圆锥曲线的双切线问题初探

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探究圆锥曲线切线的教学策略

探究圆锥曲线切线的教学策略圆锥曲线是数学中重要的一个概念，理解和掌握圆锥曲线的切线性质对于学生学习数学和物理等相关学科都至关重要。

下面我将探究一些教学策略，帮助学生更好地理解和掌握圆锥曲线切线的相关知识。

一、引入阶段在引入圆锥曲线切线的教学中，可以通过具体的实物或生活中的例子进行引入，增加学生的兴趣和理解。

可以利用橡皮筋或绳子拉伸成不同形状的曲线，让学生观察和感受不同位置的切线以及切点的变化。

通过这样的引入，可以让学生对圆锥曲线切线有初步的认识和感性认知。

二、基础知识的巩固在引入阶段后，进行相关的基础知识的巩固，包括圆锥曲线的定义和性质。

可以通过讲解PPT、展示相关图形和公式等方式，对学生进行详细的讲解。

通过一些具体的例题，带领学生进行讨论和思考，帮助他们巩固和理解相关概念和性质。

三、切线的定义和性质在学生对圆锥曲线的基础知识有了一定了解后，可以引入切线的定义和性质。

可以通过讲解和讨论，慢慢引导学生明白什么是切线，以及切线和曲线的关系。

可以通过绘制曲线和切线的图形，帮助学生更直观地理解切线的定义和性质。

四、切线的求解在学生理解了切线的定义和性质后，可以引入切线的求解问题。

可以通过具体的例题，引导学生步骤性地求解切线的问题。

可以通过绘制曲线和切线的示意图，让学生找出切线与曲线的交点，进而求解切线的方程。

通过具体的例子，帮助学生掌握切线的求解方法和技巧。

五、综合应用在学生掌握了切线的求解方法后，可以引入一些综合应用的问题，帮助学生将所学知识应用到实际问题中。

可以引导学生探究圆锥曲线在物理中的应用，如弧线的弹性势能和牛顿第二定律等。

通过这样的应用，可以增加学生对圆锥曲线切线的深层次理解和应用能力。

六、拓展思考在学习的最后阶段，可以进行一些拓展思考的活动，引导学生进行创新和思维的发散。

可以让学生思考圆锥曲线切线的其他应用，或是进行相关的实验和探究。

通过这样的拓展活动，可以培养学生的创新精神和综合应用能力。

圆锥曲线的切线方程的推导过程

圆锥曲线的切线方程的推导过程圆锥曲线是双曲线的一类，可以分为直角双曲线和非直角双曲线。

关于圆锥曲线的切线方程推导过程，本文将具体讨论，以便让读者更好地了解圆锥曲线的切线方程的推导过程。

一、直角双曲线的切线方程的推导过程直角双曲线，是指双曲线的切线都是直线，其方程为$x^2-y^2=1$。

（1）求对称轴的斜率设直角双曲线的方程：$x^2-y^2=1$，因此其对称轴为$y=0$，因此其斜率为0。

（2）求双曲线的切线方程设双曲线$P(x_0,y_0)$，其切线斜率为$k$，那么其切线方程为：$y-y_0=k(x-x_0)$而根据文章开头给出的直角双曲线的对称轴斜率是0，因此直角双曲线的切线方程可以求得：$y-y_0=0(x-x_0)$即以 $P(x_0,y_0)$ 为切点的切线方程为 $y=y_0$二、非直角双曲线的切线方程的推导过程非直角双曲线是指双曲线的切线都是曲线，其方程为$x^2+y^2=1$。

（1）求对称轴的斜率设非直角双曲线的方程：$x^2+y^2=1$，因此其对称轴为$y=x$，因此其斜率为1。

（2）求双曲线的切线方程设双曲线$P(x_0,y_0)$，其切线斜率为$k$，那么其切线方程为：$y-y_0=k(x-x_0)$而根据文章开头给出的非直角双曲线的对称轴斜率是1，因此非直角双曲线的切线方程可以求得：$y-y_0=1(x-x_0)$即以 $P(x_0,y_0)$ 为切点的切线方程为 $y=x+y_0-x_0$三、推广上文分别讨论了直角双曲线和非直角双曲线的切线方程推导过程，针对更加一般的情况，即双曲线方程为$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$，其中$A,B,C,D,E,F$均为常数，圆锥曲线切线方程的推导过程如下：（1）求对称轴的斜率设双曲线的方程：$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$，因此其对称轴的斜率$m$可以求得：$m=frac{D}{2C}-frac{B}{2A}$（2）求双曲线的切线方程设双曲线$P(x_0,y_0)$，其切线斜率为$k$，那么其切线方程为：$y-y_0=k(x-x_0)$联立以上两方程可以求得双曲线的切线方程：$y-y_0=left (frac{D}{2C}-frac{B}{2A} right )(x-x_0)$四、总结本文结合具体案例，详细讨论了圆锥曲线的切线方程推导过程。

