基于分位数回归的面板数据模型估计方法_李群峰
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［1］ Koenker 和 Bassett （1978） 提出。借助 Laplace （1818） 提出的
面板数据作为截面数据与时间序列数据综合起来的二 维数据类型， 在经济生活中有着极其广泛的应用。将分位数 回归和面板数据模型结合对变量之间的关系进行分析， 可以 充分利用面板数据的特点， 更好地识别和度量纯时间序列和 纯横截面数据所不能发现的影响因素。同时面板数据分位 数回归还可以测度自变量对因变量的某个特定分位数的边 际效果， 更好地在控制个体异质性的基础上分析因变量条件 分布的不同分位点上变量之间的关系。 1 分位数回归的基本原理 从理论上讲， 分位数回归是对以古典条件均值模型为基 础的最小二乘法的拓展。由于其采用多个分位函数对整体 模型进行估计， 因而可以测度自变量对因变量每个特定分位 数的边际影响。对一个连续随机变量 y ， 如果 y 小于等于 q τ 的概率是 τ ， 则我们说 y 的 τ 分位值是 q τ ， 或者说 q τ 就称
表1 最小二乘法与分位数回归结果比较 （固定效应模型） 最小二乘 回归 系数 标准误差 判定系数 T 统计量 0.5247 0.0048 32.175 0.7691 分位数回归 0.4195 41.2511 0.4512 0.0074 0.1 0.4207 34.9457 0.4648 0.0051 0.25 0.4341 10.2548 0.4853 0.0084 0.5 0.4438 32.5142 0.50.84 0.0065 0.75 0.4538 28.1576 0.6824 0.732 0.9
最小绝对残差估计思想， 他们针对最小二乘回归的某些缺 陷， 创 建 了 线 性 分 位 数 回 归 理 论 。 Bassett(1986)［2］、 Powell (1986) 和 Chernozhuko(2002) 等人在此基础上进行了深入
［3］ ［4］
的研究， 陆续解决了分位数回归的线性假设检验、 异方差的 稳健性检验、 估计量的一致性和线性规划解法等应用方面的 难题， 使其成为了近几十年来发展较快、 应用广泛的回归模 型方法。和最小二乘方法相比， 分位数回归放宽了对被解释 变量分布假设的限制， 采用加权残差绝对值之和的方法估计 参数， 应用的条件更为宽松， 挖掘的信息更丰富， 存在以下优 势： （1） 分位数回归对模型中的随机误差项不需做任何分布 的假定， 对残差分布的限制大为减少， 当误差呈现非正态分 布时， 其参数估计量比最小二乘法更有效； （2） 分位数回归法 通过测度回归变量在不同分位数水平下的参数估计值， 突出 了局部之间的相关关系， 能更加全面的刻画分布的特征； （3） 和最小二乘方法通过误差平方和最小进行参数估计不同， 分 位数回归通过加权残差绝对值之和最小来得到参数估计量， 因而对于异常值的敏感程度也远远小于最小二乘方法， 从而 其参数估计量更为稳健; （4） 在回归系数的解释效果方面， 最 小二乘回归反映的是自变量对因变量影响的平均边际效果， 而分位数回归则是自变量对因变量在某个特定分位数水平 上影响的边际效果。分位数回归可以提供不同分位点处的 估计结果， 因此可以对因变量的整个分配情况作出更为清楚
作 y 的第 τ 分位数。这也就是说， 对于 F( y) = prob(Y y) ， 可得
q τ = inf { y:F( y) τ} (0 < τ < 1)
（1）
类似地， 如果我们将被解释变量 y 表示为一系列解释 变量 X 的线性表达式， 并使得该表达式满足小于等于 q τ 的 概率是 τ ， 就称为分位数回归。 分位数回归的参数估计原理实际上是使一个关于 y 与 其拟和值之差绝对值的表达式最小， 即加权绝对残差最小 (WLA)。考虑一般模型 ' y i = x i β τ + α τi + u τi (i = 1,2,...) （2）
β yi > xi yi < '
模型的分位数回归， 并对分位数回归和最小二乘回归的优劣 加以比较。 考虑以板数据模型： ' y it = x it β i + α i + u it (i = 1,2,..., N ; t = 1,2,..., T ) （5）
