三角函数模型的简单应用
三角函数模型的简单应用
三角函数模型的简单应用
一、引言
三角函数是数学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。
本文将介
绍三角函数模型在实际问题中的简单应用，包括振动、音乐、天文等方面。
二、振动模型
振动是物理学中常见的现象，三角函数模型可以很好地描述振动的特性。
例如，在弹簧振子中，物体在平衡位置附近偏离并摆动，可以用正弦
函数描述振动的过程。
振动的周期、频率和振幅等因素可以通过三角函数
进行计算和预测。
三、音乐模型
音乐是艺术与科学的结合，三角函数模型在音乐中也有着重要的应用。
音乐的基本要素包括音高、音长和音色等。
三角函数可以帮助我们理解和
创建不同音调的声音，例如正弦函数可以生成纯音，而复杂的乐曲可以通
过多个三角函数的叠加来表示。
四、天文模型
三角函数模型在天文学中也扮演着重要的角色。
例如，我们可以使用
正弦函数来描述地球公转和自转的运动规律。
通过对三角函数模型的运用，我们可以计算出日出、日落以及季节变化等现象，并预测天文事件的发生
时间和位置。
五、结论
三角函数模型的简单应用涵盖了振动、音乐和天文等多个领域。
通过
对三角函数的理解和运用，我们可以更好地理解和解释各种现象，并进行
相关问题的计算和预测。
在实际应用中，对三角函数模型的灵活运用将有
助于我们解决各类问题。
1.6三角函数模型的简单应用
y 2 sin(2 x / 3)
例5. 如图,某地一天从6~14时的温度变化曲线近 y y A sin( x ) b 似满足函数 (1)求这一天6~14时的最大温差; 30 (2)写出这段曲线的函数解析式. 20
解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是200C. (2)从图中可以看出,从6~14时的图象是 6 0 10 14 x 函数 y A sin( x ) b的半个周期 1 1 的图象， 所以，A 30 10 10, b 30 10 20 2 2 3 1 2 14 6 . 将x 6, y 10代入上式，解得＝ . 8 4 2
y 2
A
4
T
又T
2
(3) y 2 sin( x ) 2
A点的坐标为(
2sin(2
2
12
O
6
12
x
, 2)
2
12
) 2
sin( ) 1 6 2k , k Z
6 2
一般取：| |≤π 2k , k Z 3 y 2 sin( 2 x 2k )
1. 由图象求振幅A, b
y 2 sinx
y
5 4 向上平移3个单位长度 3 2 sin x 3 2 1
O
5 1 最大值 最小值 A 2 2 2 b 5 1 最大值 最小值 3 y A sinx b 的A, b
y
最 大 值 最 小 值 A 2 4 ( 2) 3 2
10
一般的，所求出的函数模型只能近似刻画 这天某个时刻的温度变化情况，因此应当特 别注意自变量的变化范围.
1.6 三角函数模型的简单应用
1 A (30 10) 10 2
1 b (30 10) 20 2 1 2 14 6, 2 8
8 3 代入(*)式，解得 4
综上，所求解析式为：
3 y 10sin( x ) 20, x [6,14] 8 4
注：
一般地，所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的 温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围。
例2：画出函数 y | sin x | 的图象并观察其周期。
解：函数图象如图所示：
从图中可以看出，函数y | sin x |是以 为周期的波浪形曲线。
我们也可以这样验证： 由于 | sin( x ) || sin x || sin x | 所以，函数 y | sin x | 是以 为周期的函数。 注： 利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的 认识，这是研究数学问题的常用方法。
例4：海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。 一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情况下，船在涨潮时驶进 航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋。下面是某港口在 某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 0：00 3：00 水深/米 5.0 7.5 时刻 9：00 12：00 水深/米 2.5 5.0 时刻 18：00 21：00 水深/米 5.0 2.5
一、三角函数模型的应用：
例1：如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数
y A sin( x ) b
(1)求这一天6～14时的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式。 解：(1)由图可知，这段时间的最大温差是 20 C 。 (2)从图中可以看出，从6～14时的图象是函数 y A sin( x ) b (*) 的半个周期的图象 将 A 10, b 20, , x 6, y 10
三角函数模型的简单应用课件
思考2 上述的数学模型是怎样建立的？ 答 解决问题的一般程序是： 1°审题：逐字逐句的阅读题意，审清楚题目条件、要求、理解 数学关系； 2°建模：分析题目变化趋势，选择适当函数模型； 3°求解：对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论； 4°还原：把数学结论还原为实际问题的解答.
思考3 怎样处理搜集到的数据？ 答 画出散点图，分析它的变化趋势，确定合适的函数模型. 小结 利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下： (1)收集数据，画出“散点图”； (2)观察“散点图”，进行函数拟合，当散点图具有波浪形的 特征时，便可考虑应用正弦函数和余弦函数模型来解决； (3)注意由第二步建立的数学模型得到的解都是近似的，需要 具体情况具体分析.
y＝Acos(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝ |ω| ； π
y＝Atan(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝ |ω| .
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k (A>0，ω>0)的性质
(1)ymax＝ A＋k ，ymin＝ －A＋k .
(2)A＝
ymax－ymin 2
，k＝
ymax＋ymin 2
跟踪训练1 求下列函数的周期：
(1)y＝|sin 2x|； (2)y＝sin12x＋π6＋13； (3)y＝|tan 2x|. 解 (1)T＝π2；(2)T＝21π＝4π；(3)T＝π2.
2
探究点二 三角函数模型的应用
思考1 数学模型是什么，什么是数学模型的方法？ 答 简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括， 再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于 实际问题的数学描述.数学模型的方法，是把实际问题加以抽象 概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的 一般数学方法.
三角函数模型的简单应用
问题提出
1.函数 y Asin(x ) 中的参数 A,,
对图象有什么影响？三角函数的性质包 括哪些基本内容？
2.我们已经学习了三角函数的概念、图象与 性质，其中周期性是三角函数的一个显著性 质.在现实生活中，如果某种变化着的现象 具有周期性，那么它就可以借助三角函数来 描述，并利用三角函数的图象和性质解决相 应的实际问题.
思考7：若某船的吃水深度为4米，安全
间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，
吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那
么该船在什么时间必须停止卸货，将船
驶向较深的水域？
y
8
y 2.5 sin x
6
பைடு நூலகம்
6
货船最好在 6.5时之前停
5
止卸货，将
4
船驶向较深
2
y=-0.3x+6.1 的水域.
o 2 4 6 8 10 12
例1 弹簧上挂的小球做上下振动时，
小球离开平衡位置的距离s（cm）随时
间t（s）的变化曲线是一个三角函数的
图象，如图.
