(物理光学)第十五章 光的偏振和晶体光学基础-4

o

2 cos 2 q 2 sin 2 q
1 , itg cos , i sin 2 2 2 G ＝ cos ＝ 2 itg ,1 i sin , cos 2 2 2 1 1， i 当 时，为 波片， G ＝ 2 4 2 i ,1 p 1 0 ,1 1 0， i 当 p 时，为 波片 , G ＝ i 2 2 i ,0 1 ,0 1
A A 2 cos q ， q sin 1 ＝ B 2 sin q ，－ cos q B 1
A 2 cos q ， q sin 0 1， ＝ exp( i B 2 sin q ，－ cos q 0， 1 itg cos 2 q , itg 2 ＝ cos 2 itg cos 2 q ,1 itg 2
三、偏振器件(Polarizing optics)的矩阵表示
设入射光为 ~ A1 E 1＝ ，经过偏振器件之后， B1 A2 ~ 出射光为 E 2＝ B2
A 2＝ g 11 A1 g 12 B 1 B 2 g 21 A1 g 22 B 1 A 2 g 11， g 12 A1 A1 写成矩阵形式： ＝ ＝ G B 2 g 21， g 22 B 1 B1 g 11， g 12 式中矩阵 G ＝ 称为该器件的琼斯矩阵 g 21， g 22 如果偏振光琼斯矩阵为 。
偏振光透过波片后，在快轴 和慢轴上的复振幅为：
'' ' A1 ＝ A1 '' ' B1 B1 exp i
因而透过波片后有：
A 0 1， 1 ＝ 0， B exp( i 1 A 1 ) B1
出射光为：
A2 1 1 ＝ B2 2 0 1 0 1 1 p ip i ＝ 4 2 e 4 e 1
有一快轴与x轴成q角，产生位相差为的波 片，试求其琼斯矩阵
B1 q A1
慢轴
快轴
设入射偏振光为
A1 B1
＝ 1，解得： ＝ 为右旋光。
p
2
1 1 E 入＝ ip 2 e 2
1. 一束线偏振的钠黄光（l为589.3nm）垂直通过一 块厚度为1.618×10-2 mm的石英晶片（其光轴平行 于入射表面）。晶片折射率为n0=1.54424, ne=1.55335。试求以下三种情况的出射光的偏振态。 （1）入射线偏光的振动方向与晶片光轴成45o角； （2）入射线偏光的振动方向与晶片光轴成－ 45o角； （3）入射线偏光的振动方向与晶片光轴成30o角。 2. 导出长、短轴之比为2：1，长轴沿x轴的右旋和左 旋椭圆偏振光的琼斯矢量。 3. 试用矩阵方法证明：右（左）旋圆偏振光经过半波 片后变为左（右）旋圆偏振光。
讨论：
ikz i ( kz ) E x0 Ax e y0 A y e
p Ay , ± 时, 当Ax 2
当Ax Ay ,
为圆偏振光
p
2
时, 左旋椭圆光。
当Ax Ay , 时, 右旋椭圆光。 2
p
当 ＝ 0时，是线偏振光。
所以任意一个偏振光都可表示为:
A
q A1 A2
可知： g 11 cos g 21 1 2 sin 2q ,
2
q,
g 12
2
1 2
sin 2q
g 22 sin
q
B1 B2 q A1 A2
A
由此得线偏振器的琼斯矩阵为：
1 2 cos q , sin 2q 2 G＝ 1 sin 2q , sin 2 q 2
0 sin 1， cos q ， q A1 exp( i ) sin q ，－ cos q B 1 0，
将A1”和B1”再次分解到x,y轴上，有
A 2＝ A1 cos q B1 sin q '' B 2 A1 sin q － B1 cos q
B1
A1和B1在波片的快、慢轴 上的分量为： A1 ＝A1 cos q B1 sin q B1 -A1 sin q+ B1 cos q 写成矩阵形式：
快轴
q A1
A cos q， sin q A 1 1 ＝ -sin q， cos q B B 1 1
Ay
A

