最新A-76-12高阶微分方程

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第三节可降阶的高阶微分方程

例5
求方程 yy′′ − y′2 0 的通解。＝
dp 解令 p = y′ ，则 y′′ = p 。 dy dp yp − p2 = 0 。于是，于是，原方程化为 dy dy = 0 ，故此时有解 y = C 。若 p = 0 ，则 dx dp dy = 。若 p ≠ 0 ，则原方程化为 p y dy p = 0 对应于 C1 = 0 = p = C1 y 。两边积分，得两边积分， dx y = C2 eC1x。运用分离变量法，运用分离变量法，得此方程的通解为
2 2
（***）
此处取负号是因为物体运动的方向与y轴的正向相反. 在（***）中令 y=R，就得到物体到达地面时的速度为
2 gR(l − R) v=− l
最后求物体落到地面所需的时间. 由（***）式有
1 1 dy = v = −R 2g − , y l dt
分离变量，得
1 l y dt = − dy. R 2g l − y
1 y′′ = 1 + y ′2 a
取原点 O 到点 A 的距离为定值 a ，即 |OA|= a ,则初始条件为：
y x =0 = a, y′ x =0 = 0.
故初值问题为
′′ 1 y = 1 + y ′2 , a y x = 0 = a, y ′ x = 0 = 0
′′ 1 y = 1 + y ′2 , a y x = 0 = a, y ′ x = 0 = 0
令 y ′ = p,
y′′ = p′ 代入上方程，得
dx = a 1 + p2 dp
1 2 p′ = 1+ p . a
x ln( p + 1 + p ) = + C1 a

《高阶微分方程》PPT课件

y yc y .
16

2. 二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法
y ay by f ( x) (1)
对应齐次方程 y ay by 0 (2)
定理4 设 y( x) 是方程(1)的一个特解,
yc ( x) 是(2)的通解, 那么方程(1)的通解为
y yc y .
问题归结为求方程(1)的一个特解.
这样比代入原方程要简便得多.
26
例7 求微分方程 y 4 y 4 y e x 的通解,
其中为实数.
解特征方程 2 4 4 0 , 特征根 1,2 2 ，
对应齐次方程通解 yc (C1 C2 x)e2x .
1）若 2 , 则设特解为 y Ax 2e2x ,
对应齐次方程通解 yc (C1 C2 x)e3x .
因为 r 3 是二重特征根,
所以设特解为 y x2 ( Ax B)e2x ( Ax3 Bx2 )e2x ,
注意：实际计算时，只要将Q( x) Ax3 Bx2 代入
Q (2r a)Q (r 2 ar b)Q Pm ( x) 现即 Q( x) Pm ( x) , 即得 6Ax 2B x .
(2)
线性非齐次微分方程的解的结构
定理2 如果 y( x) 是 n 阶非齐次线性方程(1)的一个特解, yc ( x) 是对应齐次方程(2)的通解，则(1)的通解为
y(x) yc(x) y(x) .
5
二、二阶常系数线性微分方程
二阶常系数线性微分方程的标准形式
y ay by f ( x) (1) 其中a,b是常数. 若 f ( x) 0 ,则称为二阶常系数非齐次线性微分方程,
只讨论 f (x) 的两种类型.
用待定系数法求解.

高等数学上75可降阶的高阶微分方程

3、 y arcsin(C2e x ) C1；
4、 y 1 1 . C1 x C2 x
二、1、 y 2x x2 ；
2、 y 1 ln(ax 1)； a
3、 y (1 x 1)4. 2
三、 y 1 x3 1 x 1. 62

四、恰当导数方程
例 4 求方程 yy y2 0的通解. 解 1 将方程写成 d ( yy) 0,
dp p

1
2
x x2
dx
两边积分得到 ln p ln(1 x2 ) c
即 p y' c1(1 x2 ) (c1 ec ) 由条件 y' |x0 3,得 c1 3 所以两边再积分得 y x3 3x c2
y' 3(1 x2 )
又由条件 y |x0 1,得 c2 1 于是所求方程的特解为： y x3 3x 1
第五节可降阶的高阶微分方程
• 一、y(n) f ( x) 型的微分方程 • 二、y'' f ( x, y')型的微分方程 • 三、y'' f ( y, y')型的微分方程 • 四、小结
•一、y(n) f ( x) 型的微分方程
例1： y'' x cos x 解：两边积分可得：
x

F0 m
(t2 2

t3 6T
)
C
2
将条件 x |t0 0代入上式,得 C2 0 于是,所求质点的运动规律为
x F0 (t 2 t 3 ) 0 t T m 2 6T
解设 y e zdx , y z e zdx ,