s/cm
（1）求这条曲线对 4
应的函数解析式；
7
（2）小球在开始振
12
动时，离开平衡位 O
t/s
置的位移是多少？
12
-4
例2 已知函数y sin( x )
( 0, 0
示，
) 的部分图象如图所
)
2
探究一：根据图象建立三角函数关系
【背景材料】如图，某地一天从6～14时 的温度变化曲线近似满足函数:
y Asin(x ) b T/℃
思考1：这一天6～14
30
时的最大温差是多少？ 20
三角函数模型的简单应用
三角函数模型的简单应用一周强化一、知识结构二、重难点知识概述1、用三角函数模型解决一些具有周期性变化规律的实际问题，将所发现的规律抽象为恰当的的三角函数模型．2、选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律，能根据问题的实际意义，利用模型解释有关实际问题，为决策提供依据．3、研究的方法是利用收集到的数据分析分析问题中的数量关系，通过作出散点图，根据散点图进行函数拟合，得到函数模型．4、三角函数模型的应用包括（1）根据图象建立解析式；（2）根据解析式作出图象；（3）根据实际问题处理数据，作出图象进行函数拟合，将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．5、建立数学模型解决实际问题，所得的模型一般是近似的，并且得到的解也是近似的，所以需要根据实际背景及问题的条件，注意考虑实际意义，对问题的解进行具体分析．三、例题讲解例1、如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离S厘米和时间t秒的函数关系式为：，那么单摆从最高点开始来回摆动一次所需的时间为（）A．2π秒B．π秒C．0.5秒D．1秒分析：本题已给出了单摆离开平衡位置O的距离S厘米和时间t秒的函数关系式，单摆从最高点开始来回摆动一次所需的时间即为此函数的一个周期．解：∵ω=2π，∴．故选D．说明：客观世界中很多物理现象的数量之间存在着三角函数关系，熟练掌握三角函数的图象与性质及有关结论，有助于解决此类问题．例2、如图，某大风车的半径为2m，每12s旋转一周，它的最低点O离地面0.5m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m)．(1)求函数h=f(t)的关系式；(2)画出函数h=f(t)的图象．解析：本小题主要考查三角函数的图象和性质及恒等变换知识，以及由数到形的转化思想和作图技能；考查运算能力和解决实际问题的能力．解：(1)如图，以O为原点，过点O的圆的切线为x轴，建立直角坐标系．设点A的坐标为(x,y)，则h=y＋0.5．设∠OO1A=θ，则又，即，所以(2)函数的图象如下例3、下表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1小时)日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日6月21日8月13日9月20日10月25日12月21日日期位置序号x1 59 80 117 126 172 225 263 298 356白昼时间y（小时）5.6 10.2 12.4 16.4 17.3 19.4 16.4 12.48.5 5.4(I)以日期在365天中的位置序号x为横坐标，白昼时间y为纵坐标，在给定坐标系中画出这些数据的散点图；(Ⅱ)试选用一个形如y=Asin(ωx＋)+t的函数来近似描述一年中白昼时间y与日期位置序号x之间的函数关系．(注：①求出所选用的函数关系式；②一年按365天计算)(Ⅲ)用(Ⅱ)中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．解：（I）画散点图见下面．（II）由散点图知白昼时间与日期序号之间的函数关系近似为y=Asin(ωx＋)＋t，由图形知函数的最大值为19.4，最小值为5.4，即y max=19.4，y min=5.4，由19.4－5.4=14，得A=7；由19.4＋5.4=24.8，得t=12.4；又T=365，∴，例4、在长江汽车渡口，马力不足或装货较重的汽车上岸时，采用沿着坡面斜着成S形的方向向上升，这是为什么？解析：在汽车马力恒定的情况下，行驶单位路程内，垂直上升高度愈大，汽车愈费“力”，当“力”所不及时，就会发生危险．日常经验告诉我们，走S形可减少这种危险．从数学的角度看，如图所示，AB表示笔直向上行走的路线，(AB⊥CA)，α表示它与水平面所成的夹角，CB表示斜着向上所行走的路线，β表示它与水平面所成的夹角，它们所达到的高度都是BD．现在的问题就是要研究α和β这两个角哪个大．在Rt△BAD中，，①在Rt△BCD中，，②比较①与②，因为AB、CB分别是Rt△ABC的直角边和斜边，也就是说AB＜CB，所以，所以sinα＞sinβ．又因为α、β都是锐角，所以α＞β．因此，汽车沿着CB方向斜着向上开要省力．说明：山区修筑的公路，采取盘山而上的方法，也就是这个道理．另外实际问题中也要碰到利用三角函数来比较大小的问题．。
三角函数模型的简单应用
正切函数的定义与性质
正切函数的定义
正切函数（tangent function） 是三角函数中的一种，通常用 tan(x)表示，其定义是邻边与对边 之比值。
正切函数的性质
正切函数具有周期性、奇偶性、 单调性等性质。
正切函数的图象与公式
正切函数的图象
正切函数的图象是一个周期函数，其周期为π（派），即每隔π的角度其函数值 重复。
余弦函数的图象与公式
余弦函数的图象
余弦函数的图象是一个连续的曲线，形状类似于波浪。在一 个周期内，余弦函数从-1变化到1，再从1变化到-1，如此往 复。图象上的每个点都代表一个角度，对应一个余弦值。
余弦函数的公式
余弦函数有一些基本的公式，如和差角公式、积化和差公式 等。这些公式是余弦函数应用的基础，可以用于简化复杂的 三角函数表达式。
反三角函数的图象与公式
图象
反三角函数的图象是连续的，具有明显的波动形状。它们的形状和大小取决于其参数的取值范围。
公式
反三角函数有多种计算公式，如反正弦公式、反正切公式和反余弦公式等。这些公式可以用于求解三 角函数的反函数。
反三角函数的应用场景
三角函数方程的求解
当需要求解三角函数方程时，可以使用反三角函数来找到方程的 解。
余弦函数的应用场景
振动分析
余弦函数可以用于描述周期性的振动 现象，如机械振动、电磁振荡等。通 过对振荡过程进行分析，可以了解系 统的动态特性。
信号处理
在通信、声音、图像等信号处理领域 ，余弦函数经常被用于对信号进行调 制和解调。通过对信号进行处理和分 析，可以提取出有用的信息。
04
正切函数及其应用
02
正弦函数及其应用
正弦函数的定义与性质
三角函数模型的简单应用（水车问题）
三⾓函数模型的简单应⽤（⽔车问题）§9 三⾓函数模型的简单应⽤第⼀课时⼀、教学⽬的1、对⼀些简单的周期现象，能够选择适当的三⾓函数模型，刻画和解决实际问题。
2、通过本节学习，培养学⽣的数学应⽤意识。
⼆、教学重点：体会三⾓函数模型在实际问题中的应⽤。
三、教学难点：⽤三⾓函数描述周期现象的实际问题。
四、教学过程：例：⽔车问题如图,⽔车的直径为3m,其中⼼(即圆⼼O)距⽔⾯1.2m,如果⽔车每4min 逆时针旋转3圈.在⽔车轮边缘上取⼀点P,点P 距⽔⾯的⾼度h(m)与时间(t)有怎样的关系?分析：设⽔车的半径为R ，R=1.5m ；⽔车中⼼到⽔⾯的距离为b ，b=1.2m ；∠QOP=α⽔车旋转⼀圈所需的时间为T ；单位时间(s)旋转的⾓度(rad)为ω过P 点向⽔⾯作垂线，交⽔⾯于M 点，PM 的长度为P 点的⾼度h ；∠QOP=φ；则：h=PM=PN+NM=Rsin(α-φ)+b根据问题的条件确定这个模型中的变量和参数: α,φ,R 和b.⽤ω表⽰单位时间(s)内⽔车转动的⾓度(rad)，这样，在时刻t ⽔车转动的⾓度为α= ωt ⽔车旋转⼀圈所需的时间T=ωπ2 ⼜由于⽔车每4min 转3圈，旋转⼀圈所需的时间T=80s所以ω=40πrad/sSin φ=5.12.1⾬季河⽔上涨时,函数解析式中的b 减⼩,旱季河⽔流量减少时,参数b 增⼤. 如果⽔车转速加快,将使周期T 减⼩,如果⽔车转速减慢,将使周期T 增⼤.五、课堂⼩结六、课后作业rad ， 295.01.53≈?≈φ所以)(2.1)295.040sin(5.1m t ，h +-=ππ所以。
高一数学三角函数模型的简单应用
双胞胎兄弟！”耿直擦去刚才为已经过世的姥娘流下来的眼泪，和李尚武勾肩搭背坐到一把椅子上。耿英也和秀儿挤着坐到一把椅子上。 耿兰烧的水响锅了，郭氏取出茶杯和大碗小碗的各抓一小撮茶叶。水开了，耿兰用大铜勺舀了一一泡上凉着。大家继续流着高兴的眼泪说 笑着，有的随便端来茶水喝一些看着悄悄儿地坐在妻弟身边的那个十四、五岁的男娃儿和七、八岁的女娃儿，以及妻弟妹怀里抱着的小男 娃，耿老爹对妻弟和妻弟妹说：“都三个娃娃了啊！俺们走的时候，栋儿才五岁。看看，他现在已经长成半大小伙儿了哇！”妻弟拍拍大 儿子的背，高兴地说：“姐夫你的名字起得好，咱们栋儿不错，挺有出息的娃儿！”耿老爹笑着说：“哪里啊，是你们做爹娘的教育得好 哇！这女娃儿和二小子叫什么名字啊？”妻弟妹说：“姐夫你不在家，俺们就胡乱给起啦！”说着，她笑着伸手摸摸身边女儿的头，说： “这妞儿小的时候模样挺好看，俺们就叫她美妞儿！”又看看怀里抱着的小男娃，说：“二小子的名字是他哥哥给起的。栋儿说，‘姑父 不是说希望俺能成为什么栋梁嘛！俺叫郭栋，弟弟就叫郭梁哇！’”耿老爹还没有开口呢，耿英就赞赏地开始叫好了，大声说：“这两个 名字起得忒好啦！美妞儿小时候的模样俺没有见过，但现在的模样实在是太好看了啊！”说着，探身摸摸小表弟可爱的小脑袋，说：“还 有啊，光是郭（国）栋怎么行啊，郭家（国家）有栋梁才完美哪！”耿正也说：“能给弟弟起这样的名字，足以看得出来，俺们这大表弟 确实是很有思想哩！”直到这时候，当爷爷的才终于擦把老泪露出了笑容。33第百零九回 五道庙前父子见|（归心似箭七八天，故乡日近 怯怯行；苍天不负耿家人，五道庙前父子见。）耿正兄妹三人归心似箭七八天后，离家越来越近了。然而，他们急于回家见到亲人的心情， 却随着家的日益接近而变得越来越沉重起来„„近乡情更怯，不敢问来人！这句脍炙人口的古老诗句，兄妹三人算是体会到骨子里了。当 然，他们此时此刻所体会到的，主要是前半句，因为爹爹没有和他们一起回来，他们不敢回家了，他们实在无法面对娘和妹妹„„日思夜 想的家一天比一天接近了，但兄妹三人归家的步伐却一天比一天慢下来。原本两天就可以轻松走完的路程，到后来竟然三天也走不完 了„„连着几日来，兄妹三人的话越来越少，情绪一天比一天低落；尤其是耿英，经常默默地独自掉眼泪。就这样，到兄妹三人得以归家 那日，已经楞是给磨蹭到农历的三月初三了。耿英今儿个一上车就没有坐车棚里边，而是挤坐在哥哥和弟弟的中间，默不做声地张着一双 好看而又显得异常忧郁的大眼睛向前望着„„兄妹三人就这样挤坐着，默默地踏上回家的最后一程。俗话说，三月三，柳条
1.6三角函数模型的简单应用
作业
课本65页练习
例2、画出函数 | sinx | 的图象, y 并观察周 期性和奇偶性.