过圆锥曲线外一点作圆锥曲线的切线及原理

过双曲线外一点作双曲线的切线及原理PDF i —＜卜SN作法：① P为双曲线外任一点，以P为圆心PF2为半径作圆G，以F1为圆心2a为半径作圆C2，圆G，C2交于点M ；（F i,F2为双曲线的两焦点，2a为双曲线的实轴长）②取F2M的中点D，连PD交MR于T。

同样道理可以作出双曲线另一条切线。

下面证明PD是双曲线的切线，T是切点。

证明：首先证明T在双曲线上：在圆C1上，D是弦MF2的中点，贝U PD _ MF2，所以TM =TF> ；在圆C2上，RM =TM - FT = 2a，则TF2-TF^ = 2a，所以T在双曲线上。

再证T是切点：过T引PD的垂线TS ,则TS//MF2，所以.NTS=/TF2M ,STM r/R MF?,又由于• TMF2=/TF2M，所以• MTS =/NTS，有双曲线的光学性质知TS是双曲线在T点处的法线，由于PD—TS，因此PD是双曲线的切线，T是切点。

过椭圆外一点作椭圆的切线及原理作法：① P 为椭圆外任一点，以 P 为圆心PF 2为半径作圆G ，以F 1为圆心2a 为半径作圆C 2，圆C i ,C 2交于点M, N ；（ F l , F 2为椭圆的两焦点，2a 为椭圆的长轴长）②取F 2M 的中点D ，连PD 交MF 1于T 。

同样道理可以作出另一条切线。

下面证明PD 是椭圆的切线，T 是切点。

证明：首先证明T 在椭圆上：在圆C 1上，D 是弦MF 2的中点，则PD_MF 2，所以TM =TF 2 ；在圆C 2上，F i M =FT TM =2a ，那么TF i TF 2 = 2a ，所以T 在椭圆上。

再证T 是切点：过T 引PD 的垂线TS ，则TS//MF 2，所以.FJS - TMF 2， -STF , =/TF 2M ，又由于• TMF 2 =/TF 2M ，所以• FTS =/F 2TS ，有椭圆的光学性质知 TS是椭圆在T 点处的法线，由于 PD _ TS ，因此PD 是椭圆的切线，T 是切点。

从一道试题谈圆锥曲线的切割线定理

从一道试题谈圆锥曲线的切割线定理
圆锥曲线的切割线定理是指，在圆锥曲线上任取一点P，过P
点做曲线的切线，该切线与曲线的交点记为N，则PN称为该
点P的切线斜率，且PN的斜率为该点P的曲率半径。

具体来说，对于椭圆、双曲线和抛物线的某一点P，其切线斜
率k和曲率半径r分别为：
椭圆：k=±(b²/a²-x²/y²)½，r=a²/b
双曲线：k=±(x²/a²-y²/b²)½，r=a²/b
抛物线：k=2ax，r=2a
其中，a和b分别为椭圆和双曲线的半轴长，a为抛物线的参数。

