 H B 2 H B
2(H B) H B
环形管：
d
4 (R12 R22 ) 2R1 2R2
S2 S1
gA
ds
h' w
，得
3
z1
p1
g
V2 1
2g
z2
p2
g
V2 2
2g
h' w
此即为粘性流体的伯努利方程。
hw’表示单位重量的流体从上游运动到下游机械能 的减少量。 粘性总流的伯努利方程：
z1
p1
g
1
V12 2g
z2
p2
g
流体动力学
∑ Fzi = ρ (β 2υ 2 z q2 − β1s，d1＝100mm， d2=75mm,d3=50mm,不计损失， 求水头高度H和M点压强。 解：出口流速：
H
q 4q u3 = = = 2 A3 π d 3 4 × 14 × 10 2 π × 0 . 05
2 2
d2 4 ρH v [1 − ( ) ] = 2 gb ( − 1) d1 ρ
2 2
v2 =
ρH 2 gb ( − 1) ρ
d2 4 1− ( ) d1
=
2 × 9 . 8 × 0 . 1(13 .6 − 1) 1 − (15 / 30 ) 4
v 2 = 5 . 132 m / s
q=
π d 22
α
ξ
v2
q2
η
v1
q1
令：β = 1
v
A
α
由动量方程：
Σ Fη i = 0 = ρ q1v − ρ q 2 v − ρ qv cos α
q1 − q 2 = q cos α v 2 q2 由连续性方程：q1 + q 2 = q
ξ
q 5 × 0 . 008 ∴ q1 = (1 + cos α ) = (1 + 0 . 5 ) = 0 . 03 m 3 / s 2 2 5 × 0 . 008 q q 2 = (1 − cos α ) = (1 − 0 . 5 ) = 0 . 01 m 3 / s 2 2
q = ∫ udA
A
2R
( 平均流速： 平均流速： m / s, m / min)
u
v = q/ A
一维流动： 一维流动：流体的动力参数均是坐标的一元函数 二维流动（平面）、三维流动（空间） ）、三维流动 二维流动（平面）、三维流动（空间） 封闭容器中液体的流动按一维流动处理
H
q 4q u3 = = = 2 A3 π d 3 4 × 14 × 10 2 π × 0 . 05
2 2
d2 4 ρH v [1 − ( ) ] = 2 gb ( − 1) d1 ρ
2 2
v2 =
ρH 2 gb ( − 1) ρ
d2 4 1− ( ) d1
=
2 × 9 . 8 × 0 . 1(13 .6 − 1) 1 − (15 / 30 ) 4
v 2 = 5 . 132 m / s
q=
π d 22
α
ξ
v2
q2
η
v1
q1
令：β = 1
v
A
α
由动量方程：
Σ Fη i = 0 = ρ q1v − ρ q 2 v − ρ qv cos α
q1 − q 2 = q cos α v 2 q2 由连续性方程：q1 + q 2 = q
ξ
q 5 × 0 . 008 ∴ q1 = (1 + cos α ) = (1 + 0 . 5 ) = 0 . 03 m 3 / s 2 2 5 × 0 . 008 q q 2 = (1 − cos α ) = (1 − 0 . 5 ) = 0 . 01 m 3 / s 2 2
q = ∫ udA
A
2R
( 平均流速： 平均流速： m / s, m / min)
u
v = q/ A
一维流动： 一维流动：流体的动力参数均是坐标的一元函数 二维流动（平面）、三维流动（空间） ）、三维流动 二维流动（平面）、三维流动（空间） 封闭容器中液体的流动按一维流动处理
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5.1.1体系
参看右图: t to瞬间,选定的流体系统处 于A1标注的位置,在t to dt 瞬间, 流体系统将占据A2标注的 位置.
A2 , t to dt
z
A1 , t to
从流体系统的质量守恒定律 来看,该系统的质量始终等于 常数.
y
x
5.1.1体系
设系统的质量为m, 质量守恒 定律的数学表达式即是 :
这种分析方法就称为体系分析法
但是,由于运动中的流体系统将产生由移动、转动和变形 运动等组成的复杂运动，长时间难以追踪得到，甚至在 紊流流动状态由于流体的混沌，严格讲要辨认哪些流体 仍否属于原来的流体系统都成了问题.
5.1.1体系
况且,在不少流体力学问题中,往往关心的是在流体流经 的物体上产生了多大的力,或多高的温度等,而并不关心 一个流体系统整个运动历程如何.
雷诺输运定理:某瞬间控制体内的流体所构成的体系, 它所具有的物理量的随流导数,等于同一瞬间控制体 中所含同一随流物理量的增加率(右面第一项,体积分) 与该物理量通过控制面的净流出率(右面第二项,面 积分)之和
5.2雷诺输运定理
CVIII CVI I
dA1
II
u
dA3
III
n
u
t
n
t t
( N 2 )t+ t ( N 2 )t 第一项:lim t 0 t
CVII
N 2 N1 2 d =CV t ( )d t CV t t
5.2雷诺输运定理
CVIII CVI I
dA1
II
u
dA3
III
n
u
t
n
t t
CVII
同理N3 d v dS t CV 3 t t CS 3
5.2雷诺输运定理
CVIII CVI I
5.1.2控制体
如图, 它是分析管流时可选择的一个控制体:管壁是控制 面的部分,而两端面的控制面是假想的.
流体可以通过两端的控制面流入流出控制体.
