电路分析基础第4章
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正弦电流 i I m cos(t i ) 的波形如图所示。
4.1.1 正弦量的三要素
1．频率、周期和角频率
要完全描述一个正弦量，必须知道正弦量的 I m、 、i
这三个物理量称为正弦量的三要素。
正弦量变化一周所需要的时间称为周期T。正弦量每秒变 化的次数称为频率 f ，其单位为赫兹（Hz）。频率是周期
4
＝10cos(314t 135)A
（2）若以 t 0.005s 为计时起点，求两正弦量的初相
位和相位差，画出波形图。
由于T 0.02s , t 0.005s T 相当于正弦量的初相 4
位均在原来的基础上增加了 90 ，故有
2
i1
3
2
5
6
150
i2
cos
1 2
e j
e j
sin正 弦12量e可j 分e解j 成 一
对共轭复指数函数
正弦量可以表示为
i Im cos(t i )
I e e m j(ti )
- j(t i )
2
Re[Ime j(ti ) ]
表示取实部
上式可更进一步表示为
i Re[ I me j(ti ) ] Re[ I me ji e jt ] Re[ Ime jt ]
两个同频率的正弦量之间的相位差等于它们的初相位 之差，即是与频率无关的固定值。
两正弦量之间的相位关系有同相、超前和滞后三种情况。
【例4.1】 已知某电压正弦量为 u 100cos(314t )V 。 6
试求该电压的有效值、频率、初始值，并画出其波形图。
【解】 U 1 100 70.7V 314rad/s
化过程中能到达的最大值
在电路中，一般用正弦量的有效 值来表示一个正弦量在电路中的 实际效果。
图中，i 为正弦量，I 为直流量。
iR
I
R
两者消耗的电能分别为
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W~
T Ri 2dt
0
W_ RI 2T
如果这两个热功相等，即
T Ri 2dt RI 2T 0
就称此直流电流 I 为交流电流 i 的有效值。
2
f 314 50Hz u(0) 100cos 100cos30 86.6V
2
6
该正弦电压的波形如图所示。 若
u 100 cos(314 t 30)V
波形如何？
【例4.2】已知同频率正弦电流分别为
i1
20 c os (314t
)A 3
i2
10sin(314t
得
I 1 T i2dt
T0
此值也称为方均根值。
代入 i I m cos(t i )
得
I
1 2
Im
0.707
Im
3．相位和初相位
正弦量随时间变化的角度 t i 称为正弦量的相位。 t 0 时的相位称为正弦量的初相位（或称初相角）
初相位与计时零点的选择有关，如图所示为不同计时零点 下的初相位。
~ 220V
镇流器
启辉器
灯管
a)
b)
当外加正弦交流电压220V时，测得灯管两端电压为 110V，镇流器两端电压为176V，它们相加不等于220V， 这是什么原因呢？它们三者之间满足什么样的关系？如何 计算正弦交流电路中的电压和电流？镇流器起什么作用？ 它消耗电能吗？
4.1 正弦量
大小和方向都按正弦规律变化的电压和电流称为 正弦电压或正弦电流，常称为正弦量。其相应的波形 称为正弦波。
)A 4
试求（1）画出波形图、求相位差；（2）若以 t 0.005s
为计时起点，求两正弦量的初相位和相位差，画出波形图。
，
【解】i2
10sin(314t
4
)
10cos(314t
4
2
)
10cos(314t 3 )A 10cos(314t 135)A
4
（1）两正弦量的相位差为
的倒数，即
f 1 T
正弦量一个周期内角度变化了2 弧度，即 T 2
称为正弦量的角频率。角频率、周期、频率三者的关系
为
2 2f
T
单位：弧度/秒（rad/s)
我国电网供电的电压频率为50Hz，该频率称为工频。
2．幅值（或称振幅）和有效值
I m 为电流的幅值（或称振幅），它表示正弦电流在整个变
3
4
2
4
45
i1 i2 150 (45) 195 165
两正弦量的波形为 60
i1
3
2
5
6
150
i2
3
4
2
4
45
150 (45)
195 165
初相位的取值范围为 i 180
4．相位差 相位差是描述两个同频率正弦量之间的相位关系。假 设两个正弦电流分别为
i1 2I1 cos(t 1 ) i2 2I 2 cos(t 2 )
它们的相位差为
(t 1) (t 2 ) 1 2
60 (135)
195 165
135
结论：计时零点不同，初相位角不同，相位差不变。
4.2 正弦量的相量表示法
相量法是分析正弦稳态电路的一种简单易行的方法， 它是在数学理论和电路理论的基础上建立起来的。
4.2.1 正弦量的相量表示
由数学上的欧拉公式
e j cos jsin
4.1 正弦量 4.2 正弦量的相量表示法 4.3 电路元件的相量模型 4.4 正弦稳态电路的阻抗与导纳 4.5 正弦稳态电路的分析 4.6 正弦稳态电路的功率 4.7 功率因数的提高 4.8 最大功率的传输
【引例】 照明用的荧光灯是由灯管、镇流器及辉光启动器组
成，其电路示意图如图a所示。将灯管等效为电阻，镇流 器等效为电感,其电路图如图b所示。
i1 i2 60 (135 ) 195
考虑到相位差的取值范围，有
195
2
11
165
12 两正弦量的波形为
i1
20
cos(314 t
)A 3
20 cos(314 t 60)A
i2
10sin(314t
4
)