切割线定理的实际应用非常广泛。

例如，在计算圆锥曲线的焦点和直线方程时，常需要用到切割线定理。

此外，在图像处理、建模等领域也经常涉及到切割线定理。

因此，掌握切割线定理对于理解和应用圆锥曲线有重要意义。

从一道试题谈圆锥曲线的切割线定理

从一道试题谈圆锥曲线的切割线定理圆锥曲线的切割线定理是解析几何中的一个重要定理，它描述了切线与圆锥曲线的几何关系。

以下是关于圆锥曲线的切割线定理的相关参考内容：1. 曲线的切线定义及性质：在数学中，曲线的切线可以用于研究曲线的变化以及与其他几何图形的关系。

切线定义为穿越曲线上某一点且具有与曲线相切的性质的直线。

切线的性质包括：切线与曲线在相切点处的切点坐标相同，切线方向与曲线在相切点处的切线方向相同。

2. 圆锥曲线的定义及分类：圆锥曲线是平面上的一类曲线，可以通过直角三角形的截面来定义。

根据圆锥曲线的方程，可以将其分为抛物线、椭圆、双曲线以及其他特殊情况。

每种圆锥曲线都有其独特的性质和方程，因此切割线定理对于不同类型的圆锥曲线有不同的应用。

3. 切割线定理的表述：切割线定理是指在一个平面上，任意一点p是曲线上的一个点，曲线是一个抛物线、椭圆或双曲线。

则过该点的任一直线的斜率等于切线的斜率的充要条件是该直线与曲线交于点p和另外一点。

这意味着切线是曲线的特殊的切割线。

4. 切割线定理的证明：切割线定理的证明可以使用解析几何的方法进行推导。

证明过程中需要利用曲线的方程和切线的定义，以及直线与曲线的交点的几何关系。

具体的证明过程可以参考相关的解析几何教材或者专业论文。

5. 切割线定理的应用：切割线定理具有广泛的应用，特别是在数学的实际应用中。

例如，在计算机图形学中，切割线定理可以用来描述曲线与直线的相交性，以及曲线的切线方向。

此外，在物理学的研究中，切割线定理也可以用于描述曲线的运动轨迹和变化规律。

总之，圆锥曲线的切割线定理是解析几何中一个重要的定理，它描述了切线与圆锥曲线的几何关系。

理解切割线定理对于研究圆锥曲线的性质和应用具有重要的意义。

过圆锥曲线上一点作圆的两条切线

过圆锥曲线上一点作圆的两条切线
通过圆锥曲线上一点作圆的两条切线：
1、概述：通过圆锥曲线上一点作圆的两条切线，它们在曲线的某一点
上的切线方向无论如何都不会重合，它们交于这个圆锥曲线外的无限
远处。

2、定义：圆锥曲线上一点作圆的两条切线，是指从一个圆锥曲线上一
点出发，以曲线为切线方向，以圆为切线形式作为圆锥曲线上该点出
发的两条切线。

3、特点：
(1) 切线方向无论如何都不会重合：从圆锥曲线上一点出发，它们的切
线方向是有一定的角度关系的，但这个角度度数是不会重合的，这一
点是它们的特点之一。

(2) 两条切线的交点：这两条切线交于这个圆锥曲线外的一个无限远处，是一个比较远的地方，是无法触及的，但它们是相交的。

4、应用：两条切线能够用来解决新一类几何问题，比如通过圆锥曲线
上一点，求解两条相交线段的夹角；而且它们还可以用来刻画单位圆
中的形状，比如椭圆，圆台等。

5、总结：通过圆锥曲线上一点作圆的两条切线，它们在某一点处的切线方向无论如何都不会重合，而且它们的交点在一个比较远的地方，是无法触及的；结合单位圆，它们还能够解决新一类几何问题，可以用来刻画单位圆中的形状，是一种重要的数学概念。

圆锥曲线中的双切线题型(学生版)

高级思维技能训练（15）圆锥曲线中的双切线题型(手电筒模型）解题技能一、极点与极线问题（同构）已知圆锥曲线22:220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=，则称点()00,P x y 和直线()()0000l Ax x Cy y D x x E y y F ++++=：++0是圆锥曲线Γ的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以0x x 替换2x ，以02x x+替换x （另一变量y 同理），即可得到点()00,P x y 的极线方程．例1．教材曾有介绍：圆222x y r +=上的点()00,x y 处的切线方程为200x x y y r +=.我们将其结论推广：椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上的点()0,o x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，在解本题时可以直接应用.已知，直线30x y -+=与椭圆222:1(1)x E y a a+=>有且只有一个公共点.（1）求a 的值（2）设O 为坐标原点，过椭圆E 上的两点A B 、分别作该椭圆的两条切线12l l 、，且1l 与2l 交于点(2,)M m .当m 变化时，求OAB 面积的最大值.【跟踪练习】已知动点P 到直线:2l y =-的距离比到点(0,1)F 的距离大1（1）求动点P 的轨迹M 的方程；（2）A B 、为M 上两点，O 为坐标原点，12OA OB k k ⋅=-，过A B 、分别作M 的两条切线，相交于点C ，求ABC ∆面积的最小值.解题技能二、判别式法（0=∆21k k ,为方程的两根）（1）设切线的斜率为k ，写出切线的方程；（2）将切线的方程代入圆锥曲线方程，化简得出关键方程；（3）由（2）中方程满足判别式0=∆，建立关于k 的一元二次方程，两切线的斜率21k k ,为方程的两根；（4）结合韦达定理，计算2121k k k k ,+等，并将之用于其他量的计算。

