2018届高考数学立体几何(理科)专题02-二面角
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故平面 DEF 与平面 PAB 所成锐二面角的余弦值为 30 . 20
6.如图,在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, AD BC, ADC 90 ,平面 PAD 底面 ABCD , Q 为 AD 中点, M 是棱 PC 上的点, PA PD 2, BC 1 AD 1,CD 3 .
∴
AP
BQ
t2 1 2
1 ,∴
t
1.故
DQ
1 2
,
3 2
,
1 2
,
BQ
1 2
,
3 2
,
1 2
.
设平面 QBD 的法向量为 n x, y, z ,则{n DQ 0
1 x ,即{ 2
3 y1z0 22
,令 x 1,得 n 1,0,1.
n BQ 0
1x 3 y1z0
22 2
易知平面 BDC 的一个法向量为 m 0,0,1 ,则 cos m, n 1 2 ,∴二面角 Q BD C 的大小为 .
设 n x, y, z 为平面 A1CC1 的方向量,则{ n C1C 0, { 2x 2 3y 0,
n C1A1 0. 2x 2 3y 3z 0.
令 x 3 ,得 n 3, 3, 4 为平面 A1CC1 的一个法向量.又 OB1 0, 2 3, 0 为平面 A1BC 的一个法向量,
平面 ,亦即平面 平面 .
(2)不妨设
,
,
,故
,
.
在平行四边形
中,
,所以
.
取 的中点 ,则
.又平面
平面 ,平面
平面
连接 ,因为
,
,所以
,又
,所以
.
如图所示,以点 为坐标原点建立空间直角坐标系,则
,
,
,所以 ,
,
,
,
.
所以
,
,
,
.
平面 .
,
,
设平面 的法向量为
则由
,即
, ,整理得
.令 , .所以
.
所以
,
,
,
, 所以
设平面 的一个法向量为
, ,则
, ,
,
,
,
,
∴
,
.令 ,得
,∴
;
设平面 的法向量为
,则
,
∴
,
令 ,得
, ,∴
,
设平面 与平面 所成锐二面角为 ,则
,
所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
5.在四棱锥 P ABCD 中,四边形 ABCD是矩形,平面 PAB 平面 ABCD ,点 E 、 F 分 别为 BC 、 AP 中点. (1)求证: EF / / 平面 PCD; (2)若 AD AP PB, APB 1200, ,求平面 DEF 与平面 PAB 所成锐二面角的余弦值.
2018 届高考数学立体几何(理科)专题 02 二面角 第1页
2.如图所示的多面体中,下底面平行四边形 与上底面
平行,
且
,
,
,
,平面
平面 ,点 为 的中点.
(1)过点 作一个平面 与平面 平行,并说明理由;
(2)求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
2018 届高考数学立体几何(理科)专题 02 二面角 第2页
14
侧面 A1ABB1 底面 ABC, ABC 90 ,CB 侧面 A1ABB1 ,CB AB1 . 又 A1B BC B , AB1 平面 A1BC . (2)在 Rt ABC中, AC 5, BC 3, AB 4 ,又菱形 A1ABB1 中, A1AB 60 , A1AB 为正三角形.
2018 届高考数学立体几何(理科)专题 02 二面角
1.如图,在三棱柱 ABC A1B1C1 中, A1A AB, ABC 90 侧面 A1ABB1 底面 ABC . (1)求证: AB1 平面 A1BC ; (2)若 AC 5,BC 3,A1AB 60 ,求二面角 B A1C C1 的余弦值.
4.如图所示的几何体是由棱台
和棱锥
拼接而成的组合体,其底
面四边形 是边长为 2 的菱形,
, 平面
.
(1)求证:
;
(2)求平面 与平面 所成锐角二面角的余弦值.
2018 届高考数学立体几何(理科)专题 02 二面角 第4页
5.在四棱锥 P ABCD 中,四边形 ABCD 是矩形,平面 PAB 平面 ABCD ,点 E 、F 分 别为 BC 、 AP 中点. (1)求证: EF / / 平面 PCD; (2)若 AD AP PB, APB 1200, ,求平面 DEF 与平面 PAB 所成锐二面角的余弦值.
DF·n 0
2 3x z 0
即{
3 x 1 y 2z 0 不妨设 x 1,则 n 1, 7 3, 2 3 .
22
易知向量 AD 0, 0, 2为平面 PAB 的一个法向量.
cos n, AD n·AD
2 3 2
30
n·AD
2
2
12 7 3 2 3 2
20
2018 届高考数学立体几何(理科)专题 02 二面角 第10页
平面 PAB 平面 ABCD,平面 PAB 平面 ABCD= AB , AD 平面 PAB AD 平面 PAB 又 AD AP PB, APB=1200 , O 为 AB 中点 OP AB , OA OB 3 , OP 1. 故可建立空间直角坐标系 O xyz ,如图所示,则
2 所以四边形 BCDQ 为平行四边形,所以 CD BQ .
因为 ADC 90 ,所以 AQB 90 ,即 AD BQ . 又因为平面 PAD 平面 ABCD,且平面 PAD 平面 ABCD AD , 所以 BQ 平面 PAD ,因为 BQ 平面 PQB ,所以平面 PAD 平面 PQB . (Ⅲ)因为 PA PD,Q 为 AD 的中点,所以 PQ AD . 又因为平面 PAD 平面 ABCD,且平面 PAD 平面 ABCD AD ,所以 PQ 平面 ABCD
2018 届高考数学立体几何(理科)专题 02 二面角 第12页
以 Q 为原点,以 QA, QB 的方向分别为 x 轴, y 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 Q xyz ,
则点 Q0,0,0 , P 0,0, 3 , B 0, 3,0 , C 1, 3,0 ,平面 BQC 的一个法向量 n 0,0,1.