G S P
变式1、画出函数 sin | x | 的图象, y 并观察 周期性和奇偶性.
G S P
例3、设地球表面某地 正午太阳高度角为 , 为此时 θ δ 太阳直射纬度, 为该地的纬度值, 则这三个量之间 的关系是θ 90 0 | δ | .当地夏半年 取正值, δ 冬半
0 年取负值.若在北京地 区(纬度约为北纬40)的一幢
高为h0的楼房北面盖一新楼, 要使新楼一层正午的 太阳全年不被前面的楼 房遮挡, 两楼的距离应不小 于多少.
h0Байду номын сангаас
230 26'
00
230 26' 400 A
B
C
小结
本 节 课 我 们 学 习 了 正、 负 角 角 和 零 角 的 概 念 ， 要 注如 果 角 的 终 意 边 在 坐 标 轴 上 ， 就 认这 个 角 不 属 为 于 任 何 象 限 ， 本 节 课重 点 是 学 习 的 终 边 相 同 的 角 的 表 示。 法 判断一个角是第几象限角的方法。 数 形 结 合 思 想 、 运 动化 观 点 的 应 用 变
§ 1.6 三角函数模型的 简单应用
引入
如果某种变化着的现象 具有周 期性, 那么它就可以借助三角 函数来 描述.
新课
例1、某地一天从 ~ 14时的温度变化曲线 6 近似满足如图函数 Asin(ωs ) b. y
(1)求这一天 ~ 14时的最大温差; 6
(2)求这段曲线的函 数解析式.
T/度 30
20
10
o
6
三角函数模型的简单应用_知识讲解_基础
三角函数模型的简单应用【学习目标】1.熟练掌握三角函数的性质，会用三角代换解决代数、几何、函数等综合问题；2．利用三角形建立数学模型，解决实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 【要点梳理】要点一：三角函数模型的建立程序要点二：解答三角函数应用题的一般步骤解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步：审题、建模、解模、结论． （1）审题三角函数应用题的语言形式多为文字语言和图形语言，阅读材料时要读懂题目所反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，在此基础上分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．（2）建模根据搜集到的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个三角函数问题，实现问题的数学化，即建立三角函数模型．其中要充分利用数形结合的思想以及图形语言和符语言并用的思维方式．（3）解模利用所学的三角函数知识，结合题目的要求，对得到的三角函数模型予以解答，求出结果． （4）结论将所得结论转译成实际问题的答案，应用题不同于单纯的数学问题，既要符合科学，又要符合实际背景，因此，有时还要对于解出的结果进行检验、评判．要点诠释：实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关知识来帮助解决问题．【典型例题】类型一：三角函数周期性的应用例1．国际大都市上海继东方明珠电视塔、金茂大厦之后，黄浦江畔的又一座景观性、标志性、文化游乐性建筑是座落于虹口区北外滩汇山码头的“上海梦幻世界摩天轮城”，占地3.46公顷总投资超过20亿元人民币，内有世界最大的摩天轮.其中摩天轮中心O 距离地面200米高，直径170米.摩天轮上将安装36个太空舱，可同时容纳1100多人一览上海风光.(如图)，摩天轮沿逆时针方向做匀速转动，每8分钟转一圈，若摩天轮的轮周上的点P 的起始位置在最低点处(即时刻0t 分钟时的位置).已知在时刻t 分钟时点P 距离地面的高度()f t .(Ⅰ)求20分钟时，点P 距离地面的高度； (Ⅱ)求()f t 的函数解析式.【思路点拨】由周期8T =，可求出距地面的高度，然后求出三角函数中的参数A ，h ，利用三角函数的周期公式求出ω，通过初始位置求出φ，求出f （t ）．【答案】（1）285（2）()85cos200,(0)4f t t t π=-+≥【解析】设过摩天轮的中心O 与地面垂直的直线为l ，l 垂直于地面于点H ，PQ l ⊥于点Q ， (1)∵旋转的周期8T =，∴20分钟后点P 在最高点，距地面高度是285米. (2)t 分钟时4HOP t π∠=，∴()20085cos 85cos200,(0).4f t HOP t t π=-∠=-+≥∴()85cos200,(0).4f t t t π=-+≥【总结升华】实际问题的解决要求我们在阅读材料时读懂题目所反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，将问题数学化，自行假设与设计一些已知条件，提出解决方案，从而最终解决问题． 举一反三：【高清课堂：三角函数模型的简单应用394861 例1】【变式1】如图，质点p 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0p ，），角速度为1，那么点p 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为（ ）【答案】C类型二：三角函数模型在气象学中的应用 例2．（2015秋 江西模拟）根据市气象站对春季某一天气温变化的数据统计显示，气温变化的分布与地面曲线sin()12y A x b πφ=++拟合（0≤x ＜24，单位为小时，y 表示气温，单位为摄氏度，||φπ<，A ＞0），现已知这天气温为4至12摄氏度，并得知在凌晨1时整气温最低，下午13时整气温最高．（1）求这条曲线的函数表达式；（2）这天气温不低于10摄氏度的时间有多长？ 【思路点拨】（1）根据气温为4至12摄氏度，我们可以求得振幅A ，利用凌晨1时整气温最低，下午13时整气温最高，可求得周期及φ的值，从而求得函数表达式；（2）利用（1）中求出的函数表达式，我们可建立表达式74sin()8101212x ππ-+≥，解之即可． 【答案】（1）74sin()81212y x ππ=-+；（2）8小时 【解析】（1）b =(4+12)÷2=8，A =12－8=4，1122ππφ⨯+=-，712πφ=-， 所以这条曲线的函数表达式为：74sin()81212y x ππ=-+． （2）令y ≥10，则74sin()8101212x ππ-+≥， ∴71sin()12122x ππ-≥，0≤x ＜24．∴771712121212x ππππ-≤-<， ∴75612126x ππππ≤-≤， ∴9≤x ≤17， ∴17－9=8．故这天气温不低于10摄氏度的时间有8小时．【总结升华】本题以实际问题为载体，考查三角函数模型的构建，考查三角不等式的求解，解题的关键是从实际问题中抽象出函数的模型，求出相应的参数． 举一反三：【变式1】估计某一天的白昼时间的小时数D （t ）可由下式计算：2()sin (79)122365k y D t t π⎡⎤==-+⎢⎥⎣⎦，其中t 表示某天的序、t=0表示1月1日，以此类推，常数k 与某地所处的纬度有关．（1）如在波士顿，k=6，试画出函数D （t ）在0≤t ≤365时的图象． （2）在波士顿哪一天白昼时间最长？哪一天白昼时间最短？ （3）估计在波士顿一年中有多少天的白昼时间超过10.5小时？ 【答案】(1)略 (2) 6月20日 12月20日 (3) 243天【解析】 （1）k=6时，2()3sin (79)12365D t t π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦．先用五点法画出2()3sin (79)365f t t π⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦的简图如图，由2(79)0t π-=和2(79)2t ππ-=，得t=79和t=444，列出下表：若t=0，3(0)3sin (79) 2.9365f π⎡⎤=-≈-⎢⎥⎣⎦． ∵()f x 的周期为365，∴(365) 2.9f ≈-．