圆锥曲线中的双切问题

圆锥曲线中的双切问题### English Answer:Problem: Double Tangent Problem for Conic Sections.Detailed Answer:In mathematics, particularly in geometry, the double tangent problem for conic sections involves finding the number of tangents that can be drawn from an external point to a given conic section. It is a classical problem that has intrigued geometers for centuries.For a given conic section and an external point, the number of tangents that can be drawn to the conic depends on the relative positions of the point and the conic. In general, an external point can have up to four tangents to a conic section. Moreover, these tangents can be eitherreal or complex.The double tangent problem is to find the conditions under which an external point has exactly two real tangents to a conic section. This problem has been extensively studied, and various methods and formulas have been developed to solve it.One of the most common and useful methods to solve the double tangent problem is to use the concept of pole and polar with respect to a conic section. The pole of a line with respect to a conic is the point where the line intersects the conic. The polar of a point with respect to a conic is the line that joins the points of contact of the tangents drawn from the point to the conic.Using pole and polar, the double tangent problem can be reduced to finding the conditions under which the polar of an external point passes through the point itself. This leads to a system of equations that can be solved to determine the coordinates of the external point that has exactly two real tangents to the conic section.Another method to solve the double tangent problem isto use the concept of cross-ratio. The cross-ratio of four points on a line is a measure of how the points are distributed along the line. Using cross-ratio, the double tangent problem can be reduced to finding the conditions under which the cross-ratio of the four points of contact of the tangents drawn from an external point to a conic section is equal to -1.The double tangent problem has numerous applications in geometry and other branches of mathematics. It is used in the study of projective geometry, algebraic geometry, and differential geometry. It also has applications in optics, computer graphics, and robotics.In Summary:The double tangent problem for conic sections is a classical problem in geometry that involves finding the conditions under which an external point has exactly two real tangents to a conic section. Various methods and formulas have been developed to solve this problem, including the use of pole and polar and the concept ofcross-ratio. The double tangent problem has numerous applications in geometry and other branches of mathematics, as well as in optics, computer graphics, and robotics.### 中文回答：问题，圆锥曲线中的双切问题。

“同构思想”秒杀圆锥曲线双切线问题及蒙日圆

公众：数学其实没那么难
例题剖析:
例 1.已知圆 O： x2 + y2 = 1，若直线 y=kx+2 上总存在点 P，使得过点 P 作圆 O 的两条切线相互垂
直，则实数 k 的取值范围是______________．
【解析】由前述蒙日圆概念可知,P 点轨迹为圆: x2 + y2 = 2 , 由于点 P 又在直线 y=kx+2 上，即点 P
公众：数学其实没那么难
“同构思想”秒杀圆锥曲线双切线问题
北京大学钟老师我们把过一点作圆锥曲线的两条切线的问题叫做圆锥曲线的双切线问题,该点可能
是定点也可能是动点,题目也可能给出两条切线的斜率的关系,此类双切线问题常常采用
同构的思想来解题.
数学中的同构式是指除了变量不同，而结构相同的两个表达式.
1. 若实数 a、b 分别满足 f (a) = 0 和 f (b) = 0 ，则它们呈现同构特征，由此 a、b 可视为方
既在圆上又在直线上，也就是说直线与圆恒有公共点，即直线与圆相切或相交，依据点到直线间的距离 d≤r 可得 k≥1 或 k≤－1.
例 2.(2014 东北师大附中四模.20)给定椭圆 C:
x2
+
y
2
=
a2 b2
1 (a > b > 0) ,称圆心在原点 O,半径为
a2 + b2 的圆时椭圆 C 的”准圆”.若椭圆 C 的一个焦点为 F ( 2, 0) ,其短轴上的一个端点到 F 的距离
②
过双曲线
x2 a2
−
y
2
=
b2
1 (a > b > 0) 上任意不同两点 A、B 作椭圆的切线，若切线垂直且相

圆锥曲线双切线一个等角性质的探究历程

：y〇[ U 十c〇2 十：yg]
y〇
’
所以 tan Z ^ P A = tanZ：F2P B ，又 Z F \P A ，
Z B P F 2 e (〇,7v)，所以 Z R P A = Z F 2PB.
同理可证，当 P A 垂直于x 轴时， PA =
Z F 2P B .
(2)直线、P F 2 中有一条垂直于x 轴.当
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中学数学教学
2016年第 5 期
圆锥曲线双切线一个等角性质的探究历程
湖北省阳新县高级中学邹生书（邮编：435200)
圆锥曲线是高中数学的主干知识，是高考和数学竞赛的重点考查内容，主要考查运算求解、推理论证以及探究问题的能力.其中不少题目的结论可以推广到一般情形，甚至可以类比到其它类型的圆锥曲线，从而得出圆锥曲线统一的几何性质.这样结论具有拓展性的试题是研究性学习的好素材，倍受高中数学教师和数学爱好者的青睐，推广类比不亦乐乎.2016年内蒙古自治区高中数学联赛预赛第10题就是这样一道具有研究价值的试题，本文将对该题推广、类比的探究历程呈现给读者，供参考.
因为分子：y〇(々i 十々2)—2o^々2+ 2 c = —
2cib\bjLy l ) + 2c = 〇, 所以 tanZFiPA = tanZF2P B , 又 Z F i P A ,
z b p f 2 e ( 〇 ,k), m j, ZFjPA = z f 2pb.
同理可证，当 P R 垂直于 x 轴时，
e (〇，tt) ，所以
=
Z F 2P B .
y /v + x 〇 + c