高阶微分方程的解法

描述经济系统的动态变化分析经济政策的传导机制预测经济周期和通货膨胀研究市场供需关系和价格形成机制
物理：高阶微分方程可以用来描述各种物理现象，如振动、波动、电磁场等。
工程：高阶微分方程在许多工程领域都有应用，如机械、航空航天、电子等。
经济：高阶微分方程可以用来描述经济系统的动态变化，如预测股票价格、分析市场供需等。
使用方法：通过输入数学公式和命令，可以快速得到问题的解决方案，操作简单方便。
Mathematica：提供符号计算、数值计算和图形可视化等功能，适用于高阶微分方程求解。 Maple：拥有强大的符号计算能力，支持高阶微分方程的符号求解和可视化。 Matlab：除了矩阵计算外，还具备符号计算功能，可以求解高阶微分方程。 Maxima：开源的符号计算软件，适用于高阶微分方程的符号求解和证明。
生物：高阶微分方程在生物学中也有应用，如描述生态系统中的种群动态、分析生物体内的生理过程等。
PART FIVE
MATL AB是一款强大的数学计算软件，可用于求解高阶微分方程。
MATL AB/Simulink支持多种求解器，可根据不同的方程类型选择合适的求解方法。
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汇报人：XX
PART TWO
适用范围：常微分方程中，当方程中只有一个变量时，可以考虑使用分离变量法。
解题步骤：将方程中的变量分离到等号的两边，然后对两边同时积分，得到解的表达式。
注意事项：在使用分离变量法时，需要注意初始条件和边界条件，以确保解的正确性和完整性。
举例说明：例如，对于一阶常微分方程 dy/dx = y，通过分离变量法可以得到解为 y = Ce^x。

高阶常系数线性微分方程、欧拉方程 ppt课件

ppt课件 PPTPPT 课件课件 9
故当特征方程有一对共轭复根
1 i ，2 i
时，原方程的通解可表示为
y e x (C1 cos x C2 sin x) 。
ppt课件 PPTPPT 课件课件
10
二阶常系数齐线性微分方程特征方程
y p y q y 0
x
ppt课件 PPTPPT 课件课件 16
k 移项，并记 a ，则有 m
2
它能正确描述我们的问题吗？
d2 x 2 a x 0 ， (a 0) 。 2 dt 记拉长后，突然放手的时刻为 t 0，则有初始条件：
初始位移 x
t 0
x0 ，
初始速度
dx dt
0。
t 0
我们要找的规律是下列初值问题的解：
的特征方程为
(1)
2 p q 0 。
3) 特征方程有一对共轭复根：1 i ，2 i ，则
y1 e1x e( i ) x， y2 e2 x e( i ) x
是方程 ( 1 ) 的两个线性无关的解，其通解为
y C1 y1 C2 y2 C1e ( i ) x C2 e ( i ) x。
开始拉长，当点 O 的位移为 x x0 时，突然放手，此时弹簧仅受到弹性恢复力 f 的作用。求反映此弹簧运动的规律（设其弹性系数为 k ）。
解
取 x 轴如如图所示。
由力学的虎克定理，有
f k x 。（恢复力与运动方向相反）
O
x0
由牛顿第二定律，得
d2 x m 2 k x 。 dt
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高等数学第十二章第五讲高阶线性微分方程

( B) C1 y1 C2 y2 ( C1 C2 ) y3 ; (C ) C1 y1 C2 y2 (1 C1 C2 ) y3 ;
(89 考研 )
提示:
y1 y3 , y2 y3 都是对应齐次方程的解,
二者线性无关 . (反证法可证)
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第十二章定理 4. 分别是方程
y P( x) y Q( x) y f k ( x) (k 1, 2 ,, n )
的特解, 是方程
n
y P( x) y Q( x) y f k ( x)
k 1
的特解. (非齐次方程之解的叠加原理)
定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程.
(证明略)
思考:
中有一个恒为 0, 则
必线性相关
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定理 2. 性无关特解, 则 y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)
数) 是该方程的通解. (自证) 有特解例如, 方程 y2 故方程的通解为 tan x 常数 , y1 推论.
第十二章是二阶线性齐次方程的两个线
成正比, 方向相反. 建立位移满足的微分方程.
解: 取平衡时物体的位置为坐标原点,
建立坐标系如图. 设时刻 t 物位移为 x(t).
(1) 自由振动情况. 物体所受的力有: 弹性恢复力
(虎克定律)
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o x x
返回结束
第十二章
阻力
据牛顿第二定律得
c 令 2 n , k , 则得有阻尼自由振动方程: m m 2 d x dx 2 2 n k x0 2 dt dt (2) 强迫振动情况. 若物体在运动过程中还受铅直外力 H 则得强迫振动方程: 令h ， F H sin pt 作用， m d2 x dx 2 2 n k x h sin pt 2 dt dt

