2018中考冲刺专题—隐形圆模型基本类型图形解读与应用
2018中考专题复习 隐圆在几何最值问题中的应用 课件(共11张PPT)
若∠ACB为锐角， 则C点在两段优弧AB上
若∠ACB为直角，则C点在半圆AB上
C
若∠ACB为钝角， 则C点在两段劣弧AB上
如图，边长为3的等边△ABC，D、E分别为边BC、AC上 的两个动点，且BD＝CE，AD、BE交于P点，求P点的运 动路径长？并求CP的最小值？
∟
C
C1600Aຫໍສະໝຸດ B600C2
已知线段AB=4，线段外一点C，满足∠ACB=900 , 问题四：若I点为△ABC的内心，求I点的运动路径长？
C1
I1
A
B
I2
C2
P
450
O
A
1350
B
I2
方法总结：AB为定线段，线段AB外一点C与A、B两端点形成的张角 固定（即∠ACB=θ），则点C在以AB为弦的圆上运动（不与A、B重合）
探究隐圆 在几何最值 问题 中的 作用
已知线段AB=6，平面内一点C，满足∠ACB=900 ,
问题一：根据以上信息，你能得到什么结论？
问题二：求C点的运动路径长？
问题三：求△ABC面积的最大值？
C
C
∟
A
B
A
B
O
运动路径长：6π
Smax=9
已知线段AB=6，平面内一点C，满足∠ACB=600，情况又如何？
A
O P’ E
P
B
D
C
有些数学问题,将圆隐藏在已知条件里，隐晦地考查点圆、线 圆、圆圆的位置关系。解题时，需要我们通过分析探索，发现这 些隐圆，做到图中无圆，心中有圆，通过慧眼识圆，从而利用圆 内的丰富的性质来解题，是我们这节课的主要用意。
初中数学冲刺重难点： 隐圆问题的7种模型
初中数学冲刺重难点：隐圆问题的7种模型初中数学中的隐圆问题是一个较为复杂的概念，涉及多种模型。
以下是七种常见的隐圆模型：模型一：动点到定点的距离等于定长在这个模型中，一个动点到一个固定点的距离始终等于一个定长。
这个模型可以通过在圆上任意选择一个点，并连接该点和圆心，形成一个半径，然后通过旋转半径来寻找符合条件的点。
模型二：定点到动点的距离随动点的移动而变化在这个模型中，一个定点到另一个动点的距离会随着动点的移动而不断变化。
这个模型可以通过在圆上选择一个定点，并连接该点和圆心，形成一个半径，然后移动半径来寻找符合条件的点。
模型三：直角所对的直径在这个模型中，一个直径所对的圆周角必须是直角。
这个模型可以通过在圆上选择一个点，并连接该点和圆心，形成一个直径，然后通过旋转直径来寻找符合条件的点。
模型四：四点共圆在这个模型中，四个点都在同一个圆上。
这个模型可以通过在圆上选择四个点，并连接这四个点形成一个四边形，然后通过旋转四边形的边来寻找符合条件的点。
模型五：三角形外接圆在这个模型中，一个三角形有三个顶点，这三个顶点都在同一个圆上。
这个模型可以通过在圆上选择三个点，并连接这三个点形成一个三角形，然后通过旋转三角形的边来寻找符合条件的点。
模型六：圆与多边形的内切与外接在这个模型中，一个圆与一个多边形相切或相离。
这个模型可以通过在圆上选择一个点，并连接该点和圆心，形成一个半径，然后通过旋转半径来寻找符合条件的点。
模型七：两圆相交、相切、相离在这个模型中，两个圆相交、相切或相离。
这个模型可以通过在两个圆上分别选择两个点，并连接这两组对应点形成两个直径，然后通过旋转直径来寻找符合条件的点。
初中数学《隐形圆》模型梳理与题型分类含答案解析
隐形圆(4大模型与6类题型)第一部分【模型梳理与题型目录】隐形圆模型是初中数学中的重要知识点，常用于解决一些看似没有直接使用圆的知识但实际上需要运用圆的性质来解决的问题，隐形圆常常用于解决最值问题.本专题梳理了隐形圆四大模型，供大家参考使用.【模型1】 定点定长模型【模型分析】(1)出现共端点、等线段时，可以利用圆的定义构造辅助圆；(2)如图1，若OA=OB =OC，则A、B、C在以O为圆心，OA为半径的圆上.由圆周角定理可得：∠ABC= 1∠AOC,∠ACB=12∠AOB,∠BAC=12∠BOC.2图1【模型2】 90°圆周角模型【模型分析】如图2，在△ABC中，∠C=90°，点C为动点，则点C的轨迹是以AB为直径的⊙O (不包含A、B两点)．注：作出辅助圆是关键，计算时结合求点圆、线圆、最值等方法进行相关计算．图2应用：常用于解决直角三角形中动点的轨迹问题。
【模型3】 定弦定角模型【模型分析】固定的线段只要对应固定的角度，那么这个角的顶点轨迹为圆的一部分．如图①，在⊙O中，若弦AB长度固定，则弦AB所对的圆周角都相等；(注意：弦AB所对的劣弧(AB)上也有圆周角，需要根据题目灵活运用)如图②，若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C大小固定，根据圆的知识可知点C不唯一．当∠C<90°时，点C在优弧上运动；当∠C=90°时，点C在半圆上运动，且线段AB是⊙O的直径；当∠C >90°时，点C在劣弧上运动．【模型4】四点共圆模型【模型分析】在四边形ABCD中，若∠A+∠C=1800，则A、B、C、D在圆O上，称之为A、B、C、D四点共圆.图3应用：常用于解决四点共圆的问题，如角度相等、线段最值等问题.【题型1】定点定长模型......................................................3;【模型2】 90°圆周角模型...................................................6;【题型3】定弦定角模型.....................................................11；【题型4】四点共圆模型.....................................................15；【题型5】直通中考.........................................................20；【题型6】拓展延伸.........................................................23.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】 定点定长模型1.(23-24九年级上·福建福州·期末)如图，在等边△ABC中，AB=4，D，E分别是边AB,BC上的动点(不与△ABC的顶点重合)，连接AE,CD相交于点F，连接BF，若∠BDF+∠BEF=180°，则BF的最小值为．【433/433【∠BDF +∠BEF =180°，∠DFE =120°，∠AFC =120°，F 在以O 为圆心OA 的长为半径∠AOC =120°的圆弧上运动OA ,OC ,OB ,OF ，OA =OC =OF ,BF ≥OB -OF ，△AOB ≌△COB ，△AOB 为含30度角的直角三角形进行求解即可．解∵等边△ABC ，∴∠ABC =60°，AB =BC ，∵∠BDF +∠BEF =180°，∴∠DFE +∠ABC =360°-∠BDF +∠BEF =180°，∴∠DFE =120°，∴∠AFC =120°，∴点F 在以O 为圆心OA 的长为半径∠AOC =120°的圆弧上运动OA ,OC ,OB ,OF ，OA =OC =OF ,BF ≥OB -OF ，∵AB =BC ，OB =OB ,OA =OC ，∴△AOB ≌△COB ，∴∠ABO =∠CBO =12∠ABC =30°，∠AOB =∠BOC =12∠AOC =60°，∴∠BAO =90°，∴BO =2AO ，AB =3AO =4，∴AO =433，∴BO =2OA =833，OF =AO =433，∴BF ≤433，BF 的最小值为433；故答案为433．【30度角的直角三角形一点到圆上一点的最值F 的运动轨迹．2.(24-25九年级上·全国·课后作业)如图，P 是边长为1的正方形ABCD 内的一个动点，且满足∠PBC +∠PDC =45°，则CP 的最小值是()A.2-2B.12C.22D.2-1【答案】D【分析】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆周角定理，在凹四边形BCDP中，求出∠BPD=135°，得点P在运动过程中，使得∠BPD=135°，即点P在正方形ABCD内，以A为圆心，AB长为半径的圆弧上，如解图，连接AP，AC，当A、P、C三点共线时，CP取得最小值，最小值为AC-AP，求出AC和AP的长度，即可得到结果，解本题的关键是证明∠BPD是定值，从而得到点P的轨迹．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，在凹四边形BCDP中，∵∠BCD=90°，∠PBC+∠PDC=45°，∴∠BPC+∠CPD=360°-∠BCD-(∠PBC+∠PDC)=225°，∴∠BPD=360°-(∠BPC+∠CPD)始终为135°，得点P在运动过程中，使得∠BPD=135°，即点P在正方形ABCD内，以A为圆心，AB长为半径的圆弧上，如解图，连接AP，AC，，由解图可得AP+CP≥AC，当A、P、C三点共线时，CP取得最小值，最小值为AC-AP，在Rt△ABC中，∵AB=BC=1，∴AC=AB2+BC2=2，∵AP=AB=1，∴CP最小=AC-AP=2-1，故选：D．3.(24-25九年级上·江苏宿迁)如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF=4，点G是EF的中点，AG、CG，则四边形AGCD面积的最小值为()A.30B.32C.35D.38【答案】D【分析】首先连接AC，BG，证明G在以B为圆心，2为半径的圆弧上，过B作BH⊥AC于H，当G在BH 上时，△ACG面积取最小值，此时四边形AGCD面积取最小值，再进一步解答即可．解：连接AC，BG，∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，S矩形=48，∵EF=4，G为EF的中点，∴BG=12EF=2，∴G在以B为圆心，2为半径的圆弧上，过B作BH⊥AC于H，当G在BH上时，△ACG面积取最小值，此时四边形AGCD面积取最小值，四边形AGCD面积=三角形ACG面积+三角形ACD面积，即四边形AGCD面积=三角形ACG面积+24．设圆弧交BH于G ，此时四边形AGCD面积取最小值，由勾股定理得：AC=62+82=10，∵1 2AC⋅BH=12AB⋅BC，∴BH=4.8，∴G H=2.8，即四边形AGCD面积的最小值=12×10×2.8+24=38．故选：D．【点拨】本题考查了勾股定理及矩形中的与动点相关的最值问题，圆的确定，解题的关键是利用直角三角形斜边的直线等于斜边的一半确定出G点的运动轨迹．【题型2】 90°圆周角模型4.(2024·湖南娄底·一模)如图，正方形ABCD的边长为a，点E、F分别在BC、CD上，且BE=CF，AE与BF相交于点G，连接CG，则CG的最小值为．【答案】5-1 a2【分析】本题考查了正方形的性质，圆周角定理，勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握90°的圆周角所对的弦是直径是解答本题的关键．通过证明△ABE ≌△BCF SAS ，可证∠AGB =90°，则点G 在以AB 为直径的一段弧上运动，当点G 在OC 与弧的交点处时，CG 最短，然后根据勾股定理求出OC 的长即可求解．解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC =∠BCF =90°，AB =BC =a ，∴在△ABE 和△BCF 中，AB =BC∠ABC =∠BCFBE =CF∴△ABE ≌△BCF SAS ，∴∠BAE =∠CBF ，∵∠ABF +∠CBF =90°，∴∠ABF +∠BAE =90°，∴∠AGB =90°，∴点G 在以AB 为直径的一段弧上运动，设AB 的中点为O ，则当点G 在OC 与弧的交点处时，CG 最短，∵AB =a ，∴OB =OG =a 2，∴OC =a 2 2+a 2=52a ，∴CG=OC -OG =5-1 a 2，故答案为：5-1 a 2．5.(23-24九年级下·山东日照)如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点F 是正方形内一点，连接CF ,DF ，且∠ADF =∠DCF ，点E 是AD 边上一动点，连接EB ,EF ，则EB +EF 长度的最小值为()A.13-1B.10-1C.10D.5+1【答案】A【分析】根据正方形的性质得到∠ADC=90°，推出∠DFC=90°，得到点F在以CD为直径的半圆上移动，如图，设CD的中点为O，正方形ABCD关于直线AD对称的正方形ADC B ，则点B 的对应点是B，连接B O交AD于E，交半圆O于F，线段B F的长即为EB+EF的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，∴∠ADF+∠CDF=90°，∵∠ADF=∠DCF，∴∠DCF+∠CDF=90°，∴∠DFC=90°，∴点F在以CD为直径的半圆上移动，如图，设CD的中点为O，正方形ABCD关于直线AD对称的正方形ADC B ，则点B 的对应点是B，连接B O交AD于E，交半圆O于F，线段B F的长即为EB+EF的长度最小值，OF=1，∵∠C =90°,B C =C D =CD=2，∴OC =3，∴OB =B C 2+OC 2=13，∴B F=13-1，∴FD+FE的长度最小值为13-1，故选：A．【点拨】此题考查了正方形的性质，圆周角定理，轴对称的性质，点的运动轨迹，勾股定理，最小值问题，正确理解点的运动轨迹是解题的关键．6.(24-25九年级上·广东深圳·开学考试)如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE= DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为1，则线段DH长度的最小值是()A.52-1 B.5-12C.52D.5-1【答案】B【分析】由SAS可判定△ABE≌△DCF，由全等三角形的性质得∠ABE=∠DCF，同理可证∠DCG=∠DAG，由角的和差得∠AHB=90°，取AB的中点O，连接OH，H的运动轨迹为以O为圆心，OH=1 2AB=12为半径的半圆，当O、H、D三点共线时，DH最小，即可求解．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=CD=1，∠BAE=∠CDF=90°，∠ADG=∠CDG，∵∠BAH+∠DAG=90°，在△ABE和△DCF中，AB=CD∠BAE=∠CDFAE=DF，∴△ABE≌△DCF(SAS)，∴∠ABE=∠DCF，在△ADG和△CDG中，AD=CD∠ADG=∠CDGDG=DG，∴△ADG≌△CDG(SAS)，∴∠DCG=∠DAG，∴∠ABE=∠DAG，∴∠ABE+∠BAH=90°，∴∠AHB=90°，如下图，取AB的中点O，连接OH，∴OA=12，∴H的运动轨迹为以O为圆心，OH=12AB=12为半径的半圆，如图，当O、H、D三点共线时，DH最小，∴OD=OA2+AD2=122+12=52，∴DH=OD-OH=52-1 2=5-12；故选：B．