同构法巧解圆锥曲线的双切线问题

同构法巧解圆锥曲线的双切线问题圆锥曲线的双切线问题一直以来都是广泛研究的一个重要课题，也是几何学中一个极具挑战性的问题。

历来，圆锥曲线的双切线问题都是通过已知条件来求解，但其复杂性及耗费的时间也是一个值得重视的问题。

为了解决这一问题，一些学者提出了利用同构法巧解圆锥曲线的双切线问题的方法，其主要研究的是如何以最少的操作和最快的速度来求解这一问题，并极大地提高了求解效率，为此，本文以《同构法巧解圆锥曲线的双切线问题》为标题，讨论同构法巧解圆锥曲线的双切线问题的方法与相关理论。

一、同构法原理及研究基础同构是指将一个几何图形通过平移、旋转、放缩或其组合变换，再次同构到另一个几何图形，这样变换成的两个几何图形之间可以称之为同构图形。

两个同构图形之间具有相同的角度和距离关系，因此在同构变换下，两个图形会共享相同的几何空间，即使在另一个空间中，也可以在有限的步骤中实现相同的目标。

同构法巧解圆锥曲线的双切线问题是以几何变换同构法为基础而进行的研究，其具体的工作原理如下：首先，确定几何变换的类型，即一次同构变换或者多次同构变换；然后，求出变换前后所有相关几何元素的变换表（如角度、线长等）；最后，根据初始几何元素和变换表求出变换后所有几何元素的关系表。

这样，根据同构法巧解圆锥曲线的双切线问题的原理，可以避免大量的求解步骤，快速准确地求出双切线的坐标。

二、同构法巧解圆锥曲线双切线的求解方法1、确定几何变换类型首先，根据要求，需要确定几何变换的类型，即求解圆锥曲线的双切线需要使用什么几何变换，多次几何变换或者一次同构变换？一般情况下，如果需要求解的图形是复杂且有多个要素的，则建议采用多次几何变换的方法；如果图形的形状或规模不复杂，只包含几个要素的，则可以采用一次几何变换的方法。

2、变换表的求解接下来，根据几何变换的类型，求出变换前后相关几何元素的变换表，一般而言，多次几何变换时，需要根据每次变换的几何元素类型求出其变换表，而一次几何变换时，则可以根据变换后相关几何元素的坐标求出变换前元素的坐标，并求出变换表。

圆锥曲线切线又一优美性质的探究与思考

圆锥曲线切线又一优美性质的探究与思考作者：赵万双来源：《读写算》2014年第42期背景：每年高考过后，留给我们是一笔可贵的财富，因此对一些高考题进行探究尤为必要，下面以2014年江西省高考理科数学试卷第20题为例，对其进行延伸、推广、拓展等研究，得出圆锥曲线切线的又一优美性质.2问题的延伸将上述问题中的双曲线一般化：的右焦点为F，点分别在的两条渐近线上，轴，过上一点的直线与直线相交于点M，与直线相交于点N，试问：当点P在上移动时，是否为定值，若是求此定值.结论1：将上述问题中的双曲线推广到椭圆：的右焦点为F，轴，过上一点的直线与直线相交于点M，与直线相交于点N，则：当点P在上移动时， .分析：因为直线即：是过点的切线，轴，右焦点为F，所以直线的方程是：，联立方程组得到：得到：， .切线与直线相交，联立方程组得到：得到，所以，点N的坐标是，所以 = ，有，所以= = ，从而（离心率即为定值）.结论：2：将上述问题中的双曲线推广到抛物线：的焦点为F，轴，过上一点的直线与直线相交于点M，与直线相交于点N，则：当点P在上移动时，（离心率定值）.这里就不再证明了，留给有兴趣的读者来完成.4统一结论结论1：有心二次曲线C的焦点为F，轴，过上一点的切线与直线相交于点M，与焦点F所对应的准线相交于点N，则：当点P在上移动时，（离心率定值）.结论：2：：抛物线：的焦点为F，轴，过上一点的直线与直线相交于点M，与直线相交于点N，则：当点P在上移动时，（离心率定值）.5思考与感悟圆锥曲线定值、定点问题一直是各地高考的热点、难点。