10cos(314t 3 )A
4.1.1 正弦量的三要素
1．频率、周期和角频率
要完全描述一个正弦量，必须知道正弦量的 I m、 、i
这三个物理量称为正弦量的三要素。
正弦量变化一周所需要的时间称为周期T。正弦量每秒变 化的次数称为频率 f ，其单位为赫兹（Hz）。频率是周期
4
＝10cos(314t 135)A
（2）若以 t 0.005s 为计时起点，求两正弦量的初相
位和相位差，画出波形图。
由于T 0.02s , t 0.005s T 相当于正弦量的初相 4
位均在原来的基础上增加了 90 ，故有
2
i1
3
2
5
6
150
i2
cos
1 2
e j
e j
sin正 弦12量e可j 分e解j 成 一
对共轭复指数函数
正弦量可以表示为
i Im cos(t i )
I e e m j(ti )
- j(t i )
2
Re[Ime j(ti ) ]
表示取实部
上式可更进一步表示为
i Re[ I me j(ti ) ] Re[ I me ji e jt ] Re[ Ime jt ]
两个同频率的正弦量之间的相位差等于它们的初相位 之差，即是与频率无关的固定值。
两正弦量之间的相位关系有同相、超前和滞后三种情况。
【例4.1】 已知某电压正弦量为 u 100cos(314t )V 。 6
试求该电压的有效值、频率、初始值，并画出其波形图。
【解】 U 1 100 70.7V 314rad/s
化过程中能到达的最大值
在电路中，一般用正弦量的有效 值来表示一个正弦量在电路中的 实际效果。
图中，i 为正弦量，I 为直流量。
iR
I
R
两者消耗的电能分别为
Biblioteka Baidu
W~
T Ri 2dt
0
W_ RI 2T
如果这两个热功相等，即
T Ri 2dt RI 2T 0
就称此直流电流 I 为交流电流 i 的有效值。
2
f 314 50Hz u(0) 100cos 100cos30 86.6V
2
6
该正弦电压的波形如图所示。 若
u 100 cos(314 t 30)V
波形如何？
【例4.2】已知同频率正弦电流分别为
i1
20 c os (314t
)A 3
i2
10sin(314t
得
I 1 T i2dt
T0
此值也称为方均根值。
代入 i I m cos(t i )
得
I
1 2
Im
0.707
Im
3．相位和初相位
正弦量随时间变化的角度 t i 称为正弦量的相位。 t 0 时的相位称为正弦量的初相位（或称初相角）
初相位与计时零点的选择有关，如图所示为不同计时零点 下的初相位。
~ 220V
镇流器
启辉器
灯管
a)
b)
当外加正弦交流电压220V时，测得灯管两端电压为 110V，镇流器两端电压为176V，它们相加不等于220V， 这是什么原因呢？它们三者之间满足什么样的关系？如何 计算正弦交流电路中的电压和电流？镇流器起什么作用？ 它消耗电能吗？
4.1 正弦量
大小和方向都按正弦规律变化的电压和电流称为 正弦电压或正弦电流，常称为正弦量。其相应的波形 称为正弦波。
)A 4
试求（1）画出波形图、求相位差；（2）若以 t 0.005s
为计时起点，求两正弦量的初相位和相位差，画出波形图。
，
【解】i2
10sin(314t
4
)
10cos(314t
4
2
)
10cos(314t 3 )A 10cos(314t 135)A
4
（1）两正弦量的相位差为
的倒数，即
f 1 T
正弦量一个周期内角度变化了2 弧度，即 T 2
称为正弦量的角频率。角频率、周期、频率三者的关系
为
2 2f
T
单位：弧度/秒（rad/s)
我国电网供电的电压频率为50Hz，该频率称为工频。
2．幅值（或称振幅）和有效值
I m 为电流的幅值（或称振幅），它表示正弦电流在整个变
3
4
2
4
45
i1 i2 150 (45) 195 165
两正弦量的波形为 60
i1
3
2
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150
i2
3
4
2
4
45
150 (45)
195 165
初相位的取值范围为 i 180
4．相位差 相位差是描述两个同频率正弦量之间的相位关系。假 设两个正弦电流分别为
i1 2I1 cos(t 1 ) i2 2I 2 cos(t 2 )
它们的相位差为
(t 1) (t 2 ) 1 2
60 (135)
195 165
135
结论：计时零点不同，初相位角不同，相位差不变。
4.2 正弦量的相量表示法
相量法是分析正弦稳态电路的一种简单易行的方法， 它是在数学理论和电路理论的基础上建立起来的。
4.2.1 正弦量的相量表示
由数学上的欧拉公式
e j cos jsin
4.1 正弦量 4.2 正弦量的相量表示法 4.3 电路元件的相量模型 4.4 正弦稳态电路的阻抗与导纳 4.5 正弦稳态电路的分析 4.6 正弦稳态电路的功率 4.7 功率因数的提高 4.8 最大功率的传输
【引例】 照明用的荧光灯是由灯管、镇流器及辉光启动器组
成，其电路示意图如图a所示。将灯管等效为电阻，镇流 器等效为电感,其电路图如图b所示。
i1 i2 60 (135 ) 195
考虑到相位差的取值范围，有
195
2
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165
12 两正弦量的波形为
i1
20
cos(314 t
)A 3
20 cos(314 t 60)A
i2
10sin(314t
4
)
10cos(314t 3 )A