将()y f t =，t ∈[0，365]的图象向上平移12个单位长度，得到()y D t =，0≤t ≤365的图象，如图所示．（2）白昼时间最长的一天，即D （t ）取得最大值的一天，此时t=170，对应的是6月20日（闰年除外），类似地，t=353时D （t ）取最小值，即12月20日白昼最短．（3）D （t ）＞10.5，即23sin (79)1210.5365t π⎡⎤-+>⎢⎥⎣⎦，21sin (79)3652t π⎡⎤->-⎢⎥⎣⎦，t ∈[0，365]．∴292＞t ＞49，292－49=243．约有243天的白昼时间超过10.5小时．类型三：三角函数模型在物理学中的应用例 3.一个单摆，如图所示，小球偏离铅垂线方向的角为αrad ，α与时间t 满足关系式1()sin 222t t πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（1）当4t π=时，α的值是多少？并指出小球的具体位置；（2）单摆摆动的频率是多少？（3）小球偏离铅垂线方向的最大摆角是多少？ 【思路点拨】（1）根据已知条件中的函数解析式，把4t π=代入，即可求出摆角．（2）由1f T=可求出频率．（3）求最大摆角，先求出sin 22t π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最大值为1，然后求角． 【答案】（1）0（2）1π（3）12rad【解析】 （1）当4t π=时，11sin 2sin 042422πππαπ⎛⎫⎛⎫=⨯+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，这时小球恰好在平衡位置； （2）因为单摆摆动的周期22T ππ==，所以频率11f T π==； （3）令t=0，得sin 22t π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最大值为1．故()t α有最大值12rad ，即小球偏离铅垂线方向的最大摆角是12rad ． 举一反三：【变式1】（2015 哈尔滨三模）单摆从某点开始来回摆动，它相对于平衡位置O 的位移S （厘米）和时间t （秒）的函数关系为：sin()S A t ωφ=+（A ＞0，ω＞0，02πφ<<），已知单摆每分钟摆动4次，它到平衡位置的最大位移为6厘米，摆动起始位置相对平衡位置的位移为3厘米．求： （1）S 和t 的函数关系式； （2）第2.5秒时单摆的位移．【答案】（1）6sin()306S t ππ=+；（2）【解析】（1）单摆每分钟摆动4次，函数的周期为：225s 60πω⋅=，解得30πω=，它到平衡位置的最大位移为6厘米，A =6，摆动起始位置相对平衡位置的位移为3厘米，说明函数的图象经过（0，3）， ∴36sin(0)30πφ=⨯+，(0)2πφ<<，∴6πφ=．S 和t 的函数关系式：6sin()306S t ππ=+．（2）第2.5秒时单摆的位移6sin(2.5)63062S ππ=⨯+=⨯=第2.5秒时单摆的位移为：例4.交流电的电压E （单位：伏）与时间t （单位：秒）的关系可用1006E t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭来表示，求：（1）开始时的电压；（2）电压值重复出现一次的时间间隔；（3）电压的最大值和第一次获得这个最大值的时间．【答案】（1）（2）0.02（3）1300【解析】（1）当t=0时，6E π==（伏），即开始时的电压为伏； （2）2110050T ππ==（秒），即电压重复出现一次的时间间隔为0.02秒；（3）电压的最大值为10062t πππ+=，即1300t =秒时第一次取得这个最大值．。
《三角函数模型的简单应用》 讲义
《三角函数模型的简单应用》讲义一、引入在我们的日常生活和学习中，三角函数无处不在。
从物理学中的波动现象，到建筑设计中的结构计算，甚至是音乐中的音符频率，都能看到三角函数的身影。
那么，如何将三角函数的知识运用到实际问题中，建立有效的数学模型来解决这些问题呢？这就是我们今天要探讨的主题——三角函数模型的简单应用。
二、三角函数的基础知识回顾首先，让我们简要回顾一下三角函数的基本概念。
我们最常见的三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。
正弦函数sinθ 表示直角三角形中对边与斜边的比值；余弦函数cosθ 表示邻边与斜边的比值；正切函数tanθ 则是对边与邻边的比值。
它们的周期性质也非常重要。
正弦函数和余弦函数的周期都是2π，而正切函数的周期是π。
此外，三角函数的一些基本公式，如两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式等，也是我们解决问题时经常会用到的工具。
三、三角函数模型在实际生活中的应用1、潮汐现象在海洋学中，潮汐的涨落可以用三角函数模型来描述。
假设某地的潮汐高度 h 与时间 t 之间的关系可以近似表示为 h ＝A sin(ωt＋φ) ＋k ，其中A 表示潮差（即高潮和低潮之间的高度差），ω 表示角频率，φ 表示初相位，k 表示平均海平面高度。
通过对当地潮汐数据的观测和分析，可以确定这些参数的值，从而准确预测潮汐的变化。
2、交流电在电学中，交流电的电压或电流随时间的变化通常也可以用三角函数来表示。
例如，正弦交流电的电压 u 可以表示为 u ＝ U₀ sin(ωt ＋φ₀) ，其中 U₀是电压的最大值（也称为峰值），ω 是角频率，φ₀是初相位。
3、物体的简谐运动一个物体在直线上做往复运动，如果它所受的力与位移成正比，并且方向相反，那么这个物体就做简谐运动。
比如弹簧振子的运动，其位移 x 与时间 t 的关系可以表示为 x ＝A sin(ωt ＋φ) ，其中 A 是振幅，ω 是角频率，φ 是初相位。
三角函数模型的简单应用 课件
已知电流 I＝Asin(ωt＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜2π在 一个周期内的图象如图．
(1)根据图中数据求 I＝Asin(ωt＋φ)的解析式； (2)如果 t 在任意一段1150秒的时间内，电流 I＝Asin(ωt ＋φ)都能取得最大值和最小值，那么 ω 的最小正整数值是多 少？
• 【思路点拨】对于(1)，由于解析式的类型已经确定，只需根据图象确 定参数A，ω，φ的值即可．其中A可由最大值与最小值确定，ω可由周 期确定，φ可通过特殊点的坐标，解方程求得．对于(2)可利用正弦型 函数的图象在一个周期中必有一个最大值和一个最小值点来解．
三角函数模型的简单应用
• 三角函数的应用
• 1．根据实际问题的图象求出函数解析式．
• 2．将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型． • 3．利用搜集的数据作出 散点图 ，并根据 散点图 进行函数拟合，从
而得到函数模型．
• 在建模过程中，散点图的作用是什么？
• 提示：利用散点图可以较为直观地分析两个变量之间的某种关系，然 后利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而避免因盲 目选择函数模型而造成的不必要的失误．
12分
• 【题后总结】由于三角函数是周期函数，只有相关数据呈周期性变化， 才考虑用三角函数来拟合，并根据散点图的大致形态，选择适当类型
的三角函数，再利用已知数据结合图象，确定函数解析式中的参数
值．对实际问题的求解，需仔细审题，将问题转化为三角函数模型来 解决(如本例中将实际问题转化为解三角不等式)，并回到实际情景作 答．
故所求的解析式为
I＝300sin150π
t＋6π.