【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征，圆外一点到圆上任一点距离的最值等；能找出动点的运动轨迹及取得最小值的条件，熟练利用勾股定咯求解是解题的关键．【题型3】 定弦定角模型7.(22-23九年级上·江苏南京·阶段练习)如图，CD是△ABC的高，若AB=2，∠ACB=45°，则CD长的最大值为()A.1+2B.4-2C.2D.4【答案】A【分析】在AB上方作以AB为斜边的等腰直角三角形△AOB，根据“定线段对定角度”确定点C在以O为圆心，OA长为半径的圆上运动，当CD经过圆心时CD最长，再计算即可．解：在AB上方作以AB为斜边的等腰直角三角形△AOB，∵∠ACB=45°∴点C在以O为圆心，OA长为半径的圆上运动，∵AB=2，∴OA=OC=2，当CD经过圆心时CD最长∵CD是△ABC的高，∴AD=BD=OD=1AB=12此时CD=OC+OD=2+1，故选：A．【点拨】本题考查几何最值问题，解题的关键是确定点C在以O为圆心，OA长为半径的圆上运动．8.(20-21九年级上·江苏无锡·期末)如图，在平面直角坐标系中，动点A、B分别在x轴上和函数y=x的图象上，AB=4，CB⊥AB，BC=2，则OC的最大值为()A.22+2B.22+4C.25D.25+2【答案】A【分析】根据y=x与x轴的夹角为45°，以AB为斜边作等腰直角三角形，连接AD,CD,OD，则∠DBC= 45°，根据勾股定理求得DB的长，进而证明△DCB是直角三角形，求得DC的长，根据OD+DC≥OC，即可求得OC的最大值解：如图，以AB为斜边作等腰直角三角形，连接AD,CD,OD，∵y=x与x轴的夹角为45°，∴∠AOB=45°=1∠ADB2∴A,O,B在⊙D上，∵AB=4，∠ADB=90°，∴BD=AD=22，∴∠ABD=45°∵BC⊥AB∴∠CBA=90°∴∠CBD=45°∴△BCD中BC=2,BD=22,∠CBD=45°过点C作CE⊥BD于点E，如图则BE=CE=2=DE∴CD=CB=2∵OD+DC≥OC∴当O,D,C三点共线时，OC取得最大值，最大值为OD+DC=DB+DC=22+2故选A【点拨】本题主要考查了勾股定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，找到⊙D是解决本题的关键．9.(19-20九年级上·浙江宁波·期末)如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=2，点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PBC=∠PCA，则线段AP长的最小值为()A.0.5B.2-1C.2-2D.13【答案】C 【分析】先计算出∠PBC +∠PCB =45°，则∠BPC =135°，利用圆周角定理可判断点P 在以BC 为弦的⊙O 上，如图，连接OA 交BC 于P ′，作BC 所对的圆周角∠BQC ，利用圆周角定理计算出∠BOC =90°，从而得到△OBC 为等腰直角三角形，四边形ABOC 为正方形，所以OA =BC =2，OB =2，根据三角形三边关系得到AP ≥OA -OP (当且仅当A 、P 、O 共线时取等号，即P 点在P ′位置)，于是得到AP 的最小值.解：解：∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠ACB =45°，即∠PCB +∠PCA =45°，∵∠PBC =∠PCA ，∴∠PBC +∠PCB =45°，∴∠BPC =135°，∴点P 在以BC 为弦的⊙O 上，如图，连接OA 交BC于P ′，作BC 所对的圆周角∠BQC ，则∠BCQ =180°-∠BPC =45°，∴∠BOC =2∠BQC =90°，∴△OBC 为等腰直角三角形，∴四边形ABOC 为正方形，∴OA =BC =2，∴OB =22BC =2，∵AP ≥OA -OP (当且仅当A 、P 、O 共线时取等号，即P 点在P ′位置)，∴AP 的最小值为2-2．故选：C ．【点拨】本题考查了圆周角定理及等腰直角三角形的性质.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.【题型4】四点共圆模型10.(22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =∠D =90°，连接AC ，点F 为边CD 上一点，连接BF 交AC 于点E ，AB =AE ，∠FGC +∠FBG =90°，∠BFG +2∠GFC =180°，若AD =722，BG =4，则CG 的长为．【答案】8【分析】延长BA 与CD 的延长线相交于点H ，证明∠FGC =∠ABF ，∠GFC =∠BFD ，由三角形内角和定理得到∠H=∠ACB，BH=BC，进一步得到∠H=∠DAH=45°，则AD=DH=722，由勾股定理得到AH=AD2+DH2=7，证明点C、G、E、F四点共圆，如图，连接EG，证明CE=CG，设CE=CG=x，则BH=BC=4+x，AE=AB=x-3，AC=2x-3，由勾股定理得AB2+BC2=AC2，即x-32+x+42 =2x-32，解方程即可得到答案．解：延长BA与CD的延长线相交于点H，∵∠FGC+∠FBG=90°，∠FBG+∠ABF=∠ABC=90°∴∠FGC=∠ABF，∵∠BFG+2∠GFC=180°，∠BFG+∠BFD+∠CFG=180°，∴2∠GFC=∠BFD+∠CFG，∴∠GFC=∠BFD，∵∠H+∠ABF+∠BFD=180°=∠ACB+∠FGC+∠GFC，∴∠H=∠ACB，∵∠ABC=90°，∴∠H=∠ACB=45°，BH=BC，∵∠ADH=90°，∴∠H=∠DAH=45°，∴AD=DH=722，∴AH=AD2+DH2=7，∵AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，∵∠FGC=∠ABE，∠CEF=∠AEB，∴∠FGC=∠CEF，∴点C、G、E、F四点共圆，如图，连接EG，∴∠GFC=∠CEG，∠BFD=∠CGE，∵∠GFC=∠BFD，∴∠CGE=∠CEG，∴CE=CG，设CE=CG=x，则BH=BC=BG+CG=4+x，∴AE=AB=BH-AH=x+4-7=x-3，∴AC=AE+CE=x-3+x=2x-3，由勾股定理得，AB2+BC2=AC2，∴x-32+x+42=2x-32，解得x=-1(不合题意，舍去)或x=8，∴CG=8，故答案为：8【点拨】此题考查了等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、四点共圆、圆周角定理、圆内接四边形的性质、解一元二次方程等知识，关键在于等腰直角三角形的判定和性质与证明四点共圆．11.(24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习)如图，等边三角形ABC中，AB=5,P为AB边上一动点，PD⊥BC ,PE ⊥AC ，垂足分别为D ,E 则DE 的最小值为．【答案】154【分析】如图，连接PC ，取CP 的中点O ，连接OE ，OD ，过点O 作OH ⊥DE 于H ，首先证明△ODE 是顶角为120°的等腰三角形，当OE 的值最小时，DE 的值最小，即可求出PC 的最小值．解：如图，连接PC ，取CP 的中点O ，连接OE ，OD ，过点O 作OH ⊥DE 于H ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，AB =BC =AC =5，∵PD ⊥BC ，PE ⊥AC ，∴∠PEC =∠PDC =90°，∵OP =OC ，∴OE =OP =OC =OD ，∴C 、D 、P 、E 四点共圆，∴∠EOD =2∠ECD =120°，∴当OE 的值最小时，DE 的值最小，根据垂线段最短可得，当CP ⊥AB 时，PC =532，此时OE 最小，OE =534，∵OE =OD ，OH ⊥DE ，∴DH =EH ，∠DOH =∠EOH =60°，∴∠OEH =30°，∴OH =12OE =538，∴DH =EH =OE 2-OH 2=158，∴DE =2DH =154，∴DE 的值最小为154，故答案为：154．【点拨】本题考查了四点共圆、垂线段最短、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；正确判断当CP ⊥AB 时OE 最小是解题的关键．12.(23-24九年级下·江苏南京·阶段练习)如图，在△ABC 中，∠ACB =90°,AC =BC =2，点P 是射线AB 上一动点，∠CPD =90°，且PC =PD ，连接AD 、CD ，则AD +CD 的最小值是．【答案】25【分析】取AC中点H，连接DH交AB于点G，连接BD,PH，当DH⊥AC时，DH有最小值，此时易得△ACD是等腰三角形，推出AD=CD，即AD,CD有最小值，则AD+CD有最小值，此时根据∠AHD=∠CHD=∠ACB=90°，推出DH∥BC，设CD中点为O，根据∠CHD=∠CPD=90°，易得点C,H,P,D在以点O为圆心CD为直径的圆上，易得∠CHP+∠PDC=180°，由∠ABC=45°，易得此时点B在圆O上，进而推出∠CBD+∠CPD=180°，则∠CBD=90°，得到四边形BCHD是矩形，即HD=BC=2，利用勾股定理即可计算出CD的最小值，进而得出结果．解：取AC中点H，连接DH交AB于点G，连接BD,PH，当DH⊥AC时，DH有最小值，∵点H是AC中点，DH⊥AC，∴△ACD是等腰三角形，∴AD=CD，∵AH,CH是定值，DH有最小值时，即AD,CD有最小值，则AD+CD有最小值，∵∠AHD=∠CHD=∠ACB=90°，∴DH∥BC，设CD中点为O，∵∠CHD=∠CPD=90°，∴点C,H,P,D在以点O为圆心CD为直径的圆上，∴∠CHP+∠PDC=180°，∵∠ABC=45°，∴此时点B在圆O上，∴∠CBD+∠CPD=180°，∴∠CBD=90°，∵DH∥BC，∴四边形BCHD是矩形，∴HD=BC=2，∵HC=1AC=1，2在Rt△CHD中，∴CD=CH2+HD2=5，∴AD+CD的最小值为2CD=25，故答案为：25．【点拨】本题考查勾股定理求最短距离，圆周角定理，四点共圆，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正确作出辅助线，证明四点共圆是解题的关键．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考1.(2023·山东泰安·中考真题)如图，在平面直角坐标系中，Rt △AOB 的一条直角边OB 在x 轴上，点A 的坐标为(-6，4)；Rt △COD 中，∠COD =90°，OD =43，∠D =30°，连接BC ，点M 是BC 中点，连接AM ．将Rt △COD 以点O 为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM 的最小值是()A.3B.62-4C.213-2D.2【答案】A【分析】如图所示，延长BA 到E ，使得AE =AB ，连接OE ，CE ，根据点A 的坐标为(-6，4)得到BE =8，再证明AM 是△BCE 的中位线，得到AM =12CE ；解Rt △COD 得到OC =4，进一步求出点C 在以O 为圆心，半径为4的圆上运动，则当点M 在线段OE 上时，CE 有最小值，即此时AM 有最小值，据此求出CE 的最小值，即可得到答案．解：如图所示，延长BA 到E ，使得AE =AB ，连接OE ，CE ，∵Rt △AOB 的一条直角边OB 在x 轴上，点A 的坐标为(-6，4)，∴AB =4，OB =6，∴AE =AB =4，∴BE =8，∵点M 为BC 中点，点A 为BE 中点，∴AM 是△BCE 的中位线，∴AM =12CE ；在Rt △COD 中，∠COD =90°，OD =43，∠D =30°，∴OC =33OD =4，∵将Rt △COD 以点O 为旋转中心按顺时针方向旋转，∴点C 在以O 为圆心，半径为4的圆上运动，∴当点M 在线段OE 上时，CE 有最小值，即此时AM 有最小值，∵OE =BE 2+OB 2=10，∴CE 的最小值为10-4=6，∴AM 的最小值为3，故选A ．【点拨】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角形中位线定理，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．2.(2022·广西柳州·中考真题)如图，在正方形ABCD中，AB=4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为．【答案】25-2【分析】如图，由EG=2，确定E在以G为圆心，半径为2的圆上运动，连接AE，再证明△ADE≌△CDF (SAS)，可得AE=CF，可得当A，E，G三点共线时，AE最短，则CF最短，再利用勾股定理可得答案．解：如图，由EG=2，可得E在以G为圆心，半径为2的圆上运动，连接AE，∵正方形ABCD，∴AD=CD,∠ADC=90°，∴∠ADC=∠EDF=90°，∴∠ADE=∠CDF，∵DE=DF，∴△ADE≌△CDF(SAS)，∴AE=CF，∴当A，E，G三点共线时，AE最短，则CF最短，∵G位BC中点，BC=AB=4，∴BG=2，此时AG=BG2+AB2=22+42=25，此时AE=25-2，所以CF的最小值为：25-2.故答案为：25-2【点拨】本题考查的是正方形的性质，圆的基本性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟练的利用圆的基本性质求解线段的最小值是解本题的关键．2、拓展延伸3.(2022·辽宁抚顺·中考真题)如图，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，点E是边AD上一动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接GF．当GF最小时，AE的长是．【答案】55-5【分析】根据动点最值问题的求解步骤：①分析所求线段端点(谁动谁定)；②动点轨迹；③最值模型(比如将军饮马模型)；④定线段；⑤求线段长(勾股定理、相似或三角函数)，结合题意求解即可得到结论．