教学中对这些定值问题不能仅仅满足于完成试题得到结果，而应该舍得花时间组织学生对条件和结论多反思、引申、拓展，让学生亲身经历探究过程，发现隐藏在试题背后通性、共性的知识，理解基本的数学概念、数学结论的本质，体会其中蕴藏的数学思想方法，从而提高学生的数学素养.噢加涅相在《中学数学教与学》一书则指出“必须重视，很多习题潜在进一步扩大其数学功能、发展功能和教育功能的可能性.对学生而言，结论的发现会使他们觉得数学秒不可言，解析几何美极了，这种惊喜对学生学好数学是强大的正能量.参考文献[1]许晓根数学美育教育与数学发现[M].北京：北京大学出版社，2012.[2]朱贤良.莫让浮云遮望眼，除尽繁华识真颜----对一类高考试题本质的追溯 .中学数学教学参考：上旬，2013（6）：1-3.[3]波利亚.怎样解题[M].上海：科技教育出版社，2007：12[4]波利亚.怎样解题[M].上海：科技教育出版社，2007：12[5]蒋海瓯.增进高中学生有效数学交流活动的基本方略 .中学教研（数学）2014（3）。

圆锥曲线的切线方程的探究与应用

圆锥曲线的切线方程的探究与应用1.问题提出在近日高三联考中有这样一道题：1.若两曲线在交点P处的切线互相垂直，则称该两曲线在点P处正交.设椭圆x24+y2b2=1（0<b<2）与双曲线x22-y2=1在交点处正交，则椭圆x24+y2b2=1的离心率为（）.A.12B. 22C. 32D. 3-1阅卷时发现，本题得分极低.笔者召集部分学生了解情况后得知，大部分学生想到通法――即先设出切线方程，再把直线方程代入曲线方程，消去一元y后，得到关于x的一元二次方程，再利用判别式Δ=0确定切线斜率，展开运算.这种方法易想，但运算量相当大，很容易出错，且耗时多，所以基本没做下去，而是随便选了个答案.分析本题先给出一个“正交”的定义，然后重点考查圆锥曲线方程和性质.解法1 由已知得y2=x22-1，代入x24+y2b2=1中，得x2=4b2+4b2+2.不妨设P（x，y）在第一象限，则y>0.将椭圆变形为y=b24-x2，y′=-bx24-x2，故椭圆在P处的切线斜率k1=-bx24-x2.将双曲线变形为y=22x2-2，y′=x2x2-2，故双曲线在P处的切线斜率k2=x2x2-2.∴k1?k2=-bx24-x2?x2x2-2=-1，将x2=4b2+4b2+2代入，得b=1.又由a=2，得c=22-1=3，故e=32.小结本题通过导数几何意义，求导确定在某点处的斜率，在导数与圆锥曲线交汇处命题.2.问题探究在学习直线与圆的位置关系时，我们容易得出一个形式非常简洁而又美观的结论：经过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程是x0x+y0y=r2.当我们学习圆锥曲线时，自然而然会提出问题：经过圆锥曲线上的一点的切线方程会有类似简洁而又美观的形式吗？其实，过椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上任一点P（x0，y0）的切线方程是x0xa2+y0yb2=1.这是如何推导的？对椭圆方程两边求导，得2xa2+2yy′b2=0，解得y′=-b2xa2y，即切线斜率为k=y′|x=x0=-b2x0a2y0.则切线方程为y-y0=-b2x0a2y0（x-x0），由点P（x0，y0）在过椭圆上，得x20a2+y20b2=1，带入并化简得x0xa2+y0yb2=1.同理，过双曲线E：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上任一点的切线方程是x0xa2-y0yb2=1.3.运用举例运用以上结论，上面那道题就有另一种解法.解法2 椭圆在交点P（x0，y0）处的切线为x0x4+y0yb2=1，即y=-b2x04y0x+b2y0，双曲线在交点P（x0，y0）处的切线为x0x2-y0y=1，即y=x02y0x-1y0.依题意得k1?k2=-b2x04y0?x02y0=-1，即b2x20=8y20①.又x204+y20b2=1②，x202-y20=1③，由①②③得b2=1.又由a=2，得c=22-1=3，故e=32.小结熟悉圆锥曲线在某点处的切线方程，可以很快写出切线的线斜，联立方程组求出结果.2.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为22，右焦点到直线l：x-y+4=0的距离为532.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过直线l上的动点P作椭圆C的切线PM、PN，切点分别为M、N，连结MN.（1）证明：直线MN恒过定点Q；（2）证明：当MN∥l时，定点Q平分线段MN.分析本题第（Ⅱ）问，考查椭圆的切线，可以用通法先设出直线方程，后联立方程组并消元，再利用判别式Δ=0确定切线斜率求出切线方程.但运算量相当大，很容易出错.解（Ⅰ）椭圆方程为x22+y2=1.（过程略）（Ⅱ）设P（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2）.则椭圆过点M、N的切线方程分别为x1x2+y1y=1，x2x2+y2y=1.因为两切线都过点P，则有x1x02+y1y0=1，x2x02+y2y0=1.这表明M、N均在直线x0x2+y0y=1①上.由两点决定一条直线知，式①就是直线MN的方程，其中（x0，y0）满足直线l的方程.（1）当点P在直线l上运动时，可理解为x0取遍一切实数，相应的y0为y0=x0+4.代入①消去y0得x02x+（x0+4）y-1=0.变形可得x0（x2+y）+（4y-1）=0对一切x0∈R恒成立.故有x2+y=0，4y-1=0.由此解得直线MN恒过定点Q（-12，14）.（2）当MN∥l时，MN的方程为x-y+34=0 将此方程与椭圆方程联立，消去y得x2+x-724=0.设MN截椭圆所得弦的中点为Q′（x′，y′），x′=x1+x22=-12，y′=x′+34=14.所以点Q′与Q重合.即点Q平分线段MN.小结熟悉圆锥曲线在某点处的切线方程，可以省去设直线方程、联立方程组并消元、利用判别式Δ=0确定切线斜率的过程，很快写出切线的线斜，节省时间，减少失误，快速解题.圆锥曲线既有统一的定义，也有一些相似的性质.圆作为最特殊也是最简单的圆锥曲线，有些几何性质能通过类比推广到椭圆和双曲线.“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.推理一般包括合情推理和演绎推理.类比是合情推理常用的一种思维方法，也是一种心理活动，更是认知事物、探求知识的一种不可缺少的方法和途径.。