高等数学高阶线性微分方程

x
(k )
(t , c1 ,, cn k )
第三步: 对上式求k次积分,即得原方程的通解
x (t , c1 ,, cn ), 这里c1 ,, cn为任常数
2007年8月南京航空航天大学理学院数学系 15
d 5x 1 d 4x 0的通解. 例1 求方程 5 4 dt t dt d 4x 解令 y, 则方程化为 4 dt dy 1 y0 dt t 这是一阶方程,其通解为 y ct, 4 d x 即有 ct, 4 dt
南京航空航天大学理学院数学系 14
2007年8月
F (t , x( k ) , x( k 1) ,, x( n ) ) 0
解题步骤:
(1)
令x ( k ) y, 则方程化为第一步:
F (t , y, y ' ,, y ( n k ) ) 0
第二步: 即求以上方程的通解
y (t , c1 ,, cnk )
2007年8月南京航空航天大学理学院数学系 20
3 已知齐线性方程的非零特解,进行降阶
(1) 设x x1 0是二阶齐线性方程 d 2x dx p(t ) q(t ) x 0, 2 dt dt
的非零解令
(3)
x x1 y
则
x x1 y x y
' ' ' 1
x x1 y 2 x y x y
d x k 恰好是将所要解的奇次方程中的 k 换成 dt
2007年8月南京航空航天大学理学院数学系 5
k
特征方程的根
一个单实根一个k阶重根一对单复根 i
微分方程通解的对应项
ce x 对应一项

微分方程PPT(罗兆富等编)第四章高阶线性常微分方程

在(－∞,＋∞)上恒成立. 因此,这两个函数是已知方程的两个线性无关解, 即是一基本解组, 故该方程的通解可写为
y ( n ) a1 ( x) y ( n1) an1 ( x ) y an ( x ) y 0 (4.1.05)
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11
结束
y( x) C1 cos x C2 sin x
y ( n ) a1 ( x) y (n1) a2 ( x ) y (n 2) an 1 (x ) y an (x )y f (x )
(4.1.01) 其中系数函数 a1 ( x), a2 ( x),, an ( x)和自由项f(x)都是区间I
上的连续函数.
2
机线性方程(4.1.05)的通解.
y ( n ) a1 ( x) y ( n1) an1 ( x ) y an ( x ) y 0 (4.1.05)
基本定理!
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■
10
返回结束
方程(4.1.05)的基本定理又可叙述为: 齐次线性常微分方程(4.1.05)的通解等于它的基本解组的线性组合.
5
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二、n 阶齐次线性常微分方程的一般理论显然, n阶齐次线性常微分方程(4.1.05)等价于一阶齐次线性常微分方程组
dY A( x)Y dx
(4.1.06)
所以一阶齐次线性常微分方程组解的理论都可移植到高阶齐次线性常微分方程上来. 为此,我们先给出函数组线性相关的概念. 定义1. 对于定义在区间I上的函数组 1 ( x), 2 ( x),, n ( x ), 如果存在一组不全为零的常数a , a ,…, a , 使得 1 2 n a11 ( x) a22 ( x) ann ( x) 0 (4.1.07) 在区间I上恒成立, 则称 1 ( x), 2 ( x),, n ( x) 区间I上线性 6 相关. 否则称之为线性无关.

高阶微分方程的降阶法PPT课件

y( dy )2 y2 d 2 y ,
dx
d x2
第4页/共12页
用数学归纳法易得:
x ( k )可用y,
dy ,, dx
d (k 1) y dx(k 1)
(k
n)来表示
将这些表达式代入(4.49)可得:
G(
x,
y,
dy dx
,,
d (n1) y d x( n 1)
)
0
它比原方程降低一阶
第5页/共12页
例1
求方程
d5x dt5
1 t
d4x dt4
0的通解.
解
令
d4x dt4
y,
则方程化为
dy 1 y 0
dt t
这是一阶方程,其通解为 y ct ,
即有
d4x dt4
ct,
对上式积分4次, 得原方程的通解为
x c1t5 c2t3 c3t2 c4t c5,
第3页/共12页
2 不显含自变量t的方程,
d2x dt2
( dx)2 dt
0的通解.
解
令dx yຫໍສະໝຸດ 并以x作为新的自变量 , dt则方程化为从而可得
xy dy y2 0
dx y 0,
及 dy y , dx x
这两方程的全部解是 y c1x,
再代回原来变量得到
dx dt
c1 x,
所以得原方程的通解为 x c2ec1t ,
第7页/共12页
1（2）（3 ）
第11页/共12页
感谢您的观看！
第12页/共12页
一、可降阶的一些方程类型
n阶微分方程的一般形式: F(t, x, x',, x(n) ) 0