解：①分析所求线段GF端点：G是定点、F是动点；②动点F的轨迹：正方形ABCD的边长为10，点E是边AD上一动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接GF，则BF=BA=10，因此动点轨迹是以B为圆心，BA=10为半径的圆周上，如图所示：③最值模型为点圆模型；④GF最小值对应的线段为GB-10；⑤求线段长，连接GB，如图所示：在RtΔBCG中，∠C=90°，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，则CG=5,BC=10，根据勾股定理可得BG=CG2+BC2=52+102=55，当G、F、B三点共线时，GF最小为55-10，接下来，求AE的长：连接EG，如图所示=SΔEDG+SΔBCG+根据翻折可知EF=EA,∠EFB=∠EAB=90°，设AE=x，则根据等面积法可知S正方形SΔBAE+SΔBEG，即100=12DE⋅DG+12BC⋅CG+12AB⋅AE+12BG⋅EF=1 2510-x+5×10+10x+55x整理得5+1x=20，解得x=AE=205+1=205-15+15-1=55-5，故答案为：55-5．【点拨】本题考查动点最值下求线段长，涉及到动点最值问题的求解方法步骤，熟练掌握动点最值问题的相关模型是解决问题的关键．4.(2024·内蒙古兴安盟·二模)如图，在正方形ABCD中，点M，N分别为AB，BC上的动点，且AM= BN，DM，AN交于点E，点F为AB的中点，点P为BC上一个动点，连接PE，PF，若AB=4，则PE +PF的最小值为．【答案】210-2【分析】证明△DAM≌△ABN SAS，则∠ADM=∠BAN，∠AED=90°，如图，取AD的中点O，则E在以O为圆心，AD为直径的圆上运动，作F关于BC对称的点F ，连接PF ，连接OF 交⊙O于E ，则PF = PF，由PE+PF=PE+PF ，可知当O、E 、P、F 四点共线时，PE+PF最小为E F ，由勾股定理得，OF =AF 2+OA2=210，根据E F =OF -OE ，求解作答即可．解：∵正方形ABCD，∴AD=AB，∠DAM=∠ABN=90°，又∵AM=BN，∴△DAM≌△ABN SAS，∴∠ADM=∠BAN，∴∠ADM+∠DAE=∠BAN+∠DAE=90°，∴∠AED=90°，如图，取AD的中点O，则E在以O为圆心，AD为直径的圆上运动，作F关于BC对称的点F ，连接PF ，连接OF 交⊙O于E ，∴PF =PF，∴PE+PF=PE+PF ，∴当O、E 、P、F 四点共线时，PE+PF最小为E F ，由勾股定理得，OF =AF 2+OA2=62+22=210，∴E F =OF -OE =210-2，故答案为：210-2．【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，90°圆周角所对的弦为直径，轴对称的性质，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，90°圆周角所对的弦为直径，轴对称的性质，勾股定理是解题的关键．。
2018中考专题复习 隐圆在几何最值问题中的应用 课件(共11张PPT) (1)
找线段，求张角； 定弦定角画隐圆 找路径，求最值； 圆的知识来帮忙
若∠ACB为锐角， 则C点在两段优弧AB上
若∠ACB为直角， 则C点在半圆AB上
C
若∠ACB为钝角， 则C点在两段劣弧AB上
如图，边长为3的等边△ABC，D、E分别为边BC、AC上 的两个动点，且BD＝CE，AD、BE交于P点，求P点的运
探 究 隐 圆
在 几 何 最 值 问 题 中 的 作 用
已知线段AB=6，平面内一点C，满足∠AC能得到什么结论？ 问题二：求C点的运动路径长？ 问题三：求△ABC面积的最大值？
C
C
A
B
A
运动路径长：6π
Smax=9
∟
O
B
已知线段AB=6，平面内一点C，满足∠ACB=600，情况又如何？
动路径长？并求CP的最小值？
A
O P’
P B D C E
如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF,连接CF 交BD与点G, 连接BE交AG与点H,若正方形的边长为2，求线段DH长 度的最小值？
C
C1
600 ∟
A
B
600
C2
已知线段AB=4，线段外一点C，满足∠ACB=900 ,
问题四：若I点为△ABC的内心，求I点的运动路径长？
P
450
C1
I1 A
I2
O
B
A
1350
B
I2
C2
方法总结：AB为定线段，线段AB外一点C与A、B两端点形成的张角 固定（即∠ACB=θ），则点C在以AB为弦的圆上运动（不与A、B重合）
中考数学隐形圆的九大模型
中考数学隐形圆的九大模型中考的数学考题，一直都是考生苦恼的焦点，而圆的相关试题，尤其是隐形圆的题目，也是一个比较头疼的难题。
为了帮助考生解决这一难题，数学专家为大家总结出了中考数学隐形圆的九大模型。
一、抛物线模型。
这种模型中，将隐形圆以抛物线的形式表示出来，可以用简单的方法求出圆心与半径，节省许多时间。
二、正弦模型。
这种模型中，将隐形圆以正弦函数的形式表示出来，可以用简单的方法求出圆心与半径，节省许多时间。
三、双曲线模型。
这种模型中，将隐形圆以双曲线的形式表示出来，可以用简单的方法求出圆心与半径，节省许多时间。
四、重点矩形模型。
这种模型中，将隐形圆以重点矩形的形式表示出来，可以用简单的方法求出圆心与半径，节省许多时间。
五、直角三角形模型。
这种模型中，将隐形圆以直角三角形的形式表示出来，可以用简单的方法求出圆心与半径，节省许多时间。
六、双曲线椭圆模型。
这种模型中，将隐形圆以双曲线椭圆的形式表示出来，可以用简单的方法求出圆心与半径，节省许多时间。
七、正弦余弦模型。
这种模型中，将隐形圆以正弦余弦的形式表示出来，可以用简单的方法求出圆心与半径，节省许多时间。
八、三角函数模型。
这种模型中，将隐形圆以三角函数的形式表示出来，可以用简单的方法求出圆心与半径，节省许多时间。
九、双曲线抛物线模型。
这种模型中，将隐形圆以双曲线抛物线的形式表示出来，可以用简单的方法求出圆心与半径，节省许多时间。
在上述九大模型中，受到数学老师们的青睐的模型包括抛物线模型，正弦模型，双曲线模型，重心矩形模型，直角三角形模型，双曲线椭圆模型，正弦余弦模型，三角函数模型，双曲线抛物线模型。
这些模型都很简单易懂，可以借鉴，更可以助力考生在数学考试中取得更高的成绩。
说到应用，上述的九大模型的应用也是多方面的，除了考试外，在工程实践中也大有用处。
例如，在构建建筑物时，可以结合上述九大模型来计算隐形圆，从而获得更加精准的结果；在科学实验中，也可以借助上述九大模型来计算隐形圆，以便得到准确的实验数据，更好地了解实验结果。
中考数学隐形圆专题含答案
类型一：定点到动点定长点A为定点，点B为动点，AB为定长，则点B的轨迹为圆心为点A，半径为AB的圆。
【经典例题1】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F 是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是___.【解析】如图所示：当∠BFE=∠B′EF，点B′在DE上时，此时B′D的值最小，根据折叠的性质，△EBF≌△EB′F，∴EB′⊥B′F，∴EB′=EB，∵E是AB边的中点，AB=4，∴AE=EB′=2，∵AD=6，∴DE=1022622=+，∴B′D=102−2.练习1-1如图③，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点E 是AB 边上一点，且AE=2，点F 是BC 边上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G ，连接AG 、CG ，四边形AGCD 的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF 的长度。
若不存在，请说明理由。
【解析】（3）如图3，△四边形ABCD 是矩形，△CD=AB=3，AD=BC=4，△ABC=△D=90°，根据勾股定理得，AC=5， △AB=3，AE=2，△点F 在BC 上的任何位置时，点G 始终在AC 的下方，设点G 到AC 的距离为h ，△S 四边形AGCD =S △ACD +S △ACG =21AD×CD+21AC×h=21×4×3+21×5×h=25h+6， △要四边形AGCD 的面积最小，即：h 最小，△点G 是以点E 为圆心，BE=1为半径的圆上在矩形ABCD 内部的一部分点， △EG△AC 时，h 最小，由折叠知△EGF=△ABC=90°，延长EG 交AC 于H ，则EH△AC ，在Rt△ABC 中，sin△BAC=AC BC =54， 在Rt△AEH 中，AE=2，sin△BAC=AE EH =54， △EH=54AE=58，△h=EH -EG=58-1=53 △S 四边形AGCD 最小=25h+6=25×53+6=215． 练习1-2如图，等边△ABC 的边AB=8，D 是AB 上一点，BD=3，P 是AC 边上一动点，将△ADP 沿直线DP 折叠，A 的对应点为A'，则CA'的长度最小值是 .【解析】2练习1-3如图，在平行四边形ABCD 中，△BCD =30°，BC =4，CD=M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△AMN ，连接A'C ，则A'C 长度的最小值是 .【解析】如图，连接MC ；过点M 作ME△CD ，交CD 的延长线于点E ；△四边形ABCD 为平行四边形，△AD△BC ，AD=BC=4，△点M 为AD 的中点，△BCD=30△，△DM=MA=2，△MDE=△BCD=30△， △ME=21DM=1，DE=3， △CE=CD+DE=43，由勾股定理得：CM 2=ME 2+CE 2，第4题图AB C DA'M N△CM=7;由翻折变换的性质得：MA′=MA=2，显然，当折线MA′C 与线段MC 重合时，线段A′C 的长度最短，此时A′C=7−2=5，故答案为5.练习1-4如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60∘，点M 是AD 边的中点，点N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN ，连结A′C ，则A′C 长度的最小值是( ) A. 7 B. 7−1 C. 3 D. 2【解析】如图所示：∵MA′是定值，A′C 长度取最小值时，即A′在MC 上时， 过点M 作MF ⊥DC 于点F ，∵在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60∘，M 为AD 中点，∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60∘，∴∠FMD=30∘，∴FD=21MD=21，∴FM=DM×cos30∘=23， ∴MC=722=+CF FM ，∴A′C=MC−MA′=7−1.故选：B.变式：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F 在边AC 上，并且CF=2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是_____解题思路：同上题，不难看出点P 的运动轨迹为以点F 为圆心，PF 为半径的圆上运动，求点P 到AB 的距离最小，可过点F 作AB 的垂线于点M ，交圆 F 于点P ，此时，最小值为PM 。
中考复习讲义： 数学”隐形圆”问题-秒杀隐形圆六大技巧 (1)
中考数学”隐形圆”问题-秒杀隐形圆六大技巧一、圆的两个定义:1.圆的描述性定义: 如图所示, 在一个平面内, 线段OA绕它固定的一个端点旋转一周, 另一个端点A所形成的图形叫做圆.其中固定的端点O叫做圆心, 线段OA叫做半径.2.集合性定义: 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的的图形（形成的轨迹）叫做圆.二、利用圆的概念“找定点寻定长现圆形”题目: （2018西工大附中七模14）例1.如图1-3所示, 在¨ABCD中, AB=6,BC=8,P为BC边上一动点.以直线AP为对称轴将ΔABP翻折得到ΔAB’P,当DB’最小时, 线段CP长为.方法: 找定点寻定长现圆形.在翻转中A点始终固定不变为定点, 而翻转后AB的长也固定不变, 所以AB为定长.则B’的运动轨迹是以A为圆心AB为半径的圆, 如图1-3-1所示, 当点A.B’、D在一条直线上时DB’最小, 最小值为DB’’.可计算得: DB’的最小值为2二、共点的两条线段为定长问题例2.如图2-1所示, 点A为线段BC外一动点, 且BC=8, AB=5.（1）当点A位于时, 线段AC的长取得最大, 最大值为.（2）当点A位于时, 线段AC的长取得最小, 最小值为.（3）当线段BC和AB满足什么位置关系时, SΔABC面积最大.方法总结:当两条线段定长共点时, 可固定其中一线段, 然后以公共点为圆心, 以另一定长线段为半径画圆.简析: 如图2-1-1（1）线段AC最大时, 点A在A1点, 为8+5=13（2）线段AC最小时, 点A在A2点, 为8-5=3（3）因为BC固定, 点A位于A3时, 点A到BC之间的距离最大, 所以当AB⊥BC时, SΔABC面积最大.巩固练习:1.已知四边形ABCD中, AD+DB+BC=16,则四边形ABCD面积的最大值为.2.（1）发现如图2-2, 点A为线段BC外一动点, 且BC=a, AB=b.当点A位于时, 线段AC的长取得最大, 最大值为（用含a, b的式子表示）；（2）应用点A为线段BC外一动点, 且BC=3, AB=1.如图2-3所示, 分别以AB, AC 为边, 作等边△ABD和等边△ACE,连接CD, BE.①请找出图中与BE相等的线段, 并说明理由；②直接写出BE长的最大值.（3）拓展如图2-4, 在平面直角坐标系中, 点A的坐标为（2, 0）点B的坐标（5, 0）, 点P为线段AB外一动点, 且PA=2, PM=PB, ∠BPM=90°.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.3.如图2-5,如果四边形ABCD中, AD=BC=6,点E、F、G分别是AB.BD.AC的中点, 那么ΔEGF面积的最大值为.三、共点的三条线段为定长问题1.如图3-1所示, 已知AB=AC=AD, ∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44o,则∠CAD的度数为.2.如图3-2所示, 在四边形ABCD中, DC//AB,BC=1,AB=AC=AD=2,BD= .提示: 如图3-2-1所示.四、见直角找斜边（定长）想直径定外心显圆形知识联想:直径所对的圆周角等于90o；反过来90o的圆周角所对的弦是直径.故取斜边中点O为圆心, 以OC长为半径作圆.直角顶点的运动轨迹是圆.例1: （2018西工大附中六模14）如图4-2, 在边长为3的正方形ABCD中, 点E、F分别是边BC、CD上的点, 且AF⊥EF,则AE的最小值.对应练习:1.如图4-3, 在等腰RtΔABC中, ∠ACB=90o,AC=BC=4,点D为线段AC上一动点, 连接BD, 过点C作CH⊥BD于点H, 连接AH, 则AH的最小值为.五、定角定边模型——构造圆问题:如图5-1所示, 已知定线段AB, 在平面上找到所有的点C, 使∠ACB=60o.（请用尺规作图, 保留痕迹）作图方法:1.作AB的垂直平分线2.再作∠ABD=30o,连接AO.（其实质是作圆心角∠AOB=120o）3.以点O为圆心, 以OA为半径画圆,除过A.B两点外圆上任意一点即为C 点.即∠ACB=60o.例: （2018交大附中七模14）如图5-2,已知四边形ABCD中, AD=2,∠B=∠D=60o, 对角线AC⊥AD, 则BD 的最大值为.对应练习:1.如图,在四边形ABCD中, AB=BC,∠ABC=60o,∠ADC=75o,对角线BD=2,则四边形ABCD的面积的最小值为.（此题为旋转+定边定角）六、对角互补的四边形构造圆若平面上四点连成四边形的对角互补则这四点共圆.例: 1（2018西工大附中四模14）如图6-2, 在边长为12的菱形ABCD中, 对角线AC、BD交于点O, ∠BAO=60O,点E为AB上一动点, 过点E作EP⊥AD于点P, EQ//AC交BD于点Q, 连接PQ, ΔDPQ周长的最小值是.对应练习:1.如图, 在ΔABC中, ∠ACB=120o,AC=BC=2,点D是AB边上动点, 连接CD, 将ΔBCD绕点C顺时针旋转至ΔACE, 连接DE, 则ΔADE面积的最大值是.。
