2.5随机变量函数的分布详解

dFY ( y ) p Y ( y) dy y 8 1 y 8 1 ) ,0 4 ( 8 2 2 2 其他 0,
d [ FX ( y 8 )] 2 dy
于是得Y的概率密度为
pX (
y 8 y 8 )( ) 2 2
y 8 ,8 y 16 32 其他 0,
yi g ( xi ),i 1,2, ,因此 Y 也是离散型随机变量.注意到 i j
时,也有可能出现 g( xi ) g( x j ) 的情况,故 Y 的分布律为
P(Y yi )
g ( xk ) yi
P( X x ),i 1,2,
k
例1:设随机变量X的分布律如下表,试求Y=(X-1)2 的分布律.
e
y b )2 a 2 2 (

1 2 a
e

[ y ( b a )]2 2 ( a ) 2
, y
例 2: 设随机变量 X~ N (, 2 ) ,求 Y aX b (a 0) 的 密度函数.
另解： 先根据Y与X的函数关系式求Y的分布函数:
例2:设X服从参数为λ 的泊松分布,试求Y=f(X)的分 布列.其中
1, f ( x ) 0, 1, x为偶数 x0 x为奇数
解
Y的可能取值为： -1,0,1,则
P{Y 1}

k 0

P{ X 2k 1}
(2k 1)!
k 0

2k 1
e
即得Y的分布律为 Y 0 P 0.1
1 0.7 4 0.2
例1:设随机变量X的分布律如下表,试求Y=(X-1)2 的分布律.
X P
解
Y=(X-1)2 X P
-1 0.2
4 -1 0.2
0 0.3
1 0 0.3
1 0.1
0 1 0.1
2 0.4
1 2 0.4
即得Y的分布律为
Y P 0 0.1 1 0.7 4 0.2
1 2
( x )2 2 2
解： X ～ f X ( x)
e
, x
y b 由y g ( x) ax b，得x h( y) a 1 且h' ( y) , 由定理，得 a y b 1 ) fY ( y) f X (
a a

1 2 a
பைடு நூலகம்
P{Y=0} =P{X=0}=e-λ
P{Y 1} P{ X 2k}
k 1 k 1
2k
(2k )!
e
三、连续型随机变量函数的分布
一般地，连续型随机变量的函数不一定还是连续型 随机变量，但我们主要讨论连续型随机变量的函数 还是连续型随机变量的情形.
设 X 为连续型随机变量, 随机变量 Y g ( X ) 是 X 的函 数.若已知 X 的分布函数 FX ( x) 和密度函数 f X ( x) , 求 求其函数 Y 的分布函数 FY ( y) 和密度函数 f Y ( y) .
其中，x h( y)是y g ( x)的反函数，且
min{g (), g ()}, max{ g (), g ()}
例1：设随机变量X具有概率密度
x ,0 x 4 p X ( x) 8 0, 其他
求随机变量Y=2X+8的概率密度. 另解： 由y g ( x) 2 x 8，
例1：设随机变量X具有概率密度
x ,0 x 4 p X ( x) 8 0, 其他
求随机变量Y=2X+8的概率密度. 解： 先求Y的分布函数FY(y).
FY ( y) P{Y y} P{2 X 8 y} P{ X y 8} F ( y 8 ) X 2 2
§2.5 随机变量函数的分布
一、随机变量的函数
定义：如果存在一个函数g(X)，使得随机变量 X,Y满足 Y=g(X) 则称随机变量Y是随机变量X的函数.
已知随机变量X的分布,如何求它的函数Y=g(X)的分 布呢？
二、离散型随机变量函数的分布
设 X 为离散型随机变量,其分布律为 P( X xi ) pi , i 1,2,, 随 机 变 量 Y g( X ) , 从 而 Y 的 所 有 可 能 取 值 为
y 8 1 ' 得x h( y) 且h ( y) , 由定理，得 2 2
y 8 2 1 ,8 y 16 p Y ( y) 2 8 0, 其他
y 8 ,8 y 16 即，p Y ( y) 32 0, 其他
例 2: 设随机变量 X~ N (, 2 ) ,求 Y aX b (a 0) 的 密度函数.
（2）再对Y的分布函数FY ( y )积分，即得Y的概率 密度函数f Y ( y ).
定理1：设随机变量X具有密度函数f X ( x), x (,), 又设y g ( x)为单调函数且可导，则 Y g ( X )是一个 连续型随机变量，其概 率密度为：
' f [ h ( y )] h ( y) , y X fY ( y) 0, 其它
设X的分布函数和密度函数分别为FX ( x), f X ( x), 则Y g ( X )的概率密度的求法：
（ 1 ）先求Y g ( X )的分布函数：
FY ( y ) P{Y y )} P{g ( X ) y}
P{X C y }

Cy
f X ( x)dx
其中，C y {x | g ( x) y}.
X P
-1 0.2
0 0.3
1 0.1
2 0.4
解 Y所有可能取的值为 0,1,4. P{Y=0} =P{(X-1)2 =0} =P{X=1}=0.1
P{Y=1} =P{(X-1)2 =1} =P{{X=0}+{X=2}}
=P{X=0}+P{X=2}=0.7
P{Y=4} =P{(X-1)2 =4}=P{X=-1}=0.2