第三章 静电场及其边值问题的解法
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2
电磁场与波
3.1 静电场的基本方程和电位方程
1. 基本方程
r
微分形式：
D r
E 0
本构关系：
r D
r
E
rr
积分形式：
ÑS Dr
dS r
q
ÑC E dl 0
3.1.2 电位定义
1. 电位函数的定义 r
由 E 0
r
E
即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数 称为静
电场的标量电位或简称电位。
电磁场与波
1
电磁场与波
• 静态电磁场：场量不随时间变化，包括： 静电场、恒定电场和恒定磁场
• 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场
• 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立
本章内容
3.1 静电场基本方程与电位方程 3.3 静电场中的导体与电容 3.4 静电场的边界条件 3.5 静电场的边值问题，惟一性定理 3.6 镜像法 3.7 分离变量法
导电物体上包含有效的尖点，则这些尖点处的电场 的大小与平滑部分的电场大小相比，结果如何？
7
电磁场与波
一根细长导线将两个半径分别为a和 b的导体球连接起来，如右图所示。
两个相连的导体球
将此组合充电至带电量Q，求每个
球的带电量和其表面电场强度。
a
b
解 假定二导体球A、B相距很远， A
使二球上的电荷仍为均匀分布；并
a
Qa
4 a
,b
Qb
4 b
由于有细导线相连，二球的电位是相同，即
Qa Qb
4 a 4b
考虑到 Q Qa，便Qb可求得
Qa
a
a b
Q, Qb
a
b b
Q
由 E rˆ 知Q，A，B球表面的电场强度分别为
4 r2
Ea
Qa
4 a2
Q
4 a(a b) , Eb
Qb
4 b2
Q
4b(a b)
9
电磁场与波
C ( C)
为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考 点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确 定值，所以该点的电位也就具有确定值，即
选参考点
令参考点电位为零
电位确定值(电位差)
选择电位参考点的原则 应使电位表达式有意义；
两点间电位差有定值
应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无
关于电位差的说明
P、Q 两点间的电位差
P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至Q 点
所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处；
电位差也称为电压，可用U 表示；
电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。
5
电磁场与波
4. 电位参考点 静电位不惟一，可以相差一个常数，即
例 3.1 求电偶极子的电位和电场强度。
电偶极子:一对等值异号的电荷相距 一个小的距离d
解 利用 (rr ) q C
4 R
在球坐标系中 (rr ) q ( 1 1 ) q r2 r1 40 r1 r2 40 r1r2
z
+q r1
d
o
r r2
－q
P(r, , )
电偶极子
r1 r2 (d / 2)2 rd cos
4 S R
线电荷的电位：
(rr )
1
4
C
l (rr)dl C
R
点电荷的电位： (rr ) q C
4 R
4
电磁场与波
3. 电位差
r
r
将 E 两端点乘 dl，则有
r E
r dl
r dl
(
dx
dy
dy)
d
x y y
上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得
电场力做 的功
Qr
Q
P E dl P d (P) (Q)
限远作电位参考点；
6 同一个问题只能有一个参考点。
电磁场与波
5. 电位的微分方程 在均匀介质中，有
标量泊松方程
r
r
r
D
v
E
v
E
பைடு நூலகம்
2 v
在无源区域， 0
2 0
拉普拉斯方程
很多静电场问题都是通过先求电位分布再来求电场分布。特别是， 在大多实际静电场问题中，空间中并不存在电荷，而只是在导体 表面有面电荷分布，因而在空域中只需求解拉普拉斯方程。
E r (rˆ ˆ 1 ˆ 1 )
z
P(r, , )
r r r sin
+q r1
d
o
r r2
qd
4 0 r 3
(rˆ2 cos
ˆ sin )
－q
电偶极子电场的特点：
1.远区电场按 r反3 比变化；
电场线 等位线
2.各分量大小与方向 有关； 3.无 分量远区电场具有轴对称性
（对称轴为 d）。
B
且连线很细，其上电荷可略，即 Q Qa Qb
Qa 分,Qb别是A、B球的带电量。