中考数学专题《隐形圆解析》
D
E O
C
B
取 CB 中点 M，所以 E 点轨迹是以 M 为圆心、CB 为直径的圆弧．
A
D
E O
CM
B
连接 AM，与圆弧交点即为所求 E 点，此时 AE 值最小， AE AM EM 102 22 2 2 26 2 ．
A
E
C
M
B
【2019 园区一模】如图，正方形 ABCD 的边长为 4，动点 E、F 分别从点 A、C 同时出发，
C
M
E
A
O
B
【寻找定边与直角】如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB =90°，BC=4，AC=10，点 D 是 AC 上的 一个动点，以 CD 为直径作圆 O，连接 BD 交圆 O 于点 E，则 AE 的最小值为_________．
A
D
O
E
C
B
【分析】连接 CE ，由于 CD 为直径，故∠CED=90°，考虑到 CD 是动线段，故可以将此 题看成定线段 CB 对直角∠CEB ．
A
D
O
P
F
B
E
C
连接 OC，与圆的交点即为 P 点，再通过勾股定理即可求出 PC 长度． 思路概述：分析动点形 成原理，通常“ 非直即圆” （不是直线就 是圆），接下来可以 寻找与动 点相关有无定直线与定 角．
【2013 武汉中考】如图，E 、F 是正方形 ABCD 的边 AD 上的两个动点，满足 AE =DF，连 接 CF 交 BD 于点 G，连接 BE 交 AG 于点 H，若正方形边长为 2，则线段 DH 长度的最小 值是________．
A
O
B
【辅助圆+相切】如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB =90°，∠B=30°，AB =4，D 是 BC 上一动点， CE ⊥AD 于 E ，EF⊥AB 交 BC 于点 F，则 CF 的最大值是_________．
中考数学隐形圆的九大模型
中考数学隐形圆的九大模型中考数学考试中，考查学生对隐形圆及其相关知识的理解程度，是一项重要的内容，因此，系统掌握隐形圆的九大模型十分必要。
第一，常用的坐标圆。
通过坐标圆的方式，能够方便的表示出隐形圆的概念，并可以进行更加细致的理解隐形圆的形式特点，以便进一步掌握隐形圆的相关知识。
第二，根系模型。
根系模型可以把隐形圆看作由相互分离的多项式构成，可以更加具体地解析隐形圆的形式特点，有助于更深入理解隐形圆。
第三，椭圆方程模型。
椭圆方程模型可以很好地反映出隐形圆的形态，这也是中考数学考试中，最常考到的模型之一，易于理解，并可以用于高中数学教学和中考数学考试等。
第四，经典及改进的隐形圆绘图方法。
经典的隐形圆绘图方法是比较容易理解的，改进的隐形圆绘图方法可以更加细致地刻画出隐形圆的形态，有助于对隐形圆的掌握。
第五，隐形圆的统计表示方法。
这种方法可以很好的把数据转换成表格，通过表格查看隐形圆的形态特点，可以更加清晰地理解隐形圆。
第六，图形表示方法。
这种表示方法可以利用图形的方式，将隐形圆的形态表示出来，使隐形圆的概念更加清晰，方便学生掌握隐形圆的相关知识。
第七，极坐标表示方法。
极坐标表示方法是通过参数方程把隐形圆中的点用极坐标表示出来，通过极坐标的参数推断，就可以更加清楚的研究隐形圆的形状及性质。
第八，正弦模型。
通过正弦模型，可以把隐形圆中的点表示成不断变化的正弦曲线，加深对隐形圆的理解，掌握隐形圆的相关知识。
第九，圆的参数方程模型。
参数方程模型可以把隐形圆中的点用参数方程描述出来，这有助于找出隐形圆的特性，理解隐形圆的形状。
在中考数学中，隐形圆的考查是一个重要的内容，只有掌握九大模型，才能对隐形圆有更加全面的理解，从而考试时才能做到胸有成竹、有把握，可以取得较好的成绩。
总之，九大模型是理解并掌握隐形圆的重要途径，只有系统掌握九大模型，学生才能在中考数学中更好的发挥自己的能力，取得满意的成绩。
模型 隐形圆问题梳理(附PPT)
例 2：已知圆C ： x 32 y 42 1，点 A(m,0)，
点 B(m,0) ， m 0 ， 若 圆 C 上 存 在 点 P ， 使 得
APB 90o，则m的范围是___________． 解：由APB 90o可得点P在以 AB为直径的圆上，
其方程为 x2 y2 m2，且与圆 x 32 y 42 1有
2
2
所以2 2 m 2 2 ．
变式 1：在平面直角坐标系中，已知点 A0,2，
B1,1， P 为圆 x2 y2 2上一动点，则 PB 的最大
PA 值是________．
解：设P x, y，则x2 y2 2，
PB
2
PA
x 12 y 12 x2 y 22
x2 y2 2x 2y 2 x2 y2 4y 4
直线l1与直线l2垂直，所以点P在以 AB为直径的圆上，
圆心C 1,1，半径r 2 ，其方程为 x 12 y 12 2
因为圆心C 到直线x y 4 0的距离为 d 4 2 2 ，所以点P到直线x y 4 0的距离的
2 最大值为2 2 2 3 2 ．
变式 2：在直角坐标系中，已知点P(1,0)，点Q(2,1)， 直线l ：ax by c 0，其中a ，b，c成等差数列， 点 P 在直线l 上的射影为 H ，则线段QH 的取值范围 是____________．
CD2 11 2sin2
P
C
D
Q O
CD2
1
1
2
1 CD2
CD2
2 CD2
3．
因为OD 2 3 ，所以CD 3,3 3 ，
所以CD2 3,27．
因为CD2
2 CD2
3在3,27上单调递增，
中考数学压轴题隐形圆及最值问题
专题18 隐形圆及最值问题本文主要从以下四个方面去介绍：一、从圆的定义构造圆（折叠类问题）二、定边对直角三、定边对定角四、四点共圆一、从圆的定义构造圆（折叠类问题）圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．1、几个点到某个定点距离相等可用圆（定点为圆心，相等距离为半径）例：如图，若AB＝OA＝OB＝OC，则∠ACB的大小是_______例：如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为__________2、动点到定点距离保持不变的可用圆（先确定定点，定点为圆心，动点到定点的距离为半径）例：木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（）如图，在Rt ABCBC=，点F在边AC上，并且2AC=，8CF=，点E为∆中，90C∠=︒，6边BC上的动点，将CEF∆沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是．二、定边对直角知识回顾：直径所对的圆周角是直角．构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．图形释义：PPABOP例：若AB是一条定线段，且∠APB=90°，则P点轨迹是以AB为直径的圆．如图，在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，8AC=cm，3BC=cm．D是BC边上的一个动点，连接AD，过点C作CE AD⊥于E，连接BE，在点D变化的过程中，线段BE的最小值是（）A．1 B．3C．2 D．5例：如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（）A2B2πC3D．2π三、定边对定角在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．定边必不可少，而直角则可一般为定角．例如，AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆．PPA BP例：（2018•日照）如图，已知点(1,0)A-，(3,0)B，(0,1)C在抛物线2y ax bx c=++上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使PBC∆面积为1；（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使BQC BAC∠=∠？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．ABCDE若平面上A、B、C、D四个点满足ABD ACD∠=∠=90︒，则A、B、C、D在以AD中点E为圆心、EA长为半径的圆上（可证EA EB EC ED===）．EDCBA若平面上A、B、C、D四个点满足ABC ADC∠=∠=90︒，则A、B、C、D在以AC中点E为圆心、EA为半径的圆上（可证EA EB EC ED===）．若平面上A、B、C、D四个点满足ADB ACB∠=∠，则A、B、C、D四点共圆．证明条件：线段同侧张角相等．ODC BA若平面上A 、B 、C 、D 四个点满足ABC ADC ∠+∠=180︒，则A 、B 、C 、D 四点共圆． 证明条件：1．四边形对角互补； 2．四边形外角等于内对角．两条线段被一点分成（内分或外分）两段长的乘积相等，则这两条线段的四个端点共圆．四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于H ， 若AH CH BH DH ⋅=⋅，则A B C D 、、、四点共圆.四边形ABCD 的对边BA 、CD 的延长线交于P ， 若PA PB PD PC ⋅=⋅，则A B C D 、、、四点共圆.例题1： 如图1，在四边形ABCD 中，98DAC ∠=︒，82DBC ∠=︒，70BCD ∠=︒，BC AD =，则ACD ∠=______________．（2）如图2，在ABC △的边AB 、AC 上分别取点Q 、P ，使得12PBC QCB A ∠=∠=∠．求证：BQ CP =．QPC BA图1 图2例：如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AB ＝4cm ，CD 是中线，点E 、F 同时从点D 出发，以相同的速度分别沿DC 、DB 方向移动，当点E 到达点C 时，运动停止，直线AE 分别与CF 、BC 相交于G 、H ，则在点E 、F 移动过程中，点G 移动路线的长度为（ ）MABCP QDCABH OBCDAPBACDA．2 B．πC．2πD．2 2π圆中最值问题方法总结：圆中求最值的方法：(在圆中，注意圆的半径长为定值，要围绕半径构造模型解题)①结合半径，利用垂线段最短直接构造直角三角形求解，如T1，T2；②根据圆的对称性，将线段转换到一起，再利用两点之间线段最短求解，如T3，T10；③利用直径是圆中最长的弦求解，如T5；④寻找隐含条件(如中位线、直角三角形斜边上的中线等)，构造直角三角形或隐圆解题，如T6，T9.1．如图，等边ABC∆的边长为2，A的半径为1，D是BC上的动点，DE与A相切于E，DE的最小值是()A．1B．2C．3D．22．如图，在O中，弦1AB=，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD OC⊥交O于点D，则CD的最大值为．3．如图点A 是半圆上一个三等分点（靠近点N 这一侧），点B 是弧AN 的中点，点P 是直径MN 上的一个动点，若O 半径为3，则AP BP +的最小值为 ．4．如图，ABC ∆是O 的内接三角形，且AB 是O 的直径，点P 为O 上的动点，且60BPC ∠=︒，O 的半径为6，则点P 到AC 距离的最大值是 ．5．如图，AC 是O 的弦，5AC =，点B 是O 上的一个动点，且45ABC ∠=︒，若点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，则MN 的最大值是 ．6．如图，在平面直角坐标系中，已知(3,4)C ，以点C 为圆心的圆与y 轴相切．点A 、B 在x 轴上，且OA OB =．点P 为C 上的动点，90APB ∠=︒，则AB 长度的最大值为 ．7．已知点A是圆心为坐标原点O且半径为3的圆上的动点，经过点(4,0)B作直线l x⊥轴，点P是直线l上的动点，若45∆的面积的最大值为．∠=︒，则BOPOPA8．如图，已知O的半径为m，点C为直径AB延长线上一点，BC m=．过点C任作一直线l，若l上总存在点P，使过P所作的O的两切线互相垂直，则ACP∠的最大值等于．9．如图，P是矩形ABCD内一点，4AD=，AP BPAB=，2⊥，则当线段DP最短时，CP=．10．如图，AB是O的直径，点C、D是O上的点，且//OD BC，AC分别与BD、OD 相交于点E、F．（1）求证：点D为AC的中点；（2）若6AB=，求DF的长；CB=，10（3）若O的半径为2，80+的最DOA∠=︒，点P是线段AB上任意一点，试求出PC PD小值．。
2018年中考冲刺专题——隐形圆模型压轴题集训
