2018届高考数学立体几何(理科)专题02-二面角

，
，
，
， 所以
设平面 的一个法向量为
， ，则
， ,
，
，
，
，
∴
，
.令 ，得
，∴
；
设平面 的法向量为
，则
,
∴
，
令 ，得
， ，∴
，
设平面 与平面 所成锐二面角为 ，则
，
所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
5．在四棱锥 P ABCD 中，四边形 ABCD是矩形，平面 PAB 平面 ABCD ，点 E 、 F 分 别为 BC 、 AP 中点. （1）求证： EF / / 平面 PCD； （2）若 AD AP PB, APB 1200, ，求平面 DEF 与平面 PAB 所成锐二面角的余弦值.
2 所以四边形 BCDQ 为平行四边形,所以 CD BQ .
因为 ADC 90 ,所以 AQB 90 ,即 AD BQ . 又因为平面 PAD 平面 ABCD,且平面 PAD 平面 ABCD AD , 所以 BQ 平面 PAD ,因为 BQ 平面 PQB ,所以平面 PAD 平面 PQB . （Ⅲ）因为 PA PD,Q 为 AD 的中点,所以 PQ AD . 又因为平面 PAD 平面 ABCD,且平面 PAD 平面 ABCD AD ,所以 PQ 平面 ABCD
4．如图所示的几何体是由棱台
和棱锥
拼接而成的组合体，其底
面四边形 是边长为 2 的菱形，
， 平面
.
（1）求证：
；
（2）求平面 与平面 所成锐角二面角的余弦值.
2018 届高考数学立体几何（理科）专题 02 二面角 第4页
5．在四棱锥 P ABCD 中，四边形 ABCD 是矩形，平面 PAB 平面 ABCD ，点 E 、F 分 别为 BC 、 AP 中点. （1）求证： EF / / 平面 PCD； （2）若 AD AP PB, APB 1200, ，求平面 DEF 与平面 PAB 所成锐二面角的余弦值.
14
侧面 A1ABB1 底面 ABC, ABC 90 ，CB 侧面 A1ABB1 ，CB AB1 . 又 A1B BC B , AB1 平面 A1BC . (2)在 Rt ABC中， AC 5, BC 3, AB 4 ,又菱形 A1ABB1 中， A1AB 60 ， A1AB 为正三角形.
3．如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， AB 2AD ， BD 3AD ，且 PD 底面 ABCD . （1）证明：平面 PBD 平面 PBC ； （2）若 Q 为 PC 的中点，且 AP BQ 1 ，求二面角 Q BD C 的大小.
2018 届高考数学立体几何（理科）专题 02 二面角 第3页
．
3．如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， AB 2AD ， BD 3AD ，且 PD 底面 ABCD . （1）证明：平面 PBD 平面 PBC ； （2）若 Q 为 PC 的中点，且 AP BQ 1 ，求二面角 Q BD C 的大小.
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2 （Ⅰ）若点 M 是棱 PC 的中点,求证: PA 平面 BMQ ; （Ⅱ）求证:平面 PQB 平面 PAD ; （Ⅲ）若二面角 M BQ C 为 30 ,设 PM tMC ,试确定 t 的值.
试题解析：
2018 届高考数学立体几何（理科）专题 02 二面角 第11页
因为 MN 平面 BMQ , PA 平面 BMQ 所以 PA 平面 BMQ . （Ⅱ）因为 AD BC, BC 1 AD,Q 为 AD 中点,
2018 届高考数学立体几何（理科）专题 02 二面角 第1页
2．如图所示的多面体中，下底面平行四边形 与上底面
平行，
且
，
,
，
，平面
平面 ，点 为 的中点．
（1）过点 作一个平面 与平面 平行，并说明理由；
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
2018 届高考数学立体几何（理科）专题 02 二面角 第2页
2 （Ⅰ）若点 M 是棱 PC 的中点,求证: PA 平面 BMQ ; （Ⅱ）求证:平面 PQB 平面 PAD ; （Ⅲ）若二面角 M BQ C 为 30 ,设 PM tMC ,试确定 t 的值.
2018 届高考数学立体几何（理科）专题 02 二面角 第6页
2018 届高考数学立体几何（理科）专题 02 二面角（教师版）
设 n x, y, z 为平面 A1CC1 的方向量，则{ n C1C 0, { 2x 2 3y 0,
n C1A1 0. 2x 2 3y 3z 0.