对带电量Q的孤立导体球，容易求得球外离球心距离r处M点
电场强度为
E
rˆ
Q
4 r2
取无穷远处M为电位M 参E 考dl点r ，则r rˆ其4电Q位r2为 dr
Q
4
r
8
电磁场与波
由此，A，B球表面的电位分别为
关键点
En nˆ E s /
13
电磁场与波
任何两个导体都可看作一电容器 电容器广泛应用于电子设备的电路中： • 在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁
3
电磁场与波
2. 电位的表达式 对于连续的体分布电荷，由
r R
rr
rr
Er (Qrr )
1
4
V
(rr) R3
r RdV
1
4
V
(rr)( 1 )dV
R
故得
[ 1
4
V
(rr)( 1 )dV ]
R
(rr )
1
4
V
(rr)dV
R
C
r
(
1 R
)
R R3
面电荷的电位：
(rr ) 1
S (rr)dS C
我们的讨论都限于达到平衡状态以后的现象。
12
电磁场与波
3.2 静电场中的导体与电容 静电场中的导体具有以下特征： 1.导体内部各处电场强度均为0 2. 导体内部不存在任何净电荷，电荷都以面电荷形式分 布于导体表面 3.导体为一等位体，其表面为等位面
4.导体表面切向电场为0，而只有法向电场分量En
ur
电偶极子的场图
11
电磁场与波
3.2 静电场中的导体与电容 导体：含有大量自由电荷的物体。
导体至于静电场中时，导体中自由电荷的运动情况？
当导体至于静电场中时，导体中将呈现静电感应现象，形成导 体中电荷的重新分布。在外加电场的作用下，正电荷将沿电场 方向、负电荷沿其反方向向导体表面移动，同时，这些正负电 荷又形成与外场反向的二次电场来抵消电场的作用。最终导致 导体中的合电场为零，电荷运动停止，这种状态称为静电平衡。
r2 r2 (d / 2)2 rd cos (1 x)a 1 ax
用代pr二入 项q上dr式式表展，示开得电，偶由极于(rr矩)r，q4方ddc向o0，rs2由得负4电rpr10荷rˆrr2指d2向4pcr正o0srrr电3 , r荷2 。r
d 2
cos
电磁场与波
由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度
电磁场与波
3.1 静电场的基本方程和电位方程
1. 基本方程
r
微分形式：
D r
E 0
本构关系：
r D
r
E
rr
积分形式：
ÑS Dr
dS r
q
ÑC E dl 0
3.1.2 电位定义
1. 电位函数的定义 r
由 E 0
r
E
即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数 称为静
电场的标量电位或简称电位。
电磁场与波
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电磁场与波
• 静态电磁场：场量不随时间变化，包括： 静电场、恒定电场和恒定磁场
• 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场
• 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立
本章内容
3.1 静电场基本方程与电位方程 3.3 静电场中的导体与电容 3.4 静电场的边界条件 3.5 静电场的边值问题，惟一性定理 3.6 镜像法 3.7 分离变量法
导电物体上包含有效的尖点，则这些尖点处的电场 的大小与平滑部分的电场大小相比，结果如何？
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电磁场与波
一根细长导线将两个半径分别为a和 b的导体球连接起来，如右图所示。
两个相连的导体球
将此组合充电至带电量Q，求每个
球的带电量和其表面电场强度。
a
b
解 假定二导体球A、B相距很远， A
使二球上的电荷仍为均匀分布；并
a
Qa
4 a
,b
Qb
4 b
由于有细导线相连，二球的电位是相同，即
Qa Qb
4 a 4b
考虑到 Q Qa，便Qb可求得
Qa
a
a b
Q, Qb
a
b b
Q
由 E rˆ 知Q，A，B球表面的电场强度分别为
4 r2
Ea
Qa
4 a2
Q
4 a(a b) , Eb
Qb
4 b2
Q
4b(a b)
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电磁场与波
C ( C)
为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考 点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确 定值，所以该点的电位也就具有确定值，即
选参考点
令参考点电位为零
电位确定值(电位差)
选择电位参考点的原则 应使电位表达式有意义；
两点间电位差有定值
