2018中考冲刺专题—隐形圆模型基本类型图形解读与应用

2018年中考冲刺—隐形圆模型基本类型图形解读与应用

一、隐形圆的四大模型

【模型一：定弦定角的“前世今生”】

【模型二：动点到定点定长】

【模型三：直角所对的是直径】

【模型四：四点共圆】

二、“隐圆”破解策略

牢记口诀：定点定长走圆周，定线定角跑双弧。直角必有外接圆，对角互补也共圆。

破解策略：对于一个动点和一个定点之间的最值问题，若动点所在的角为直角，则其运动轨通常为圆。而连接动点所在的圆的圆心与定点之间的距离加上或减去半径，就可以求出线段的最值。因此在这类题型中，最常做的是辅助圆，找出这个圆所在的圆心，连接圆心与定点之间的连线，再求出圆心与定点之间的距离，减去或加上半径即可求出最值.

“隐圆”问题的两个依据：

①圆上各点到定点（圆心O）的距离相等，都等于定长（半径R）；

②到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.

常考题型与解题方法：

1. 利用隐圆求几何最值；

2. 利用隐圆求变量的取值范围，实际上可以转化为求最值，即求出变量的最大值与最小值，再

进一步确定变量的取值范围；

3. 利用隐圆求弧长，角度等，针对有些平面几何问题，用常规方法求解难度极大，但若能够针对题目的本质特征，恰当地画出隐藏的圆，巧妙运用圆的有关知识找到解题捷径，往往可以化难为易，化繁为简.

三、“隐圆”题型知识储备

四、链接中考—经典例题

【模型一：定弦定角】

1.（2017 威海）如图1，△ABC 为等边三角形，AB=2，若P 为△ABC 内一动点，且满足∠P AB=∠ACP，则线段P B 长度的最小值为________.

2.如图1所示，边长为2的等边△ABC 的原点A在x轴的正半轴上移动，∠BOD=30°，顶点A 在射线O D 上移动，则顶点C到原点O的最大距离为。

【思考：若∠BOD=45°呢？（提示：需要构造倍角模型）】

3.如图1，点A是直线y=-x上的一个动点，点B是x轴上的动点，若A B=2，则△AOB面

积最大值为_________.

4. 如图1，AC为边长为形ABCD的对角线，∠ABC=60°，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同速度沿BC、CA向终点C和A运动，连接AM和BN，求△APB周长的最大值___.

【例1】如图，△ABC中，AC＝3，BC＝ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，弧AE＝CP，则AD的最小值为_______.

【例2】如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为_______.

【例3】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为_______.

【例4】如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB 于点C，则△ABC的面积的最大值是_______.

【例5】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是_______.

【例6】如图，边长为3的等边△ABC，D、E分别为边BC、AC上的点，且BD＝CE，AD、BE 交于P点，则CP的最小值为_________

【例7】如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线绕O点旋转时，CD的最小值为__________

【例8】如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，∠ABC＝60°，P是上一动点，D是AP的中点，连接

CD ，则CD 的最小值为__________

【例9】如图，在动点C 与定长线段AB 组成的△ABC 中，AB ＝6，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于

点E ，连接DE ．当点C 在运动过程中，始终有

2

DE AB =

，则点C 到AB 的距离的最大值是_________.

【例10】如图，已知以BC 为直径的⊙O ，A 为中点，P 为上任意一点，AD ⊥AP 交BP 于D ，连CD ．若BC ＝8，则CD 的最小值为___________.

【例11】已知在正方形ABCD 中，CD 若点P 满足PD =1，且∠BPD =90°，则点A 到BP 的距离为___________.

答案：12或1

2

【例12】已知正方形ABCD的边长为2，点E、F分别在AD、CD上，若∠EBF=45°，则△EDF 的周长为___________.

答案：4

【例13】在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=4，E为AB上一点，AE=1，点M是AD上一动点，直线EM与直线CD交于点F，且MC⊥EM，则线段MC长为___________.

【模型二：动点到定点定长】

1.如图1，四边形A BCD 中，AB=AC=AD,若∠CAD=76°，则∠CBD=_________.

2.如图，在△ABC 内有一点D，使得D A=DB=DC，若∠DAB=20°，则∠ACB=_________.

3.如图1，已知四边形ABCD 中，AB∥CD，AB=AC=AD=5，BC=6，求BD

4.如图1，长 2 米的梯子AB 竖直放在墙角，在沿着墙角缓慢下滑直至水平地面过程中，梯子AB 的中点P 的移动轨迹长度为？

5.在矩形ABCD 中，已知AB=2，BC=3，现有一根长为2 的木棒EF 紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），接逆时针方向滑动一周，则木棒E F的中点P在运动过程中所围成的围形的面积为？

如图1如图2

6.如图1，在矩形ABCD 中，AB=2，AD=3，点E，F 分别为AD、DC 边上的点，且EF=2，G 为EF 的中点，P 为BC 边上一动点，则P A+PG 的最小值为？