(2)依题意，周期 T≤1510， 即2ωπ≤1510(ω＞0)， 所以 ω≥300π＞942， 故 ω 的最小正整数值为 943.
1.6三角函数模型的简单应用
1 2
f
x
max
+
f
x
min
利用T = 2π，求得ω ω
利用最低点或最高点在图象上,
该点的坐标满足函数解析式可求得φ
也可以利用函数的零点来求．
例2 画出函数y=|sinx|的图象并观察其周期.
解
y
y=|sinx|
1
2
2
O -1
周期为π
2
2 x
验证:|sin(x+π)|=|-sinx|=|sinx|
时刻 0:00 3:00 6:00
水深/米 5.0 7.5 5.0
时刻 9:00 12:00 15:00
水深/米 2.5 5.0 7.5
时刻 18:00 21:00 24:00
水深/米 5.0 2.5 5.0
(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的 函数关系,给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001). (2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安 全条例规定至少要有1.5米的安全间隙 (船底与洋底的 距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?
近似描述.
6
由 y 2.5sin x 5 得到港口在整点时水深的近似值:
6
时刻 0:00 1:00 2:00 3:00 4:00 5:00 6:00 7:00 8:00 9:00 10:00 11:00 水深 5.000 6.250 7.165 7.5 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 时刻 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00 水深 5.000 6.250 7.165 7.5 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754
高中数学必修四-三角函数模型的应用
三角函数模型的应用知识集结知识元三角函数在生活中的应用知识讲解1．三角函数模型的应用【知识点的知识】1．三角函数模型的简单应用：1）在生活中的应用；2）；在建筑学中的应用；3）在航海中的应用；4）在物理学中的应用．2．解三角函数应用题的一般步骤：（1）阅读理解材料：将文字语言转化为符号语言；（2）建立变量关系：抽象成数学问题，建立变量关系；（3）讨论变量性质：根据函数性质讨论变量性质；（4）作出结论．【解题方法点拨】1、方法与技巧：（1）在生产生活中，常常有一些与角有关的最值问题，需要确定以角作为变量的三角函数来解决．（2）理清题意，分清题目中已知和所求，准确解读题目中的术语和有关名词．（3）要能根据题意，画出符合题意的图形．（4）对计算结果，可根据实际情况进行处理．2、注意：（1）建立三角函数关系式关键是选择适当的角作为变量．（2）解决应用问题要注重检验．（3）选择变量后，要根据题中的条件，确定角的范围．例题精讲三角函数在生活中的应用例1.如图所示，某游乐园内摩天轮的中心O点距地面的高度为50m，摩天轮做匀速运动．摩天轮上的一点P自最低点A点起，经过tmin后，点P的高度（单位：m），那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P的高度在距地面70m以上的时间将持续___min．例2.一半径为6米的水轮如图，水轮圆心O距离水面3米，已知水轮每分钟转动4圈，水轮上点P 从水中浮现时开始到其第一次达到最高点的用时为___秒。
例3.'如图是半径为lm的水车截面图，在它的边缘（圆周）上有一定点P，按逆时针方向以角速度rad/s（每秒绕圆心转动rad）作圆周运动，已知点P的初始位置为P0，且∠xOP0=，设点P的纵坐标y是转动时间t（单位：s）的函数记为y=f（t）．（1）求f（0），f（）的值，并写出函数y=f（t）的解析式；（2）选用恰当的方法作出函数f（t），0≤t≤6的简图；（3）试比较f（），f（），f（）的大小（直接给出大小关系，不用说明理由）．'当堂练习单选题练习1.某港口的水深（米）是时间t（0≤t≤24）（单位：时）的函数，记作y=f（t）下面是该港口某季节每天水深的数据：经过长期观察，y=f（t）的曲线可近似地看作y=A sinωt+b的图象，一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不小于5m是安全的（船舶停靠岸时，船底只需不碰海底即可）．某船吃水深度（船底离水面距离）为6.5m，如果该船想在同一天内安全出港，问它至多能在港内停留的时间是（忽略进出港所用时间）（）A．17 B．16 C．5 D．4练习2.一个大风车的半径为6m，12min旋转一周，它的最低点P0离地面2m，风车翼片的一个端点P 从P0开始按逆时针方向旋转，则点P离地面距离h（m）与时间m（nin）之间的函数关系式是（）A．h（t）=-6sin t+6 B．h（t）=-6cos t+6C．h（t）=-6sin t+8 D．h（t）=-6cos t+8练习3.海水受日月的引力，在一定的时候发生潮涨潮落，船只一般涨潮时进港卸货，落潮时出港航行，某船吃水深度（船底与水面距离）为4米，安全间隙（船底与海底距离）为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以0.3米/时的速度减少，该港口某季节每天几个时刻的水深如下表所示，若选择y=A sin（ωx+φ）+K（A>0，ω>0）拟合该港口水深与时间的函数关系，则该船必须停止卸货驶离港口的时间大概控制在（要考虑船只驶出港口需要一定时间）（）A．5：00至5：30 B．5：30至6：00C．6：00至6：30 D．6：30至7：00练习4.在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12h，低潮时水深为9m，高潮时水深为15m．每天潮涨潮落时，该港口水的深度y（m）关于时间t（h）的函数图象可以近似地看成函数y=A sin（ωt+φ）+k的图象，其中0≤t≤24，且t=3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是（）A．B． C．D．练习5.某港口水的深度y（m）是时间t（0≤t≤24，单位：h）的函数，记作y=f（t）．下面是某日水深的数据：经长期观察，y=f（t）的曲线可以近似地看成函数y=A sinωt+b的图象．一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5m或5m以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）．某船吃水程度（船底离水面的距离）为6.5m，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它最多能在港内停留（）小时（忽略进出港所需的时间）．A．6 B．12 C．16 D．18练习6.如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置p（x，y）．若初始位置为P0（，），当秒针从P0（注此时t=0）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（）A．y=sin（）B．C．y=sin（-）D．y=sin（-）练习7.已知函数f（x）=sin x+cos x-a在区间[0，2π]上恰有三个零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3=（）A．B．C．D．练习8.动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，其初始位置为A0（，），12秒旋转一周，则动点A的纵坐标y关于时间t（单位：秒）的函数解析式为（）A．B．C．D．练习9.如图，一个摩天轮的半径为18m，12分钟旋转一周，它的最低点P0离地面2m，∠P0OP1=15°，摩天轮上的一个点P从P1开始按逆时针方向旋转，则点P离地面距离y（m）与时间x（分钟）之间的函数关系式是（）A．B．C．D．解答题练习1.'海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：（1）若用函数f（t）=A sin（ωt+φ）+h（A>0，ω>0，|φ|<）来近似描述这个港口的水深和时间之间的对应关系，根据表中数据确定函数表达式；（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定要有2.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？'练习2.'如图是一个缆车示意图，该缆车的半径为4.8m，圆上最低点与地面的距离为0.8m，缆车每60s 转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面的距离为hm。
《三角函数模型的简单应用》ppt课件高中数学人教版1
水深 （米）
5.0
7.5
5.0 2.5
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
§1.6三角函数模型的函数模型的简单应用PPT名 师课件
从数据和图象可以得出：
y
A=2.5，h=5，T=12， 0
由 T212,得6，
y2.5sinx5
6
6 4 2 O 3 6 9 12 15 18 21 24 x
由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值：
时刻 水深
0:00
1:00 2:00 3:00
4:00
5:00
6:00
7:00
8:00
9:00
10:0 0
11:00
时刻
12:00
13:0 0
14:0 0
15:0 0
16:0 0
17:0 0
18:0 0
19:0 0
20:0 0
21:0 0
22:0 0
23:0 0
所以，函数 y sinx 是以 为周期的函数。
反思感悟：画整个函数带有绝对值的图像时：
转化为分段函数
部分翻转变换
方法：1.先画出不含绝对值函数的图像； 2.若x轴下方有图像时，则把下面的图像以x轴为轴 翻折上去。x轴上面的图像不动。
§1.6三角函数模型的简单应用PPT名 师课件
§1.6三角函数模型的简单应用PPT名 师课件
变式训练：画出 y tanx 的图像并观察其周期.
y
解：函数图像如图所示：
从图中可以看出函数 y tanx
是以 为周期的函数.