设 M x, y, z ,则 PM x, y, z 3 , , MC 1 x, 3 y, z ,因为 PM tMC
2 (Ⅰ)若点 M 是棱 PC 的中点,求证: PA 平面 BMQ ; (Ⅱ)求证:平面 PQB 平面 PAD ; (Ⅲ)若二面角 M BQ C 为 30 ,设 PM tMC ,试确定 t 的值.
试题解析:
2018 届高考数学立体几何(理科)专题 02 二面角 第11页
因为 MN 平面 BMQ , PA 平面 BMQ 所以 PA 平面 BMQ . (Ⅱ)因为 AD BC, BC 1 AD,Q 为 AD 中点,
cos n,OB1 n OB1 n OB1
2
6 72
21 3 14
.二面角 B A1C C1 的余弦值为
21 .Fra Baidu bibliotek14
2.如图所示的多面体中,下底面平行四边形 与上底面
平行,
且
,
,
,
,平面
平面 ,点 为 的中点.
(1)过点 作一个平面 与平面 平行,并说明理由;
(2)求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
.
3.如图,在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, AB 2AD , BD 3AD ,且 PD 底面 ABCD . (1)证明:平面 PBD 平面 PBC ; (2)若 Q 为 PC 的中点,且 AP BQ 1 ,求二面角 Q BD C 的大小.
2018 届高考数学立体几何(理科)专题 02 二面角 第8页
【答案】(1)见解析(2) 4
试题解析:(1)证明:∵ AD2 BD2 AB2 ,∴ AD BD ,∴ AD / /BC ,∴ BC BD . 又∵ PD 底面 ABCD,∴ PD BC .∵ PD BD D ,∴ BC 平面 PBD . 而 BC 平面 PBC ,∴平面 PBC 平面 PBD . (2)解:由(1)知, BC 平面 PBD ,
2018 届高考数学立体几何(理科)专题 02 二面角 第7页
【答案】(1)见解析;(2)
试题解析:(1)取 的中点 , 的中点 ,连接 、 、 ,
如图所示.则平面
平面 ,平面 即为所求的平面 .
理由如下:在平行四边形
中,点 分别是 与 的中点,
所以
,在
中,点 分别是 的中点,所以
.
显然
,
,所以平面
3.如图,在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, AB 2AD , BD 3AD ,且 PD 底面 ABCD . (1)证明:平面 PBD 平面 PBC ; (2)若 Q 为 PC 的中点,且 AP BQ 1 ,求二面角 Q BD C 的大小.
2018 届高考数学立体几何(理科)专题 02 二面角 第3页
2 1 2
4
4.如图所示的几何体是由棱台
和棱锥
拼接而成的组合体,其底
面四边形 是边长为 2 的菱形,
, 平面
.
(1)求证:
;
(2)求平面 与平面 所成锐角二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2) .
又棱台 ∴
中,
2018 届高考数学立体几何(理科)专题 02 二面角 第9页
(2)建立空间直角坐标系如图所示, 则
A( 3,0,0), P(0,1,0), B( 3,0,0), C 3,0, 2 , D 3, 0, 2
F
3 2
,
1 2
,
0
,
E
3, 0,1
DE
2
3, 0, 1
,
DF
3 2
,
1 2
,
2
设 n x, y, z 是平面 DEF 的一个法向量,则{ DE·n 0 ,
2018 届高考数学立体几何(理科)专题 02 二面角 第5页
6.如图,在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, AD BC, ADC 90 ,平面 PAD 底面 ABCD , Q 为 AD 中点, M 是棱 PC 上的点, PA PD 2, BC 1 AD 1,CD 3 .
2 (Ⅰ)若点 M 是棱 PC 的中点,求证: PA 平面 BMQ ; (Ⅱ)求证:平面 PQB 平面 PAD ; (Ⅲ)若二面角 M BQ C 为 30 ,设 PM tMC ,试确定 t 的值.
2018 届高考数学立体几何(理科)专题 02 二面角 第6页
2018 届高考数学立体几何(理科)专题 02 二面角(教师版)
所以 x t 1 x
{ y t 3 y
z 3 tz
x t 1 t
{ y 3t 1 t
z 3 1 t
在平面 MBQ 中, QB
0,
3, 0
, QM
1
t
t
,
3t 1 t
,
3 1 t
,
mn
因为二面角 M BQ C 为 30 ,所以 cos30
t
3 ,所以 t 3 .
m n 3t2 2
【答案】(1)见解析(2) 30 20
试题解析:(I)证明:取 PD 中点 G ,连接 GF,GC .在△ PAD 中,有 G, F 分别为 PD 、AP 中点 GF / / 1 AD 2
而 GC 平面 PCD, EF 平面 PCD EF / / 平面 PCD (II)取 AB 中点 O ,连接 OP ,设 AD=2 . 四边形 ABCD 是矩形 AD AB
1.如图,在三棱柱 ABC A1B1C1 中, A1A AB, ABC 90 侧面 A1ABB1 底面 ABC . (1)求证: AB1 平面 A1BC ; (2)若 AC 5,BC 3,A1AB 60 ,求二面角 B A1C C1 的余弦值. 【答案】(1)证明见解析;(2) 21 .