一旦选择好控制体,它就不再改变.把适用于一个流体体 系的各个物理定律,比如质量守恒定律,用有关控制体的 流动参数表达也来,则得到关于控制体的质量守恒方程.
CVIII CVI I
dA1
II
u
dA3
III
n
u
t
n
t t
CVII
用N1表示在 t时间内通过CS1面进入到CV1体积中的N值
N1 d v dS t CV 1 t t CS1 因其为流入的N 值, 取为负号
这种分析方法就称为 控制体分析法
控制体与体系的区别
名称 体系 定义 物质的集 合 边界特性 有力、能交换， 无质量交换 适用 拉格朗 日法
控制体
固定在空 间的一个 体积
有力、能、质 量交换
欧拉法
如何将适用于体系的牛顿定律等应用于控制体?
5.2雷诺输运定理
设N 是分布在质量或体积上某个物理量,随流动输 运,称之为随流物理量,比如可以代表质量m,动量 P和能量E等.单位流体质量所具有的N 值,用符号 代表,有:
所以要找到适用于一个针对于固定空间位置的研究方法
5.1.2控制体
什么是控制体? 是由选定的、几何上封闭的界面（称为控制面） 所围的空间体，相对于坐标系固定不变。 控制面可以是物体的壁面或者是假想的界面，与 外界不仅可以透过控制面的功和能量的交换，而 且允许有质量的交换（又称开口系统）。 控制体的形状，大小可视问题的需要而变化，可 以是有限体积大小的控制体，也可以是微元控制 体。
5.2雷诺输运定理
CS1 CS3
I
t
II
III
t t
当dt0时，II区与原控制体体积相同，I区为CS1面流进 的物理量，III区为CS3面流出的物理量.
5.2雷诺输运定理
CVIII CVI I
dA1
II
u
dA3
III
n
u
t
n
t t
CVII
如图所示的dA微元面上, 流体法向速度为vn , 则流体在单位 时间内流过dA面的体积通量为 vn dA
dms 0, 式中脚注s代表分析 dt 的对象是一个流体体系.
A2 , t to dt
如d 是系统的微体积元, 是 z 流体的密度,微体积的质量 dm d 则有ms d
s
A1 , t to
y
x
5.1.1体系
进一步把式中的参数用流动参数表达也来,则得到关于流 体封闭体系的质量守恒方程.
CVII
5.2雷诺输运定理
CVIII CV CS
t
CVI I
dA1
II
u
dA3
III
n
u
n
t t
CVII
DN s 于是: ( )d v dS Dt t CV CS
5.2雷诺输运定理
DN s ( )d v dS Dt CV t CS
该系统始终由一定量的物质组成； 系统的边界把自己同周围的外界物质分开； 系统边界既可以固定不动，也可以运动，而且系统的 形状和系统所占据的空间都可以随时间发生变化； 可以透过系统边界和外界有功和热量的交换,但绝无质 量的交换。
5.1.1体系
按物质系统的这些要求，当把上述基本物理 定律应用到运动流体时，势必要追踪一个选 定的流体系统的整个运动历程不可. 这样的物质系统称为体系,又称“闭口系统”
5.2雷诺输运定理
CVIII CVI I
dA1
II
u
dA3
III
n
u
t
n
t t
v dS v dS t ( N 3 )t+ t ( N1 )t CS 3 CS1 第二项: lim lim t 0 t 0 t t v dS t CS v dS lim t 0 t CS
5.2雷诺输运定理
CVIII CVI I
dA1
II
u
dA3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
III
n
u
t
n
t t
CVII
考虑到dA面和vn的方向,并认为流出体系所在空间对应 体积的流量为正,则单位时间流出微元面的N值为 (vndA) v dS
S的方向按CV的表面外法线方向计
4.3.3雷诺输运定理
dA1
II
u
dA3
III
n
u
t
n
t t
CVII
DN s ( N 2 N3 )t+ t ( N1 N 2 )t 于是: lim t 0 Dt t ( N 2 )t+ t ( N 2 )t ( N3 )t+ t ( N1 )t lim lim t 0 t 0 t t
5.1控制体和系统 5.2雷诺输运方程
前面解决了流体运动的表示方法,但要在流体上应 用物理定律还有困难. 欧拉方法描述的对象是空间的点,而牛顿定律的研 究对象必须是质量不变的确定物体. 这需要一些转化方法,本节来解决这个问题.
5.1.1 体系
什么是体系? 在力学和热学中，基本物理定律适用的对象是一 个选定的物质系统,具有以下特征:
如N m, 1; 如N P, v
dN dm
1 2 如N E , v u, u为比内能. 2
5.2雷诺输运定理
CV CS
u u
t
t t
按上图中所选的控制体来推导雷诺输运定理
在t时刻,选取图中所示的控制体(用CV表示),同一时刻, 取与图示控制体重合的流体作为选定的体系(表面用CS 表示)
t t时刻体系因运动偏离原位置,而控制体留在原地.
5.2雷诺输运定理
CVIII CVI I
t
II
III
体系的N 值为 : N s dm d
s s
CVII
从t到t t时刻,体系物理量的变化为:
dNs＝Ns(t+dt)-Ns(t)=[NIII(t+dt)+NII(t+dt)]-[NI(t)+NII(t)] =[NII(t+dt)- NII(t)]+NIII(t+dt)-NI(t)