i 代表不同的样本个体， t 代表不同的样本观察 其中， u 表示随机误差项向量，β i 表示解释变量的系数向 时点， α i 表示不同样本不可观察的随机效应向量。 量，
DOI:10.13546/j.cnki.tjyjc.2011.17.005
理论新探
基于分位数回归的面板数据模型估计方法
李群峰
（河南师范大学 经济与管理学院， 河南 新乡 453007）
摘
要： 文章在对分位数回归基本原理进行全面分析说明的基础上， 对其在面板数据模型中的
应用作了深入分析。利用 1998～2006 年 25 个行业企业销售收入与专利申请数量的面板数据， 分别 采取最小二乘法和分位数回归法进行参数估计和比较分析， 结果表明： 分位数回归方法在进行面板 数据模型估计时具有明显的优势。 关键词： 分位数回归 ； 最小二乘回归 ； 面板数据模型 中图分类号： O212； F224 文献标识码： A 文章编号： 1002-6487 （2011） 17-0024-02 的阐释。 0 引言 作为一种精确地描述自变量对于因变量的变化范围以 及条件分布影响的统计方法， 分位数回归的概念最早由
面板数据分位数回归能够估计因变量在给定自变量下 在各个分位点上的条件分布。从回归结果中可以看出， 分位 数回归得到的系数符号和最小二乘回归基本相似， 但是随着
统计与决策２０1 1 年第 17 期 （总第 341 期）
25
理论新探
一种基于三叉树的利率期限结构模型
田 萍 a， 张屹山 a,b
（吉林大学 a.商学院； b.数量经济研究中心,长春 130012）
min (∑ ρ τ ( y i - x 'i β(τ ) - α i) β = arg α
^ ,β i=1 N
τ 为估计中所取的各分位点，β τ 为各分位点斜率 其中， α τ 为各分位点截距项的估计值。其分位数 系数的估计值，
回归的基本思想是对于在回归线上方的点(残差为正） ， 赋予 其权重为 τ ， 对于在回归线下方的点(残差为负)， 赋予其权重 为 (1 - τ ) ， 然后求误差绝对值的加权和。分位数回归的参数 估计量的求解则是要在加权残差绝对值之和最小化的条件 下计算参数 α 和 β 的值。中位数回归是分位数回归的特殊 情况， 在加权残差绝对值之和中采用对称权重， 而其他的条 件分位数回归则使用非对称权重。 在参数估计量的求解上， 分位数回归要比传统的最小二 乘回归复杂得多。传统的最小二乘回归是使得被解释变量 而分位数回归是使得这 y 与其拟合值之差的平方和最小， 个残差的加权绝对值的一个表达式最小， 并且这个表达式 不可微， 因此传统的求导方法不再适用， 而只能采取线性 规划法 （LP） 估计其最小加权绝对偏差， 从而得到解释变量 的回归系数。目前较为流行的算法有三种， 即单纯形算 法、 内点算法和平滑算法等。这些计算方法基本上都是通 过 迭 代 求 解 。 现 在 大 部 分 统 计 计 算 软 件 SAS、 STATA、 EViews、 MATLAB 等中都具有分位数回归功能。 2 分位数回归方法与面板数据模型 面板数据分位数回归是对面板数据模型采用分位数回 归的方法进行参数估计。通过将分位数回归和面板数据模 型相结合对变量之间的关系进行研究， 可以更好地在控制个 体差异的基础上对因变量条件分布的不同分位点上各种变 量之间的关系进行分析。面板数据模型可以分为混合估计 模型、 固定效应模型和随机效应模型三类。混合估计模型因 为在不同时间和截面上均不存在显著差异， 可以视为普通最 小二乘模型。随机效应模型因为误差项在时间和截面上均 具有相关性， 一般采用广义最小二乘估计。固定效应模型由 于对于不同的截面或不同的时间序列， 模型的截距是不同 的， 则可以采用在模型中加虚拟变量的方法通过分位数回归 得到参数估计量。我们以固定效应情形为例， 进行面板数据
摘
要： 文章根据利率市场运动情况以及三叉树模型的特点， 给出了一种以路径形式表现的右