2018年中考冲刺专题——隐形圆模型压轴题集训11.25.（本题满分12份）问题探究在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O.探究1：如图（1），若点P为对角线BD上任意一点，则线段AP的长的取值范围为_________；探究2：如图（2），若点是△ABC内任意一点，点M、N分别是AB边和对角线AC上的两个动点，则当AP的值再探究1中的取值范围内变化时，△PMN的周长是否存在最小值？如果存在，请求出△PMN的最小值；若不存在，请说明理由；问题解决如图（3），在边长为4的正方形ABCD中，点P是△ABC内任意一点，且AP=4，点M、N分别是AB边和对角线AC上的两个动点，则当△PMN的周长取到最小值时，求四边形AMPN面积的最大值.1225.（本题满分12分）探究发现（1）如图（1），等边三角形OAB，试在△OAB所在的平面内找一个点P，使得∠APB=30°；（2）如图（2），在△BCP中，BC=2，∠P=30°，点A为BP上一点，且∠BAC=60°，试求出△ABC 周长的最大值；解决问题（3）如图（3），矩形ABCD是李叔叔家菜地的示意图，其中AB=60米，AD=70米，李叔叔准备在菜地中修建一个鱼塘（四边形EFGH），已知点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，并要求保持F 为AB的中点，EF=60米，∠EFG=60°，∠GHE=120°，为了容纳更多的垂钓者，要求这个四边形鱼塘的周长尽可能大，你认为你叔叔的想法能够实现吗？若能，请求出四边形EFGH周长的最大值；若不能，请说明理由.1325（本题满分12分）有一块矩形铁皮ABCD，AB=3，BC=（1）如图（1），在矩形铁皮ABCD上找一点E，使得△AEB为等边三角形，并求出△AEB的面积；（2）如图（2），在矩形铁皮ABCD上找出所有使得∠AFB=45°的点F，并求出△AFB的最大面积；（3）如图（3），工人师傅想用这块矩形铁皮ABCD裁剪出两块全等且面积最大的△AMB和△CND，且∠AMB=∠CND=30°，请在图中画出符合条件的点M、N，并求出此时△AMB的面积.1425（本题满分12分）（1）如图（1），已知BD为矩形ABCD的对角线，请作出点A到BD的最短距离；（2）如图（2），在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，矩形EMQG为△ABC的一个内接矩形，EG交DB于点F，过点F作FN⊥BC于点N，延长GE交DC于点P，则四边形PCNF的面积和四边形EMQG的面积有什么关系？请说明理由.（3）如图（3），在△ABC中，AC=4，BC=6，∠ACB=30°，矩形EMQG为△ABC的一个内接矩形（点M、Q在边BC上，点E、G分别在边AC、AB上）.在图（3）中画出对角线MG最短的矩形EMQG，请说明理由，并求出此时MG的长.1625.（本题满分12分）问题探究（1）如图（1），在等腰直角三角形ABC中，AB=4，探究△ABC的边上及其内部是否存在一点P，使得∠APB=2∠ACB.若存在，请求出△ABP面积的最大值；若不存在，请说明理由；问题解决（2）如图（2），在△ABC中，AB=4，∠ACB=30°，点P是平面内一点，且∠APB=2∠ACB，请在图中作出满足条件的所有点P，并求出△ABP面积的最大值；（3）如图（3），在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，B（4,0），点C在y轴的正半轴上，且∠ACB=30°，在坐标平面内是否存在一点P，使得∠CPB=2∠ACB，且△CBP的面积以及周长取得最大值？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.1725.（本题满分12分）问题探究（1）如图（1），△ABC为等边三角形，请在△ABC外找一点P，使得∠BPC=30°；.若存在，请求出△ABP面积的最大值；若不存在，请说明理由；（2）如图（2），在矩形ABCD（AD足够长）的内部找一点Q，使得∠AQB=30°；问题解决（3）如图（3），在矩形ABCD中，AB=4，AD=，则在边CD上是否存在一点H，∠AHB=30°？若存在，请求出HC的长；若不存在，请说明理由.1825.（本题满分12分）（1）如图（1），点EF分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，则BE、EF、FD之间的数量关系为______________；（2）如图（2），若AB=4，∠A=∠C=45°；请直接写出四边形ABCD面积的最大值；（3）如图（3），在菱形ABCD中，AB=4，∠A=60°，△DMN为等边三角形，如果点M、N分别在菱形ABCD的边AB、BC上运动，且点M不与点A、B重合，点N不与点B、C重合，则在点MN 运动的过程中，△BMN的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由.1925.（本题满分12分）若一个三角形的三个顶点均在一个图形的不同的边上，则称此三角形为该图形的内接三角形。
中考隐圆问题的4种模型
中考隐圆问题的4种模型
中考隐圆问题的4种模型
隐圆问题，在中考数学中是相对比较难的一个知识点，需要掌握从点或者直线的相关信息推导出圆的方程。
下面将介绍中考隐圆问题的4种模型，帮助学生理解和掌握这个难点。
模型一：点到圆心的距离恒定
这种模型，要求考生熟悉圆的基本概念和性质，例如圆心、半径等。
当一个固定点到圆心的距离与另一点到圆心的距离相等时，这两个点的坐标必然满足圆的方程。
因此，考生需要学会利用这个条件推导出圆的方程。
模型二：直线与圆交点
当一个圆与一条直线相交时，会产生2个交点。
在这种情况下，考生需要根据这2个交点的坐标推导出圆的方程。
要注意的是，由于圆对称性的存在，这2个交点必然在直线和圆心连线的中垂线上。
因此，这种模型可以简化为求直线与圆心的距离以及一个交点的坐标，再由对称性求出另外一个交点的坐标。
模型三：圆的切线
当一个直线与圆相切时，认为这个直线是圆内切线。
这种情况下，直线与圆有且仅有一个交点，考生需要根据这个交点和直线方程推导出圆的方程。
要注意的是，圆的切线和圆心的连线垂直，因此在求解过程中要利用这个性质。
模型四：两圆交点
当两个圆相交时，会产生2个交点。
在这种情况下，考生需要根据这2个交点的坐标推导出两个圆的方程。
要注意的是，两个圆的方程之间存在联立关系，因此需要利用数学知识进行解题。
总之，掌握中考隐圆问题的4种模型，是中考数学难点掌握的重要一步，可以通过刻意练习和查阅相关资料来提升对隐圆问题的理解和掌握，从而更好地应对中考数学考试。
最值模型之隐圆模型(解析版)
最值模型之隐圆模型模型一隐圆之定点定长型1、借助“隐圆”解决几何最值问题的理论依据有两个：①定圆的所有弦中，直径最长；②圆外一点与圆心的连线上，该点和此直线与圆的近交点距离最短、远交点距离最长.2、圆外的定点A与圆上动点B的距离AB的最值问题：当A、B、O三点共线时，AB有最大值或最小值。
如图2，AB最大值=OA+半径；如图3，AB最小值=OA-半径；定长模型(共顶点的三条等线段)若P为动点，但AB=AC=AP原理：圆A中，AB=AC=AP则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径备注：常转全等或相似证明出定长例题解析1如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN 沿MN所在直线翻折得到△A`MN，连接A`C，则A`C长度的最小值是．【分析】考虑△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，可得MA'=MA=1，所以A'轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧．连接CM，与圆的交点即为所求的A'，此时A'C的值最小．构造直角△MHC，勾股定理求CM，再减去A'M即可，答案为7-1．2如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=7，动点P在矩形的边上沿B→C→D→A运动．当点P不与点A、B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△AB P，连接CB ，则在点P的运动过程中，线段CB 的最小值为．【答案】11-2【思路点拨】根据折叠的性质得出B 在A为圆心，2为半径的弧上运动，进而分类讨论当点P在BC上时，当点P在DC上时，当P在AD上时，即可求解．【详解】解：∵在矩形ABCD中，AB=2,AD=7，∴BC=AD=7，AC=BC2+AB2=7+4=11，如图所示，当点P在BC上时，∵AB =AB=2∴B 在A为圆心，2为半径的弧上运动，当A,B ,C三点共线时，CB 最短，此时CB =AC-AB =11-2，当点P在DC上时，如图所示，此时CB >11-2当P在AD上时，如图所示，此时CB >11-2综上所述，CB 的最小值为11-2变式训练1如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E，F分别为AD、DC边上的点，且EF=2，G为EF的中点，P为BC边上一动点，则PA+PG的最小值为？【答案】4【简析】简单：G的运动轨迹为圆，求AP+PG典型的“将军饮马”问题，故做A关于BC的对称点A'，则AP+PG=A P+PG，当A'、P、G三点共线时，最短，又因为A 为固定点，G在圆上运动，可知当A'、G、D三点共线时，此时A'G最短，为4动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是．【分析】考虑到将△FCE沿EF翻折得到△FPE，可得P点轨迹是以F点为圆心，FC为半径的圆弧．过F 点作FH⊥AB，与圆的交点即为所求P点，此时点P到AB的距离最小．由相似先求FH，再减去FP，即可得到PH．答案为1.2.3如图，点A，B的坐标分别为A(6，0)，B(0，6)，C为坐标平面内一点，BC=22，M为线段AC的中点，连接OM，当OM取最大值时，点M的坐标为．【答案】4,4【详解】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC=22，∴C在⊙B上，且半径为22，在x轴上取OD=OA=6，连接CD，∵AM=CM，OD=OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM=1CD，2∴即当OM最大时，CD最大，而D，B，C三点共线时，即当C在DB的延长线上时，OM最大，∵OB=OD=6，∠BOD=90°，∴BD=62，∴CD=62+22=82，且C(2,8),∴OM=1CD=42，即OM的最大值为42，2∵M是AC的中点，则M(4,4)，故答案为：(4,4)．4如图，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，点E是边AD上一动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接GF．当GF最小时，AE的长是．【答案】55-5【详解】解：①分析所求线段GF端点：G是定点、F是动点；②动点F的轨迹：正方形ABCD的边长为10，点E是边AD上一动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接GF，则BF=BA=10，因此动点轨迹是以B为圆心，BA=10为半径的圆周上，如图所示：③最值模型为点圆模型；④GF最小值对应的线段为GB-10；⑤求线段长，连接GB，如图所示：在RtΔBCG中，∠C=90°，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，则CG=5,BC=10，根据勾股定理可得BG=CG2+BC2=52+102=55，当G、F、B三点共线时，GF最小为55-10，接下来，求AE的长：连接EG，如图所示根据翻折可知EF=EA,∠EFB=∠EAB=90°，设AE=x，则根据等面积法可知S正方形=SΔEDG+SΔBCG+SΔBAE+SΔBEG，即100=12DE⋅DG+12BC⋅CG+12AB⋅AE+12BG⋅EF=1 2510-x+5×10+10x+55x整理得5+1x=20，解得x=AE=205+1=205-15+15-1=55-55如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E、F分别是边AD、BC上的动点，且CF=2AE，连接EF，将四边形ABFE沿EF翻折，点A、B的对应点分别为A'、B'，连接A'D，则A'D的最小值为．【答案】73-5 3提示：连接AC交EF于点O，连接OA'、OD，作OH⊥AD于H则△AOE∽△COF∵CF=2AE，∴CO=2AO，∴A'O=AO=13AC=53∴AH=45AO=43，OH=35AO=1∴DH=AD-AH=4-43=83，OD=OH2+DH2=733∴A'D≥OD-OA'=73-5 3模型二隐圆之定长定角型(1)直角圆周角模型固定线段AB所对动角∠C恒为90°原理：圆O中，圆周角为90°所对弦是直径则A、B、C三点共圆，AB为直径备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角解题技巧：若定角为90°，取定长AB的中点O为圆心，AB的一半为半径画辅助圆。
圆中的重要模型之隐圆模型(解析版)
圆中的重要模型之隐圆模型隐圆是各地中考选择题和填空题、甚至解答题中常考题，题目常以动态问题出现，有点、线的运动，或者图形的折叠、旋转等，大部分学生拿到题基本没有思路，更谈不上如何解答。
隐圆常见形式：动点定长、定弦对直角、定弦对定角、四点共圆等，上述四种动态问题的轨迹是圆。
题目具体表现为折叠问题、旋转问题、角度不变问题等，此类问题综合性强，隐蔽性强,很容易造成同学们的丢分。