可降阶的高阶微分方程-高阶线性微分方程及其通解结构市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件

那么y C1 y1 C2 y2 是方程(1)的通解.其中C1, C2是任意常数.
如:y y 0还有两个特解为：y1 e x , y2 e x ,
y1( x) y2( x)
e2x
常数，所以y
C1e x
C2e x
就是它通解.
推论: 如果y1( x),y2( x), yn( x)是n阶线性齐次方程 y(n) P1( x) y(n1) Pn1( x) y Pn ( x) y 0
代入原方程,得 P f x, P( x) . 这是一阶微分方程.
例2 求微分方程(1 x2 ) y 2xy满足 y 1,y 3的特解.
x0
x0
解所给方程是y f ( x, y) 型，令y P( x), 则 y P d P , dx
代入原方程,得
1 P
d
P
2x 1 x2
d
x,
积分
特点：不显含未知函数y, y， y(n1) . 解法：接连积分n次，得通解．
第4页4
例1 求方程y e2x cos x的通解.
解 y
e2x cos x dx
1 2
e2x
sin
x
C0
,
y
1 2
e
2
x
sin x C0 dx
1 e2x 4
cos x C0 x C2 ,
y
的n个线性无关的特解, 那么它的通解为:
y C1 y1 C2 y2 Cn yn , 其中C1,C2 , Cn是常数.
第191页9
2.线性非齐次线性微分方程解结构
定理3 设y*( x)是二阶线性非齐次方程： y P( x) y Q( x) y f ( x) (2)

常系数高阶齐次线性微分方程市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件

故所求通解为 y C1ex (C2 C3 x)cos x (C4 C5 x)sin x.
四、小结
二阶常系数齐次微分方程求通解旳一般环节: （1）写出相应旳特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根旳不同情况,得到相应旳通解.
(见下表)
y py qy 0 r 2 pr q 0
y py qy f ( x)
n阶常系数线性微分方程旳原则形式
y(n) p1 y(n1) pn1 y pn y f ( x) (1) n阶常系数齐次线性微分方程旳原则形式
y(n) p1 y(n1) pn1 y pn y 0
(2)
由(2)的项的特点及 y erx的特点：
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
y C1e r1 x C2e r2 x y (C1 C2 x)er2 x
y ex (C1 cos x C2 sin x)
思索题求微分方程 yy y2 y2 ln y 旳通解.
思索题解答
y 0,
特征根
相应旳特解
k重实根r
erx , xerx ,, x k1erx
k重共轭复ex cos x, xex cos x,, xk1ex cos x
根 i ex sin x, xex sin x,, x e k1 x sin x
注 1、n次代数方程恰有n个根。 2、属于不同特征根旳解线性无关。
注意
n次代数方程有n个根, 而特征方程旳每一种根都相应着通解中旳一项, 且每一项各一种任意常数.
y1 e r1x ,
y2 e r2x ,
得齐次方程旳通解为
y
C e r1x 1
C 2e r2x ;

A-76-12高阶微分方程

7 — 6 (B) (P. 162 ) 3
9
§7. 高阶线性微分方程
10
§7. 高阶线性微分方程
未知函数及其各阶导数都是一次的方程，称为线性微分方程。
n 阶线性微分方程的一般形式：
y ( n ) P 1 ( x ) y ( n 1 ) P n 1 ( x ) y P n ( x ) y f ( x ) 其中 P1， Pn,f都是 x的连续函数
29
课外作业
7 — 8 (A)
(P. 180 )
1（2，4，5，7），
2（2，4，5）
7 — 8 (B)
(P. 181 )
1（1，2，5）
30
§9. 常系数非齐次线性微分方程
31Leabharlann §9、二阶常系数非齐次线性微分方程
一般形式： y p y q y f ( x )( 2 )
（ p, q 为常数）
(*) 称为 (1) 的特征方程。 21
微分方程 y p y q y 0(1)
特征方程 r2prq0 (*)
特点： ① (*) 中 r 2 , r, r 0 的系数就是 (1)
②一元二中次y方,程y,(y*)的的根系r1,数 2。 p
p24q .
2
p p p2 2 2 4 4 4q q q 0 0 0,,, r1r r1 1 ,,r r r2 2 2 是是两一2 p个对是不共两相轭个等复相的根等实，的根实；根；
证：由题设，L [y 1 ] 0 ,L[y2]0, L [ C 1 y 1 C 2 y 2 ]C1L[y1]C2L[y2] 000, 满足 (1) , 即得证。问题：
y C 1y 1 C 2y 2是否就是(1)的通解？