连左极的利率期限结构模型， 简要绍了这种利率期限结构模型的性质， 并对这种模型与以随机微分 方程形式表现的利率期限结构模型进行了简单的对比。 关键词： 利率期限结构模型； 随机利率模型； 三叉树模型 中图分类号： F224 文献标识码： A 文章编号： 1002-6487 （2011） 17-0026-04 要课题。 0 引言 利率期限结构理论是长期以来经济和金融领域重点研 究的问题之一。利率期限结构会影响到全球的资本流动和 汇率变换， 会影响到人们的消费储蓄行为及金融衍生产品的 价格， 利率期限结构又是货币转换的重要途径。因此对利率 期限结构的研究是任何一个国家经济和金融领域的首要问 题。随着金融市场不确定性活动的加剧， 利率的不稳定性也 逐渐加强， 这使得传统的利率期限结构理论不能很好地描述 利率变化的复杂性， 从而不足以满足对当今市场研究的需 要。因此研究以随机结构描述的利率形式为主体的现代利 率期限结构模型理论及其应用， 早已成为西方发达国家的重 随着金融市场不确定性情况的加剧， 以随机模型表现市 场上各种资产价格， 从而研究和解决各种金融问题已经成为 目前金融市场研究的主要手段。国际上关于利率期限结构 的理论依照时间顺序， 先后形成了传统利率期限结构理论和 现代利率期限结构理论这两大理论体系。以纯预期理论、 流 1 问题的提出 无论从我国金融市场市场化、 国际化的角度出发， 还是 应对我国国内经济形势的需要出发， 构建我国合理、 合适的 金融市场利率期限结构模型形式也已经是国内众多学者和 金融从业人士的主要研究目标。
理论新探
其中，y i 为解释变量；x i 为 k × 1 的行向量；x i = (1, x i1,
x i2,..., x ik - 1) ； 分别表示对应于被解释 β τ 为 k × 1 的行向量， α τi 为截距项； 变量第 τ 分位数的各解释变量的回归系数； u τi 表示随机误差项。给定解释变量 x 时， 被解释变量 y 的 ' 第 τ 个条件分位数为 Q τ ( y i | x i) = x i β τ + α τ ， 其样本估计值为 x 'i β τ + α τ ， 则解释变量 y 与其拟和值之差的绝对值的表达式 为 arg min ( ∑ τ | y i - X i' β - α | + α,
基金项目： 北京市高等学校人才强教深化计划高层次人才资助项目 （PHR20100513） ； 北京市优秀博士学位论文指导教师 人文社科项目 （YB20091003801） 作者简介： 李群峰 （1980-） ， 男， 河南郑州人， 博士研究生， 讲师， 研究方向： 计量经济学。 24
统计与决策２０1 1 年第 17 期 （总第 341 期）
（7）
如果不用向量表示， 则可以表示为
ρ τ j y it - x 'it β (τ j ) - α i β = arg min α, β ∑ ∑ ∑
^ j=1t=1 i=1 J T N
(
)
（8）
ρ τ j 为与各分位数相对应的权重。 其中，
利用 Eviews6.0 软件的分位数回归功能通过迭代求解， 可以很方便的对以上面板数据模型求出因变量在不同分位 点水平上对应的参数估计量。 3 应用实例 分位数回归方法对于因变量的某些非标准分布下回归 方程的系数估计有较好的效果。基于这个特点， 在对变量 之间的关系进行分析时， 采用面板数据模型进行分位数回 归可以使各参数估计显著程度更高， 回归分析结果更加稳 健。本文在对比最小二乘法与分位数回归方法在面板数 据模型中的估计效果时， 以 1998～2006 年 25 个行业企业销 售收入为因变量， 专利申请数量为自变量， 分析企业研发 能力和销售收入之间的关系， 分别采取最小二乘法和分位 数回归法进行参数估计和比较分析。为了简便起见， 本文 仅仅对混合估计模型和固定效应模型的估计结果进行比 较分析 （表 1） 。
}
（6）
x = ( x1i, x2i,...x ki) 为解释变量向量， 其中， β(τ ) = ( β1, β2, ..., β k)' 是 τ 分位数下的系数向量。
arg min ( ∑ p τ ( y i - X i' β - α)
α, β i = 1i
（4）
当 τ 在 (0,1) 上变动时， 求解加权绝对残差最小化问题 就可以得到分位数回归在不同分位点上的参数估计量。最 小化加权绝对残差的表达式为
如果令权重 p τ u =
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
{
∑x (1 - τ)| yi - Xi' β - α |
i
如果采取分位数回归方法对于上述面板数据模型进行 参数估计， 则首先需要建立条件分位数方程 q(τ | x i, β(τ )) = x 'i β(τ ) + α