Ax
x
2、圆偏振光(Circularly polarized light包括椭圆偏振光)
E x A x cos( kz wt ) E y A y cos( kz wt )
y Ay Ax
A x
或者表示为:
x0 Ax exp[ i ( kz wt )] Ex Ey y0 Ay exp[ i ( kz wt )] ~ ikz i ( kz ) E x0 Axe y0 Ay e
为了决定一圆偏振光的旋向，可将1/4波片 置于检偏器之前，再将1/4波片转到消光位 置。这时发现1/4波片的快轴是这样的：它 沿顺时针方向转45度才与检偏器的透光轴 重合，问该圆偏振光是左旋还是右旋？
从1/4波片光出射光矢量方向 快轴
45
0
透光轴
解：（1）设检偏器透光轴沿x轴方向。转动波片， 出现消光，即此时光的振动方向垂直透光轴，在y轴 方向，x方向的分量为0。
1 Gl ＝ 4 0 0 1 , Gl ＝ i 2 0 1 0 , Gl ＝ 1 8 0 p i e 4 0
0 1， 1， 1， 0 0 p G Gl Gl Gl i 0 , 1 0 , i 8 2 4 0, e 4 0 1 0 1 0 1 p p i i 0 i 0 e 4 0 e 4
2
,
~ Ex
2
~ Ey
2
5a
2
归一化琼斯矢量为 E右 1 5a
2
2a p i 2 ae
2 1 5 i
3. 偏振光的叠加 左旋圆偏振光和右旋圆偏振光叠加
1 1 ER EL 2
1 1 1 2 i 2 i 2 0
出射1/4波片光
0 E 出＝ Y出
快轴 45
0
透光轴
Hale Waihona Puke Baidu
（2）此时波片的矩阵：
i 1 1 p 1 2 －i 2 e
p －i e 2
1 1 G＝ 2 i
1

E
入
＝
1
1 2 e
入


p
2
即 E 出＝ GE 0 Y出 ＝
自然光通过光轴夹角为45度的线偏振器后， 又通过了1/4、1/2和1/8波片，波片快轴 沿Y轴方向，试用琼斯矩阵计算透射光的 偏振态。
解：自然光通过起偏器，成为线偏振光，其琼斯矢量为：
A1 1 1 B1 2 1
l/4波片,l/2 ， l/8波片的琼斯矩阵分别为
§15－6 偏振的矩阵表示 (Matrix Formalism of Polarization)
一、偏振光(Polarized light)的表示 1、线偏振光(Linearly polarized light)的分解
y
A x A cos , A y A sin E x 0 A x cos( kz wt ) y 0 A y cos( kz wt ) ~ ikz ikz 复振幅 : E x 0 A x e y0 Aye
1 1， e p 2 － 2 ,1 e
－

p
1
1 2 e


2 e 0 1 1 e 即 ＝ p Y出 2 2 e e
1 e 即e
i
p
2
e
i
0
p i 2
a.光矢量互相垂直 b.沿同一方向传播且位相差恒定
的两个线偏振光的合成。
二、偏振光的矩阵(Matrices)表示
~ E a e i 1 x 1 ~ i 2 E y a2e ~ a e i 1 Ex ~ 1 E＝ ~ a 2 e i 2 E y ＝ a1 e
相继通过 N 个偏振器件，则
E 2＝ G N G N － 1 ... G 2 G 1 E 1
求透光轴(Transmission axis)与x轴成q角 的线偏振器的琼斯矩阵
解：光线的偏振状态为：
~ A ~ A2 1 ， 设入射光 E1＝ 出射光E2＝ B1 B2 A 1 沿透光轴方向的分量： ＝A cosq B1 sinq B1 1 2 q B sin 2q A2 A cosq A cos B2 1 12 1 B2 Asinq A sin 2q B1 sin2 q 2 1
i 1

1 a 2 i （ 2－ 1） 为琼斯矢量。 e a1
通常将上式归一化，有 a1 a1 a 2
2 2
E＝
1 a 2 e i （ 2－ 1） a1 a2 a1 ,
设 ＝ 2 － 1， a a1
2 a1
E＝

2 a2
1 ae
i
称为归一化的琼斯矢量
1、线偏振光的归一化(Normalization)琼斯矢量：
1 若光矢量沿x轴，Ax=1 Ay=0 =0 ，则： E 0
若光矢量与x 轴成q 角，振幅为a的线偏振光，
有Ax a cosq , Ay a sinq , 0
sin cos q ， q A1 ) sin q ，－ cos q B 1
sin 2 q A1 2 exp( i ) 2 B1 cos 2 q 2
1 itg cos 2 q , itg 2 G cos 2 itg cos 2 q ,1 itg 2 当 q ＝ 45 时
则
q 1 acos E q a asin
cos q sin q
2、求长轴(Macro axis)沿x轴，长短轴之比是2：1的右 旋椭圆偏振光的归一化琼斯矢量(Jones vector)。
根据已知条件有：
~ E x 2a ~ , E y ae
i
p