特殊高阶微分方程

第12 次课 2 学时第12讲特殊高阶微分方程复习旧知：二阶线性微分方程的引入【例1】设有一弹簧，它的上端固定，下端挂一个质量为的物体。

当物体处于静止状态时，作用在物体上的重力与弹性力大小相等，方向相反。

这个位置就是物体的平衡位置。

如图，取轴铅直向下，并取物体的平衡位置为坐标原点。

如果使物体具有一个初始速度，那未物体便离开平衡位置，并在平衡位置附近作上下振动。

在振动过程中，物体的位置随时间变化，即是的函数试确定物体的振动规律。

力学知识告诉我们：弹簧使物体回到平衡位置的弹性恢复力和物体离开平衡位置的位移成正比，即其中为弹簧的弹性系数，负号表示弹性恢复力方向和物体位移方向相反。

另外，物体在运动过程中还受到阻尼介质(如空气、油等)的阻力作用，使得振动逐渐趋向于停止。

由实验知道，阻力总与运动方向相反，当振动不大时，其大小与物体运动的速度成正比，设比例系数为，则有根据上述关于物体受力情况的分析，由牛顿第二定律得移项，并记，则上式化为这就是在有阻尼的情况下，物体自由振动的微分方程。

如果物体在振动过程中，还受到铅直干扰力的作用，则有即其中，这就是强迫振动的微分方程。

观察上述微分方程的特点，它可表示成一个更一般的形式❶方程❶叫做二阶线性微分方程。

当方程的右端时，方程叫做齐次的;否则，方程叫做非齐次的。

二、二阶齐次线性微分方程的通解结构【定理一】如果函数与是二阶齐次线性方程❷的两个解，则❸也是方程的解，其中，是任意常数。

证明：将表达式❸代入❷式，有y x Q y x P y )()(+'+''])[(])[(][221122112211y c y c x Q y c y c x P y c y c ++'+'+''+''= ])()([])()([22221111y x Q y x P y c y x Q y x P y c +'+''++'+''= 0021⋅+⋅=c c0=故❸式是方程❷的解。

高阶微分方程(Word)

第五章高阶微分方程§1 几个例子一、【内容简介】本节结合几个具体的实例，介绍了与高阶微分方程有关的定解条件、定解问题和高阶微分方程的降阶技巧。

二、【关键词】自治微分方程三、【目的与要求】掌握高阶微分方程的降阶技巧，能熟练地运用降阶法解二阶方程，会用已有知识建立高阶微分方程及其相应的条件解决简单的几何、物理问题。

四、【教学过程】§2 n维线性空间中的微分方程一、【内容简介】在这一节里，主要介绍如何把n阶微分方程式化为标准微分方程组并采用向量的记号，将标准微分方程组写成向量的形式，从而可以从理论上把n维向量形式的微分方程的研究与一阶微分非常的研究统一起来。

二、【关键词】模；线性微分方程组三、【目的与要求】掌握将高阶微分方程化成等价的n阶标准微分方程组的方法；会叙述n维向量形式的微分方程和n阶线性微分方程组相应的毕卡存在和唯一性定理；掌握n阶线性微分方程组初值问题解的存在唯一性定理。

四、【教学过程】§3 解对初值和参数的连续依赖性一、【内容简介】在这一节里，主要讨论解对初值和参数的连续依赖性，由于解对初值和参数的连续依赖性问题可归结为解对参数的同一问题。

因此我们只讨论方程的解对参数的连续依赖性。

二、【关键词】参数；连续依赖性三、【目的与要求】解对初值和参数的连续依赖性定理揭示了微分方程的解的重要性质，要求弄清它的含义并正确地理解便于今后的应用。

四、【教学过程】§4 解对初值和参数的连续可微性一、【内容简介】本节主要讨论解对初值和参数的连续可微性。

如上一节一样，只考虑方程的解对参数的连续可微性。

二、【关键词】连续可微性；变分方程三、【目的与要求】与上一节一样，解对初值和参数的连续可微性揭示了微分方程的重要性质，要求弄清它的含义并正确地理解便于今后的应用。

四、【教学过程】教学过程前面我们主要讨论的是关于一阶方程的几个初等解法，在实际应用中，大多数微分方程是高阶的。