' i '
（3）
τu, u0 ， 则上 （3） 式等价于 (1 - τ )u, u < 0
面板数据作为截面数据与时间序列数据综合起来的二 维数据类型， 在经济生活中有着极其广泛的应用。将分位数 回归和面板数据模型结合对变量之间的关系进行分析， 可以 充分利用面板数据的特点， 更好地识别和度量纯时间序列和 纯横截面数据所不能发现的影响因素。同时面板数据分位 数回归还可以测度自变量对因变量的某个特定分位数的边 际效果， 更好地在控制个体异质性的基础上分析因变量条件 分布的不同分位点上变量之间的关系。 1 分位数回归的基本原理 从理论上讲， 分位数回归是对以古典条件均值模型为基 础的最小二乘法的拓展。由于其采用多个分位函数对整体 模型进行估计， 因而可以测度自变量对因变量每个特定分位 数的边际影响。对一个连续随机变量 y ， 如果 y 小于等于 q τ 的概率是 τ ， 则我们说 y 的 τ 分位值是 q τ ， 或者说 q τ 就称
表1 最小二乘法与分位数回归结果比较 （固定效应模型） 最小二乘 回归 系数 标准误差 判定系数 T 统计量 0.5247 0.0048 32.175 0.7691 分位数回归 0.4195 41.2511 0.4512 0.0074 0.1 0.4207 34.9457 0.4648 0.0051 0.25 0.4341 10.2548 0.4853 0.0084 0.5 0.4438 32.5142 0.50.84 0.0065 0.75 0.4538 28.1576 0.6824 0.732 0.9
最小绝对残差估计思想， 他们针对最小二乘回归的某些缺 陷， 创 建 了 线 性 分 位 数 回 归 理 论 。 Bassett(1986)［2］、 Powell (1986) 和 Chernozhuko(2002) 等人在此基础上进行了深入
［3］ ［4］
的研究， 陆续解决了分位数回归的线性假设检验、 异方差的 稳健性检验、 估计量的一致性和线性规划解法等应用方面的 难题， 使其成为了近几十年来发展较快、 应用广泛的回归模 型方法。和最小二乘方法相比， 分位数回归放宽了对被解释 变量分布假设的限制， 采用加权残差绝对值之和的方法估计 参数， 应用的条件更为宽松， 挖掘的信息更丰富， 存在以下优 势： （1） 分位数回归对模型中的随机误差项不需做任何分布 的假定， 对残差分布的限制大为减少， 当误差呈现非正态分 布时， 其参数估计量比最小二乘法更有效； （2） 分位数回归法 通过测度回归变量在不同分位数水平下的参数估计值， 突出 了局部之间的相关关系， 能更加全面的刻画分布的特征； （3） 和最小二乘方法通过误差平方和最小进行参数估计不同， 分 位数回归通过加权残差绝对值之和最小来得到参数估计量， 因而对于异常值的敏感程度也远远小于最小二乘方法， 从而 其参数估计量更为稳健; （4） 在回归系数的解释效果方面， 最 小二乘回归反映的是自变量对因变量影响的平均边际效果， 而分位数回归则是自变量对因变量在某个特定分位数水平 上影响的边际效果。分位数回归可以提供不同分位点处的 估计结果， 因此可以对因变量的整个分配情况作出更为清楚
作 y 的第 τ 分位数。这也就是说， 对于 F( y) = prob(Y y) ， 可得
q τ = inf { y:F( y) τ} (0 < τ < 1)
（1）
类似地， 如果我们将被解释变量 y 表示为一系列解释 变量 X 的线性表达式， 并使得该表达式满足小于等于 q τ 的 概率是 τ ， 就称为分位数回归。 分位数回归的参数估计原理实际上是使一个关于 y 与 其拟和值之差绝对值的表达式最小， 即加权绝对残差最小 (WLA)。考虑一般模型 ' y i = x i β τ + α τi + u τi (i = 1,2,...) （2）
β yi > xi yi < '
模型的分位数回归， 并对分位数回归和最小二乘回归的优劣 加以比较。 考虑以板数据模型： ' y it = x it β i + α i + u it (i = 1,2,..., N ; t = 1,2,..., T ) （5）
i 代表不同的样本个体， t 代表不同的样本观察 其中， u 表示随机误差项向量，β i 表示解释变量的系数向 时点， α i 表示不同样本不可观察的随机效应向量。 量，
