复变函数与积分变换期末考试题

哈尔滨工程大学本科生考试试卷

（ 2010-2011 年 第一 学期）

2011-01-04

得分评卷人

选择题（每小题2分，共10分）

一、

1、00

Im Im lim

z z z z z z →-=- （ ）.

Ａ．i Ｂ．i - Ｃ．0 Ｄ．不存在

2、若0(1)n n n a z ∞

=-∑在3z =发散，则它在 （ ）.

A . 1z =-收敛 Ｂ．2z =收敛 C . 2z i =发散 D . 均不正确

3、已知函数212

()1cos f z z z

=

--，则0z =，z =∞分别是()f z 的 （ ）.

Ａ．二阶极点、孤立奇点 Ｂ．二阶极点、非孤立奇点 Ｃ．可去奇点、孤立奇点 Ｄ．可去奇点、非孤立奇点

4、映射3z i

w z i

-=

+在02z i =处的旋转角为 （ ）. Ａ．/2π- Ｂ．0 C ./2π D . π

5、下列命题或论断中，正确的个数是 （ ）.

I ：Ln z Ln z =

Ⅱ：设()(,)(,)f z u x y iv x y =+解析，则u -是v 的共轭调和函数

III ：()(,)(,)f z u x y iv x y =+的导数()f z '存在的充要条件是,u v 的偏导数分别

存在

Ⅳ：()tan(1/)f z z =在任意圆环域0z R <<不能展开为洛朗级数

Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3

得分评卷人

填空题（每小题2分，共10分）

二、

6、设z i e i =，则Re z = .

7、若函数32(,)v x y x axy =+为某一解析函数的虚部，则常数=a .

8、设函数cos z

e z 的泰勒展开式为∑∞

=0

n n n z c ，则它的收敛半径为 .

9、设信号()(1)f t t δ=-，则通过Fourier 变换得到的频谱函数()F ω= .

10、设1

()(1)

F s s s =

-，则通过Laplace 逆变换得到()f t = . 得分评卷人

计算题Ⅰ（每小题5分，共25分）

三、

11、函数33()23f z x i y =+在何处可导？何处解析？

12、设()(,)(,)f z u x y iv x y =+是解析函数，且22()(4)u v x y x xy y -=-++，求()f z .

13、计算积分()n C

z z dz +⎰，其中:1C z =为负向，n 为整数.

14、计算积分(21)(2)

C zdz

z z +-⎰

，其中:3C z =为正向.

15、利用留数定理计算定积分20

1cos d πθ

θ

+⎰

.

得分评卷人

计算题Ⅱ（每小题6分，共18分）

四、

16、求函数23

()32

z f z z z -=-+在下列要求下的级数(泰勒或者洛朗级数)展开：

(1) 圆1z <内；

(2) 环12z <<内；

(3) 环11z <-<∞内.

17、设2

321

sin (),:32C e f z d C z i

z ξξ

ξξπξξ=

-=-⎰正向，试求：

(1) ()f z 在复平面上除去3z =的点处的函数表达式； (2) ()f i '及()f i π.

18、按照要求逐步完成下列有关保形映射的问题.

(1) Z 平面阴影部分是角形区域/6arg /6z ππ-<<，如下图所示。通过何种

变换，保形映射为1w 平面上的右半平面？在下图方框中填入该变换.

1w 平面

(2) 21(1)w i w =⋅+，在下图中画出经过该映射后的区域. 得分评卷人

应用题（8分）

五、

19、质量为m 的物体挂在弹簧系数为20k m ω=的弹簧一端（如下图所示），其中

常数0ω为固有频率，()f t 为作用在物体上的外力。若物体从静止平衡位置

0x =开始运动，物体的初始位移(0)0,x =初始速度大小(0)0x '=，根据牛顿定律可得到方程：

()()()m x t f t kx t ''⋅=-

假设在初始时刻0t =时，物体受到外力()()f t t δ=（()t δ为单位冲击函数），应用Laplace 变换，求解物体的运动规律()x t 。

x

x =0

m

x

kx

f (t )

得分评卷人

证明题（5+4=9分）

六、

20、假设()f z 在给定区域D 解析，且()0f z ≠，若()f z 为常数，证明：()f z 为

常数.

21、若1

n n a ∞

=∑收敛而级数1

n n a ∞

=∑发散，证明：幂级数1

n n n a z ∞

=∑的收敛半径为1.

题号

一

二

三

总分

分数

评卷人

得分评卷人

填空题（每小题2分，共20分）

一、

1. 3i ＝ .

2. 设3223()33f z x x yi xy y i =+--，则()f z '＝ .

3. 幂级数0(cos )n n in z +∞

=∑的收敛半径R = .

4. 设C 为正向圆周3

2z =

，则积分22

d (1)(4)C

z z z =++⎰ . 5. 设C 为包含原点的任意一条正向简单闭曲线，则1

2

e d z

C

z z =⎰

. 6. z ＝0是函数5

cos 1

()z f z z -=

的孤立奇点，其类型为 . （如果是极点，则要说明阶数） 7. 函数2

1

()(1)f z z z =

-在复平面内的所有有限奇点处留数的和为 .

8. 映射1

w z =将z 平面内的圆域11z -<映射到w 平面内的区域为 .

9. 函数sin w z =在4

z π=

处的转动角为 .

10. 已知函数0,0,()1,0.t u t t <⎧=⎨>⎩，0,0,

()e ,0.t t f t t -<⎧=⎨>⎩，则()*()u t f t = .

得分

评卷人

单项选择题（每小题2分，共20分）

二、

哈尔滨工程大学本科生考试试卷

（ 2012 年 秋季 学期）