本专题就隐圆模型的相关问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1、动点定长模型(圆的定义)若P为动点，且AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．寻找隐圆技巧：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．1(2023·山东泰安·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，点A的坐标为(-6，4)；Rt△COD中，∠COD=90°，OD=43，∠D=30°，连接BC，点M是BC中点，连接AM．将Rt△COD以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM的最小值是()A.3B.62-4C.213-2D.2【答案】A【分析】如图所示，延长BA到E，使得AE=AB，连接OE，CE，根据点A的坐标为(-6，4)得到BE=8，再证明AM是△BCE的中位线，得到AM=12CE；解Rt△COD得到OC=4，进一步求出点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，则当点M在线段OE上时，CE有最小值，即此时AM有最小值，据此求出CE 的最小值，即可得到答案．【详解】解：如图所示，延长BA到E，使得AE=AB，连接OE，CE，∵Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，点A的坐标为(-6，4)，∴AB=4，OB=6，∴AE=AB=4，∴BE=8，∵点M为BC中点，点A为BE中点，∴AM是△BCE的中位线，∴AM=12CE；在Rt△COD中，∠COD=90°，OD=43，∠D=30°，∴OC=33OD=4，∵将Rt△COD以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，∴点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，∴当点M在线段OE上时，CE有最小值，即此时AM有最小值，∵OE=BE2+OB2=10，∴CE的最小值为10-4=6，∴AM的最小值为3，故选A．【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角形中位线定理，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．2(2023·广东清远·统考三模)如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，E为AC边上的任意一点，把△BCE沿BE 折叠，得到△BFE，连接AF．若BC=6，AC=8，则AF的最小值为．【答案】4【分析】本题考查翻折变换，最短路线问题，勾股定理，先确定点F的运动路线，并确定AF最小时点F所在位置F ，再求出AF 的长度即可．确定点F的运动路线是解题的关键．【详解】解：∵△BCE沿BE折叠，得到△BFE，∴BF=BC=6，∴点F在以B为圆心6为半径的圆上，设以B为圆心6为半径的圆与AB交于点F ，则BF =BC=6，AF的最小值为AF 的长；在Rt△ABC中，∵BC=6，AC=8，∴AB=BC2+AC2=62+82=10，∴AF =AB-BF =10-6=4，∴AF的最小值为4，故答案为：4．3(2022·北京市·九年级专题练习)如图，四边形ABCD中，AE、AF分别是BC，CD的中垂线，∠EAF= 80°，∠CBD=30°，则∠ABC=，∠ADC=．【答案】 40°； 60°【分析】连接AC ，根据线段垂直平分线的性质可得AB =AC =AD ，从而得到B 、C 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上，根据圆周角定理可得∠DAC =2∠DBC =60°，再由等腰三角形的性质可得，即可求解．【详解】解：连接AC ，∠DAF =∠CAF =30°∵AE 、AF 分别是BC 、CD 的中垂线，∴AB =AC =AD ，∴B 、C 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上，∵∠CBD =30°，∴∠DAC =2∠DBC =60°，∵AF ⊥CD ，CF =DF ，∴∠DAF =∠CAF =30°，∴∠ADC =60°，∵AB =AC ,BE =CE ，∴∠BAE =∠CAE ，又∵∠EAC =∠EAF -∠CAF =80°-30°=50°，∴∠ABC =∠ACE =90°-50°=40°．故答案为：40°，60°．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据题意得到B 、C 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上是解题的关键．4(2023上·江苏无锡·九年级校联考期中)如图，正方形ABCD 中，AB =6，E 是BC 的中点．以点C 为圆心，CE 长为半径画圆，点P 是⊙C 上一动点，点F 是边AD 上一动点，连接AP ，若点Q 是AP 的中点，连接BF ，FQ ，则BF +FQ 的最小值为．【答案】310-32【分析】取点B 关于直线AD 的对称点M ，连接BD 、AC 两线交于点O ，连接OQ ，CP ，MO ，过O 作ON⊥AB 于点N ，则OQ =12CP =12×3=32，所以点Q 在以O 为圆心，32为半径的⊙O 上运动，求出ON=AN =BN =12AB =3，则MN =6+3=9，由勾股定理得OM =MN 2+ON 2=92+32=310，由BF +FQ +OQ =MF +FQ +OQ ≥OM ，所以当M 、F 、Q 、O 四点共线时，BF +FQ +OQ =MF +FQ +OQ =OM =310的值最小，所以BF +FQ 的最小值为BF +FQ =OM -OQ =310-32．【详解】解：取点B 关于直线AD 的对称点M ，连接BD 、AC 两线交于点O ，连接OQ ，CP ，MO ，过O 作ON ⊥AB 于点N ，∵正方形ABCD 中，AB =6，E 是BC 的中点，∴CE =12BC =3，∵点Q 是AP 的中点，点O 是AC 的中点，∴OQ =12CP =12CE =32，∴点Q 在以O 为圆心，32为半径的⊙O 上运动，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，OA =OB ，∴ON =AN =BN =12AB =3，∵AM =AB =6，∴MN =6+3=9，∴OM =MN 2+ON 2=92+32=310，∵BF +FQ +OQ =MF +FQ +OQ ≥OM ，∴当M 、F 、Q 、O 四点共线时，BF +FQ +OQ =MF +FQ +OQ =OM =310的值最小，∴BF +FQ 的最小值为BF +FQ =OM -OQ =310-32．故答案为：310-32．【点睛】本题考查圆的有关性质的应用，正方形的性质，两点之间线段最短公理的应用，勾股定理，解题的关键是正确确定点Q 的运动路径．模型2、定边对直角模型(直角对直径)固定线段AB 所对动角∠C 恒为90°，则A 、B 、C 三点共圆，AB 为直径寻找隐圆技巧：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．5(2023·山东·统考中考真题)如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =∠BAD =90°,AB =5,AD =4,AD <BC ，点E 在线段BC 上运动，点F 在线段AE 上，∠ADF =∠BAE ，则线段BF 的最小值为．【答案】29-2/-2+29【分析】设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接OB，设OB与⊙O的交点为点F ，证明∠DFA=90°，可知点F在以AD为直径的半圆上运动，当点F运动到OB与⊙O的交点F 时，线段BF有最小值，据此求解即可．【详解】解：设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接OB，设OB与⊙O的交点为点F ，∵∠ABC=∠BAD=90°，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵∠ADF=∠BAE，∴∠DFA=∠ABE=90°，∴点F在以AD为直径的半圆上运动，∴当点F运动到OB与⊙O的交点F 时，线段BF有最小值，∵AD=4，∴AO=OF =12AD=2，，∴BO=52+22=29，BF的最小值为29-2，故答案为：29-2．【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点F的运动轨迹是解题的关键．6(2023上·江苏苏州·九年级校考阶段练习)如图，以G(0,1)为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，作CF⊥AE于点F．当点E从点B出发，顺时针旋转到点D时，点F所经过的路径长为()A.34π B.33π C.32π D.233π【答案】B【分析】连接AC，AG，AD，先由圆周角定理得到点F的运动轨迹是以AC为直径的圆上，且点O在圆上，进而得到当点E 从点B 出发，顺时针旋转到点D 时，点F 所经过的路径长为OA的长；根据勾股定理和锐角三角函数求得AC =OA 2+OC 2=23，∠ACO =30°，则OA 所对的圆心角的度数为60°，利用弧长公式求得OA 的长即可求解．【详解】解：连接AC ，AG ，AD ，∵CF ⊥AE ，∴∠AFC =∠AOC =90°，∴点F 的运动轨迹是以AC 为直径的圆上，且点O 在圆上，当点E 在点B 处时，CO ⊥AE ，点F 与O 重合；当点E 在点D 处时，∵以G (0,1)为圆心，半径为2的圆与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C ，D 两点，∴∠CAD =90°即CA ⊥AE ，点F 与A 重合，∴当点E 从点B 出发，顺时针旋转到点D 时，点F 所经过的路径长为OA的长；∵GO ⊥AB ，G (0,1)，AG =2，∴OA =AG 2-OG 2=3，∵OC =OG +CG =1+2=3，∴tan ∠ACO =OA OC =33，AC =OA 2+OC 2=23，∴∠ACO =30°，则OA 所对的圆心角的度数为60°，∴OA 的长为60π×3180=33π，即点F 所经过的路径长为33π，故选：B ．【点睛】本题考查圆周角定理、解直角三角形、弧长公式、坐标与图形等知识，正确得到点F 的运动轨迹以及点F 所经过的路径长为OA 的长是解答的关键．7(2022·内蒙古·中考真题)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 为直径，若AB =23，BC =3，点P 从B 点出发，在△ABC 内运动且始终保持∠CBP =∠BAP ，当C ，P 两点距离最小时，动点P 的运动路径长为．【答案】33π.【分析】根据题中的条件可先确定点P 的运动轨迹，然后根据三角形三边关系确定CP 的长最小时点P 的位置，进而求出点P 的运动路径长．【详解】解：∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ABC =90°.∴∠ABP +∠PBC =90°.∵∠PAB =∠PBC ,∴∠PAB +∠ABP =90°.∴∠APB =90°.∴点P 在以AB 为直径的圆上运动，且在△ABC 的内部，如图，记以AB 为直径的圆的圆心为O 1，连接O 1C 交⊙O 1于点P ，连接O 1P ,CP .∵CP ≥O 1C -O 1P ,∴当点O 1,P ,C 三点共线时，即点P 在点P 处时，CP 有最小值，∵AB =23∴O 1B =3在Rt ΔBCO 1中，tan ∠BO 1C =BC O 1B =33=3.∴∠BO 1C =60°.∴BP =60π×3180=33π.∴.C ,P 两点距离最小时，点P 的运动路径长为33π.【点睛】本题主要考查了直径所对圆周角是直角，弧长公式，由锐角正切值求角度，确定点P 的路径是解答本题的关键．8(2023·广东·九年级课时练习)如图，△ACB 中，CA =CB =4，∠ACB =90°，点P 为CA 上的动点，连BP ，过点A 作AM ⊥BP 于M ．当点P 从点C 运动到点A 时，线段BM 的中点N 运动的路径长为()A.22πB.2πC.3πD.2π【答案】A【详解】解：设AB 的中点为Q ，连接NQ ，如图所示：∵N 为BM 的中点，Q 为AB 的中点，∴NQ 为△BAM 的中位线，∵AM ⊥BP ，∴QN ⊥BN ，∴∠QNB =90°，∴点N 的路径是以QB 的中点O 为圆心，14AB 长为半径的圆交CB 于D 的QD ，∵CA =CB =4，∠ACB =90°，∴AB =2CA =42，∠QBD =45°，∴∠DOQ =90°，∴QD为⊙O 的14周长，∴线段BM 的中点N 运动的路径长为：90π×14×42180=22π，故选：A ．在ΔAPC中，∵点M、F为PC、AC的中点，∴MF⎳AP，MF=12 AP，∴ME⊥MF，即∠EMF=90°，∴点M在以EF为直径的半圆上，∴EF=12AB=10，∴点M的运动路径长为12×2π×5=5π，故答案为：5π．模型3、定边对定角模型(定弦定角模型)固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P四点共圆根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．寻找隐圆技巧：A B为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆．9(2023·四川自贡·统考中考真题)如图，分别经过原点O和点A4,0的动直线a，b夹角∠OBA=30°，点M是OB中点，连接AM，则sin∠OAM的最大值是()A.3+66B.32C.63D.56【答案】A【分析】根据已知条件，∠OBA=30°，得出B的轨迹是圆，取点D8,0，则AM是△OBD的中位线，则求得∠ODB的正弦的最大值即可求解，当BD与⊙C相切时，∠ODB最大，则正弦值最大，据此即可求解．【详解】解：如图所示，以OA为边向上作等边△OAC，过点C作CE⊥x轴于点E，则OC=OA=AC= 4，则C的横坐标为2，纵坐标为CE=OC×sin60°=23，∴C2,23，取点D8,0，则AM是△OBD的中位线，∴CD=8-22+232=43，∵∠OBA =30°，∴点B 在半径为4的⊙C 上运动，∵AM 是△OBD 的中位线，∴AM ∥BD ，∴∠OAM =∠ODB ，当BD 与⊙C 相切时，∠ODB 最大，则正弦值最大，在Rt △BCD 中，BD =CD 2-BC 2=43 2-42=42，过点B 作FB ∥x 轴，过点C 作CF ⊥FG 于点F ，过点D 作DG ⊥FG 于点G ，则∠F =∠G∵BD 与⊙C 相切，∴BD ⊥CB ，∴∠FBC +∠FCB =∠FBC +∠DBG =90°，∴∠FCB =∠DBG ，∴△CFB ∽△BGD ，∴CF GB =FB GD =BC BD =442=12设CF =a ，FB =b ,则BG =2a ,DG =2b ∴F 2,23+a ,G 8,2b ∴FG =8-2=6,DG =a +23∴2+b +2a =8a +23=2b 解得：b =2+236∴sin ∠ODB =sin ∠GBD =DG BD =2b 42=3+66∴sin ∠OAM 的最大值为3+66，故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求正弦，等边三角形的性质。
初三隐形圆模型