关于圆锥曲线切线问题的一些思考(东南大学,徐文平)

椭圆内接四边形的四极点共线调和分割定理徐文平（东南大学南京210096）摘要：针对椭圆内接四边形开展极点与极线问题研究，发现了椭圆内接四边形的四极点共线调和分割定理，即椭圆内接四边形的对边延伸线交点调和分割对角线极点。

运用极点与极线的知识，并采用椭圆问题化圆处理方法，进行了新定理的简单证明。

关键词：椭圆切线、内接四边形、极点与极线、调和分割、尺规作图椭圆内接四边形有许多优美的性质，与经典的几何定理有着千丝万缕的渊源，是研究二次曲线射影几何理论的试金石。

作者在研究椭圆切线性质过程中，发现了椭圆内接四边形的四极点共线调和分割定理，深感奇妙，供大家鉴析。

一、新定理的提出新定理1：椭圆内接四边形的对边延伸线两交点调和分割对角线两极点。

如图1，椭圆内接四边形KLMN，对边线KN与LM交于A，对边线KL与NM交于B，对角线KM的极点为C，对角线LN的极点为D，KM与LN交于Q点，则A、B、C、D四点共线，且AB调和分割CD，即1/AC+1/AD＝2/AB。

图 1新定理2：椭圆内接四边形的其中一条对角线通过椭圆圆心，则另一条对角线的极点必定平分对椭圆内接四边形的对边延伸线两交点连线。

新定理2是新定理1的一种特殊情况，如图2，椭圆内接四边形KLMN的对角线LN通过椭圆心，则对角线LN的极点在无穷远处，对角线KM的极点C必定平分椭圆内接四边形KLMN的对边延伸线两交点AB连线，即AC＝CB。

图 2二、新定理的证明新定理证明思路：圆是椭圆的一种特殊情况，直线与圆的几何位置关系相对简单易证。

采用坐标线性变换方法和坐标旋转方法，可将椭圆转化为圆，那么，直线与椭圆相切的问题就会大大简化。

我们首先证明新定理在圆的情况下成立，然后采用坐标变换和坐标旋转方法，可以快速地证明新定理在椭圆情况下也成立。

如图3，圆⊙O 内接四边形KLMN ，对边KN 与LM 交于A ，对边KL 与NM 交于B ，对角线KM 的极点为C ，对角线LN 的极点为D ，KM 与LN 交于Q 点。

圆锥曲线的双切线问题初探

圆锥曲线的双切线问题初探蓝婷深圳市第二高级中学；广东深圳 518055【摘要】：本文以高考题为载体，在一个引理的基础上给出了一个关于圆锥曲线双切线问题的定理，并总结出了解决圆锥曲线的双切线问题的一套统一的简洁方法，充分体现定理的妙处。

【关键词】：圆锥曲线；双切线；切点弦方程一、研究背景圆锥曲线是高考数学中的必考问题，圆锥曲线以切线为背景与导数相结合的问题长期被高考命题者所青睐。

我们发现，这类问题的标准答案使用的传统方法解答过程一般较为复杂，并且在高强度的高考环境下，考生不得不将有限的时间浪费在繁杂的运算中。

笔者在这个问题的研究中试图寻求一种简单统一的方法，将此类问题的运算量降低，从而达到简化解题过程的目的。

二、定理证明为了简捷且更具一般性和代表性，我们将圆锥曲线(包含圆)统一写成最一般的形式：220Ax By Cx Dy Exy F +++++=，下面给出定理的证明。