3
2
2
2
3
2x
§1.6三角函数模型的简单应用PPT名 师课件
高中数学必修4三角函数常考题型：三角函数模型的简单应用
三角函数模型的简单应用【知识梳理】1．三角函数模型应用的步骤三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决．步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题．这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式．2．三角函数模型的拟合应用我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．【常考题型】题型一、函数解析式与图像对应问题【例1】函数y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]的大致图像是()[解析]由奇偶性的定义可知函数y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]既不是奇函数也不是偶函数．选项A，D中图像表示的函数为奇函数，B中图像表示的函数为偶函数，C中图像表示的函数既不是奇函数也不是偶函数．[答案] C【类题通法】解决函数图像与解析式对应问题的策略(1)解决此类问题的一般方法是根据图像所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、图像的对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据．(2)利用图像确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式，实质就是确定其中的参数A ，ω，φ.其中A 由最值确定；ω由周期确定，而周期由特殊点求得；φ由点在图像上求得，确定φ时，注意它的不唯一性，一般是求|φ|中最小的φ.【对点训练】函数f (x )＝cos x ·|tan x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2上的大致图像为( )解析：选C f (x )＝cos x ·|tan x |⎝⎛⎭⎫π2<x <3π2＝ ⎩⎨⎧－sin x ，π2<x <π，sin x ，π≤x <3π2.题型二、三角函数在物理中的应用【例2】 单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s (单位：cm)和时间t (单位：s)的函数关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎫2πt ＋π6. (1)作出函数的图像；(2)当单摆开始摆动(t ＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？ (3)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？ (4)单摆来回摆动一次需多长时间？ [解] (1)利用“五点法”可作出其图像．(2)因为当t ＝0时， s ＝6sin π6＝3，所以此时离开平衡位置3 cm. (3)离开平衡位置6 cm.(4)因为T ＝2π2π＝1，所以单摆来回摆动一次所需的时间为1 s. 【类题通法】三角函数在物理中的应用三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法．【对点训练】交流电的电压E (单位：V)与时间t (单位：s)的关系可用E ＝2203sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6来表示，求： (1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间． 解：(1)当t ＝0时，E ＝1103(V)， 即开始时的电压为110 3 V .(2)T ＝2π100π＝150(s)，即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为220 3 V ，当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300s 时第一次取得最大值.题型三、三角函数在实际生活中的应用【例3】 心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg 为标准值．设某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin 160πt ，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数p (t )的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数； (3)画出函数p (t )的草图；(4)求出此人的血压在血压计上的读数．[解] (1)由于ω＝160π，代入周期公式T ＝2π|ω|，可得T ＝2π160π＝180(min)，所以函数p (t )的周期为180min.(2)每分钟心跳的次数即为函数的频率f＝1T＝80(次)．(3)列表：描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示：(4)由图可知此人的收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.【类题通法】解三角函数应用问题的基本步骤【对点训练】如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转动一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米，如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请回答下列问题：(1)求出你与地面的距离y (米)与时间t (分钟)的函数关系式； (2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？解：(1)可以用余弦函数来表示该函数的关系式，由已知可设y ＝40.5－40cos ωt ，t ≥0，由周期为12分钟可知当t ＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝π6，所以y ＝40.5－40cos π6t (t ≥0)．(2)设转第1圈时，第t 0分钟时距地面60.5米， 由60.5＝40.5－40cos π6t 0，得cos π6t 0＝－12，所以π6t 0＝2π3或π6t 0＝4π3，解得t 0＝4或8，所以t ＝8(分钟)时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟)．【练习反馈】1.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置将移至( )A ．x 轴上B ．最低点C ．最高点D ．不确定解析：选C 相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期，故乙移至最高点． 2．如图所示为一简谐运动的图像，则下列判断正确的是( )A ．该质点的振动周期为0.7 sB ．该质点的振幅为－5 cmC ．该质点在0.1 s 和0.5 s 时的振动速度最大D ．该质点在0.3 s 和0.7 s 时的加速度为零解析：选D 该质点的振动周期为T ＝2×(0.7－0.3)＝0.8 s ，故A 是错误的；该质点的振幅为5 cm ，故B 是错误的；该质点在0.1 s 和0.5 s 时的振动速度是零，所以C 是错误的，D 正确.3．某人的血压满足函数关系式f (t )＝24sin 160πt ＋110，其中，f (t )为血压，t 为时间，则此人每分钟心跳的次数是________．解析：∵T ＝2π160π＝180，∴f ＝1T ＝80.答案：804.如图，电流强度I (单位：安)随时间t (单位：秒)变化的函数I ＝A sin ⎝⎛⎭⎫ ωt ＋π6(A >0，ω≠0)的图像，则当t ＝150秒时，电流强度是________安．解析：由图像可知，A ＝10，周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫4300－1300＝150，所以ω＝2πT＝100π，所以I ＝10sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6. 当t ＝150秒时，I ＝10sin ⎝⎛⎭⎫2π＋π6＝5(安)． 答案：55.如图，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．(1)求出种群数量y 关于时间t 的函数表达式；(其中t 以年初以来的月为计量单位)(2)估计当年3月1日动物种群数量． 解：(1)设种群数量y 关于t 的解析式为 y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b (A >0，ω>0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－A ＋b ＝700，A ＋b ＝900，解得A ＝100，b ＝800. 又周期T ＝2×(6－0)＝12，∴ω＝2πT ＝π6，∴y ＝100sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋φ＋800.又当t ＝6时，y ＝900， ∴900＝100sin ⎝⎛⎭⎫π6×6＋φ＋800， ∴sin(π＋φ)＝1，∴sin φ＝－1，∴取φ＝－π2，∴y ＝100sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π2＋800.(2)当t ＝2时，y ＝100sin ⎝⎛⎭⎫π6×2－π2＋800＝750， 即当年3月1日种群数量约是750.。
三角函数模型的简单应用
三角函数模型的简单应用
第二课时
探究一：建立三角函数模型求临界值
【背景材料】如图，设地球表面某地正午太 阳高度角为θ ，δ 为此时太阳直射纬度，φ 为该地的纬度值.当地夏半年δ 取正值，冬半 年δ 取负值. 如果在北京地区（纬度数约为 北纬40°）的一幢高为h0的楼房北 φ -δ 面盖一新楼，要使新 楼一层正午的太阳全 θ φ 太阳光 年不被前面的楼房遮 δ 挡，两楼的距离不应 小于多少？
思考1：图中θ 、 δ 、φ 这三个角 之间的关系是什 么？
θ=90°－∣φ－δ∣.
φ -δ
φ δ
θ
太阳光
思考2：当太阳高度角为θ 时，设高为 h0的楼房在地面上的投影长为h，那么 θ 、h0、h三者满足什么关系？
h=h0 tanθ.
思考3：根据地理知识，北京地区一年 中,正午太阳直射什么纬度位置时,物体 的影子最短或影子最长？
2.在解决实际问题时，要学会具体问题 具体分析，充分运用数形结合的思想， 灵活的运用三角函数的图象和性质进行 解答.
作业: P65习题1.6A组：1，2，3.
太阳直射北回归线时物体的影子最 短，直射南回归线时物体的影子最 长.