令 x 3 ,得 n 3, 3, 4 为平面 A1CC1 的一个法向量.又 OB1 0, 2 3, 0 为平面 A1BC 的一个法向量，
cos n,OB1 n OB1 n OB1
2
6 72
21 3 14
.二面角 B A1C C1 的余弦值为
21 . 14
2．如图所示的多面体中，下底面平行四边形 与上底面
平行，
且
，
,
，
，平面
平面 ，点 为 的中点．
（1）过点 作一个平面 与平面 平行，并说明理由；
（2）求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值．
1．如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， A1A AB, ABC 90 侧面 A1ABB1 底面 ABC . (1)求证： AB1 平面 A1BC ； (2)若 AC 5，BC 3，A1AB 60 ,求二面角 B A1C C1 的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） 21 .
2018 届高考数学立体几何（理科）专题 02 二面角 第12页
以 Q 为原点,以 QA, QB 的方向分别为 x 轴, y 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 Q xyz ,
则点 Q0,0,0 , P 0,0, 3 , B 0, 3,0 , C 1, 3,0 ,平面 BQC 的一个法向量 n 0,0,1.
设 M x, y, z ,则 PM x, y, z 3 , , MC 1 x, 3 y, z ,因为 PM tMC
DF·n 0
2 3x z 0
即{
3 x 1 y 2z 0 不妨设 x 1，则 n 1, 7 3, 2 3 ．
22
易知向量 AD 0, 0, 2为平面 PAB 的一个法向量．
cos n, AD n·AD
2 3 2
30
n·AD
2
2
12 7 3 2 3 2
20
所以 x t 1 x
{ y t 3 y
z 3 tz
x t 1 t
{ y 3t 1 t
z 3 1 t
在平面 MBQ 中, QB
0,
3, 0
, QM
1
t
t
,
3t 1 t
,
3 1 t
,
mn
因为二面角 M BQ C 为 30 ,所以 cos30
t
3 ,所以 t 3 .
m n 3t2 2
2018 届高考数学立体几何（理科）专题 02 二面角 第7页
【答案】（1）见解析；（2）
试题解析：（1）取 的中点 ， 的中点 ，连接 、 、 ，
如图所示．则平面
平面 ，平面 即为所求的平面 ．
理由如下：在平行四边形
中，点 分别是 与 的中点，
所以
，在
中，点 分别是 的中点，所以
．
显然
，
，所以平面
故平面 DEF 与平面 PAB 所成锐二面角的余弦值为 30 . 20
6．如图,在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, AD BC, ADC 90 ,平面 PAD 底面 ABCD , Q 为 AD 中点, M 是棱 PC 上的点, PA PD 2, BC 1 AD 1,CD 3 .
2018 届高考数学立体几何（理科）专题 02 二面角 第5页
6．如图,在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, AD BC, ADC 90 ,平面 PAD 底面 ABCD , Q 为 AD 中点, M 是棱 PC 上的点, PA PD 2, BC 1 AD 1,CD 3 .
2018 届高考数学立体几何（理科）专题 02 二面角 第10页
平面 PAB 平面 ABCD,平面 PAB 平面 ABCD= AB ， AD 平面 PAB AD 平面 PAB 又 AD AP PB， APB=1200 ， O 为 AB 中点 OP AB ， OA OB 3 ， OP 1. 故可建立空间直角坐标系 O xyz ，如图所示，则
A（ 3，0，0）， P（0，1，0）， B（ 3，0，0）， C 3,0, 2 ， D 3, 0, 2
F
3 2
,
1 2
,
0
，
E
3, 0,1
பைடு நூலகம்
DE
2
3, 0, 1
，
DF
3 2
,
1 2
,
2
设 n x, y, z 是平面 DEF 的一个法向量，则{ DE·n 0 ，
∴
AP
BQ
t2 1 2
1 ，∴
t
1.故
DQ
1 2
,
3 2
,
1 2
，
BQ
1 2
,
3 2
,
1 2
.
设平面 QBD 的法向量为 n x, y, z ，则{n DQ 0
1 x ，即{ 2
3 y1z0 22
，令 x 1，得 n 1,0,1.
n BQ 0
1x 3 y1z0
22 2
易知平面 BDC 的一个法向量为 m 0,0,1 ，则 cos m, n 1 2 ，∴二面角 Q BD C 的大小为 .