DOI:10.13546/j.cnki.tjyjc.2011.17.005
理论新探
基于分位数回归的面板数据模型估计方法
李群峰
（河南师范大学 经济与管理学院， 河南 新乡 453007）
摘
要： 文章在对分位数回归基本原理进行全面分析说明的基础上， 对其在面板数据模型中的
应用作了深入分析。利用 1998～2006 年 25 个行业企业销售收入与专利申请数量的面板数据， 分别 采取最小二乘法和分位数回归法进行参数估计和比较分析， 结果表明： 分位数回归方法在进行面板 数据模型估计时具有明显的优势。 关键词： 分位数回归 ； 最小二乘回归 ； 面板数据模型 中图分类号： O212； F224 文献标识码： A 文章编号： 1002-6487 （2011） 17-0024-02 的阐释。 0 引言 作为一种精确地描述自变量对于因变量的变化范围以 及条件分布影响的统计方法， 分位数回归的概念最早由
面板数据分位数回归能够估计因变量在给定自变量下 在各个分位点上的条件分布。从回归结果中可以看出， 分位 数回归得到的系数符号和最小二乘回归基本相似， 但是随着
统计与决策２０1 1 年第 17 期 （总第 341 期）
25
理论新探
一种基于三叉树的利率期限结构模型
田 萍 a， 张屹山 a,b
（吉林大学 a.商学院； b.数量经济研究中心,长春 130012）
min (∑ ρ τ ( y i - x 'i β(τ ) - α i) β = arg α
^ ,β i=1 N
τ 为估计中所取的各分位点，β τ 为各分位点斜率 其中， α τ 为各分位点截距项的估计值。其分位数 系数的估计值，
回归的基本思想是对于在回归线上方的点(残差为正） ， 赋予 其权重为 τ ， 对于在回归线下方的点(残差为负)， 赋予其权重 为 (1 - τ ) ， 然后求误差绝对值的加权和。分位数回归的参数 估计量的求解则是要在加权残差绝对值之和最小化的条件 下计算参数 α 和 β 的值。中位数回归是分位数回归的特殊 情况， 在加权残差绝对值之和中采用对称权重， 而其他的条 件分位数回归则使用非对称权重。 在参数估计量的求解上， 分位数回归要比传统的最小二 乘回归复杂得多。传统的最小二乘回归是使得被解释变量 而分位数回归是使得这 y 与其拟合值之差的平方和最小， 个残差的加权绝对值的一个表达式最小， 并且这个表达式 不可微， 因此传统的求导方法不再适用， 而只能采取线性 规划法 （LP） 估计其最小加权绝对偏差， 从而得到解释变量 的回归系数。目前较为流行的算法有三种， 即单纯形算 法、 内点算法和平滑算法等。这些计算方法基本上都是通 过 迭 代 求 解 。 现 在 大 部 分 统 计 计 算 软 件 SAS、 STATA、 EViews、 MATLAB 等中都具有分位数回归功能。 2 分位数回归方法与面板数据模型 面板数据分位数回归是对面板数据模型采用分位数回 归的方法进行参数估计。通过将分位数回归和面板数据模 型相结合对变量之间的关系进行研究， 可以更好地在控制个 体差异的基础上对因变量条件分布的不同分位点上各种变 量之间的关系进行分析。面板数据模型可以分为混合估计 模型、 固定效应模型和随机效应模型三类。混合估计模型因 为在不同时间和截面上均不存在显著差异， 可以视为普通最 小二乘模型。随机效应模型因为误差项在时间和截面上均 具有相关性， 一般采用广义最小二乘估计。固定效应模型由 于对于不同的截面或不同的时间序列， 模型的截距是不同 的， 则可以采用在模型中加虚拟变量的方法通过分位数回归 得到参数估计量。我们以固定效应情形为例， 进行面板数据
摘
要： 文章根据利率市场运动情况以及三叉树模型的特点， 给出了一种以路径形式表现的右