思考4：如图，A、B、C分别为太阳直射 北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地 面上的投影点.要 使新楼一层正午 的太阳全年不被 前面的楼房遮挡， 两楼的临界距离 h 应是图中哪两点 M A B C -23°26´ 0 ° 23 ° 26 ´ 之间的距离？ 40°
15 6
乙船在 北偏东60°的B处，并以每小时10海里的 速度向正北方向行使，若甲船沿北偏东 θ 角方向直线航行，并与乙船在C处相遇， 求甲船的航速. C
北
5 3 p v= ， q （ 0 ， ） p 3 sin( - q) A 3
必修四三角函数模型的简单应用(附答案)
必修四三角函数模型的简单应用(附答案)三角函数模型的简单应用[学习目标] 1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题.2.实际问题抽象为三角函数模型．知识点一利用三角函数模型解释自然现象在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化，而三角函数模型是刻画周期性问题的最优秀的数学模型．利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下：(1)收集数据，画出“散点图”；(2)观察“散点图”，进行函数拟合，当散点图具有波浪形的特征时，便可考虑应用正弦函数和余弦函数模型来解决；(3)注意由第二步建立的数学模型得到的解都是近似的，需要具体情况具体分析．思考1三角函数的周期性y＝A sin(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝2π|ω|；y＝A cos(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝2π|ω|；y＝A tan(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝π|ω|.思考2如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝A sin(ωx＋φ)＋b.根据图象可知，一天中的温差是；这段曲线的函数解析式是y＝答案 20℃ 10sin(π8x ＋3π4)＋20，x ∈[6,14] 知识点二 三角函数模型在物理学中的应用 在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)来表示运动的位移y 随时间x 的变化规律，其中：(1)A 称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移；(2)T ＝2πω称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间；(3)f ＝1T ＝ω2π称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数．题型一 三角函数模型在物理中的应用例1 已知电流I 与时间t 的关系为I ＝A sin(ωt＋φ)．(1)如图所示的是I ＝A sin(ωt ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象，根据图中数据求I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)如果t 在任意一段1150秒的时间内，电流I ＝A sin(ωt ＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？解 (1)由图知A ＝300，设t 1＝－1900，t 2＝1180， 则周期T ＝2(t 2－t 1)＝2⎝⎛⎭⎪⎪⎫1180＋1900＝175. ∴ω＝2πT ＝150π.又当t ＝1180时，I ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫150π·1180＋φ＝0，而|φ|<π2，∴φ＝π6. 故所求的解析式为I ＝300sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫150πt ＋π6. (2)依题意，周期T ≤1150，即2πω≤1150(ω>0)， ∴ω≥300π>942，又ω∈N *，故所求最小正整数ω＝943.跟踪训练1 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S (单位：cm)与时间t (单位：s)的函数关系是：S ＝6sin(2πt ＋π6)． (1)画出它的图象；(2)回答以下问题：①小球开始摆动(即t ＝0)，离开平衡位置是多少？少？③小球来回摆动一次需要多少时间？解(1)周期T＝2π2π＝1(s)．列表：t 01651223111212πt＋π6π6π2π3π22π2π＋π66sin(2πt＋π6)360－60 3描点画图：(2)①小球开始摆动(t＝0)，离开平衡位置为3 cm.③小球来回摆动一次需要1 s(即周期)．题型二三角函数模型在生活中的应用例2某港口水深y(米)是时间t (0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：t(小时)03691215182124y(米)10.13.9.97.10.13.10.17.10.据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数模型y＝A sin ωt＋B的图象．(1)试根据数据表和曲线，求出y＝A sin ωt＋B的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)解 (1)从拟合的曲线可知，函数y ＝A sin ωt ＋B的一个周期为12小时，因此ω＝2πT ＝π6.又y min ＝7，y max ＝13，∴A ＝12(y max －y min )＝3， B ＝12(y max ＋y min )＝10. ∴函数的解析式为y ＝3sin π6t ＋10 (0≤t ≤24)． (2)由题意，得水深y ≥4.5＋7，即y ＝3sin π6t ＋10≥11.5，t ∈[0,24]，∴sin π6t ≥12，π6t ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6，k ＝0,1， ∴t ∈[1,5]或t ∈[13,17]，所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港．若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．跟踪训练2 如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m ，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面距离为h .(1)求h 与θ之间的函数关系式；(2)设从OA 开始转动，经过t 秒后到达OB ，求h 与t 之间的函数解析式，并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少？解 (1)以圆心O 为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox 为始边，OB 为终边的角为θ－π2.故B 点坐标为(4.8cos(θ－π2)，4.8sin(θ－π2))．∴h ＝5.6＋4.8sin(θ－π2)，θ∈[0，＋∞)．(2)点A 在圆上转动的角速度是π30，故t 秒转过的弧度数为π30t ，∴h ＝5.6＋4.8sin(π30t －π2)，t ∈[0，＋∞)．到达最高点时，h ＝10.4 m. 由sin(π30t －π2)＝1.得π30t －π2＝π2，∴t ＝30.∴缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒．利用三角函数线证明三角不等式例3心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压，血压计上的读数就是收缩压、舒张压，读数120/80 mmHg为标准值，设某人的血压满足方程式P(t)＝115＋25sin(160πt)，其中P(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数P(t)的周期；(2)求此人每分钟心跳的次数；(3)画出函数P(t)的草图；(4)求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值进行比较分析(1)利用周期公式可以求出函数P(t)的周期；(2)每分钟心跳的次数即频率；(3)用“五点法”作出函数的简图；(4)此人的收缩压、舒张分别是函数P(t)的最大值和最小值，故可求出此人的血压在血压计上的计数．解(1)由于ω＝160π，代入周期公式T＝2πω，可得T＝2π160π＝180(min)，所以函数P(t)的周期为180min.(2)函数P(t)的频率f＝1T＝80(次/分)，即此人每分钟心跳的次数为80.(3)列表：t/min0132011603320180P(t)/mmHg 11514011590115描点、连线并左右扩展得到函数P(t)的简图如图所示．(4)此人的收缩压为115＋25＝140(mmHg)，舒张压为115－25＝90(mmHg)，与标准值120/80 mmHg 相比较，此人血压偏高．1．函数y ＝|sin 12x ＋13|的最小正周期为( )A ．2πB ．πC ．4π D.π22．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式为s ＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l ＝ cm.3．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6(x －6) (x＝1,2,3，…，12，A >0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为 ℃.4．如图所示，一个摩天轮半径为10 m ，轮子的底部在地面上2 m 处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s 转一圈，且当摩天轮上某人经过点P 处(点P 与摩天轮中心高度相同)时开始计时．(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式； (2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.一、选择题1.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s ＝6sin(100πt ＋π6)，那么单摆来回摆一次所需的时间为( )A.150 sB.1100 s C ．50 s D ．100 s2．电流强度I (A)随时间t (s)变化的关系式是I ＝5sin(100πt ＋π3)，则当t ＝1200 s 时，电流强度I为( )A ．5 AB ．2.5 AC ．2 AD ．－5 A3.如图所示，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )4．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．5 3 安D ．10安5．如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )二、填空题6．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫m 3x ＋π3的最小正周期在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，34内，则正整数m 的值是 ． 7.设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f (16)的值为 ．8．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A 、B 两点的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d ＝ ，其中t ∈[0,60]．9．已知f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)，f (π6)＝f (π3)，且f (x )在区间(π6，π3)上有最小值，无最大值，则ω＝ . 三、解答题10.如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (0<φ<π2)．(1)求这一天的最大用电量及最小用电量； (2)写出这段曲线的函数解析式．11.如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？12．