引理：设()00,P x y 是圆锥曲线220Ax By Cx Dy Exy F +++++=上一点，则与该圆锥曲线切于点P 的直线方程为：000000()()()0222x x y y y x x yAx x By y C D E F ++++++++=。

证明：在圆锥曲线方程220Ax By Cx Dy Exy F +++++=两边求导，可得：220Ax Byy C Dy Ey Exy '''+++++=，所以：22Ax Ey Cy Ex By D++'=-++则切线方程为：0000002()2Ax Ey Cy y x x Ex By D++-=--++得：000000()(2)(2)()y y Ex By D Ax Ey C x x -++=-++-化简：220000000000002222222Ax By Cx Dy Ex y Ax x By y Cx Dy Cx Dy Ex y Exy ++++=+++++++ 因为()00,P x y 在圆锥曲线上，所以：220000002222220Ax By Cx Dy Ex y F +++++=整理得：000000()()()0222x x y y y x x yAx x By y C D E F ++++++++= 定理：设()00,P x y 不在圆锥曲线220Ax By Cx Dy Exy F +++++=上，过点P 引该圆锥曲线的两条切线，切点为A 、B ，则切点弦AB 的方程为：000000()()()0222x x y y y x x y Ax x By y C D E F ++++++++= 证明：设切点坐标()(),,,a a b b A x y B x y ，由引理可得：直线AP 方程：()()()0222a a a a a a x x y y y x x yAx x By y C D E F ++++++++= 直线BP 方程：()()()0222b b b b b b x x y y y x x yAx x By y C D E F ++++++++=因为()00,P x y 在直线AP 且在直线BP 上，所以：000000()()()0222a a a a a a x x y y y x x yAx x By y C D E F ++++++++= 000000()()()0222b b b b b b x x y y y x x yAx x By y C D E F ++++++++=以上两式说明：点()(),,,a a b b A x y B x y 均满足方程：000000()()()0222x x y y y x x y Ax x By y C D E F ++++++++= 所以切点弦AB 方程为：000000()()()0222x x y y y x x yAx x By y C D E F ++++++++=。

关于圆锥曲线中两垂直切线交点的轨迹

关于圆锥曲线中两垂直切线交点的轨迹在教学圆锥曲线过程中，有一些非常有价值的结论，对处理问题有事半功倍的效果。

标签：圆锥曲线；互相垂直切线；交点；结论笔者通过对圆锥曲线的两条垂直切线交点轨迹问题的研究发现了下面几个结论：结论1：椭圆+=1两条互相垂直切线的交点的轨迹是x2+y2=a2+b2.证明：设M（x0，y0）为椭圆+=1①两条互相垂直的切线的交点，k为过M 点所作这椭圆的切线的斜率，则这条切线的方程为y-y0=k（x-x0）②由①②可得b2x2+a2[y0+k（x-x0）]2-a2b2=0，即（b2+a2k2）x2+2k（y0-kx0）a2x+a2（y0-kx0）2-a2b2=0③由题意可得：Δ=4k2（y0-kx0）2a4-4（b2+a2k2）[a2（y0-kx0）2-a2b2]=0，化简得（a2-x20）k2+2x0y0k+b2-y20=0.当a2≠x20时，设此方程的二根为k1，k2，则k1·k2=-1，即=-1，故得x20+y20=a2+b2.当a2=x20时，此时切线MT⊥x轴，切线MT′⊥y轴，即x0=a，y0=b故点M的轨迹方程是x2+y2=a2+b2，即点M的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆.根据双曲线与椭圆的相似性，可以类比得到：结论2：双曲线-=1两条互相垂直切线的交点的轨迹是x2+y2=a2-b2.当a>b时，轨迹是以原点为圆心，为半径的圆；当a=b时，轨迹是（0，0）；当a<b时，轨迹不存在.结论3：抛物线y2=2px两条互相垂直切线的交点的轨迹是x=-.证明：切线PA的方程为y1y=p（x+x1），切线PB的方程为y2y=p（x+x2）.∵P（x0，y0）为这两切线的交点，∴y1y=p（x0+x1）①y2y=p（x0+x1）（②①÷②，得：=-，由此得x0===.①-②，得：（y1-y2）y0=p（x1-x2）y0===，又kPA·kPB=-1，即·=-1，故y1y2=-p2，則x0=-，故抛物线的两垂直切线的交点在准线上，故抛物线y2=2px两条互相垂直切线的交点的轨迹是x=-.。