隐形圆模型【模型总结（定点+定长）】模型解读：定点+定长模型，通常以基本图形（三角形、矩形等）为背景，通过折叠或旋转变换得到动点，而此时动点的轨迹为以定点为圆心，定长为半径的圆，解题的关键是先确定动点轨迹所在圆的圆心和半径，构造出圆，从而实现问题的解决.类型一：折叠出现定点+定长.条件：沿过矩形ABCD的顶点A折叠△ADE，得到△AD'E，则AD'=AD结论：点D'的轨迹是在以A为圆心，AD为半径的圆上关键点：折叠过程中，出现同一端点出发的等长线段，同一端点即为圆心，等长线段即为半径.类型二：旋转出现定点+定长.条件：△AEF 绕正方形ABCD的顶点A旋转结论：点F的轨迹为以A为圆心，AF为半径的圆关键点：旋转过程中，旋转中心即为圆心，旋转线段即为半径.【典型例题】例1：如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点E是CD上一动点，沿AE折叠矩形，使得点D落在矩形ABCD内的点D'处，连接CD'，则CD'的最小值为_________.例2：如图，圆O的半径为5，A、B是圆上任意两点，且AB=6，以为AB边作正方形ABCD（点D、P在直线两侧），若AB边绕点P旋转一周，则CD边扫过的面积为________.例3：如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为________．【模型总结（定弦+定角）】一、模型特征：AB为定线段，∠ACB=α固定条件: 如图，AB是一条固定线段，动点C运动时与线段AB两端所形成的夹角固定不变（即∠ACB=α）结论: 点C在以AB为弦，所对圆周角为 的弧上。
关键点:①90°的圆周角所对的弦是直径，②同弧所对的圆周角相等→同弦所对的圆周角相等解题的突破口：构造圆.二、题型分类和使用场景①定弦对定角的求最值问题（最大值、最小值）②定弦对定角的运动轨迹问题【典型例题】2的等边△ABC中，动点D、E分别在BC、AC边上，例1：如图，在边长为3且保持AE=CD，连接BE、AD，相交于点P，则CP的最小值为.例2：如图，∠XOY = 45°，等边三角形ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动，AB = 2，那么OC的最大值为 .例3：已知A （2，0），B （4，0）是x 轴上的两点，点C 是y 轴上的动点，当∠ACB 最大时，则点C 的坐标为 ．【链接中考】真题1：（2019 河南中考）如图，在矩形ABCD 中，AB =1，BC =a ，点E 在边BC 上，且BE =35a ．连结AE ，将△ABE 沿AE 折叠，若点B 的对应点B′落在矩形ABCD 的边上，则a 的值为_________．真题2：（2021•广东）在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，2AB =，3BC =．点D 为平面上一个动点，45ADB ∠=︒，则线段CD 长度的最小值为 ．。
初中隐形圆十种类型
初中隐形圆十种类型隐形圆指的是在平面上的一种特殊形状，其特点是每条边都与其他边垂直且相等。
在初中数学中，我们经常会遇到各种类型的隐形圆问题，下面列举了十种常见的类型。
1.隐形圆边长求解：已知隐形圆的面积和周长，求其边长。
首先，根据隐形圆的面积公式，得到方程：面积=隐形圆的边长的平方，然后根据隐形圆的周长公式，得到方程：周长=4乘以隐形圆的边长。
2.隐形圆面积求解：已知隐形圆的边长，求其面积。
根据隐形圆的面积公式，面积=隐形圆的边长的平方。
3.隐形圆周长求解：已知隐形圆的面积，求其周长。
首先，根据隐形圆的面积公式，得到方程：面积=隐形圆的边长的平方，然后根据隐形圆的周长公式，得到方程：周长=4乘以隐形圆的边长。
4.隐形圆与正方形的关系：正方形的四个顶点分别与隐形圆相切，则这个正方形被称为外接正方形。
外接正方形的边长等于隐形圆的直径。
5.隐形圆与正方形的关系：正方形的一个顶点与隐形圆的圆心相切，则这个正方形被称为内接正方形。
内接正方形的边长等于隐形圆的半径的2倍。
6.隐形圆与等边三角形的关系：等边三角形的三个顶点分别与隐形圆相切。
等边三角形的边长等于隐形圆的直径。
7.隐形圆与正六边形的关系：正六边形的六个顶点分别与隐形圆相切。
正六边形的边长等于隐形圆的直径。
8.两个隐形圆的关系：两个相切的隐形圆的圆心与相切点在一条直线上。
这条直线被称为两个隐形圆的公切线。
9.三个隐形圆的关系：三个隐形圆两两相切，则它们的圆心构成一个等边三角形。
10.隐形圆与正方形的关系：正方形的中心与隐形圆的圆心重合，则这个正方形被称为内接正方形。
内接正方形的边长等于隐形圆的半径的2倍。
以上是初中数学中常见的隐形圆类型，掌握了这些类型，可以帮助我们更好地理解和解决相关问题。
“定角定中线”，一类不一样的隐形圆模型
“定角定中线”，一类不一样的隐形圆模型说到“隐形圆模型”，相信大家都不陌生了，很多省市中考会在这一模型上大做文章，尤其是陕西地区，会把这类问题结合生活实际应用，作为压轴题出现，一般难度比较大，有较高的区分度。
随着网络的传播、线上线下辅导机构以及学校老师不断给学生们补充和总结，这些模型已经逐渐被大多数学生掌握，这将导致中考题目也会越来越灵活。
在竞争日益激烈的中考当中，想要取得好成绩，考得一个好的高中，对学生来说越来越难！尤其在西安这样的教育大市，想要考入五大名校更是难上加难！数学这一科是拉开分数差距比较关键的一科，在去年的中考里，取得满分的学生非常多，这就要求大家不仅要保证速度和正确率，还要在平时把所有可能会出现的数学模型牢牢掌握，从容应对千变万化的中考题目。
今天给大家介绍一种比较少见的“隐形圆”模型，叫做“定角定中线”三角形。
一、模型解读如图，在△ABC中，∠BAC的大小是定值，中线AD的长为定值，满足以上条件的三角形称为“定角定中线”三角形。
这类模型其实是“定弦定角”隐形圆的变形，解决办法是通过倍长中线法，将其转化为我们更熟悉的“定弦定角”模型。
【例题分析】【例1】如图，在△ABC中，∠BAC=45°，D是BC边的中点，AD=2，求△ABC面积的最大值。
【解析】延长AD至E，使DE=AD，连接BE、CE，∵AD=2，∴AE=4，易证AC∥BE，∵∠BAC=45°，∴∠ABE=135°，（则△ABE是一个定弦定角三角形）易证△ACD≌△EBD，∴S△ABC=S△ABE，要使△ABC面积的最大，只需△ABE面积最大，（这时大家应该比较熟悉了，“定弦定角”求面积最大值，下面是常规套路）作△ABE的外接圆⊙O，连接OA，OE，过B作BH⊥AE，连接OD并延长，交⊙O于B'，∵∠ABE=135°，∴∠AOE=90°，∵AE=4，∴OA=OE=OB'=2√2，，OD=2.要使△ABE面积最大，只需高BH最大，明显当B与B'重合时，高最大，【例2】如图，在△ABC中，∠BAC=60°，D是BC边的中点，AD=，求AB+AC的最大值。
2019中考冲刺专题—隐形圆模型基本类型图形解读与应用
2018年中考冲刺—隐形圆模型基本类型图形解读与应用一、隐形圆的四大模型【模型一：定弦定角的“前世今生”】【模型二：动点到定点定长】【模型三：直角所对的是直径】【模型四：四点共圆】二、“隐圆”破解策略牢记口诀：定点定长走圆周，定线定角跑双弧。
直角必有外接圆，对角互补也共圆。
破解策略：对于一个动点和一个定点之间的最值问题，若动点所在的角为直角，则其运动轨通常为圆。
而连接动点所在的圆的圆心与定点之间的距离加上或减去半径，就可以求出线段的最值。
因此在这类题型中，最常做的是辅助圆，找出这个圆所在的圆心，连接圆心与定点之间的连线，再求出圆心与定点之间的距离，减去或加上半径即可求出最值.“隐圆”问题的两个依据：①圆上各点到定点（圆心O）的距离相等，都等于定长（半径R）；②到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.常考题型与解题方法：1. 利用隐圆求几何最值；2. 利用隐圆求变量的取值范围，实际上可以转化为求最值，即求出变量的最大值与最小值，再进一步确定变量的取值范围；3. 利用隐圆求弧长，角度等，针对有些平面几何问题，用常规方法求解难度极大，但若能够针对题目的本质特征，恰当地画出隐藏的圆，巧妙运用圆的有关知识找到解题捷径，往往可以化难为易，化繁为简.三、“隐圆”题型知识储备四、链接中考—经典例题【模型一：定弦定角】1.（2017 威海）如图1，△ABC 为等边三角形，AB=2，若P 为△ABC 内一动点，且满足∠P AB=∠ACP，则线段P B 长度的最小值为________.2.如图1所示，边长为2的等边△ABC 的原点A在x轴的正半轴上移动，∠BOD=30°，顶点A 在射线O D 上移动，则顶点C到原点O的最大距离为。
【思考：若∠BOD=45°呢？（提示：需要构造倍角模型）】3.如图1，点A是直线y=-x上的一个动点，点B是x轴上的动点，若A B=2，则△AOB面积最大值为_________.4. 如图1，AC为边长为形ABCD的对角线，∠ABC=60°，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同速度沿BC、CA向终点C和A运动，连接AM和BN，求△APB周长的最大值___.【例1】如图，△ABC中，AC＝3，BC＝ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，弧AE＝CP，则AD的最小值为_______.【例2】如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为_______.【例3】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为_______.【例4】如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB 于点C，则△ABC的面积的最大值是_______.【例5】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是_______.【例6】如图，边长为3的等边△ABC，D、E分别为边BC、AC上的点，且BD＝CE，AD、BE 交于P点，则CP的最小值为_________【例7】如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线绕O点旋转时，CD的最小值为__________【例8】如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，∠ABC＝60°，P是上一动点，D是AP的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________【例9】如图，在动点C 与定长线段AB 组成的△ABC 中，AB ＝6，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，连接DE ．当点C 在运动过程中，始终有2DE AB =，则点C 到AB 的距离的最大值是_________.【例10】如图，已知以BC 为直径的⊙O ，A 为中点，P 为上任意一点，AD ⊥AP 交BP 于D ，连CD ．若BC ＝8，则CD 的最小值为___________.【例11】已知在正方形ABCD 中，CD 若点P 满足PD =1，且∠BPD =90°，则点A 到BP 的距离为___________.答案：12或12【例12】已知正方形ABCD的边长为2，点E、F分别在AD、CD上，若∠EBF=45°，则△EDF 的周长为___________.答案：4【例13】在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=4，E为AB上一点，AE=1，点M是AD上一动点，直线EM与直线CD交于点F，且MC⊥EM，则线段MC长为___________.【模型二：动点到定点定长】1.如图1，四边形A BCD 中，AB=AC=AD,若∠CAD=76°，则∠CBD=_________.2.如图，在△ABC 内有一点D，使得D A=DB=DC，若∠DAB=20°，则∠ACB=_________.3.如图1，已知四边形ABCD 中，AB∥CD，AB=AC=AD=5，BC=6，求BD4.如图1，长 2 米的梯子AB 竖直放在墙角，在沿着墙角缓慢下滑直至水平地面过程中，梯子AB 的中点P 的移动轨迹长度为？5.在矩形ABCD 中，已知AB=2，BC=3，现有一根长为2 的木棒EF 紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），接逆时针方向滑动一周，则木棒E F的中点P在运动过程中所围成的围形的面积为？如图1如图26.如图1，在矩形ABCD 中，AB=2，AD=3，点E，F 分别为AD、DC 边上的点，且EF=2，G 为EF 的中点，P 为BC 边上一动点，则P A+PG 的最小值为？如图1如图27.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），B为y轴正半轴上的点，C为第一象限内的点，且AC=2.设t AN∠BOC=M，则M 的取值范围为？8.如图1，在R t△ABC 中，∠C=90°，AC=7，BC=8，点F 在边AC 上，并且CF=2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是？9.如图，在□ABCD 中，∠BCD＝30°，BC＝4，CD＝3 3 ，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△PMN，连接PC，则PC 长度的最小值是？【模型三：直角所对的是直径】1.如图1，R t△ABC 中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P 是△ABC 内部的一个动点，且始终有AP⊥BP，则线段CP 长的最小值为________.2.如图1，A（1,0）、B（3,0），以AB为直径作圆M，射线OF交圆M于E、F两点，C为弧AB 的中点，D 为弦EF 的中点，当射线绕O 旋转时，CD 的最小值为？3.在△ABC 中,∠ABC=90,AB=6,BC=8,O 为AC 的中点,过O 作OE⊥OF,OE、OF 分别交射线AB,BC 于E、F，则EF 的最小值为？4.如图1，已知R t△ABC 中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P 是边AB 上的动点，Q 是边BC 上的动点，且∠CPQ＝90°，求线段CQ 的取值范围．5.如图1，半径为4 的⊙O 中，CD 为直径，弦AB⊥CD 且过半径OD 的中点，点E 为⊙O 上一动点，CF⊥AE 于点F．当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长为？6.（2013 武汉）如图1，E，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE=DF．连接CF 交BD 于点G，连接BE 交AG 于点H．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是？7.如图1，在R t△ABC 中，∠B=90°，∠C=30°，AB=1，D 为线段AC 上一动点，将△BDC 沿着BD 翻折，点C 的对应点为F，E 为AC 的中点，在D 从C 到A 的运动过程中，当EF 最短时，CD 为？8.（2017 宿迁）如图，在矩形纸片A BCD中，已知AB=1，BC E在边CD上运动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE翻折，得到多边形AB´C´E，点B、C的对应点分别为点B´、C´．（1）当B´C´恰好经过点D时（如图1），求线段C E的长；（2）若B´C´分别交边AD，CD于点F，G，且∠DAE=22.5°（如图2），求△DFG的面积；（3）在点E从点C移动到点D的过程中，求点C´运动的路径长．【模型四：四点共圆】1.如图1，正方形ABCD 中，∠EAF=45°，AF 与BD 交于N，AE 与BD交于M，连接MF、NE，求证△ANE、△AMF 是等腰直角三角形2.如图1，等边△ABC 中，AB=6，P 为AB 上一动点，PD⊥BC，PE⊥AC，则DE 的最小值为？3.如图，正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转到正方形APQR，连接CQ，延长BP 交于CQ 于点E，求证：E 是线段CQ 的中点4.如图1，已知△ABC 是边长为4 的等边三角形，取AC 的中点E，△ABC 绕E 点旋转任意角度得到△GMN，直线BN、GC 相交于点H。