已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：t(时)03691215182124y(米)1.51.0.51.1.51.0.50.991.5经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝A cos ωt＋b.(1)根据以上数据，求函数y＝A cos ωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？当堂检测答案1．答案 A 2．答案 g4π2 解析 T ＝2πg l ＝1，∴g l ＝2π，∴l ＝g 4π2. 3．答案 20.5解析 由题意得⎩⎨⎧ a ＋A ＝28，a －A ＝18， ∴⎩⎨⎧a ＝23，A ＝5，∴y ＝23＋5cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6(x －6)，当x ＝10时，y ＝23＋5×⎝⎛⎭⎪⎪⎫－12＝20.5.4．解 (1)设在t s 时，摩天轮上某人在高h m处．这时此人所转过的角为2π30 t ＝π15 t ，故在t s时，此人相对于地面的高度为h ＝10sin π15 t ＋12(t ≥0)．(2)由10sin π15t ＋12≥17，得sin π15t ≥12，则52≤t ≤252.故此人有10 s 相对于地面的高度不小于17 m.课时精练答案一、选择题 1.答案 A 2．答案 B解析当t＝1200时，I＝5sin(π2＋π3)＝5cosπ3＝2.5.3.答案 C解析d＝f(l)＝2sin l 2.4．答案 A解析由图象知A＝10，T2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT＝100π，∴I＝10sin(100πt＋φ)．(1300，10)为五点中的第二个点，∴100π×1300＋φ＝π2.∴φ＝π6，∴I＝10sin(100πt＋π6)，当t＝1100秒时，I＝－5安．5．答案 C解析∵P0(2，－2)，∴∠P0Ox＝π4，按逆时针转时间t后得∠POP0＝t，∠POx＝t－π4，此时P点纵坐标为2sin(t－π4)，∴d＝2|sin(t－π4)|.当t＝0时，d＝2，排除A、D；当t＝π4时，d＝0，排除B.二、填空题6．答案26,27,28解析∵T＝6πm，又∵23<6πm<34，∴8π<m<9π，且m∈Z，∴m＝26,27,28.7.答案3 4解析取K，L中点N，则MN＝1 2，因此A＝12.由T＝2得ω＝π.∵函数为偶函数，0<φ<π，∴φ＝π2，∴f(x)＝12cos πx，∴f(16)＝12cosπ6＝34.8．答案10sin πt 60解析将解析式可写为d＝A sin(ωt＋φ)的形式，由题意易知A＝10，当t＝0时，d＝0，得φ＝0；当t＝30时，d＝10，可得ω＝π60，所以d＝10sin πt 60.9．答案14 3解析 依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin(π4·ω＋π3)＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z)． ∴ω＝8k ＋143(k ∈Z)，因为f (x )在区间(π6，π3)上有最小值，无最大值，所以π3－π4<πω，即ω<12，令k ＝0，得ω＝143.三、解答题10.解 (1)最大用电量为50万kW·h ， 最小用电量为30万kW·h.(2)观察图象可知从8～14时的图象是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象，∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40. ∵12×2πω＝14－8， ∴ω＝π6.∴y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6x ＋φ＋40. 将x ＝8，y ＝30代入上式，又∵0<φ<π2，∴解得φ＝π6. ∴所求解析式为y ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14]．11.解 (1)如图所示建立直角坐标系，设角φ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角．OP 每秒钟内所转过的角为5×2π60＝π6.则OP 在时间t (s)内所转过的角为π6t . 由题意可知水轮逆时针转动，得z ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π6t ＋φ＋2. 当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π6. 故所求的函数关系式为z ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π6t －π6＋2. (2)令z ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π6t －π6＋2＝6， 得sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π6t －π6＝1， 令π6t －π6＝π2，得t ＝4， 故点P 第一次到达最高点大约需要4 s.12．解 (1)由表中数据知周期T ＝12，∴ω＝2πT ＝2π12＝π6，由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5.由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0.∴A ＝0.5，b ＝1，∴y ＝12cos π6t ＋1. (2)由题意知，当y >1时才可对冲浪者开放， ∴12cos π6t ＋1>1， ∴cos π6t >0，∴2k π－π2<π6t <2k π＋π2，k ∈Z ， 即12k －3<t <12k ＋3，k ∈Z.①∵0≤t ≤24，故可令①中k 分别为0,1,2， 得0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24.∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00.。
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课题（章节）1．6 三角函数模型的简单应用（二）
教学目标
能正确分析收集到的数据，选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律；
能根据问题的实际意义，利用模型解决有关实际问题；
通过三角函数模型的简单应用，培养学生应用数学知识解决问题的能力。
教学重点用三角函数模型解决具有周期变化规律的实际问题
教学难点将某些实际问题抽象为三角函数模型，对实际意义的数学解释
课的类型新授课时间45分钟
教学时数1课时教具几何画板课件，计算器
板书设计
（提纲）三角函数模型的简单应用（二）
将实际问题抽象为三角函数模型：建模的基本思路：
例题：1．根据数据作散点图
2．根据图像进行函数拟合
3．选择恰当的函数模型
本题小结：4．利用函数模型解决实际问题
教学过程：
新课引入：
问题：对于三角函数模型，我们都学习了哪几个方面的应用？
引入：利用三角函数模型我们还可以解决哪些问题呢？
教学情景：
将实际问题抽象为三角函数模型：
例：海水受日月的引力，在一定时候发生涨落的现象叫潮。
一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。
在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；在落潮时返回海洋。
下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
时刻水深/米时刻水深/米时刻水深/米
0：00 5．0 9：00 2．5 18：00 5．0
3：00 7．5 12：00 5．0 21：00 2．5
6：00 5．0 15：00 7．5 24：00 5．0
选用一个函数来近似描述这个港口的水深与实间的函数关系，给出整点时的水深的近似数值（精确到0．001）；
一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1．5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？
若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1．5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0．3米的速度减少，那么该船在什么时候必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
分析：1．观察表格中的数据，你发现了什么规律？（从所给数据中发现周期性变化规律）；
2．要求学生根据数据作出散点图，观察徒刑，你认为可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律？（引导学生根据散点图的特点选择函数模型）；
3．引导学生与“五点法”联系，求出函数模型的解析式；
4．根据所得的函数模型，求出整点时的水深；（利用计算器）
5．引导学生正确理解题意，利用函数模型解决实际问题，求出第（2）问，并对答案进行合理地解释；（利用计算器进行计算）
6．引导学生正确理解第（3）问，用函数模型刻画安全水深，并对答案做出合理地解释
解：(1)以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图：
根据图像，可以考虑用函数
sin()
y A x h
ωϕ
=++刻画水深与时间之间的对应关系。
从数据和图象可以得出：
2.5,5,12,0
A h Tϕ
====，由
2
12
T
π
ω
==
，得6
π
ω=。
所以，这个港口的水深与时间的关系可用
2.5sin5
6
y x
π
=+
近似描述。
由上述关系式，易得港口在整点时水深的近似值：
时刻0：00 1：00 2：00 3：00 4：00 5：00 6：00 7：00
水深5．000 6．250 7．165 7．500 7．165 6．250 5．000 3．754
时刻8：00 9：00 10：00 11：00 12：00 13：00 14：00 15：00
水深2．835 2．500 2．835 3．754 5．000 6．250 7．165 7．500
时刻16：00 17：00 18：00 19：00 20：00 21：00 22：00 23：00
水深7．165 6．250 5．000 3．754 2．835 2．500 2．835 3．754
（2）货船需要的安全水深为4+1．5=5．5（米），所以
5.5
y≥时就可以进港。
令
2.5sin
5 5.5
6
x π
+=，得
sin
0.2
6
x π
=，由计算器可得arcsin0.20.2014≈。
如下图，在区间[0，12]内，函数
2.5sin
5
6
y x π
=+的图象与直线 5.5y =有两个交点,A B ，因此
0.2014,
6
x π
≈或
0.2014
6
x π
π-
≈。
解得
0.3848, 5.6152
A B x x ≈≈，由函数的周期性易得
120.384812.3848
C x ≈+=，
12 5.615217.6152
D x ≈+=
因此，货船可以在0时30分左右进港，早晨5时30分左右出钢；或在中午12时30分左右进港，下午17时30分左右出港。
每次可以在港口停留5小时左右。
（3）设在时刻x 货船的安全水深为y ，那么 5.50.3(2)(2)y x x =--≥。
在同一坐标系内作出这两个函数的图象，可以看到在6~7时之间两个函数图象有一个交点（如下图）
通过计算可以得到这个结果。
在6时的水深约为5米，此时货船的安全水深约为4．3米；6．5时水深约为4．2米，此时货船的安全水深约为4．1米；7时的水深约为3．8米，而货船的安全水深约为4米。
因此为了安全，货船最好在6．5时之前停止卸货，将船驶向较深的水域。
思考：在船的安全水深正好等于港口水深时停止卸货行吗？为什么？
课堂小结：教师引导学生概括出建立三角函数模型解决实际问题的基本步骤： 根据所给数据作出散点图；
利用散点图进行函数拟合，求出三角函数模型；
根据三角函数模型解决实际问题。
课堂练习：教材65页练习3 课后作业：
以下是同学们在互联网上得到的北京每月15日日出时间的数据： 日期 1月15日 2月15日 3月15日 4月15日 5月15日 6月15日 时刻 7：35 7：08 6：27 5：38 5：00 4：45 日期 7月15日 8月15日 9月15日 10月15日 11月15日 12月15日 时刻 4：58 5：26 5：55 6：24 6：58 7：29
（1）在同一坐标系中，以日期为横轴，画出散点图，并用曲线去拟合这些数据，同时找出函数模型； （2）如果你准备在国庆节去北京天安门广场看升旗，你最好在什么时间到达天安门广场？
教学反思：。