连左极的利率期限结构模型， 简要绍了这种利率期限结构模型的性质， 并对这种模型与以随机微分 方程形式表现的利率期限结构模型进行了简单的对比。 关键词： 利率期限结构模型； 随机利率模型； 三叉树模型 中图分类号： F224 文献标识码： A 文章编号： 1002-6487 （2011） 17-0026-04 要课题。 0 引言 利率期限结构理论是长期以来经济和金融领域重点研 究的问题之一。利率期限结构会影响到全球的资本流动和 汇率变换， 会影响到人们的消费储蓄行为及金融衍生产品的 价格， 利率期限结构又是货币转换的重要途径。因此对利率 期限结构的研究是任何一个国家经济和金融领域的首要问 题。随着金融市场不确定性活动的加剧， 利率的不稳定性也 逐渐加强， 这使得传统的利率期限结构理论不能很好地描述 利率变化的复杂性， 从而不足以满足对当今市场研究的需 要。因此研究以随机结构描述的利率形式为主体的现代利 率期限结构模型理论及其应用， 早已成为西方发达国家的重 随着金融市场不确定性情况的加剧， 以随机模型表现市 场上各种资产价格， 从而研究和解决各种金融问题已经成为 目前金融市场研究的主要手段。国际上关于利率期限结构 的理论依照时间顺序， 先后形成了传统利率期限结构理论和 现代利率期限结构理论这两大理论体系。以纯预期理论、 流 1 问题的提出 无论从我国金融市场市场化、 国际化的角度出发， 还是 应对我国国内经济形势的需要出发， 构建我国合理、 合适的 金融市场利率期限结构模型形式也已经是国内众多学者和 金融从业人士的主要研究目标。
理论新探
其中，y i 为解释变量；x i 为 k × 1 的行向量；x i = (1, x i1,
x i2,..., x ik - 1) ； 分别表示对应于被解释 β τ 为 k × 1 的行向量， α τi 为截距项； 变量第 τ 分位数的各解释变量的回归系数； u τi 表示随机误差项。给定解释变量 x 时， 被解释变量 y 的 ' 第 τ 个条件分位数为 Q τ ( y i | x i) = x i β τ + α τ ， 其样本估计值为 x 'i β τ + α τ ， 则解释变量 y 与其拟和值之差的绝对值的表达式 为 arg min ( ∑ τ | y i - X i' β - α | + α,
基金项目： 北京市高等学校人才强教深化计划高层次人才资助项目 （PHR20100513） ； 北京市优秀博士学位论文指导教师 人文社科项目 （YB20091003801） 作者简介： 李群峰 （1980-） ， 男， 河南郑州人， 博士研究生， 讲师， 研究方向： 计量经济学。 24
统计与决策２０1 1 年第 17 期 （总第 341 期）
（7）
如果不用向量表示， 则可以表示为
ρ τ j y it - x 'it β (τ j ) - α i β = arg min α, β ∑ ∑ ∑
^ j=1t=1 i=1 J T N
(
)
（8）
ρ τ j 为与各分位数相对应的权重。 其中，
利用 Eviews6.0 软件的分位数回归功能通过迭代求解， 可以很方便的对以上面板数据模型求出因变量在不同分位 点水平上对应的参数估计量。 3 应用实例 分位数回归方法对于因变量的某些非标准分布下回归 方程的系数估计有较好的效果。基于这个特点， 在对变量 之间的关系进行分析时， 采用面板数据模型进行分位数回 归可以使各参数估计显著程度更高， 回归分析结果更加稳 健。本文在对比最小二乘法与分位数回归方法在面板数 据模型中的估计效果时， 以 1998～2006 年 25 个行业企业销 售收入为因变量， 专利申请数量为自变量， 分析企业研发 能力和销售收入之间的关系， 分别采取最小二乘法和分位 数回归法进行参数估计和比较分析。为了简便起见， 本文 仅仅对混合估计模型和固定效应模型的估计结果进行比 较分析 （表 1） 。
}
（6）
x = ( x1i, x2i,...x ki) 为解释变量向量， 其中， β(τ ) = ( β1, β2, ..., β k)' 是 τ 分位数下的系数向量。
arg min ( ∑ p τ ( y i - X i' β - α)
α, β i = 1i
（4）
当 τ 在 (0,1) 上变动时， 求解加权绝对残差最小化问题 就可以得到分位数回归在不同分位点上的参数估计量。最 小化加权绝对残差的表达式为
如果令权重 p τ u =
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
{
∑x (1 - τ)| yi - Xi' β - α |
i
如果采取分位数回归方法对于上述面板数据模型进行 参数估计， 则首先需要建立条件分位数方程 q(τ | x i, β(τ )) = x 'i β(τ ) + α
' i '
（3）
τu, u0 ， 则上 （3） 式等价于 (1 - τ )u, u < 0