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2018年中考冲刺—隐形圆模型基本类型图形解读与应用一、隐形圆的四大模型【模型一：定弦定角的“前世今生”】【模型二：动点到定点定长】【模型三：直角所对的是直径】【模型四：四点共圆】二、“隐圆”破解策略牢记口诀：定点定长走圆周，定线定角跑双弧。
直角必有外接圆，对角互补也共圆。
破解策略：对于一个动点和一个定点之间的最值问题，若动点所在的角为直角，则其运动轨通常为圆。
而连接动点所在的圆的圆心与定点之间的距离加上或减去半径，就可以求出线段的最值。
因此在这类题型中，最常做的是辅助圆，找出这个圆所在的圆心，连接圆心与定点之间的连线，再求出圆心与定点之间的距离，减去或加上半径即可求出最值.“隐圆”问题的两个依据：①圆上各点到定点（圆心O）的距离相等，都等于定长（半径R）；②到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.常考题型与解题方法：1. 利用隐圆求几何最值；2. 利用隐圆求变量的取值范围，实际上可以转化为求最值，即求出变量的最大值与最小值，再进一步确定变量的取值范围；3. 利用隐圆求弧长，角度等，针对有些平面几何问题，用常规方法求解难度极大，但若能够针对题目的本质特征，恰当地画出隐藏的圆，巧妙运用圆的有关知识找到解题捷径，往往可以化难为易，化繁为简.三、“隐圆”题型知识储备四、链接中考—经典例题【模型一：定弦定角】1.（2017 威海）如图1，△ABC 为等边三角形，AB=2，若P 为△ABC 内一动点，且满足∠P AB=∠ACP，则线段P B 长度的最小值为________.2.如图1所示，边长为2的等边△ABC 的原点A在x轴的正半轴上移动，∠BOD=30°，顶点A 在射线O D 上移动，则顶点C到原点O的最大距离为。
【思考：若∠BOD=45°呢？（提示：需要构造倍角模型）】3.如图1，点A是直线y=-x上的一个动点，点B是x轴上的动点，若A B=2，则△AOB面积最大值为_________.4. 如图1，AC为边长为形ABCD的对角线，∠ABC=60°，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同速度沿BC、CA向终点C和A运动，连接AM和BN，求△APB周长的最大值___.【例1】如图，△ABC中，AC＝3，BC＝ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，弧AE＝CP，则AD的最小值为_______.【例2】如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为_______.【例3】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为_______.【例4】如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB 于点C，则△ABC的面积的最大值是_______.【例5】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是_______.【例6】如图，边长为3的等边△ABC，D、E分别为边BC、AC上的点，且BD＝CE，AD、BE 交于P点，则CP的最小值为_________【例7】如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线绕O点旋转时，CD的最小值为__________【例8】如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，∠ABC＝60°，P是上一动点，D是AP的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________【例9】如图，在动点C 与定长线段AB 组成的△ABC 中，AB ＝6，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，连接DE ．当点C 在运动过程中，始终有2DE AB =，则点C 到AB 的距离的最大值是_________.【例10】如图，已知以BC 为直径的⊙O ，A 为中点，P 为上任意一点，AD ⊥AP 交BP 于D ，连CD ．若BC ＝8，则CD 的最小值为___________.【例11】已知在正方形ABCD 中，CD 若点P 满足PD =1，且∠BPD =90°，则点A 到BP 的距离为___________.答案：12或12【例12】已知正方形ABCD的边长为2，点E、F分别在AD、CD上，若∠EBF=45°，则△EDF 的周长为___________.答案：4【例13】在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=4，E为AB上一点，AE=1，点M是AD上一动点，直线EM与直线CD交于点F，且MC⊥EM，则线段MC长为___________.【模型二：动点到定点定长】1.如图1，四边形A BCD 中，AB=AC=AD,若∠CAD=76°，则∠CBD=_________.2.如图，在△ABC 内有一点D，使得D A=DB=DC，若∠DAB=20°，则∠ACB=_________.3.如图1，已知四边形ABCD 中，AB∥CD，AB=AC=AD=5，BC=6，求BD4.如图1，长 2 米的梯子AB 竖直放在墙角，在沿着墙角缓慢下滑直至水平地面过程中，梯子AB 的中点P 的移动轨迹长度为？5.在矩形ABCD 中，已知AB=2，BC=3，现有一根长为2 的木棒EF 紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），接逆时针方向滑动一周，则木棒E F的中点P在运动过程中所围成的围形的面积为？如图1如图26.如图1，在矩形ABCD 中，AB=2，AD=3，点E，F 分别为AD、DC 边上的点，且EF=2，G 为EF 的中点，P 为BC 边上一动点，则P A+PG 的最小值为？如图1如图27.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），B为y轴正半轴上的点，C为第一象限内的点，且AC=2.设t AN∠BOC=M，则M 的取值范围为？8.如图1，在R t△ABC 中，∠C=90°，AC=7，BC=8，点F 在边AC 上，并且CF=2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是？9.如图，在□ABCD 中，∠BCD＝30°，BC＝4，CD＝3 3 ，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△PMN，连接PC，则PC 长度的最小值是？【模型三：直角所对的是直径】1.如图1，R t△ABC 中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P 是△ABC 内部的一个动点，且始终有AP⊥BP，则线段CP 长的最小值为________.2.如图1，A（1,0）、B（3,0），以AB为直径作圆M，射线OF交圆M于E、F两点，C为弧AB 的中点，D 为弦EF 的中点，当射线绕O 旋转时，CD 的最小值为？3.在△ABC 中,∠ABC=90,AB=6,BC=8,O 为AC 的中点,过O 作OE⊥OF,OE、OF 分别交射线AB,BC 于E、F，则EF 的最小值为？4.如图1，已知R t△ABC 中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P 是边AB 上的动点，Q 是边BC 上的动点，且∠CPQ＝90°，求线段CQ 的取值范围．5.如图1，半径为4 的⊙O 中，CD 为直径，弦AB⊥CD 且过半径OD 的中点，点E 为⊙O 上一动点，CF⊥AE 于点F．当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长为？6.（2013 武汉）如图1，E，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE=DF．连接CF 交BD 于点G，连接BE 交AG 于点H．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是？7.如图1，在R t△ABC 中，∠B=90°，∠C=30°，AB=1，D 为线段AC 上一动点，将△BDC 沿着BD 翻折，点C 的对应点为F，E 为AC 的中点，在D 从C 到A 的运动过程中，当EF 最短时，CD 为？8.（2017 宿迁）如图，在矩形纸片A BCD中，已知AB=1，BC E在边CD上运动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE翻折，得到多边形AB´C´E，点B、C的对应点分别为点B´、C´．（1）当B´C´恰好经过点D时（如图1），求线段C E的长；（2）若B´C´分别交边AD，CD于点F，G，且∠DAE=22.5°（如图2），求△DFG的面积；（3）在点E从点C移动到点D的过程中，求点C´运动的路径长．【模型四：四点共圆】1.如图1，正方形ABCD 中，∠EAF=45°，AF 与BD 交于N，AE 与BD交于M，连接MF、NE，求证△ANE、△AMF 是等腰直角三角形2.如图1，等边△ABC 中，AB=6，P 为AB 上一动点，PD⊥BC，PE⊥AC，则DE 的最小值为？3.如图，正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转到正方形APQR，连接CQ，延长BP 交于CQ 于点E，求证：E 是线段CQ 的中点4.如图1，已知△ABC 是边长为4 的等边三角形，取AC 的中点E，△ABC 绕E 点旋转任意角度得到△GMN，直线BN、GC 相交于点H。
△GMN 绕点E 旋转的过程中，线段AH 的最大值是？思考题：如图，点D 为∠ABC 的一边BC 上一丁点，且BD=5，线段PQ 在∠ABC 另一边AB上移动，且PQ=2，若3sin5B ，则当∠PDQ 达到最大值时，PD的长为_______.名校模拟题、历年真题1. 如图1，已知线段AB=2，点C是直线AB上方一动点，∠C=30°，动点C在运动时构成什么样的图形？2. 如图2，△ABC为等边三角形，AB=2，若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为_________.3. 如图3，边长为3的等边△ABC的原点A在x轴的正半轴上移动，∠AOD=30°，顶点B在射线OD上移动，则顶点C到原点O的最大距离为_________.4. 如图4，点A是直线y=-x上的一个动点，点B是x轴上的动点，若AB=2，则△AOB面积最大值为_________.5. 如图，△ABC中，AC＝3，BC＝ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD 的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，弧AE＝CP，则AD的最小值为_________.6. 如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为_________.7. 如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP 交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为_________.8. 如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的面积的最大值是_________.9. 如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是_________.10.如图，边长为3的等边△ABC，D、E分别为边BC、AC上的点，且BD＝CE，AD、BE交于P点，则CP的最小值为_________11. 如图，A (1，0)、B (3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为_________.12. 如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为_________.13. 如图，在动点C 与定长线段AB 组成的△ABC 中，AB ＝6，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，连接DE ．当点C 在运动过程中，始终有2DE AB，则点C 到AB 的距离的最大值是_________.14. 如图，已知以BC 为直径的⊙O ，A 为中点，P 为上任意一点，AD ⊥AP 交BP 于D ，连CD ．若BC＝8，则CD的最小值为___________.二、直角对直径1. 如图，A（1,0）、B（3,0），以AB为直径作圆M，射线OF交圆M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为弦EF的中点，当射线绕O旋转时，CD的最小值为__________。