应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无
关于电位差的说明
P、Q 两点间的电位差
P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至Q 点
所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处；
电位差也称为电压，可用U 表示；
电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。
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电磁场与波
4. 电位参考点 静电位不惟一，可以相差一个常数，即
例 3.1 求电偶极子的电位和电场强度。
电偶极子:一对等值异号的电荷相距 一个小的距离d
解 利用 (rr ) q C
4 R
在球坐标系中 (rr ) q ( 1 1 ) q r2 r1 40 r1 r2 40 r1r2
z
+q r1
d
o
r r2
－q
P(r, , )
电偶极子
r1 r2 (d / 2)2 rd cos
4 S R
线电荷的电位：
(rr )
1
4
C
l (rr)dl C
R
点电荷的电位： (rr ) q C
4 R
4
电磁场与波
3. 电位差
r
r
将 E 两端点乘 dl，则有
r E
r dl
r dl
(
dx
dy
dy)
d
x y y
上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得
电场力做 的功
Qr
Q
P E dl P d (P) (Q)
限远作电位参考点；
6 同一个问题只能有一个参考点。
电磁场与波
5. 电位的微分方程 在均匀介质中，有
标量泊松方程
r
r
r
D
v
E
v
E
பைடு நூலகம்
2 v
在无源区域， 0
2 0
拉普拉斯方程
很多静电场问题都是通过先求电位分布再来求电场分布。特别是， 在大多实际静电场问题中，空间中并不存在电荷，而只是在导体 表面有面电荷分布，因而在空域中只需求解拉普拉斯方程。
E r (rˆ ˆ 1 ˆ 1 )
z
P(r, , )
r r r sin
+q r1
d
o
r r2
qd
4 0 r 3
(rˆ2 cos
ˆ sin )
－q
电偶极子电场的特点：
1.远区电场按 r反3 比变化；
电场线 等位线
2.各分量大小与方向 有关； 3.无 分量远区电场具有轴对称性
（对称轴为 d）。
B
且连线很细，其上电荷可略，即 Q Qa Qb
Qa 分,Qb别是A、B球的带电量。
对带电量Q的孤立导体球，容易求得球外离球心距离r处M点
电场强度为
E
rˆ
Q
4 r2
取无穷远处M为电位M 参E 考dl点r ，则r rˆ其4电Q位r2为 dr
Q
4
r
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电磁场与波
由此，A，B球表面的电位分别为
关键点
En nˆ E s /
13
电磁场与波
任何两个导体都可看作一电容器 电容器广泛应用于电子设备的电路中： • 在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁
3
电磁场与波
2. 电位的表达式 对于连续的体分布电荷，由
r R
rr
rr
Er (Qrr )
1
4
V
(rr) R3
r RdV
1
4
V
(rr)( 1 )dV
R
故得
[ 1
4
V
(rr)( 1 )dV ]
R
(rr )
1
4
V
(rr)dV
R
C
r
(
1 R
)
R R3
面电荷的电位：
(rr ) 1
S (rr)dS C
我们的讨论都限于达到平衡状态以后的现象。
12
电磁场与波
3.2 静电场中的导体与电容 静电场中的导体具有以下特征： 1.导体内部各处电场强度均为0 2. 导体内部不存在任何净电荷，电荷都以面电荷形式分 布于导体表面 3.导体为一等位体，其表面为等位面
4.导体表面切向电场为0，而只有法向电场分量En
ur
电偶极子的场图
11
电磁场与波
3.2 静电场中的导体与电容 导体：含有大量自由电荷的物体。
导体至于静电场中时，导体中自由电荷的运动情况？
当导体至于静电场中时，导体中将呈现静电感应现象，形成导 体中电荷的重新分布。在外加电场的作用下，正电荷将沿电场 方向、负电荷沿其反方向向导体表面移动，同时，这些正负电 荷又形成与外场反向的二次电场来抵消电场的作用。最终导致 导体中的合电场为零，电荷运动停止，这种状态称为静电平衡。
r2 r2 (d / 2)2 rd cos (1 x)a 1 ax
用代pr二入 项q上dr式式表展，示开得电，偶由极于(rr矩)r，q4方ddc向o0，rs2由得负4电rpr10荷rˆrr2指d2向4pcr正o0srrr电3 , r荷2 。r
d 2
cos
电磁场与波
由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度